16

CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA

CAPÍTULO 2

VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO

1 Vetores no plano

O plano, também chamado de ℜ2, simbolicamente escrevemos:

}yex),y,x{(x2 ℜ∈∀=ℜℜ=ℜ , é o conjunto de todos os pares ordenados de números

reais. Ele é representado através do sistema de coordenadas cartesianas, o qual é

constituído por dois eixos perpendiculares entre si, cuja interseção é o par ordenado

O(0,0), chamado de origem do sistema. Esses eixos são denotados por Ox (eixo das

abscissas) e Oy (eixo das ordenadas) e ambos chamados de eixos coordenados,

orientados como mostra a figura abaixo.

Todo ponto P do plano é representado como na figura acima, onde x e y são as

suas coordenadas, respectivamente em relação aos eixos Ox e Oy. Na representação

de um ponto do plano, dentro do par ordenado a coordenada x é sempre a primeira e

y a segunda coordenada, assim, P(x,y). Note que os eixos coordenados dividem o

plano em 4 regiões iguais (I, II, III e IV), cada uma delas chamadas de quadrante. O

que distingue um quadrante do outro são os sinais das coordenadas (x,y) de um

ponto qualquer do 2ℜ . Assim:

- Se (x,y) pertence ao I quadrante, então x>0 e y>0. Simbolicamente: (+,+);

- Se (x,y) pertence ao II quadrante, então x<0 e y>0. Simbolicamente: (-,+);

- Se (x,y) pertence ao III quadrante, então x<0 e y<0. Simbolicamente: (-,-);

- Se (x,y) pertence ao e IV quadrante, então x>0 e y<0. Simbolicamente (+,-).

y

x

P(x,y)

(0,0)

(–)

(–)

Oy (+)

(+)

Ox

I

II

IV III

17

Qualquer vetor do ℜ2 pode ser escrito em função de dois versores jei��

, com

1|j||i| ==��

, cada um deles situados sobre os eixos coordenados Ox e Oy,

respectivamente, como mostra a figura abaixo. Futuramente o conjunto dos versores

{ }j,i��

será chamado de uma base do ℜ2.

Pela figura acima, podemos ver que jyixv��

�

+= , ou seja, o vetor v�

é escrito em

função da base { }j,i��

. A expressão jyixv��

�

+= é chamada de expressão cartesiana

de um vetor do ℜ2 e seu módulo é determinado por 22 yx|v| +=�

.

Todo vetor do plano será representado a partir da origem do sistema, ou seja, a

origem do vetor coincide com a origem do sistema e sua extremidade coincide com

algum ponto P(x,y), do mesmo plano. Assim podemos identificar um vetor com um

ponto do plano e simplesmente escrever que )y,x(v =�

.

Por exemplo: Para o vetor ji3v��

�

−= podemos escrever )1,3(v −=�

e representá-

lo no ℜ2, marcando o ponto P(3,-1) e unindo este ponto à origem do sistema, sempre

fazendo coincidir a origem do vetor com a origem do sistema e a extremidade do

vetor com o ponto P(3,-1), como mostra a figura abaixo:

1.1 Operações com vetores do ℜℜℜℜ2 na forma cartesiana

Sejam jyixvejyixv 222111��

�

��

�

+=+= dois vetores quaisquer do ℜ2 e um escalar

qualquer ℜ∈α . Então:

- Adição: j)yy(i)xx(vv 212121��

��

+++=+

- Subtração: j)yy(i)xx(vv 212121��

��

−+−=−

- Multiplicação por escalar: j)y(i)x(v 111��

�

α+α=⋅α

v�

-1

3

P(3,-1)

y

x

O

j�

jy�

i�

ix�

v�

y

x

P(x,y)

Oy

Ox

18

Exemplo (1): Sejam iweji3v,j4i2u�

�

�

�

��

�

=+−=+= . Determine o módulo do vetor

w2v3u21

R���

+−= .

Solução: Considerando as coordenadas dos vetores para simplificar a notação vem:

)0,1(we)1,3(v,)4,2(u =−==���

. Vamos primeiro determinar o vetor R .

)1,12()032,291()0,2()3,9()2,1()0,1(2)1,3(3)4,2(21

R −=+−++=+−−=+−−=

Logo, ji12R��

−= . Portanto, 1451144)1(12|R| 22 =+=−+=

1.2 Cossenos diretores de um vetor

Seja jyixv��

�

+= um vetor qualquer do ℜ2. Então v�

forma um ângulo com cada

eixo coordenado. Sejam α e β os ângulos que o vetor v�

forma com os eixos Ox e Oy,

respectivamente. Pela figura abaixo temos: |v|

x)cos( �=α e

|v|y

)cos( �=β , chamados

cossenos diretores do vetor .v�

Note que: 1)(cos)(cos 22 =β+α , pois:

1|v|

y|v|

x22

=

+

�� e 222 yx|v| +=

�

, então 22 yx|v| +=�

.

Definição: Considere o vetor jyixv��

�

+= . Então o versor do vetor v�

, denotado por

ov�

, é um vetor paralelo, de mesmo sentido de v�

e unitário, ou seja, 1vo =�

, definido

por |v|

vvo �

�

�

= .

Como jyixv��

�

+= ⇒ )y,x(v =�

⇒

=⋅=

|v|y

,|v|

x)y,x(

|v|1

vo ���

�

⇒ )cos,(cosvo βα=�

.

Exemplo (2): Dados os pontos A(2,4) e B(-1,3), determine:

a) Os cossenos diretores do vetor AB .

b) Um vetor w�

de módulo 40 e paralelo ao vetor AB .

Solução: a) )1,3()4,2()3,1(ABAB −−=−−=−= , 10)1()3(|AB| 22 =−+−= . Então:

10

1

|AB|

y)cos(e

10

3

|AB|

x)cos(

−==β

−==α

α

β

O

v�

y

x

P(x,y) Oy

Ox

19

b) Seja )y,x(w =�

. Se w�

é paralelo ao vetor AB , então existe um escalar ℜ∈m tal

que: ABmw ⋅=�

. Então:

−=

−==−−⋅=

mym3x

)1,3(m)y,x( . Por outro lado 40|w| =�

,

então: 40yx 22 =+ ⇒ ( )22

22 40yx =

+ ⇒ 40yx 22 =+ ⇒

40)m()m3( 22 =−+− ⇒ 2m40m10 2 ±=⇒= . Assim, há duas soluções: para m = 2 ⇒

)2,6(w −−=�

ou para m = -2 ⇒ )2,6(w =�

o seu oposto. Logo, )2,6(w −−=�

ou )2,6(w =�

.

Exemplo (3): Sejam )1m2,2(we)m,m3(v −−=+=��

. Determine os valores de m

para que o vetor wv��

− tenha módulo igual a 6.

Solução: )1m,5m()1m2,2()m,m3(wv +−+=−−−+=−��

626m8m2)1m()5m(|wv| 222 =++=+−++=−��

05m4m626m8m2 222

2 =−+⇒=

++ ⇒

−=

=

5m1m

2

1

Logo para

−−=−−=⇒−=

−==⇒=

)11,2(we)5,2(v5m)1,2(we)1,4(v1m

2

1��

��

Exemplo (4): Seja )4,3(v =�

. Ao projetarmos o vetor v�

sobre o eixo Ox, obtemos um

vetor u�

. Determine o vetor w�

que é a projeção do vetor u�

na direção do vetor v�

.

Solução: Temos que )0,3(u =�

e w�

é paralelo ao vetor v�

. Então vw��

α= . Seja

)y,x(w =�

. Então:

α=

α=⇒α==

4y3x

)4,3()y,x(w�

. Por construção temos:

59

|w||v||u|

|u||w|

cos =⇒==θ�

�

�

�

�

. Mas ⇒α+α=+= 2222 )4()3(yx|w|�

259

59

2559

)4()3(|w| 222 =α⇒=α⇒=α+α=�

Portanto:

=⇒==

2536

,2527

w)4,3(259

)y,x(w��

y

θ x

4

3 u�

w�

v�

20

Exercícios Propostos:

1) Dados os vetores )3,4(ue)4,2(v −==��

, determine os vetores bea�

�

sabendo que

bav�

��

+= e que b�

é o triplo do versor do vetor u�

.

Resp:

=

−=

511,

522

ae59

,512

b�

�

2) Determine t para que )t2,t(u =�

tenha módulo igual a 53 . Resp: t = ± 3

3) O vetor )8,2(v =�

é a soma de um vetor a�

que está sobre o eixo Ox com um vetor

b�

, cujo módulo é 73 . Determine as possibilidades para os vetores a�

e b�

.

Resp:

−==

=−=

)8,3(be)0,5(aou)8,3(be)0,1(a

�

�

�

�

4) Três pontos do plano A(1,3), B(5,1) e C(2,7), determinam um triângulo ABC.

a) Mostre que 0BACBAC =++ .

b) Determine o perímetro do triângulo ABC. Resp: 5517p2 +=

5) Sejam A, B, C e D, vértices de um paralelogramo ABCD. Sendo A(-1,0) e

)4,3(BDe)4,7(AC −== suas diagonais, determine os outros vértices B, C e D.

Resp: B(1,4), C(6,4) e D(4,0)

2 Vetores no espaço

O espaço, também chamado de 3ℜ , onde ℜ×ℜ×ℜ=ℜ3 , é o conjunto de todas

as ternas (x,y,z) que, simbolicamente escrevemos { }ℜ∈=ℜ z,y,x/)z,y,x(3 . Logo,

todo ponto P do 3ℜ é representado por uma terna de números reais P(x,y,z). O 3ℜ é

representado através do sistema de coordenadas cartesianas, o qual é constituído por

três eixos perpendiculares entre si, cuja interseção é a terna O(0,0,0), chamada de

origem do sistema. Esses eixos são denotados por Ox (eixo das abscissas), Oy (eixo

das ordenadas) e Oz (eixo das cotas), ambos chamados de eixos coordenados,

orientados como mostra a figura abaixo.

(–)

(–)

(–)

(+)

(+)

(+)

Oy

Oz

Ox

21

Note que os eixos coordenados dividem o espaço e 8 regiões iguais, cada uma

delas chamadas de octantes. O que distingue um octante do outro são os sinais das

coordenadas (x,y,z) de um ponto qualquer do 3ℜ . Assim:

- Se (x,y,z) pertence ao 1º octante, então x>0, y>0 e z>0. Em símbolos: (+,+,+);

- Se (x,y,z) pertence ao 2º octante, então x<0, y>0 e z>0. Em símbolos: (–,+,+);

- Se (x,y,z) pertence ao 3º octante, então x<0, y<0 e z>0. Em símbolos: (–,–,+);

- Se (x,y,z) pertence ao 4º octante, então x>0, y<0 e z>0. Em símbolos: (+,–,+);

- Se (x,y,z) pertence ao 5º octante, então x>0, y>0 e z<0. Em símbolos: (+,+,–);

- Se (x,y,z) pertence ao 6º octante, então x<0, y>0 e z<0. Em símbolos: (–,+,–);

- Se (x,y,z) pertence ao 7º octante, então x<0, y<0 e z<0. Em símbolos: (–,–,–);

- Se (x,y,z) pertence ao 8º octante, então x>0, y<0 e z<0. Em símbolos: (+,–,–).

Apesar do 3ℜ ter a representação como acima, para fins de simplificar a

representação ou a construção geométrica de algo, por convenção, adota-se uma

representação simplificada do 3ℜ , representando apenas um ou o octante desejado.

Todo ponto P(x,y,z) do espaço é representado como na figura abaixo, onde x, y e z

são as suas coordenadas, respectivamente em relação aos eixos Ox, Oy e Oz e esta

ordem esta fixada.

Suponhamos que desejamos representar os pontos P(3,5,6) e Q(-3,5,6). Note

que P pertence ao 1º octante e Q pertence ao 2º octante.

A representação do ponto P(3,5,6) é relativamente simples quando trabalhamos

com o 1º octante, o que não ocorre com a representação do ponto Q(-3,5,6). As

representações no 2º ao 8º octantes são complicadas, exigem técnicas do desenho

Oz

3 Ox

6

5

P(3,5,6)

1º octante

Oy

Oy

x

Ox

z

y

P(x,y,z)

Oz

Oz

–3

Ox

6

5

Q(-3,5,6)

Oy

1º octante

2º octante

22

geométrico como noção de profundidade e perspectiva e, nem sempre a visualização

do que se pretende representar é evidente aos nossos olhos.

Como estamos interessados em fazer as representações no ℜ3 através de um

esboço, ou seja, algo simples e não pretendemos realizar construções difíceis e nem

representações elaboras, o que se adota como convenção é representar o octante

desejado como se fosse sempre o 1º octante. Por exemplo, poderíamos representar o

ponto Q(-3,5,6) da seguinte forma:

Qualquer vetor do ℜ3 pode ser escrito em função três versores kej,i���

, cada um

deles situados sobre os eixos coordenados Ox, Oy e Oz, respectivamente.

Futuramente o conjunto de versores { }k,j,i���

será chamado de uma base do ℜ3.

Pela figura acima podemos ver que kzjyixv���

�

++= , ou seja, o vetor v�

é escrito

em função da base { }k,j,i���

. A expressão kzjyixv���

�

++= é chamada de expressão

cartesiana. Note também que, o módulo de um vetor é dado por 222 zyx|v| ++=�

pois:

Do triângulo OQR vem: 222 yxw +=

Do triângulo POR vem: 222 zw|v| +=�

Então: 2222 zyx|v| ++=�

Portanto: 222 zyx|v| ++=�

Oz

-3

Ox 6

5

Q(-3,5,6)

2º octante

Oy

Oy

x

kz�

k�

Ox

j�

jy�

i�

ix�

v�

z

y

P(x,y,z)

Oz

jyix��

+

w

v�

R Q

P

O z

z

y

y

x

23

Todo vetor do espaço será representado a partir da origem do sistema, ou seja,

a origem do vetor coincide com a origem do sistema e sua extremidade coincide com

algum ponto P(x,y,z). Assim, podemos identificar um vetor com um ponto do espaço

e simplesmente escrever que )z,y,x(v =�

.

Por exemplo: O vetor k6j5i3v���

�

++= é escrito como )6,5,3(v =�

e representá-lo

no ℜ3, marcando o ponto P e unindo este ponto à origem do sistema, sempre fazendo

coincidir a origem do vetor com a origem do sistema e a extremidade do vetor com o

ponto P. Veja a figura abaixo:

2.1 Operações com vetores do ℜℜℜℜ3 na forma cartesiana

Sejam kzjyixvekzjyixv 22221111

���

�

���

�

++=++= dois vetores quaisquer do ℜ3 e

um escalar qualquer ℜ∈α . Então:

- Adição: k)zz(j)yy(i)xx(vv 21212121

���

��

+++++=+

- Subtração: k)zz(j)yy(i)xx(vv 21212121

���

��

−+−+−=−

- Produto por escalar: k)z(j)y(i)x(v 1111

���

�

α+α+α=⋅α

Exemplo (5): Sejam jwek2ji3v,j4i2u�

�

��

�

��

�

−=++−=+= , três vetores do espaço.

Determine o módulo do vetor w2v3u21

R���

+−= .

Solução: Considerando as coordenadas dos vetores para simplificar a notação,

escrevemos: )0,1,0(we)2,1,3(v,)0,4,2(u −=−==���

. Determinando o vetor R vem:

)0,2,0()6,3,9()0,2,1()0,1,0(2)2,1,3(3)0,4,2(21

R −+−−=−+−−= ⇒

)6,3,10()060,232,091(R −−=+−−−++= . Logo, k6j3i10R���

−−=

Portanto, 145369100)6()3(10|R| 222 =++=−+−+= .

Oz

3

Ox

v�

6

5

P(3,5,6)

Oy

24

2.2 Cossenos diretores de um vetor

Seja kzjyixv���

�

++= um vetor qualquer do ℜ3. Então v�

forma um ângulo com

cada eixo coordenado. Sejam α, β e γ os ângulos que o vetor forma com os eixos Ox,

Oy e Oz, respectivamente. Pela figura abaixo temos:

|v|

x)cos( �=α ,

|v|y

)cos( �=β , |v|

z)cos( �=γ

chamados de co-senos diretores do vetor .v�

Note que: 1)(cos)(cos)(cos 222 =γ+β+α

Definição: Considere o vetor kzjyixv���

�

++= . Então o versor do vetor v�

, denotado

por ov�

, é um vetor paralelo, de mesmo sentido de v�

e unitário, ou seja, 1vo =�

,

definido por |v|

vvo �

�

�

= .

Como kzjyixv���

�

++= ⇒ )z,y,x(v =�

⇒

=⋅=

|v|z

,|v|

y,

|v|x

)z,y,x(|v|

1vo ����

�

⇒

)cos,cos,(cosvo γβα=�

.

2.3 Condição de paralelismo entre dois vetores.

Sejam )z,y,x(ve)z,y,x(u 222111 ==��

dois vetores paralelos, ou seja, eles têm a

mesma direção, então existe um escalar m∈ℜ tal que vmu��

⋅= . Logo:

=⇒=

=⇒=

=⇒=

⇒⋅=

2

121

2

121

2

121

222111

zz

mmzz

yy

mmyy

xx

mmxx

)z,y,x(m)z,y,x( ⇒ 2

1

2

1

2

1

zz

yy

xx

m === ,

0ze0y,0xcom 222 ≠≠≠ . Portanto, para que dois vetores sejam paralelos é

necessário que haja uma proporção entre suas coordenadas, isto é, eles são múltiplos

escalares.

y

γ

β

Ox

x

α

|v|�

z

P(x,y,z) Oz

Oy

25

Por exemplo: considere os vetores )2,4,1(u =�

, )4,8,2(v =�

e )4,6,2(w =�

. Temos

que u�

e v�

são paralelos, pois u2v��

⋅= e 224

48

12

=== . Note que u�

e w�

não são

paralelos, pois 24

46

12

≠≠ , ou seja, não existe nenhum escalar m∈ℜ tal umw��

⋅= .

2.4 Condição de coplanaridade entre três vetores

Sejam )z,y,x(u 111=�

, )z,y,x(v 222=�

e )z,y,x(w 333=�

vetores coplanares,

ou seja, vetores que estão no mesmo plano, então existem escalares m, n ∈ℜ tais

que wnvmu���

+= .

Então: ⇒⋅+⋅= )z,y,x(n)z,y,x(m)z,y,x( 333222111

=+

=+

=+

132

132

132

znzmzynymyxnxmx

Podemos associar a este sistema linear uma matriz dos coeficientes, cujo

determinante é igual a zero, pois existe uma combinação linear entre suas linhas, ou

seja, a primeira linha é m vezes a segunda mais n vezes a terceira. Portanto, a

condição para que três vetores sejam coplanares é verificada quando

0zyxzyxzyx

333

222

111

= .

Exemplo (6): Dados os pontos P(2,4,5) e Q(1,2,3) determine um vetor w�

paralelo

ao vetor PQ e que tenha módulo igual a 6.

Solução: Sejam )z,y,x(w =�

. Como w�

é paralelo a PQ , então PQw α=�

⇒

)2,2,1()z,y,x( −−−α= . Então:

α−=

α−=

α−=

2z2y

x. O módulo de )z,y,x(w =

�

é igual

6zyx 222 =++ ⇒ 2696)2()2()( 2222 ±=α⇒=α⇒=α−+α−+α− . Portanto,

)4,4,2(wou)4,4,2(w −−−==��

.

vm�

v�

w�

wn�

u�

26

Exemplo (7): Os vetores )0,1,0(ve)2,1,2(v 21 =−=��

estão aplicados no mesmo ponto

A. Determine um vetor AB de módulo 32 , cuja direção é a direção da bissetriz do

ângulo formado pelos vetores 21 vev��

.

Solução: Para que )z,y,x(AB = esteja sobre a bissetriz do ângulo entre 21 vev��

, é

necessário que |v||v| 2211��

α=α ⇒ 22

2221 12)1(2 ⋅α=+−+⋅α ⇒ 12 3α±=α . Pela

figura acima podemos ver que 2211 vvAB��

α+α= . Daí segue que:

Para 12 3α=α ⇒ 2111 v3vAB��

α+α= ⇒ )v3v(AB 211��

+α= ⇒

[ ])0,1,0(3)2,1,2()z,y,x( 1 +−⋅α= ⇒

α=

α=

α=

1

1

1

2z2y2x

.

Como 32)2()2()2(32zyx32|AB| 21

21

21

222 =α+α+α⇒=++⇒= ⇒

132323212 1121 ±=α⇒±=α⇒=α . Portanto, )2,2,2(ABou)2,2,2(AB −−−==

Para 12 3α−=α ⇒ 2111 v3vAB��

α−α= ⇒ )v3v(AB 211��

−α= ⇒

[ ])0,1,0(3)2,1,2()z,y,x( 1 −−⋅α= ⇒

α=

α−=

α=

1

1

1

2z4y

2x.

Como 32)2()4()2(32zyx32|AB| 21

21

21

222 =α+α−+α⇒=++⇒= ⇒

22

12243224 121

21 ±=α⇒=α⇒=α .

Portanto, ( ) ( )2,22,2ABou2,22,2AB −+−=−=

Exemplo (8): Dar as expressões das coordenadas do ponto médio do segmento de

reta de extremidades )z,y,x(A 111 e )z,y,x(B 222 .

Solução: Seja M(x,y,z) o ponto médio do segmento AB . O ponto M é tal que

MBAM = ou M-A = B-M. Então:

+=

+=

+=

⇒

−=−

−=−

−=−

⇒−−−=−−−

21

21

21

21

21

21

222111

zzz2yyy2xxx2

zzzzyyyyxxxx

)zz,yy,xx()zz,yy,xx(

Portanto: Ponto médio

+++

2zz

,2yy

,2xx

M 212121

B

A

AB

1v�

2v�

11v�

α

22v�

α

α α

27

Exercícios Propostos:

1) Encontrar os valores a e b tais que ubvaw���

+= , sendo )14,4,4(w −−=�

,

)1,2,1(v −=�

e )4,0,2(u −=�

. Resp: a =2 e b = -3

2) Determine o simétrico do ponto P(3,1,-2) em relação ao ponto A(-1,0,-3).

Resp: Q(-5,-1,-4)

3) Um vetor w�

do ℜ3 forma com os eixos Ox e Oy, ângulos de 60o e 1200,

respectivamente. Determine w�

para que ele tenha módulo igual a 2.

Resp: )2,1,1(wou)2,1,1(w −−=−=��

4) Sejam )0,1,1(be)0,0,1(a ==�

�

. O ângulo entre eles é 45o. Calcule o ângulo entre os

vetores baeba�

�

�

�

−+ . Resp:

−=θ

55

arccos

5) Dados os pontos A(1,-1,3) e B(3,1,5) , até que ponto se deve prolongar o

segmento AB, no sentido de A para B, para que seu comprimento quadruplique de

valor? Resp: (9,7,11)

COMENTÁRIOS IMPORTANTES

1) Como podemos identificar um vetor kzjyixv���

�

++= com um ponto do ℜ3 e, a fim

de simplificar a notação, escrevermos )z,y,x(v =�

, é muito comum o aluno confundir

as notações de um ponto P(x,y,z) com o vetor )z,y,x(v =�

. Às vezes até, fazer

operações que são permitidas somente entre vetores, aplicando-as aos pontos.

Portanto, cuidado com as notações.

2) A linguagem matemática é uma linguagem como outra qualquer, com suas regras

e conectivos lógicos. As próprias línguas (português, inglês, alemão,...) possuem suas

regras de construção (concordâncias, ortografia, conjugação verbal,...) as quais

devem ser empregadas corretamente para que as frases e os parágrafos tenham

sentido. Se por exemplo, em uma determinada linguagem computacional você

esquecer-se de digitar um ponto ou uma vírgula, seu programa não “roda” e enviará

uma mensagem de erro. Veja o que acontece quando nos esquecemos de digitar um

ponto ou uma letra em um site da internet ou um e-mail, não vamos conseguir

navegar ou enviar uma mensagem. Assim também é linguagem matemática. Se você

não escreve corretamente, seu desenvolvimento matemático ficará sem sentido e o

professor, provavelmente, vai lhe enviar uma mensagem de erro que é a sua nota.

Portanto, procure usar os símbolos de maneira correta e ordenada, para aqueles que

lerem seu desenvolvimento matemático possa entender o seu raciocínio.