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CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA

CAPÍTULO 10

TRANSLAÇÃO E ROTAÇÃO DE EIXOS

1 TRANSLAÇÃO DE EIXOS NO ℜℜℜℜ2

Sejam Ox e Oy os eixos primitivos, do Sistema Cartesiano de Eixos Coordenados

com origem O(0,0). Sejam O1x1 e O1y1 os novos eixos coordenados com origem

O1(h,k), depois que o sistema primitivo foi transladado. Seja P(x,y) um ponto

qualquer do sistema primitivo. Portanto, o mesmo ponto P terá coordenadas P(x1,y1),

em relação ao novo sistema. Pela figura abaixo temos que:

+=

+=

kyyhxx

1

1 , chamadas de

equações de translação no ℜℜℜℜ2.

Observe que, fazer uma translação no ℜ2, é transladar o sistema antigo

(primitivo), paralelamente aos eixos Ox e Oy, para uma nova origem O1(h,k).

Exemplo (1): Determine as coordenadas do ponto P(5,-3), em relação ao novo

sistema, depois de realizado uma translação para a nova origem O1(-3,2).

Solução: Usando as equações de translação, teremos:

−=

−=

kyyhxx

1

1 ⇒

−=−−=

=−−=

523y8)3(5x

1

1 ⇒ )5,8()y,x(P 11 −=

O

Ox1

Oy1 Oy

Ox

O1(-3,2)

-5 P(5,-3)≡(8,-5) -3

5

k=2

h=-3

8

P(x,y)≡(x1,y1)

Ox1

Oy1

k

Oy

y y1

x1

Ox x h

O1

O

105

Exemplo (2): Determine a equação reduzida da elipse 07y6x8y3x2 22=−+−+ ,

depois que a origem foi transladada para o ponto O1(2,-1).

Solução: Fazendo:

+=

+=

kyyhxx

1

1 ⇒

−=

+=

1yy2xx

1

1 na equação da elipse, teremos:

07)1y(6)2x(8)1y(3)2x(2 112

12

1 =−−++−−++ ⇒ 018y3x2 21

21 =−+ ⇒

1818

18y3

18x2 2

121

=+ ⇒ 16y

9x 2

121

=+ . Note que, a equação reduzida da elipse, antes da

translação era 16)1y(

9)2x( 22

=+

+−

, cujo centro é o ponto C(2,-1), ou seja, foi feita

uma translação para o centro da elipse.

OBS: Para eliminarmos os termos de primeiro grau (x e y) da equação de uma

cônica, devemos fazer uma translação de eixos para o centro dela, ou seja, fazer a

nova origem O1(h,k) coincidir com o centro C(m,n) da cônica. Veja o exemplo (3).

Exemplo (3): Determine a translação de eixos que transforme a equação da

hipérbole 0135y24x6y4x3 22=−++− , na sua forma mais simples (sem os termos

de primeiro grau).

Solução (1): Pela observação acima, devemos fazer uma translação para o centro da

hipérbole. Passando para forma reduzida, teremos: 102)3y(4)1x(3 22=−−+ ⇒

1)3y(

34)1x(

251

22=

−

−+

+. Logo, o centro é C(-1,3) que será a nova origem O1(h,k).

Fazendo

+=

−=

3yy1xx

1

1 na equação geral, segue que:

0135)3y(24)1x(6)3y(4)1x(3 112

12

1 =−++−++−− ⇒ 102y4x3 21

21 =− .

Solução (2): Caso não soubéssemos da observação acima, outra forma de descobrir

qual a translação para eliminar os termos de primeiro grau, seria aplicar as equações

de translação na equação dada e impor as condições para que os coeficientes dos

termos de primeiro grau sejam nulos.

Ox x

Oy Oy1

Ox1

-1 5 2

-1 C

106

Sabemos que:

+=

+=

kyyhxx

1

1 . Substituindo na equação 0135y24x6y4x3 22=−++− ,

teremos: 0135)ky(24)hx(6)ky(4)hx(3 112

12

1 =−+++++−+ . Desenvolvendo

0)135k24h6k4h3(y)24k8(x)6h6(y4x3 2211

21

21 =−++−+−−++− . Impondo as

condições para que os coeficientes dos termos de primeiro grau sejam nulos:

=⇒=−

−=⇒=+

3k024k81h06h6. Portanto, a translação dever ser feita para a nova origem

)3,1()k,h(O1 −= .

2 ROTAÇÃO DE EIXOS NO ℜℜℜℜ2

Sejam Ox e Oy os eixos primitivos, do Sistema Cartesiano de Eixos Coordenados

com origem O(0,0). Sejam Ox1 e Oy1 os novos eixos coordenados depois que o

sistema primitivo foi rotacionado de um ângulo θ em torno da origem O(0,0). Logo, θ

é o ângulo formado entre os eixos Ox e Ox1. Seja P(x,y) um ponto qualquer do

sistema primitivo. Portanto, o mesmo ponto P terá coordenadas P(x1,y1), em relação

ao novo sistema.

Pela figura acima temos:

+=

−=

QPNQyNMOMx .

No triângulo OMR: ⇒=θ

1xOM

cos θ= cosxOM 1 e NQMR = e ⇒=θ

1xNQ

sen

θ= senxNQ 1 . No triângulo PQR: θ=⇒=θ= senyNMyNM

seneNMQR 11

e

θ=⇒=θ cosyQPyQP

cos 11

. Portanto,

+=

−=

QPNQyNMOMx ⇒

θθθθ++++θθθθ====

θθθθ−−−−θθθθ====

cosysenxysenycosxx

11

11 ,

chamadas de equações de rotação no ℜℜℜℜ2. Podemos escrever as equações de

S

y

θ

θ

O

y1

Oy1

Ox1 R Q

P(x,y)≡(x1,y1)

x M

Ox

x1

N

Oy

107

rotação na forma matricial:

⋅

θθ

θ−θ=

1

1

yx

cossensencos

yx

, onde

θθ

θ−θ=θ cossen

sencos]M[ é

chamada de matriz de rotação de um ângulo θθθθ.

Exemplo (5): Determine as coordenadas do ponto P(-2,6), após os eixos

coordenados sofrerem uma rotação de 60o.

Solução: Usando as equações de rotação:

+=

−=−

o1

o1

o1

o1

60cosy60senx6

60seny60cosx2 ⇒

+=

−=−

121

123

123

121

yx6

yx2 ⇒

=+

−=−

12yx34y3x

11

11 . Resolvendo o sistema linear, teremos:

+=

+−=

33y331x . Portanto, o ponto P terá novas coordenadas )33,331(P ++− .

Exemplo (6): Determine o ângulo, segundo o qual, os eixos devem ser rotacionados

para eliminar o termo xy na equação 16y13xy36x7 22=+− .

Solução: Substituindo as equações de rotação na equação dada, teremos:

16)cosysenx(13)cosysenx)(senycosx(36)senycosx(7 2111111

211 =θ+θ+θ+θθ−θ−θ−θ

+θ−θ−θθ+θ+θθ−θ 11222

122 yx)]sen(cos36cossen12[x)sen13cossen36cos7(

+ 16y)cos13cossen36sen7( 21

22=θ+θθ+θ (*)

Fazendo o coeficiente do termo x1y1 igual a zero, teremos:

32tg02cos362sen60)sen(cos36)sencos2(6 22=θ⇒=θ−θ⇒=θ−θ−θθ ⇒

oo 30602 =θ⇒=θ . Substituindo θ na equação (*), a equação se reduz a 1y4x 2

1

21

=+ .

Esta é a equação reduzida de uma elipse de centro na origem e semi-eixos a=2 e

b=1.

3 EXPRESSÃO GERAL DE UMA CÔNICA

No capítulo 8 estudamos as cônicas, cujos eixos eram de posição horizontal

(paralelo ao eixo coordenado Ox) ou vertical (paralelo ao eixo coordenado Oy) e,

conseqüentemente, suas equações eram características dessas situações. No entanto,

a expressão geral de uma cônica, cujos eixos podem estar em qualquer posição em

relação aos eixos coordenados é dada por:

0FEyDxCyBxyAx 22====++++++++++++++++++++

108

Como a equação geral das cônicas apresenta uma expressão semelhante para

todas, uma forma de identificar a cônica através da sua equação geral é utilizar a

seguinte classificação:

⇒>−

⇒=−

⇒<−

hipérbole0AC4Bseparábola0AC4Bseelipse0AC4Bse

2

2

2

Pode-se demonstrar (veja exemplo 6) que o ângulo θ, de que é necessário girar

os eixos para eliminar o termo xy (termo retângulo), é calculado por intermédio da

fórmula: CA

B2tg

−−−−====θθθθ

Exemplo (7): Por meio de uma translação e rotação dos eixos coordenados, reduzir

a equação da cônica 04y4x4y5xy6x5 22=−+−++ a sua forma mais simples. Fazer

um esboço da cônica, representando os três sistemas de eixos.

Solução: Para reduzir a equação da cônica a sua forma mais simples, devemos

eliminar os termos de primeiro grau x e y, por meio de uma translação para o centro

da cônica e, para eliminar o termo retângulo xy, deve-se fazer uma rotação de um

ângulo θ, usando a relação CA

B2tg

−=θ . Como 5A = , 6B = e 5C = ⇒

064AC4B2 <−=− , ou seja, a cônica em questão é uma elipse. Vamos primeiro fazer

a translação, substituindo

+=

+=

kyyhxx

1

1 na equação dada:

04)ky(4)hx(4)ky(5)ky)(hx(6)hx(5 112

1112

1 =−+++−++++++

(*) 0)4k4h4k5hk6h5(y)4k10h6(x)4k6h10(y5yx6x5 2211

2111

21 =−+−++++++−++++

Para eliminar os termos de primeiro grau x1 e y1, façamos seus coeficientes iguais a

zero:

=++

=−+

04k10h604k6h10. Resolvendo o sistema teremos:

−=

=

1k1h

. Então, a nova

origem será )1,1(O1 − que é o centro da cônica. Substituindo h=1 e k=-1 em (*),

vamos obter: 08y5yx6x5 2111

21 =−++ (**), a equação transladada. De

?06

556

CAB

2tg ==−

=−

=θ Isso mostra que oo 45902 =θ⇒=θ , ou seja, este é o

ângulo de rotação para eliminar o termo x1y1. Fazendo o45=θ nas equações de

109

rotação

θ+θ=

θ−θ=

cosysenxysenycosxx

221

221 ⇒

+=

−=

2

yxy

2

yxx

221

221

. Substituindo em (**), vamos obter

04yx4 22

22 =−+ , que é a forma mais simples da equação da elipse de equação

reduzida 14y

x222

2 =+ , que, em relação ao sistema transladado e rotacionado, tem

centro na origem e eixo maior vertical.

Exercícios Propostos

1) Qual a translação que devemos fazer para reduzir a equação da hipérbole

069y30x16y5x4 22=−++− na sua forma mais simples? Escrever a equação

reduzida da hipérbole depois da translação.

Resp: translação para C(-2,3); 18y

10x 2

121

=−

2) Determinar a equação da cônica 03y4x2yxy2x 22=+−++− , após uma rotação

de 45o nos eixos coordenados. Quem é a cônica?

Resp: 03x2y23y2 1121 =+−− ; Parábola

3) Reduzir a expressão da cônica 0y516x58yxy4x4 22=−−+− a sua forma mais

simples. Quem é a cônica?

Resp: 2x81

y = ; parábola (use: 55

sene552

cos −=θ=θ )

4) Reduzir a expressão da cônica 05

381y2x4yxy3x2 22

=

+−−++− a sua

forma mais simples. Quem é a cônica?

Resp: 12y

10x 2

222

=+ ; elipse (sugestão: faça primeiro a translação e depois a rotação)

Oy2 Oy1

Oy

Ox

Ox1

Ox2 1

-1