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CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA

CAPÍTULO 8

CÔNICAS

Muitas descobertas importantes em matemática e em outras ciências estão relacionadas às

seções cônicas. Desde os tempos dos gregos clássicos como Arquimedes, Apolônio entre outros, já havia

estudos sobre essas curvas. No texto "Elementos de Euclides" (270 a.C.) tratavam de elipses, hipérboles e

parábolas ou, para usarmos o nome comum, seções cônicas. Estas são curvas obtidas quando um plano

intercepta um cone de revolução. Existe uma teoria completa das cônicas num tratado de Apolônio (200

a.C.). Ele mostra, por exemplo, que uma elipse é o lugar descrito por um ponto que se movimenta de tal

modo que a soma de suas distâncias a dois pontos dados, os focos, permanecem constantes e também que

uma hipérbole é o lugar descrito por um ponto que se movimenta de tal modo que a diferença de suas

distâncias a dois pontos dados, os focos, permanecem constantes. Desde o tempo de Apolônio que as seções

cônicas têm contribuído para descobertas importantes na Física. Em 1604, Galileu descobriu que,

lançando-se um projétil horizontalmente do topo de uma torre, supondo que única força atuante seja a da

gravidade, sua trajetória é uma parábola Kepler (que era mais astrônomo e físico do que matemático)

descobriu por volta de 1610 que os planetas se movem em elipses com o sol num dos focos. Por volta de

1686, Newton provou em seu livro "Principia Mathematica" que isso pode ser deduzido da lei de gravitação

e das leis da Mecânica. A pedra angular da Mecânica Quântica é o teorema espectral para transformações

lineares auto-adjuntas, descendentes das seções cônicas. Nos resultados obtidos por Newton sobre o

movimento planetário, aparece a equação das cônicas em coordenadas polares. A hipérbole é utilizada no

estudo descritivo da expansão dos gases em motores a explosão. A parábola é a curva que descreve a

trajetória de um projétil, desprezando a resistência do ar. Aparece ainda na construção de espelhos

parabólicos, utilizados em faróis de automóveis e em antenas parabólicas.

Como vimos no pequeno histórico acima, as seções cônicas são curvas planas

obtidas da interseção de um plano com um cone de revolução. São elas: a parábola, a elipse e a hipérbole. A circunferência não é considerada uma cônica, apesar de poder ser obtida também por uma seção de um cone. Devido a sua inquestionável importância na matemática, em particular na geometria, e em outras ciências, estaremos também introduzindo o estudo da circunferência.

Circunferência

Hipérbole Parábola

Elipse

80

1 EXPRESSÃO GERAL DE UMA CÔNICA

As cônicas e a circunferência são figuras planas. Portanto, suas representações

serão realizadas no plano cartesiano (ℜ2).

A expressão geral de uma cônica, exceto para a circunferência, é uma equação

do 2º grau da forma: 0FEyDxCyBxyAx 22 =+++++ .

O termo "xy" da equação geral das cônicas é chamado de "termo retângulo".

Quando a equação geral apresentar o termo retângulo, dizemos que a equação é

"degenerada". Quando a equação geral não apresentar o termo retângulo,

simplesmente chamares de equação geral. Geometricamente, a diferença entre a

equação geral e a equação geral degenerada está na posição da cônica em relação

aos eixos coordenados. Quando a equação geral é degenerada o eixo de simetria da

cônica é inclinado em relação aos eixos coordenados e quando a equação geral não é

degenerada o eixo de simetria da cônica é paralelo a um dos eixos coordenados.

Neste capítulo estaremos estudando somente as cônicas com equação geral não

degenerada. Posteriormente, quando introduzirmos o estudo de translação e rotação

de eixos, estudaremos as cônicas com equação geral degenerada.

Como a equação geral das cônicas apresenta uma expressão semelhante para

todas, ou seja, 0FEyDxCyBxyAx 22 =+++++ , uma forma de identificar a cônica

através da sua equação geral é utilizar a seguinte classificação:

⇒>−

⇒=−

⇒<−

hipérbole0AC4Bseparábola0AC4Bseelipse0AC4Bse

2

2

2

Por exemplo:

a) Se 04y4x4y5xy6x5 22 =−+−++ ⇒ 064AC4B2 <−=− ⇒ elipse.

b) Se 03y4x2yxy2x 22 =+−++− ⇒ 0AC4B2 =− ⇒ parábola.

c) Se 024x224y3xy18x3 22 =−+++ ⇒ 0288AC4B2 >=− ⇒ hipérbole.

Elipse de equação geral não degenerada

x

y eixo de simetria

Elipse de equação geral degenerada

x

y eixo de simetria

81

CIRCUNFERÊNCIA

Definição: é o lugar geométrico dos pontos do plano eqüidistantes de um ponto fixo

C (centro) do mesmo plano.

OBS: O segmento que une qualquer ponto da circunferência ao centro é chamado de

raio, denotado pela letra r. O segmento que une dois pontos quaisquer da

circunferência passando pelo centro e chamado de diâmetro, denotado pela letra d.

Vale a relação r2d = .

Seja a circunferência de centro C(m,n) e raio r. Seja P(x,y) um ponto qualquer

da circunferência.

Temos que r|CP| = , que é a equação vetorial da circunferência. Como

)ny,mx(CP −−= , então: r)ny()mx(|CP| 22 =−+−= , logo 222 r)ny()mx( =−+− .

Esta expressão é chamada de equação reduzida da circunferência.

O desenvolvimento da equação reduzida resulta na equação geral, ou seja,

uma equação do tipo 0edycxbyax 22 =++++ , e são assim que geralmente elas

aparecem na literatura.

Outra equação importante são as equações paramétricas, as quais são

definidas como segue. Na figura anterior, vamos determinar o senθ e o cosθ no

triângulo CPS.

θ+=⇒−

=θ senrnyrny

sen e θ+=⇒−

=θ cosrmxrmx

cos

As equações paramétricas da circunferência são:

θ+=

θ+=

senrnycosrmx

, π≤θ≤ 20 .

Exemplo (1): Determine as coordenadas do centro e o raio da circunferência

03y6x4yx 22 =−+−+ .

P(x,y) y

x m Ox

n C

r θ

S

Oy

O

r

82

Solução: Note a circunferência foi dada na forma da sua equação geral. Para

determinarmos o centro e o raio e necessário passar para forma reduzida,

completando os quadrados. Então:

0399y6y44x4x22)3y(

2

)2x(

2 =−−+++−+−

+−

�������������� ⇒ 16)3y()2x( 22 =++− . Agora na forma da

equação reduzida podemos ver que o centro é igual C(2,-3) e o raio é igual a r = 4.

Exemplo (2): Determine a equação reduzida da circunferência, sabendo-se que um

de seus diâmetros é o segmento de extremos A(1,3) e B(5,-3).

Solução: O diâmetro é o segmento que une dois pontos quaisquer da circunferência

passando pelo centro e vale r2d = . Logo o centro C(m,n) da circunferência é ponto

médio do diâmetro. Então: )0,3(233

,251

)n,m(C =

−+= . A distância entre A e B é o

valor do diâmetro. Assim, 132)33()15(|AB|d 22 =−−+−== , logo 132d

r == .

Portanto, a equação reduzida é 13y)3x( 22 =+− .

ELIPSE

Definição: Dados dois pontos fixos F1 e F2 do plano, com c2FF 21 = , chamamos de

elipse o lugar geométrico dos pontos deste plano, cuja soma das distâncias aos

pontos F1 e F2 é uma constante 2a>2c.

• C(m,n) é o centro;

• A1, A2, B1 e B2 são vértices;

• F1 e F2 são focos;

• a2AA 21 = é o eixo maior;

• b2BB 21 = é o eixo menor;

• c2FF 21 = é a distância focal;

• Relação notável para elipse: Do triângulo CB1F2 vem que 222 cba += .

n

m

P

B2

B1

A1 A2

Oy

Ox

F1 F2 C

a

c

b

O

83

• Excentricidade: ac

e = . A excentricidade mede a abertura das cônicas, ou seja,

quanto mais "arredondada" ou "achatada" é a figura. Como, para elipse, c < a,

então 1e0 << . Assim, quanto mais próximo de 1 estiver a excentricidade, mais

achatada (alongada) é a elipse e, quanto mais próximo de zero, mais arredondada

ela será.

Seja P(x,y) um ponto qualquer da elipse. A distância do ponto P ao foco F1 é

dada por |PF| 1 e a distância do ponto P ao foco F2 é dada por |PF| 2 . Portanto, pela

definição da elipse escrevemos a expressão a2|PF||PF| 21 ====++++ chamada de equação

vetorial da elipse.

O desenvolvendo da equação vetorial resulta em outra expressão chamada de

equação reduzida da elipse. Vamos fazer este desenvolvimento.

Considere uma elipse de centro )n,m(C , focos )n,cm(F1 − e )n,cm(F2 + e eixo

maior horizontal, ou seja, o eixo maior da elipse 21AA é paralelo ao eixo coordenado

Ox. Seja )y,x(P um ponto qualquer da elipse como mostra a figura abaixo.

Temos que:

( ) ( )( ) ( )

−−−=⇒−+−=

−+−=⇒−−−=

ny,c)mx(PFny),cm(xPF

ny,c)mx(PFny),cm(xPF

22

11 ⇒[ ]

[ ]

−+−−=

−++−=

222

221

)ny(c)mx(|PF|

)ny(c)mx(|PF|

Como a2|PF||PF| 21 =+ ⇒ |PF|a2|PF| 21 −= . Elevando ao quadrado ambos os lados

desta última igualdade vem que: ( )222

1 |PF|a2|PF| −= ⇒

222

221 |PF||PF|a4a4|PF| +⋅−= ⇒ |PF|a4a4|PF||PF| 2

222

21 ⋅−=− ⇒

[ ] [ ] |PF|a4a4)ny(c)mx()ny(c)mx( 22

222

222

⋅−=

−+−−−

−++− ⇒

[ ] [ ] |PF|a4a4)ny(c)mx()ny(c)mx( 222222

⋅−=−−−−−−++− ⇒

|PF|a4a4c)mx(c2)mx(c)mx(c2)mx( 222222 ⋅−=−−+−−+−+− ⇒

n

m

P

B2

B1

A1 A2

Oy

Ox

F1 F2 C c

O

c

m-c m+c x

y

84

|PF|a4a4)mx(c4 22 ⋅−=− ⇒ |PF|aa)mx(c 2

2 ⋅−=−− . Elevando ambos os membros

ao quadrado vem que:

[ ] ( )2222 |PF|aa)mx(c ⋅−=−− ⇒ [ ] 2

2222 |PF|)a(a)mx(c ⋅−=−− ⇒

[ ] [ ]2

22222 )ny(c)mx()a(a)mx(c

−+−−⋅−=−− ⇒

( )22224222 )ny(c)mx(c2)mx(aa)mx(ca2)mx(c −++−−−⋅=+−−− ⇒

22222224222 )ny(aca)mx(ca2)mx(aa)mx(ca2)mx(c −++−−−=+−−− ⇒

0caa)ny(a)mx(a)mx(c 224222222 =−+−−−−− ⇒

0)ca(a)ny(a)mx()ac( 22222222 =−⋅+−−−⋅− (*)

Pela relação notável da elipse 222 cba += ⇒ 222 bca =− . Substituindo na equação

(*) vem que:

0ba)ny(a)mx(b 222222 =⋅+−⋅−−⋅− ⇒ 222222 ba)ny(a)mx(b −=−⋅−−⋅−

Dividindo todos os termos da equação por ( 22 ba ⋅− ) vem que:

22

222

22

22

22

2

ba

ba)ny(

ba

a)mx(

ba

b

−

−=−⋅

−−−⋅

−

− ⇒ 1)ny(

b

1)mx(

a

1 22

22

=−⋅+−⋅

e finalmente obtemos a equação reduzida da elipse: 1b

)ny(

a

)mx(2

2

2

2====

−−−−++++

−−−−

Esta expressão acima demonstrada é a equação reduzida de uma elipse de eixo

maior horizontal (eixo maior 21AA paralelo ao eixo Ox), mas existem as elipses de

eixo maior vertical (eixo maior 21AA paralelo ao eixo Oy) e suas equações são

diferentes. O desenvolvimento para obtermos a equação reduzida de uma elipse de

eixo maior vertical é análogo ao que fizemos para a elipse de eixo maior horizontal e,

portanto, não apresentaremos este desenvolvimento. De uma forma geral temos:

Equação Reduzida:

a) Elipse de eixo maior horizontal: 1b

)ny(

a

)mx(2

2

2

2====

−−−−++++

−−−−

b) Elipse de eixo maior vertical: 1a

)ny(

b

)mx(2

2

2

2====

−−−−++++

−−−−

OBS: Em uma elipse, se a = b, temos que 222 cba += ⇒ 222 caa += ⇒ 0c = .

Fazendo a = b na equação reduzida vem que: 1a

)ny(

a

)mx(2

2

2

2=

−+

− ⇒

85

222 a)ny()mx( =−+− , que é a equação de uma circunferência de raio R = a, ou

seja, a circunferência pode ser considerada uma elipse de excentricidade nula, pois,

0a0

ac

e === .

Desenvolvendo-se a equação reduzida da elipse obtém-se outra expressão

chamada de equação geral, a qual tem a forma 0yxyx 22 ====φφφφ++++θθθθ++++γγγγ++++ββββ++++αααα . Vamos

fazer este desenvolvimento para o caso de uma elipse de eixo maior horizontal, cuja

equação reduzida é 1b

)ny(

a

)mx(2

2

2

2=

−+

−. Multiplicando toda a equação por 22ba

vem que: 222

222

2

222ba

b

)ny(ba

a

)mx(ba=

−+

− ⇒ 222222 ba)ny(a)mx(b =−⋅+−⋅ ⇒

22222222 ba)nny2y(a)mmx2x(b =+−⋅++−⋅ ⇒

0banayna2yambxmb2xb 222222222222 =−+−++− ⇒

0)bambna(yna2xmb2yaxb 222222222222 =−++−−+ . Fazendo:

� �0)bambna(yna2xmb2yaxb 222222222222 =−++−−+

φθγβα���� ����� ������������

, obtém-se a equação geral

da elipse 0yxyx 22 ====φφφφ++++θθθθ++++γγγγ++++ββββ++++αααα .

Considere como na figura abaixo, uma elipse E de eixo maior horizontal, com

centro em )n,m(C , com eixo maior a2AA 21 = e eixo menor b2BB 21 = , a

circunferência Ci com centro em )n,m(C e raio igual a "b", inscrita na elipse, a

circunferência Cc com centro em )n,m(C e raio igual a "a", circunscrita na elipse e

)y,x(P EE um ponto qualquer da elipse E.

Por P, traça-se uma paralela ao eixo Oy, que determina em Cc o ponto )y,x(R cc

e uma paralela ao eixo Ox, que determina em Ci o ponto )y,x(M ii . De acordo com as

equações paramétricas de uma circunferência tem-se:

θ⋅+=

θ⋅+=

senbnycosbmx

:)I(i

i e

θ⋅+=

θ⋅+=

senanycosamx

:)II(c

c , π≤θ≤ 20 .

Por outro lado, os pontos C, M e R são colineares. De fato:

01asenncosam1bsenncosbm1nm

=

θ+θ+

θ+θ+

86

Equivalentemente, o segmento PM é paralelo ao eixo Ox. Dessa forma, cE xx = e

iE yy = , ou seja:

θ⋅+=

θ⋅+=

senbnycosamx

:)I(E

E , π≤θ≤ 20 . Portanto, as equações

paramétricas da elipse são:

θ⋅+=

θ⋅+=

senbnycosamx

E

E , π≤θ≤ 20 .

Analogamente podem ser determinadas as equações paramétricas de uma

elipse de eixo maior vertical. De uma forma geral temos:

Equações Paramétricas:

a) Elipse de eixo maior horizontal:

θθθθ++++====

θθθθ++++====

bsennycosamx

, ππππ≤≤≤≤θθθθ≤≤≤≤ 20

b) Elipse de eixo maior vertical:

θθθθ++++====

θθθθ++++====

asennycosbmx

, ππππ≤≤≤≤θθθθ≤≤≤≤ 20

OBS: É muito comum determinar as equações paramétricas fazendo a seguinte

identificação: da equação reduzida temos 1bny

amx 22

=

−+

−. Usando a relação

fundamental da trigonometria 1sencos22 =θ+θ e, confrontando as duas expressões

teremos: amx

cos−

=θ ⇒ θ+= cosamx e bny

sen−

=θ ⇒ θ+= senbny .

Exemplo (3): Determine o centro, vértices, focos e a excentricidade da elipse

x2+4y2-4x-32y+32=0.

Solução: Como a elipse foi dada na sua forma normal, devemos completar os

quadrados e passá-la para a forma reduzida. Então:

Ox

Oy R

m xE=xc

yE=yi

B2

B1

A1

A2

C

P

Q

M

N n θ

Cc

Ci

87

032)1616y8y(444x4x22)4y(

2

)2x(

2 =+−+−+−+−

−−

�� ��� ��������� ⇒ 032644)4y(4)2x( 22 =+−−−+− ⇒

⇒ 3636

36)4y(4

36)2x( 22

=−

+−

⇒ 19)4y(

36)2x( 22

=−

+−

. Como 22 ba > , então

=⇒=

=⇒=

3b9b

6a36a2

2, e a elipse é de eixo maior horizontal. Da relação notável vem que

33ccba 222 =⇒+= . Da equação reduzida temos que o centro é C(2,4).

)4,4()n,am(A1 −=− , )4,8()n,am(A2 =+ , )7,2()bn,m(B1 =+ , )1,2()bn,m(B2 =− ,

)4,332()n,cm(F1 −=− e )4,332()n,cm(F2 +=+ .

Exemplo (4): Determine a equação reduzida da elipse de excentricidade 54, cujos

focos são pontos da reta 04x =+ e sendo B1(-1,3) um dos extremos do eixo menor.

Solução: Como os focos estão sobre a reta 4x −= , trata-se de uma elipse de eixo

maior vertical. Geometricamente podemos determinar o centro )3,4(C − , 3b = e

)3,7(B2 − . Como 54

ac

e == ⇒ a54

c = . Da relação ⇒+= 222 cba ⇒

+=

222 a

54

3a

⇒=− 9a2516

a 22 5a = e 4c = .

Portanto, a equação reduzida será 125

)3y(9)4x( 2

=−

++

.

332 − 332 + 8

B2

B1

A2 A1

y

x

F1 F2 C

2 -4

4

x

y

7

8

-2

-7 -1 -1

3

x −=

-4

88

HIPÉRBOLE

Definição: Dados dois pontos fixos F1 e F2 de um plano, tais que c2FF 21 = ,

chamamos de hipérbole o lugar geométrico dos pontos do plano, cujo módulo da

diferença das distâncias aos pontos F1 e F2 é uma constante c2a2 < .

Seus elementos são:

• C(m,n) é o centro;

• A1, A2 são vértices;

• F1 e F2 são focos;

• a2AA 21 = é o eixo real (ou eixo transverso);

• b2BB 21 = é o eixo imaginário (ou eixo conjugado);

• c2FF 21 = é a distância focal;

• Relação notável para elipse: Do triângulo CA2Q ⇒ 222 bac +=

• Excentricidade: ac

e = . Como, para hipérbole, ca < , então 1e > . Assim, quanto

mais próximo de 1 estiver à excentricidade, mais fechados são os ramos da

hipérbole e, mais abertos eles serão à medida que a excentricidade se afasta de 1.

• As retas (r1) e (r2) são chamadas de assíntotas. Elas são muito úteis no esboço da

hipérbole, norteando a abertura dos ramos, uma vez que, os ramos não

interceptam e nem tangenciam as assíntotas. Suas equações são determinadas

por: )mx(ab

)ny( −±=− para hipérbole de eixo real horizontal (eixo real 21AA

paralelo ao eixo Ox) e )mx(ba

)ny( −±=− para hipérbole de eixo real vertical (eixo

real 21AA paralelo ao eixo Oy).

y

x

P

n

m

(r1)

F1 F2 A1 A2

B2

B1

C a

c b

(r2)

Q

89

Seja P(x,y) um ponto qualquer da hipérbole. Pela definição temos que:

a2|PF||PF| 21 ====−−−− que é a equação vetorial da hipérbole.

A exemplo do que foi realizado com a elipse, o desenvolvimento da equação

vetorial resulta na equação reduzida. Então:

Equação reduzida:

a) Hipérbole de eixo real horizontal: 1b

)ny(

a

)mx(2

2

2

2====

−−−−

−−−−++++

−−−−

b) Hipérbole de eixo real vertical: 1a

)ny(

b

)mx(2

2

2

2====

−−−−++++

−−−−

−−−−

O desenvolvimento da equação reduzida resulta na equação geral, ou seja,

uma equação da forma: 0yxyx 22 ====φφφφ++++θθθθ++++γγγγ++++ββββ++++αααα .

Considere uma hipérbole de eixo real horizontal como na figura abaixo, com

centro em )n,m(C , com eixo real a2AA 21 = , imaginário b2BB 21 = e distância focal

c2FF 21 = . Traça-se uma circunferência C1 com centro em )n,m(C e raio igual a "c", a

circunferência C2 com centro em )n,m(C e raio igual a "a" e uma das assíntotas (r1).

A1

A2

C

m

n

hipérbole de eixo real vertical

A1 A2

m

n C

hipérbole de eixo real horizontal

Q

F1

P

F2 A1 A2

C

a

c

y=b+n

n

m x=m+c

θ

(r1) C1 C2

B1

B2

b

90

Seja P(x,y) um ponto qualquer da hipérbole. A interseção da assíntota (r1) com

a circunferência C1 é o ponto Q. Pelos pontos Q e A2, traça-se uma paralela ao Oy.

Pela construção temos que ba = e as coordenadas do ponto P(x,y) são cmx += e

bny += . Do triângulo retângulo CA2Q vem que:

ca

cos =θ ⇒ θ

=cos1

ac

⇒ θ=− secamx ⇒ θ+= secamx

ab

tg =θ ⇒ θ= atgb ⇒ θ=− btgny ⇒ θ+= btgny .

Analogamente, podemos demonstrar as equações paramétricas para uma

hipérbole de eixo real vertical. Assim:

Equações Paramétricas

a) Hipérbole de eixo real horizontal:

θθθθ++++====

θθθθ++++====

btgnysecamx

, ππππ≤≤≤≤θθθθ≤≤≤≤ 20

b) Hipérbole de eixo real vertical:

θθθθ++++====

θθθθ++++====

secanybtgmx

, ππππ≤≤≤≤θθθθ≤≤≤≤ 20

OBS: É muito comum determinar as equações paramétricas fazendo a seguinte

identificação: da equação reduzida temos 1bny

amx 22

=

−−

−. Usando a relação da

trigonometria 1tgsec 22 =θ−θ . Confrontando as duas expressões teremos:

amx

sec−

=θ ⇒ θ+= secamx e bny

tg−

=θ ⇒ θ+= btgny .

Exemplo (5): Determine os focos e os vértices da hipérbole de equação normal

0199y64x18y16x9 22 =−−−− .

Solução: Escrevendo a equação na forma reduzida teremos:

0199)44y4y(16)11x2x(9 22 =−−++−−+− ⇒

0199649)2y(16)1x(9 222 =−+−+−− ⇒ 144)2y(16)1x(9 222 =+−− ⇒

144144

144)2y(16

144)1x(9 22

=+

−−

⇒ 19)2y(

16)1x( 22

=−

++

− ou 1

9)2y(

16)1x( 22

=+

−−

.

A equação reduzida mostra que a hipérbole é de eixo real horizontal e,

4a16a2 =⇒= , 3b9b2 =⇒= . Da relação notável: 222 bac += ⇒ 5c = . O centro é

C(m,n) = (1,-2).

vértices:

−=−

−=+

)2,3()n,am(A)2,5()n,am(A

2

1 focos:

−=−

−=+

)2,4()n,cm(F)2,6()n,cm(F

2

1

91

Exemplo (6): O eixo real de uma hipérbole é vertical e suas assíntotas são as retas

03yx2:)r( 1 =−+ e 03yx2:)r( 2 =+− . Escreva sua equação reduzida sabendo-se

que ela passa pelo ponto P(0,7) e faça um esboço.

Solução: A interseção das assíntotas é o centro C(m,n). Resolvendo o sistema linear

=+−

=−+

03yx203yx2, determinamos o centro C(0,3). Fazendo uma identificação com as

equações das assíntotas )mx(ba

)ny( −±=− e

+=

+−=

3x2y3x2y, determinamos os

coeficientes angulares 2ba

±= . Dai, podemos escrever que a=2b. Como a hipérbole

passa pelo ponto P(4,6)=(x,y), então ele satisfaz a equação reduzida

1a

)ny(

b

)mx(2

2

2

2=

−+

−

−.Logo: 1

)b2(

)37(

b

)00(2

2

2

2=

−+

−

− ⇒ 1

b4

16

b

022

=+−

⇒ 2b = e

4a = . Portanto, a equação reduzida é 116

)3y(4

x 22=

−+

−.

4 PARÁBOLA

Definição: É o lugar geométrico dos pontos do plano, eqüidistantes de uma reta (d)

fixa e de um ponto fixo (F), não pertencente à reta (d).

Os elementos da parábola são:

• Vértice: V(m,n)

• F: foco

• (d): reta diretriz

A1

A2

C(0,3)

-1

3

7

(r2) (r1)

-1 1

Q

O

2p

m

(d)

P

F V n

2p

R

92

• A reta que passa por F e V é o eixo de simetria da parábola

• O segmento pRF = , onde p é chamado de parâmetro da parábola

• Os segmentos 2p

VFRV ==

Seja P(x,y) um ponto qualquer da parábola. Pela definição temos que:

|FP||QP| ==== que é a equação vetorial.

O desenvolvimento da equação vetorial resulta na equação reduzida. Considere

uma parábola com eixo de simetria horizontal (paralelo ao eixo Ox) como na figura

abaixo. Então sua equação vetorial é |FP||QP| = . Como )y,x(P ,

− y,mQ

2p e

+ n,mF

2p , vem que

+−= 0,mxQP

2p e

−−−= ny,mxFP

2p . Assim:

|FP||QP| = ⇒ 22

2p2

2p )ny()mx()mx( −+

−−=

+− ⇒

22

2p2

2p )ny()mx()mx( −+

−−=

+− ⇒

⇒ 24p2

4p2 )ny(p)mx()mx(p)mx()mx(

22−++⋅−−−=+⋅−+− ⇒

)mx(p2)ny( 2 −⋅=− . Que é a equação reduzida de uma parábola com eixo de

simetria horizontal.

Analogamente demonstra-se a equação reduzida de uma parábola com eixo de

simetria vertical (paralelo ao eixo Oy). Então:

Equação reduzida:

a) Parábola com eixo de simetria horizontal:

±±±±====

−−−−====−−−−

2p

mx:diretriztaRe

)mx(p2)ny( 2

b) Parábola com eixo de simetria vertical:

±±±±====

−−−−====−−−−

2p

ny:diretriztaRe

)ny(p2)mx( 2

Q

O

2p

m

(d)

P

F V n

2p

R

2pm +

2pm − x

y

93

O desenvolvimento da equação reduzida resulta na equação geral. Para uma

parábola com eixo de simetria horizontal temos:

)mx(p2)ny( 2 −⋅=− ⇒ pm2px2nny2y 22 −=+− ⇒ xmp2

ny

pn

yp21 2

2 =++− .

Fazendo: p21

a = , pn

b = e mp2

nc

2+= , temos a expressão cbyayx 2 ++++++++==== , que é a

equação geral de uma parábola de eixo de simetria horizontal. Note que neste caso

a variável x esta em função da variável y, ou seja, )y(fx ==== . Analogamente, obtemos

a equação geral de uma parábola com eixo de simetria vertical que é dada por

cbxaxy 2 ++++++++==== , e neste caso a variável y está em função da variável x, ou seja,

)x(fy ==== .

Considere uma parábola com eixo de simetria horizontal com vértice )n,m(V ,

reta diretriz (d). Seja P(x,y) um ponto qualquer da parábola. Pelo vértice V, traça-se

uma reta paralela ao eixo Oy obtendo o ponto S.

Do triângulo retângulo RSV vem que: 2

pny

tg−

=θ ⇒ θ=− tg2p

ny ⇒ θ+= tg2p

ny .

Como θ=− 22

2 tg4p

)ny( e )mx(p2)ny( 2 −=− , igualando as duas expressões vem que:

θ=− 22tg

4p

)mx(p2 ⇒ θ+= 2tg8p

mx . Essas são as equações paramétricas para uma

parábola com eixo de simetria horizontal. Analogamente, pode-se demonstrar as

equações paramétricas de uma parábola com eixo de simetria vertical. Então:

Equações Paramétricas:

a) Parábola com eixo de simetria horizontal: ππππ≤≤≤≤θθθθ≤≤≤≤

θθθθ++++====

θθθθ++++====20,

tg2p

ny

tg8p

mx 2

b) Parábola com eixo de simetria vertical: ππππ≤≤≤≤θθθθ≤≤≤≤

θθθθ++++====

θθθθ++++====20,

gcot8p

ny

gcot2p

mx

2

2p

S y

x

Q

R

m

(d)

P(x,y)

F V n θ

94

Exemplo (7): Determine o vértice, foco e a reta diretriz da parábola 8x6xy 2 +−= .

Faça um esboço da parábola.

Solução: A equação dada está na forma normal e é de uma parábola de eixo vertical

com concavidade para cima. Vamos passar para forma reduzida, então:

899x6xy2)3x(

2 +−+−=

−

������� ⇒ )1y(1)3x( 2 +⋅=− . Identificando com a equação

)ny(p2)mx( 2 −=− , temos que o vértice V(m,n) = (3,-1) e 2p = 1 ⇒ 41

2p

e21

p == .

Logo, o foco é ),3()n,m(F 43

2p −=+ e a reta diretriz (d): 4

5y −= .

Exemplo (8): O foco de uma parábola é o ponto F(4,3) e sua reta diretriz é (d):

x=2. Determine sua equação normal e as equações paramétricas.

Solução: Se a diretriz é a reta x = 2, então a parábola é de eixo horizontal. O vértice

V(m,n) é ponto médio do segmento QF que une a reta diretriz ao foco, logo V(3,3) e

o parâmetro p = 2. Como o foco está à direita da diretriz, sua concavidade é voltada

para a direita. Veja a figura abaixo. Desenvolvendo a equação reduzida obtemos a

equação normal:

)3x(4)3y()mx(p2)ny( 22 −=−⇒−=− ⇒ 12x49y6y2 −=+− ⇒ 421

y23

y41

x 2 +−=

As equações paramétricas são:

θ+=

θ+=

tg2p

ny

tg8p

mx 2

⇒

θ+=

θ+=

tg3y

tg41

3x 2

8

4 2

1− 4

3−

45−

3

F

V (d)

2 3

Q

p

4

(d)

F V 3

95

Exercícios Propostos

1) Determine a equação geral da circunferência que tem centro sobre o eixo Ox e na

qual uma de suas cordas tem por extremo os pontos A(6,4) e B(3,-5).

Resp: 016x6yx 22 =−−+

2) Escrever a equação geral da circunferência que passa pelos pontos A(0,1), B(1,2) e

C(1,8). Resp: 09y10x6yx 22 =+−++

3) Um satélite em órbita elíptica e excentricidade 31 , viaja ao redor da Terra, situada

num dos focos da trajetória do satélite. Sabendo-se que a distância mais próxima do

satélite a Terra é de 300 Km, calcular a maior distância. Resp: 600 Km

4) Dada à elipse de equações paramétricas

θ+=

θ+=

sen32ycos53x

, determine a interseção

dela com a reta 514x3

y:)r(−

= . Resp: A(8,2) e B(3,-1)

5) Uma hipérbole eqüilátera é aquela em que ab = . Determine a equação reduzida e

as equações paramétricas de uma hipérbole eqüilátera de focos F1(-4,0) e F2(4,0).

Resp:

θ=

θ==+

tg22ysec22xe8yx 22

6) Mostre que a equação Eyx4 22 =− , sendo ℜ∈E e 0E ≠ , representa uma família

de hipérboles de excentricidade constante igual a 5 .

7) Determine o parâmetro, o foco, o vértice e a reta diretriz da parábola de equação

x12y2 = . Resp: 3x:)d(e)0,3(F),0,0(V,6p −==

8) Determine o parâmetro, o vértice, o foco e a reta diretriz da parábola

3x2xy 2 ++−= . Resp: 417

y:)d(e415,1F),4,1(V,

21

p =

=