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CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA

CAPÍTULO 7

DISTÂNCIAS E ÂNGULOS

1 DISTÂNCIAS

Todos os conceitos vetoriais que são necessários para o cálculo de distâncias e

ângulos, de certa forma, já foram estudados nos capítulos anteriores. Apenas vamos

utilizá-los para desenvolver este capítulo. As fórmulas que serão demonstradas são

consequências da aplicação destes conceitos. Portanto, acreditamos que a

memorização de tais fórmulas não seja necessária, mas sim a compreensão dos

conceitos aplicados.

É importante lembrar que, considera-se como sendo a distância entre dois

objetos quaisquer a menor distância entre eles e, geometricamente, a menor

distância entre dois objetos é sempre a perpendicular.

1.1 Distância entre dois pontos

Sejam )z,y,x(Be)z,y,x(A 222111 dois pontos quaisquer do ℜ3. A distância ABd ,

entre os pontos A e B, coincide com o módulo do vetor AB , ou seja: |AB|dAB = .

Assim: )zz,yy,xx(ABAB 121212 −−−=−= . Portanto:

212

212

212AB )zz()yy()xx(|AB|d −+−+−==

1.2 Distância de um ponto a uma reta

Sejam P um ponto e vtAX:)r(�

+= uma reta qualquer no ℜ3. A distância do

ponto P a reta (r) coincide com a altura relativa ao vértice P do triângulo determinado

pelos vetores AP e v�

. Então hd )r(P = . Vamos determinar esta altura h da seguinte

forma. Da geometria plana a área do triângulo é dada por 2h|v|

2alturabase

AT⋅

=⋅

=

�

.

Do cálculo vetorial a área do triângulo é dada por 2

|vAP|AT

�

×= ⇒

2|vAP|

2h|v|

��

×=

⋅.

Portanto: |v||vAP|

d )r(P �

�

×=

|AB|dAB =

B A

(r) hd )r(P =

AP

v�

P

A

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1.3 Distância de um ponto a um plano

Sejam )z,y,x(P ooo um ponto não contido no plano 0dczbyax:)( =+++π , cujo

vetor normal é )c,b,a(n =�

. Pela figura abaixo, a distância do ponto P ao plano (π),

denotada por )(PD π , coincide com a distância entre os pontos P e Q, que é igual ao

módulo do vetor QP , onde Q é a projeção ortogonal do ponto P sobre o plano (π) e,

portanto, )(Q π∈ . Seja Q(x,y,z), então: )zz,yy,xx(QP ooo −−−= . Os vetores neQP�

são paralelos, logo o ângulo entre eles é 0o. Então:

o0cos|n||QP|nQP ⋅⋅=⋅��

⇒ 222)(Pooo cbaD)c,b,a()zz,yy,xx( ++⋅=⋅−−− π ⇒

222ooo

)(Pcba

)czbyax(czbyaxD

++

++−++=π (*). Da equação do plano vem que

dczbyax −=++ . Substituindo a expressão (*) e tomando seu módulo (distância não

pode ser negativa) tem-se: 222ooo

)(Pcba

|dczbyax|D

++

+++=π

1.4 Distância entre duas retas

Sejam duas retas 11 vtAX:)r(�

+= e 22 vtAX:)s(�

+= . Se as retas forem

coincidentes, concorrentes ou perpendiculares a distância entre elas será adotada

com sendo igual a zero.

a) Reta Paralelas: A distância entre duas retas paralelas é constante e pode ser

determinada calculando-se a distância de um ponto qualquer de uma delas a outra,

como foi feito no item (1.2) para calcular a distância de um ponto a uma reta.

|v||vAA|

d2

212rs �

�

×=

n�

P

Q )(π

)(PDQP π=

12AA rsd

2v�

A2

A1 (r)

(s)

73

b) Reta Reversas ou Ortogonais: A distância entre as retas (r) e (s) reversas ou

ortogonais, coincide com a altura do paralelepípedo determinado pelos vetores

diretores 21 vev��

e pelo vetor 21AA . Na figura abaixo temos:

Da geometria espacial, o volume do paralelepípedo é igual a hAbVP ⋅= e do cálculo

vetorial: |]v,v,AA[|V 2121P��

= . A área da base Ab é a área de um paralelogramo

determinado pelos vetores 21 vev��

e a altura rsdh = . Então:

|]v,v,AA[|hAb 2121��

=⋅ ⇒ |]v,v,AA[|d|vv| 2121rs21����

=⋅× ⇒ |vv|

|]v,v,AA[|d

21

2121rs ��

��

×=

1.5 Distância entre dois planos

Sejam )( 1π e )( 1π dois planos de equações 0dzcybxa:)( 11111 =+++π e

0dzcybxa:)( 22222 =+++π . Se os planos forem coincidentes, concorrentes ou

perpendiculares a distância entre eles será adotada com sendo igual a zero. No caso

em que eles forem paralelos, a distância entre eles é a distância de qualquer ponto de

um deles ao outro. Assim: 222ooo

cba

|dczbyax|D

21++

+++=ππ

1.6 Distância entre uma reta e um plano

Sejam vtAX:)r(�

+= uma reta e 0dczbyax:)( =+++π um plano. Caso a

reta esteja contida no plano, ou for concorrente ou perpendicular ao plano a distância

entre eles e adotada como sendo zero. No caso em que a reta é paralela ao plano, a

distância entre eles é a distância de qualquer ponto da reta (r) ao plano (π ). Assim:

222ooo

rcba

|dczbyax|d

++

+++=π

21D ππ

P

)( 1π

)( 2π

πrd

A

(r)

(π)

hdrs =

1v�

1v�

2v�

1A

2A

(r)

(s)

⊡

74

Exemplo (1): Determine a distância do ponto P, interseção das retas

22z

31y

3x:)r(−

−=

+=− e

11z

1y31x

:)s(−

−=−=

−, ao plano 03z2yx2:)( =−+−π .

Solução: Fazendo P=(r)∩(s), temos: de

+−=⇒−

−=−

−=⇒+

=−

(**)8x2z22z

3x

(*)10x3y31y

3x:)r( .

Substituindo (*) e (**) em (s), tem-se: 4x110x331x

=⇒−−=−

. Portanto,

P(4,2,0). Usando a fórmula da distância de um ponto a um plano tem-se:

222ooo

)(Pcba

|dczbyax|D

++

+++=π , onde o vetor normal )2,1,2()c,b,a(n −==

�

e o ponto

)0,2,4()z,y,x(P ooo = . Então: 9

|328|

2)1(2

|302242|D

222)(P

−−=

+−+

−⋅+−⋅=π ⇒ .c.u1D )(P =π

(u.c. = unidades de comprimento).

Exemplo (2): Determine a distância entre as retas 12z

21y

3x

:)r(−

+=

−= e

21z

4y

61x

:)s(+

=−

=−

−.

Solução: Note que as retas (r) e (s) são paralelas e de

−=

−

)1,2,3(v)2,1,0(A

:)r(1

1� e de

−−=

−

)2,4,6(v)1,0,1(A

:)s(2

2� . Vamos calcular a distância do ponto A1 à reta (s) usando a

expressão |v|

|vAA|d

2

221rs �

�

×= . Então: k10j8i2

246111kji

vAA 221

���

���

�

++−=

−−

−−=× ⇒

422|AA| 12 = e 142|v| 2 =�

. Voltando a expressão: .c.u3d142

422d rsrs =⇒=

2 ÂNGULOS

2.1 Ângulo entre dois vetores:

O ângulo entre dois vetores CDveABu ==��

, não nulos, é o ângulo

DPB)v,u(ang�

��

==θ entre os segmentos orientados que representam os vetores, com

a restrição oo 1800 ≤θ≤ , quando os vetores são transportados para um mesmo

ponto de origem P.

75

Através da expressão do produto escalar entre dois vetores, podemos

determinar o ângulo θ entre eles em função do valor do cosθ. Assim, sempre

usaremos a expressão abaixo para determinar o ângulo entre dois vetores. Portanto,

θ⋅⋅=⋅ cos|v||u|vu����

⇒ |v||u|

vucos ��

��

⋅

⋅=θ . Como oo 1800 ≤θ≤ , neste intervalo temos

que )180cos(cos oθ−−=θ ⇒ |)180cos(||cos|cos o

θ−=θ=θ .

2.2 Ângulo entre duas retas

Sejam duas retas 11 vtAX:)r(�

+= e 22 vtAX:)s(�

+= . O ângulo α entre as duas

retas é sempre o menor ângulo formado por elas, donde podemos concluir que

oo 900 ≤α≤ .

Se as retas forem coincidentes ou paralelas o ângulo entre elas é adotado com

sendo 0o. Se as retas forem perpendiculares ou ortogonais, por definição, o ângulo

entre elas já está definido e é igual a 90o.

No caso em que as retas são concorrentes ou reversas, podemos determinar o

ângulo entre elas através do ângulo entre seus vetores diretores. Assim, seja α o

ângulo entre as retas (r) e (s) e seja θ o ângulo entre seus vetores diretores. Como

vimos anteriormente temos que |v||v|

vvcos

21

21��

��

⋅

⋅=θ . Então:

a) se θ=α⇒≤θ≤oo 900 b) se θ−=α⇒≤θ<

ooo 18018090

Portanto, em ambos os casos a) e b) temos que: |)180cos(||cos|cos oθ−=θ=α ⇒

|v||v|vv

cos21

21��

��

⋅

⋅=α .

θ α

2v�

(s)

(r) 1v�

α=θ

2v�

(s)

(r)

1v�

u�

A B v�

D

C

D

B

v�

u�

CA ≡

θ

76

2.3 Ângulo entre dois planos

Considere dois planos de equações gerais 0dzcybxa:)( 11111 =+++π e

0dzcybxa:)( 22222 =+++π com seus respectivos vetores normais 21 nen��

. O

ângulo α entre os dois planos é sempre o menor ângulo formado por eles e

oo 900 ≤α≤ .

Se os planos forem coincidentes ou paralelos o ângulo entre eles é adotado com

sendo 0o. Se os planos forem perpendiculares, por definição, o ângulo entre eles já

está definido e é igual a 90o.

No caso em que os planos são concorrentes, podemos determinar o ângulo

entre eles através do ângulo entre seus vetores normais. Assim, seja α o ângulo entre

os planos (π1) e (π2) e seja θ o ângulo entre seus vetores normais. Então:

a) se θ=α⇒≤θ≤oo 900 b) se θ−=α⇒≤θ<

ooo 18018090

Portanto, em ambos os casos a) e b) temos que: |)180cos(||cos|cos oθ−=θ=α ⇒

|n||n|nn

cos21

21��

��

⋅

⋅=α .

2.4 Ângulo entre uma reta e um plano

Considere uma reta de equação vetorial vtAX:)r(�

+= , cujo vetor diretor é v�

e

um plano de equação geral 0dczbyax:)( =+++π , cujo vetor normal é n�

. O ângulo

α entre a reta e o plano e o menor ângulo formado por eles e oo 900 ≤α≤ .

Caso a reta seja paralela ao plano, em particular, se ela estiver contida no plano

o ângulo entre eles é adotado como sendo 0o. Se a reta for perpendicular ao plano,

por definição, o ângulo entre eles já está definido e é igual a 90o.

No caso em que a reta é concorrente ao plano, podemos determinar o ângulo

entre eles através do ângulo entre o vetor diretor da reta e o vetor normal ao plano.

Assim, seja α o ângulo entre a reta (r) e o plano (π) e seja θ o ângulo entre o vetor

diretor da reta e o vetor normal ao plano. Então:

θ=α

)( 2π

)( 1π

α

1n�

2n�

2n�

1n�

α

)( 2π

)( 1π

α

1n�

2n�

2n�

1n�

θ

77

a) se θ−=α⇒≤θ≤ooo 90900 b) se ooo 9018090 −θ=α⇒≤θ<

Nestes casos devemos determinar o ângulo θ entre o vetor diretor da reta e o

vetor normal ao plano entre através do valor de |n||v|

nvcos ��

��

⋅

⋅=θ e, posteriormente,

determinar o ângulo α , uma vez que: a) se θ−=α⇒≤θ≤ooo 90900 e b) se

ooo 9018090 −θ=α⇒≤θ< .

Exemplo (3): Determine o ângulo entre os planos 03zyx2:)( 1 =+−+π e

04yx:)( 2 =−+π .

Solução: Estamos interessados em determinar o ângulo α entre os planos, em

função do ângulo θ entre os vetores normais que são )0,1,1(ne)1,1,2(n 21 =−=��

. Note

que: como LI}n,n{ 21��

e 0nn 21 ≠⋅��

, logo os planos são concorrentes. Então:

21

21

nn

nn|cos|cos

��

��

⋅

⋅=θ=α ⇒

26

3

011)1(12

0)1(1112cos

222222 ⋅

=

++⋅−++

⋅−+⋅+⋅=α ⇒

23

cos =α . Portanto, o30=α .

Exemplo (4): Sejam a reta 32z

21y

x:)r(−

=−

−= e o plano 03z5yx:)( =++−π .

Qual é o ângulo entre eles?

Solução: Queremos determinar o ângulo α entre a reta e o plano em função do

ângulo θ entre o vetor diretor da reta )3,2,1(v −=�

e o vetor normal ao plano

)5,1,1(n −=�

. Note que a reta é concorrente ao plano. Vamos determinar θ usando a

expressão |n||v|

nvcos ��

��

⋅

⋅=θ . Então:

222222 5)1(13)2(1

53)1()2(11cos

+−+⋅+−+

⋅+−⋅−+⋅=α ⇒

θ

α )(π

v�

n�

)r(

θ α

)(π

v�

n�

)r(

78

742

cos =θ . Como 0cos >θ ⇒ oo 900 ≤θ≤ ⇒ θ−=α

o90 . Portanto,

−=α

742

arccos90o .

Exercícios Propostos

1) Sejam o plano 015z5y5x3:)( =−++π . Ao "passar" pelo ℜ3 ele deixa traços e

intercepta os eixos coordenados em pontos P, Q e R, cujo esboço do plano (π) é o

triângulo PQR. Determine o ângulo do vértice R do triângulo PQR.

Resp:

=α=θ

34173

arccos

2) Determine o ângulo entre as retas, cujos vetores diretores são )h,g,f(v 1111 =�

e

)h2,g,f(v 1222 =�

, sabendo-se que 21 vvAB��

+= , com A(2,3,-1) e B(4,-3,5), 1iv1 =⋅�

�

e

ji8kv2���

�

−−=× . Resp:

=θ

277

arccos

3) Sejam A(2,3,0), B(2,1,4) e C(4,1,4) vértices de um triângulo ABC. Sejam M e N

pontos médios dos lados AC e BC, respectivamente. Determine o ângulo entre as

retas suportes do lado AC e do segmento MN. Resp:

=θ

630

arccos

4) Determine a distância entre as retas 1ze2y21x

:)r( −=−=−

e

2ze22y

41x

:)s( =−

=−

. Resp: .c.u3d =

5) Determine a distância da reta 2z5y3x

:)r( −=−= ao plano

030z5y2x:)( =−−+π . Resp: .c.u30d =