Geometria analitica exercicios resolvidos

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Geometria Analítica • Geometria Analítica I • Geometria Analítica II • Geometria Analítica III • Geometria Analítica IV • Geometria Analítica V • Exercícios de Geometria Analítica • Elipse • Hipérbole • Parábola • Hipérbole Eqüilátera • A excentricidade das cônicas • Sistema de coordenadas polares • Um problema de circunferência INVISTA EM VOCÊ, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. E-mail: [email protected] www.colegiocascavelense.com.br . CASCAVEL – CEARÁ - BRASIL Geometria Analítica I 1 - Introdução A Geometria Analítica é uma parte da Matemática, que através de processos particulares, estabelece as relações existentes entre a Álgebra e a Geometria. Desse modo, uma reta, uma circunferência ou uma figura podem ter suas propriedades estudadas através de métodos algébricos. Os estudos iniciais da Geometria Analítica se deram no século XVII , e devem- se ao filósofo e matemático francês René Descartes (1596 - 1650), inventor das coordenadas cartesianas (assim chamadas em sua homenagem), que permitiram a representação numérica de propriedades geométricas. No seu livro Discurso sobre o Método, escrito em 1637, aparece a célebre frase em latim "Cogito ergo sum" , ou seja: "Penso, logo existo".

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  • 1. Geometria Analtica Geometria Analtica I Geometria Analtica II Geometria Analtica III Geometria Analtica IV Geometria Analtica V Exerccios de Geometria Analtica Elipse Hiprbole Parbola Hiprbole Eqiltera A excentricidade das cnicas Sistema de coordenadas polares Um problema de circunfernciaINVISTA EM VOC, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO.E-mail: [email protected] www.colegiocascavelense.com.br.CASCAVEL CEAR - BRASILGeometria Analtica I1 - IntroduoA Geometria Analtica uma parte da Matemtica, que atravs de processosparticulares, estabelece as relaes existentes entre a lgebra e a Geometria.Desse modo, uma reta, uma circunferncia ou uma figura podem ter suaspropriedades estudadas atravs de mtodos algbricos.Os estudos iniciais da Geometria Analtica se deram no sculo XVII , e devem-se ao filsofo e matemtico francs Ren Descartes (1596 - 1650), inventordas coordenadas cartesianas (assim chamadas em sua homenagem), quepermitiram a representao numrica de propriedades geomtricas. No seulivro Discurso sobre o Mtodo, escrito em 1637, aparece a clebre frase emlatim "Cogito ergo sum" , ou seja: "Penso, logo existo".

2. 1.1 - Coordenadas cartesianas na retaSeja a reta r na Fig. abaixo e sobre ela tomemos um ponto O chamado origem.Adotemos uma unidade de medida e suponhamos que os comprimentosmedidos a partir de O, sejam positivos direita e negativos esquerda.O comprimento do segmento OA igual a 1 u.c (u.c = unidade decomprimento). fcil concluir que existe uma correspondncia um a um(correspondncia biunvoca) entre o conjunto dos pontos da reta e o conjunto Rdos nmeros reais. Os nmeros so chamados abscissas dos pontos. Assim, aabscissa do ponto A -1, a abscissa da origem O 0, a abscissa do ponto A 1, etc.A reta r chamada eixo das abscissas.1.2 - Coordenadas cartesianas no planoCom o modo simples de se representar nmeros numa reta, visto acima,podemos estender a idia para o plano, basta que para isto consideremos duasretas perpendiculares que se interceptem num ponto O, que ser a origem dosistema. Veja a Fig. a seguir:Dizemos que a a abscissa do ponto P e b a ordenada do ponto P.O eixo OX denominado eixo das abscissas e o eixo OY denominado eixodas ordenadas.O ponto O(0,0) a origem do sistema de coordenadas cartesianas.Os sinais algbricos de a e b definem regies do plano denominadasQUADRANTES.No 1 quadrante, a e b so positivos, no 2 quadrante, a negativo e b positivo,no 3 quadrante, ambos so negativos e finalmente no 4 quadrante a positivo e b negativo.Observe que todos os pontos do eixo OX tem ordenada nula e todos os pontosdo eixo OY tem abscissa nula. Assim, dizemos que a equao do eixo OX y =0 e a equao do eixo OY x = 0.Os pontos do plano onde a = b, definem uma reta denominada bissetriz do 1quadrante, cuja equao evidentemente y = x.J os pontos do plano onde a = -b (ou b = - a), ou seja, de coordenadassimtricas, definem uma reta denominada bissetriz do 2 quadrante, cujaequao evidentemente y = - x.Os eixos OX e OY so denominados eixos coordenados. 3. Exerccios Resolvidos1) Se o ponto P(2m - 8, m) pertence ao eixo dos y , ento :a) m um nmero primob) m primo e parc) m um quadrado perfeitod) m = 0e) m < 4Soluo:Se um ponto pertence ao eixo vertical (eixo y) , ento a sua abscissa nula.Logo, no caso teremos 2m - 8 = 0, de onde tiramos m = 4 e portanto aalternativa correta a letra C, pois 4 um quadrado perfeito (4 = 22).2) Se o ponto P(r - 12 , 4r - 6) pertena primeira bissetriz , ento podemosafirmar que :a) r um nmero naturalb) r = - 3c) r raiz da equao x3 - x2 + x + 14 = 0d) r um nmero inteiro menor do que - 3.e) no existe r nestas condies.Soluo:Os pontos da primeira bissetriz (reta y = x), possuem abscissa e ordenadaiguais entre si. Logo, deveremos ter: r - 12 = 4r - 6 de onde conclui-se r = - 2.Das alternativas apresentadas, conclumos que a correta a letra C, uma vezque -2 raiz da equao dada. Basta substituir x por -2 ou seja:(-2)3 - (-2)2 + (-2) + 14 = 0 o que confirma que -2 raiz da equao.3) Se o ponto P(k, -2) satisfaz relao x + 2y - 10 = 0 , ento o valor de k 2 :a) 200b) 196c) 144d) 36e) 0Soluo:Fazendo x = k e y = -2 na relao dada vem: k + 2(-2) - 10 = 0.Logo, k = 14 e portanto k2 = 142 = 196.Logo, a alternativa correta a letra B.2 - Frmula da distncia entre dois pontos do plano cartesianoDados dois pontos do plano A(Xa, Ya) e B(Xb, Yb) , deduz-se facilmenteusando o teorema de Pitgoras a seguinte frmula da distancia entre os pontosA e B: 4. Esta frmula tambm pode ser escrita como: d2AB = (Xb - Xa)2 + (Yb - Ya)2 ,obtida da anterior, elevando-se ao quadrado (quadrando-se) ambos osmembros.Exerccio ResolvidoO ponto A pertence ao semi-eixo positivo das ordenadas ; dados os pontos B(2, 3) e C(-4 ,1) , sabe-se que do ponto A se v o segmento BC sob um nguloreto . Nestas condies podemos afirmar que o ponto A :a) (3,0)b) (0, -1)c) (0,4)d) (0,5)e) (0, 3)Soluo:Como do ponto A se v BC sob um ngulo reto, podemos concluir que otringulo ABC retngulo em A. Logo, vale o teorema de Pitgoras: oquadrado da hipotenusa igual soma dos quadrados dos catetos. Portanto,podemos escrever: AB2 + AC2 = BC2 (BC a hipotenusa porque o lado quese ope ao ngulo reto A). Da frmula de distncia, podemos ento escrever,considerando que as coordenadas do ponto A so (0, y) , j que dado noproblema que o ponto A est no eixo dos y e portanto sua abscissa nula:AB2 = ( 0 - 2 )2 + ( y - 3 )2 = 4 + ( y - 3 )2AC2 = ( 0 - (-4))2 + ( y - 1)2 = 16 + ( y - 1 )2BC2 = ( 2 - (-4))2 + ( 3 - 1 )2 = 40Substituindo, vem: 4 + ( y - 3 )2 + 16 + ( y - 1 )2 = 40 ( y - 3 )2 + ( y - 1)2 = 40 -4 - 16 = 20Desenvolvendo, fica: y2 - 6y + 9 + y2 - 2y + 1 = 20 2y2 - 8y - 10 = 0 y2 - 4y -5 = 0 , que resolvida, encontramos y = 5 ou y = -1. A raiz y = -1 no serve, poisfoi dito no problema que o ponto A est no semi-eixo positivo . Portanto, oponto procurado A(0,5), o que nos leva a concluir que a alternativa correta a letra D.3 - Ponto mdio de um segmentoDado o segmento de reta AB , o ponto mdio de AB o ponto M AB tal queAM = BM .Nestas condies, dados os pontos A(x1 , y1) e B(x2 , y2) , as coordenadas doponto mdioM(xm , ym) sero dadas por: 5. Exerccio ResolvidoSendo W o comprimento da mediana relativa ao lado BC do tringulo ABConde A(0,0), B(4,6) e C(2,4) , ento W 2 igual a:a) 25b) 32c) 34d) 44e) 16Soluo:Chama-se mediana de um tringulo relativa a um lado, ao segmento de retaque une um vrtice ao ponto mdio do lado oposto. Assim, a mediana relativaao lado BC ser o segmento que une o ponto A ao ponto mdio de BC. Dasfrmulas de ponto mdio anteriores, conclumos que o ponto mdio de BC sero ponto M( 3, 5). Portanto, o comprimento da mediana procurado ser adistncia entre os pontos A e M. Usando a frmula de distncia encontramosAM = 34, ou seja, raiz quadrada de 34. Logo, W = 34 e portanto W2 = 34, oque nos leva a concluir que a resposta correta est na alternativa C.4 - Baricentro de um tringuloSabemos da Geometria plana , que o baricentro de um tringulo ABC o pontode encontro das 3 medianas . Sendo G o baricentro , temos que AG = 2 . GMonde M o ponto mdio do lado oposto ao vrtice A (AM uma das 3medianas do tringulo).Nestas condies, as coordenadas do baricentro G(xg , yg) do tringulo ABConde A(xa , ya) , B(xb , yb) e C(xc , yc) dado por :Conclui-se pois que as coordenadas do baricentro do tringulo ABC, soiguais s mdias aritmticas das coordenadas dos pontos A , B e C.Assim, por exemplo, o baricentro (tambm conhecido como centro degravidade) do tringulo ABC onde A(3,5) , B(4, -1) e C(11, 8) ser o ponto G(6,4). Verifique com o uso direto das frmulas.Exerccio resolvido 6. Conhecendo-se o baricentro B(3,5), do tringulo XYZ onde X(2,5) , Y(-4,6) ,qual o comprimento do segmento BZ?Soluo:Seja o ponto Z(a,b). Temos, pela frmula do baricentro:3 = (2 - 4 + a) / 3 e 5 = (5 + 6 + b) / 3Da, vem que a = 11 e b = 4. O ponto Z ser portanto Z(11, 4).Usando a frmula da distncia entre dois pontos, lembrando que B(3,5) eZ(11,4),encontraremos BZ = 651/2 u.c. (u.c. = unidades de comprimento).Agora resolva este:Os pontos A(m, 7), B(0, n) e C(3, 1) so os vrtices de um tringulo cujobaricentro o pontoG(6, 11). Calcule o valor de m2 + n2.Resposta: 850INVISTA EM VOC, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO.E-mail: [email protected] www.colegiocascavelense.com.br.CASCAVEL CEAR - BRASILGeometria Analtica II1 - O uso do Determinante de terceira ordem na Geometria Analtica1.1 - rea de um tringuloSeja o tringulo ABC de vrtices A(xa , ya) , B(xb , xc) e C(xc , yc) . A rea Sdesse tringulo dada porS = 1/2. | D | onde D o mdulo do determinante formado pelascoordenadas dos vrtices A , B e C .Temos portanto: 7. A rea S normalmente expressa em u.a. (unidades de rea)Para o clculo do determinante de terceira ordem, utilizamos a conhecida eprtica regra de Sarrus.1.2 - Condio de alinhamento de trs pontosTrs pontos esto alinhados se so colineares , isto , se pertencem a umamesma reta . bvio que se os pontos A , B e C esto alinhados , ento o tringulo ABC noexiste , e podemos pois considerar que sua rea nula ( S = 0 ) .Fazendo S = 0 na frmula de rea do item 1.1 , conclumos que a condio dealinhamento dos 3 pontos que o determinante D seja nulo , ou seja : D = 0 .Exerccio resolvido:Se os pontos P(3 , 5) , Q(-3 , 8) e C(4 , y) so colineares , ento o valor de y :a) 4b) 3c) 3,5d) 4,5e) 2Soluo:Para que estes pontos estejam alinhados (pontos colineares), deveremos ter:Desenvolvendo o determinante pela Regra de Sarrus, obtemos:- 32 - 3y + 15 + 24 - 3y + 20 = 0 y = 9/2 = 4,5.Portanto a alternativa correta a letra D.2 - Equao geral da reta.Seja r a reta que passa pelos pontos A(xa , ya) e B(xb , yb).Seja P(x , y) um ponto qualquer desta reta . Pela condio de alinhamento de 3pontos , podemos escrever:Desenvolvendo o determinante acima obtemos:(Ya - Yb) . x + (Xa - Xb) . y + (XaYb - XbYa) = 0 . 8. Fazendo Ya - Yb = a , Xa - Xb = b e XaYb - XbYa = c , decorre que todo pontoP(x,y) pertencente reta , deve verificar a equao :ax + by + c = 0que chamada equao geral da reta r .Exemplos:2x + 5y - 4 = 0 (a = 2 , b = 5 , c = -4)3x - 4y = 10 (a = 3 , b = -4 , c = -10); observe que podemos escrever 3x - 4y -10 = 0.3y + 12 = 0 (a = 0 , b = 3 , c = 12)7x + 14 = 0 (a = 7 , b = 0 , c = 14)x = 0 (a = 1 , b = 0 , c = 0) ordenadas . equao do eixo Oy - eixo dasy = 0 (a = 0 , b = 1 , c = 0) equao do eixo Ox - eixo das abscissas .Observaes:a) a = 0 y = - c/b (reta paralela ao eixo dos x )b) b = 0 x = - c/a (reta paralela ao eixo dos y)3 - Posio relativa de duas retasSabemos da Geometria que duas retas r e s no plano podem ser :Paralelas: r s = Concorrentes: r s = { P } , onde P o ponto de interseo .Coincidentes: r = s.Dadas as retas r : ax + by + c = 0 e s : ax + by + c = 0 , temos os seguintescasos : as retas so coincidentes . as retas so paralelas . as retas so concorrentes .Exerccios resolvidos1 - OSEC-SP - Qual a posio relativa das retas r : x + 2y + 3 = 0 e s: 4x + 8y+ 10 = 0 ?Soluo:Temos que: 1 / 4 = 2 / 8 3 / 10 (segundo caso acima) e, portanto as retas soparalelas. 9. 2 - Dadas as retas r : 3x + 2y - 15 = 0 ; s : 9x + 6y - 45 = 0 e t : 12x + 8y - 60 =0 , podemos afirmar:a) elas so paralelasb) elas so concorrentesc) r t s = Rd) r s t = R2e) as trs equaes representam uma mesma reta .Soluo:Primeiro vamos verificar as retas r e s: 3 / 9 = 2 / 6 = -15 / -45 (primeiro casoacima) e portanto asretas r e s so coincidentes.Comparando agora, por exemplo a reta r com a reta t , teremos:3 / 12 = 2 / 8 = -15 / -60 (primeiro caso acima);Portanto as retas r, s e t so coincidentes, ou seja, representam a mesmareta.Logo a alternativa correta a letra E.3) Para se determinar o ponto de interseo de duas retas , basta resolver osistema de equaes formado pelas equaes das retas. Nestas condies,pede-se calcular as coordenadas do ponto de interseo das retas r : 2x + 5y -18 = 0 e s : 6x - 7y - 10 = 0.Soluo:Da equao da reta r tiramos: x = (18 - 5y) / 2 (eq. 1);substituindo na equao da reta s vem:6[(18-5y) / 2] - 7y -10 = 0 54 - 15y - 7y - 10 = 0 44 - 22y = 0 44 = 22y y = 2;substituindo o valor de y na eq. 1 fica: .x = (18 - 5.2) / 2 = 4.Portanto o ponto de interseo o ponto P(4,2).Agora resolva esta:Qual a rea do tringulo ABC de vrtices A(2,5), B(0,3) e C(1,1)?Resposta: S = 3 u.a. (3 unidades de rea)Geometria Analtica IIIDetermine a equao da reta que passa nos pontos P(2,5) e Q(1,4).Soluo:Sendo G(x,y) um ponto qualquer da reta cuja equao procurada, podemosescrever: 10. Aplicando a regra de Sarrus para desenvolver odeterminante de 3 ordem acima, vem:- 4x - 2y - 5 + 8 + y + 5x = 0 x - y + 3 = 0 que a equao geral procurada.Observe que a equao da reta tambm poder ser escrita como y = x + 3.Esta ltima forma, conhecida como equao reduzida da reta, como veremosa seguir.1 - Outras formas de equao da retaVimos na seo anterior equao geral da reta, ou seja, ax + by + c = 0.Vamos apresentar em seqncia , outras formas de expressar equaes deretas no plano cartesiano:1.1 - Equao reduzida da retaSeja a reta r de equao geral ax + by + c = 0 . Para achar a equao reduzidada reta , basta tirar o valor de y ou seja : y = (- a/b)x - c/b .Chamando - a/b = m e - c/b = n obtemos y = mx + n que a equaoreduzida da reta deequao geral ax + by + c = 0 .O valor de m o coeficiente angular e o valor de n o coeficiente linear da reta.Observe que na equao reduzida da reta , fazendo x = 0 , obtemos y = n , ouseja, a reta r intercepta o eixo dos y no ponto (0 , n) de ordenada n .Quanto ao coeficiente angular m, considere a reta r passando nos pontos A(x1 ,y1) e B(x2 , y2) .Sendo y = mx + n a sua equao reduzida ,podemos escrever:y1 = mx1 + n e y2 = mx2 + n .Subtraindo estas equaes membro a membro , obtemosy1 - y2 = m (x1 - x2) .Logo , a frmula para o clculo do coeficiente angular da reta que passa pelosdoispontos (x1 , y1) e (x2 , y2) :Se considerarmos que as medidas Y2 - Y1 e X2 - X1 so os catetos de umtringulo retngulo, conforme figura abaixo podemos concluir que o valor de m numericamente igual tangente trigonomtrica do ngulo . Podemos entoescrever m = tg , onde o ngulo denominado inclinao da reta . ongulo que a reta faz com o eixo dos x.A tg , como vimos igual a m , e chamada coeficiente angular da reta . Ficaportanto bastante justificada a terminologia coeficiente angular para ocoeficiente m.Observe que se duas retas so paralelas , ento elas possuem a mesmainclinao ; logo, conclumos que os seus coeficientes angulares so iguais.Agora resolva este: 11. Analise as afirmativas abaixo:(01) toda reta tem coeficiente angular .(02) uma reta perpendicular ao eixo dos y tem coeficiente angular nulo .(04) se a inclinao de uma reta um ngulo obtuso o seu coeficiente angular positivo(08) se o coeficiente angular de uma reta positivo , a sua inclinao ser umngulo agudo .(16) se o coeficiente angular de uma reta nulo , ela obrigatoriamentecoincidente com o eixo das abscissas .(32) uma reta perpendicular ao eixo das abscissas no tem coeficiente angular.Determine a soma dos nmeros associados s sentenas verdadeiras.Resp: 02+08+32 = 42INVISTA EM VOC, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO.E-mail: [email protected] www.colegiocascavelense.com.br.CASCAVEL CEAR - BRASILGeometria Analtica IVEquao segmentria da retaConsidere a reta representada na fig. a seguir:Verificamos que a reta corta os eixos coordenados nos pontos (p,0) e (0,q).Sendo G(x,y) um ponto genrico ou seja um ponto qualquer da reta, atravs dacondio de alinhamento de 3 pontos, chegamos facilmente equaosegmentria da reta: 12. Nota: se p ou q for igual zero, no existe a equao segmentria (Lembre-se:no existe diviso por zero); portanto , retas que passam na origem nopossuem equao segmentria.Exerccio resolvidoAche a equao segmentria da reta de equao geral 2x + 3y - 18 = 0.Soluo:Podemos escrever: 2x + 3y = 18 ; dividindo ambos os membros por 18 vem:2x/18 + 3y/18 = 18/18 x / 9 + y / 6 = 1. Vemos portanto que p = 9 e q = 6 eportanto a reta corta os eixos coordenados nos pontos A(9,0) e B(0,6).Equaes paramtricas da retaQuando um ponto qualquer P(x , y) de uma reta vem com suas coordenadas xe y expressas em funo de uma terceira varivel t (denominada parmetro),ns temos nesse caso as equaes paramtricas da reta.x = f(t) onde f uma funo do 1o. grauy = g(t) onde g uma funo do 1o. grauNestas condies, para se encontrar a equao geral da reta , basta se tirar ovalor de t em uma das equaes e substituir na outra .Exerccio resolvidoUm mvel descreve uma trajetria retilnea e suas coordenadas em funo dotempo t , so:x = 3t + 11y = -6t +10Qual a equao segmentria dessa trajetria?Soluo:Multiplicando ambos os membros da 1 equao paramtrica por 2, vem: 2x =6t + 22. Somando agora membro a membro com a 2 equao, obtemos: 2x +y = 32 (observe que a varivel t eliminada nessa operao pois 6t + ( -6t ) = 0). Dividindo ambos os membros da equao obtida por 32 fica:2x / 32 + y / 32 = 32 / 32 x / 16 + y / 32 = 1, que a equao segmentriaprocurada.Retas perpendicularesSabemos da Geometria Plana que duas retas so perpendiculares quando soconcorrentes e formam entre si um ngulo reto (90) . Sejam as retas r: y = mr x+ nr e s: y = ms x + ns . Nestas condies podemos escrever a seguinte relaoentre os seus coeficientes angulares:ms = - 1 / mr ou mr . ms = -1 .Dizemos ento que se duas retas so perpendiculares, o produto dos seuscoeficientes angulares igual a -1. 13. Deixaremos de demonstrar esta propriedade, no obstante a sua simplicidade,mas se voc se interessar em ver a demonstrao, mande-me um e-mailsolicitando.Exerccio resolvidoDadas as retas de equaes (2w - 2)x + (w - 1)y + w = 0 e (w - 3)y + x - 2w = 0,podemos afirmar que:a) elas so perpendiculares para qualquer valor de wb) elas so perpendiculares se w = 1c) elas so perpendiculares se w = -1d) elas so perpendiculares se w = 0e) essas retas no podem ser perpendicularesSoluo:Podemos escrever para a 1 reta: y = [-(2w-2) / (w-1)].x - w /(w-1).Analogamente para a 2 reta: y = [-1 / (w-3)].x + 2w / (w-3). Ora, os coeficientesde x so os coeficientes angulares e, pelo que j sabemos, a condio deperpendicularidade que o produto desses coeficientes angulares seja igual a -1. Logo:Efetuando os clculos indicados e simplificando-se obtemos: w2 - 2w + 1 = 0,que equivalente a(w - 1)2 = 0, de onde conclui-se que w = 1.Mas, cuidado! Observe que w = 1 anula o denominador da expresso acima e,portanto uma raiz estranha, j que no existe diviso por zero! Apesar dasaparncias, a raiz w = 1 no serve! Logo, a alternativa correta a letra E e noa letra B como ficou aparente.Geometria Analtica VI - ngulo formado por duas retasSendo mr e ms os coeficientes angulares das retas r e s respectivamente , atangente do ngulo agudo formado pelas retas dado por : 14. Notas:1 - ngulo agudo: ngulo cuja medida est entre 0 e 90.2 - Observe dois casos particulares da frmula anterior, que merecem sermencionados:a) se as retas r e s, ao invs de serem concorrentes, fossem paralelas, ongulo seria nulo e portanto tg = 0 (pois tg 0 = 0). Nestas condies, odenominador da frmula teria que ser nulo, o que resultaria em mr = ms , ouseja, os coeficientes angulares teriam que ser iguais. J vimos isto num textoanterior, mas bom repetir: RETAS PARALELAS POSSUEM COEFICIENTESANGULARES IGUAIS.b) se as retas r e s fossem alm de concorrentes, PERPENDICULARES,teramos = 90 . Neste caso a tangente no existe ( no existe tg 90 ,sabemos da Trigonometria); mas se considerarmos uma situao limite de umngulo to prximo de 90 quanto se queira, sem entretanto nunca se igualar a90 , a tangente do ngulo ser um nmero cada vez maior, tendendo aoinfinito. Ora, para que o valor de uma frao seja um nmero cada vez maior,tendendo ao infinito, o seu denominador deve ser um nmero infinitamentepequeno, tendendo a zero. Nestas condies, o denominador da frmulaanterior 1+mr . ms seria um nmero to prximo de zero quanto quisssemos eno limite teramos 1 + mr . ms = 0.Ora, se 1 + mr . ms = 0, podemos escrever que mr . ms = -1, que a condionecessria e suficiente para que as retas sejam perpendiculares, conforme jvimos num texto anterior publicado nesta pgina. Assim, sempre bomlembrar: RETAS PERPENDICULARES POSSUEM COEFICIENTESANGULARES QUE MULTIPLICADOS IGUAL A MENOS UM.Exerccio resolvidoDetermine o ngulo agudo formado pelas retas r : 3x - y + 2 = 0 e s : 2x + y - 1= 0.Soluo:Para a reta r : y = 3x + 2. Logo, mr = 3.Para a reta s : y = - 2x + 1. Logo, ms = -2.Substituindo os valores na frmula anterior e efetuando os clculos, obtemos 15. tg = 1, o que significa que o ngulo entre as retas igual a 45, pois tg45 = 1.(Faa os clculos para conferir).II - Estudo simplificado da circunfernciaConsidere a circunferncia representada no plano cartesiano , conforme abaixo, cujo centro o ponto C(xo , yo) e cujo raio igual a R , sendo P(x , y) um pontoqualquer pertencente circunferncia .Podemos escrever: PC = R e pela frmula de distancia entre dois pontos, jvista em outro texto publicado nesta pgina, teremos: (x - x0)2 + (y - y0)2 = R2 ,que conhecida como equao reduzida da circunferncia de centro C(x0,y0) eraio R. Assim, por exemplo, a equao reduzida da circunferncia de raio 5 ecentro no ponto C(2,4) dada por: (x - 2)2 + (y - 4)2 = 25.Caso particular: Se o centro da circunferncia coincidir com a origem dosistema de coordenadas cartesianas ou seja o ponto O(0,0) , a equaoreduzida da circunferncia fica:x2 + y2 = R2Para obter a Equao Geral da circunferncia, basta desenvolver a equaoreduzida.Temos:x2 - 2x . xo + xo2 + y2 - 2y . yo + yo2 - R2 = 0 .Fazendo -2xo = D , -2yo = E e xo2 + yo2 - R2 = F , podemos escrever a equaox2 + y2 + D x + E y + F = 0 (Equao geral da circunferncia).Ento , conclumos que quando os coeficientes de x2 e y2 forem unitrios , paradeterminar as coordenadas do centro da circunferncia , basta achar a metadedos coeficientes de x e de y , com os sinais trocados ou seja : x0 = - D / 2 e y0 =-E/2.Se os coeficientes de x2 e de y2 no forem unitrios, temos que dividir aequao pelo coeficiente de x2 que sempre igual ao coeficiente de y2 , nocaso da circunferncia.Para o clculo do raio R , observemos que F = xo2 + yo2 - R2 .Mas, xo = - D / 2 e yo = - E /2 . Logo , podemos escrever a seguinte equaopara o clculo do raio R a partir da equao geral da circunferncia: 16. Cuidado! Para que a equao x2 + y2 + D x + E y + F = 0 , possa representaruma circunferncia, tem de ser atendida a condio D2 + E2 - 4.F > 0 , pois noexiste raiz quadrada real de nmero negativo .Observe que se D2 + E2 - 4.F = 0 , a equao x2 + y2 + D x + E y + F = 0representa apenas um ponto do plano cartesiano! Por exemplo : x2 + y2 + 6x -8y + 25 = 0 a equao de um ponto! Verifique.Qual a sua interpretao para o caso D2 + E2 - 4F ser negativo? Ora, como noexiste raiz quadrada real de nmero negativo, conclui-se facilmente que acircunferncia no existe neste caso!Exemplo:Dada a equao x2 + y2 - 6x + 8y = 0, temos: D = - 6 , E = 8 e F = 0.Logo, pelas igualdades anteriores, podemos determinar as coordenadas docentro e o raio como segue:xo = - (-6) / 2 = 3 ; yo = - 8 / 2 = -4 e R = 5 (faa as contas).Portanto, o centro o ponto C(3, -4) e o raio igual a 5 u.c (u.c = unidade decomprimento).INVISTA EM VOC, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO.E-mail: [email protected] www.colegiocascavelense.com.br.CASCAVEL CEAR - BRASILExerccios de Geometria AnalticaMatemtica no tem idade!A - Exerccios resolvidos1 E.E. Lins/1968Dados os vrtices P(1,1) , Q(3,- 4) e R(- 5,2) de umtringulo, o comprimento da mediana que tem extremidade novrtice Q :a) 12,32b) 10,16c) 15,08 17. d) 7,43e) 4,65Soluo:Seja o tringulo PQR abaixo:Sendo M o ponto mdio do lado PR, o segmento de reta QMser a mediana relativa ao lado PR.Sendo os pontos P(1,1) e R(-5,2), o ponto mdio M ser: M(-2, 3/2).Observe que:-2 = [1 + (- 5)]/2 e 3/2 = (1 + 2)/2.Em caso de dvida, reveja Geometria Analtica clicandoAQUI.O comprimento da mediana procurado, ser obtido calculando-se a distancia entre os pontos Q e M.Usando a frmula da distancia entre dois pontos, vem:Portanto, a alternativa correta a letra D.2 EPUSP/1966Os pontos do plano cartesiano que satisfazem equaosen(x y) = 0 constituem:a) uma retab) uma senidec) uma elipsed) um feixe de retas paralelase) nenhuma das respostas anterioresSoluo:O seno nulo para os arcos expressos em radianos: 0, ,2 , 3 , 4, ... , k , onde k um nmero inteiro. Logo:sen(x - y) = 0 x y = k.Da, vem: - y = - x + k y = x - k , k Z.Fazendo k variar no conjunto Z, obteremos um nmeroinfinito de retas de mesmo coeficiente angular m = 1 e, 18. portanto, paralelas, ou seja:...................................................................k = - 1 reta: y = x + k = 0 reta: y = xk = 1 reta: y = x - , e assim sucessivamente....................................................................Portanto, a alternativa correta a letra D (um feixe deretas paralelas).3 A equao x2 y2 + x + y = 0 representa no sistema decoordenadas cartesianas:a) uma hiprboleb) uma elipsec) uma circunfernciad) uma parbolae) duas retasSoluo:Temos: x2 y2 + x + y = 0 ; podemos escrever:(x y)(x + y) + (x + y) = 0;Observe que (x-y)(x+y)= x2 - y2Fatorando, fica:(x + y) (x y + 1) = 0Para que o produto acima seja nulo, deveremos ternecessariamente:x + y = 0 ou x y + 1 = 0 ;Logo,y = - x ou y = x + 1, que so as equaes de duas retas, oque nos leva alternativa E.B - Exerccios propostos1 FAUUSP/1968 Determine a rea do tringulo ABC onde A,B e C so, respectivamente, os pontos mdios dos segmentosMN, NP e PM, sendoM(-1, -5), N(1,3) e P(7, -5).Em caso de dvida, reveja ponto mdio de um segmento eclculo de rea de um tringulo.Resp: 8 u.a (8 unidades de rea). 19. 2 EPUSP/1963 Dado o ponto A(1,2), determine ascoordenadas dedois pontos P e Q, situados respectivamentesobre as retasy = x e y = 4x, de tal modo que A seja oponto mdio dosegmento PQ.Em caso de dvida, reveja equao da reta.Resp: P(4/3,4/3) e Q(2/3,8/3)3 FAUUSP/1968 Determine a equao da reta que passapelo centro da circunferncia de equao 2x2 + 2y2 + 4x + 1= 0 e perpendicular reta de equao x + 2y - 1 = 0.Em caso de dvida,reveja circunferncia.Resp: y = 2x + 2Elipse de centro na origem (0,0) do plano cartesiano1 Definio:Dados dois pontos fixos F1 e F2 de um plano, tais que a distancia entre estespontos seja igual a 2c > 0, denomina-se elipse, curva plana cuja soma dasdistancias de cada um de seus pontos P estes pontos fixos F1 e F2 igual aum valor constante 2a , onde a > c.Assim que temos por definio:PF1 + PF2 = 2 aOs pontos F1 e F2 so denominados focos e a distancia F1F2 conhecida comdistancia focal da elipse.O quociente c/a conhecido como excentricidade da elipse.Como, por definio, a > c, podemos afirmar que a excentricidade de umaelipse um nmero positivo menor que a unidade. 2 Equao reduzida da elipse de eixo maior horizontal e centro na origem(0,0).Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma elipse e sejam F1(c,0) e F2(-c,0) osseus focos. Sendo 2a o valor constante com c < a, como vimos acima,podemos escrever:PF1 + PF2 = 2.a 20. onde o eixo A1A2 de medida 2a, denominado eixo maior da elipse e o eixoB1B2 de medida 2b, denominado eixo menor da elipse.Usando a frmula da distancia entre dois pontos, poderemos escrever:Observe que x (-c) = x + c.Quadrando a expresso acima, vem:Com bastante pacincia , desenvolvendo a expresso acima e fazendo a2 c2= b2 , a expresso acima depois de desenvolvida e simplificada, chegar a:b2.x2 + a2.y2 = a2.b2Dividindo agora, ambos os membros por a2b2 vem finalmente:que a equao da elipse de eixo maior horizontal e centro na origem (0,0).Notas:1) como a2 c2 = b2 , vlido que: a2 - b2 = c2, onde c a abscissa de umdos focos da elipse.2) como a excentricidade e da elipse dada por e = c/a , no caso extremo determos b = a, a curva no ser uma elipse e sim, uma circunferncia, deexcentricidade nula, uma vez que sendo b = a resulta c = 0 e, portanto e = c/a= 0/a = 0.3) o ponto (0,0) o centro da elipse.4) se o eixo maior da elipse estiver no eixo dos y e o eixo menor estiver no eixodos x, a equao da elipse de centro na origem (0,0) passa a ser: 21. EXERCCIOS RESOLVIDOS E PROPOSTOS1 Determine a excentricidade da elipse de equao 16x2 + 25y2 400 = 0.SOLUO: Temos: 16x2 + 25y2 = 400. Observe que a equao da elipse noest na forma reduzida. Vamos dividir ambos os membro por 400. Fica ento:Portanto, a2 = 25 e b2 = 16. Da, vem: a = 5 e b = 4.Como a2 = b2 + c2 , vem substituindo e efetuando, que c = 3Portanto a excentricidade e ser igual a : e = c/a = 3/5 = 0,60Resposta: 3/5 ou 0,60.2 CESCEA 1969 Determine as coordenadas dos focos da elipse deequao9x2 + 25y2 = 225.SOLUO: dividindo ambos os membros por 225, vem:Da, vem que: a2=25 e b2=9, de onde deduzimos: a = 5 e b = 3.Portanto, como a2 = b2 + c2, vem que c = 4.Portanto, as coordenadas dos focos so: F1(4,0) e F2(-4,0).3 Determine a distancia focal da elipse 9x2 +25y2 225 =0.SOLUO: a elipse a do problema anterior. Portanto a distancia focal ouseja, a distancia entre os focos da elipse ser:D = 4 (- 4) = 8 u.c (u.c. = unidades de comprimento).4 Calcular a distancia focal e a excentricidade da elipse 25x2 + 169y2 = 4225.Resposta: e = 12/13 e df = 2c = 24.5 Determinar a equao da elipse com centro na origem, que passa peloponto P(1,1) e tem um foco F(- 6 /2, 0).Resposta: x2 + 2y2 = 3.INVISTA EM VOC, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO.E-mail: [email protected] www.colegiocascavelense.com.br.CASCAVEL CEAR - BRASIL 22. Hiprbole de centro na origem (0,0)1 Definio:Dados dois pontos fixos F1 e F2 de um plano, tais que a distancia entre estespontos seja igual a 2c > 0, denomina-se hiprbole, curva plana cujo mduloda diferena das distancias de cada um de seus pontos P estes pontos fixosF1 e F2 igual a um valor constante 2a , onde a < c.Assim que temos por definio: PF1 - PF2 = 2 aOs pontos F1 e F2 so denominados focos e a distancia F1F2 conhecida comdistancia focal da hiprbole.O quociente c/a conhecido como excentricidade da hiprbole.Como, por definio, a < c, conclumos que a excentricidade de uma hiprbole um nmero positivo maior que a unidade.A1A2 denominado eixo real ou eixo transverso da hiprbole, enquanto queB1B2 denominado eixo no transverso ou eixo conjugado da hiprbole.Observe na figura acima que vlida a relao:c2 = a2 + b2O ponto (0,0) o centro da hiprbole.2 Equao reduzida da hiprbole de eixo transverso horizontal e centro naorigem (0,0)Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma hiprbole e sejam F1(c,0) e F2(-c,0) osseus focos. Sendo 2.a o valor constante com c > a, como vimos acima,podemos escrever: PF1 - PF2 = 2 aUsando a frmula da distancia entre dois pontos, poderemos escrever:Observe que x (-c) = x + c.Quadrando a expresso acima, vem:Com bastante pacincia e aplicando as propriedades corretas, a expresso 23. acima depois de desenvolvida e simplificada, chegar a:b2.x2 - a2.y2 = a2.b2, onde b2 = c2 a2 , conforme pode ser verificado nafigura acima.Dividindo agora, ambos os membros por a2b2 vem finalmente:Obs.: se o eixo transverso ou eixo real (A1A2) da hiprbole estiver no eixodos y e o eixo no transverso ou eixo conjugado (B1B2) estiver no eixodos x, a equao da hiprbole de centro na origem (0,0) passa a ser:EXERCCIOS RESOLVIDOS E PROPOSTOS1 Determine a excentricidade da hiprbole de equao 25x2 - 16y2 400 = 0.SOLUO: Temos: 25x2 - 16y2 = 400. Observe que a equao da hiprboleno est na forma reduzida. Vamos dividir ambos os membro por 400. Ficaento:Portanto, a2 = 16 e b2 = 25. Da, vem: a = 4 e b = 5.Como c2 = a2 + b2 , vem substituindo e efetuando que c = 41Portanto a excentricidade e ser igual a : e = c/a = 41 /4 = 1,60Resposta: 1,60.2 Determine a distancia focal da hiprbole de equao 25x2 9y2 = 225 .SOLUO: Dividindo ambos os membros por 225, vem:Da, vem que: a2=9 e b2=25, de onde vem imediatamente: a=3 e b=5.Portanto, c2 = a2 + b2 = 9 + 25 = 34 e ento c = 34.Logo, a distancia focal da hiprbole sendo igual a 2c , ser igual a 2 34.3 Determine as equaes das assntotas da hiprbole do exerccio 1.Resposta: y = (5/4).x ou y = (-5/4).xNOTA: entende-se por assntotas de uma hiprbole de centro na origem, comoas retas que passam na origem (0,0) e tangenciam os dois ramos da hiprbolenum ponto imprprio situado no infinito.Dada a hiprbole de equao:Prova-se que as assntotas, so as retas de equaes:R1: y = (b/a).x e R2: y = -(b/a).xVeja a figura abaixo: 24. Parbola1 - IntroduoSe voc consultar o Novo Dicionrio Brasileiro Melhoramentos - 7 edio,obter a seguinte definio para a parbola:"Curva plana, cujos pontos so eqidistantes de um ponto fixo (foco) e de umareta fixa (diretriz) ou curva resultante de uma seco feita num cone por umplano paralelo geratriz. Curva que um projtil descreve."Esta definio no est distante da realidade do rigor matemtico. (Osdicionrios, so, via de regra, uma boa fonte de consulta tambm paraconceitos matemticos, embora no se consiga neles - claro - a perfeioabsoluta, o que, de uma certa forma, bastante compreensvel, uma vez que aeles, no cabe a responsabilidade pela preciso dos conceitos e definiesmatemticas).2 - DefinioConsidere no plano cartesiano xOy, uma reta d (diretriz) e um ponto fixo F(foco) pertencente ao eixo das abcissas (eixo dos x), conforme figura abaixo:Denominaremos PARBOLA, curva plana formada pelos pontos P(x,y) doplano cartesiano, tais quePF = Pd onde:PF = distncia entre os pontos P e FPP = distncia entre o ponto P e a reta d (diretriz). 25. Importante: Temos portanto, a seguinte relao notvel: VF = p/23 - Equao reduzida da parbola de eixo horizontal e vrtice na origemObservando a figura acima, consideremos os pontos: F(p/2, 0) - foco daparbola, e P(x,y) - um ponto qualquer da parbola. Considerando-se adefinio acima, deveremos ter: PF = PPDa, vem, usando a frmula da distancia entre pontos do plano cartesiano:Desenvolvendo convenientemente e simplificando a expresso acima,chegaremos equao reduzida da parbola de eixo horizontal e vrtice naorigem, a saber:y2 = 2px onde p a medida do parmetro da parbola.3.1 - Parbola de eixo horizontal e vrtice no ponto (x0, y0)Se o vrtice da parbola no estiver na origem e, sim, num ponto (x0, y0), aequao acima fica:(y - y0)2 = 2p(x-x0)3.2 - Parbola de eixo vertical e vrtice na origemNo difcil provar que, se a parbola tiver vrtice na origem e eixo vertical, asua equao reduzida ser: x2 = 2py3.3 - Parbola de eixo vertical e vrtice no ponto (x0, y0) 26. Analogamente, se o vrtice da parbola no estiver na origem, e, sim, numponto (x0, y0), a equao acima fica: (x - x0)2 = 2p(y - y0)Exerccios resolvidos1 - Qual a equao da parbola de foco no ponto F(2,0) e vrtice na origem?Soluo: Temos p/2 = 2 p = 4Da, por substituio direta, vem:y2 = 2.4.x y2 = 8x ou y2 - 8x = 0.2 - Qual a equao da parbola de foco no ponto F(4,0) e vrtice no pontoV(2,0)?Soluo: Como j sabemos que VF = p/2, vem, 2 = p/2 p = 4.Logo, (y - 0)2 = 2.4(x - 2)2 y2 = 8(x-2) y2 - 8x + 16 = 0, que a equao daparbola.3 - Qual a equao da parbola de foco no ponto F(6,3) e vrtice no pontoV(2,3)?Soluo: Como VF = p/2, vem: 4 = p/2 p = 8.Da, vem: (y - 3)2 = 2.8(x - 2) y2 - 6y + 9 = 16x - 32 y2 - 6y - 16x + 41 = 0,que a equao procurada.4 - Qual a equao da parbola de foco no ponto F(0,4) e vrtice no pontoV(0,1)?Soluo: Como VF = p/2, vem: 3 = p/2 p = 6. Logo,(x - 0)2 = 2.6(y - 1) x2 = 12y - 12 x2 - 12y + 12 = 0, que a equaoprocurada.Exerccio propostoDetermine a equao da parbola cuja diretriz a reta y = 0 e cujo foco oponto F(2,2).Resposta: x2 - 4x - 4y + 8 = 0INVISTA EM VOC, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO.E-mail: [email protected] www.colegiocascavelense.com.br.CASCAVEL CEAR - BRASIL 27. Hiprbole Equiltera1 INTRODUOVimos no captulo anterior a equao da hiprbole cujo grfico reproduzimosabaixo:onde:F1 e F2 = focos da hiprbole.F1F2 = distncia focal da hiprboleA1 e A2 = vrtices da hiprboleA1A2 = eixo real ou eixo transverso da hiprboleB1B2 = eixo no transverso ou eixo conjugado da hiprboleSendo P um ponto qualquer da hiprbole, vimos que a relao bsica que adefine dada por:PF1 - PF2= 2a, onde 2a a distncia entre os seus vrtices.Da relao anterior, chegamos equao reduzida da hiprbole, reproduzida aseguir:onde b2 = c2 a2 , conforme ilustrado na figura acima, sendo:a = medida do semi-eixo transverso da hiprboleb = medida do semi-eixo no transverso da hiprbolec = medida da semi-distncia focal da hiprboleVimos no arquivo anterior que as assntotas de uma hiprbole so as retasy = (b/a).x e y = (- b/a).x2 DEFINIO 28. Chama-se HIPRBOLE EQUILTERA a toda hiprbole cujos semi-eixos demedidas a e b so iguais.Assim, fazendo a = b na equao acima, obteremos:De onde vem finalmente que:x2 y2 = a2que a equao reduzida de uma hiprbole eqiltera.Veja a seguir, o grfico de uma hiprbole eqiltera x2 y2 = a2 referida aoplano cartesiano xOy:As retas y = x e y = - x , so as assntotas da hiprbole eqiltera x2 y2 = a2 .NOTAS:a) Observe que para a = 0, teramos x2 y2 = 0 ou fatorando o primeiromembro:(x y) . (x + y) = 0, de onde se conclui:x y = 0 OU x + y = 0, e, em conseqncia,y = x OU y = -xcujo grfico a reunio das retas y = x (bissetriz do primeiro e segundoquadrantes) e y = -x (bissetriz do segundo e quarto quadrantes), e, portantono representa uma hiprbole.b) J sabemos da aula anterior que a excentricidade de uma hiprbole dadapor e = c/a onde b2 = c2 a2 . Como nas hiprboles equilteras, temos a = b,substituindo, vem imediatamente que c = 2 . a, de onde conclui-se que aexcentricidade de uma hiprbole eqiltera igual ae = c / a = 2a / a = 2 29. c) Como na hiprbole eqiltera os semi-eixos transverso e no transversopossuem a mesma medida, ou seja, a = b, conclumos que as suas assntotassero as retas y = (a/b).x = (a/a).x = xe y = (-b/a).x = (-a/a).x = - x , concluso fundamentada na observao do item1 acima.Portanto, as assntotas da hiprbole eqiltera so as retas y = x e y = -x, queso retas perpendiculares, pois o produto dos seus coeficientes angulares igual a -1.Conclui-se pois, que as assntotas da hiprbole eqiltera, so retasperpendiculares entre si.d) J sabemos do item (c) acima, que as assntotas da hiprbole eqiltera soas retas y = x ou y = -x , expresses equivalentes a y x = 0 ou y + x = 0.J sabemos que a distncia de um ponto P(x0 , y0) uma reta r de equao ax+ by + c = 0, dada pela frmula:Conclumos ento, que a distncia de um ponto P(x, y) qualquer da hiprboleeqiltera s assntotas ser dada por:e respectivamente.Observe que os numeradores acima devem ser tomados em mdulo, uma vezque referem-se a distncias.Se considerarmos dois novos eixos coordenados X e Y, coincidentes com asassntotas x y = 0 e x + y = 0, as coordenadas do ponto P(x, y), passaro aser P(X, Y), com:eVoltando equao reduzida da hiprbole eqiltera, dada por x2 y2 = a2(referida aos eixos coordenados Ox e Oy) e fatorando o primeiro membro, vem:(x y) . ( x + y) = a2 .Podemos escrever a seguinte expresso equivalente a x2 y2 = a2:cuja veracidade percebida facilmente, bastando efetuar o produto indicado noprimeiro membro.Substituindo, vem finalmente:X.Y = a2/2 30. Fazendo a2/2 = K = constante, podemos escrever X.Y = K , que a equao dahiprbole eqiltera referida aos eixos y = x e y = -x, que so as assntotas dahiprbole eqilterax2 y2 = a2Portanto, em resumo podemos afirmar:1 a equao da hiprbole eqiltera referida aos eixos coordenados x e y dada porx2 y2 = a2 . As assntotas neste caso, so as retas y = x e y = - x.2 a equao da hiprbole eqiltera referida s suas assntotas x y = 0 e x+ y = 0 dada porX.Y = a2/2 = K. As assntotas neste caso, so os eixos coordenados Ox e Oy,ou seja, as retas y = 0 e x = 0, respectivamente.Veja a seguir, exemplo de grfico da hiprbole eqiltera x.y = k, com k > 0,onde os eixos coordenados OX e Oy so as assntotas.As equaes da forma x.y = k, onde k uma constante, tem comorepresentao geomtrica no plano xOy, portanto, curvas denominadashiprboles equilteras.Um exemplo prtico de uma lei fsica cuja representao grfica umahiprbole eqiltera, a lei de Boyle - Mariotte, estudada nos compndios deFsica e Qumica.A lei de Boyle-Mariotte, estabelece que sob temperatura constante, o volumeocupado por uma certa massa de gs, inversamente proporcional a suapresso.Seja V o volume de um gs submetido a uma presso P, a uma temperaturaconstante.A lei de Boyle-Mariotte, estabelece que P.V = constante = k.Por analogia com a equao X.Y = K, podemos concluir que o grfico dovolume V em funo da presso P, de um gs submetido a uma temperaturaconstante, ser uma hiprbole eqiltera. 31. A excentricidade das cnicasAs cnicas hiprbole, parbola, elipse e a circunferncia, possuemtodas elas, um aspecto singular: podem ser obtidas atravs dainterseo de um plano convenientemente escolhido com uma superfciecnica, conforme mostrado na figura a seguir:Nota: figura editada por meu filho Rafael C. Marques, 14.Antes de prosseguir, no resisto a fazer mais uma afirmaoverdadeira:A circunferncia , na realidade, uma elipse perfeita, cujaexcentricidade nula.Nota: Os admiradores da elipse, podero eventualmente afirmarequivocadamente: a circunferncia uma elipse imperfeita! Eu prefiroa primeira assertiva, pois a correta!.Brincadeiras parte, prossigamos!No caso da elipse j sabemos que:excentricidade = e = c/aComo vlido na elipse que a2 = b2 + c2 , vem que:Ora, como c < a , vem imediatamente que e < 1. Tambm, como a e c sodistncias e portanto, positivas, vem que e > 0. Em resumo, no caso da 32. elipse, a excentricidade um nmero situado entre 0 e 1 ou seja:0 < e < 1.Observa-se que a elipse tanto mais achatada quanto mais prximo daunidade estiver a sua excentricidade.Raciocinando opostamente, se o valor de c se aproxima de zero, osvalores de a e de b tendem a igualar-se e a elipse, no caso extremo dec = 0, (o que implica e = 0) transforma-se numa circunferncia. Acircunferncia ento, uma elipse de excentricidade nula.No caso da hiprbole , j sabemos que c2 = a2 + b2 e, portanto,Neste caso, c > a, o que significa que a excentricidade de umahiprbole um nmero real maior do que a unidade, ou seja e > 1.Observe na frmula acima que se as medidas a e b forem iguais, ou sejaa = b, teremos uma hiprbole eqiltera, cuja excentricidade serigual a e = 2, resultado obtido fazendo a = b na frmula acima.Resumindo, observe que sendo e a excentricidade de uma cnica: Cnicae Circunferncia0 Elipse0 < e < 1 Hiprbole e > 1Quanto parbola , podemos dizer, que a sua excentricidade ser iguala 1? Em a realidade, a excentricidade da parbola igual a 1; Vamosdesenvolver este assunto a seguir:Considere o seguinte problema geral:Determinar o lugar geomtrico dos pontos P(x, y) do plano cartesianoque satisfazem condio PF = e. Pd, onde F um ponto fixo do planodenominado foco e d uma reta denominada diretriz, sendo e umaconstante real.Veja a figura abaixo, para ilustrar o desenvolvimento do tema: 33. Nota: figura elaborada pelo meu filho Rafael C. Marques, 14.Temos ento, pela condio dada, PF = e.Pd, onde e uma constantereal.Usando a frmula de distancia entre dois pontos, fica:Quadrando e desenvolvendo ambos os membros da expresso acima, vem:(x f)2 + y2 = e2. (x d)2x2 2.f.x + f2 + y2 = e2 (x2 2.d.x + d2)x2 e2. x2 2.f.x + e2.2.d.x + y2 + f2 e2.d2 = 0x2(1 e2) + y2 + (2e2d 2f)x + f2 e2.d2 = 0Ou finalmente:x2(1 e2) + y2 + 2(e2d f)x + f2 e2d2 = 0Fazendo e = 1 na igualdade acima, obteremosy2 + 2(d f). x + f2 d2 = 0Fazendo d = - f, vem:y2 4fx = 0 ou y2 = 4fx, que uma parbola da forma y2 = 2px, ondef = p/2, conforme vimos no texto correspondente.A constante e denominada excentricidade.V-se pois, que a excentricidade de uma parbola igual a 1.INVISTA EM VOC, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO.E-mail: [email protected] www.colegiocascavelense.com.br.CASCAVEL CEAR - BRASIL 34. Sistema de coordenadas polaresJ conhecemos o sistema de coordenadas cartesianas, noo introduzida porRen Descartes filsofo e matemtico francs, 1596 1650, criador dosfundamentos da Geometria Analtica.Vamos agora, conhecer o sistema de coordenadas polares, as quais vinculam-se com as coordenadas cartesianas, atravs de relaes trigonomtricasconvenientes.Seja O um ponto do plano e considere uma semi-reta de origem O.Denominemos o ponto O de plo e a semi-reta, de eixo polar.Um ponto qualquer P neste sistema, poder ser univocamente determinado,atravs da distncia do ponto P ao ponto O , e do ngulo formado entre osegmento de reta OP e o eixo polar.Adotando-se por conveno, o sentido trigonomtrico para o ngulo , ou seja,o sentido anti-horrio, no qual os ngulos so considerados positivos, podemosconstruir a figura abaixo:Observe que o ponto P de coordenadas cartesianas P(x, y), pode ser tambmser expresso pelas suas coordenadas polares correspondentes P(,), onde,pela figura acima, pode-se escrever:x = .cosy = .senA distancia OP = denominada raio vetor e o ngulo denominadongulo polar.Quadrando as duas expresses acima e somando membro a membro, vem:x2 + y2 = 2.cos2 + 2.sen2 = 2(cos2 + sen2) = 2Observe que cos2 + sen2 = 1, a relao fundamental da Trigonometria. 35. Analogamente, temos que tg = y/x , no tringulo retngulo da figura acima.Em resumo, teremos:x2 + y2 = 2 , com 0, j que OP = uma distncia e portanto, um valorpositivo ou nulo, e,tg = y/xExemplos:a) considere o ponto P(1,1). As suas coordenadas polares sero P(2,/4),pois:2= 12 + 12 = 2 = 2tg = y/x = 1/1 = 1 = /4 radianos.b) considere o ponto P(1,0). As suas coordenadas polares sero P(1,0), pois:2 = 12 + 02 = 1 = 1tg = y/x = 0/1 = 0 = 0 radianos.c)considere o ponto P(0,1). As suas coordenadas polares sero P(1, /2), pois:2 = 02 + 12 = 1 = 1tg = y/x = 1/0. Sabemos que no existe a diviso por zero , mas podemosverificar neste caso que o ponto P(0,1) situa-se no eixo dos y e, portanto, =90 = /2 radianos.Vamos agora, desenhar alguns grficos de curvas expressas atravs das suascoordenadas polares.1 Esboar o grfico da curva = 2.Inicialmente, vamos construir uma tabela, onde vamos atribuir valores a (emradianos) e calcular o valor correspondente de . (em graus)0 30456090135 180 270 360 (em radianos) 0 /6/4/3/23/4 3/2 2 = 20 /3/22/3 3/2 2 3 4 = 2 (aprox.) 0 1,05 1,57 2,10 3,14 4,71 6,28 9,42 12,56 Plotando (locando ou marcando) os pontos obtidos acima, obteremos a curvaa seguir, denominada Espiral de Arquimedes.De uma forma geral, a equao polar da forma = a. onde a uma constante,representa uma curva denominada Espiral de Arquimedes. 36. 2 Esboar a curva = 2(1 + cos).Analogamente, obteremos a curva abaixo, denominada cardiide. De uma forma geral, as equaes da forma = 2a(1 + cos) onde a umaconstante, so curvas denominadas Cardiide.3 Esboar a curva = 2/.Analogamente, obteramos a curva abaixo, denominada Espiral Hiperblica.De uma forma geral, as equaes da forma = a/ onde a uma constante,so curvas denominadas Espirais hiperblicas. 37. 4 Esboar a curva 2 = 4.cos(2).Analogamente, obteremos a curva abaixo, denominada Lemniscata deBernoulli.De uma forma geral, as equaes da forma 2 = a2.cos(2), onde a umaconstante, representam curvas denominadas Lemniscata de Bernoulli.5 Esboce a curva = 4.Verifique voc mesmo, que teremos neste caso, uma circunferncia de raio 4.Nota: as figuras acima foram executadas pelo meu filho Rafael Marques,14.INVISTA EM VOC, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO.E-mail: [email protected] www.colegiocascavelense.com.br.CASCAVEL CEAR - BRASIL 38. Geomtrica e analiticamente falando de uma circunferncia1 A equao da circunferncia que passa pelos pontos A(2;3), B(-2;0) e C(0;-7) :a) 17x2 + 17y2 99x + 81y 266 = 0b) 17x2 + 17y2 + 99x - 81y 266 = 0c) 17x2 + 17y2 99x + 81y + 266 = 0d) 17x2 - 17y2 99x + 81y 266 = 0e) 17x2 + 17y2 99x - 81y + 266 = 0Soluo:J sabemos da Geometria Analtica que a equao geral simplificada de umacircunferncia da forma:x2 + y2 + D x + E y + F = 0 onde P(x; y) um ponto qualquer pertencente circunferncia.Substituindo os pontos dados na equao geral, fica:Para o ponto A(2;3), temos x = 2 e y = 3. Ento:22 + 32 + 2D + 3E + F = 0 2D + 3E + F = -13Para o ponto B(-2;0), temos x = -2 e y = 0. Substituindo, vem:(-2)2 + 02 2D + 0.E + F = 0 -2D + F = - 4Para o ponto C(0;-7), temos x = 0 e y = -7. Substituindo, fica:02 + (-7)2 + 0.D 7E + F = 0 -7E + F = - 49Temos ento o seguinte sistema de equaes lineares:2D + 3E + F = -13-2D + F = - 4-7E + F = - 49Para resolver o sistema de equaes lineares acima, vamos utilizar a Regra de Cramer.Nota: Gabriel CRAMER - 1704 - 1752 - Mat. suio.Observe que o sistema acima pode ser escrito como:2D + 3E + F = -13-2D + 0E +F = - 40D -7E + F = - 49Teremos ento pela Regra de Cramer: 39. Analogamente,E, finalmente,Nota: os determinantes foram calculados, usando a Regra de Sarrus.Nota: Pierre Frederic SARRUS (pronuncia-se sarri) - 1798 - 1861 - Mat. francs.Portanto, como D = -99/17, E = 81/17 e F = -266/17, substituindo os valoresencontrados para D, E e F, vem:x2 + y2 + (-99/17)x + (81/17)y + (-266/17) = 0, que equivalente a:x2 + y2 (99/17)x + (81/17)y (266/17) = 0 , que a equao da circunfernciaprocurada.Se quisermos, poderemos eliminar os denominadores, multiplicando ambos os membrospor 17, resultando:17x2 + 17y2 99x + 81y 266 = 0 , que equivalente anterior e outra forma deapresentar a equao da circunferncia procurada, o que nos leva alternativa A.2 Verifique se o ponto P(-5;0) fica dentro ou fora da circunferncia do problemaanterior.Soluo: 40. Observe que um ponto qualquer do plano em relao uma circunferncia pode ocupartrs posies possveis: ou o ponto interior circunferncia, ou exterior ou pertence circunferncia. Se voc substituir as coordenadas (x;y) do ponto no primeiro membroda equao da circunfernciax2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 e encontrar zero, isto significa que o ponto pertence circunferncia, o que bvio.Se voc obtiver um valor positivo, o ponto obviamente exterior e se o valor obtido fornegativo, o ponto obviamente interior. Isto parece-me por demais bvio e, portanto,omitirei a justificativa.Substituindo o ponto P(-5;0) onde x = -5 e y = 0 no primeiro membro da equao dacircunferncia17x2 + 17y2 99x + 81y 266 = 0, teremos:17x2 + 17y2 99x + 81y 266 = 17.(-5)2 + 17.02 99.(-5) + 81.0 266 = +654 > 0.Portanto, o ponto P(-5,0) fica fora da circunferncia 17x2 + 17y2 99x + 81y 266 = 0.Agora resolva estes:1 - A equao da circunferncia que passa pelos pontos A(0;7), B(-7;0) e C(0;-7) :a) x2 + y2 49 = 0b) x2 + y2 + 49 = 0c) x2 y2 49 = 0d) x2 + y2 99 = 0e) x2 + y2 + 99 = 02 Verifique se o ponto Q(3; -4) fica dentro ou fora da circunferncia de equaox2 + y2 7x + 8y - 20 = 0.Resposta: dentro.INVISTA EM VOC, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO.E-mail: [email protected] www.colegiocascavelense.com.br.CASCAVEL CEAR - BRASIL