Geometria Analítica Plana-Apostila-prof. f. Henrique

8/20/2019 Geometria Analítica Plana-Apostila-prof. f. Henrique

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GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA

PROF. FERNANDO HENRIQUE

2010

Direitos Autorais ReservadosÉ proibida a reprodução total ou parcial desta apostila sem autorização do autor

y

B’(0,-b)

M(x,y)

x

A’(-a,0) A(a,0)

B(0,b)

F’(-c,0) F(c,0)

a b

c

a

y


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2

Ao Aluno,

Caro aluno. Esta apostila foi elaborada com o propósito de otimizar e facilitar oacompanhamento da primeira parte do programa da disciplina Geometria

Analítica ministrada nos cursos de engenharia da FEA-FUMEC. Por se tratar de

um assunto extenso e complexo, foram aqui omitidas algumas formalidades

matemáticas com o intuito de tornar o texto mais amigável possível, sem perder a

lógica e o rigor necessários. Contudo é desejável que você tenha acesso a outras

bibliografias relacionadas ao assunto, algumas das quais serão indicadas em sala

de aula. Espero que este texto o ajude no entendimento e assimilação destafantástica ferramenta matemática que é a Geometria Analítica.

“Um conhecimento básico em matemática e boa vontade são pré-requisitos para

o estudo desta disciplina.”

Bons estudos.

Belo Horizonte, julho de 2009.


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3

Introdução O que é Geometria Analítica....................................................................... 4Capítulo 1 Espaços dimensionais; Sistemas de referência; Sistema de

coordenadas retangulares.......................................................................... 41.1 Espaços dimensionais................................................................................... 41.2 Sistemas de referência para R²..................................................................... 51.3 O sistema de coordenadas retangulares....................................................... 6

Capítulo 2 Distância entre dois pontos; Coordenadas do ponto médio................... 82.1 Distância entre dois pontos............................................................................ 82.2 Coordenadas do ponto médio........................................................................ 102.3 Exercícios propostos...................................................................................... 13Capítulo 3 Retas em R²; Coeficiente angular; Equações da reta; Interseção de

retas; Paralelismo; Perpendicularismo; Ângulo entre duas retas;Distância entre ponto e reta........................................................................ 15

3.1 Retas em R²................................................................................................... 153.2 Coeficiente angular........................................................................................ 153.2.1 Coeficiente angular através de dois pontos................................................... 183.3 Equações da reta........................................................................................... 213.3.1 Equação da reta em função de dois pontos.................................................. 213.3.2 Equação da reta em função do coeficiente angular....................................... 223.3.3 Equação reduzida.......................................................................................... 23

3.3.4 Equação segmentária.................................................................................... 233.3.5 Equação geral................................................................................................ 243.4 Interseção de retas......................................................................................... 263.5 Paralelismo..................................................................................................... 273.6 Perpendicularismo.......................................................................................... 273.7 Ângulo entre duas retas................................................................................. 293.8 Distância entre ponto e reta........................................................................... 303.9 Exercícios propostos...................................................................................... 32Capítulo 4 Circunferência.............................................................................................. 354.1 Definição........................................................................................................ 354.2 Equação da circunferência............................................................................ 364.3 Equação geral da circunferência................................................................... 374.4 Identificando o centro e o raio na equação geral da circunferência............... 384.5 Exercícios propostos...................................................................................... 40Capítulo 5 As Seções Cônicas...................................................................................... 425.1 Elipse.............................................................................................................. 435.1.1 Elementos da elipse....................................................................................... 435.1.2 Equação reduzida da elipse........................................................................... 455.1.3 Equações reduzidas genéricas da elipse....................................................... 465.1.4 Excentricidade................................................................................................ 485.1.5 Exercícios propostos...................................................................................... 505.2 Hipérbole........................................................................................................ 525.2.1 Elementos da hipérbole.................................................................................. 535.2.2 Equações reduzidas genéricas da hipérbole................................................. 545.2.3 Excentricidade................................................................................................ 565.2.4 Exercícios propostos...................................................................................... 595.3 Parábola......................................................................................................... 61

5.3.1 Elementos da parábola.................................................................................. 625.3.2 Equações reduzidas genéricas da parábola.................................................. 635.3.3 Exercícios propostos...................................................................................... 66Capítulo 6 Translação de eixos coordenados............................................................. 686.1 Objetivo.......................................................................................................... 686.2 Relação entre os sistemas XoY e X’o’Y’........................................................ 716.3 Exercícios propostos...................................................................................... 74Capítulo 7 Noções do sistema de coordenadas polares............................................ 767.1 Introdução...................................................................................................... 767.2 Elementos...................................................................................................... 777.3 Relação entre os sistemas cartesiano e polar............................................... 78Apêndice I lgebra.......................................................................................................... 81Apêndice II Fórmulas Trigonométricas.......................................................................... 82Apêndice III Geometria...................................................................................................... 83

Apêndice IV Seções Cônicas............................................................................................ 85Descartes ........................................................................................................................ 88Bibliografia ........................................................................................................................ 89


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Introdução

O que é Geometria Analítica?

O estudo da geometria é um assunto que fascina os matemáticos desde a

antiguidade. É provável que a própria matemática tenha surgido impulsionada

pela necessidade do entendimento de problemas cotidianos, de povos antigos,

relacionados à geometria. Existem vários ramos de estudo da geometria como a

geometria projetiva, geometria descritiva e geometria analítica. A Geometria

Analítica é considerada por muitos autores como sendo um método de estudo de

geometria.

A Álgebra é a ferramenta utilizada no estudo de geometria através da GeometriaAnalítica. Na essência, a Geometria Analítica consiste na transformação de

problemas geométricos em problemas algébricos correspondentes.

Para a Geometria Analítica um ponto é uma combinação de números reais e uma

curva é uma equação.

Capítulo 1Espaços Dimensionais; Sistemas de Referência; Sistema de Coordenadas

Retangulares.

1.1 Espaços Dimensionais.

Quando iniciamos um estudo em Geometria Analítica precisamos definir em qual

espaço dimensional estão baseadas nossas informações para a corretainterpretação e solução dos problemas. Podemos trabalhar em n Re R R R 32 ,,

O sistema dimensional R é composto pela reta real (uma dimensão). Uma reta

onde representamos infinitos pontos que são associados aos números reais, de

modo que cada ponto corresponde a apenas um número real.

1 2 3-1 0-3 -2

π 3− 32


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5

O Sistema dimensional 2 R é o plano, (duas dimensões) onde os pontos são

representados por um par de números reais e as equações das curvas têm duas

variáveis.

Já 3 R , é o que chamamos de espaço, (três dimensões) onde os pontos são

definidos por um terno de números reais e as equações das curvas têm três

variáveis.

Podemos trabalhar, teoricamente, em uma dimensão qualquer, n R , mas neste

texto nos concentraremos principalmente em 2 R .

1.2 Sistemas de Referência para 2 R .

Para utilizar o fantástico poder da geometria analítica no estudo de questões

geométricas, precisamos, antes de mais nada, saber localizar com precisão, os

pontos em um plano.

Podemos definir precisamente a posição de um ponto num plano por meio de um

par de números reais (coordenadas do ponto). Para isso precisamos de um

sistema de referência. Um sistema de referência é composto de um referencial e

de uma regra que define como os pontos serão localizados em relação a este

referencial.

Existem vários sistemas de referência que são regularmente utilizados na

Geometria Analítica. Como exemplo, podemos citar o sistema de coordenadas

retangulares (chamado também de Plano Cartesiano) e o sistema de

coordenadas polares.

Estes sistemas são os mais usados, mas existem outros. Na verdade, podemos

criar sistemas de referência de acordo com nossa necessidade, bastando para

isso, definir um referencial e uma regra para a localização dos pontos no plano.

Podemos estudar as curvas planas por meio de equações descritas em relação a

um sistema de referência. Uma curva plana é um conjunto de pontos que

obedecem a uma determinada regra e sua equação é uma expressão matemática

que define tal regra. Por exemplo, para que um conjunto de pontos seja


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6

considerado uma reta, eles precisam estar alinhados e obedecer a uma regra do

tipo 0=++ cbyax que é uma equação em relação ao sistema de coordenadas

retangulares. Cada curva tem uma equação bem definida em relação a um

sistema de referência. Ao mudarmos o sistema de referência mudamos também a

equação da curva. Às vezes uma curva possui uma equação mais simples, ou

mais apropriada, em relação a um determinado sistema de referência. Por isso

existem vários, e são utilizados de maneira conveniente.

1.3 O Sistema de Coordenadas Retangulares.

O sistema de coordenadas retangulares tem como referencial um par de retas,

chamados de eixos coordenados, infinitos e perpendiculares entre si.

Para cada eixo é definida uma escala (normalmente a mesma para os dois) cuja

origem é a interseção.

Os números reais são representados nestes eixos, sendo que a distância entre

dois números inteiros, é uma unidade da escala definida. O número zero está na

interseção dos eixos e é chamado de origem do sistema.O eixo horizontal é o eixo das abscissas que são representadas pela letra x. O

eixo vertical é o eixo das ordenadas, representadas pela letra y.

A figura 1.1 mostra o sistema de coordenadas retangulares como um sistema de

referência de um plano. Com isso, qualquer ponto pertencente ao plano pode ser

1 2 3-1 0-3 -2

1

2

3

-1

-3

-2

y

x

Figura 1.1


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7

perfeitamente localizado. Esta localização será feita medindo-se a distância

orientada (considerando o sinal negativo) de um ponto aos eixos coordenados. A

distância do ponto ao eixo y será sua abscissa e a distância do ponto ao eixo x

será sua ordenada. Isto irá conferir ao ponto um par ordenado de números reais

do tipo ),( y xP .

Esta é a regra para a localização de pontos em um plano em relação ao sistema

de coordenadas retangulares. É importante observar que, a distância do ponto em

relação a um eixo coordenado é o valor absoluto de uma de suas coordenadas,

ou seja, se o ponto estiver localizado à esquerda do eixo y, sua abscissa terá

sinal negativo, bem como sua ordenada terá sinal negativo se ele estiver

localizado abaixo do eixo x. Cada ponto do plano será então identificado por um,

e apenas um, par ordenado de números reais e, cada par ordenado de números

reais representará apenas um ponto do plano. É o que chamamos de

característica biunívoca do sistema de coordenadas retangulares.

Em homenagem a René Descartes (1596 – 1650), cujo nome em Latim era

Renatus Cartesius , filósofo e matemático francês, considerado o pai da Geometria

Analítica (vide texto página 85), o sistema de coordenadas retangularesdesenvolvido por ele, é também denominado de Sistema Cartesiano ou Plano

Cartesiano. Assim o chamaremos daqui em diante.

A figura 1.2 acima mostra, representados no Sistema Cartesiano, os pontos

).3,2()2,2();2,1();1,2( −−−− DeC B A

)1,2( A

)2,1(− B

)2,2( −−C

)3,2( − D

x1 2 3-1 0-3 -2

1

2

3

-1

-3

-2

y

Figura 1.2


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8

Capítulo 2

Distância entre dois pontos; Coordenadas do ponto médio.

2.1 Distância Entre Dois Pontos.

Como foi dito anteriormente, a Geometria Analítica utiliza a álgebra como

ferramenta. Então, se quisermos saber qual é a menor distância entre dois pontos

do plano teremos que calcular, e não medir com uma régua. Vamos para tanto,

desenvolver uma técnica, ou fórmula, para calcular a distância entre dois pontos

quaisquer de um plano. Devemos utilizar, contudo, pontos de coordenadasgenéricas, ou seja, pontos que estarão representando qualquer um dos infinitos

pontos de um plano. Com isso a técnica, ou fórmula, desenvolvida para calcular a

distância entre estes pontos genéricos, servirá para calcular a distância entre dois

pontos específicos quaisquer do plano.

Obviamente precisaremos também do nosso já conhecido Plano Cartesiano, pois

já sabemos que, sem um sistema de referência não é possível localizar pontosnum plano por meio de coordenadas e, muito menos, calcular distâncias.

Figura 2.1

“A menor distância entre doispontos é o comprimento dosegmento de reta que os une”

)x( 2'

Q

)y,xR( 12

)y,x(P 11

0

y

x

)(y2 "Q )y,(x 22Q

)y(P 1 "

)x( 1'P

r


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9

A figura 2.1 mostra dois pontos de coordenadas genéricas ),( 11 y xP e ),( 22 y xQ

representados em algum lugar do Plano Cartesiano. Nosso objetivo é definir uma

fórmula para calcular a distância entre estes dois pontos. Faremos isso passo a

passo.

• As projeções dos pontos P e Q nos eixos coordenados nos dão os pontos

P’ e Q’ no eixo x, e P’’ e Q’’ no eixo y;

• Pelo ponto P passa uma reta paralela ao eixo x, onde marcamos o ponto

R;

• O triângulo PQR é retângulo;

Então, baseado no teorema de Pitágoras, temos:

2

12

2

12

2

12

2

12

2

12

12

222

)()(

)()()(

,

)(''''

)(''

,)()()(

y y x xd

y y x xdPQ

então

y yQdPdRQ

x xQdPdPR

masdRQdPRdPQ

−+−=

−+−=

−==

−==

+=

Como P e Q são pontos genéricos, podemos utilizar a fórmula acima para calcular

a distância entre dois pontos quaisquer do plano, por isso substituímos

d por dPQ .

Distância entre dois pontos


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10

Exercício resolvido:

Prove que o triângulo ABC é isósceles.

R: Como dAC = dBC podemos concluir que o triângulo é isósceles.

2.2 Coordenadas do Ponto Médio.

Um segmento de reta é definido por dois pontos, que são suas extremidades.

O Ponto Médio de um segmento de reta qualquer, é o ponto que o divide em

duas partes congruentes (de mesma medida).

Podemos determinar as coordenadas de tal ponto. Vamos então deduzir umafórmula para este fim, utilizando para isso pontos genéricos representados no

Plano Cartesiano. Veja a figura 2.2.

Figura 2.2

A (-7,2)

B (3,-4) C (1,4)

68644)44()31(

68464)24()71(

13636100)24()73(

22

22

22

=+=++−=

=+=−++=

=+=−−++=

BC

AC

AB

d

d

d

)(''2

yQ

)(" y M

)('' 1 yP

);( y x M ),( 2 y xS

),( 22 y xQ

s

);( 1 y x R

x

y

β

),( 11 y xP

)(' 1 xP )(' x M )(' 2 xQ


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11

• O ponto ),( y x M é o ponto médio do segmento definido pelos pontos

),( 11 y xP e ),( 22 y xQ ;

• As projeções dos pontos P, M e Q nos eixos coordenados nos dão os

pontos P’, M’ e Q’ no eixo x, e P’’, M’’ e Q’’ no eixo y;

• Pelo ponto P, traçamos uma reta r, paralela ao eixo x, e obtemos o ponto

),( 1 y x R ;

• Pelo ponto M, traçamos uma reta s, também paralela ao eixo x, e obtemos

o ponto ),( 2 y xS ;

• Podemos identificar então, dois triângulos retângulos PRM e MSQ, que são

congruentes, pois:

≅

≅

≅

∆≅∆

)(ˆˆ

)(

)(

retosS R

médio pontoé M MQPM

entescorrespond

SQ M M RP

β α

• Sendo congruentes os triângulos, podemos concluir que seus respectivos

catetos PR e MS têm a mesma medida;

• O cateto PR, tem a mesma medida do segmento P’M’ que por sua vez

mede ).( 1 x x − O cateto MS, tem a mesma medida do segmento M’Q’ que

por sua vez mede )( 2 x x − , então:

2

2

21

21

21

21

x x x

x x x

x x x x

x x x x

+=

+=

+=+

−=−

2

21 y y y +

= analogamente :


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12

Concluindo:

A abscissa do ponto médio de um segmento de reta será a metade da soma das

abscissas das extremidades do segmento, e, a ordenada do ponto médio será a

metade da soma das ordenadas das extremidades.

++

2,

2

2121 y y x x M

Exercícios resolvidos:

1) A mediana de um triângulo é um segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do lado

oposto. Ache o comprimento das medianas do triângulo cujos vértices são: A(2,3) ; B(3,-3) e

C(-1,-1)

Cálculo dos pontos A’, B’, C’

Ponto médio

C (-1, -1))2,1(' − A

0,

2

5'C

1,

2

1' B

A (2, 3)

B (3, -3)

AA’, BB’ e CC’ são as medianas do ∆ ABC.

Cálculo do comprimento das medianas

1,

2

1` B

)2,1(` − A

=−

=

=+

=

=−

=

=−

=

−=−−

=

=−

=

02

33

2

5

2

32

12

13

2

1

2

12

22

13

12

13

`

`

`

`

`

`

yC

xC

yB

xB

yA

xA

532

1

4

531

4

49

12

7)10(1

2

5

892

1

4

8916

4

25

42

5)31(3

2

1

26251)32()21(

2

2

2

`

2

2

2

2

`

22`

==+=

+

=++

+=

==+=

+

−=++

−=

=+=−−+−=

mCC

mBB

mAA

0,

2

5'C


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13

2) Determinar B, sabendo que M(7,-3) é o ponto médio de AB, dado A(1,2).

2.3 Exercícios propostos:

1) Calcular a distância entre os pontos ( )4,3 +− ba A e ( )1,1 ++ ba B .

2) Se M(4,2), N(2,8) e P(-2,6) são os pontos médios dos lados AB, BC e CA

respectivamente de um triângulo ABC , determinar A, B e C.

3) Determinar os pontos que dividem o segmento−−

AB em quatro partescongruentes, sendo dados: A(-3,11) e B(5,-21).

4) Num triângulo ABC são dados: A(2,0) e M(-1,4) ponto médio de−−

AB . obter o

vértice C do triângulo, sabendo que os lados AC e BC medem 10 e 10 2

respectivamente.

5) Ache as abscissas dos pontos tendo ordenada 4 e que estão a uma distância

de 117 do ponto P(5,-2).

6) Prove que o quadrilátero com vértices consecutivos em (1,2), (5,-1), (11,7) e

(7,10) é um retângulo.

7) Prove que os pontos (2,4), (1,-4) e (5,-2) são vértices de um triângulo

retângulo e ache sua área.

8) Prove que os pontos (1,-1), (3,2), (7,8) são colineares, usando a fórmula da

distância entre dois pontos.

9) Os vértices opostos de um quadrado estão em (3,-4) e (9,-4). Ache os outros

dois vértices.

)8,13(

813

62141

2

23

2

17

−

−==

−=+=+

+=−

+=

B

y x

y x

y x

A (1, 2) B (x, y)

M (7,-3)


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14

10) Um triângulo ABC é retângulo em A, que pertence ao eixo das ordenadas.

Tendo os pontos B(2,3) e C(-4,1) determinar A.

11) Dados A(-3,1) e B(3,5) obter o ponto em que a reta AB corta a bissetriz dos

quadrantes ímpares.

12) Dados A(5,7) e B(-6,5) obter o ponto em que a reta AB corta a bissetriz dos

quadrantes pares.

Respostas:

1) 5

2) A(0,0), B(8,4) e C(-4,12)

3) (-1,3), (1,-5) e (3,-13)

4) C1(-6,-6) e C2(10,6)

5) 144 =−= xou x

9) (6,-7) e (6,-1)

10) A1(0,-1) e A2(0,5)

11) (9,9)

12)

−

13

67,

13

67


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15

Capítulo 3

Retas em R²; Coeficiente angular; Equações da reta; Interseção de retas;

Paralelismo; Perpendicularismo; Ângulo entre duas retas; Distância entre

ponto e reta.

3.1 Retas em R².

Começaremos agora o estudo das equações de algumas curvas planas. Neste

capítulo vamos discutir as particularidades e estudar a equação de uma curva

simples, porém de extrema importância. A reta. Sim, a reta também é chamada

de curva, numa generalização deste termo. Uma curva plana é formada por umconjunto de pontos num plano que obedecem a uma determinada regra, que é

sua equação. A reta, como sugere o próprio nome, é um conjunto de pontos

alinhados.

Para que tenhamos uma reta bem definida num plano, basta conhecer dois de

seus infinitos pontos, ou seja, conhecendo apenas dois pontos de uma reta

podemos determinar sua equação.

Mas também podemos determinar a equação de uma reta conhecendo um de

seus pontos e seu coeficiente angular.

Então, o que é o coeficiente angular de uma reta?

3.2 Coeficiente Angular.

α

y

r

x

α P

Q

y∆

x∆

“O coeficiente angular também échamado de inclinação oudeclividade”

Figura 3.1


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16

Imagine uma partícula se movendo do ponto P ao ponto Q ao longo da reta r. Ao

fazer este movimento a partícula se deslocou horizontalmente x∆ e verticalmente

y∆ . O coeficiente angular da reta r, denotado pela letra m, por definição é a razão

entre o deslocamento vertical e o deslocamento horizontal.

x

y

horizontaliação

verticaliaçãom

∆

∆==

var

var

Observando a figura 3.1 podemos identificar um triângulo retângulo cuja

hipotenusa é o segmento PQ e os catetos são y∆ e x∆ . O ângulo α é o ângulo

entre a reta e o sentido positivo do eixo x, que é correspondente ao ângulo

agudo adjacente ao cateto x∆ do triângulo retângulo.

A tangente do ângulo é calculada por: x

ytg

∆

∆=α .

Então o coeficiente angular de uma reta pode ser calculado através da expressão:

tgm =

Através do coeficiente angular de uma reta podemos saber se ela é crescente,

decrescente, constante ou vertical.

Ora, se retas são crescentes, o ângulo entre elas e o sentido positivo do eixo x

pode variar no intervalo2

0 π α m . Lembre-se: tgm = .

“ O coeficiente angular de uma retaé a tangente do ângulo entre a retae o sentido positivo do eixo x.”


17/89


17

Se retas são decrescentes, o ângulo α estará no intervalo π α π


18/89


18

3.2.1 Coeficiente Angular através de dois pontos.

Podemos também, determinar o coeficiente angular de uma reta, através das

coordenadas de dois pontos pertencentes à reta.

Observe a figura 3.3 onde estão representados, uma reta e dois de seus pontos

com coordenadas genéricas.

Figura 3.3

• As projeções dos pontos A e B nos eixos coordenados nos dão os

pontos A’ e B’ no eixo x, e A’’ e B’’ no eixo y;• Pelo ponto A, traçamos uma reta s, paralela ao eixo x, e obtemos o

ponto R;

• O triângulo ARB é retângulo, então:

AR

RBtg =α ou

12

12

x x

y ytg

−

−=α

)('' 1 y A

)('' 2 y B

α

y

s

),( 22 y x B

)(' 2 x B )(' 1 x A

),( 11 y x A R

x

r


19/89


19

Portanto, o coeficiente angular de uma reta pode ser calculado usando a

fórmula:

12

12

x x

y ym

−

−=


1) Determinar o coeficiente angular das retas e esboçar os gráficos:

3

2

3

2

25

13

)

12

12

1

=

=−

−=

−

−=

m

m

x x

y ym

r

1

02

02

)

12

12

2

=

−

−=

−

−=

m

x x

y ym

r

)4;2(

)3;2(

)4;2(

)4;3(

)2;2(

)1;1(

)2;2(

)0;0(

)3;5(

)1;2(

5

5

5

4

4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

B

Ar

B

Ar

B

Ar

B

Ar

B

Ar

−−

−

−

B1

A1

x

y

B2

A2

y

x


20/89


20

133

1212

)

12

12

3

−=−

=−−

+=

−

−=

m

x x

y ym

r

032

44

)

12

12

4

=+

−=

−

−=

m

x x

y ym

r

∃/=+

=

−

−=

0

7

0

34

)

12

12

5

m

x x

y ym

r

Obs: Logicamente o coeficiente angular de uma reta pode ser obtido tomando-

se quaisquer pares de pontos pertencentes à mesma.

y

x

α

B3

A3

x

B4 A4

y

A5

x

B5

y

0=m , para todas asretas paralelas ao eixo x.Retas constantes.

m , não é definido para todas

as retas perpendiculares aoeixo x. Retas verticais.


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21

3.3 Equações da Reta.

Como vimos uma reta fica bem determinada num plano, se conhecemos dois de

seus pontos ou se conhecemos um de seus pontos e seu coeficiente angular. A

partir desses elementos podemos definir uma equação matemática, ou seja, uma

regra que nos fornece ou representa todo o infinito conjunto de pontos que

pertencem a uma reta. Para isso precisamos, como já sabemos, de um sistema

de referência que irá nos possibilitar identificar os pontos por meio de

coordenadas. Se utilizarmos o plano cartesiano, teremos para as retas, equações

do 1º grau com duas variáveis.

3.3.1 Equação da reta em função de dois pontos.

Figura 3.4

Os pontos A e B são pontos conhecidos da reta e estão representados no plano

cartesiano, com coordenadas genéricas, pois a equação obtida servirá como um

modelo para se obter a equação de uma reta específica qualquer. O ponto M é

um ponto qualquer da reta, ou um ponto genérico, e suas coordenadas serão as

variáveis da equação.

y

),( y x M

),( 22 y x B

),( 11 y x A

r

x


22/89


22

Podemos calcular o coeficiente angular da reta acima utilizando ou os pontos A e

M ou os pontos A e B. Então:

12

12

1

1

x x

y y

x x

y y

mm AB AM

−

−=

−

−

=

3.3.2 Equação da reta em função do coeficiente angular.

Uma simples alteração na fórmula nos possibilita determinar facilmente a equação

de uma reta no plano quando conhecemos apenas um de seus pontos e seu

coeficiente angular.

)( 112

12

1 x x x x

y y

y y −

−

−=−

A equação de qualquer reta no plano, pode ser obtidasubstituindo as coordenadas de dois de seus pontos nafórmula, ou modelo, acima.

)(

:

:

)(

:

11

12

12

1

12

121

x xm y y

então

m x x

y y

mas

x x x x

y y y y

temos

−=−

=−

−

−−

−=−


23/89


23

3.3.3 Equação Reduzida.

É interessante trabalhar com a equação reduzida de uma reta, pois deste modo

podemos visualizar facilmente seu coeficiente angular e seu coeficiente linear

(intercepto do eixo y). A equação reduzida tem um formato característico como

veremos a seguir:

)(

:

11 x xm y y

temos

−=−

Se o ponto conhecido for ),,0( b B então:

)0( −=− xmb y

3.3.4 Equação Segmentária.

A equação de uma reta na forma segmentária é muito interessante, pois temos a

informação imediata dos interceptos da reta nos eixos coordenados.

Figura 3.6

Coeficiente linear (onde corta o eixo-y)Coeficiente

angular

bmx y +=

A (a,0)

B (0,b)

y

x

),0( b B

y

x

Figura 3.5


24/89


24

Substituindo os pontos A e B na fórmula da equação da reta, temos:

⇒=+

=+

→=+

+−=

−−=

−−

−=−

−−

−

=−

1

)(

)(0

00

)( 112

121

a

x

b

y

b

b

ab

bx

b

y

b por tudoividindob x

a

b y

b xa

b y

a xa

b y

a xa

b y

x x x x

y y y y

d

onde

3.3.5 Equação Geral.

É a equação da reta na forma:

onde a e b não são nulos simultaneamente.

a é o intercepto eixo-xb é o intercepto eixo-y

1=+b

y

a

x

0=++ cbyax

0≠bea


25/89


25

Para relembrar:

verticalretam

teconsretam

edecrescent retam

crescenteretam

bmx ySeja

⇒∃

⇒=

⇒<

⇒>

+=

tan0

0

0


1) Ache a equação da reta que passa pelos pontos A(8,-8) e B(12,-16) nas formas reduzida,

geral e segmentária:

Sol:

Cálculo de m

⇒=−

+−=

−

−=

4

8

812

816

2

12 m x x

y ym

82

1628)8(28

)( 11

+−=

+−=+−−=+

−=−

x y

x y x y

x xm y y

082 =−+ y x

2−=m

Eq. reduzida

Eq. geralEq. segmentária

8

8

88

2

82

=+

=+

y x

y x

184

=+ y x


26/89


26

3.4 Interseção de retas.

Figura 3.7

O ponto de interseção de duas retas deve satisfazer à equação de ambas,

portanto, para determiná-lo, basta resolver um sistema formado por tais

equações.

Em geral a solução de um sistema de equações, é, ou são, os pontos de

interseção de seus gráficos.

Ex: Obter o ponto I de interseção das retas 3x + 4y - 12 = 0 e 2x – 4y + 7 = 0

sol:

⇒=

−=

=−+×

=

=−

=+−

=−+

4

9,1

4

9

3124

012413

:,

1

055

:

0742

01243

I y

y

y

temosequação primeirana xdevalor olevando

x

x

temosequaçõesassomando

y x

y x

y

x

I


27/89


27

3.5 Condição de Paralelismo.

Duas retas são consideradas paralelas se possuem o mesmo coeficiente angulare coeficientes lineares distintos.

Figura 3.8

3.6 Condição de Perpendicularismo.

Os coeficientes angulares de duas retas distintas também podem nos dizer se

elas são perpendiculares. Vejamos a figura 3.9 abaixo.

Figura 3.9

y

xr α sα

s

r

( )

msmr

stgr tg

correspsr

=

⇓

=

=

α α

α .

r s

sα r

y

x

sr

t


28/89


28

Pelo ponto de interseção das retas, traçamos uma reta t, paralela ao eixo-x. Com

isso podemos identificar os ângulos correspondentes de r es entre as retas r e

s e a reta t.

Podemos relacionar os ângulos r es da seguinte maneira:

0.1:2

:2.1

:2

)(

,2

,2

=+∃

=+

−

=−

=−

+=

stgr tgentãotg

mastgstgr tg

stgr tg

identidadeausandotgsr gt

seguesr

ousr

α α π

π

α α

α α

π α α

π α α

π α α

msmr msmr

msmr

stgr tg

11.

0.1

0.1

−=⇒−=

=+

=+

α

Concluindo:

Duas retas r e s distintas são perpendiculares, se e somente se,ms

mr 1

−= ,

o que equivale a dizer que, se duas retas são perpendiculares, o coeficiente

angular de uma é igual ao da outra invertido e com o sinal oposto.

Por exemplo, se o coeficiente angular de uma reta é igual a 3, então o coeficiente

angular de qualquer reta perpendicular a ela é 31

−

.

tgbtgatgbtgabatg⋅+

−=−1

)(


29/89


29

3.7 Ângulo entre Duas Retas.

Com a ajuda da figura 3.10, podemos deduzir uma fórmula para o cálculo do

ângulo entre duas retas quaisquer, também utilizando seus coeficientes

angulares.

Figura 3.10

⇒×+

−=

−=

−=

stgr tg

stgr tgtg

sr tgtg

sr

α α

α α θ

α α θ

α α θ

1

)(


1) Obter o ponto P, simétrico de Q(-1,8) em relação à reta r de equação 03 =−− y x

msmr

msmr tg

⋅+

−=

1θ

M é o ponto médio de PQ.

M

r: x – y – 3 = 0

Q(-1, 8)

P(x, y)

r

y

x

r s

r s

s

θ


30/89


30

Cálculo da inclinação da reta r

13

03

=⇒−=

=−−

r m x y

y x

então : 1−=PQm

Equação da reta PQ

07

18

)1(18

)( 11

=−+

−−=−

+−=−

−=−

y x

x y

x y

x xm y y

Determinação do ponto M ⇒ PQr ∩

5

102

0102

07

03

=

=

=−

=−+

=−−

x

x

x

y x

y x

)2,5(2

35

035

M y

y

y

⇒=

−=

=−−

3.8 Distância Entre Ponto e Reta.

A menor distância de um ponto ),( 00 y xP a uma reta 0: =++ cbyaxr é o

comprimento do segmento que vai do ponto à reta e é perpendicular à mesma,

como vemos na figura 3.11.

Concluindo:

11

101

2

15

2

21

=

=+−

+−=

+=

x

x

x

x x x

4

48

2

82

2

21

−=

=+

+=

+=

y

y

y

y y y

)4,11( −

⇓

P


31/89


31

Figura: 3.11

Podemos calcular a menor distância do ponto P à reta r utilizando a fórmula:

22

00Pr

ba

cbyaxd

+

++=


1) Calcular a medida da altura AH do triângulo cujos vértices são: A(1,1), B(-1,-3) e C(2,-7).

utilizando a fórmula da distância entre ponto e reta, temos:

45

20

25

20

916

131.31.4

01334:

)1,1(

===

+

++=

=++

dpr

dpr

y x BC reta

A

Então a altura AH mede 4 unidades.

HB(-1,-3)

A(1, 1)

C(2,-7)

0: =++ cbyaxr

),( 00 y xP


32/89


32

2) Calcular a distância entre as retas paralelas r: 7x + 24y – 1 = 0 e s: 7x + 24y + 49 = 0


1) Em cada caso determine a equação geral da reta:a) que passa pelo ponto A(-1,6) e tem inclinação 3;

b) que passa pelos pontos P(2,-1) e Q(0,5);

c) bissetriz do 1º e 3º quadrantes;

d) que passa pela origem e tem coeficiente angular3

2−=m .

2) Verifique se a afirmação está correta:

a) a reta 01042: =+− y xr é perpendicular à reta 062: =++ y xs ;

b) a reta 023: =+− y xt é paralela à reta 0526: =−− y xu .

3) Determinar a equação da reta que passa pelo ponto P(-1,2) e é paralela à reta

0132: =+− y xr .

4) Determinar a equação da reta que passa por Q(2,-3) e é perpendicular à reta

072: =+− y xs .

5) Determinar os vértices A, B e C do triângulo cujos lados têm as equações

01: =+− y x AB , 0177:

=++ y x BC e 01135:

=−+ y xCA .

6) Achar o ponto B simétrico de A(3,-1) em relação à reta 01032: =−+ y xr .

Tomamos um ponto P de r, atribuindo um valor qualquer a

x e calculando y

r Pentão

y y

y

y x

∈−

−=⇒−=

−=

=−+⇒=

)2,7(,

224

48

49124

01247.77

logo:

225

50

57649

49)2.(247.7==

+

+−+== dPsdrs , ou seja: a distância entre r e s é de 2 unidades

s

r

P(7,-2)


33/89


33

7) Provar que são perpendiculares as diagonais do quadrilátero de vértices

consecutivos A(2,-1), B(6,-1), C(4,5) e D(0,1).

8) Determinar o valor de k de modo que a reta 073: =++ ky xr passe pelo ponto

A(3,-2).

9) Calcular a distância do ponto A(3,4) à reta 01043: =−+ y xs .

10) Determinar a distância do ponto P à origem do sistema cartesiano onde P é a

interseção das retas 02: =− xr e 03: =− ys .

11) Encontre a equação da reta que passa pelo ponto A(3,2) e que forma com os

eixos coordenados, no 1º quadrante, um triângulo de área igual a 12.

12) Calcular a interseção da reta 012: =+− y xr com a reta que passa pelos

pontos A(0,3) e B(1,1).

13) Determinar o ponto da reta 043: =++ y xr que é eqüidistante dos pontos

P(-5,6) e Q(3,2).

14) Ache a equação da reta suporte da altura relativa ao vértice A do triângulo de

vértices A(2/3,1), B(-3,0) e C(6,1).

15) Obter o ponto de interseção das diagonais AC e BD do quadrilátero ABCD,

sendo dados A(0,0), B(4,1), C(7,7) e D(-1,6).

16) Obter a equação da mediatriz do segmento AB , dados A(1,-7) e B(6,-12).

17) Dadas as retas 0343: =+− y xr e 22: += x ys , determine o ponto P da reta s,

que dista 6 unidades da reta r.

18) O baricentro de um triângulo ABC é G(4,-2). Obter C , sabendo que A(5,-7) e

B(8,-3).

Obs.: baricentro:

++++

3,

3

yC yB yA xC xB xAG

19) Obter os vértices B e C do triângulo ABC sendo dados o vértice A(0,0), oponto M(1,2) médio do lado AB e o baricentro G(0,5).

20) Verificar se os pontos )2,1()3,2(),1,(` ++++− bC eba Bba A são colineares.

21) Existe alguma reta passando por )4,3()2,1(),1,(` +++++ aaC eaa Baa A ?

22) Determinar x de modo que )12,1()3,2(),2,(` −−− C e B x A sejam colineares.

23) Obter o baricentro do triângulo MNP, dados ),(),,(` f ecb N ed ba M −−−− e

),( d f acP −− .


34/89


34

24) Calcular a altura relativa ao vértice A do triângulo de vértices

).2,5()1,2(),3,0( −− C e B A

Respostas:

1)

a) 093 =+− y x

b) 053 =−+ y x

c) 0=− y x

d) 032 =+ y x

2)

a) sim

b) sim

3) 0832 =+− y x

4) 012 =−+ y x

5) A(1,2), B(-3,-2) e C(4,-3)

6)

13

29,

13

67 B

8) k=8

9) 3

10) 13

11) 01232 =−+ y x

12)

2,

2

1

13) (-2,2)

14) 079 =−+ y x

15)

2

5,

2

5

16) 013 =−− y x

17) )12,5()12,7( 21 PeP −−

18) C(-1,4)

19) B(2,4) e C(-2,11)

20) sim

21) sim

22) 1= x

23) G(0,0)

24) 23


35/89


35

Capítulo 4

Circunferência.

4.1 Definição.

A circunferência é uma curva plana que, como a reta, também é formada por um

conjunto de infinitos pontos de 2 R .

Sua definição matemática, ou seja, a regra que define como esses pontos

devem estar posicionados no plano para que descrevam uma circunferência é a

seguinte:

Circunferência é o conjunto de pontos em um plano, que são eqüidistantes de um

ponto fixo deste plano.

Este ponto fixo é chamado de centro da circunferência, e a distância constante é

seu raio. O centro e o raio são os principais elementos de uma circunferência.

Figura 4.1

Na figura 4.1, temos uma circunferência de centro c e raio r, representada em um

plano π .

Os pontos n M M M M ,,, 321 pertencem à circunferência, se e somente se, a

distância de cada um deles ao centro da circunferência for igual ao raio.

r dcMndcM dcM dcM ==== 321

r

P

Q

c

M1

M2

M3

π

Mn


36/89


36

A distância do ponto Q ao centro é maior que o raio e portanto ele não pertence à

circunferência, (Q é um ponto exterior), assim como o ponto P também não

pertence à circunferência pois sua distância ao centro é menor que o raio, (P é

um ponto interior).

r dcPer dcQ

4.2 Equação da Circunferência.

Para determinar a equação de uma circunferência, é necessário conhecer seu

centro e seu raio.

Na figura 4.2 abaixo, está representada no plano cartesiano uma circunferência

de centro ),( k hc e raio r. Sabemos pela definição de circunferência que a

distância de um ponto qualquer ),( y x M ao centro ),( k hc é igual ao raio r .

Figura 4.2

M(x,y)

c(h,k)

r

y

x

( )

222

22

22

22

)()(

)()(

)()(

:

:

r k yh x

r k yh x

r k yh x

então

r dcM matemática Definição

=−+−

=−+−

=−+−

=

Eq. da circunferência na forma centro-raio


37/89


37

Quando a equação de uma circunferência se apresenta na forma centro-raio é

relativamente fácil identificar seus principais elementos, ou seja, centro e raio.

Por exemplo, a equação 1752

)3(

2

2

=

++− y x representa uma circunferência

de centro

−

5

2,3 e raio 17 .


Determinar a equação da circunferência cujo centro é o ponto C(-3,4) e o raio r=6.

sol:

222 )()( r k yh x

raiocentroequação

=−+−

−

36)4()3( 22 =−++ y x

4.3 Equação Geral da Circunferência.

A equação de uma circunferência também pode ser representada de forma geral,

como o desenvolvimento da equação centro-raio. Vejamos:

( )

022

:

22

:sen

)()(

,

22222

22222

222

=−++−−+

=+−++−

=−+−

r k hkyhx y x

ordememcolocando

r k ky yhhx x

temosvolvendode

r k yh x

r raioek hC centrodeequaçãoaSeja

É a equação pedida, através da qual podemosidentificar facilmente o centro e o raio.


38/89


38

0

:,

2

2

:

22

222

=++++

=−+

=−

=−

F Ey Dx y x

temosF r k h

E k

Dh

fazendo

É importante observar que toda equação geral de circunferência possui os dois

termos do 2º grau e seus coeficientes devem ser obrigatoriamente iguais.

Vamos desenvolver a equação do exercício anterior

01186

03616896

36)4()3(:

22

22

22

=−−++

=−+−+++

=−++

y x y x

y y x x

y xtemos

4.4 Identificando o Centro e o Raio na Equação Geral da Circunferência.

Se não podemos identificar facilmente o centro e o raio, então teremos de

calcular, pois são os principais elementos da circunferência. Faremos o seguinte:

Seja a equação geral: 022 =++++ F Ey Dx y x

Para identificar o centro e o raio na equação acima utilizaremos os coeficientes D ,

E e F .

−−∴−=⇒−=

−=⇒−=

2

,

22

2

22

),(:

E DC

E k k E

Dhh D

k hccentro

Esta equação está na forma Geral.

Não podemos identificar facilmente o centro eo raio ao olhar.

Esta é a Equação Geral da circunferência


39/89


39

2

4

4

4

44

22

:

22222

222

22

2

222

F E Dr

F E Dr

F E D

r

F E D

r

r k hF

r raio

−+=∴

−+=

−+=

−

−+

−=

−+=

realé nciacircunferêaF E Dse

pontoumapenasé nciacircunferêaF E Dse

vazioconjuntonciacircunferêF E Dse

Obs

⇒>−+

⇒=−+

∃⇒


40/89


40


1) Determine o centro e o raio, caso a circunferência exista:

a) 014222 =+−−+ y x y x

b) 0918333 22 =+−−+ y x y x

c) 03110722 =+−++ y x y x

d) 03222 =−−+ y y x

e) 034223 22 =+−+− y x y x

f) 0922 =+−− y x

g) 0422 =++ y x

h) 08222 =+−++ y x y x

2) Determine a equação geral da circunferência cujo centro é o ponto C(3,-5) e é

tangente à reta 0143: =+− y xr .

3) Determinar a equação da reta tangente à circunf. 0392222 =−−++ y x y x no

ponto A(4,5).

4) Determinar a equação da circunferência que passa pelo ponto A(0,1) e

tangencia a reta 034 =+− y x no ponto B(0,3).

5) Achar a equação cartesiana da circunferência que passa pelo ponto A(4;8) e

tangencia as retas .010 == ye y

6) Determinar os pontos de interseção da reta 05 =−+ y x com a circunferência

014222 =+−−+ y x y x e fazer um esboço do gráfico das duas curvas.

7) Determinar as equações das circunferências de raio r = 2 e tangentes à reta

01 =−+ y x e centro sobre o eixo x.

8) A reta 01 =+ y é tangente à circunferência de centro (-1,m) e raio 2 . Ache

uma equação de cada circunferência que tem essa propriedade.

9) Dada a circunferência 03222 =−−+ y y x e os pontos 31,1 −− M e ( )1,2 N que

pertencem a mesma. Calcular o comprimento da corda MP , sabendo que N e

P são os extremos de um diâmetro.


41/89


41

10) Obter as equações das circunferências de raio 3, tangentes à reta 07 =− y e

tangentes exteriormente à circunferência .422 =+ y x

11) Determinar a equação da circunferência que passa pelos pontos).4,1()0,5(),3,2( −−− Pe N M

Respostas:

1)

a) r=2, c(1,2)

b) r=2

5, c

3,

2

1

c) r=2

5, c

− 5,

2

7

d) r= 2 , c ( )1,0

e) não é circunferência

f) r=3 , c ( )0,0

g) conjunto vazio

h) conjunto vazio

2) 0210622 =−+−+ y x y x

3) 04045 =−+ y x

4) ( ) ( ) 1724 22 =−+− y x

5) ( ) 255 22 =−+ y x e ( ) ( ) 2558 22 =−+− y x

6) )4,1()2,3( e

7) ( ) 21 22 =++ y x e ( ) 23 22 =+− y x

8) ( ) ( ) 411 22 =−++ y x e ( ) ( ) 431 22 =+++ y x

9) 2= MPd

10) ( ) ( ) 943 22 =−++ y x e ( ) ( ) 943 22 =−+− y x

11) 0458422 =−−++ y x y x


42/89


42

Capítulo 5

O Estudo das Cônicas.

Seções Cônicas.

Circunferências, elipses, hipérboles e parábolas: todas essas curvas são

encontradas a partir de seções de um plano em uma superfície cônica. (ver

apêndice IV).

Muitas descobertas importantes em matemática pura e na ciência em geral estão

relacionadas às seções cônicas. Os gregos clássicos - Arquimedes, Apolônio e

outros - estudavam essas belas curvas por puro prazer, como forma de desafio,sem qualquer pensamento em possíveis aplicações. As primeiras aplicações

apareceram quase 2.000 anos depois, no início do século XVII. Em 1604, Galileu

descobriu que, lançando-se um projétil horizontalmente do topo de uma torre,

supondo que a única força atuante fosse a gravidade - isto é, a resistência do ar e

outros fatores complicadores são desconsiderados -, sua trajetória será uma

parábola. Um dos grandes eventos da história da Astronomia ocorreu alguns anos

mais tarde, apenas em 1609, quando Kepler publicou sua descoberta de que aórbita de Marte era uma elipse, lançando a hipótese de que todos os planetas se

moveriam em órbitas elípticas. Cerca de 60 anos depois disso, Newton provou

matematicamente que a órbita planetária elíptica é causa e conseqüência de uma

lei de atração gravitacional, baseada no inverso do quadrado da distância. Isso

levou Newton a formular e publicar (em 1687) sua famosa Teoria de Gravitação

Universal, para explicar o mecanismo do sistema solar, teoria esta considerada

como sendo a maior contribuição feita a ciência por um só homem. Esses

desenvolvimentos ocorreram centenas de anos atrás, mas o estudo das seções

cônicas não é, ainda hoje, nem um pouco anacrônico. De fato, essas curvas são

instrumentos importantes nas explorações espaciais dos dias de hoje, e também

nas pesquisas do comportamento de partículas atômicas: os satélites artificiais

movem-se em torno da terra em órbitas elípticas e a trajetória de uma partícula

alfa movendo-se no campo elétrico de um núcleo atômico é uma hipérbole. Esses

exemplos e muitos outros mostram que a importância das seções cônicas, tanto

antigamente como atualmente, não pode ser desprezada.


43/89


43

5.1 A Elipse.

A Elipse é uma curva plana, formada por um conjunto de infinitos pontos de 2 R .

Sua definição matemática, ou seja, a regra que define como esses pontos

devem estar posicionados no plano para que descrevam uma elipse é a seguinte:

Elipse é o conjunto de infinitos pontos de um plano cuja soma das distâncias a

dois pontos fixos deste plano (focos) é constante (k).

Cada elipse tem a sua constante k.

Figura 5.1

k F dM F dM elipse Mn nn =+⇒∈'

5.1.1 Elementos da Elipse.

A figura 5.2 mostra uma elipse com centro na origem do sistema cartesiano.

F’

M1

π

M2

Mn

F

y

x

2aB(0,-b)

A(-a,0) A(a,0)

B(0;2c

F(-c,0) F(c,0)

B(0,b)

Figura 5.2


44/89


44

Seus principais elementos são:

• Eixo maior: é o segmento A’A, cuja medida vale 2a ;

• Eixo menor: é o segmento B’B, cuja medida vale 2b ;

• Vértices: são os pontos )0,()0,(' a Aea A − ;

• Focos: são os pontos fixos )0,()0,(' cF ecF − , a distância focal (entre focos)

mede 2 c;

• Os pontos ),0(),0(' b Beb B − são as extremidades do eixo menor.

Importante:

1. A constante k, característica de cada elipse, é igual ao comprimento de seu

eixo maior 2a.

Então: ak 2=

Podemos provar esta afirmação utilizando o ponto )0,(' a A − que pertence à elipse e por

isso deve satisfazer à condição:

k F dAF dA =+ '''

de fato:

aK

k caca

então

caF dA

caF dA

2

,

'

''

=

=++−

+=

−=

2. Relação entre a , b e c .

222cba +=

Definição matemática

y

B(0,-b)

M(x,y)

x

A(-a,0) A(a,0)

B(0,b)

F(-c,0) F(c,0)

ab

c

a

y


45/89


45

5.1.2 Equação Reduzida da Elipse.

Primeiramente estudaremos as cônicas tomando como referência um sistema de

eixos coordenados, as elipses e hipérboles estarão posicionadas tal que seus

vértices e focos fiquem sobre um dos eixos e simétricos em relação à origem

como na figura 5.2. No caso das parábolas, seu foco deverá estar sobre um dos

eixos e seu vértice posicionado na origem. Com isso vamos obter as equações

reduzidas destas curvas.

Vamos agora determinar a equação de uma elipse específica, cujos focos são

)0,3()0,3(' F eF − e cujo eixo maior 2a mede 10 unidades. Lembrando que k a =2 .

Esta elipse está representada na figura 5.3

Figura 5.3

Seja o ponto genérico elipse y x M ∈),(

adMF dMF matemática Definição 2:'

=+

então:

M(x, y)

x

2a = 10

A(-5,0)A(5,0)

F(-3,0) F(3,0)

y


46/89


46

10)3()3(2222=+−+++ y x y x

5.1.3 Equações Reduzidas Genéricas da Elipse.

Podemos determinar uma equação genérica reduzida para todas as elipses com

focos e vértices sobre um dos eixos coordenados e simétricos em relação à

origem. A figura 5.4 mostra uma elipse cujos elementos estão com coordenadas

genéricas em relação ao sistema cartesiano. Determinaremos sua equação

aplicando a definição matemática.

Figura 5.4

( ) ( )

( )

116251625

1

400

25

400

16

400

400

)400(2516400

2516225625

25225150256251509

96(256251509

)3(5)253(

)4()3(2010012

6)3(201006

96)3(2010096)3(10)3(

2222

22

22

22

222

222

2222

22

22

222222

222

222

=++=

+=

÷+=

+=−

++−=+−

++−=+−

+−−=−

÷+−−=−

−+−−=

++−++−−=+++

+−−=++

y x y x

y x

y x

y x

y x x x x

y x x x x

y x x

y x x

x y x x

y x x y x y x x y x y x

ou Equação reduzida da elipse na suaforma característica após simplificação.

Para lembrar:

222 cba +=

y

M(x,y)

x

A(-a,0) A(a,0)

F(-c,0) F(c,0)

y


47/89


47

( ) ( )

( )

22

22

22

22

22

22

22222222

222

22222222

222222224

22222224222

22224222

22222

222

222

222222222

222

222

2222

'

)(

)()(

22

)2(2

)()(

)4()(444

2)(442

2)(442

)(2)(

2)()(

2

ba

ya

ba

xb

ba

ba

ba ya xbba

bcaazendo

yaca xcaa

ya xc xacaa yacacxa xaacxa xc

yccx xaacxa xc

yc xaacx

yc xaacx

cx yc xaacx

yccx x yc xaa yccx x

yc xa yc x

a yc x yc x

adMF dMF

+=

÷+=

=−

+−=−

+−=−

++−=+−

++−=+−

+−−=−

÷+−−=−

−+−−=

/+/+−/++−−=/+/++/

+−−=++

=+−+++

=+

f

12

2

2

2

=+b

y

a

x

Analogamente, temos:

Eq. genérica reduzida de uma elipse comfocos e vértices sobre o eixo-y e simétricosem relação à origem.

y

x

A’(0, -a)

A(0,a)

B’(-b,0) B(b,0)

F(0,c)

F’(0,-c)

Eq. genérica reduzida de uma elipse comfocos e vértices sobre o eixo-x e simétricosem relação à origem

12

2

2

2

=+a

y

b

x

Figura 5.5


48/89


48

Importante:

Notemos que no caso da elipse, 22 baentãoba >> sendo 0, >ba , ou seja:

o 2a que nos indicará a posição dos focos e vértices será sempre o maiordenominador na equação reduzida.

5.1.4 Excentricidade.

Excentricidade é a razãoa

ce = que nos informa o quão achatada é uma elipse.

Como 10


49/89


49

Uma elipse com uma excentricidade próxima de 1, é uma elipse bastante

achatada. Para que a excentricidade se aproxime de 1 é necessário que c fique

próximo de a.


1) Determinar a equação da elipse com focos no eixo-x, onde temos:

I.

=

=

82

122

c

a

sol:

12036

20

1636

3616

46

222

2

2

222

=+∴=

−=

−=

−=

==

y xb

b

b

bac

cea

II.

=

=

2

162

e

b

sol:

4

1

1

9

91

4

1

91

2

1

1

3

2

2

2

2

2

2

2

−=

−=

−=

−=

=

a

a

a

a

be

b

1

91212

363

4

39

222

2

2

=+∴=

=

=

y xa

a

a


50/89


50

5.1.5 Exercícios propostos:

1) Determinar a equação reduzida da elipse nos seguintes casos:

a) 2a = 10; 2c = 8 , com focos no eixo x

b) 2b = 24; 2c = 10 , com focos no eixo y

c) 2b = 12 ; e =4

5 , com focos no eixo x

2) Determinar os elementos da elipse:

a) 141

22

=+ y x

b) 05102 22 =−+ y x

3) Determinar na elipse 1425

22

=+ y x

os pontos cujas abscissas são iguais a -3 .

4) Determinar os pontos da elipse 136100

22

=+ y x

cujas distâncias ao foco direito

medem 14 .

5) Determinar os pontos de interseção da reta 072 =−+ y x com a elipse

0254 22 =−+ y x .

6) Determinar a equação reduzida da elipse, cujo eixo maior está sobre o eixo y,

sabendo que passa pelos pontos )22,2()14,1( −QeP .

7) Determinar a equação reduzida da elipse, com eixo maior sobre o eixo x,

excentricidade2

1 e que passa pelo ponto P(2,3).

8) Determinar as equações das circunferências inscrita e circunscrita à elipse

01616 22 =−+ y x .

9) Um satélite de órbita elíptica e excentricidade3

1 viaja ao redor de um planeta

situado num dos focos da elipse. Sabendo que a distância mais próxima do

satélite ao planeta é de 300 km , calcular a maior distância.

10) O teto de um saguão com 10m de largura na base, tem a forma de uma semi-

elipse com 9m de altura no centro e 6m de altura nas paredes laterais. Calcule a

altura do teto a 2m de cada parede.


51/89


51

Respostas:

1)

a) 1925

22

=+ y x

b) 1169144

22

=+ y x

c) 136

11

576

22

=+ y x

2)

a)

( )

=

−

−

−

2

3

)3,0()3,0('

0,1)0,1('

)2,0()2,0('

e

F eF

Be B

Ae A

b)

=

−

−

−

5

2

)0,2()0,2('

2

1

,02

1

,0'

0,2

50,

2

5'

e

F eF

Be B

Ae A

3)

−

−−

5

8,3

5

8,3 e

4) 27,527,5 −−− e

5) ( )2,32

3,4 e

6) 1168

22

=+ y x

7) 11216

22

=+ y x

8) 116 2222 =+=+ y xe y x

9) kmd 600=

10) mh 4,8=


52/89


52

5.2 A Hipérbole.

Assim como a elipse, a hipérbole também é uma curva plana, formada por um

conjunto de infinitos pontos de 2 R .

Sua definição matemática é a seguinte:

Hipérbole é o conjunto de infinitos pontos de um plano cuja diferença das

distâncias a dois pontos fixos deste plano (focos) é, em valor absoluto, uma

constante (k).

Cada hipérbole tem a sua constante k.

Figura 5.6

k F dM F dM hipérbole Mn nn =−⇒∈'

F’ F

Mn

M2

M

π


53/89


53

5.2.1 Elementos da Hipérbole.

A figura 5.7 mostra uma hipérbole com centro na origem do sistema cartesiano.

Figura 5.7

Seus principais elementos são:

• Eixo transverso (ou real): é o segmento A’A, cuja medida vale 2a;

• Eixo conjugado (ou imaginário): é o segmento B’B, cuja medida vale 2b;

• Vértices: são os pontos )0,()0,(' a Aea A − ;

• Focos: são os pontos fixos )0,()0,(' cF ecF − , a distância focal (entre focos)

mede 2c;

• Assíntotas: são as retas xa

b y x

a

b y =−= e .

b y −=

a x −=

a x =

b y =

F’(-c,0) F(c,0) x

xa

b y =

xa

b y −=

B’(0,-b)

A’(-a,0)

B(0,b)

A(a,0)

Obs:Os focos estão sobre oeixo x e simétricos emrelação à origem


54/89


54

Importante:

A constante k, característica de cada hipérbole, é igual ao comprimento de seu

eixo transverso 2a.

Então: ak 2=

Podemos provar esta afirmação utilizando o ponto )0,(a A que pertence à

hipérbole e por isso deve satisfazer à condição:

k dAF dAF =−'

de fato:

02

2

,

)()(

'

>=

=

=+−+

=−−+

=−

a poisak

ak

k acca

então

k acca

k dAF dAF

5.2.2 Equações Reduzidas Genéricas da Hipérbole.

Vamos determinar uma equação genérica reduzida para todas as hipérboles com

focos e vértices sobre um dos eixos coordenados e simétricos em relação à

origem. A figura 5.8 mostra uma hipérbole cujos elementos estão com

coordenadas genéricas em relação ao sistema cartesiano. Determinaremos sua

equação aplicando a definição matemática.

Definição matemática


55/89


55

Figura 5.8

Seja o ponto genérico hipérbole y x M ∈),(

:

2: '

então

adMF dMF matemática Definição =−

a yc x yc x 2)()( 2222 =+−−++

Eliminando os radicais, simplificando e fazendo:

222 bac =−

encontramos:

12

2

2

2

=−b

y

a

x Eq. genérica de uma hipérbole com focos e vértices

sobre o eixo-x e simétricos em relação à origem.

Relação importante:

222 bac +=

A(-a,0)F’(-c,0) F(c,0)A(a,0)

M(x,y)

x

y


56/89


56

Analogamente:

Importante:

Na equação reduzida da hipérbole o 2a também nos indicará a posição dos focos

e vértices e neste caso será sempre o denominador da parcela positiva.

nota: se ba = temos o que chamamos de hipérbole eqüilátera.

5.2.3 Excentricidade.

Também é calculada pela razãoa

ce = que nos dá a abertura dos ramos da

hipérbole.

Como ac > a excentricidade da hipérbole sempre será 1> .

Outra fórmula para o cálculo da excentricidade:

2

2

2

22

22

22

222

222

1a

be

a

bae

a

bae

bac

bac

bac

+=∴+

=

+=

+=

+=

=−

F’

A’

A

F

12

2

2

2

=−b

x

a

y Eq. genérica de uma hipérbole com focos e vértices

sobre o eixo-y e simétricos em relação à origem.


57/89


57


1) Determinar as coordenadas dos focos e vértices das hipérboles:

a)3694

22=−

y x

b) 822 =− x y

c) 22 22 =− y x

sol:

a)36

36

36

9

36

4 22=−

y x

149

22

=− y x

49 22 == bea

1313

49

2

2

222

=⇒=

+=

+=

cc

c

bac

∴

b)8

8

88

22

=− x y

188

22

=− x y

88 22 == bea Focos e vértices estão sobre o eixo y.

)8,0()8,0('

)4,0()4,0('4

162

222

Ae A

F eF c

c

bac

−

−∴=

=

+=

( ) ( )( ) ( )0,30,3'

0,130,13'

Ae A

F eF

−

−

Focos e vértices estão sobre o eixo x.


58/89


58

c)2

2

22

2 22=−

y x

121

22

=−

y x

21 22 == bea Focos e vértices estão sobre o eixo x.

)0,1()0,1('

)0,3()0,3('3

212

222

Ae A

F eF c

c

bac

−

−∴=

+=

+=

2) Obter a equação da hipérbole, com centro na origem do sistema cartesiano, nos casos:

a) 2a = 8 e um dos focos é (5,0)

2c = 10 ⇒ c = 5 ⇒ c2 = 25

c2 = a2 + b2

b2 = c2 – a2

b2 = 25 – 16

b2 = 9

b) 2b = 2 e um dos focos é (-2,0)

2b = 2 ⇒ b = 1 ⇒ b2 = 1

2c = 4 ⇒ c = 2 ⇒ c2 = 4

c2 = a2 + b2

a2 = c2 – b2

a2 = 4 – 1

a2 = 3

O eixo transverso está contido no eixo x.

⇒=− 12

2

2

2

b

y

a

x 1

916

22

=− y x

O eixo transverso está contido no eixo x.

⇒=− 12

2

2

2

b

y

a

x 1

13

22

=− y x


59/89


59

c) 2a = 6 e um dos focos é (0,-5)

2a = 6 ⇒ a = 3 ⇒ a2 = 9

2c = 10 ⇒ c = 5 ⇒ c2 = 25

c2 = a2 + b2

b2 = c2 – a2

b2 = 25 – 9

b2 = 16


1) Determinar a equação da hipérbole cujos focos estão no eixo das ordenadas e

simétricos em relação à origem.

a) a = 6; b = 18

b) 2c = 10;3

5=e

2) Verificar se o ponto

−

4

9,5 M pertence à hipérbole 0144169 22 =−− y x .

3) Determinar a equação da hipérbole cujos focos são simétricos em relação à

origem e estão no eixo x, sabendo:

a) P(6,-1) e Q (-8, 22 ) ∈ hipérbole;

b)

−1,

2

9P ∈ hipérbole e x y

3

2±= são as equações das assíntotas.

4) Achar os pontos de interseção da reta 0102 =−− y x com a hipérbole

1520

22

=− y x

.

5) Esboçar o gráfico da hipérbole eqüilátera 922 =− y x .

O eixo transverso está contido no eixo y.

⇒=− 12

2

2

2

b

x

a

y 1

169

22

=− x y


60/89


60

Respostas:

1)

a) 132436

22

=− x y

b) 1169

22

=− x y

2) Pertence

3)

a) 1832

22

=− y x

b) 1818

22

=− y x

4) ( )2,63

2,

3

14e

−


61/89


61

5.3 A Parábola.

Uma das curvas planas mais conhecidas e com várias aplicações na matemática

e na engenharia é a parábola cuja definição matemática é:

Um conjunto de infinitos pontos de um plano que são eqüidistantes de uma reta

diretriz (d) e de um ponto fixo, foco (F), deste plano.

O foco não pertence à diretriz.

Figura 5.9

)(d dM F dM parábola Mn nn =⇒∈

π

F

(d) diretriz

n M


62/89


62

5.3.1 Elementos da Parábola.

A figura 5.10 mostra uma parábola com vértice na origem do sistema cartesiano,

concavidade voltada para a direita e foco sobre o eixo x.

Figura 5.10

Os elementos desta curva são:

• Foco: é o ponto fixo F ;

• Diretriz: é a reta fixa (d);

• Eixo: é a reta que contém o foco e é perpendicular à diretriz;

•

Vértice: é o ponto de interseção da parábola com seu eixo;• Parâmetro*: chamaremos de parâmetro (P ) a distância do foco ao vértice,

sendo então 2p a distância do foco à diretriz;

• Lado reto: é o segmento cujos extremos são pontos da parábola, é

perpendicular ao eixo e passa pelo foco.

* alguns autores consideram o parâmetro p como sendo a distância entre o foco e a diretriz.

Neste caso a distância entre o foco e o vértice é2 p .

y

xF(p,0)

-pv

L

R

(d)x=-p


63/89


63

Como já foi dito, estudaremos primeiramente as equações reduzidas das

parábolas. Neste caso o plano cartesiano terá a sua origem coincidindo com o

vértice da parábola cujo eixo, e conseqüentemente seu foco, estará sobre um dos

eixos coordenados.

5.3.2 Equações Reduzidas da Parábola.

Seja o ponto genérico parábola y x M ∈),(

)(: d dM dMF matemática Definição =

(d)

00 =++

−=

p y x

ou p x

22

00

2

12

2

12 )()(

:

ba

cbyax

dpr

y y x xd

lembrar para

+

++

=

−+−=

y

xF(p,0)

-pv

M(x,y)


64/89


64

+=

+

++=

+−=

p x p y x

d dM

y p xdMF

01

.0.1)(

)(

2

22

( )

px y p px x yP px x

p x y p x

p x y p x

então

422

)(

)(

222222

2222

22

=∴++=++−

+=+−

+=+−

podemos concluir por analogia que temos quatro tipos de equações reduzidas

para as parábolas.

Eq. genérica reduzida de uma parábola coma concavidade voltada para a direita.

x=-py

x

F(p,0)-p

px y 42 =

x=

y

x

F(-p,0) p

px y 42 −=

F(0,p)

y

x

-p

=-

py x 42 =

y

x

p

F(0,-p)

=

py x 42 −=


65/89


65


1) Esboçar o gráfico, dar as coordenadas do foco e a equação da diretriz da parábola042 =− x y

sol:

x y 42 =

vamos comparar a equação dada com a equação genérica px y 42 =

1444

42

2

=

=⇒=

=

p p px y

x y

2) Determine a equação da parábola cujo foco é

− 0,

2

1F e a diretriz é a reta 012 =− x

sol:

a equação da diretriz pode ser escrita como2

1= x

pela posição do foco e da diretriz podemos concluir que trata-se de uma parábola com vértice na

origem e concavidade voltada para a esquerda cuja equação genérica é px y 42 −=

seu parâmetro p vale2

1.

então:

x y

x y

2

.2

1.4

2

2

−=

∴

−=

x=-1y

x

F(1,0)-1

x y 42 =


66/89


66


1) Para cada uma das parábolas abaixo, construir o gráfico e encontrar o foco e a

equação da diretriz:

a) y x 42 −=

b) x y 62 =

c) x y 82 −=

d) 02 =+ y x

e) 02 =− x y

f) 032 =+ x y

g) 0102 =− y x

h) 092 2 =− x y

i)16

2 x y =

j)12

2 y x −=

2) Determinar a equação da parábola com vértice na origem, eixo sobre o eixo y

e que passa pelo ponto M(6,3).

3) Um arco parabólico tem uma altura de 2,0m e uma largura de 3,6m na base.

Se o vértice da parábola está no topo do arco, a que altura sobre a base o

arco tem uma largura de 1,8m?

4) Um telescópio refletor tem um espelho parabólico para o qual a distância do

vértice ao foco é 30cm. Se o diâmetro do espelho é 10cm, qual a sua

profundidade?

5) Admita que a água que escoa do final de um tubo horizontal que está a 2,5m

do chão descreva uma curva parabólica. O vértice da parábola está no final do

tubo. Se em um ponto a 80cm abaixo da linha do tubo o fluxo d’água curvou-

se 1,0m além da reta vertical que passa pelo fim do tubo, a que distância

desta reta a água tocará o chão?

6) A diretriz da parábola px y 42 = é tangente à circunferência que tem o foco da

parábola como centro. Ache a equação da circunferência e os pontos de

interseção das duas curvas.


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7) Prove que o comprimento do lado reto de qualquer parábola é 4p .

Respostas:

1)

a) 1;)1,0( =− yF

b)2

3;0,

2

3−=

xF

c) ( ) 2;0,2 =− xF

d)4

1;

4

1,0 =

− yF

Geometria Analítica Plana-Apostila-prof. f. Henrique

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