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CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA

CAPÍTULO 9

COORDENADAS POLARES

O plano, também chamado de ℜ2, onde { }ℜ∈=ℜℜ=ℜ y,x/)y,x(x2 , ou seja, o

produto cartesiano de ℜ por ℜ, é o conjunto de todos os pares ordenados

ℜ∈∀ yex),y,x( . Ele é representado pelo Sistema de Coordenadas Cartesianas

Ortogonal, o qual é constituído por dois eixos perpendiculares entre si, cuja

interseção é o par ordenado O(0,0) , chamado de origem do sistema. Esses eixos são

denotados por Ox e Oy e chamados de eixos coordenados, orientados como mostra a

figura abaixo.

Todo ponto P(x,y) do plano é representado como na figura acima, onde x e y

são as suas coordenadas, respectivamente em relação aos eixos Ox e Oy. Existe uma

correspondência biunívoca entre pares ordenados de números reais e pontos do

sistema de coordenadas cartesianas ortogonais.

No entanto, existe outro sistema de coordenadas capaz de representar o plano.

É o Sistema de Coordenadas Polares, o qual é constituído por apenas um semi-

eixo e, chamado de semi-eixo polar e um ponto de origem p, chamado pólo.

Todo ponto P do plano é representado por um par ordenado (ρρρρ,θθθθ), onde ρρρρ é à

distância do ponto P ao pólo p e θθθθ é o ângulo formado entre o segmento Pp e o semi-

eixo polar. O ângulo θ é medido em radianos a partir do eixo polar e no sentido anti-

horário. Assim, 0≥ρ e π≤θ≤ 20 .

y

x

P(x,y)

(0,0)

(–)

(–)

Oy (+)

(+)

Ox

I II

IV III

θ e p

P(ρ,θ)

ρ

97

Exemplo (1): Representar no Sistema de Coordenadas Polares os seguintes pontos

do plano: a) ),3(P3π b) ),5(Q

32π c) ),3(R

23π

Podemos relacionar o Sistema de Coordenadas Cartesianas Ortogonais com o

Sistema de Coordenadas Polares. Coincidindo a origem O(0,0) do sistema cartesiano

com o pólo p do sistema polar e o semi-eixo polar com o semi-eixo positivo do eixo

Ox.

No triângulo retângulo temos: 222 yx +=ρ e

θρ=⇒ρ

=θ

θρ=⇒ρ

=θ

senyy

sen

cosxx

cos. Pode-se

determinar o ângulo θ pelas relações anteriores ou por

=θ

xy

arctg , observando os

sinais das coordenadas x e y para definir a qual quadrante pertence o ângulo θ.

Portanto, as relações 222 yx +=ρ e

θρ=

θρ=

senycosx

, são consideradas as equações de

transformação de coordenadas entre o sistema cartesiano e o sistema polar.

Exemplo (2): Transformar de coordenadas cartesianas para coordenadas polares os

seguintes pontos do plano: a)

25,

235

P b) )1,1(Q − .

Solução: Usando as equações de transformação temos:

),()y,x(P θρ≡

θ

ρ y

x

Oy

pO ≡ e

Ox

R

23π

3

5

32π 3

Q

3π

e p

P

p

98

a) 525

235

yx22

222 =ρ⇒

+

=+=ρ e

=θ⇒=θ⇒ρ

=θ

=θ⇒=θ⇒ρ

=θ

21

sen525

seny

sen

23

cos5235

cosx

cos ⇒

6π

=θ . Portanto, ),5(P 6π .

b) 2)1(1 222 =ρ⇒−+=ρ e

−=θ⇒−

=θ⇒ρ

=θ

=θ⇒=θ⇒ρ

=θ

22

sen2

1sen

ysen

22

cos2

1cos

xcos

⇒ 47π

=θ .

Portanto, ),2(Q 47π .

Exemplo (3): Transformar de coordenadas polares para coordenadas cartesianas os

seguintes pontos do plano: a) ( )34,2P π b) ),7(Q 65π .

Solução:

a) Usando as equações de transformação temos:

−=⇒=⇒θρ=

−=⇒=⇒θρ=

π

π

3ysen2yseny

1xcos2xcosx

3434

. Portanto, )3,1(P −− .

b) Analogamente para o ponto Q:

=⇒=

−=⇒=

π

π

27

ysen7y

237

xcos7x

65

65

. Portanto,

−

27,

237

Q .

1 Equação Polar das Cônicas

1.1 Circunferência

Seja uma circunferência, representada no sistema polar, de centro ),(C αδ e raio

r. Seja ),(P θρ um ponto qualquer da circunferência.

Aplicando a Lei dos co-senos no triângulo pCP, temos:

)cos(2r 222 α−θρδ−δ+ρ= , que é a equação polar da circunferência.

p e

ρ

θ-α

α θ

),(P θρ

C δ

r

99

Alguns casos interessantes são:

a) circunferência que contém o pólo. Neste caso r=δ .

)cos(r2rr 222 α−θρ−+ρ= ⇒ )cos(r2( α−θ−ρ⋅ρ ⇒

α−θ=ρ⇒α−θ−ρ

=ρ

)cos(r2)cos(r20

Das relações anteriores vem que: 0=ρ é chamada de equação do pólo e

)cos(r2 α−θ=ρ é a equação da circunferência que contém o pólo.

b) circunferência com centro sobre o pólo. Neste caso 0=δ .

)cos(020r 222 α−θ⋅⋅ρ−+ρ= ⇒ 22r ρ= ⇒ ρ=r . Portanto, a expressão ρ=r é

a equação da circunferência com centro sobre o pólo.

1.2 Elipse

Considere uma elipse de eixo maior horizontal a2AA 21 = , eixo menor

b2BB 21 = , distância focal c2FF 21 = e centro C(m,n) como na figura abaixo.

Seja ),(P θρ um ponto qualquer da elipse, na qual fazemos coincidir o pólo p

com o foco F1 e o eixo polar com o eixo maior da elipse.

p e

ρ θ-α

α θ

),(P θρ

C δ=r

p≡C e

θ

),(P θρ

ρ=r

A2

),(P θρ

B2

e A1

B1

F1≡p F2

ρ δ

θ 2c

100

Aplicando a Lei dos cossenos no triângulo F1F2P vem que:

θρ−+ρ=δ cosc4c4 222 . Da definição da elipse temos que a2|PF||PF| 21 =+ ⇒

a2=ρ+δ ⇒ ρ−=δ a2 . Substituindo na expressão da lei dos cossenos vem que:

θρ−+ρ=ρ− cosc4c4)a2( 222 ⇒ θρ−+ρ=ρ+ρ− cosc4c4a4a4 2222 . Da relação

notável da elipse 222 cba += ⇒ 222 bca =− . Então: )cosca(ca2b

22 θ−ρ=−�����

⇒

)cosca(b2 θ−ρ= ⇒ θ−

=ρcosca

b2. Portanto,

θθθθ−−−−====ρρρρ

coscab2

, que é a equação polar

da elipse.

Da equação polar θ−

=ρcosca

b2, dividindo todos os termos do segundo membro

da expressão pela constante a, vem que θ−

=ρcos

ac

aa

ab2

. Fazendo ab

p2

= , chamado de

parâmetro da elipse e ac

e = é a excentricidade. Assim, equação polar da elipse é

mais comumente dada por θ−

=ρcose1p

.

1.3 Hipérbole

Considere uma hipérbole de eixo real horizontal a2AA 21 = , eixo menor

b2BB 21 = , distância focal c2FF 21 = e centro C(m,n) como na figura abaixo. Façamos

coincidir o pólo p com o foco F2 e o eixo polar com o eixo real da hipérbole. Seja

),(P θρ um ponto qualquer da hipérbole.

Aplicando a Lei dos cossenos no triângulo F1F2P vem que:

)180cos(c4c4 o222 θ−ρ−+ρ=δ . Da definição da hipérbole temos que

a2|PF||PF| 21 =− ⇒ a2=ρ−δ ⇒ ρ+=δ a2 . Substituindo na expressão da lei dos

δ

180o-θ θ

ρ

e

),(P θρ

F1 F2≡p C

2c

101

cossenos: θρ++ρ=ρ+ cosc4c4)a2( 222 ⇒ θρ++ρ=ρ+ρ+ cosc4c4a4a4 2222 ⇒

)cosca(ca 22 θ⋅+−⋅ρ=− . Da relação notável da hipérbole 222 bac += ⇒

222 bca −=− ⇒ )cosca(ca2b

22 θ⋅+−⋅ρ=−

−

�����. Portanto:

θθθθ−−−−====ρρρρ

coscab2

, que é a

equação polar da hipérbole.

Da equação polar θ−

=ρcosca

b2, dividindo todos os termos do segundo membro

da expressão pela constante a, vem que θ−

=ρcos

ac

aa

ab2

. Fazendo ab

p2

= , chamado de

parâmetro da hipérbole e ac

e = é a excentricidade. Assim, equação polar da hipérbole

é mais comumente dada por θθθθ−−−−

====ρρρρcose1p

.

1.4 Parábola

Considere uma parábola de eixo de simetria horizontal com vértice V, foco F e

pRF = . Seja P(ρ,θ) um ponto qualquer da parábola. Façamos coincidir o pólo p com o

foco F e o eixo polar com o eixo de simetria da parábola.

No triângulo PQF vem que: ρ

ρ−=θ−=θ−p

cos)180cos( o ⇒ θ−

=ρcos1p

, onde

p é o parâmetro da parábola. Portanto, a equação polar da parábola é θθθθ−−−−

====ρρρρcos1p

.

OBS: Note que, a elipse, a hipérbole e a parábola têm as equações polares

semelhantes a menos da excentricidade ac

e = que para a elipse ( 1e0 << ) e para a

hipérbole ( 1e > ). Outro fato importante é que, apesar de adotarmos os mesmos

símbolos a2AA 21 = , b2BB 21 = e c2FF 21 = para a elipse e para a hipérbole, eles

tem significados geométricos diferentes na definição de cada cônica, mesmo porque a

p-ρ 180o-θ

(d)

Q

θ ρ

e

),(P θρ

V

p

ρ

F≡

R

102

relação notável da elipse é 222 cba += e da hipérbole é 222 bac += . Assim, o

parâmetro ab

p2

= , adotado na equação polar da elipse e da hipérbole é diferente e

não tem nada em comum com o parâmetro p da definição da parábola.

Exemplo (4): Determine a equação geral da circunferência de equação polar

θ−=ρ sen6 .

Solução: Das definições de coordenadas polares vem que 22 yx +=ρ e

θ⋅ρ= seny ⇒ ρ

=θy

sen . Substituindo na equação θ−=ρ sen6 vem que:

22

22

yx

y6yx

+

⋅−=+ ⇒ y6yx2

22 −=

+ ⇒ 0y6yx 22 =++ .

Exemplo (5): Dada a elipse de eixo maior horizontal e equação polar θ−

=ρcos35

32,

escrever suas equações paramétricas e a equação reduzida.

Solução: Das definições de coordenadas polares vem que 22 yx +=ρ e

θ⋅ρ= cosx ⇒ ρ

=θx

cos . Substituindo na equação θ−

=ρcos35

32 vem que:

ρ⋅−

=ρx

35

32 ⇒

ρ

−ρ=ρ

x3532

⇒ ρ⋅=−ρ⋅ρ 32)x35( ⇒ 32x35 =−ρ ⇒ 32x35 +=ρ ⇒

22 )32x3()5( +=ρ ⇒ 1024x192x925 22 ++=ρ ⇒ 1024x192x9)yx(25 222 ++=+

⇒ 1024x192x9y25x25 222 =−−+ ⇒ 1024y25x192x16 22 =+− . Escrevendo na

forma reduzida vem que: 1024y25)3636x12x(16 22 =+−+−⋅ ⇒

1600y25)6x(16 22 =+−⋅ ⇒ 164y

100)6x( 22

=+−

(equação reduzida). Como a elipse é

de eixo maior horizontal então:

=⇒=

=⇒=

8b64b

10a100a2

2 e centro )n,m()0,6(C = . Assim,

suas equações paramétricas são:

θ+=

θ+=

senanycosbmx

⇒

θ⋅=

θ⋅+=

sen8ycos106x

.

103

Exercícios Propostos

1) Determine a equação geral da circunferência de centro ),2(C 2π , sabendo-se que

ela passa pelo ponto ),6(P 611π . Resp: 048y4yx 22 =−−+

2) Qual é a equação polar da elipse de equação geral 024y4x24yx4 22 =++−+ ?

Resp: θ−

=ρ

cos1

1

23

3) Seja a hipérbole de equação 0144y16x9 22 =−− . Determine sua equação polar e

as coordenadas polares dos focos. Resp: θ−

=ρcos549

, ),5(Fe)0,5(F 21 π

4) Determine a equação polar e as coordenadas polares do vértice da parábola

6x4xy 221 −+−= .

Resp: θ−

=ρcos141

e ),52(V θ , onde

=θ

55arcsen , do 1º quadrante.

5) Seja a hipérbole de eixo vertical e centro na origem, cuja equação polar é

θ−=ρ

cos7524

. Determine sua equação reduzida e as equações paramétricas.

Resp:

θ=

θ==+

− sec5ytg62xe1

25y

24x 22

6) Determine a equação polar da elipse

θ+=

θ+=

sen162ycos203x

. Resp: θ−

=ρcos35

64

7) O foco de uma parábola é o ponto (4,3) e sua diretriz é a reta x = 2. Determine

sua equação polar. Resp: θ−

=ρcos12