Geometria Analtica Distncia entre dois pontos na reta:

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Distncia entre dois pontos no plano cartesiano:

Ponto mdio de um segmento

Coordenadas do baricentro de um tringulo Se A(xA ; yA), B(xB ; yB) e C(xC ; yC) so vrtices de um tringulo contido no plano cartesiano, seu baricentro (centro de gravidade) que o encontro das medianas dado por P(xP ; yP):

Condio de alinhamento de trs pontos: Para saber se trs pontos so colineares calculamos o seu determinante. Se o determinante for igual a zero so colineares;

Se o determinante for diferente de zero os pontos so no colineares (caso do tringulo)

Inclinao da reta (coeficiente angular) Considere uma reta r de inclinao em relao ao eixo x. O coeficiente angular ou a declividade dessa reta r o nmero real m que expressa a tangente trigonomtrica de sua inclinao , ou seja:

Se = 0 ento tg 0 = 0. Portanto m = 0 e a reta paralela ao eixo x (y = k).

k

Se 0 < < 90 teremos tg 0 ento m 0.

Se 90 < < 180 teremos tg 0 ento m 0.

Se = 90 a tg no definida. A reta paralela ao eixo y (x = k)

Equao da reta dado um ponto P(x0;y0) e o coeficiente angular m da reta.

y y0 = m(x x0)

Equao da reta dado dois pontos P1(x1; y1) e P2(x2; y2) calculando atravs do determinante.

Forma reduzida da equao da reta:

y = m.x + n

onde: m o coeficiente angular n o coeficiente linear (intercepta o eixo y) Equao geral da reta: ! " #

Ex: y = 3x 4 (reduzida) 3x y 4 = 0 (geral) (Repare que da reduzida para geral basta igualar a zero)

Forma segmentria da equao da reta:

! " Onde (a ; 0) e (0 ; b)

Posies relativas de duas retas:

Dadas as retas na forma geral e reduzida $%!$ "$ #$ $ &$ '%!' "' # ' &'

Paralelas e coincidentes: (SPI)

Geral: !$!' "$"' #$#'

Reduzida: $ '&$ &' Paralelas no coincidentes: (SI)

Geral: !$!' "$"' #$#'

Reduzida: $ '&$ &' Concorrentes: (SPD)

Geral: !$!' "$"'

Reduzida: $ ' Retas perpendiculares: $ ( ' Distncia entre dois pontos: A distncia entre o pontos P(xp ; yp) e a reta r: ax + by + c = 0 pode

ser calculada com a utilizao da frmula: )$ |!*"*#|!*" Clculo da rea

( |+| Onde D o determinante dos pontos. Podemos calcular pelo falso determinante: dados os pontos

A(xA;yA), B(xB;yB), C(xC;yC), D(xD;yD), E(xE;yE),

+ ,++--, + # + +- - + +- - No importa quantos pontos sejam.

....

....

/0/0/0/0

Observaes:

Reta bissetriz dos quadrantes mpares y = x ou y x = 0.

Reta bissetriz dos quadrantes pares y = -x ou y + x = 0

Mediatriz: dado um segmento AB a mediatriz uma reta perpendicular ao ponto mdio do segmento AB.

Equaes paramtricas: x = f(t) e y = g(t) so equaes paramtricas de uma reta r onde f(t) e g(t) expresso leis de funes do

primeiro grau. ngulo formado por duas retas

21

21

1 mmmm

tg+

=

Geometria Analtica da Circunferncia Dado um ponto genrico P(x ; y) que pertence a circunferncia de centro O(a ; b) e raio r, pelo teorema de Pitgoras temos que a equao reduzida da circunferncia dado por:

DOP = r ( ) ( ) rbyax =+ 22 r = (x a) + (y b)

E a equao normal da circunferncia dado por:

x + y - 2ax 2by + a + b - r = 0 Para que uma equao completa do 2 grau

Ax + By + Cxy + Dx + Ey + F = 0 seja circunferncia seus coeficientes tem que ser dessa forma:

B = A 0 C = 0

D + E - 4AF > 0

Posies do ponto P(xp ; yp) em relao circunferncia. Substituindo o ponto P(xp ; yp), na equao da circunferncia (reduzida ou normal) temos que:

d2P,C = (xp a)2 + (yp b)2 = r2 Se a distncia (d) entre o ponto P e o centro

(C) da circunferncia for maior que o raio r ento o ponto P externo a circunferncia:

dP,C >>>> r Se dP,C = r, o ponto P pertence a

circunferncia. Se dP,C > r

OBS: Dado uma reta (t) : ax + by + c = 0 e uma equao da circunferncia: x2 + y2 -2xC(x -2yC(y + xC

2 + yC2 r2 = 0 (onde xc e yc o centro da

circunferncia) se quisermos calcular a posio relativa (ou as coordenadas) entre os dois temos que fazer um sistema e isolarmos uma das incgnitas da reta t e substituirmos na equao da circunferncia. Se:

A B M(xM; yM)

= 0 h somente um ponto em comum; logo a reta tangente a circunferncia.

>>>> 0 h dois pontos em comum; logo a reta secante a circunferncia.