Geometria Analitica Notas

Geometria Analtica e Vetorial - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinu Lodovici e

Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinu Lodovici e

Geometria Analtica e Vetorial

Ve rs ao

Pr el imSanto Andr e Vers o .11 a

Geometria Analtica e Vetorial

UFABC - Universidade Federal do ABC http://gradmat.ufabc.edu.br/cursos/ga/

Vers o compilada em: 4 de dezembro de 2011 a

in arA Escrito em L TEX.


SUMARIO

Smbolos e notacoes gerais Agradecimentos 1 vii

v

2

Ve rs ao 3 4

Vetores em Coordenadas 47 2.1 Sistemas de Coordenadas 48 2.1.1 Operacoes Vetoriais em Coordenadas 53 2.2 Bases Ortonormais e Coordenadas Cartesianas 59 2.3 Produto Escalar: Angulo entre dois Vetores 62 2.3.1 Projecao Ortogonal 66 2.4 Produto Vetorial: Vetor Perpendicular a dois Vetores Dados 2.5 Escolha do Sistema de Coordenadas 76 2.6 O Problema do Lugar Geom trico e 79

Coordenadas Polares, Esf ricas e Cilndricas e 85 3.1 Coordenadas Polares 85 3.1.1 Relacao entre coordenadas cartesianas e polares 86 3.1.2 Coordenadas polares e numeros complexos 88 3.2 Gr cos de curvas em coordenadas polares a 91

Retas e Planos 97 4.1 Equacoes da Reta 97 4.1.1 Equacoes da reta no plano 102 4.2 Equacoes do Plano 108 4.2.1 Equacoes Param tricas e Vetoriais do Plano e

Pr el im108

Estrutura Vetorial do Plano e do Espaco 1 1.1 Denicoes Elementares 1 1.1.1 Operacoes com Vetores 5 1.2 Depend ncia e Independ ncia Linear de Vetores e e 19 1.2.1 Caracterizacao Geom trica de LD e LI e 26 1.3 Bases 35 1.4 Soma de Ponto com Vetor 39 1.5 Exerccios Complementares 43

in ar70i


4.3

4.4

4.5

4.6 5

Crculos e Esferas 147 5.1 Equacoes Canonicas de Crculos e Esferas 147 5.1.1 Crculo por tr s pontos 150 e 5.2 Retas Tangentes e Planos Tangentes 154 5.3 Circunfer ncia em coordenadas polares 159 e Secoes Conicas 163 6.1 Conicas 163 6.2 Elipse 163 6.3 Hip rbole 167 e 6.3.1 Assntotas 6.4 Par bola a 169

6

Ve rs ao 7ii

Mudanca de Coordenadas 173 7.1 Transformacoes Ortogonais 173 7.1.1 Translacao 173 7.1.2 Rotacao 177 7.2 Equacoes da forma Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 7.2.1 Caso 4AB C2 = 0 183 2 =0 7.2.2 Caso 4AB C 184

Pr el im168 181

in ar

4.2.2 Equacao Geral de um Plano 109 Posicoes Relativas 113 4.3.1 Posicao Relativas entre Retas 114 4.3.2 Posicao relativas entre retas e planos 120 4.3.3 Posicao relativas entre planos 123 Angulos 126 4.4.1 Angulo entre duas Retas 126 4.4.2 Angulo entre uma Reta e um Plano 131 4.4.3 Angulo entre dois Planos 133 Dist ncias a 134 4.5.1 Dist ncia de um ponto a uma reta 135 a 4.5.2 Dist ncia de um ponto a um plano a 138 4.5.3 Dist ncia entre Duas Retas 139 a Retas em Coordenadas Polares 142


Apndice ea Matrizes e Sistemas Lineares. 191 a.1 Matrizes 191 a.1.1 Operacoes com Matrizes a.2 Determinantes 192 a.2.1 Matriz Inversa 195 a.3 Teorema de Cramer 196 a.4 M todo de Eliminacao de Gauss e

189

191

198

Respostas de Alguns Exerc cios Referncias Bibliogrcas e a Indice Remissivo

Pr el im

Ve rs ao

in ar207 211 212iii


Ve rs ao

Pr el im

in ar


S M B O L O S E N O TA C O E S G E R A I S I

i.e. AB AB AB AB v AB v AB |A|

: : : : : : : : :

reta passando pelos pontos A e B segmento de reta ligando os pontos A e B segmento orientado de reta ligando os pontos A e B vetor determinado pelos pontos A e B vetor v comprimento do segmento AB comprimento do vetor v comprimento do vetor AB determinante da matriz A

Ve rs ao

Pr el im

: :

in ar

:=

: : : : : :

existe qualquer que seja ou para todo(s) implica se, e somente se portanto denicao (o termo a esquerda de := e denido pelo termo ` ou express o a direita) a ` id est (em portugu s, isto e) e indica o nal de uma demonstracao


Ve rs ao

Pr el im

in ar


AG RAD E C I M E N T OS

Gostaramos de agradecer a profa . Mariana Rodrigues da Silveira pelas inumeras su ` gestoes e correcoes.

Ve rs ao

Pr el im

in ar


1

E S T R U T U R A V E T O R I A L D O P L A N O E D O E S PA C O

1.1 definic o es elementares

Como veremos ao longo desse texto, a utilizacao da linguagem vetorial permite uma descricao elegante e unicada dos principais resultados da geometria Euclideana bem como possibilita uma transicao natural da formulacao axiom tica para a descricao analtica a (em coordenadas) dessa mesma geometria. Nesse captulo, daremos o primeiro passo nessa caminhada e apresentaremos o b sico a da linguagem vetorial. Antes por m, no intuito de motivar, comecaremos entendendo e um pouco do papel fundamental que os vetores desempenham nas ci ncias naturais. e Para entendermos o papel que os vetores desempenham nas ci ncias, comecamos obe servando que, por um lado, diversas grandezas fsicas cam completamente determina das por um unico valor (um numero real), num sistema de unidades. Assim por exemplo o volume de um corpo ca especicado quando dizemos quantos metros cubicos esse corpo ocupa, bem como a massa, a temperatura, a carga el trica, a energia, etc. Grandezas e que cam determinadas por um unico valor real s o denominadas grandezas escalares. a Por outro lado, diversas grandezas fsicas exigem F para sua completa determinacao, al m de uma valor e num rico o conhecimento de sua direcao orientada. e B Tais grandezas s o denominadas grandezas vetoriais a ou simplesmente vetores. E O exemplo mais simples e ilustrativo e o desloca A mento de um corpo. Se um corpo se move do ponto A para o ponto B, dizemos que ela sofreu um deslocaFigura 1.1: Todos os tr s caminhos e mento de A para B. Para sabermos precisamente o desligando dois pontos correspondem locamento de um corpo precisamos conhecer o quanto ao mesmo deslocamento. o ele se deslocou (a intensidade do deslocamento) mas

Ve rs ao

Pr el im

in ar1

Meca o que for mensur vel, e torne mensur vel o que n o o for. a a a Galileu Galilei


tamb m em que direcao ele se deslocou. Pelas mesmas razoes apresentadas ser o grandee a zas vetoriais: a velocidade, a aceleracao, a quantidade de movimento, a forca e o torque. E importante que observemos que para as grandezas escalares uma parte signicativa da utilidade de medi-las, i.e, associar um numero prov m da riqueza de estruturas dos e numeros: os numeros podem ser somados, subtrados, somados, comparados, etc. Para que as grandezas descritas vetorialmente sejam uteis (tanto para a ci ncia como e para a propria geometria) temos que construir nos vetores estruturas an logas. Assim a neste e no proximo captulo descreveremos e construiremos diversas operacoes vetoriais e suas interpretacoes. Como boa parte da construcao dos vetores e de suas operacoes que faremos neste texto ser de natureza primordialmente geom trica, assumiremos que o leitor conhce a e os principais conceitos e resultados da geometria Euclideana plana e espacial. Assim suporemos conhecidos os conceitos de angulos, retas, planos, comprimento desegmentos, dist ncia de dois pontos, etc. a De modo a xar notacao, ao longo destas notas denotaremos por E3 o espaco euclide 2 o plano euclideano, usaremos letras maiusculas, A, B, etc. ano tridimensional e por E para representar os pontos, letras minusculas r, s, etc. para indicar as retas e as letras gregas minusculas , , etc. para denotar os planos. Para tornarmos clara a denicao de vetor, comecaremos com um B termo relacionado: os vetores aplicados. Um vetor aplicado ou segmento orientado e um par ordenado de pontos do espaco Euclideano, ou, de modo equivalente, um segmento de reta no qual se escolheu um dos extremos A, como ponto inicial. Nesse caso o outro extremo B do segmento ser denominado ponto nal e o vetor aplicado com ponto a inicial A e nal B ser denotado por AB. Para nossas consideracoes um a ponto A e considerado um segmento que denominaremos segmento A nulo. Esse segmento ser denotado por AA ou por 0. a a O comprimento do um segmento AB ser denotado por AB e ser a denominado tamb m tamanho, intensidade, magnitude ou norma do vetor. e Os vetores aplicados servem parcialmente ao proposito de representar grandezas que possuem intensidade, direcao e sentido, pois apesar de podemos representar grandezas com esses atributos como vetores aplicados, essa representacao n o e unica. Ou seja, exis a tem v rios vetores aplicados com pontos iniciais e nais distintos, mas que possuem ina tensidade, direcao e sentido iguais. Para eliminarmos esse problema, identicaremos, i.e, diremos que s o iguais, todos esses vetores. Assim diremos que dois vetores aplicados a s o equivalentes (ou equipolentes) se e somente se, possuem o mesmo comprimento, a a mesma direcao e o mesmo sentido ou ainda se ambos s o nulos. a

Ve rs ao 2

Pr el im

in ar


Ve rs ao

Uma identicacao an loga, ocorre com as fracoes: duas fracoes podem ter numerado a res e denominadores iguais e mesmo assim diremos que elas s o iguais (ou equivalentes) a pois representam a mesma grandeza. Quando identicamos os vetores aplicados equivalentes obtemos vetores livres ou simplesmente vetores. E fundamental observar que dado um vetor podemos escow lher livremente o ponto onde inicia tal vetor, ou seja, dado um vetor e um ponto podemos escolher um vetor aplicado que u inicia nesse ponto e que possui a mesma intensidade, direcao v e sentido do vetor. Cada vetor aplicado com a mesma direcao, sentido e comprimento do vetor, e dita ser um representante do vetor. u=v=w E importante que que clara a seguinte diferenca: se por um lado vetores aplicados cam bem denidos pela escolha de direcao, sentido, comprimento e origem, por outro, vetores precisam apenas de direcao, sentido e comprimento. Isso signica que consideramos equivalentes segmentos orientados que s o paralelos, apontam no mesmo sentido e tem o mesmo comprimento, mas a consideramos iguais vetores paralelos, de mesmo sentido e com mesmo comprimento. O vetor cujos representantes s o segmentos orientado nulos, ou seja com pontos inia ciais e nais coincidentes ser denominado vetor nulo. O vetor nulo ser denotado por a a AA ou por 0. Os vetores ser o denotados por fontes minusculas em negrito a a . Dados dois pontos A e B, ou atrav s de uma echa superior: a e B denotaremos por AB o vetor que tem como representante o vetor aplicado AB. Gracamente vetores s o representados como echas, a no qual a ponta da echa aponta no sentido do vetor. AB Dado um vetor e um segmento que o representa, teremos que a v direcao do vetor e a direcao desse segmento, o sentido vem de ter mos escolhido uma orientacao no segmento, ou seja de termos es colhido um ponto inicial e nal e o comprimento de um vetor e o A comprimento do segmento que o representa. O comprimento de um vetor v = AB ser denotado por v ou a ainda por AB . O conjunto de todos os vetores de E3 ser denotado por V3 . De modo an logo, a a 2 o conjunto de vetores associados a E2 , i.e. classe de equival ncia denotaremos por V e de segmentos de retas no plano.

Pr el im

in ar3


De modo geral, conceitos envolvendo vetores s o denidos utilizando seus represena tantes. Nesse esprito temos as seguintes denicoes: Diremos que dois vetores s o paralelos quando seus representantes tiverem a mesma a direcao ou quando um desses vetores for o vetor nulo 0. O termo vetores paralelos inclui o caso especial onde os vetores est o sobre a mesma reta ou mesmo o caso em que a coincidem. Como consequ ncia da denicao anterior temos que o vetor nulo e paralelo e a todo vetor e tamb m que todo vetor e paralelo a si mesmo. e

v u

Figura 1.2: Vetores paralelos.

Diremos que um conjunto de vetores s o coplanares se esses vetores possuem reprea sentantes contidos no mesmo plano.v

Ve rs ao 4

Finalmente, dois vetores u e v s o ditos ortogonais, se ao escolhermos dois represena tantes para esses vetores que iniciam no mesmo ponto, AB e BC esses segmentos forem ortogonais, ou seja, se o angulo determinado por esses segmentos for um angulo reto.

Pr el imu w v

Figura 1.3: Vetores coplanares.

v u

Figura 1.4: Vetores ortogonais

in ar


1.1.1

Operaes com Vetores co

Por tradicao, grandezas que possuem apenas magnitude, ou seja, grandezas que s o a representadas por numeros reais s o denominadas grandezas escalares. Seguindo essa a tradicao denominamos um numero real de escalar . Vamos denir duas operacoes envolvendo vetores: a soma de vetores e a multiplicacao por escalares. Multiplicacao por Escalar: Dado um vetor v e um escalar podemos realizar a multiplicacao de e v obtendo o vetor v denido do seguinte modo: Se o vetor v e nulo ou o escalar e zero ent o v = 0 a

Se > 0, o vetor v e o vetor com o mesmo sentido, mesma direcao e com comprimento || v .

Se < 0 ent o o vetor kv tem a mesma direcao e sentido oposto ao vetor v e a comprimento || v .

Figura 1.5: Multiplicacao de um vetor por um escalar.

Ve r

e unit rio e possui a mesma direcao e sentido que v e e chamado versor de v. Veja a exerccio Um termo que usaremos ocasionalmente e o de vetor direcional ou vetor diretor. Muito frequentemente estaremos interessados apenas na direcao de um vetor e n o no a seu tamanho. Por exemplo, como veremos posteriormente, uma reta e completamente determinada por um ponto P e um vetor v. Nesse caso o tamanho de v n o e importante a e podemos multiplica-lo livremente por um escalar.

sa

Um vetor de comprimento 1 e chamado vetor unit rio. Dado um vetor v = 0, temos a que o vetor: v 1 v = v v

o

Pr eli m in av v1 v 2

r5


Atrav s da multiplicacao de vetores por escalares podemos dar uma caracterizacao e alg brica para o paralelismo de vetores: e Teorema 1.1 Se dois vetores u, v s o paralelos e v = 0 ent o u = v para algum R. a a Demonstracao: Vamos tratar primeiro o caso em que u e v t m mesmo sentido. Neste e caso, visto que v = 0, podemos escolher =

Com essa escolha, provaremos que u = v. Como u e v s o paralelos, u e v possuem a mesma direcao. E como estamos assua mindo que u e v possuem o mesmo sentido e como e maior que zero ent o pela a denicao de multiplicacao por escalares u e v possuem o mesmo sentido. Finalmente v = v =

O que prova que eles tem o mesmo comprimento. Logo, como os vetores u e v possuem mesma direcao, sentido e comprimento eles s o iguais. a A demonstracao do caso em que u e v possuem direcao contr ria e an loga, por m a e a u nesse caso escolhemos = v . Corol rio 1.2 Dois vetores u, v s o paralelos se e somente se u =v para algum R ou v =u a a para algum R. Demonstracao: Suponha que u, v s o paralelos. a Caso v = 0, pelo teorema acima, temos que u =v para algum R. Caso contr rio, a i.e., se v = 0 ent o v =u para = 0. a A implicacao contr ria segue da denicao de multiplicacao de um vetor por um escalar. a Se u =v ou v =u ent o u e v t m mesma direcao, ou seja, s o paralelos. a e a E como consequ ncia do corol rio anterior temos: e a

Ve rs ao AB = BC6

Teorema 1.3 Trs pontos A, B, C pertencem a mesma reta se e somente se AB = BC ou BC = e AB. Demonstracao: Claramente se A, B, C pertencem a mesma reta ent o os vetores AB e BC a s o paralelos e consequentemente pelo corol rio acima temos: a a ou BC = AB

Pr el imv = u

u v

in ar

u v


BC AB A B

C

Ve rs ao

A soma de vetores tamb m pode ser feita atrav s da regra do paralelogramo. Para e e somar dois vetores v e u atrav s dessa regra tomamos representantes desses vetores que e comecam num ponto comum O, como na gura 1.7. Ent o, a partir do ponto nal de cada a vetor tracamos uma reta paralela ao outro vetor. Essas retas se interceptam no ponto P. E logo um paralelogramo e formado. O vetor diagonal OP e a soma dos vetores v e u. O vetor v + u obtido por esse m todo e o mesmo que o obtido pelo m todo anterior, pois e e o segmento OP divide o paralelogramo em tri ngulos congruentes que representam a a soma dos vetores v e u.

Pr el imu+v v uFigura 1.6: Soma de Vetores

Soma de vetores Dois ou mais vetores podem ser somados do seguinte modo: a soma, v + u, de dois vetores v e u e determinada da seguinte forma: A partir de um segmento orientado AB, representante arbitr rio de v, tome um segmento a orientado BC que representa u, i.e., tome um representante de u com origem na extremidade nal do representante de v, desta forma o vetor v + u e denido como o vetor representado pelo segmento orientado AC, ou seja, pelo segmento que vai da origem do representante de v at a extremidade nal do representante de u. e

in ar7

Se AB = BC ou BC = AB, ent o pelo corol rio anterior os segmentos AB e BC a a s o paralelos. Consequentemente s o paralelas as retas AB e BC. Mas como o ponto a a B pertence a ambas as reta, essas s o coincidentes, i.e., os pontos A, B, C pertencem a a mesma reta.


v u+v u v+u vFigura 1.7: Regra do paralelogramo.

u

|w| = |u + v| = |u| + |v| .

w = u+v

v

Figura 1.8: comprimento e direcao de w = u + v

Para determinarmos o comprimento de w = u + v podemos utilizar a lei dos cossenos para o tri ngulo da gura: a Pela Lei dos Cossenos temos: |w| = |u|2 + |v|2 2 |u| |u| cos (1.1)

Ve rs ao

Como consequ ncia da formula anterior temos que |u + v| = |u| + |v| se e somente se e = , ou seja se os vetores tiverem mesma direcao e sentido. Enquanto que para determinarmos a direcao de w basta determinarmos o angulo entre os vetores w e u. Pela Lei dos Senos temos a seguinte relacao sim trica entre os e comprimentos dos vetores e seus angulos opostos: |w| |u| |v| = = sen sen sen (1.2)

As equacoes 1.1 e 1.2 s o a formulacao vetorial das Leis dos Cossenos e dos Senos a respectivamente. Observamos que, a partir da denicao de soma vetorial, e f cil ver que v+0 = 0+v = v, a ou seja, o vetor nulo e um elemento neutro para a adicao. Tamb m podemos denir o vetor oposto a um vetor dado, para isso consideremos a e seguinte propriedade, cuja demonstracao deixamos como exerccio (1.7):

8

Pr el im u

in ar

Pela denicao da soma de vetores, temos que em geral o comprimento de w = u + v e diferente da soma dos comprimento dos vetores u v, i.e.,


Para cada vetor u existe um unico vetor u tal que u + (u) = 0. O vetor u e denominado como o vetor oposto de u e e o vetor com o mesmo compri mento e direcao de u, mas com sentido oposto.

u

-u

Figura 1.9: Vetor oposto.

A partir do vetor oposto podemos denir subtracao de vetores: , denimos a subtracao v u como a soma do vetor v com o vetor u.

Figura 1.10: Subtracao de Vetores

Ve rs ao u

De modo equivalente podemos denir o vetor v u como o o vetor que adicionado a u d o vetor v. Consequentemente, se representarmos os vetores v e u comecando no a mesmo ponto, o vetor v u ser o vetor que liga a extremidade nal de u a extremidade a nal de v (vide gura 1.10).

Uma observacao importante e que sempre que os vetores formam um polgono fe chado, como a gura abaixo, sua soma e nula: Como um caso especial dessa regra e a soma de um vetor com seu oposto, i.e., v + (v) =0. As seguintes propriedades da soma e multiplicacao de vetores devem ser evidentes: Proposicao 1.4 Sejam u, v, w vetores e , 1 , 2 escalares. As operacoes com vetores possuem as seguintes propriedades:

Pr el imv vu v u

u

vu v

in ar9


r s u vFigura 1.11: A soma de vetores que formam um polgono fechado e nula: v + u + r + s = 0

S1. Propriedade Comutativa: v + u = u + v S2. Propriedades associativa: (u + v) + w = u + (v + w) S3. Elemento Neutro: 0 + u = u

u -u

Propriedades da multiplicacao de vetor por escalar:

M1. Propriedade distributiva de escalares em relacao aos vetores: (u + v) = u + v M2. Multiplicacao por zero 0u = 0

M3. Associatividade da multiplicacao por escalares (1 2 )u = 1 (2 u) M4. Distributiva dos vetores em relacao aos escalares (1 + 2 )u = 1 u + 2 u

Ve rs ao 10

M5. Elemento neutro multiplicativo 1u = u Demonstracao: Esbocaremos a demonstracao de algumas dessas propriedades: A propriedade comutativa segue da regra do paralelogramo para a adicao dos vetores u e v, veja a gura 1.12. A diagonal e simultaneamente os vetores u + v e u + v.

Figura 1.12: Propriedade Comutativa da Soma

Pr el imv u u+v v u

S4. Elemento oposto: Para cada vetor u existe um unico vetor u tal que u + (u) = 0

in ar

Propriedades da soma:


u u+v w

v v+w w

Figura 1.13: Propriedade Associativa da Soma

1 (2 u) = |1 | 2 u = |1 | (|2 | u ) = |1 2 | u = (1 2 )u . A propriedade M4, i.e, a distributiva dos vetores em relacao aos escalares (1 + 2 )u = 1 u + 2 u,

Ve rs ao

segue da observacao de que a direcao e o sentido dos vetores (1 + 2 )u e 1 u + 2 u e a mesma. Esse fato e claro se 1 e 2 tiverem o mesmo sinal, ou se 1 + 2 = 0, no outros casos o sentido e determinado pelo escalar de maior modulo |1 | e |2 | . Se o sinal de 1 e 2 forem o mesmo, teremos que

(1 + 2 )u = |(1 + 2 )| u = (|1 | + |2 |) u = 1 u + 2 u .

Pela denicao de adicao de vetores e f cil ver que a soma de dois vetores de mesmo a sentido e um vetor tamb m de mesmo sentido e com o comprimento igual a soma do e comprimento dos vetores somados. Da temos:

1 u + 2 u = 1 u + 2 u .

Pr el im

A propriedade associativa segue de imediato do fato que quando tr s vetores s o e a adicionados, o mesmo vetor fecha o polgono, como na gura 1.13. As propriedades S3 e S4 s o deixadas como exerccio ao leitor. a A propriedade M1 segue de modo simples a partir da regra do paralelogramo. Deixamos os detalhes a cargo do leitor. M2 e M5 s o resultados imediatos da denicao de a multiplicacao de vetor por escalar. Para demonstrarmos a propriedade M3, i.e., a associatividade da multiplicacao por escalares (1 2 )u = 1 (2 u) observamos inicialmente que os vetores (1 2 )u e 1 (2 u) possuem a mesma direcao e sentido independentemente do sinal de 1 e 2 (ter o o a mesmo sentido de u se 1 e 2 tiverem o mesmo sinal, e sentido oposto a u se 1 e 2 tiverem sinais contr rios). a Al m disso, os comprimentos de (1 2 )u e 1 (2 u) s o os mesmos pois: e a

in ar11


Por outro lado, caso os sinais de 1 e 2 sejam contr rios, teremos: a

(1 + 2 )u = (1 + 2 ) u = |1 | |2 | u = Novamente, pela denicao de soma vetorial, segue que:

1 u 2 u .

Exemplo 1.5 v + v = 2v

Demonstracao: Pela propriedade M5 temos que v + v = 1v + 1v e pela propriedade M4 temos que1v + 1v = (1 + 1)v = 2v e logo v + v =2v.

Ve rs ao 12

Exemplo 1.6 v + (1v) = 0, ou seja o vetor oposto a v e 1v.

Demonstracao: Pela propriedade M5 temos que v + (1v) = 1v + (1v) e pela proprie dade M4 temos que 1v + (1v) = (1 1) v = 0v. Finalmente a propriedade M2 nos diz que 0v =0 Como o vetor oposto e unico temos que o vetor oposto a v e 1v.

Exemplo 1.7 u + v = w se, e somente se, u = w v.

Pr el im

Todas as propriedades alg bricas dos vetores podem ser deduzidas das 9 propriedades e acima. Essas propriedades s o an logas as propriedades dos numeros reais e grande a a parte da algebra desenvolvida para numeros reais se estende para as operacoes vetoriais. De modo mais geral podemos denir um espaco vetorial como um conjunto com uma operacao + e uma operacao de multiplicacao por escalares satisfazendo os nove axiomas acima. Os espacos vetoriais s o uma das estruturas matem ticas de maior import ncia. a a a Vejamos algumas propriedades alg bricas dos vetores: e

in ar

1 u 2 u

= 1 u + 2 u .


Demonstracao: Vamos provar a primeira implicacao. Se u + v = w ent o, u = w v a Vamos comecar calculando (u + v) v (u + v) v= u+ (v v) por S2 u+ (v v) = u por M4 e M5 por outro lado, como w = u + v: (1.3) (1.4)

e consequentemente por 1.4 e ?? temos: u = (u + v) v = w v

A implicacao contr ria e semelhante. O leitor pode tentar, assim, completar os detalhes. a

Exemplo 1.8 Os segmentos que unem os pontos mdios de dois lados de um tri ngulo e paralelo e a ao terceiro lado. A

Ve rs ao

C

Solucao: Seja o tri ngulo ABC e seja M1 o ponto m dio do lado AB e M2 o ponto a e m dio do lado AC. O vetor AM1 e igual a metade do vetor AC pois ambos possuem e mesma direcao e sentido e o comprimento de BM1 e metade do comprimento de AM1 . Analogamente, temos que AM2 e metade do vetor AC, i.e., 1 AM1 = AB 2 1 AM2 = AC 2

Pr el imM2 M1 B

O seguinte exemplo ilustra como podemos atacar um problema geom trico utilizando e a linguagem vetorial.

in ar(1.6) (1.7)13

(u + v) v = w v = u

(1.5)


e consequentemente: AB = 2AM1 CA = 2M2 A Ent o como: a CB = CA + AB substituindo 1.8 e 1.9 em 1.10 temos: CB = 2M2 A + 2AM1 CB = 2(M2 A + AM1 ) = 2M2 M1 e consequentemente: 1 M2 M1 = CB 2

(1.8) (1.9)

(1.10)

E assim o segmento M2 M1 e paralelo ao segmento CB e seu comprimento e metade do ultimo.

Exemplo 1.9 Dado um tri ngulo de vrtices A, B, C. Dado P o ponto de encontro da bissetriz a e CA CB a do angulo C com o lado AB Ent o o vetor CP e paralelo ao vetor + , ou seja, CA CB

Ve rs ao

CA + CB CP = CA CB CA CA

Solucao: Observe que os vetores u =

logramo determinado por esses vetores, conforme a gura abaixo: Como os vetores u e v possuem o mesmo comprimento, pois s o unit rios o paraleloa a gramo determinado por estes e um losango. E assim a diagonal que liga o v rtice C ao e v rtice F e tamb m a bissetriz do angulo C. E consequentemente o vetor CP e paralelo e e ao vetor u + v, i.e, CB CA CP = + CA CB14

Pr el im ev= CB CB

s o unit rios. Considere agora o paralea a

in ar(1.11) (1.12)


A

P v u C v u+v u B F

Exerccios.

Ex. 1.1 Sendo ABCDEFGH o paralelogramo abaixo, expresse os seguintes vetores em funcao de AB, AC e AF:

Ve rs ao

a) BF b) AG c) AE d) BG e) AG f) AB + FG g) AD + HG h) 2AD FG BH + GH

Pr el im

in ar15


Ex. 1.2 Sendo ABCDEF um hex gono regular, como na gura abaixo. Expresse os a seguintes vetores em funcao dos vetores DC, DE E D

F O A a) DF b) DA c) DB d) DO e) EC f) EB g) OB B

C

Ve rs ao 16

Ex. 1.3 Sendo ABCDEF um hex gono regular, como no exerccio anterior. Expresse a os seguintes vetores em funcao dos vetores OD, OE a) OA + OB + OC + OD + OE + OF b) AB + BC + CD + DEEF + FA c) AB + BC + CD + DE + EF d) OA + OB + OD + OE e) OC + AF + EF

Ex. 1.4 Se o vetor a tem tamanho 3 e o vetor b tem tamanho 2 qual e o maior e o menos valor para o comprimento de a + b?

e a Ex. 1.5 Dados os vetores f1 , . . . f5 os vetores que ligam um v rtice de um hex gono regular aos outros v rtices como mostra a gura abaixo. Determine a soma desses vetores e em funcao dos vetores f1 e f3 .

Pr el im

in ar


f1

f2 f3 f4 f5

Ex. 1.6 Dado um tri ngulo ABC, sejam M, N, P os pontos m dios dos segmentos a e AB, BC e CA respectivamente. Exprima os vetores BP, AN e CM em funcao dos vetores AB e AC. Ex. 1.7 Prove que para cada vetor u existe um unico vetor u tal que u + (u) = 0.

Ex. 1.8 Dado um tri ngulo ABC, seja M um ponto do segmento AB. Suponha que a o vetor AM e igual a vezes o vetor MB. Exprima o vetor CM em funcao dos vetores AC e BC. Ex. 1.9 Dado um quadril tero ABCD, tal que AD = 5u, BC = 3u e tal que AB = v. a a) determine o lado CD e as diagonais BD e CA em funcao de u e v b) prove que ABCD e um trap zio. e

Ex. 1.10 Mostre que a soma de vetores cujos representantes formam um polgono fechado e nula.

Ve rs ao a)

Ex. 1.11 Dado v um vetor n o nulo. Prove que a direcao e sentido que v.

Ex. 1.12 Usando as propriedades da soma de vetores e da multiplicacao por escalares resolva a equacao nas incognitas x e y, i.e., escreva os vetores x e y em funcao de u e v:

x + 3y = u 3x 5y = u + v

Pr el imv v

e um vetor unit rio com a mesma a

in ar17


b) x + 2y = u 3x 2y = u + 2v

Ex. 1.13 Dados os vetores u, v, w e z tais que w = u + v e u e paralelo a z. Prove que w e paralelo a z se, e somente se, v e paralelo a z. Ex. 1.14 Usando as propriedades da soma de vetores e da multiplicacao por escalares prove que: a) () v = (v) b) (v) = (v) c) (v) = v

Ex. 1.15 Prove que v = 0 ent o ou = 0 ou v = 0 a Ex. 1.16 Prove que se v =v e v = 0 ent o = . a

Ex. 1.17 Dado um pent gono regular e O o seu centro. Mostre que a soma dos vetores a ligando o centro do pent gono a seus v rtices e o vetor nulo. a e Ex. 1.18 Prove que dados dois vetores u e v n o paralelos ent o se a a

Ve rs ao ent o 1 = 2 = 0 a18

1 u + 2 v = 0

Ex. 1.19 Se EFG e um tri ngulo qualquer e P, Q e R s o os pontos m dios dos lados a a e EF FG e GE respectivamente, demostrar que EPQR e um paralelogramo C N

Pr el imM A L B

in ar


1.2 depend ncia e independ ncia linear de vetores e eApesar de sabermos que tanto no plano como no espaco existem innitas direcoes de movimento nossa intuicao nos diz no espaco existem essencialmente tr s direcoes de e movimento, enquanto que no plano existem essencialmente duas direcoes de movi mento. O que realmente queremos dizer ao armarmos essencialmente apenas tr s e direcoes de movimento? O objetivo dessa secao e responder matematicamente a essa quest o. Para isso intro a duziremos os conceitos de combinacao linear e depend ncia e independ ncia linear. e e Como vimos na secao anterior, a adicao de vetores e a multiplicacao de um vetor por um escalar nos permitem obter novos e diferentes vetores a partir de alguns vetores dados. Os vetores assim obtidos s o ditos combinacao linear dos vetores iniciais. a u av au

Figura 1.14: O vetor w pode ser escrito como somas de multiplos dos vetores u e v.

Ve rs ao

J os conceitos de depend ncia e independ ncia linear est o intuitivamente associados a e e a a capacidade ou n o de se escrever um vetor de um conjunto em funcao de outros. a Assim por exemplo, ainda de maneira intuitiva, um conjunto de vetores ser linearmente a dependente, se as direcoes desses vetores s o dependentes nos sentido de n o podermos a a obter uma dessas direcoes a partir (como combinacao) das outras. Geometricamente, veremos ainda que o conceito de depend ncia linear estar associe a ado como o fato que as direcoes desses vetores estarem em uma posicao especial restrita, como ocorre por exemplo quando dois vetores s o colineares ou quando tr s vetores s o a e a coplanares. De posse desses conceitos a armacao inicial poder ser reescrita de modo preciso a como no espaco existem apenas tr s direcoes de movimento linearmente independen e tes. Para tanto, passemos a uma descricao mais cuidadosa de todos esses conceitos.

Pr el imv w

in ar19


w v v u u

v

Figura 1.15: w = 2u + 3v

Diremos que um vetor w e dito combinacao linear dos vetores {vi }i=1,...,n se existem escalares {i }i=1,...,n tal quen

w=i=1

i vi .

Nesse caso diremos tamb m que o vetor w e dependente dos vetores vi com i = e 1, . . . , n, ou ainda, que o vetor w pode ser representado em funcao dos vetoresvi com i = 1, . . . , n

Exemplo 1.10 O vetor w ilustrado na gura 1.15 e combinacao de u, v. Pois w = 2u + 3v.

Ve rs ao e assim:20

Exemplo 1.11 Na gura 1.16 temos que vetor f1 e combinacao linear de f2 , f3 , f4 , f5 . Como os vetores f1 , f2 , f3 , f4 , f5 formam um polgono fechado sua soma e 0 f1 + f2 + f3 + f4 + f5 = 0

f1 = f2 f3 f4 f5 .

Exemplo 1.12 Escreva o vetor AD como combinacao linear de AB e AC.

Pr el im

in ar


f4

f3 f2 f1

f5

Figura 1.16: O vetor f1 e combinacao linear dos vetores f2 , f3 , f4 , f5 . C D

2

4

A

45o

30o 3

B

AD = 1 AB + 2 AC.

Pr el imD j j 30o K A i A

Solucao: Queremos encontrar 1 e 2 tais que:

Primeiramente vamos escolher dois vetores i, j ortogonais e de norma 1 e vamos escrever todos os demais vetores em funcao desses (Figura 2.1). Facilmente observamos que AB = 3i.C D C

2 j A 45o 30o 3 i

4

B

Ve rs ao

Figura 1.17: Vetores i, j

Figura 1.18: Vetor AD

Figura 1.19: Vetor AC

Observando a Figura 1.18 conclumos que AD = AK + KD. E por trigonometria do tri ngulo ret ngulo temos: a a

AK = 4(cos 30o )i e KD = 4(sen 30o )j. Dessa forma temos que AD = 2 3i + 2j. De modo an logo, observando o tri ngulo da Figura 1.19 conclumos que AC = AP + a a PC. Mas, novamente por trigonometria, temos que AP = 2(cos 45o )i e PC = 2(sen 45o )j. Logo AC = 2i + 2j. Voltando a equacao (1.13) obtemos ent o: a ` 2 3i + 2j = 1 (3i) + 2 ( 2i + 2j).

in ar(1.13)45o i P

21


Isolando i e j obtemos nalmente: (2 3 31 22 )i + (2 22 )j = 0 Como os vetores i, j s o LI, segue que: a 2 3 31 22 = 0 2 22 = 031) E assim podemos concluir que 1 = 2( 3 e 2 = Finalmente: 2( 3 1) AB + 2AC. AD = 3

2.

Denicao 1.13 Um vetor v e dito linearmente dependente (LD) se v = 0. Os vetores v1 , . . . , vn (n 2) s o ditos linearmente dependentes (LD) se existe um i {1, 2, . . . , n} a tal que o vetor vi seja combinacao linear dos demais vetores, ou seja: vi =j=i

j vj ,

onde 1 , 2 , . . . , n R. Dizemos que os vetores v1 , . . . , vn s o linearmente independentes (LI) se eles n o s o a a a linearmente dependentes. A partir dessa denicao temos o seguinte resultado:

Ve rs ao n

a Proposicao 1.14 Os vetores v1 , . . . , vn s o linearmente dependentes se e somente se existem todos nulos tal que 1 , 2 , . . . , n R NAO 1 v1 = 0.

i=1

Demonstracao: Para n = 1 temos que se v e linearmente dependente ent o v = 0 da a para = 1, por exemplo temos v = 0. Reciprocamente, se v = 0 para algum = 0 pela denicao de multiplicacao por escalar segue que v = 0, logo v e linearmente dependente. Para n 2, suponha que os vetores v1 , . . . , vn s o linearmente dependentes. Sem a perda de generalidade suponha quen

v1 =

i vi ,

i=2

22

Pr el im

in ar


para 2 , 3 , . . . , n R. Somando (1)v1 a ambos os lados da igualdade chegamos a:n

(1)v1 +i=2

i vi = 0.

Logo n i vi = 0 com 1 , 2 , . . . , n n o todos nulos (pois 1 = 1). a i=1 Reciprocamente, considere que existem 1 , 2 , . . . , n n o todos nulos tal que an

1 v1 = 0.i=1

Suponha, sem perda de generalidade que 1 = 0. Multiplicando ambos os lados da 1 igualdade por 1 e isolando v1 chegamos a:n

v1 =i=2

Ou seja, o vetor v1 e combinacao linear dos demais.

A negativa logica de tal proposicao nos leva ao seguinte teorema:

Teorema 1.15 Os vetores v1 , . . . , vn s o linearmente independentes se e somente se an

i vi = 0i=1

= (1 = = n = 0)

Ve rs ao n

Ou seja, a unica relacao linear entre os vetores e a trivial, ou ainda, o vetor 0 pode ser escrito de modo unico como combinacao dos vetores vi com i {1, 2, . . . , n}. Desse teorema e imediata a unicidade da representacao de um vetor como combinacao linear de vetores LI:

Proposicao 1.16 Seja u um vetor que possa ser escrito como combinacao linear do conjunto de vetores linearmente independente {vi }i=1,...n u= i vi

i=1

ent o essa representac ao e unica. a

Demonstracao: Dadas duas representacoes de u, i.e, suporemos que u possa ser escrito como combinacao linear de {vi }i=1,...n de duas maneiras distintas: n

u=

Pr el im

i vi . 1

i vi

i=1

in ar(1.14)23


en

u=i=1

vi i

(1.15)

mostraremos que essas representacoes s o iguais, isto e que i = lambda . a i Subtraindo a equacao 1.15 da equacao 1.15 obtemos: n n i=1

i=1

e logon

(i )vi = 0 ii=1

A partir do Teorema 1.15 e da Proposicao 1.14, estudar a depend ncia linear dos e vetores v1 , . . . , vn e uma tarefa simples. Basta estudar a equacao: n i=1

i vi = 0,

com incognitas i (i {1, 2, . . . , n}). Se tal equacao admitir apenas a solucao i = 0 para todo i {1, 2, . . . , n}, ent o os vetores v1 , . . . , vn s o LI. Caso contr rio, s o LD. a a a a

Ve rs ao 24

Exemplo 1.17 Suponha que os vetores u, v, w s o LI. Mostre que os vetores u + v, u v e a u + v + w tambm s o LI. e a

Solucao: Para demonstrar que os vetores u + v, u v e u + v + w s o LI, vamos estudar a a equacao: au + v + bu v + cu + v + w = 0

Expandindo e agrupando temos: (a + b + c)u + (a b + c)v + cw = 0

Pr el im

Finalmente, como os vetores {vi }i=1,...n s o linearmente independentes, temos que a ) = 0, e assim = lambda . Dessa forma, temos que a representacao para cada i, (i i i i e unica.

in ar

i vi

vi = 0 i


Como u, v, w s o LI temos que: a a+b+c = 0 ab+c = 0 c=0

Resolvendo o sistema anterior temos que a = b = c = 0. Consequentemente temos que au + v + bu v + cu + v + w = 0 a = b = c = 0 e logo os vetores u + v, u v e u + v + w s o LI. a

Exerccios.

Ex. 2.2 Dados os vetores a, b e c como na gura abaixo. Escreva o vetor c como combinacao de a e b. c

Ve rs ao

Ex. 2.3 Dados os vetores a, b e c como na gura abaixo. Escreva o vetor c como combinacao de a e b. a 4 135

Pr el imb 6 2 30 30 3 a b 3 120 3 c

Ex. 2.1 Dados os vetores a = OA, b = OB, c = OC ent o se AD = a Escreva o vetor DE em funcao de a, b, c.

in ar1 4c

e BE =

5 6 a.

25


Ex. 2.4 Em um tri ngulo ABC o ponto M e tal que 3BM = 7MC. Escreva o vetor AM a em funcao de AB e AC Ex. 2.5 Se AB + BC = ponto O.

0, prove que os vetores OA, OB e OC s o LD para qualquer a

Ex. 2.7 Suponha que os vetores u, v, w s o LI e seja a t = au + bv + cw.

Mostre que os vetores u + t, u + v e w + t s o LI se e somente se a + b + c = 1. a Ex. 2.8 Mostre que:

a) Se os vetores u, v s o LD ent o os vetores u, v, w s o LD. a a a b) Se os vetores u, v, w s o LI ent o os vetores u, v s o LI. a a a

Ex. 2.9 Dados a, b vetores LI, sejam OA = a + 2b, OB = 3a + 2b e OC = 5a + xb. Determine x de modo que os vetores AC e BC sejam LD. Ex. 2.10 Dado o tetraedro OABC, se denotarmos a = OA, b = OB e c = OC, M o ponto m dio de AB, N o ponto m dio de BC e Q o ponto m dio de AC e P o ponto tal e e e 2 que OP + 3 Oc. Calcule em funcao de a, b, vetorc: a) OM + ON + OQ b) PM + PN + PQ

Ve r

1.2.1

A depend ncia e independ ncia linear de vetores de V2 e V3 pode, tamb m, ser carace e e terizada geometricamente:

26

sa

Caracterizao Geomtrica de LD e LI ca e

o

Pr eli m in a

r

Ex. 2.6 Suponha que os vetores u, v, w s o LI. Mostre que os vetores u + v, u v + w a e u + v + w tamb m s o LI. e a


Teorema 1.18 (Caracterizac ao Geom trica da Depend ncia e Independ ncia Linear) Para e e e 2 e V 3 temos: vetores em V 1. Um vetor v e linearmente dependente se e somente se v = 0. 2. Dois vetores u, v s o linearmente dependentes se e somente se u e v s o paralelos. a a 3. Trs vetores u, v, w s o linearmente dependentes se e somente se u, v e w s o coplanares. e a a 4. Quatro ou mais vetores s o sempre linearmente dependentes. a

A demonstracao dessa teorema ser feito na proxima secao apos introduzirmos o con a ceito de base. Antes disso, por m, ilustraremos como utilizar essa caracterizacao para e resolver problemas geom tricos. e

Exemplo 1.19 Sejam M1 , M2 , M3 os pontos mdios dos lados AB, BC e CA do tri ngulo ABC. e a Prove que as trs medianas tm um unico ponto comum, que divide AM1 , BM2 e CM3 na raz o e e a 2 para 1. Esse ponto e conhecido como baricentro do tri ngulo. a

Ve rs ao 2 AG = AM1 3 2 CG = CM3 3

Solucao: Dividiremos a resolucao em duas etapas:

1a Etapa: Mostrar que as medianas AM1 e BM2 se intersectam num ponto G que divide AM1 e BM2 na raz o 2 para 1, ou seja, que: a 2 BG = BM2 . 3

2a Etapa: Mostrar que C, G e M3 s o colineares e que G divide CM3 na raz o 2 para 1, i.e., a a

Pr el imA M2 M3 G C M1 B

in ar27


Resolvidas as etapas seguir de modo natural que o baricentro divide as medianas a na raz o 2 para 1. De modo a tornar a notacao da resolucao mais limpa, chamemos os a vetores AB e AC de a e b, respectivamente. Observe que, como os vetores a, b n o s o a a paralelos pelo 1.18 eles s o LI. E expressaremos todos os demais vetores da gura em a funcao desses vetores. Fixada a notacao, passemos a cada uma das etapas: 1a Etapa: Agora para estudarmos a interseccao G das medianas AM1 e BM2 , expressaremos os vetores AM1 e BM2 em funcao de a, b. Observamos inicialmente que pela denicao de subtracao que CB = a b. E assim: 1 1 1 AM1 = AC + CB = a + b 2 2 2 1 1 BM2 = BA + AC = a + b 2 2 Como os pontos A, G e M1 s o colineares temos: a AG = AM1 = (a + b) . 2 Analogamente:

1 BG = BM2 = a + b . 2

Observamos que, nesse est gio, n o sabemos ainda que G divide os segmentos a a AM1 e BM2 na mesma proporcao. Assim sendo, usamos letras diferentes ( e ) para os escalares das equacoes acima. a E f cil ver que uma equacao envolvendo os vetores AG e BG e:

Ve rs ao Donde temos:28

BG = BA + AG.

1 a + b 2

Isolando os vetores a, b temos ent o: a a + 1 2 +b 2 2 = 0.

Como a, b s o LI segue ent o que: a a + 1 = 0 2 =0 2 2

Pr el im= a + (a + b) . 2

in ar


Desse sistema obtemos ent o: a 2 == . 3 Ou seja, G divide tanto o segmento AM1 quanto o segmento BM2 na raz o 2 para a 1. 2a Etapa: Para mostrar que C, G e M3 s o colineares, mostremos que a equacao a

com incognita em admite solucao real. Inicialmente escrevamos CG e CM3 em funcao de a, b: 1 2 CG = AG AC = a b, 3 3 1 CM3 = AM3 AC = a b. 2 Temos assim a seguinte equacao: 2 1 a b 3 3 Isolando a, b temos: a 1 3 2 =

Como a, b s o LI: a1 3

Ve rs ao 2 = . 3

=0 2 2 3 + = 0

Tal sistema admite uma solucao:

Dessa forma temos que os pontos C, G e M3 s o colineares e que G divide CM3 a na raz o 2 para 1. a

Pr el im1 ab . 2 2 +b + 3 =029

in ar

CG = CM3


Exemplo 1.20 Dado as retas r e s e um ponto O n o pertencente as retas. Dadas duas retas t1 a e r2 , que interceptam r e s nos pontos A, B, C, D conforme a gura abaixo. Mostre os segmentos AB e CD s o paralelos se e somente se a OA OB = . AC BD

D B v s r u A C t2

O

Solucao: Como os pontos O, A, B n o s o colineares, os vetores u = OA e v = OB n o s o a a a a paralelos e assim s o LI. Como os segmentos AB, CD s o paralelos temos que a a AB = CD

Como OC e paralelo a OA temos que ` OC = xu

De modo an logo temos que a OD = yv E assim

Ve rs ao Consequentemente e logo 1 x = 0 y 1 = 030

CD = OD OC = yv xu

AB = v u = (yv xu)

(1 x)u + (y 1)v = 0

Como os vetores u, v s o LI, temos que a

Pr el im

in ar

t1


1 e logo x = y = . E nalmente temos que

OA OB = . AC BD Faremos agora a recproca. Se OB OA = AC BD ent o a BD AC = . OA OB e assim OB + BD OA + AC = . OA OB OD OC = OA OB

Como os segmentos OC e OA s o paralelos temos que OC = kOA. De modo similar a temos que OD = kOB E assim AB = OA OB

e assim igualando a k, temos que

Ve rs ao 1 1 1 = + 3 1 2

CD = OD OC = k(OA OB) Consequentemente os vetores AB e CD s o paralelos. a

Exemplo 1.21 Dado um paralelogramo ABCD. Seja l uma linha reta que intercepta AB, AC e AD nos pontos B1 , C1 e D1 respectivamente. Prove que se AB1 = 1 AB, AD1 = 2 AD e AC1 = 3 AC ent o: a

Pr el imOC OA

=

OD OB

=k

in ar31


l

B1

B C1 D1

C

A

D

B1 C1 = kB1 D1 Mas B1 C1 = AC1 AB1 = (3 1 ) a + 3 b e B1 D1 = AD1 AB1 = 1 a + 2 b Substituindo as expressoes acima em 1.16, obtemos: (3 1 ) a + 3 b = k1 a + k2 b Isolando a, b:

a (3 1 + k1 ) + b (3 k2 ) = 0

E logo 3 1 + k1 = 0 e 3 k2 = 0. Da segunda equacao obtemos k = 3 . Substituindo k na primeira equacao e dividindo 2 a mesma por 1 3 segue 1 1 1 = + . 3 1 2

Ve rs ao

Exerccios.

Ex. 2.11 Sejam B um ponto no lado ON do paralelogramo AMNO e e C um ponto na diagonal OM tais que 1 OB = ON n

e OC =

1 OM. Prove que os pontos A, B e C est o na mesma reta. a 1+n

32

Pr el im

in ar(1.16)

Solucao: Assuma que AB = a, AD = b e AC = a + b. Ent o AB1 = 1 a, AD1 = 2 b e a AC1 = 3 (a + b) Como os tr s pontos A1 , B1 e C1 est o na mesma reta ent o: e a a


Ex. 2.12 Dado um paralelogramo MNPQ, seja A o ponto de interseccao das diagonais e sejam B e C os pontos m dios dos lados opostos MN e PQ. Prove que se os pontos A, B e e C est o sobre a mesma reta ent o MNPQ e um trap zio (um trap zio e um quadril tero a a e e a com dois lados paralelos).M C A N

Q

B

P

Ex. 2.14 As diagonais AC e BD de um quadril tero ABCD se interceptam no ponto a P, que divide o segmento AC na raz o m : n e o segmento BD na raz o m : n . Dado a a Q o ponto de interseccao das retas contendo os segmentos AC e BD. Encontre a raz o a AQ : DQ e BQ : CQ.Q

Ve rs ao

Ex. 2.15 Chama-se diagonal de um paraleleppedo a um segmento ligando dois v rtices e n o pertencentes a uma mesma face. Demostre que as diagonais de um paraleleppedo a dividem-se mutuamente ao meio.

a Ex. 2.16 Dado um tri ngulo OAB, sejam C e D pontos sobre o lado AB dividindo esse segmento em tr s partes congruentes. Por B tracamos a reta paralela a OA, e sejam e X e Y a interseccao dessa reta com as retas ligando OC e OD respectivamente.

Pr el imC D m n n P m A B

Ex. 2.13 Os pontos P e Q dividem os lados CA e CB de um tri ngulo ABC nas a razoes y x , 1x 1y respectivamente. Prove que se PQ = AB ent o x = y = . a

in ar33


a) Expresse os vetores OX e OY em funcao de OA e OB. b) Determine as razoes nas quais X divide BY, C divide a OX e D divide a OY. B X C D Y

O

A

a Ex. 2.18 Dado o ponto m dio da mediana AE do tri ngulo ABC se a reta BD corta e o lado AC no ponto F, determine a raz o que F divide AC aC

Ve rs ao 34

Ex. 2.19 Dado um tri ngulo ABC e I um ponto interior ao tri ngulo. Passando por a a I, tracamos os segmentos PQ, RS, T U paralelos respectivamente a AB, BC e CA respecti vamente. (Com os pontos P, S em AC, T , Q em BC e U, R em AB. Demonstre que PQ RS TU + + =2 AB BC CAB S P A U R T Q I C

Pr el imE F D A B

Ex. 2.17 Num quadril tero ABCD, o Q o ponto de interseccao das diagonais AC e BD a 4 2 se interceptam dividem as diagonais nas razoes 3 e 3 respectivamente. Em qual raz o a divide o ponto P determinado pelas interseccao os lados AB e CD a estes segmentos.

in ar


1.3 basesDizemos que um conjunto de vetores {vi }i=1,...,n gera o espaco (um dado plano) se qualquer vetor w do espaco (do plano) puder ser escrito como combinacao linear dos vetores {vi }i=1,...,nn

w=i=1

i vi

Denicao 1.22 Uma base para o espaco (um dado plano) e um conjunto ordenado de vetores {vi } linearmente independentes e que geram o espaco (o plano).

Intimamente relacionado ao conceito de base est o conceito de dimens o de um a a plano/espaco. A dimens o ser denida como o numero de vetores numa base, ou seja, a a o numero de vetores independentes a partir do qual podemos obter todos os outros. Teorema 1.23 [da base para planos]Qualquer vetor f pode ser escrito de maneira unica como combinacao linear de dois vetores n o nulos e n o paralelos e1 e e2 , isto e: a a f = me1 + ne2

com m e n R unicos. Ou seja, dois vetores n o nulos e n o paralelos formam uma base para a a 2. VP

Ve rs ao f = 1 u + 2 v.

Figura 1.20: Teorema da Base para Planos

Demonstracao: Considere um ponto arbitr rio O do espaco. Primeiramente observe que a f e paralelo ao plano determinado pelo ponto O e pelos vetores u, v. Considere o representante de f que comeca no ponto O e termina em P, i.e., seja f = OP. Considere a reta paralela a u que passa pelo ponto P e a reta paralela a v que passa por O. Essas retas se encontram num ponto K (Por qu ?). E f cil ver, ent o, que f = OK + KP. e a a Como KP e paralelo a u, tal vetor e um escalar vezes u, ou seja, KP = 1 u. De maneira an loga OK = 2 v. Desta forma temos: a

Pr el imf me1 e1 K O e2 ne2

in ar35


A unicidade e imediata a partir da Proposicao 1.16. Corol rio 1.24 Toda base para o plano tem exatamente dois vetores. Ou seja, o plano tem dia mens o 2. a Teorema 1.25 [Base para o Espaco]No espaco tridimensional, sejam e1 , e2 , e3 trs vetores n o e a nulos, n o paralelos entre si e n o paralelos ao mesmo plano. Ent o qualquer vetor f no espaco a a a pode ser escrito como combinacao linear unica de e1 , e2 , e3 , isto e:

com l, m, n R. Ou seja, trs vetores n o nulos, n o paralelos entre si e n o paralelos ao mesmo e a a a 2 plano formam uma base para VP

Ve r

O vetor KP e paralelo a w, i.e, KP = 3 w. Finalmente como OP = OK + KP temos que: f = 1 u + 2 v + 3 w.

Corol rio 1.26 Toda base para o espaco tem exatamente trs vetores. Ou seja, o espaco tem a e dimens o 3. a

36

sa

Demonstracao: A demonstracao e an loga a demonstracao anterior. Comecamos esco a lhendo representantes dos vetores f, u, v, w que comecam no ponto O (veja a gura ??). Seja ent o a reta paralela a w passando por P. Essa reta intercepta o plano determinado a por u, v no ponto K. O vetor OK estando no mesmo plano que u, v, pode ser escrito como combinacao linear desses vetores: OK = 1 u + 2 v

o

Pr eli m in af ne3 le1 e3 O e2 e1 OK me2 K

Figura 1.21: Teorema da Base para o Espaco

r

f = le1 + me2 + ne3


Uma vez provados esses resultados demonstremos o teorema de caracterizacao geom trica e da depend ncia e independ ncia linear, que apresentamos na secao anterior: e e Teorema 1.27 (Caracterizac ao Geom trica da Depend ncia e Independ ncia Linear) Para e e e 2 e V 3 temos: vetores em V 1. Um vetor v e linearmente dependente se e somente se v = 0.

3. Trs vetores u, v, w s o linearmente dependentes se e somente se u, v e w s o coplanares. e a a 4. Quatro ou mais vetores s o sempre linearmente dependentes. a

2. Se u e paralelo a v. Pelo Corol rio 1.2, ou u = v ou v = u (, R). Logo, como a um dos vetores e necessariamente combinacao linear do outro, segue que u, v s o a LD. Por outro lado, se u, v s o LD ent o um dos vetores e combinacao linear do outro, a a i.e., temos que u = v ou v = u (, R). E assim, pelo Corol rio 1.2, temos que a u, v s o paralelos. a 3. Se tr s vetores u, v, w s o coplanares temos dois casos a considerar ou u, v s o e a a paralelos, ou u, v n o s o paralelos. a a Se u, v s o paralelos, pela argumentacao acima, um dos vetores e combinacao linear a do outro. Suponha, sem perda de generalidade, que u = v. Temos ent o que: a u = v + 0w.

Ve rs ao w = 1 u + 2 v,

Logo u e combinacao linear dos demais vetores e, portanto, u, v, w s o LD. a

Se u, v, w s o coplanares e u, v n o s o paralelos, pelo Teorema 1.23 temos que a a a

para 1 , 2 R. Assim, os vetores u, v, w s o LD. a

Reciprocamente, suponha que u, v, w s o LD. Temos ent o que um dos vetores a a e combinacao linear dos demais. Suponha, sem perda de generalidade, que u = v + w. Segue que o vetor u e paralelo ao plano determinado pelo ponto O e pelos vetores v e w (Por qu ?). Logo os vetores u, v, w s o coplanares. e a

Pr el im

Demonstracao: 1. Se v = 0. Da temos que v = 0 para = 1 = 0. Da pela Proposicao 1.14 segue que v e LD. Reciprocamente, se v e LD ent o v = 0 para a = 0 e consequentemente v = 0.

in ar37

2. Dois vetores u, v s o linearmente dependentes se e somente se u e v s o paralelos. a a


4. Considere n vetores v1 , v2 , . . . , vn , com n v1 , v2 , v3 s o coplanares ou n o o s o. a a a

4. Duas coisas podem ocorrer: ou os

Se v1 , v2 , v3 s o coplanares, pela argumentacao acima, um dos vetores e combinacao a linear dos demais. Suponha v1 = v2 + v3 . Segue que:n

v1 = v2 + v3 +i=4

0vi .

Caso v1 , v2 , v3 n o sejam coplanares, pelo Teorema 1.25, a v4 = 1 v1 + 2 v2 + 3 v3 , para 1 , 2 , 3 R. Da temos: v4 = 1 v1 + 2 v2 + 3 v3 +i=5

n

0vi .

Logo, v1 , v2 , . . . , vn s o LD. a

Exerccios.

Ex. 3.1 Mostre que os vetores u, v, w s o coplanares se, e somente se, um deles e a combinacao linear dos outros dois. Ex. 3.2 Prove que se o conjunto de vetores {u, v} e uma base para o plano, ent o o a conjunto {u + v, u v} tamb m e uma base para o plano. e

Ve rs ao 38

Ex. 3.3 Prove que se o conjunto de vetores {u, v, w} formam uma base para o espaco, ent o o conjunto {u + v, u v, w 2u} tamb m formam uma base para o espaco. a e

Ex. 3.4 Dado um tetraedro ABCD explique por que os vetores AB, AC, AD formam uma base para o espaco. Ex. 3.5 Descreva uma base para os planos xy, yz e xz.

Ex. 3.6 Descreva uma base diferente da anterior para os planos xy, yz e xz.

Pr el im

in ar

Logo v1 , v2 , . . . , vn s o LD. a


1.4 soma de ponto com vetor Dado um ponto P e um vetor podemos denir a soma de ponto v com vetor do seguinte modo. Seja um representante de que comeca em P e seja Q o ponto v nal desse representante. Denimos ent o: a P + v := Q

Q v

P = O + OP

Nesse caso o vetor OP e dito vetor posicao de P.

Proposicao 1.28 A soma de ponto com vetor tem as seguintes propriedades: 1. P + O = P

2. P + u = P + v se e somente se u = v 3. (P + u) + v = P + (u + v) 4. (P + u) u = P

Ve rs ao 5. P + PQ = Q 1. E imediata pois PP = 0

Demonstracao: Faremos a demonstracao dos tr s primeiras propriedades e deixaremos e as outras como exerccio ao leitor.

2. Se P + u = P + v, seja Q = P + u, ent o u = PQ = v e assim u = v. A recproca e a imediata.

Pr el im

P Ou seja, a soma do ponto com o vetor v nos retorna a translacao do ponto P ao ser transportado pela direcao, sentido e compri mento de v. Podemos reescrever a denicao de soma de ponto com vetor de outra forma: diremos que P + v = Q se e somente se PQ = v. Se escolhermos um ponto xo no espaco O que chamaremos de origem, cada ponto P do espaco (ou plano) pode ser escrito como

in ar39


3. Seja Q1 = P + u, Q2 = Q1 + v e Q3 = P + (u + v). Para demonstrar que (P + u) + v = P + (u + v) basta mostrarmos que Q2 = Q3 . Por denicao Q1 = P + u implica que u = PQ1 . De modo an logo, Q2 = Q + v, a implica que v = Q1 Q2 e Q3 = P + (u + v) implica que (u + v) = PQ3 . Logo PQ3 = (u + v) = PQ1 + Q1 Q2 PQ3 = PQ2 Q3 = Q2 (1.17) (1.18)

Exemplo 1.29 Dado ABC um tri ngulo e P um ponto sobre BC. Se Q = P + AP + PB + PC a demonstre que ABQC e um paralelogramo e assim Q n o depende da escolha de P. a C Q

Ve r

e logo

AQ = AB + AC E assim CQ = AQ AC = AB. De modo an logo podemos provar que BQ = AC e a assim ABQC e um paralelogramo.

40

sa

e logo

AQ AP = AP + AB AP + AC AP

o

Solucao: Como Q = P + AP + PB + PC ent o a PQ = AP + PB + PC

Pr eli m in aP A B

r(1.19)


Exemplo 1.30 Dado um tri ngulo ABC e O um ponto qualquer. Ent o o baricentro G do a a tri ngulo ABC e dado por: a OA + OB + OC G = O+ 3

B G A C

O

OA + OB + OC P = O+ . 3 Como OB = OA + AB e OC = OA + AC, temos que: OA + OA + AB + OA + AC P = O+ 3 que simplicando ca:

Ve rs ao P = A+ AB + AC 3 AB + AC G = A+ 3 G = O+

AB + AC P = O + OA + 3 E como A = O + OA, a express o anterior e equivalente a: a

No exerccio 1.19 j provamos que AG = a vetor que:

E assim temos que G = P, ou seja, demonstramos que: OA + OB + OC 3

Pr el im AB+AC 3

Solucao: Seja

ou na forma de soma de ponto com

in ar41


Exerccios. Ex. 4.1 Prove que: a) (P + u) u = P b) P + u =Q+v ent o u =PQ+v a c) P + PQ = Q

Ex. 4.2 Prove que as diagonais de um paralelogramo se dividem mutualmente ao meio. Ex. 4.3 Sendo A e B dois pontos, mostrar que AB + BA = 0

Ex. 4.4 Dados A, B dois pontos distintos e um numero real, Determine vetorial mente o ponto M no segmento AB tal que AM = MB. Ex. 4.5 Seja ABCD um quadril tero. Se E e o ponto m dio do lado AB e F e o ponto a e 1 m dio do lado oposto DC, prove que EF = 2 AD + BC . e

Ex. 4.6 Seja G o baricentro (ou seja o ponto de encontro das medianas) do tri ngulo a ABC. Prove que GA + GB + GC = 0.

Ve rs ao 42

Ex. 4.7 Prove que o segmento que une os pontos m dios dos lados n o paralelos de e a um trap zio e paralelo as bases, e sua medida e a semi-soma das medidas das bases. e a Ex. 4.8 Prove que existe um unico ponto comum as bissetrizes internas de um tri ngulo e que esse ponto, conhecido como incentro do tri ngulo e interior a ele. a

Ex. 4.9 Dado ABCD um tetraedro, seja M o ponto de encontro das medianas do tri ngulo ABC. Exprima o vetor DM em funcao dos vetores DA, DB e DC. a

Pr el im

in ar


Ex. 4.10 Prove que se os pontos A, B, C formam um triangulo equil tero ent o os a a pontos A + v, B + v, C + v formam um tri ngulo equil tero para qualquer v. a a Ex. 4.11 Dado ABCD um quadril tero, e O um ponto qualquer e seja P o ponto m dio a e do segmento que une os pontos m dios das diagonais AC e BD. Prove que e P = O+ 1 OA + OB + OC + OD 4

Ex. 4.12 Demostre que o baricentro de um tri ngulo, e tamb m o baricentro do tri ngulo a e a cujos v rtices s o pontos que dividem os lados do primeiro na mesma raz o. e a a Ex. 4.13 Mostre que dados os vetores mOA e nOB, sua soma e igual a (n + m)OP, sendo P o ponto de interseccao do segmento AB com a reta OR, onde R = O + mOA + nOB.

Ex. 4.14 Dado O o circuncentro e H o ortocentro de um tri ngulo ABC, mostre que: a a) OA + OB + OC = OH b) HA + HB + HC = 2HO

Ve rs ao Exerccios.

1.5 exerc cios complementares

Ex. 5.1 O objetivo desse exerccio e denir formalmente quando dois segmentos ori entados possuem o mesmo sentido. Dados dois segmentos orientados de reta e paralelos AB e CD. Dizemos que esses segmentos possuem o mesmo sentido se os segmentos AC

Pr el imR B P O A

in ar43


e BD n o se intersectam. Segmentos que n o possuem o mesmo sentido s o ditos de a a a sentidos opostos a) Mostre que se os segmentos AB e CD possuem o mesmo sentido e CD e EF possuem o mesmo sentido ent o AB e EF possuem o mesmo sentido. a b) Mostre que se os segmentos AB e CD possuem sentido opostos e CD e EF possuem sentidos opostos ent o AB e EF possuem o mesmo sentido. a Ex. 5.2 Prove que se PQ = P Q ent o PP = QQ . a

Ex. 5.3 Dado um tri ngulo ABC e sejam D, E e F os pontos m dios dos lados BC, CA a e e AB respectivamente. Mostre que

Ex. 5.4 Mostre que AB + CB + 2BA e 1 AC s o colineares; a 3

Ex. 5.5 Dado um paralelogramo ABCD e sejam K, L os pontos m dios dos lados BC e e CD. Escreva o vetor BC como combinacao de a = AK e b = AL C L D

Ve rs ao 44

a Ex. 5.6 Mostre que as alturas de um tri ngulo ABC de angulos , , se interceptam num unico ponto, denominado ortocentro cujo vetor posicao e: tg a + tg b + tg c tg + tg + tg

Ex. 5.7 Mostre que a bissetriz de um tri ngulo ABC se interceptam num unico a ponto, denominado circuncentro cujo vetor posicao e:

Pr el imK A B

AD + DE + CF = 0

in ar


sen 2a + sen 2b + sen 2c sen 2 + sen 2 + sen 2

D

G

A J K L B C I

Ex. 5.9 Mostre que para vetores n o colineares a e b a igualdade: a

m1 a + n1 b = m2 a + n2 b equivale ao sistema de igualdades m1 = m2

n1 = n2

Ve rs ao BF = FC DE = EC

Ex. 5.10 Dado um paralelogramo ABCD e sejam E e F pontos nos lados BC e CD de modo que

sendo , numeros reais positivos. Os segmentos FD e AE se intersectam no ponto O. FO Determine OD .

Pr el imH E

in arF

Ex. 5.8 Num plano s o dados dois tri ngulos ABC e CDE. Sejam G, H, I os pontos a a m dios dos segmentos AC, BD e CE respectivamente. Mostre que os baricentros dos e tri ngulos ABC DEF e GHI s o colineares. a a

45


Ve rs ao

Pr el im

in ar


2

VE T ORE S E M C OORDE NADAS

Ve rs ao v = 1 e1 + 2 e2 + 3 e3 , 1 : V3 R3 v (1 , 2 , 3 )

No primeiro captulo estudamos vetores de um ponto de vista totalmente geom trico. e Apesar de uteis as denicoes geom tricas acabam perdendo um pouco de seu poder e quando nos deparamos com problemas mais complexos. Por isso e necess rio que tea nhamos em m os uma representacao alg brica, n o apenas de vetores, mas de todo o a e a essa representacao que nos permitir fazer c lculos mais nos e espaco Euclidiano. E a a assim facilitar o estudo de resultados mais complexos. Os primeiros passos no sentido de encontrar tais representacoes j foram dados no a captulo anterior, ao estudarmos o conceito de base. Neste captulo daremos continui dade a estas ideias e veremos como utilizar as propriedades geom tricas estudadas at e e agora para encontrar representacoes alg bricas n o apenas para vetores, mas tamb m e a e para os pontos do espaco Euclidiano. Tais representacoes ser o chamadas de sistemas de a coordenadas, e ser o o foco principal deste captulo. a Mais precisamente, denimos sistema de coordenadas como uma identicacao contnua 2 (R 3 ) que nos permita localizar pondo plano (espaco) euclideano com uma regi o de R a tos atrav s de pares (triplas) de numeros reais. e Vejamos, por exemplo, como podemos relacionar vetores e pontos no espaco de modo a obter um sistema de coordenadas. Se considerarmos B = (e1 , e2 , e3 ) uma base de V3 , P pelo teorema da base para o espaco, temos que qualquer vetor v pode ser representado como:

Pr el imv e3 O e2 e1 OK

onde os coecientes 1 , 2 , 3 s o unicos. a Tal igualdade nos permite construir a seguinte bijecao 3 e R3 : entre V

Lembramos ao leitor que bijecao e uma funcao que identica univocamente os elemen tos do domnio com os do contra-domnio. Mais precisamente uma funcao bijetora e uma

in ar3 e3 1 e1 2 e2 K

47


aplicacao simultaneamente injetora, isto e, que leva elementos distintos do domnio em elementos distintos da imagem, e sobrejetora, ou seja, tal que todo elemento do contra domnio e imagem de algum elemento do domnio. Devido exist ncia da bijecao descrita acima, denimos a seguinte notacao: e v : (1 , 2 , 3 )B . Chamamos (1 , 2 , 3 ) de coordenadas do vetor v na base B. Considere agora o espaco Euclidiano (E3 ). O primeiro passo necess rio para encontrar a mos um sistema de coordenadas e localizar os pontos no espaco. Observe que para isso n o basta uma base de vetores, pois, como j dissemos anteriormente, vetores n o a a a s o localizados no espaco. Assim torna-se necess ria a escolha de um ponto qualquer a a para nos servir de refer ncia. Fixemos ent o um ponto O E3 a que chamaremos de e a origem do sistema de coordenadas. A partir de tal ponto as posicoes de todos os pontos 3 ser o determinadas. de E a Observe que, xado O, um ponto P qualquer em E3 pode ser escrito como P = O + OP. Tal igualdade nos permite identicar univocamente pontos de E3 com vetores de V3 :

Chamamos assim OP de vetor posicao de P. Tomando a composta := 1 2 obtemos uma bijecao entre os pontos de E3 e os 3 : a cada ponto P podemos associar a tripla ( , , ). elementos de R 1 2 3

2 : E3 V 3 P OP

2.1 sistemas de coordenadasMotivado pelo exposto acima, denimos um sistema vetorial de coordenadas no espaco como o conjunto formado por uma base de vetores B = (e1 , e2 , e3 ) e um ponto O, chamado de origem do sistema de coordenadas. Denotaremos o sistema de coordenadas por = (B, O) . A bijecao entre E3 e R3 dada por devido a nos permite denir a seguinte notacao: ` P : (1 , 2 , 3 ) ,

Ve r

onde (1 , 2 , 3 ) s o as coordenadas do vetor posicao OP na base B. Chamamos, nesse a caso, (1 , 2 , 3 ) de coordenadas do ponto P no sistema de coordenadas .

48

sa

o

Pr eli m in a

r


Observacao 2.1 Fixado um sistema de coordenadas , e usual representar as coordenadas de um vetor v na base B associada a tambm por (1 , 2 , 2 ) . e Muitas vezes quando o sistema de coordenadas e a base B est o claros pelo contexto e comum, a tambm, denotar tanto o ponto P quanto seu vetor posicao OP indistintamente por suas coordee nadas: (1 , 2 , 3 ) (sem indicar os sub-ndices ou B). Nesse caso cabe ao leitor entender pelo contexto a quem se referem as coordenadas descritas, a um ponto ou a um vetor. Finalmente, verique que podemos de forma totalmente an loga a descrita acima idena ` 2 com vetores de V 2 e com elementos de R 2 . Para ticar pontos do plano euclideano E isso tudo que precisamos e de um sistema de coordenadas = (B, O) onde B e uma 2 , ou seja, um conjunto formado por dois vetores linearmente independentes. base de V No que se segue apresentaremos os resultados apenas para V3 , deixando implcita sua 2. validade em V Se i, j e k forem tr s vetores ortonormais, ou seja, ortogonais dois a dois e de norma e 1, ent o o sistema de coordenadas = (B, O) onde B = (i, j, k) e chamado de sistema a cartesiano de coordenadas. Daqui em diante as letras i, j e k sempre denotar o vetores a ortonormais. Um sistema de coordenadas cujos vetores n o s o ortogonais e dito sistema de coora a denadas oblquo.

k

O j

Ve rs ao 1. 1 = (B1 , A) onde B1 = (e1 , e2 ).

Figura 2.1: Sistema de Coordenadas Ortonormais

Exemplo 2.2 Dado um ret ngulo ABCD conforme a gura abaixo, vamos encontrar as coordea nadas dos pontos A, B, C, D e dos vetores BD e AC nos seguintes sistemas de coordenadas:

1 2. 2 = (B2 , B) onde B2 = (e3 , 2 e1 ).

Pr el ime3 i O e2 e1Figura 2.2: Sistema de Coordenadas Oblquo

in ar49


D e3 e2 A e1

C

e1 = AB e2 = AD e3 = AC

B

AB = e1 e AD = e2 . Temos tamb m que e AC = e1 + e2

e que AA, sendo o vetor nulo, e igual a 0e1 + 0e2 . Assim as coordenadas s o a A : (0, 0)1 pois AA = 0e1 + 0e2 B : (1, 0)1 pois AB = 1e1 + 0e2 C : (1, 1)1 pois AC = 1e1 + 1e2 D : (0, 1)1 pois AD = 0e1 + 1e2 .

Para encontrar as coordenadas dos vetores BD e AC basta observar que BD = e1 + e2 e AC = e1 + e2 ,

Ve rs ao BD : (1, 1)1 AC : (1, 1)1 BA = e1 = 250

e portanto temos

(2)Vamos agora escrever as coordenadas dos pontos A, B, C, D no sistema 2 = A, e3 , 1 e1 . 2 Para tanto devemos escrever os vetores BA, BB, BC e BD como combinacao de f1 e f2 sendo f1 = e3 e f2 = 1 e1 . 2 Observe que 1 e1 2 = 2f2 ,

BB = 0f1 + 0f2 (vetor nulo),

Pr el im

in ar

Solucao: (1) Vamos primeiro escrever as coordenadas de A, B, C, D no sistema 1 . Para isso devemos escrever os vetores AA, AB, AC e AD como combinacao linear de e1 e e2 . Por denicao


BC = e2 = e3 + e1 = 1f1 + 2f2 BD = e3 2e1 = f1 4f2 . E assim as coordenadas dos pontos s o a A : (0, 2)2 B : (0, 0)2 D : (1, 4)2 C : (1, 2)2

Calculando as coordenadas dos vetores BD e AC, usando que e2 = e3 e1 obtemos que BD = e1 + e2 = e3 2e1 = f1 4f2 AC = e3 = f1 , e portanto vale BD : (1, 4)2 AC : (1, 0)2 .

Exerccios.

Ve rs ao F

Ex. 1.1 Dado o hex gono regular ABCDEF de centro O, conforme a gura abaixo: a E D

Determine as coordenadas dos pontos O, A, B, C, D, E e F nos seguintes sistemas de coordenadas: a) (O; OC, OD) b) (O; OC, OE)

Pr el imC O A B

in ar51


c) (B; BC, BO) d) (B; BC, BE)

Determine as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E, F, G e H nos seguintes sistemas de coordenadas: a) (A; e1 ; e2 ; e3 ) b) (A; e2 ; e1 ; e3 ) c) (A; e4 ; e1 ; e3 ) d) (H; e1 ; e2 ; e3 )

Ve rs ao e) (G; e3 ; 1 e1 ; 3e3 ) 21 f) (A; 2 e1 ; 1 e2 ; 1 e3 ) 2 2

Ex. 1.4 Determine as coordenadas dos vetores AB, AC, AF, AG, EF, FG, EH nos seguintes sistemas de coordenadas: a) (A; e1 ; e2 ; e3 ) b) (A; e2 ; e1 ; e3 )

c) (H; e1 ; e2 ; e3 )

d) (H; e2 ; e1 ; e3 )

52

Pr el im

Ex. 1.3 Dado o paralelogramo ret ngulo ABCDEFGH abaixo. Sejam e1 = AB, e2 = a AC, e3 = AF, e4 = AE.

in ar

Ex. 1.2 Encontre as coordenadas dos seguintes vetores nos sistemas de coordenadas do exerccio anterior: a) CD b) BD c) AC d) BE


e) (G; e3 ; 1 e1 ; 3e3 ) 2

2.1.1

Operaes Vetoriais em Coordenadas co

Proposicao 2.3 Se u : (a1 , a2 , a3 ) , v : (b1 , b2 , b3 ) e P : (p1 , p2 , p3 ) ent o: a 1. u + v : (a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 ) 2. u : (a1 , a2 , a3 )

3. P + u : (a1 + p1 , a2 + p2 , a3 + p3 ) Demonstracao:

1. Dado um sistema de coordenadas = (B, O), onde B = (e1 , e2 , e3 ), como u : (a1 , a2 , a3 ) e v : (b1 , b2 , b3 ) , por denicao temos que: u = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 v = b1 e1 + b2 e2 + b3 e3

Ve rs ao

E logo

u + v = e1 + a2 e2 + a3 e3 + b1 e1 + b2 e2 + b3 e3 = = (a1 + b1 )e1 + (a2 + b2 )e2 + (a3 + b3 )e3

E desta forma as coordenadas de u + v no sistema de coordenadas s o a u + v : (a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 )

2. Como u : (a1 , a2 , a3 ) , por denicao temos que: u = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3

Pr el im

in ar53

Agora que sabemos como representar vetores e pontos em coordenadas precisamos saber como operar com estas representacoes. A proposicao abaixo nos diz como as operacoes com pontos e vetores vistas no captulo anterior podem ser traduzidas para a representacao que acabamos de apresentar.


Desta forma temos que u = (a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 ) = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 E consequentemente: u : (a1 , a2 , a3 ) 3. Fica como exerccio para o leitor. (2.1) (2.2)

AB = (b1 a1 )e1 + (b2 a2 )e2 + (b3 a3 )e3 AB = (b1 a1 , b2 a2 , b3 a3 )

Tal igualdade d origem a notacao de Grassmann que diz: a AB = B A.

Observe que a igualdade acima e, no entanto, apenas uma notacao j que em nenhum a momento foi denida soma ou subtracao de pontos.

Ve rs ao 1. dos vetores AB, BC 2. do vetor AB + 1 BC 3 3. do ponto C + 1 AB 2 Solucao: 54

Exemplo 2.4 Dados os pontos A : (1, 3, 2), B : (1, 1, 1) e C : (1, 1, 0) determine as coordenadas

AB : (1 1, 1 3, 1 2) = (0, 2, 1)

Pr el im

Considere xado um sistema de coordenadas = (B, O). Observadas as operacoes com pontos e vetores em coordenadas, uma pergunta que resta ser respondida e: dados os pontos A : (a1 , a2 , a3 ) e B : (b1 , b2 , b3 ), como podemos encontrar as coordenadas do vetor AB? Observe que, pela denicao de subtracao de vetores, vale que AB = OB OA. Ent o, a como OA = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 e OB = b1 e1 + b2 e2 + b3 e3 , temos:

in ar


BC : (1 1, 1 1, 0 1) = (0, 0, 1) 1 1 1 4 AB + BC = (0, 2, 1) + (0, 0, 1) = (0, 2, 1 ) = (0, 2, ) 3 3 3 3 1 1 1 C + AB = (1, 1, 0) + (0, 2, 1) = (1, 0, ) 2 2 2

Exemplo 2.5 Achar o ponto mdio M = (m1 , m2 , m3 ) de um segmento com ponto inicial A = e (a1 , a2 , a3 ) e B = (b1 , b2 , b3 ), num sistema de coordenadas = (B, O), onde B = (e1 , e2 , e3 ). Solucao: Primeiro vemos que AB = 2AM j que possuem o mesmo sentido e AB e a duas vezes AM . Assim (b1 a1 )e1 + (b2 a2 )32 + (b3 e3 )e3 = 2(m1 a1 )e1 + 2(m2 a2 )e2 + 2(m3 a3 )e3 o que implica que

para todo i {1, 2, 3}. Logo para todo i, e M:

Ve rs ao

De posse da representacao dos vetores em coordenadas podemos agora fornecer crit rios e para a depend ncia e a independ ncia linear de vetores: e e Teorema 2.6 Os vetores u : (a1 , a2 , a3 ), se a1 b1 c1 v : (b1 , b2 , b3 ) e w : (c1 , c2 , c3 ) s o LI se e somente a a2 a3 b2 b3 c2 c3

Pr el imbi ai = 2(mi ai ), bi ai , 2 mi = b1 + a1 b2 + a2 b3 + a3 , , 2 2 2 . =0

in ar55


Demonstracao: Os vetores u, v, w s o LI se o sistema: a xu + yv + zw = 0 Tiver somente a solucao trivial x = y = z = 0 Em coordenadas podemos expressar a equacao 2.4 como: x (a1 , a2 , a3 ) + y (b1 , b2 , b3 ) + z (c1 , c2 , c3 ) = 0 E logo teremos o sistema: a1 x + b1 y + c1 z = 0 a x + b2 y + c2 z = 0 2 a3 x + b3 y + c3 z = 0 a2 a3 b2 b3 c2 c3 (2.4) (2.3)

Exemplo 2.7 Determine m de modo que os vetores u, v e w sejam LD, onde: v = (1, m + 1, m + 2) w = (1, 0, m) k = (0, 2, 3)

Ve rs ao 56

Solucao: Para que os vetores sejam LD, pelo teorema 2.6 o seguinte determinante deve se anular:

1 1+m 2+m 1 0 m 0 2 3

Calculando o determinante temos que:

1 1+m 2+m 1 0 m 0 2 3

Pr el im=0 =0 = 1 3m

Pela regra de Cramer (ver Ap ndice e unica se e somente se a1 b1 c1

7.2.2 p g. A.3 ) o sistema anterior tem solucao a

in ar


E assim queremos determinar os valores de m para os quas 1 3m = 0 e assim m = 1 . 3

Exerccios. Ex. 1.5 Os pontos m dios dos lados de um tri ngulo s o (2, 5) , (4, 2) e (1, 1). Detere a a mine as coordenadas dos tr s v rtices. e e Ex. 1.6 Dados dois pontos P : (x1 , y1 , z1 ) e Q : (x2 , y2 , z2 ), encontre a coordenada do ponto R, que se encontra sobre o segmento ligando os pontos P e Q e tal d(R, Q) = d(R, P).

Ex. 1.8 Prove que se u : (a1 , a2 , a3 ) e P : (p1 , p2 , p3 ) ent o: a P + u : (a1 + p1 , a2 + p2 , a3 + p3 )

Ex. 1.9 Determine quais dos conjuntos abaixo s o L.I. a a) {(1, 1, 2) , (1, 1, 0) , (1, 1, 1)} c) {(1, 0, 1) , (0, 0, 1) , (2, 0, 5)} b) {(1, 1, 1) , (1, 2, 1) , (1, 2, 2)}

Ve rs ao

Ex. 1.10 Exprima o vetor w : (1, 1) como combinacao linear de u : (2, 1) e v : (1, 1). Ex. 1.11 Sejam u = (2, 1) e B = (1, 3). Mostre que todo vetor (c1 , c2 ) pode ser expresso como combinacao linear de u, v Ex. 1.12 Sejam u = (1, 1, 1), v = (0, 1, 1) e w = (1, 1, 0) vetores no espaco. a) encontre as componentes de um vetor z = (a, b, c) na base formada por u, v, w. b) Mostre que se z = 0 ent o as componentes de z na base formada por u, v, w s o a a todas iguais a zero.

Pr el im

Ex. 1.7 Prove utilizando coordenada que o segmento de reta que une os pontos m dios e das laterais de um trap zio e paralelo as bases e sua medida e a m dia aritm tica das e e e ` medidas das bases.

in ar57


c) encontre as componentes de um vetor z = (1, 2, 3) na base formada por u, v, e w.

Ex. 1.13 Mostre que dois vetores n o nulos u : (a1 , a2 , a3 ) e v : (b1 , b2 , b3 ) s o LD se a a e somente se existe tal que: (a1 , a2 , a3 ) = (b1 , b2 , b3 ) Utilize esse crit rio para decidir se os vetores abaixo s o LI ou LD: e a a) u = (1, 2, 3) b) u = (1, 0, 3) c) u = (1, 2, 5) v = (4, 5, 6) v = (2, 0, 6) v=1 5 2 , 1, 4

a1 a2 b1 b2 e n o nulo. a

Ex. 1.15 Determine m, n de modo que os vetores u, v sejam LD, onde: a) v = (1, m, n + 1)w = (m, n, 2) b) v = (1, m 1, m)w = (m, n, 4)

Ex. 1.16 Sejam u : (m, 1, m2 + 1) e v : (m2 + 1, m, 0) e w : (m, 1, 1). Mostre que os vetores u, v e w formam uma base para o espaco independentemente do valor de m.

Ve rs ao 58

Ex. 1.17 Dado (e1 , e2 , e3 ) uma base. Determine condicoes necess rias e sucientes a sobre a, b de modo que os vetores (u, v, w) sejam LI, com u, v, w dados por: a) u = e1 e2 , v = e1 + e2 + e3 , w = ae1 + be2 + e3 b) u = e1 e2 + e3 , v = e1 + e2 + 3e3 , w = ae1 + be2 + (b2 + 2a)e3

Ex. 1.18 Dado um tetraedro ABCD, Determine a coordenadas dos pontos m dios dos e lados AB, CD, BD, BC no sistema de coordenadas determinado pelo ponto A e pela base {AB, AC, AD}. (compare com o exemplo 3.4

Pr el im, a2 a3 b2 b3 ou a1 a3 b1 b3

Ex. 1.14 Utilizando o exerccio anterior, mostre que dois vetores n o nulos u : (a1 , a2 , a3 ) a e v : (b1 , b2 , b3 ) s o LI se e somente se ao menos um dos determinantes a

in ar


2.2 bases ortonormais e coordenadas cartesianasVamos agora explorar algumas das vantagens de se trabalhar com as chamadas bases ortonormais ou, mais geralmente, com eixo y sistemas de coordenadas cartesianas. P : (x, y) Lembrando, uma base e dita ortonormal se seus vetores s o a unit rios (possuem norma 1) e perpendiculares dois a dois. a yj Um sistema de coordenadas formado por uma base ortonor mal e chamado de sistemas de coordenadas cartesianas. A par O eixo x xi tir deste ponto vamos xar notacao e utilizar (i, j) para denotar uma base ortonormal para o plano, e (i, j, k) para o espaco. 2 , O um ponto Seja B = (i, j) uma base ortonormal para V no plano e = (B, O) o sistema de coordenadas cartesianas determinado por eles. Dado agora um ponto P no plano considere o vetor r = OP e sua representacao no sistema dada por r : (x, y), ou seja: r = xi + yj.

Como a base considerada e ortonormal, segue diretamente do Teorema de Pit goras a que r2

=

xi

2

+ yj2

= x2 i

= x 2 + y2 .

Assim, se denotarmos por r o tamanho do vetor r temos que

Ve rs ao r= r =

r=

x 2 + y2 .

A mesma ideia pode ser levada para o espaco, onde obtemos que se r = xi + yj + zk, ent o a x 2 + y2 + z 2 .k O j i xi r

Pr el im2

+ y2 j

2

Voltemos por momento para o caso planar e denote por o angulo entre o eixo OX e o vetor r. Neste caso, n o e a difcil ver que x = r cos(),

y = r sen().

in arP zk yj

59


Utilizando o Teorema de Pit goras, temos tamb m que a dist ncia entre os pontos a e a P : (a1 , a2 ) e Q : (b1 , b2 ) e dada por: d(P, Q) = (b1 a1 )2 + (b2 a2 )2

Q : (x2 , y2 )

(y2 y1 )j P : (x1 , y1 ) (x2 x1 )i

E no caso tridimensional dist ncia entre os pontos P : (a1 , a2 , a3 ) e Q : (b1 , b2 , b3 ) e a dada por: d(P, Q) = (b1 a1 )2 + (b2 a2 )2 + (b3 a3 )2

Observacao 2.8 E importante observar que para realizarmos os c lculos acima foi absolutamente a necess rio que o sistema de coordenadas considerado fosse cartesiano. Podemos calcular as mesmas a quantidades utilizando outros sistemas, mas as express es cam diferentes e muito mais complicao das.

Ve rs ao d(A, B) =60

Exemplo 2.9 Suponha xado um sistema de coordenadas cartesiano. Calcule a dist ncia dos a pontos A : (1, 0, 2) e B : (3, 2, 1).

Solucao: Temos que d(A, B) = ||AB||. Como AB = B A = (2, 2, 1), segue que: 22 + 22 + (1)2 = 3.

Exerccios. Nos proximos exerccios, as coordenadas s o expressas num sistema carte a siano.

Pr el im

Figura 2.3: Dist ncia entre dois pontos no plano. a

in ar


Ex. 2.1 Dados os vetores a, b, c conforme a gura abaixo. Determine as componentes dos vetores a, b, c e de a + b + c

6

120

45 4

30

Vetores a, b, c respectivamente

Ex. 2.2 Dados os vetores a, b, c conforme a gura abaixo. Determine as componentes dos vetores a, b, c e de a + b + c

Ex. 2.3 Dados A : (3, 2), B : (3, 5) e C : (0, 3) desenhe o tri ngulo ABC e ache: a a) A dist ncia entre os pontos A e B; a b) A dist ncia entre os pontos B e C; a c) O vetor BA e o vetor AC; d) O vetor BA + AC e) O ponto m dio do segmento AC e f) O ponto na reta AB que dista tr s vezes mais de A do que de B. (Duas respostas) e

Ve rs ao

Ex. 2.4 Dados A : (4, 8, 11), B : (3, 1, 4) e C : (2, 3, 3) desenhe o tri ngulo ABC e a ache: a) O comprimento dos tr s lados do tri ngulo; e a b) Os pontos m dios dos tr s lados do tri ngulo; e e a c) Os vetores AB, BC e CA;

Pr el ima 4 135 b 3 120 3 c

in ar61

3


d) A soma AB + BC + CA. Porque essa soma deve ser zero?; e) Os angulos entre AB e BC. Dica: use a lei dos cossenos; f) A area do tri ngulo; a g) O ponto D tal que ABCD e um paralelogramo (Tr s respostas) e

Ex. 2.5 Qual o ponto do eixo x e equidistante dos pontos A = (1, 3) e B = (3; 1)? Ex. 2.6 O tri ngulo ABC, com A = (a; 0) B = (a; 0) C = (0; y) e equil tero. Quais a a s o os possveis valores de y? a

Ex. 2.7 Tr s v rtices de um ret ngulo s o (2, 1), (7, 1) e (7; 3) : Determinar o quarto e e a a v rtice e a area. e

2.3 produto escalar: a ngulo entre dois vetoresEm toda geometria e de fundamental import ncia a medicao e manipulacao de angulos. a Veremos que, al m de diversas outras aplicacoes, angulos entre vetores (ou entre vetores e e retas) podem ser usados na denicao de uma nova forma de representar pontos do espaco Euclidiano (coordenadas polares). Surge ent o a pergunta: como podemos utilizar a os sistemas de coordenadas para determinar o angulo entre dois vetores u e v? Antes de mais nada observamos que entendemos por angulo entre dois vetores u e v o angulo , com 0 , formado B C por representantes de u e v com mesma origem. v u O primeiro passo e escolher um sistema de coordenadas car- A C tesiano = (B, O) com B = (i, j, k) e escrever os vetores neste sistema, ou seja: u = a1 i + a2 j + a3 k v = b1 i + b2 j + b3 k

Ve rs ao

Pr el imvu2

Observe agora que pela lei dos cossenos = u2

+ v

2

2 u v cos(),

62

in arD D Figura 2.4: Angulo entre uev


e portanto (a1 b1 )2 + (a2 b2 )2 + (a3 b3 )2 = a2 + a2 + a2 + b2 + b3 + b2 2 u 1 2 3 1 2 3 Assim cos() = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 . u v v cos().

vu v O u

Resumindo: Se = (B, O) com B = (i, j, k) e um sistema de coordenadas cartesiano, u = (a1 , a2 , a3 ) e v = (b1 , b2 , b3 ) , ent o denia mos o produto escalar de u e v como: u v := a1 b1 + a2 b2 + a3 b3

e assim o angulo entre esses vetores satisfaz: cos() =

Exemplo 2.10 Achar o angulo entre u = i + j + k e v = i + j

Ve r

Solucao:

sa

cos

=

=

= cos1

ouv u v 12 3 2

Um fato de suma import ncia e que atrav s do produto escalar temos uma condicao a e extremamente simples para decidir se dois vetores s o perpendiculares: segue diretaa mente que dois vetores n o-nulos u e v s o perpendiculares se e somente se u v = 0 a a (por qu ?). e

Pr eli m in auv u v 2 35.26o 363

Ao termo a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 daremos o nome de produto escalar (ou de produto interno ) de u por v e denotaremos por u v.

r


Exemplo 2.11 Os vetores 3i + 4j + k e 2i 3j + 6k s o perpendiculares pois o produto escalar a entre eles e zero: (3, 4, 1) (2, 3, 6) = 3 2 + 4 (3) + 1 6 = 6 12 + 6 = 0

Outro fato extremamente relevante e que podemos calcular o comprimento de um vetor utilizando o produto escalar: u = uu2

Proposicao 2.12 O produto escalar possui as seguintes propriedad

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