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2019/Sem_02
NOTAS DE AULA
Geometria Analítica e
Álgebra Linear
Espaços Vetoriais
Professor: Luiz Fernando Nunes, Dr.
Geometria Analítica e Álgebra Linear
Geometria Analítica e Álgebra Linear
ii
Índice 5 Espaços Vetoriais ..................................................................................................... 1
5.1 Definição e Espaços Vetoriais .......................................................................... 1 5.2 Subespaços Vetoriais ........................................................................................ 4
5.3 Subespaços Gerados ....................................................................................... 10 5.4 Dependência e Independência Linear ............................................................. 13 5.5 Base de um Espaço Vetorial ........................................................................... 16 5.6 Exercícios Propostos ....................................................................................... 22 5.7 Referências Bibliográficas .............................................................................. 24
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Geometria Analítica e Álgebra Linear
5 Espaços Vetoriais
5.1 Definição e Espaços Vetoriais Seja um conjunto V, não vazio, sobre o qual estão definidas duas operações chamadas de adição
e multiplicação por escalar, que são “fechadas” em V, isto é:
Adição: VvuVvu + ,,
Multiplicação por escalar: VuVu ,e
O conjunto V com estas duas operações é chamado de Espaço Vetorial Real (ou Espaço
Vetorial sobre ), se forem verificados os seguintes axiomas ( Vwvu ,, e , ):
V1) ( ) ( ) wvuwvu ++=++
V2) uvvu +=+
V3) v0vV0 =+ ;
V4) 0vvVv =−+− )(;)(
V5) ( ) vuvu +=+
V6) ( ) vvv +=+
V7) ( ) ( )vv =
V8) vv =1
Estes Axiomas são chamados de Axiomas de Espaço Vetorial.
Algumas propriedades de um espaço vetorial
a) O vetor nulo é único.
b) Cada vetor Vu admite apenas um simétrico Vu − )(
c) Para quaisquer vetores u, v, w V , se u + w = v + w, então u = v
d) Qualquer que seja Vu , tem-se ( ) uu =−−
e) Quaisquer que sejam os vetores u, v V , existe um e somente um vetor w V , tal que:
vwu =+
f) Qualquer que seja Vu , tem-se 0u =0
g) Qualquer que seja , tem-se 00 =
h) 0u = implica que 0= ou 0u =
i) Qualquer que seja Vu , tem-se ( ) uu −=−1
j) Quaisquer que sejam Vu e , tem-se ( ) ( ) ( )uuu −=−=−
Exemplos:
1) Verifique que o conjunto ( ) == 21212 e;, xxxxV , com as operações assim
definidas:
Adição: ( ) ( ) ( )22112121 ,,, yxyxyyxx ++=+
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Multiplicação por escalar: ( ) ( )2121 ,, xxxx =
(operações usuais de adição e multiplicação por escalar para o 2 ) é um espaço vetorial.
Devemos verificar todos os axiomas considerando:
( )21 , xxx = , ( )21, yyy = , ( )21, zzz = e ,
V1) ( ) ( ) zyxzyx ++=++
( ) =++ zyx ( ) ( ) ( ) 212121 ,,, zzyyxx ++ = ( ) ( )221121 ,, zyzyxx +++ =
( ) ( )( )222111 , zyxzyx ++++ = ( ) ( )( )222111 , zyxzyx ++++ = ( ) ( )212211 ,, zzyxyx +++ =
( ) ( ) ( )212121 ,,, zzyyxx ++ = ( ) zyx ++
V2) xyyx +=+
yx + = ( ) ( )2121 ,, yyxx + = ( )2211 , yxyx ++ = ( )2211 , xyxy ++ = ( ) ( )2121 ,, xxyy + = xy +
V3) x0xV0 =+ ;
Tome ( )0,0=0 , então:
( ) ( )0,0, 21 +=+ xx0x = ( )0,0 21 ++ xx = ( )21, xx = x
V4) 0xxVx =−+− )(;)(
Tome ( ) ( )21, xxx −−=− , então:
)( xx −+ = ( )21, xx + ( )21, xx −− = ( ) ( )( )2211 , xxxx −+−+ = ( ) 0=0,0
V5) ( ) yxyx +=+
( ) ( ) ( ) 2121 ,, yyxxyx +=+ = ( )2211 , yxyx ++ = ( ) ( )( )2211 , yxyx ++ =
( )2211 , yxyx ++ =
( )21, xx + ( )21, yy = ( )21, xx + ( )21, yy = yx +
V6) ( ) xxx +=+
( ) x+ = ( )+ ( )21, xx = ( ) ( )( )21, xx ++ = ( )2211 , xxxx ++ =
( ) ( )2121 ,, xxxx + = ( ) ( )2121 ,, xxxx + = xx +
V7) ( ) ( )xx =
( ) ( ) ( )21, xxx = = ( ) ( )( )21, xx = ( ) ( )( )21 , xx =
( )21, xx = ( )( )21, xx = ( )x
V8) xx =1
( ) ( ) ( ) xxxxxxxx ==== 212121 ,1,1,11
2) Verifique que o conjunto ( ) == 3213213 e,;,, xxxxxxV , com as operações assim
definidas:
Adição: ( ) ( ) ( )332211321321 ,,,,,, yxyxyxyyyxxx +++=+
Multiplicação por escalar: ( ) ( )321321 ,,,, xxxxxx =
(operações usuais de adição e multiplicação por escalar para o 3 ) é um espaço vetorial.
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3) Generalize para o n , isto é, com base nos exemplos anteriores, verifique que o conjunto
( ) == nnn xxxxxxV ,.....,,;,.....,, 2121 , com as operações assim definidas:
Adição: ( ) ( ) ( )nnnn yxyxyxyyyxxx +++=+ ,.....,,,.....,,,.....,, 22112121
Multiplicação por escalar: ( ) ( )nn xxxxxx = ,.....,,,.....,, 2121
(operações usuais de adição e multiplicação por escalar para o n ) é um espaço vetorial.
4) O espaço constituído do conjunto das matrizes ( )nmM , com as operações usuais de adição
de matrizes e multiplicação de matriz por número real.
5) O espaço ( )nP constituído pelo conjunto dos polinômios de coeficientes reais com grau
menor ou igual a n, mais o polinômio nulo, com as operações usuais de adição de polinômios e
multiplicação de polinômio por número real.
Observação: Verifique que:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
+
nn
nn
PxpPxp
PxpxpPxpxp
11
2121
,
,
6) O espaço ( )IC constituído pelo conjunto das funções contínuas definidas de I em ,
com as operações de adição de funções e multiplicação de função por número real definidas
como:
( )( ) ( ) ( )xgxfxgf +=+ e ( )( ) ( )xfxf =
7) Verifique que o conjunto ( ) 0,;, 2121 = xxxxV , com as operações assim definidas:
Adição: ( ) ( ) ( )22112121 ,,, yxyxyyxx =
Multiplicação por escalar: ( ) ( )= 2121 ,, xxxx é um espaço vetorial.
Observação: estas operações não são as operações usuais de adição e multiplicação por escalar.
Por esta razão foram utilizados os símbolos diferentes: e para representá-las, evitando
quaisquer confusões com as operações usuais.
Devemos verificar todos os axiomas. Para isto consideremos:
( )21 , xxx = , ( )21, yyy = , ( )21, zzz = e , .
V1) ( ) ( ) zyxzyx =
( )zyx = ( ) ( ) ( ) 212121 ,,, zzyyxx = ( ) ( )221121 ,, zyzyxx =
( ) ( )( )222111 , zyxzyx = ( ) ( )( )222111 , zyxzyx = ( ) ( )212211 ,, zzyxyx =
( ) ( ) ( )212121 ,,, zzyyxx ( ) zyx =
V2) xyyx =
yx = ( ) ( )2121 ,, yyxx = ( )2211 , yxyx = ( )2211 , xyxy = ( ) ( )2121 ,, xxyy = xy
V3) x0xV0 = ;
Tome ( )1,1=0 , então:
( ) ( )1,1, 21 = xx0x = ( )1,1 21 xx = ( )21, xx = x
V4) ( ) Vxxx = 21, , 0xxVx =−− )(;)(
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Tome ( )
=−
21
1,
1
xxx , então:
)( xx − = ( )21, xx
21
1,
1
xx=
2
2
1
1
1,
1
xx
xx = ( ) 0=1,1
V5) ( ) yxyx =
( ) ( ) ( ) 2121 ,, yyxxyx = = ( )2211 , yxyx = ( ) ( )( ) 2211 , yxyx =
( ) 2211 , yxyx =
( )21 , xx ( )
21 , yy = ( )21, xx ( )21, yy = yx
V6) ( ) xxx =+
( ) x+ = ( )+ ( )21, xx =( ) ( )( )++
21 , xx = ( ) 2211 , xxxx = ( ) ( )
2121 ,, xxxx
= ( ) ( )2121 ,, xxxx = xx
V7) ( ) ( )xx =
( ) ( ) ( )21, xxx = = ( )21 , xx = ( ) ( )
21 , xx = ( )
21 , xx =
( )( )21, xx = ( )x
V8) xx =1
( ) ( ) ( ) xxxxxxxx ==== 211
21
121 ,,,11
5.2 Subespaços Vetoriais
5.2.1 Definição de subespaços Vetoriais
Sejam dados
) de vazionãoosubconjunt um é ( ,
evetorialespaçoum
VWWVW
V
W é denominado um subespaço vetorial de V quando:
(i) WvuWvu +,
(ii) WuWu ,
Observações:
a) W0WuWu = 0,0
b) Dado um espaço vetorial V, existem pelo menos dois subespaços vetoriais de V, que são
chamados de subespaços triviais e são:
}{
e
0
V
Exemplos:
1) Se 2W é uma reta que passa pela origem, então W é um subespaço vetorial do
2 .
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Demonstração:
Seja 0=+ byax a equação cartesiana de uma reta que passa pela origem. Neste caso, W é o
conjunto de todos os pares ordenados ( )yx, que satisfazem esta equação.
Então, devemos provar que se:
(i) WvuWvu +, e (ii) WuWu ,
Considerando ( )11 , yxu = e ( )22 , yxv = , temos:
(i) Se Wvu, 011 =+ byax e 022 =+ byax Somando membro a membro obtemos:
( ) ( ) 02121 =+++ yybxxa Logo, o par ordenado ( ) vuyyxx +=++ 2121 , também satisfaz
à equação 0=+ byax , assim concluímos que Wvu + .
(ii) Wu, ( )11, yxu = e 011 =+ byax Multiplicando os dois membros
da expressão 011 =+ byax por obtemos: ( ) 011 =+ byax
( ) ( ) 011 =+ ybxa Logo, o par ordenado ( ) uyx = 11, também satisfaz à
equação 0=+ byax , assim concluímos que Wu .
2) Se 3W é um plano que passa pela origem, então W é um subespaço vetorial do
3 .
Demonstração:
Seja 0=++ czbyax a equação cartesiana de um plano que passa pela origem. Neste caso, W
é o conjunto de todas as triplas ordenadas ( )zyx ,, que satisfazem esta equação.
Então, devemos provar que se:
(i) WvuWvu +, e (ii) WuWu ,
Considerando ( )111 ,, zyxu = e ( )222 ,, zyxv = , temos:
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(i) Se Wvu, 0111 =++ czbyax e 0222 =++ czbyax Somando membro a membro
obtemos: ( ) ( ) ( ) 0212121 =+++++ zzcyybxxa Logo, a tripla ordenada
( ) vuzzyyxx +=+++ 212121 ,, também satisfaz à equação 0=++ czbyax , assim
concluímos que Wvu + .
(ii) Wu, ( )111 ,, zyxu = e 0111 =++ czbyax Multiplicando os dois
membros da expressão 0111 =++ czbyax por obtemos: ( ) 0111 =++ czbyax
( ) ( ) ( ) 0111 =++ zcybxa Logo, a tripla ordenada ( ) uzyx = 111 ,,
também satisfaz à equação 0=++ czbyax , assim concluímos que Wu .
Observação: Podemos provar também, que qualquer reta que passa pela origem é também um
subespaço vetorial do 3 .
3) O conjunto W das matrizes triangulares superiores (ou inferiores) nn é um subespaço
vetorial de ( )nnM .
Isto significa que:
(i) a soma de duas matrizes triangulares superiores (ou inferiores) nn é também uma matriz
triangular superior (ou inferior) nn , e que:
(ii) o produto de uma matriz triangular superior (ou inferior) nn por um número real é
também uma matriz triangular superior (ou inferior) nn .
4) Seja ( ) },,,;{22
== dcba
dc
baMV .
Então, o conjunto },,;00
{
= ba
baW é um subespaço vetorial de V.
Demonstração:
(i) a soma de duas matrizes quaisquer 22 , que possuam os elementos 21a e 22a iguais a zero
será uma matriz 22 que também tem os elementos 21a e 22a nulos, e que:
(ii) o produto de uma matriz qualquer 22 , que possua os elementos 21a e 22a iguais a zero,
por um número real, será uma matriz 22 que também tem os elementos 21a e 22a nulos.
5) Dado um sistema de equações lineares homogêneo, do tipo 0xA = , onde A é a matriz dos
coeficientes das incógnitas, 𝑥 = [
𝑥1𝑥2⋮𝑥𝑛
] é o vetor das incógnitas e 0 = [
00⋮0
] é o vetor dos termos
independentes (todos nulos, pois o sistema é homogêneo), então o conjunto das soluções deste
sistema é um subespaço vetorial de 1nM .
Isto quer dizer que:
(i) a soma de duas soluções deste sistema é também solução do sistema, e que:
(ii) o produto de uma solução deste sistema por um número real é também solução deste sistema.
Demonstração:
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(i) Se 𝑥 = [
𝑥1𝑥2⋮𝑥𝑛
] e 𝑦 = [
𝑦1𝑦2⋮𝑦𝑛
] são soluções do referido sistema, então temos que 0xA = e
0yA = . Somando estes resultados, membro a membro, obtemos + xA 0yA =
( ) 0yxA =+ . Logo o vetor 𝑥 + 𝑦 = [
𝑥1𝑥2⋮𝑥𝑛
] + [
𝑦1𝑦2⋮𝑦𝑛
] = [
𝑥1 + 𝑦1𝑥2 + 𝑦2⋮
𝑥𝑛 + 𝑦𝑛
] é também solução do sistema.
(ii) Se 𝑥 = [
𝑥1𝑥2⋮𝑥𝑛
] é solução do sistema, então 0xA = . Multiplicando os dois lados desta
igualdade pelo número real obtemos: ( ) ( ) 0xA0xA == . Logo o vetor = x
𝛼 ∙ [
𝑥1𝑥2⋮𝑥𝑛
] = [
𝛼 ∙ 𝑥1𝛼 ∙ 𝑥2⋮
𝛼 ∙ 𝑥𝑛
] é também solução do sistema.
6) Na sequência são apresentados alguns subconjuntos do 2 ou do
3 . Verifique quais deles
são subespaços vetoriais (do 2 ou do
3 , respectivamente) considerando as operações usuais
de adição e multiplicação por escalar.
a) ( ) }/,{ xyyxS == Resposta: Sim.
b) ( ) }/,{ 2xyyxS == Resposta: Não.
c) ( ) }03/,{ =+= yxyxS Resposta: Sim.
d) ( ) }/,{ xyyxS == Resposta: Não.
e) ( ) }2/,,{ yxzzyxS −== Resposta: Sim.
f) ( ) }423/,,{ −+== yxzzyxS Resposta: Não.
g) ( ) }/,,{ 2xzzyxS == Resposta: Não.
7) Seja o subespaço vetorial do 4 definido por:
( ) }0e02/,,,{ 4 ==−+= tzyxtzyxS . Verifique se os vetores que seguem pertencem
a S:
a) ( )0,3,2,1 Resposta: Não.
b) ( )0,5,1,3 Resposta: Sim.
c) ( )1,1,1,1− Resposta: Não.
d) ( )0,3,2,1 −− Resposta: Sim.
8) Seja o subespaço vetorial do ( )22M , com as operações usuais de adição de matrizes e
multiplicação de matriz por número real definido por: },;2
{
−+
−= ba
bba
abaS .
a) o vetor ?21
65S
Resposta: Sim.
b) Qual o valor de k para que ?32
4S
k
−
− Resposta: 2−=k .
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5.2.2 Intersecção de Subespaços Vetoriais
Se 1W e 2W são subespaços vetoriais de V, então 21 WW é também um subespaço vetorial de
V.
Demonstração:
(i) ( ) 21, WWvu 21 ,e, WvuWvu ( ) ( ) ++ 21 e WvuWvu
( ) 21 WWvu +
(ii) 2121 e, WuWuWWu 21 e WuWu 21 WWu .
As figuras que seguem, apresentam dois casos para ilustrar que a intersecção de dois subespaços
vetoriais de V é também um subespaço vetorial de V:
a) Se 1W e 2W são retas que passam pela origem (e portanto são subespaços vetoriais do 2 ),
então }{21 0WW = , isto é, a intersecção de 1W e 2W é um conjunto unitário constituído pela
origem do sistema cartesiano ( ( )0,0=0 ), que já sabemos que é um dos subespaços triviais do 2 .
b) Se 1W e 2W são planos que passam pela origem (e portanto, estes conjuntos são subespaços
vetoriais do 3 ), então 21 WW é uma reta que também passa pela origem (no caso da figura
é o eixo das cotas, isto é, o eixo z), que também é um subespaço vetorial do 3 .
Observação: Encontre alguns contraexemplos para provar que se 1W e 2W são subespaços
vetoriais de V, então 21 WW não é necessariamente um subespaço vetorial de V (isto é, a união
de dois subespaços vetoriais nem sempre é um subespaço vetorial).
5.2.3 Soma de subespaços Vetoriais
Sejam 1W e 2W dois subespaços vetoriais de V.
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Definimos a soma destes dois subespaços como:
}ecom,:{ 22112121 WwWwwwvVvWW +==+ .
Podemos provar que o conjunto 21 WW + , assim definido, é um subespaço vetorial de V.
Demonstração:
Para isto, devemos provar que 21 WW + é “fechado” em relação à soma de vetores e à
multiplicação de vetor por número real, isto é, devemos mostrar que:
(i) ( )+ 21, WWvu ( ) ( )21 WWvu ++
(ii) ( )+ 21, WWv ( )21 WWv + .
Provemos primeiramente o item (i):
( )+ 21, WWvu 2
''
2
'
21
''
1
'
1
''
2
''
1
'
2
'
1 ,e,com,e WwwWwwwwvwwu +=+=
⇒ 𝑢 + 𝑣 = (𝑤1′ + 𝑤2
′ ) + (𝑤1′′ + 𝑤2
′′) = (𝑤1′ + 𝑤1
′′)⏟ ∈ 𝑊1
+ (𝑤2′ + 𝑤2
′′)⏟ ∈ 𝑊2
( ) ( )21 WWvu ++ .
Agora provemos o item (ii):
( )+ 21, WWv 221121 ecom, WwWwwwv += 2211 e WwWw
( ) ( )212121 WWvwwww +=+=+ .
Observações:
a) ( )211 WWW + e ( )212 WWW + ;
Basta lembrarmos que }ecom,:{ 22112121 WwWwwwvVvWW +==+ .
Se tomarmos =+== 0wv0w 12 1w , logo ( )211 WWW + .
Se tomarmos =+== 21 w0v0w2w , logo ( )212 WWW + .
b) 21 WW + é denominado “soma” de 1W com 2W (não é união);
c) Pode ocorrer que }{21 0WW = , isto é, a intersecção de 1W com 2W pode resultar em um
conjunto unitário constituído apenas pelo vetor nulo. Neste caso, denotaremos a soma por
21 WW e a chamaremos de soma direta.
5.2.4 Combinações Lineares
Sejam os vetores 𝑣1, 𝑣2, ⋯ , 𝑣𝑛 ∈ 𝑉 e os escalares 𝛼1, 𝛼2, ⋯ , 𝛼𝑛 ∈ ℜ. Qualquer vetor
Vv da forma 𝛼1𝑣1 + 𝛼2𝑣2 + ⋯ + 𝛼𝑛𝑣𝑛 é uma combinação linear dos vetores
𝑣1, 𝑣2, ⋯ , 𝑣𝑛, com coeficientes 𝛼1, 𝛼2, ⋯ , 𝛼𝑛 .
Exemplos:
1) Considere os vetores do 3 : ( )2,3,1 −=u e ( )1,4,2 −=v .
a) Escreva o vetor ( )7,18,4 −−=w como combinação linear de u e v.
Resolução:
vuw +=
( ) ( ) ( )1,4,22,3,17,18,4 −+−=−−
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=−
−=+−
−=+
72
1843
42
2= e 3−= vuw 32 −=
b) Mostrar que o vetor ( )6,3,4 −=t não pode ser escrito como combinação linear de u e v.
Resolução:
Basta mostrar que o sistema
−=−
=+−
=+
62
343
42
é impossível.
c) Determine o valor de k para que o vetor ( )7,,1 −−= kq possa ser escrito como combinação
linear de u e v.
Resolução:
−=−
=+−
−=+
72
43
12
k Basta mostrar que para que este sistema seja SPD é necessário que 13=k .
d) Determine a relação que deve existir entre x, y, z de modo que o vetor ( )zyx ,, possa ser
escrito como combinação linear de u e v.
Resolução:
=−
=+−
=+
z
y
x
2
43
2
Basta mostrar que para que este sistema seja SPD é necessário que
02 =++− zyx .
2) Mostre que o vetor ( ) 24,3 =t pode ser escrito de infinitas maneiras como combinações
lineares de ( )0,1=u , ( )1,0=v e ( )1,2 −=w .
Resolução:
wvut ++=
( ) ( ) ( ) ( )1,21,00,14,3 −++=
=−
=+
4
32 Basta mostrar para que este sistema é SPI.
5.3 Subespaços Gerados
Seja V um espaço vetorial e 𝑣1, 𝑣2, ⋯ , 𝑣𝑛 ∈ 𝑉. Então o conjunto:
𝑆 = { 𝑎1𝑣1 + 𝑎2𝑣2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑣𝑛 ; 𝑎1, 𝑎2 ,⋯ , 𝑎𝑛 ∈ ℜ } ⊂ 𝑉 é denominado conjunto
gerado por 𝑣1, 𝑣2, ⋯ , 𝑣𝑛.
Representação: 𝑆 = [𝑣1, 𝑣2 , ⋯ , 𝑣𝑛].
Observações:
a) 𝑣1, 𝑣2, ⋯ , 𝑣𝑛 ∈ [𝑣1, 𝑣2 , ⋯ , 𝑣𝑛], pois:
𝑣𝑖 = 𝑎1𝑣1 + 𝑎2𝑣2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑣𝑛, com 1=ia e 0=ja se ij .
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b) 0 ∈ [𝑣1, 𝑣2 , ⋯ , 𝑣𝑛], basta fazer 0=ia , i .
Proposição: O conjunto gerado por 𝑣1, 𝑣2, ⋯ , 𝑣𝑛, isto é 𝑆 = [𝑣1, 𝑣2 , ⋯ , 𝑣𝑛] é um
subespaço vetorial de V.
Então, devemos provar que se:
(i) SvuSvu +, e
(ii) SuSu ,
Demonstração:
(i) 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑆 ⇒ 𝑢 = 𝑎1𝑣1 + 𝑎2𝑣2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑣𝑛 e 𝑣 = 𝑏1𝑣1 + 𝑏2𝑣2 +⋯+ 𝑏𝑛𝑣𝑛.
Somando estas duas últimas expressões, membro a membro, obtemos 𝑢 + 𝑣 = (𝑎1 + 𝑏1)𝑣1 +(𝑎2 + 𝑏2)𝑣2 +⋯+ (𝑎𝑛 + 𝑏𝑛)𝑣𝑛 Svu +
(ii) Su, 𝛼 ⋅ 𝑢 = 𝛼 ⋅ (𝑎1𝑣1 + 𝑎2𝑣2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑣𝑛)=(𝛼 ⋅ 𝑎1)𝑣1 + (𝛼 ⋅ 𝑎2)𝑣2 +⋯+
(𝛼 ⋅ 𝑎𝑛)𝑣𝑛 Su .
Exemplos:
1) 3=V e 3v , então o subespaço gerado por v é uma reta que passa pela origem do
sistema cartesiano e tem v como vetor diretor, isto é };{][ == avavS .
2) 3=V e 3
21, vv , tais que avva 21, então o subespaço gerado por
21, vv é
um plano que passa pela origem do sistema cartesiano e tem 21, vv como vetores diretores, isto
é },;{],[ 21221121 +== aavavavvS .
3) 2=V , ( ) ( )1,0e0,1 21 == vv , encontre o subespaço vetorial gerado por 1v e 2v , isto é, ache
],[ 21 vv .
Resolução:
},;{],[ 21221121 +== aavavavvS = ( ) ( ) },;1,00,1{ 2121 + aaaa =
( ) },;,{ 2121 aaaa =2 .
4) 3=V , ( ) ( ) ( )1,0,0e0,1,0,0,0,1 321 === vvv , encontre o subespaço vetorial gerado por 1v
, 2v e 3v , isto é, ache ],,[ 321 vvv .
Resolução:
},,;{],,[ 321332211321 ++== aaavavavavvvS =
( ) ( ) ( ) },,;1,0,00,1,00,0,1{ 321321 ++ aaaaaa = ( ) },,;,,{ 321321 aaaaaa =3 .
5) 3=V , ( ) ( )0,1,0e0,0,1 21 == vv , encontre o subespaço vetorial gerado por 1v e 2v , isto
é, ache ],[ 21 vv .
Resolução:
},;{],[ 21221121 +== aavavavvS = ( ) ( ) },;0,1,00,0,1{ 2121 + aaaa =
( ) },;0,,{ 2121 aaaa , isto é, é o plano que contém os eixos x e y (xOy).
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6) 3=V , ( ) ( )1,1,2e1,2,1 21 =−−= vv , encontre o subespaço vetorial gerado por 1v e 2v , isto
é, ache ],[ 21 vv .
Resolução:
},;{],[ 21221121 +== aavavavvS = ( ) ( ) },;1,1,21,2,1{ 2121 +−− aaaa =
( ) },;,2,2{ 21212121 +−+−+ aaaaaaaa , isto é:
== ],[ 21 vvS ( ) ( ) ( ) },;,2,2,,/,,{ 212121213 +−+−+= aaaaaaaazyxzyx .
Desta forma, para que uma tripla ordenada ( )zyx ,, possa pertencer a este subespaço gerado é
necessário que:
=+−
=+−
=+
zaa
yaa
xaa
21
21
21
2
2
e isto ocorrerá se:
−
−
z
y
x
11
12
21
+
+
zx
yx
x
30
250
21
+−−
+
5
5300
250
21
zyx
yx
x
Logo devemos ter
05
53=
+−− zyx 053 =−+ zyx (que é um plano que passa pela origem).
7) Ache um conjunto de geradores do seguinte subespaço:
( ) }0/,,,{ 4 =+−−= tzyxtzyxU .
Resolução:
Fazendo tzyxtzyx −+==+−− 0 , então:
( ) }0/,,,{ 4 =+−−= tzyxtzyxU = ( ) }/,,,{ 4 tzyxtzyx −+= =
( ) },,,,,,{ −+ tzytzytzy = ( ) ( ) ( ) },,/1,0,0,10,1,0,10,0,1,1{ −++ tzytzy
Assim, ( ) ( ) ( ) ]1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,1[ −=U
8) Consideremos no espaço vetorial ℜ3, os seguintes subespaços vetoriais:
( ) ( ) ]1,1,1,0,0,1[=U e ( ) ( ) ]1,0,0,0,1,0[=V . Determinar um conjunto de geradores de VU .
Resolução:
VwUwVUw e , então ,,, tais que:
( ) ( ) ( ) ( )1,0,00,1,01,1,10,0,1 +=+ ( ) ( ) ( ) ( )+=+ ,0,00,,0,,0,0,
( ) ( )=+ ,,0,, , logo:
=
=
−==+ 0
Assim, os vetores VUw são do tipo ( ) ( ) ( ) ( )1,0,00,1,01,1,10,0,1 +=+− , ou
( )1,1,0=w .
Desta forma, temos que VU = ( ) ]1,1,0[ .
9) São Subespaços vetoriais de ( )IC os seguintes subconjuntos:
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( ) ( ) ( ) },/{ −== IttftfICfU , é o conjunto das funções pares.
( ) ( ) ( ) },/{ −−== IttftfICfV , é o conjunto das funções ímpares.
Mostre que ( ) VUIC = , isto é, que ( )IC é soma direta de U com V.
Resolução:
Primeiro mostraremos que ( ) VUIC += :
Toda função real f definida em I pode ser decomposta como:
( ) ( ) ( )thtgtf += , It , onde
( )( ) ( )
2
tftftg
−+= e ( )
( ) ( )2
tftfth
−−= . Como temos que:
( )( ) ( )
( )tgtftf
tg =+−
=−2
e ( )( ) ( )
( )thtftf
th −=−−
=−2
, então Ug e Vh . Portanto
( ) VUIC += .
Agora mostraremos que ( ) VUIC = :
Se VUf , então ( ) ( )tftf −= e ( ) ( )tftf −−= , It . Logo, somando membro a
membro, obtemos:
( ) ( ) 0tf0tf ==2 ( ) VUIC = , isto é, a soma é direta.
10) Verifique que o espaço vetorial ( )22M , com as operações usuais de adição de matrizes
e multiplicação de matriz por número real, é gerado pelo seguinte conjunto de vetores:
}10
00,
01
00,
00
10,
00
01{
11) Quantos vetores, no mínimo, são necessários para gerar o espaço vetorial n ?
Resposta: n vetores.
5.4 Dependência e Independência Linear
Seja V um espaço vetorial e 𝑣1, 𝑣2, ⋯ , 𝑣𝑛 ∈ 𝑉. Diz-se que o conjunto { 𝑣1, 𝑣2, ⋯ , 𝑣𝑛 } é linearmente independente (LI) quando:
𝑎1𝑣1 + 𝑎2𝑣2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑣𝑛 = 0 ⇒ 𝑎1 = 𝑎2 = ⋯ = 𝑎𝑛 = 0
(Isto significa que toda combinação linear nula, implicará que os coeficientes de tal combinação
linear deverão ser todos iguais a zero).
Caso contrário, isto é, se 𝑎1𝑣1 + 𝑎2𝑣2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑣𝑛 = 0 e 0 ja para algum j, dizemos que
{ 𝑣1, 𝑣2, ⋯ , 𝑣𝑛 } é um conjunto linearmente dependente (LD).
Exemplos:
1) Seja 2=V e o conjunto formado pelos vetores 1v e 2v , sendo ( ) ( )2,4e1,2 21 −=−= vv .
Então este conjunto },{ 21 vv é LI ou LD ?
Resposta: É LD, pois podemos construir combinações lineares nulas, sem que os coeficientes
sejam todos nulos, exemplo: ( ) 0vv =−+ 21 12 , isto é: ( ) ( )( ) ( )0,02,411,22 =−−+− .
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2) Seja 2=V e o conjunto formado pelos vetores
1v e 2v , sendo ( ) ( )1,0e0,1 21 == vv . Este
conjunto },{ 21 vv é LI ou LD ?
Resposta: É LI, pois toda combinação linear nula destes vetores, implica que os coeficientes
deverão ser iguais a zero:
( ) ( ) ( )0,01,00,1 212211 =+=+ aa0vava ( ) ( )
=
==
0
00,0,
2
121
a
aaa
3) Seja 2=V e o conjunto formado pelos vetores
1v , 2v e
3v , sendo
( ) ( ) ( )1,1e0,1,1,2 321 === vvv . Então este conjunto },,{ 321 vvv é LI ou LD ?
Resposta: É LD, pois uma combinação linear nula não implicará necessariamente que os
coeficientes sejam nulos.
( ) ( ) ( ) ( )0,01,10,11,2 321332211 =++=++ aaa0vavava
=+
=++
0
02
31
321
aa
aaa
0101
0112
− 0110
0101Logo o sistema é SPI, tendo infinitas soluções. Logo o
referido conjunto é realmente LD.
4) Seja 3=V e o conjunto formado pelos vetores 1v , 2v e 3v , sendo
( ) ( ) ( )5,4,5e1,4,3,2,0,1 321 === vvv . Então este conjunto },,{ 321 vvv é LI ou LD ?
Resposta: É LD, pois uma combinação linear nula não implicará necessariamente que os
coeficientes sejam nulos.
Para confirmar isto basta fazer:
( ) ( ) ( ) ( )0,0,05,4,51,4,32,0,1 321332211 =++=++ aaa0vavava
=++
=++
=++
052
0440
053
321
321
321
aaa
aaa
aaa
Escalonando podemos mostrar que este sistema é SPI. Logo o referido conjunto é realmente
LD.
Poderíamos chegar à mesma conclusão observando que
( ) ( ) ( ) ( )0,0,05,4,511,4,312,0,122 321 =−+=−+ 0vvv , isto é, podemos construir
combinações lineares nulas, sem que os coeficientes sejam todos nulos.
5) Seja 3=V e o conjunto formado pelos vetores 1v , 2v e 3v , sendo
( ) ( ) ( )1,0,0e0,1,0,0,0,1 321 === vvv . Então este conjunto },,{ 321 vvv é LI ou LD ?
Resposta: É LI, pois toda combinação linear nula destes vetores, implica que os coeficientes
deverão ser iguais a zero:
( ) ( ) ( ) ( )0,0,01,0,00,1,00,0,1 321332211 =++=++ aaa0vavava
( ) ( )
=
=
=
=
0
0
0
0,0,0,,
3
2
1
321
a
a
a
aaa
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6) Mostre que o conjunto }cos,sen,1{ 22 xx de vetores de ( ) ,−C é LD.
Resolução:
Basta lembrar da relação =+ 1cossen 22 xx ( ) =++− 0xx 22 cos1sen111 isto é, temos
uma combinação linear nula sem que os coeficientes sejam todos nulos.
7) Mostre que o conjunto },,1{ 2xx ee de vetores de ( )1,0C é LI.
Resolução:
Vamos partir de uma combinação linear nula destes vetores:
=++ 0eceba xx 21 derivando tudo em relação a x obtemos: =+ 0eceb xx 22
dividindo os dois membros da igualdade por xe obtemos: =+ 0ecb x2 derivando
novamente tudo em relação a x encontramos: = 0ec x2 dividindo novamente os dois
membros da igualdade por xe concluímos que: 002 == cc
logo 0=b e 0=a . Ou seja, toda combinação linear nula destes vetores implicará que os
coeficientes também deverão ser nulos. Assim, o referido conjunto é LI.
8) Determinar os valores de m e n, para que os seguintes conjuntos de vetores do 3 sejam LI.
a) ( ) ( ) ( )}3,,1,4,0,2,1,5,3{ mm Resposta: 0m
b) ( ) ( ) }10,1,2,5,3,1{ +m Resposta: 5m
c) ( ) ( )}1,,3,,2,6{ −+ mnmn Resposta: 1m ou 0n
Resolução de “a”:
( ) ( ) ( ) ( )0,0,03,,14,0,21,5,3 321332211 =++=++ maama0vavava
=++
=++
=++
0341
005
023
321
321
321
aaa
maama
aaa
0123
005
0341
mm
−−
−−
08100
014200
0341
mm
−− 07100
0450
0341
mm
000
0450
0341
m
Para que o sistema seja SPD devemos ter: 0m
.
Proposição:
{ 𝑣1, 𝑣2, ⋯ , 𝑣𝑛 } é (LD) um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos
outros.
Demonstração:
{ 𝑣1, 𝑣2, ⋯ , 𝑣𝑛 } é (LD) ∃ 𝑎1𝑣1 + 𝑎2𝑣2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑣𝑛 = 0 com 0ja para algum j
podemos isolar o vetor jv (o vetor que tem coeficiente 0ja ), obtendo 𝑣𝑗 = (−𝑎1
𝑎𝑗) 𝑣1 +
(−𝑎2
𝑎𝑗) 𝑣2 +⋯+ (−
𝑎𝑛
𝑎𝑗) 𝑣𝑛um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos
outros.
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5.5 Base de um Espaço Vetorial
Seja V um espaço vetorial e 𝑣1, 𝑣2, ⋯ , 𝑣𝑛 ∈ 𝑉.
{ 𝑣1, 𝑣2, ⋯ , 𝑣𝑛 } é uma base de V se e somente se:
(i) [𝑣1, 𝑣2 , ⋯ , 𝑣𝑛] =V
(ii) { 𝑣1, 𝑣2, ⋯ , 𝑣𝑛 } é (LI)
Exemplos:
1) Verifique que o conjunto },{ 21 vv , onde ( ) ( )1,0e0,1 21 == vv é uma base do espaço vetorial
2=V . (Esta base é chamada de base canônica do 2 ).
Basta provar que este conjunto gera o 2 e é um conjunto LI, isto é:
(i) ( ) ( ) ]1,0,0,1[ =V
(ii) ( ) ( )}1,0,0,1{ é (LI)
2) Verifique que o conjunto },{ 21 vv , onde ( ) ( )0,4e0,1 21 == vv não é uma base do espaço
vetorial 2=V .
Resolução: Basta provar que este conjunto não gera o 2 , ou que o mesmo não é LI.
3) Seja o espaço vetorial nV = e o conjunto {𝑒1, 𝑒2,⋯ , 𝑒𝑛}, onde:
𝑒1 = (1,0,0,⋯ ,0,0), 𝑒2 = (0,1,0,⋯ ,0,0), ... , 𝑒𝑛 = (0,0,0,⋯ ,0,1).
Então {𝑒1, 𝑒2, ⋯ , 𝑒𝑛} é uma base don chamado de base canônica do
n .
Proposição: Seja { 𝑣1, 𝑣2, ⋯ , 𝑣𝑛 } um conjunto de n vetores não nulos de um espaço
vetorial V. Se [𝑣1, 𝑣2 , ⋯ , 𝑣𝑛] = 𝑉, então podemos extrair uma base para V deste conjunto.
Proposição: Seja V um espaço vetorial tal que { 𝑣1, 𝑣2, ⋯ , 𝑣𝑛 } gera V. Sejam ainda, m
vetores quaisquer de V: 𝑤1, 𝑤2, ⋯ , 𝑤𝑚 com m > n. Então { 𝑤1, 𝑤2, ⋯ , 𝑤𝑚 } é (LD).
Isto significa que se n vetores geram um espaço vetorial V, qualquer conjunto com mais do que
n vetores é necessariamente LD.
Proposição: Qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mesmo número de vetores.
Demonstração:
Vamos supor que um espaço vetorial V tem duas bases, com diferentes números de vetores, isto
é: { 𝑣1, 𝑣2, ⋯ , 𝑣𝑛 } e { 𝑤1, 𝑤2, ⋯ , 𝑤𝑚 }, com mn , são bases de V. Neste caso
podemos concluir que:
(i) Como [𝑤1, 𝑤2, ⋯ , 𝑤𝑚] = 𝑉 e { 𝑣1, 𝑣2, ⋯ , 𝑣𝑛 } é (LI) temos que nm .
(ii) Como [𝑣1, 𝑣2, ⋯ , 𝑣𝑛] = 𝑉 e { 𝑤1, 𝑤2, ⋯ , 𝑤𝑚 } é (LI) temos que mn .
Se temos nm e mn , então só pode ocorrer m = n.
Observações:
a) Este número de vetores que é constante para todas as bases de um espaço vetorial é
denominado “dimensão” do espaço. Podemos representar a dimensão de V por Dim V.
b) Neste material trataremos apenas de espaços vetoriais de dimensões finitas.
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Proposição:
Dada uma base 𝐵 = { 𝑣1, 𝑣2, ⋯ , 𝑣𝑛 } de V, então cada vetor Vv é escrito de maneira
única como combinação linear dos vetores de B.
Demonstração:
Seja Vv um vetor genérico de V, então podemos escrever 𝑣 = 𝑎1𝑣1 + 𝑎2𝑣2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑣𝑛 . Suponhamos, por “redução ao absurdo” que 𝑣 = 𝑏1𝑣1 + 𝑏2𝑣2 + ⋯ + 𝑏𝑛𝑣𝑛 , com
jj ab para algum j.
Subtraindo as duas combinações lineares, membro a membro, obtemos: 0 = (𝑎1 − 𝑏1)𝑣1 + (𝑎2 − 𝑏2)𝑣2 + ⋯ + (𝑎𝑛 − 𝑏𝑛)𝑣𝑛 .
Fazendo: (𝑎1 − 𝑏1) = 𝑐1, (𝑎2 − 𝑏2) = 𝑐2, ⋯ , (𝑎𝑛 − 𝑏𝑛) = 𝑐𝑛 obtemos:
𝑐1𝑣1 + 𝑐2𝑣2 + ⋯ + 𝑐𝑛𝑣𝑛 = 0, com 0jc para algum j. Isto nos leva a concluir que
{ 𝑣1, 𝑣2, ⋯ , 𝑣𝑛 } é (LD), o que é um absurdo, pois { 𝑣1, 𝑣2, ⋯ , 𝑣𝑛 } é uma base de V.
Desta forma, não é possível de se escrever v como duas combinações lineares diferentes com
vetores da mesma base.
Definição: Seja V um espaço vetorial e 𝐵 = { 𝑣1, 𝑣2, ⋯ , 𝑣𝑛 } uma base ordenada de V.
Dado Vv , sendo 𝑣 = 𝑎1𝑣1 + 𝑎2𝑣2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑣𝑛 , escrevemos:
[𝑣]𝐵 = [
𝑎1⋮𝑎𝑛] e dizemos que [𝑣]𝐵 representa as coordenadas de v na base ordenada B.
5.5.1 Mudança de Base
Seja V um espaço vetorial e:
𝐴 = { 𝑢1, 𝑢2, ⋯ , 𝑢𝑛 } e 𝐵 = { 𝑤1, 𝑤2, ⋯ , 𝑤𝑛 } duas bases ordenadas de V.
Seja ainda Vv , um vetor genérico de V.
Supondo que [𝑣]𝐴 = [
𝑥1⋮𝑥𝑛] e [𝑣]𝐵 = [
𝑦1⋮𝑦𝑛], isto é:
𝑣 = 𝑥1𝑢1 + 𝑥2𝑢2 + ⋯ + 𝑥𝑛𝑢𝑛 e 𝑣 = 𝑦1𝑤1 + 𝑦2𝑤2 + ⋯ + 𝑦𝑛𝑤𝑛 , ache a relação
entre [𝑣]𝐴 e [𝑣]𝐵 .
Resolução:
Podemos escrever os vetores da base ordenada A como combinações lineares dos vetores da
base ordenada B:
{
𝑢1 = 𝑎11𝑤1 + 𝑎21𝑤2 +⋯𝑎𝑛1𝑤𝑛𝑢2 = 𝑎12𝑤1 + 𝑎22𝑤2 +⋯𝑎𝑛2𝑤𝑛
⋮𝑢𝑛 = 𝑎1𝑛𝑤1 + 𝑎2𝑛𝑤2 +⋯𝑎𝑛𝑛𝑤𝑛
Substituindo estas combinações lineares em 𝑣 = 𝑥1𝑢1 + 𝑥2𝑢2 + ⋯ + 𝑥𝑛𝑢𝑛 , obtemos:
𝑣 = 𝑥1(𝑎11𝑤1 + 𝑎21 𝑤2 + ⋯ + 𝑎𝑛1𝑤𝑛) + 𝑥2(𝑎12𝑤1 + 𝑎22 𝑤2 + ⋯ + 𝑎𝑛2𝑤𝑛) + ⋯+
+𝑥𝑛(𝑎1𝑛𝑤1 + 𝑎2𝑛 𝑤2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛𝑤𝑛).
Aplicando a propriedade distributiva e isolando os vetores da base B, obtemos:
𝑣 = (𝑥1𝑎11 + 𝑥2𝑎12 +⋯ + 𝑥𝑛𝑎1𝑛)⏟ 𝑦1
𝑤1 + (𝑥1𝑎21 + 𝑥2𝑎22 + ⋯ + 𝑥𝑛𝑎2𝑛)⏟ 𝑦2
𝑤2 +⋯+
+(𝑥1𝑎𝑛1 + 𝑥2𝑎𝑛2 + ⋯ + 𝑥𝑛𝑎𝑛𝑛)⏟ 𝑦𝑛
𝑤𝑛, logo
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{
𝑦1 = 𝑥1𝑎11 + 𝑥2𝑎12 +⋯+ 𝑥𝑛𝑎1𝑛𝑦2 = 𝑥1𝑎21 + 𝑥2𝑎22 +⋯+ 𝑥𝑛𝑎2𝑛
⋮𝑦𝑛 = 𝑥1𝑎𝑛1 + 𝑥2𝑎𝑛2 +⋯+ 𝑥𝑛𝑎𝑛𝑛
[
𝑦1𝑦2⋮𝑦𝑛
] = [
𝑥1𝑎11 + 𝑥2𝑎12 +⋯ + 𝑥𝑛𝑎1𝑛𝑥1𝑎21 + 𝑥2𝑎22 + ⋯ + 𝑥𝑛𝑎2𝑛
⋮ ⋮ ⋮𝑥1𝑎𝑛1 + 𝑥2𝑎𝑛2 + ⋯ + 𝑥𝑛𝑎𝑛𝑛
] = [
𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛⋮ ⋮ ⋮𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 ⋯ 𝑎𝑛𝑛
] ⋅ [
𝑥1𝑥2⋮𝑥𝑛
]
Logo [𝑣]𝐵 = [𝐼]𝐵𝐴 ⋅ [𝑣]𝐴
Onde a matriz [𝐼]𝐵𝐴 é chamada de matriz de mudança da base A para a base B.
Exemplos:
1) Dados 2=V e as bases 𝐴 = { (2, −1), (3,4) } e 𝐵 = { (1,0), (0,1) }, determine:
(i) [𝐼]𝐵𝐴
(ii) [𝑣]𝐴
(iii) [𝑣]𝐵
Resolução:
(i) [𝐼]𝐵𝐴 =?
( ) ( ) ( ) ( )21112111 ,1,00,11,2 aaaa =+=−
( ) ( ) ( ) ( )22122212 ,1,00,14,3 aaaa =+=
[𝐼]𝐵𝐴 = [
𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22
] = [2 3−1 4
]
(ii) [𝑣]𝐴 =?
𝑣 = 𝑥1⏟?
(2, −1) + 𝑥2⏟?
(3,4)
( ) ( )212121 4,32, xxxxvv +−+=
=+−
=+
221
121
4
32
vxx
vxx
− 2
1
41
32
v
v
−−
1
2
32
41
v
v
( )
+
−−
21
2
2110
41
vv
v
( )
+
−−
11/210
41
21
2
vv
v
( )( )
+
−
11/210
11/3401
21
21
vv
vv
( )
( )
+=
−=
11/2
11/34
212
211
vvx
vvx
Desta forma temos que [𝑣]𝐴 =( )( )
+
−
11/2
11/34
21
21
vv
vv
(iii) [𝑣]𝐵 =?
[𝑣]𝐵 = [𝐼]𝐵𝐴 ⋅ [𝑣]𝐴
−=
41
32][ 'v
( )( )
=
+
−
2
1
21
21
11/2
11/34
v
v
vv
vv
2) Com as mesmas bases A e B do exercício anterior, determine [𝐼]𝐴𝐵 .
Resolução:
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( ) ( ) ( ) ( )211121112111 4,324,31,20,1 aaaaaa +−+=+−=
( ) ( ) ( ) ( )221222122212 4,324,31,21,0 aaaaaa +−+=+−=
=+−
=+
04
132
2111
2111
aa
aa
=
=
11/1
11/4
21
11
a
a
=+−
=+
14
032
2212
2212
aa
aa
=
−=
11/2
11/3
22
12
a
a
Logo [𝐼]𝐴𝐵 = [
4/11 −3/111/11 2/11
]
Determine também [𝑣]𝐵 e [𝑣]𝐴 : [𝑣]𝐵 =?
𝑣 = (𝑣1, 𝑣2) = 𝑥1⏟?
(1, 0) + 𝑥2⏟?
(0, 1) = (𝑥1, 𝑥2) ⇒
=
2
1
'][v
vv
[𝑣]𝐴 =?
[𝑣]𝐴 = [𝐼]𝐴𝐵 ⋅ [𝑣]𝐵 =
−=
2
1
11/211/1
11/311/4
v
v ( )( )
+
−
11/2
11/34
21
21
vv
vv
Observação: Nos dois exercícios anteriores observamos que:
[𝐼]𝐴𝐵 ⋅ [𝐼]𝐵
𝐴 =
=
−
−
10
01
41
32
11/211/1
11/311/4
[𝐼]𝐵𝐴 ⋅ [𝐼]𝐴
𝐵 =
=
−
− 10
01
11/211/1
11/311/4
41
32
Então podemos concluir que [𝐼]𝐵𝐴 = ([𝐼]𝐴
𝐵)−1
Outros exercícios envolvendo bases de um espaço vetorial:
1) No espaço vetorial 3 , consideremos as bases 𝐴 = { 𝑒1, 𝑒2, 𝑒3 } e 𝐵 = { 𝑔1, 𝑔2, 𝑔3 }, tais
que:
++=
++=
+=
3213
3212
311
2
2
eeeg
eeeg
eeg
, determine [𝐼]𝐵𝐴 e [𝐼]𝐴
𝐵
Respostas:
[𝐼]𝐴𝐵 = [
1 2 10 1 21 1 1
] e [𝐼]𝐵𝐴 = ([𝐼]𝐴
𝐵)−1 = [
−1
2−1
2
3
2
1 0 −1
−1
2
1
2
1
2
]
2) Consideremos o subespaço vetorial do espaço ( )33M (com as operações usuais de adição
de matrizes e multiplicação de matriz por número real), constituído das matrizes simétricas.
Determine uma base para este subespaço.
Resolução:
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As matrizes simétricas 33 são da forma:
fec
edb
cba
.
Podemos escrever estas matrizes como:
fec
edb
cba
= a
000
000
001
+ d
000
010
000
+ f
100
000
000
+ b
000
001
010
+ c
001
000
100
+
e
010
100
000
Logo o conjunto:
{
000
000
001
,
000
010
000
,
100
000
000
,
000
001
010
,
001
000
100
,
010
100
000
} gera o referido
subespaço.
Agora basta provar que este conjunto é LI.
3) Determinar as coordenadas da matriz
−
02
11 de ( )22M , em relação à base:
}21
00,
02
00,
00
10,
10
01{
Resolução:
+
+
+
=
−
21
00
02
00
00
10
10
01
02
11dcba
=+
=+
−=
=
02
22
1
1
da
dc
b
a
−=
=
−=
=
2
1
4
5
1
1
d
c
b
a
4) Determinar as coordenadas do polinômio ( )−+ 3321 Ptt , em relação:
a) à base canônica deste espaço, que é },,,1{ 32 ttt .
b) à base: }1,1,1,1{ 32 ttt −−−
Resolução:
a) =−+ 321 tt 321 tdtctba +++ 1=a , 2=b , 0=c e 1−=d
b) =−+ 321 tt ( ) ( ) ( ) ( )32 1111 tdtctba −+−+−+
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=−+ 321 tt ( ) ( ) ( ) ( ) −+−+−++++ 32 tdtctbdcba
−=−
=−
=−
=+++
1
0
2
1
d
c
b
dcba
=
=
−=
=
1
0
2
2
d
c
b
a
5) Consideremos o subespaço vetorial do espaço ( )22M (com as operações usuais de adição
de matrizes e multiplicação de matriz por número real), constituído das matrizes
}0:{ =−−
= zyx
tz
yxU
a) Mostre que os seguintes conjuntos são bases de U:
}10
00,
01
01,
00
11{
=B
}10
00,
01
10,
01
01{
−
=C
b) Achar BCI e C
BI
Resolução:
a) Para mostrar que B e C geram U, observe que:
Fazendo +==−− zyxzyx 0
+
+
=
+
10
00
01
01
00
11tzy
tz
yzy
Fazendo −==−− yxzzyx 0
+
−−
=
− 10
00
01
10
01
01tyx
tyx
yx
Agora é só provar que B e C são LI.
b) Para achar BCI vamos escrever os vetores de B como combinações lineares dos vetores de
C:
+
−+
=
10
00
01
10
01
01
00
11cba
+
−+
=
10
00
01
10
01
01
01
01fed
+
−+
=
10
00
01
10
01
01
10
00ihg
Resolvendo os sistemas de equações gerados obtemos:
−=
100
001
011BCI .
Finalmente, temos que CBI = ( ) 1−B
CI =
−
100
011
010
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5.6 Exercícios Propostos
1) Considere o conjunto V de todos os pares ordenados de números reais (ou seja, 2=V ),
com as operações assim definidas:
Adição: ( ) ( ) ( )22112121 ,,, yxyxyyxx ++=+
Multiplicação por escalar (não usual): ( ) ( )2121 ,, xxxx =
Verifique que o conjunto V com estas operações não é um espaço vetorial. Que axiomas não
são verificados? Resposta: O axioma V6 não é verificado.
2) Considere o conjunto V de todos os pares ordenados de números reais (ou seja, 2=V ),
com as operações assim definidas:
Adição (não usual): ( ) ( ) ( )0,,, 112121 yxyyxx +=
Multiplicação por escalar: ( ) ( )2121 ,, xxxx =
Verifique que o conjunto V com estas operações não é um espaço vetorial. Que axiomas
não são verificados? Resposta: Os axiomas V3 e V6 não são verificados.
3) Mostre que os seguintes subconjuntos de 4 são subespaços vetoriais:
a) W = { (x, y, z, t) 4 ; x + y = 0 , z - t = 0 }
b) U = { (x, y, z, t) 4
; 2x + y - t = 0 , z = 0 }
4) Sejam W 1 = { (x, y, z, t) 4
; 0=+ yx , 0=− tz } e W 2 = { (x, y, z, t) 4
;
0=+−− tzyx } subespaços de 4
. Exiba uma base para W 1 W 2 .
Resposta: Base = ( ) 1,1,0,0
5) Considere o seguinte subespaço de 4
: S = [ (1, 1, −2, 4), (1, 1, −1, 2), (1, 4, −4, 8) ].
a) O vetor (2/3, 1, −1, 2) pertence a S ? Resposta: Sv
b) O vetor (0, 0, 1, 1) pertence a S? Resposta: Sv
c) Estabeleça as condições para que um vetor (x, y, z, t) pertença a S.
Resposta: 02 =+ zt
6) Seja W o subespaço de M(3,2) gerado por
−
0 0
0 0
1 0
e
0 1
1 0
1 0
,
0 0
1 1
0 0
.
O vetor
0 5
4 3
2 0
pertence a W ? Resposta: Não.
7) Quais as coordenadas de x = (1, 0, 0) em relação à A= {(1, 1, 1), (−1, 1, 0), (1, 0, −1)}?
Resposta: [𝑥]𝐴 = [
1/3−1/31/3
]
8) Considere o subespaço de 3 gerado pelos vetores u = (1, 1, 0), v = (0, −1, 1) e
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t = (1, 1, 1). [ u, v, t ] = 3 ? Isto é, os três vetores u, v, t geram o espaço 3 ?
Resposta: Sim.
9) Considere o subespaço de 4 gerado pelos vetores v 1 = (1, −1, 0 ,0) , v 2 = (0, 0, 1, 1) , v
3 = (−2, 2, 1, 1) e v 4 = (1, 0, 0, 0).
a) O vetor (2, −3, 2, 2) [v 1 , v 2 , v 3 , v 4 ] justifique.
Resposta: Sim, a condição é t = z.
b) Exiba uma base para [v 1 , v 2 , v 3 , v 4 ]. Qual a dimensão?
Resposta: ( ) ( ) ( ) 1,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1 , Dim é 3.
c) [v 1 , v 2 , v 3 , v 4 ] = 4 ? Isto é, os vetores v 1 , v 2 , v 3 , v 4 geram 4 ? Por quê?
Resposta: Não, pois qualquer base do 4 tem 4 vetores e neste caso a Dim é 3.
10) Sejam A={(1, 0), (0, 1)} , B= {(−1, 1), (1, 1)} , C={( 3 ,1), ( 3 ,−1)} e
D={(2, 0), (0, 2)} bases ordenadas de 2
.
a) Ache as seguintes matrizes de mudança de base:
(i) BA I (ii) A
B I (iii) A
C I (iv) A
D I
Respostas: (i)
−=
11
11B
AI ; (ii)
−=
2/12/1
2/12/1A
BI ; (iii)
−
=
2
1
6
3
2
1
6
3
A
CI ;
(iv)
=
2/10
02/1A
DI
b) Quais as coordenadas do vetor v = (3, −2) em relação a cada uma das bases ?
Respostas: (i)
−=
2
3Av ; (ii)
−=
2/1
2/5Bv ; (iii)
+
−
=
12
3
12
3
Cv ; (iv)
−=
1
2/3Dv
c) As coordenadas de um vetor u em relação à base B são dadas por [u] B =40
.
Quais as coordenadas do vetor u em relação às outras bases A, C e D?
Resposta: (i)
−=
4
4Av ; (ii)
−−
−=
3/)326(
3/)326(Cv ; (iii)
−=
2
2Dv
11) Ache duas bases distintas A e B para o espaço vetorial das matrizes 2x2 , triangulares
superiores. Qual a dimensão deste espaço vetorial? Encontre as matrizes de mudança de base:
[𝐼]𝐴𝐵 e [𝐼]𝐵
𝐴.
Respostas:
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𝐴 = { [1 00 0
] , [0 10 0
] , [0 00 1
] } e 𝐵 = { [1 00 0
] , [1 10 0
] , [1 10 1
] }; Dim = 3
[𝐼]𝐵𝐴 = [
1 1 10 1 10 0 1
] e [𝐼]𝐵𝐴 = [
1 −1 00 1 −10 0 1
]
5.7 Referências Bibliográficas
1. BOLDRINI, José Luiz et al. Álgebra Linear. 3.a Edição. São Paulo: Harper & Row do
Brasil, 1980.
2. CALLIOLI, Carlos A. et al. Álgebra Linear e Aplicações. 6.a Edição. São Paulo: Atual,
1990.
3. LIPSCHULTZ, S. Álgebra Linear. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1982.
4. STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Introdução à Álgebra Linear. São Paulo: McGraw-
Hill do Brasil, 1990.