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2019/Sem_02 NOTAS DE AULA Geometria Analítica e Álgebra Linear Espaços Vetoriais Professor: Luiz Fernando Nunes, Dr.

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2019/Sem_02

NOTAS DE AULA

Geometria Analítica e

Álgebra Linear

Espaços Vetoriais

Professor: Luiz Fernando Nunes, Dr.

Geometria Analítica e Álgebra Linear

Geometria Analítica e Álgebra Linear

ii

Índice 5 Espaços Vetoriais ..................................................................................................... 1

5.1 Definição e Espaços Vetoriais .......................................................................... 1 5.2 Subespaços Vetoriais ........................................................................................ 4

5.3 Subespaços Gerados ....................................................................................... 10 5.4 Dependência e Independência Linear ............................................................. 13 5.5 Base de um Espaço Vetorial ........................................................................... 16 5.6 Exercícios Propostos ....................................................................................... 22 5.7 Referências Bibliográficas .............................................................................. 24

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5 Espaços Vetoriais

5.1 Definição e Espaços Vetoriais Seja um conjunto V, não vazio, sobre o qual estão definidas duas operações chamadas de adição

e multiplicação por escalar, que são “fechadas” em V, isto é:

Adição: VvuVvu + ,,

Multiplicação por escalar: VuVu ,e

O conjunto V com estas duas operações é chamado de Espaço Vetorial Real (ou Espaço

Vetorial sobre ), se forem verificados os seguintes axiomas ( Vwvu ,, e , ):

V1) ( ) ( ) wvuwvu ++=++

V2) uvvu +=+

V3) v0vV0 =+ ;

V4) 0vvVv =−+− )(;)(

V5) ( ) vuvu +=+

V6) ( ) vvv +=+

V7) ( ) ( )vv =

V8) vv =1

Estes Axiomas são chamados de Axiomas de Espaço Vetorial.

Algumas propriedades de um espaço vetorial

a) O vetor nulo é único.

b) Cada vetor Vu admite apenas um simétrico Vu − )(

c) Para quaisquer vetores u, v, w V , se u + w = v + w, então u = v

d) Qualquer que seja Vu , tem-se ( ) uu =−−

e) Quaisquer que sejam os vetores u, v V , existe um e somente um vetor w V , tal que:

vwu =+

f) Qualquer que seja Vu , tem-se 0u =0

g) Qualquer que seja , tem-se 00 =

h) 0u = implica que 0= ou 0u =

i) Qualquer que seja Vu , tem-se ( ) uu −=−1

j) Quaisquer que sejam Vu e , tem-se ( ) ( ) ( )uuu −=−=−

Exemplos:

1) Verifique que o conjunto ( ) == 21212 e;, xxxxV , com as operações assim

definidas:

Adição: ( ) ( ) ( )22112121 ,,, yxyxyyxx ++=+

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Multiplicação por escalar: ( ) ( )2121 ,, xxxx =

(operações usuais de adição e multiplicação por escalar para o 2 ) é um espaço vetorial.

Devemos verificar todos os axiomas considerando:

( )21 , xxx = , ( )21, yyy = , ( )21, zzz = e ,

V1) ( ) ( ) zyxzyx ++=++

( ) =++ zyx ( ) ( ) ( ) 212121 ,,, zzyyxx ++ = ( ) ( )221121 ,, zyzyxx +++ =

( ) ( )( )222111 , zyxzyx ++++ = ( ) ( )( )222111 , zyxzyx ++++ = ( ) ( )212211 ,, zzyxyx +++ =

( ) ( ) ( )212121 ,,, zzyyxx ++ = ( ) zyx ++

V2) xyyx +=+

yx + = ( ) ( )2121 ,, yyxx + = ( )2211 , yxyx ++ = ( )2211 , xyxy ++ = ( ) ( )2121 ,, xxyy + = xy +

V3) x0xV0 =+ ;

Tome ( )0,0=0 , então:

( ) ( )0,0, 21 +=+ xx0x = ( )0,0 21 ++ xx = ( )21, xx = x

V4) 0xxVx =−+− )(;)(

Tome ( ) ( )21, xxx −−=− , então:

)( xx −+ = ( )21, xx + ( )21, xx −− = ( ) ( )( )2211 , xxxx −+−+ = ( ) 0=0,0

V5) ( ) yxyx +=+

( ) ( ) ( ) 2121 ,, yyxxyx +=+ = ( )2211 , yxyx ++ = ( ) ( )( )2211 , yxyx ++ =

( )2211 , yxyx ++ =

( )21, xx + ( )21, yy = ( )21, xx + ( )21, yy = yx +

V6) ( ) xxx +=+

( ) x+ = ( )+ ( )21, xx = ( ) ( )( )21, xx ++ = ( )2211 , xxxx ++ =

( ) ( )2121 ,, xxxx + = ( ) ( )2121 ,, xxxx + = xx +

V7) ( ) ( )xx =

( ) ( ) ( )21, xxx = = ( ) ( )( )21, xx = ( ) ( )( )21 , xx =

( )21, xx = ( )( )21, xx = ( )x

V8) xx =1

( ) ( ) ( ) xxxxxxxx ==== 212121 ,1,1,11

2) Verifique que o conjunto ( ) == 3213213 e,;,, xxxxxxV , com as operações assim

definidas:

Adição: ( ) ( ) ( )332211321321 ,,,,,, yxyxyxyyyxxx +++=+

Multiplicação por escalar: ( ) ( )321321 ,,,, xxxxxx =

(operações usuais de adição e multiplicação por escalar para o 3 ) é um espaço vetorial.

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3) Generalize para o n , isto é, com base nos exemplos anteriores, verifique que o conjunto

( ) == nnn xxxxxxV ,.....,,;,.....,, 2121 , com as operações assim definidas:

Adição: ( ) ( ) ( )nnnn yxyxyxyyyxxx +++=+ ,.....,,,.....,,,.....,, 22112121

Multiplicação por escalar: ( ) ( )nn xxxxxx = ,.....,,,.....,, 2121

(operações usuais de adição e multiplicação por escalar para o n ) é um espaço vetorial.

4) O espaço constituído do conjunto das matrizes ( )nmM , com as operações usuais de adição

de matrizes e multiplicação de matriz por número real.

5) O espaço ( )nP constituído pelo conjunto dos polinômios de coeficientes reais com grau

menor ou igual a n, mais o polinômio nulo, com as operações usuais de adição de polinômios e

multiplicação de polinômio por número real.

Observação: Verifique que:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

+

nn

nn

PxpPxp

PxpxpPxpxp

11

2121

,

,

6) O espaço ( )IC constituído pelo conjunto das funções contínuas definidas de I em ,

com as operações de adição de funções e multiplicação de função por número real definidas

como:

( )( ) ( ) ( )xgxfxgf +=+ e ( )( ) ( )xfxf =

7) Verifique que o conjunto ( ) 0,;, 2121 = xxxxV , com as operações assim definidas:

Adição: ( ) ( ) ( )22112121 ,,, yxyxyyxx =

Multiplicação por escalar: ( ) ( )= 2121 ,, xxxx é um espaço vetorial.

Observação: estas operações não são as operações usuais de adição e multiplicação por escalar.

Por esta razão foram utilizados os símbolos diferentes: e para representá-las, evitando

quaisquer confusões com as operações usuais.

Devemos verificar todos os axiomas. Para isto consideremos:

( )21 , xxx = , ( )21, yyy = , ( )21, zzz = e , .

V1) ( ) ( ) zyxzyx =

( )zyx = ( ) ( ) ( ) 212121 ,,, zzyyxx = ( ) ( )221121 ,, zyzyxx =

( ) ( )( )222111 , zyxzyx = ( ) ( )( )222111 , zyxzyx = ( ) ( )212211 ,, zzyxyx =

( ) ( ) ( )212121 ,,, zzyyxx ( ) zyx =

V2) xyyx =

yx = ( ) ( )2121 ,, yyxx = ( )2211 , yxyx = ( )2211 , xyxy = ( ) ( )2121 ,, xxyy = xy

V3) x0xV0 = ;

Tome ( )1,1=0 , então:

( ) ( )1,1, 21 = xx0x = ( )1,1 21 xx = ( )21, xx = x

V4) ( ) Vxxx = 21, , 0xxVx =−− )(;)(

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Tome ( )

=−

21

1,

1

xxx , então:

)( xx − = ( )21, xx

21

1,

1

xx=

2

2

1

1

1,

1

xx

xx = ( ) 0=1,1

V5) ( ) yxyx =

( ) ( ) ( ) 2121 ,, yyxxyx = = ( )2211 , yxyx = ( ) ( )( ) 2211 , yxyx =

( ) 2211 , yxyx =

( )21 , xx ( )

21 , yy = ( )21, xx ( )21, yy = yx

V6) ( ) xxx =+

( ) x+ = ( )+ ( )21, xx =( ) ( )( )++

21 , xx = ( ) 2211 , xxxx = ( ) ( )

2121 ,, xxxx

= ( ) ( )2121 ,, xxxx = xx

V7) ( ) ( )xx =

( ) ( ) ( )21, xxx = = ( )21 , xx = ( ) ( )

21 , xx = ( )

21 , xx =

( )( )21, xx = ( )x

V8) xx =1

( ) ( ) ( ) xxxxxxxx ==== 211

21

121 ,,,11

5.2 Subespaços Vetoriais

5.2.1 Definição de subespaços Vetoriais

Sejam dados

) de vazionãoosubconjunt um é ( ,

evetorialespaçoum

VWWVW

V

W é denominado um subespaço vetorial de V quando:

(i) WvuWvu +,

(ii) WuWu ,

Observações:

a) W0WuWu = 0,0

b) Dado um espaço vetorial V, existem pelo menos dois subespaços vetoriais de V, que são

chamados de subespaços triviais e são:

}{

e

0

V

Exemplos:

1) Se 2W é uma reta que passa pela origem, então W é um subespaço vetorial do

2 .

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Demonstração:

Seja 0=+ byax a equação cartesiana de uma reta que passa pela origem. Neste caso, W é o

conjunto de todos os pares ordenados ( )yx, que satisfazem esta equação.

Então, devemos provar que se:

(i) WvuWvu +, e (ii) WuWu ,

Considerando ( )11 , yxu = e ( )22 , yxv = , temos:

(i) Se Wvu, 011 =+ byax e 022 =+ byax Somando membro a membro obtemos:

( ) ( ) 02121 =+++ yybxxa Logo, o par ordenado ( ) vuyyxx +=++ 2121 , também satisfaz

à equação 0=+ byax , assim concluímos que Wvu + .

(ii) Wu, ( )11, yxu = e 011 =+ byax Multiplicando os dois membros

da expressão 011 =+ byax por obtemos: ( ) 011 =+ byax

( ) ( ) 011 =+ ybxa Logo, o par ordenado ( ) uyx = 11, também satisfaz à

equação 0=+ byax , assim concluímos que Wu .

2) Se 3W é um plano que passa pela origem, então W é um subespaço vetorial do

3 .

Demonstração:

Seja 0=++ czbyax a equação cartesiana de um plano que passa pela origem. Neste caso, W

é o conjunto de todas as triplas ordenadas ( )zyx ,, que satisfazem esta equação.

Então, devemos provar que se:

(i) WvuWvu +, e (ii) WuWu ,

Considerando ( )111 ,, zyxu = e ( )222 ,, zyxv = , temos:

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(i) Se Wvu, 0111 =++ czbyax e 0222 =++ czbyax Somando membro a membro

obtemos: ( ) ( ) ( ) 0212121 =+++++ zzcyybxxa Logo, a tripla ordenada

( ) vuzzyyxx +=+++ 212121 ,, também satisfaz à equação 0=++ czbyax , assim

concluímos que Wvu + .

(ii) Wu, ( )111 ,, zyxu = e 0111 =++ czbyax Multiplicando os dois

membros da expressão 0111 =++ czbyax por obtemos: ( ) 0111 =++ czbyax

( ) ( ) ( ) 0111 =++ zcybxa Logo, a tripla ordenada ( ) uzyx = 111 ,,

também satisfaz à equação 0=++ czbyax , assim concluímos que Wu .

Observação: Podemos provar também, que qualquer reta que passa pela origem é também um

subespaço vetorial do 3 .

3) O conjunto W das matrizes triangulares superiores (ou inferiores) nn é um subespaço

vetorial de ( )nnM .

Isto significa que:

(i) a soma de duas matrizes triangulares superiores (ou inferiores) nn é também uma matriz

triangular superior (ou inferior) nn , e que:

(ii) o produto de uma matriz triangular superior (ou inferior) nn por um número real é

também uma matriz triangular superior (ou inferior) nn .

4) Seja ( ) },,,;{22

== dcba

dc

baMV .

Então, o conjunto },,;00

{

= ba

baW é um subespaço vetorial de V.

Demonstração:

(i) a soma de duas matrizes quaisquer 22 , que possuam os elementos 21a e 22a iguais a zero

será uma matriz 22 que também tem os elementos 21a e 22a nulos, e que:

(ii) o produto de uma matriz qualquer 22 , que possua os elementos 21a e 22a iguais a zero,

por um número real, será uma matriz 22 que também tem os elementos 21a e 22a nulos.

5) Dado um sistema de equações lineares homogêneo, do tipo 0xA = , onde A é a matriz dos

coeficientes das incógnitas, 𝑥 = [

𝑥1𝑥2⋮𝑥𝑛

] é o vetor das incógnitas e 0 = [

00⋮0

] é o vetor dos termos

independentes (todos nulos, pois o sistema é homogêneo), então o conjunto das soluções deste

sistema é um subespaço vetorial de 1nM .

Isto quer dizer que:

(i) a soma de duas soluções deste sistema é também solução do sistema, e que:

(ii) o produto de uma solução deste sistema por um número real é também solução deste sistema.

Demonstração:

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(i) Se 𝑥 = [

𝑥1𝑥2⋮𝑥𝑛

] e 𝑦 = [

𝑦1𝑦2⋮𝑦𝑛

] são soluções do referido sistema, então temos que 0xA = e

0yA = . Somando estes resultados, membro a membro, obtemos + xA 0yA =

( ) 0yxA =+ . Logo o vetor 𝑥 + 𝑦 = [

𝑥1𝑥2⋮𝑥𝑛

] + [

𝑦1𝑦2⋮𝑦𝑛

] = [

𝑥1 + 𝑦1𝑥2 + 𝑦2⋮

𝑥𝑛 + 𝑦𝑛

] é também solução do sistema.

(ii) Se 𝑥 = [

𝑥1𝑥2⋮𝑥𝑛

] é solução do sistema, então 0xA = . Multiplicando os dois lados desta

igualdade pelo número real obtemos: ( ) ( ) 0xA0xA == . Logo o vetor = x

𝛼 ∙ [

𝑥1𝑥2⋮𝑥𝑛

] = [

𝛼 ∙ 𝑥1𝛼 ∙ 𝑥2⋮

𝛼 ∙ 𝑥𝑛

] é também solução do sistema.

6) Na sequência são apresentados alguns subconjuntos do 2 ou do

3 . Verifique quais deles

são subespaços vetoriais (do 2 ou do

3 , respectivamente) considerando as operações usuais

de adição e multiplicação por escalar.

a) ( ) }/,{ xyyxS == Resposta: Sim.

b) ( ) }/,{ 2xyyxS == Resposta: Não.

c) ( ) }03/,{ =+= yxyxS Resposta: Sim.

d) ( ) }/,{ xyyxS == Resposta: Não.

e) ( ) }2/,,{ yxzzyxS −== Resposta: Sim.

f) ( ) }423/,,{ −+== yxzzyxS Resposta: Não.

g) ( ) }/,,{ 2xzzyxS == Resposta: Não.

7) Seja o subespaço vetorial do 4 definido por:

( ) }0e02/,,,{ 4 ==−+= tzyxtzyxS . Verifique se os vetores que seguem pertencem

a S:

a) ( )0,3,2,1 Resposta: Não.

b) ( )0,5,1,3 Resposta: Sim.

c) ( )1,1,1,1− Resposta: Não.

d) ( )0,3,2,1 −− Resposta: Sim.

8) Seja o subespaço vetorial do ( )22M , com as operações usuais de adição de matrizes e

multiplicação de matriz por número real definido por: },;2

{

−+

−= ba

bba

abaS .

a) o vetor ?21

65S

Resposta: Sim.

b) Qual o valor de k para que ?32

4S

k

− Resposta: 2−=k .

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5.2.2 Intersecção de Subespaços Vetoriais

Se 1W e 2W são subespaços vetoriais de V, então 21 WW é também um subespaço vetorial de

V.

Demonstração:

(i) ( ) 21, WWvu 21 ,e, WvuWvu ( ) ( ) ++ 21 e WvuWvu

( ) 21 WWvu +

(ii) 2121 e, WuWuWWu 21 e WuWu 21 WWu .

As figuras que seguem, apresentam dois casos para ilustrar que a intersecção de dois subespaços

vetoriais de V é também um subespaço vetorial de V:

a) Se 1W e 2W são retas que passam pela origem (e portanto são subespaços vetoriais do 2 ),

então }{21 0WW = , isto é, a intersecção de 1W e 2W é um conjunto unitário constituído pela

origem do sistema cartesiano ( ( )0,0=0 ), que já sabemos que é um dos subespaços triviais do 2 .

b) Se 1W e 2W são planos que passam pela origem (e portanto, estes conjuntos são subespaços

vetoriais do 3 ), então 21 WW é uma reta que também passa pela origem (no caso da figura

é o eixo das cotas, isto é, o eixo z), que também é um subespaço vetorial do 3 .

Observação: Encontre alguns contraexemplos para provar que se 1W e 2W são subespaços

vetoriais de V, então 21 WW não é necessariamente um subespaço vetorial de V (isto é, a união

de dois subespaços vetoriais nem sempre é um subespaço vetorial).

5.2.3 Soma de subespaços Vetoriais

Sejam 1W e 2W dois subespaços vetoriais de V.

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Definimos a soma destes dois subespaços como:

}ecom,:{ 22112121 WwWwwwvVvWW +==+ .

Podemos provar que o conjunto 21 WW + , assim definido, é um subespaço vetorial de V.

Demonstração:

Para isto, devemos provar que 21 WW + é “fechado” em relação à soma de vetores e à

multiplicação de vetor por número real, isto é, devemos mostrar que:

(i) ( )+ 21, WWvu ( ) ( )21 WWvu ++

(ii) ( )+ 21, WWv ( )21 WWv + .

Provemos primeiramente o item (i):

( )+ 21, WWvu 2

''

2

'

21

''

1

'

1

''

2

''

1

'

2

'

1 ,e,com,e WwwWwwwwvwwu +=+=

⇒ 𝑢 + 𝑣 = (𝑤1′ + 𝑤2

′ )  +  (𝑤1′′ + 𝑤2

′′)  =   (𝑤1′ + 𝑤1

′′)⏟ ∈ 𝑊1

  +  (𝑤2′ + 𝑤2

′′)⏟ ∈ 𝑊2

( ) ( )21 WWvu ++ .

Agora provemos o item (ii):

( )+ 21, WWv 221121 ecom, WwWwwwv += 2211 e WwWw

( ) ( )212121 WWvwwww +=+=+ .

Observações:

a) ( )211 WWW + e ( )212 WWW + ;

Basta lembrarmos que }ecom,:{ 22112121 WwWwwwvVvWW +==+ .

Se tomarmos =+== 0wv0w 12 1w , logo ( )211 WWW + .

Se tomarmos =+== 21 w0v0w2w , logo ( )212 WWW + .

b) 21 WW + é denominado “soma” de 1W com 2W (não é união);

c) Pode ocorrer que }{21 0WW = , isto é, a intersecção de 1W com 2W pode resultar em um

conjunto unitário constituído apenas pelo vetor nulo. Neste caso, denotaremos a soma por

21 WW e a chamaremos de soma direta.

5.2.4 Combinações Lineares

Sejam os vetores 𝑣1,  𝑣2,   ⋯ , 𝑣𝑛  ∈ 𝑉 e os escalares 𝛼1,  𝛼2,  ⋯ , 𝛼𝑛  ∈ ℜ. Qualquer vetor

Vv da forma 𝛼1𝑣1 + 𝛼2𝑣2 +  ⋯ + 𝛼𝑛𝑣𝑛  é uma combinação linear dos vetores

𝑣1,  𝑣2,   ⋯ , 𝑣𝑛, com coeficientes 𝛼1,  𝛼2,   ⋯ , 𝛼𝑛 .

Exemplos:

1) Considere os vetores do 3 : ( )2,3,1 −=u e ( )1,4,2 −=v .

a) Escreva o vetor ( )7,18,4 −−=w como combinação linear de u e v.

Resolução:

vuw +=

( ) ( ) ( )1,4,22,3,17,18,4 −+−=−−

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=−

−=+−

−=+

72

1843

42

2= e 3−= vuw 32 −=

b) Mostrar que o vetor ( )6,3,4 −=t não pode ser escrito como combinação linear de u e v.

Resolução:

Basta mostrar que o sistema

−=−

=+−

=+

62

343

42

é impossível.

c) Determine o valor de k para que o vetor ( )7,,1 −−= kq possa ser escrito como combinação

linear de u e v.

Resolução:

−=−

=+−

−=+

72

43

12

k Basta mostrar que para que este sistema seja SPD é necessário que 13=k .

d) Determine a relação que deve existir entre x, y, z de modo que o vetor ( )zyx ,, possa ser

escrito como combinação linear de u e v.

Resolução:

=−

=+−

=+

z

y

x

2

43

2

Basta mostrar que para que este sistema seja SPD é necessário que

02 =++− zyx .

2) Mostre que o vetor ( ) 24,3 =t pode ser escrito de infinitas maneiras como combinações

lineares de ( )0,1=u , ( )1,0=v e ( )1,2 −=w .

Resolução:

wvut ++=

( ) ( ) ( ) ( )1,21,00,14,3 −++=

=−

=+

4

32 Basta mostrar para que este sistema é SPI.

5.3 Subespaços Gerados

Seja V um espaço vetorial e 𝑣1,  𝑣2,   ⋯ , 𝑣𝑛  ∈ 𝑉. Então o conjunto:

𝑆 = { 𝑎1𝑣1 + 𝑎2𝑣2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑣𝑛 ;  𝑎1, 𝑎2 ,⋯ , 𝑎𝑛 ∈ ℜ } ⊂ 𝑉 é denominado conjunto

gerado por 𝑣1,  𝑣2,   ⋯ , 𝑣𝑛.

Representação: 𝑆 = [𝑣1,  𝑣2 , ⋯ , 𝑣𝑛].

Observações:

a) 𝑣1,  𝑣2,   ⋯ , 𝑣𝑛  ∈ [𝑣1, 𝑣2 , ⋯ , 𝑣𝑛], pois:

𝑣𝑖 = 𝑎1𝑣1 + 𝑎2𝑣2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑣𝑛, com 1=ia e 0=ja se ij .

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b) 0 ∈ [𝑣1,  𝑣2 , ⋯ , 𝑣𝑛], basta fazer 0=ia , i .

Proposição: O conjunto gerado por 𝑣1,  𝑣2,   ⋯ , 𝑣𝑛, isto é 𝑆 = [𝑣1,  𝑣2 , ⋯ , 𝑣𝑛] é um

subespaço vetorial de V.

Então, devemos provar que se:

(i) SvuSvu +, e

(ii) SuSu ,

Demonstração:

(i) 𝑢,  𝑣 ∈ 𝑆 ⇒ 𝑢 = 𝑎1𝑣1 + 𝑎2𝑣2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑣𝑛 e 𝑣 = 𝑏1𝑣1 + 𝑏2𝑣2 +⋯+ 𝑏𝑛𝑣𝑛.

Somando estas duas últimas expressões, membro a membro, obtemos 𝑢 + 𝑣 = (𝑎1 + 𝑏1)𝑣1 +(𝑎2 + 𝑏2)𝑣2 +⋯+ (𝑎𝑛 + 𝑏𝑛)𝑣𝑛 Svu +

(ii) Su, 𝛼 ⋅ 𝑢 = 𝛼 ⋅ (𝑎1𝑣1 + 𝑎2𝑣2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑣𝑛)=(𝛼 ⋅ 𝑎1)𝑣1 + (𝛼 ⋅ 𝑎2)𝑣2 +⋯+

(𝛼 ⋅ 𝑎𝑛)𝑣𝑛 Su .

Exemplos:

1) 3=V e 3v , então o subespaço gerado por v é uma reta que passa pela origem do

sistema cartesiano e tem v como vetor diretor, isto é };{][ == avavS .

2) 3=V e 3

21, vv , tais que avva 21, então o subespaço gerado por

21, vv é

um plano que passa pela origem do sistema cartesiano e tem 21, vv como vetores diretores, isto

é },;{],[ 21221121 +== aavavavvS .

3) 2=V , ( ) ( )1,0e0,1 21 == vv , encontre o subespaço vetorial gerado por 1v e 2v , isto é, ache

],[ 21 vv .

Resolução:

},;{],[ 21221121 +== aavavavvS = ( ) ( ) },;1,00,1{ 2121 + aaaa =

( ) },;,{ 2121 aaaa =2 .

4) 3=V , ( ) ( ) ( )1,0,0e0,1,0,0,0,1 321 === vvv , encontre o subespaço vetorial gerado por 1v

, 2v e 3v , isto é, ache ],,[ 321 vvv .

Resolução:

},,;{],,[ 321332211321 ++== aaavavavavvvS =

( ) ( ) ( ) },,;1,0,00,1,00,0,1{ 321321 ++ aaaaaa = ( ) },,;,,{ 321321 aaaaaa =3 .

5) 3=V , ( ) ( )0,1,0e0,0,1 21 == vv , encontre o subespaço vetorial gerado por 1v e 2v , isto

é, ache ],[ 21 vv .

Resolução:

},;{],[ 21221121 +== aavavavvS = ( ) ( ) },;0,1,00,0,1{ 2121 + aaaa =

( ) },;0,,{ 2121 aaaa , isto é, é o plano que contém os eixos x e y (xOy).

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6) 3=V , ( ) ( )1,1,2e1,2,1 21 =−−= vv , encontre o subespaço vetorial gerado por 1v e 2v , isto

é, ache ],[ 21 vv .

Resolução:

},;{],[ 21221121 +== aavavavvS = ( ) ( ) },;1,1,21,2,1{ 2121 +−− aaaa =

( ) },;,2,2{ 21212121 +−+−+ aaaaaaaa , isto é:

== ],[ 21 vvS ( ) ( ) ( ) },;,2,2,,/,,{ 212121213 +−+−+= aaaaaaaazyxzyx .

Desta forma, para que uma tripla ordenada ( )zyx ,, possa pertencer a este subespaço gerado é

necessário que:

=+−

=+−

=+

zaa

yaa

xaa

21

21

21

2

2

e isto ocorrerá se:

z

y

x

11

12

21

+

+

zx

yx

x

30

250

21

+−−

+

5

5300

250

21

zyx

yx

x

Logo devemos ter

05

53=

+−− zyx 053 =−+ zyx (que é um plano que passa pela origem).

7) Ache um conjunto de geradores do seguinte subespaço:

( ) }0/,,,{ 4 =+−−= tzyxtzyxU .

Resolução:

Fazendo tzyxtzyx −+==+−− 0 , então:

( ) }0/,,,{ 4 =+−−= tzyxtzyxU = ( ) }/,,,{ 4 tzyxtzyx −+= =

( ) },,,,,,{ −+ tzytzytzy = ( ) ( ) ( ) },,/1,0,0,10,1,0,10,0,1,1{ −++ tzytzy

Assim, ( ) ( ) ( ) ]1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,1[ −=U

8) Consideremos no espaço vetorial ℜ3, os seguintes subespaços vetoriais:

( ) ( ) ]1,1,1,0,0,1[=U e ( ) ( ) ]1,0,0,0,1,0[=V . Determinar um conjunto de geradores de VU .

Resolução:

VwUwVUw e , então ,,, tais que:

( ) ( ) ( ) ( )1,0,00,1,01,1,10,0,1 +=+ ( ) ( ) ( ) ( )+=+ ,0,00,,0,,0,0,

( ) ( )=+ ,,0,, , logo:

=

=

−==+ 0

Assim, os vetores VUw são do tipo ( ) ( ) ( ) ( )1,0,00,1,01,1,10,0,1 +=+− , ou

( )1,1,0=w .

Desta forma, temos que VU = ( ) ]1,1,0[ .

9) São Subespaços vetoriais de ( )IC os seguintes subconjuntos:

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( ) ( ) ( ) },/{ −== IttftfICfU , é o conjunto das funções pares.

( ) ( ) ( ) },/{ −−== IttftfICfV , é o conjunto das funções ímpares.

Mostre que ( ) VUIC = , isto é, que ( )IC é soma direta de U com V.

Resolução:

Primeiro mostraremos que ( ) VUIC += :

Toda função real f definida em I pode ser decomposta como:

( ) ( ) ( )thtgtf += , It , onde

( )( ) ( )

2

tftftg

−+= e ( )

( ) ( )2

tftfth

−−= . Como temos que:

( )( ) ( )

( )tgtftf

tg =+−

=−2

e ( )( ) ( )

( )thtftf

th −=−−

=−2

, então Ug e Vh . Portanto

( ) VUIC += .

Agora mostraremos que ( ) VUIC = :

Se VUf , então ( ) ( )tftf −= e ( ) ( )tftf −−= , It . Logo, somando membro a

membro, obtemos:

( ) ( ) 0tf0tf ==2 ( ) VUIC = , isto é, a soma é direta.

10) Verifique que o espaço vetorial ( )22M , com as operações usuais de adição de matrizes

e multiplicação de matriz por número real, é gerado pelo seguinte conjunto de vetores:

}10

00,

01

00,

00

10,

00

01{

11) Quantos vetores, no mínimo, são necessários para gerar o espaço vetorial n ?

Resposta: n vetores.

5.4 Dependência e Independência Linear

Seja V um espaço vetorial e 𝑣1,  𝑣2,   ⋯ , 𝑣𝑛  ∈ 𝑉. Diz-se que o conjunto { 𝑣1,  𝑣2,   ⋯ , 𝑣𝑛 } é linearmente independente (LI) quando:

𝑎1𝑣1 + 𝑎2𝑣2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑣𝑛 = 0 ⇒ 𝑎1 = 𝑎2  = ⋯ = 𝑎𝑛 = 0

(Isto significa que toda combinação linear nula, implicará que os coeficientes de tal combinação

linear deverão ser todos iguais a zero).

Caso contrário, isto é, se 𝑎1𝑣1 + 𝑎2𝑣2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑣𝑛 = 0 e 0 ja para algum j, dizemos que

{ 𝑣1,  𝑣2,   ⋯ , 𝑣𝑛 } é um conjunto linearmente dependente (LD).

Exemplos:

1) Seja 2=V e o conjunto formado pelos vetores 1v e 2v , sendo ( ) ( )2,4e1,2 21 −=−= vv .

Então este conjunto },{ 21 vv é LI ou LD ?

Resposta: É LD, pois podemos construir combinações lineares nulas, sem que os coeficientes

sejam todos nulos, exemplo: ( ) 0vv =−+ 21 12 , isto é: ( ) ( )( ) ( )0,02,411,22 =−−+− .

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2) Seja 2=V e o conjunto formado pelos vetores

1v e 2v , sendo ( ) ( )1,0e0,1 21 == vv . Este

conjunto },{ 21 vv é LI ou LD ?

Resposta: É LI, pois toda combinação linear nula destes vetores, implica que os coeficientes

deverão ser iguais a zero:

( ) ( ) ( )0,01,00,1 212211 =+=+ aa0vava ( ) ( )

=

==

0

00,0,

2

121

a

aaa

3) Seja 2=V e o conjunto formado pelos vetores

1v , 2v e

3v , sendo

( ) ( ) ( )1,1e0,1,1,2 321 === vvv . Então este conjunto },,{ 321 vvv é LI ou LD ?

Resposta: É LD, pois uma combinação linear nula não implicará necessariamente que os

coeficientes sejam nulos.

( ) ( ) ( ) ( )0,01,10,11,2 321332211 =++=++ aaa0vavava

=+

=++

0

02

31

321

aa

aaa

0101

0112

− 0110

0101Logo o sistema é SPI, tendo infinitas soluções. Logo o

referido conjunto é realmente LD.

4) Seja 3=V e o conjunto formado pelos vetores 1v , 2v e 3v , sendo

( ) ( ) ( )5,4,5e1,4,3,2,0,1 321 === vvv . Então este conjunto },,{ 321 vvv é LI ou LD ?

Resposta: É LD, pois uma combinação linear nula não implicará necessariamente que os

coeficientes sejam nulos.

Para confirmar isto basta fazer:

( ) ( ) ( ) ( )0,0,05,4,51,4,32,0,1 321332211 =++=++ aaa0vavava

=++

=++

=++

052

0440

053

321

321

321

aaa

aaa

aaa

Escalonando podemos mostrar que este sistema é SPI. Logo o referido conjunto é realmente

LD.

Poderíamos chegar à mesma conclusão observando que

( ) ( ) ( ) ( )0,0,05,4,511,4,312,0,122 321 =−+=−+ 0vvv , isto é, podemos construir

combinações lineares nulas, sem que os coeficientes sejam todos nulos.

5) Seja 3=V e o conjunto formado pelos vetores 1v , 2v e 3v , sendo

( ) ( ) ( )1,0,0e0,1,0,0,0,1 321 === vvv . Então este conjunto },,{ 321 vvv é LI ou LD ?

Resposta: É LI, pois toda combinação linear nula destes vetores, implica que os coeficientes

deverão ser iguais a zero:

( ) ( ) ( ) ( )0,0,01,0,00,1,00,0,1 321332211 =++=++ aaa0vavava

( ) ( )

=

=

=

=

0

0

0

0,0,0,,

3

2

1

321

a

a

a

aaa

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6) Mostre que o conjunto }cos,sen,1{ 22 xx de vetores de ( ) ,−C é LD.

Resolução:

Basta lembrar da relação =+ 1cossen 22 xx ( ) =++− 0xx 22 cos1sen111 isto é, temos

uma combinação linear nula sem que os coeficientes sejam todos nulos.

7) Mostre que o conjunto },,1{ 2xx ee de vetores de ( )1,0C é LI.

Resolução:

Vamos partir de uma combinação linear nula destes vetores:

=++ 0eceba xx 21 derivando tudo em relação a x obtemos: =+ 0eceb xx 22

dividindo os dois membros da igualdade por xe obtemos: =+ 0ecb x2 derivando

novamente tudo em relação a x encontramos: = 0ec x2 dividindo novamente os dois

membros da igualdade por xe concluímos que: 002 == cc

logo 0=b e 0=a . Ou seja, toda combinação linear nula destes vetores implicará que os

coeficientes também deverão ser nulos. Assim, o referido conjunto é LI.

8) Determinar os valores de m e n, para que os seguintes conjuntos de vetores do 3 sejam LI.

a) ( ) ( ) ( )}3,,1,4,0,2,1,5,3{ mm Resposta: 0m

b) ( ) ( ) }10,1,2,5,3,1{ +m Resposta: 5m

c) ( ) ( )}1,,3,,2,6{ −+ mnmn Resposta: 1m ou 0n

Resolução de “a”:

( ) ( ) ( ) ( )0,0,03,,14,0,21,5,3 321332211 =++=++ maama0vavava

=++

=++

=++

0341

005

023

321

321

321

aaa

maama

aaa

0123

005

0341

mm

−−

−−

08100

014200

0341

mm

−− 07100

0450

0341

mm

000

0450

0341

m

Para que o sistema seja SPD devemos ter: 0m

.

Proposição:

{ 𝑣1,  𝑣2,   ⋯ , 𝑣𝑛 } é (LD) um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos

outros.

Demonstração:

{ 𝑣1,  𝑣2,   ⋯ , 𝑣𝑛 } é (LD) ∃ 𝑎1𝑣1 + 𝑎2𝑣2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑣𝑛 = 0 com 0ja para algum j

podemos isolar o vetor jv (o vetor que tem coeficiente 0ja ), obtendo 𝑣𝑗 = (−𝑎1

𝑎𝑗) 𝑣1 +

(−𝑎2

𝑎𝑗) 𝑣2 +⋯+ (−

𝑎𝑛

𝑎𝑗) 𝑣𝑛um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos

outros.

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5.5 Base de um Espaço Vetorial

Seja V um espaço vetorial e 𝑣1,  𝑣2,   ⋯ , 𝑣𝑛  ∈ 𝑉.

{ 𝑣1,  𝑣2,   ⋯ , 𝑣𝑛 } é uma base de V se e somente se:

(i) [𝑣1,  𝑣2 , ⋯ , 𝑣𝑛] =V

(ii) { 𝑣1, 𝑣2,  ⋯ , 𝑣𝑛 } é (LI)

Exemplos:

1) Verifique que o conjunto },{ 21 vv , onde ( ) ( )1,0e0,1 21 == vv é uma base do espaço vetorial

2=V . (Esta base é chamada de base canônica do 2 ).

Basta provar que este conjunto gera o 2 e é um conjunto LI, isto é:

(i) ( ) ( ) ]1,0,0,1[ =V

(ii) ( ) ( )}1,0,0,1{ é (LI)

2) Verifique que o conjunto },{ 21 vv , onde ( ) ( )0,4e0,1 21 == vv não é uma base do espaço

vetorial 2=V .

Resolução: Basta provar que este conjunto não gera o 2 , ou que o mesmo não é LI.

3) Seja o espaço vetorial nV = e o conjunto {𝑒1, 𝑒2,⋯ , 𝑒𝑛}, onde:

𝑒1 = (1,0,0,⋯ ,0,0), 𝑒2 = (0,1,0,⋯ ,0,0), ... , 𝑒𝑛 = (0,0,0,⋯ ,0,1).

Então {𝑒1, 𝑒2, ⋯ , 𝑒𝑛} é uma base don chamado de base canônica do

n .

Proposição: Seja { 𝑣1,  𝑣2,   ⋯ , 𝑣𝑛 } um conjunto de n vetores não nulos de um espaço

vetorial V. Se [𝑣1,  𝑣2 , ⋯ , 𝑣𝑛] = 𝑉, então podemos extrair uma base para V deste conjunto.

Proposição: Seja V um espaço vetorial tal que { 𝑣1,  𝑣2,   ⋯ , 𝑣𝑛 } gera V. Sejam ainda, m

vetores quaisquer de V: 𝑤1, 𝑤2,  ⋯ , 𝑤𝑚 com m > n. Então { 𝑤1, 𝑤2,   ⋯ , 𝑤𝑚 } é (LD).

Isto significa que se n vetores geram um espaço vetorial V, qualquer conjunto com mais do que

n vetores é necessariamente LD.

Proposição: Qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mesmo número de vetores.

Demonstração:

Vamos supor que um espaço vetorial V tem duas bases, com diferentes números de vetores, isto

é: { 𝑣1, 𝑣2,  ⋯ , 𝑣𝑛 } e { 𝑤1, 𝑤2,   ⋯ , 𝑤𝑚 }, com mn , são bases de V. Neste caso

podemos concluir que:

(i) Como [𝑤1, 𝑤2,  ⋯ , 𝑤𝑚] = 𝑉 e { 𝑣1,  𝑣2,  ⋯ , 𝑣𝑛 } é (LI) temos que nm .

(ii) Como [𝑣1,  𝑣2,   ⋯ , 𝑣𝑛] = 𝑉 e { 𝑤1,  𝑤2,   ⋯ , 𝑤𝑚 } é (LI) temos que mn .

Se temos nm e mn , então só pode ocorrer m = n.

Observações:

a) Este número de vetores que é constante para todas as bases de um espaço vetorial é

denominado “dimensão” do espaço. Podemos representar a dimensão de V por Dim V.

b) Neste material trataremos apenas de espaços vetoriais de dimensões finitas.

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Proposição:

Dada uma base 𝐵 = { 𝑣1,  𝑣2,   ⋯ , 𝑣𝑛 } de V, então cada vetor Vv é escrito de maneira

única como combinação linear dos vetores de B.

Demonstração:

Seja Vv um vetor genérico de V, então podemos escrever 𝑣 = 𝑎1𝑣1 + 𝑎2𝑣2 +  ⋯ + 𝑎𝑛𝑣𝑛 . Suponhamos, por “redução ao absurdo” que 𝑣 = 𝑏1𝑣1 + 𝑏2𝑣2 +  ⋯ + 𝑏𝑛𝑣𝑛 , com

jj ab para algum j.

Subtraindo as duas combinações lineares, membro a membro, obtemos: 0 = (𝑎1 − 𝑏1)𝑣1 + (𝑎2 − 𝑏2)𝑣2 +  ⋯ + (𝑎𝑛 − 𝑏𝑛)𝑣𝑛 .

Fazendo: (𝑎1 − 𝑏1) = 𝑐1,  (𝑎2 − 𝑏2) = 𝑐2,   ⋯  , (𝑎𝑛 − 𝑏𝑛) = 𝑐𝑛 obtemos:

𝑐1𝑣1 + 𝑐2𝑣2 +  ⋯ + 𝑐𝑛𝑣𝑛  = 0, com 0jc para algum j. Isto nos leva a concluir que

{ 𝑣1,  𝑣2,   ⋯ , 𝑣𝑛 } é (LD), o que é um absurdo, pois { 𝑣1, 𝑣2,  ⋯ , 𝑣𝑛 } é uma base de V.

Desta forma, não é possível de se escrever v como duas combinações lineares diferentes com

vetores da mesma base.

Definição: Seja V um espaço vetorial e 𝐵 = { 𝑣1, 𝑣2,   ⋯ , 𝑣𝑛 } uma base ordenada de V.

Dado Vv , sendo 𝑣 = 𝑎1𝑣1 + 𝑎2𝑣2 +  ⋯ + 𝑎𝑛𝑣𝑛 , escrevemos:

[𝑣]𝐵 = [

𝑎1⋮𝑎𝑛] e dizemos que [𝑣]𝐵 representa as coordenadas de v na base ordenada B.

5.5.1 Mudança de Base

Seja V um espaço vetorial e:

𝐴 = { 𝑢1,  𝑢2,   ⋯ , 𝑢𝑛 } e 𝐵 = { 𝑤1, 𝑤2,  ⋯ , 𝑤𝑛 } duas bases ordenadas de V.

Seja ainda Vv , um vetor genérico de V.

Supondo que [𝑣]𝐴 = [

𝑥1⋮𝑥𝑛] e [𝑣]𝐵 = [

𝑦1⋮𝑦𝑛], isto é:

𝑣 = 𝑥1𝑢1 + 𝑥2𝑢2 +  ⋯ + 𝑥𝑛𝑢𝑛  e 𝑣 = 𝑦1𝑤1 + 𝑦2𝑤2 +  ⋯ + 𝑦𝑛𝑤𝑛 , ache a relação

entre [𝑣]𝐴  e [𝑣]𝐵 .

Resolução:

Podemos escrever os vetores da base ordenada A como combinações lineares dos vetores da

base ordenada B:

{

𝑢1 = 𝑎11𝑤1 + 𝑎21𝑤2 +⋯𝑎𝑛1𝑤𝑛𝑢2 = 𝑎12𝑤1 + 𝑎22𝑤2 +⋯𝑎𝑛2𝑤𝑛

⋮𝑢𝑛 = 𝑎1𝑛𝑤1 + 𝑎2𝑛𝑤2 +⋯𝑎𝑛𝑛𝑤𝑛

Substituindo estas combinações lineares em 𝑣 = 𝑥1𝑢1 + 𝑥2𝑢2 +  ⋯ + 𝑥𝑛𝑢𝑛 , obtemos:

𝑣 = 𝑥1(𝑎11𝑤1 + 𝑎21 𝑤2 +  ⋯ + 𝑎𝑛1𝑤𝑛) + 𝑥2(𝑎12𝑤1 + 𝑎22 𝑤2 +  ⋯ + 𝑎𝑛2𝑤𝑛) + ⋯+

+𝑥𝑛(𝑎1𝑛𝑤1 + 𝑎2𝑛 𝑤2 +  ⋯ + 𝑎𝑛𝑛𝑤𝑛).

Aplicando a propriedade distributiva e isolando os vetores da base B, obtemos:

𝑣 = (𝑥1𝑎11 + 𝑥2𝑎12 +⋯ + 𝑥𝑛𝑎1𝑛)⏟ 𝑦1

𝑤1 + (𝑥1𝑎21 + 𝑥2𝑎22 + ⋯ + 𝑥𝑛𝑎2𝑛)⏟ 𝑦2

𝑤2 +⋯+

+(𝑥1𝑎𝑛1 + 𝑥2𝑎𝑛2 + ⋯ + 𝑥𝑛𝑎𝑛𝑛)⏟ 𝑦𝑛

𝑤𝑛, logo

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{

𝑦1 = 𝑥1𝑎11 + 𝑥2𝑎12 +⋯+ 𝑥𝑛𝑎1𝑛𝑦2 = 𝑥1𝑎21 + 𝑥2𝑎22 +⋯+ 𝑥𝑛𝑎2𝑛

⋮𝑦𝑛 = 𝑥1𝑎𝑛1 + 𝑥2𝑎𝑛2 +⋯+ 𝑥𝑛𝑎𝑛𝑛

[

𝑦1𝑦2⋮𝑦𝑛

] = [

𝑥1𝑎11 + 𝑥2𝑎12 +⋯ + 𝑥𝑛𝑎1𝑛𝑥1𝑎21 + 𝑥2𝑎22 + ⋯ + 𝑥𝑛𝑎2𝑛

⋮ ⋮ ⋮𝑥1𝑎𝑛1 + 𝑥2𝑎𝑛2 + ⋯ + 𝑥𝑛𝑎𝑛𝑛

] = [

𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛⋮ ⋮ ⋮𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 ⋯ 𝑎𝑛𝑛

] ⋅ [

𝑥1𝑥2⋮𝑥𝑛

]

Logo [𝑣]𝐵 = [𝐼]𝐵𝐴   ⋅ [𝑣]𝐴

Onde a matriz [𝐼]𝐵𝐴 é chamada de matriz de mudança da base A para a base B.

Exemplos:

1) Dados 2=V e as bases 𝐴 = { (2, −1), (3,4) } e 𝐵 = { (1,0), (0,1) }, determine:

(i) [𝐼]𝐵𝐴 

(ii) [𝑣]𝐴 

(iii) [𝑣]𝐵 

Resolução:

(i) [𝐼]𝐵𝐴  =?

( ) ( ) ( ) ( )21112111 ,1,00,11,2 aaaa =+=−

( ) ( ) ( ) ( )22122212 ,1,00,14,3 aaaa =+=

[𝐼]𝐵𝐴  = [

𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22

] = [2 3−1 4

]

(ii) [𝑣]𝐴  =?

𝑣 = 𝑥1⏟?

(2, −1) + 𝑥2⏟?

(3,4)

( ) ( )212121 4,32, xxxxvv +−+=

=+−

=+

221

121

4

32

vxx

vxx

− 2

1

41

32

v

v

−−

1

2

32

41

v

v

( )

+

−−

21

2

2110

41

vv

v

( )

+

−−

11/210

41

21

2

vv

v

( )( )

+

11/210

11/3401

21

21

vv

vv

( )

( )

+=

−=

11/2

11/34

212

211

vvx

vvx

Desta forma temos que [𝑣]𝐴  =( )( )

+

11/2

11/34

21

21

vv

vv

(iii) [𝑣]𝐵  =?

[𝑣]𝐵 = [𝐼]𝐵𝐴   ⋅ [𝑣]𝐴

−=

41

32][ 'v

( )( )

=

+

2

1

21

21

11/2

11/34

v

v

vv

vv

2) Com as mesmas bases A e B do exercício anterior, determine [𝐼]𝐴𝐵 .

Resolução:

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( ) ( ) ( ) ( )211121112111 4,324,31,20,1 aaaaaa +−+=+−=

( ) ( ) ( ) ( )221222122212 4,324,31,21,0 aaaaaa +−+=+−=

=+−

=+

04

132

2111

2111

aa

aa

=

=

11/1

11/4

21

11

a

a

=+−

=+

14

032

2212

2212

aa

aa

=

−=

11/2

11/3

22

12

a

a

Logo [𝐼]𝐴𝐵 = [

4/11 −3/111/11 2/11

] 

Determine também [𝑣]𝐵  e [𝑣]𝐴 : [𝑣]𝐵  =?

𝑣 = (𝑣1, 𝑣2) = 𝑥1⏟?

(1,  0) + 𝑥2⏟?

(0,  1) = (𝑥1, 𝑥2) ⇒

=

2

1

'][v

vv

[𝑣]𝐴  =?

[𝑣]𝐴 = [𝐼]𝐴𝐵   ⋅ [𝑣]𝐵 =

−=

2

1

11/211/1

11/311/4

v

v ( )( )

+

11/2

11/34

21

21

vv

vv

Observação: Nos dois exercícios anteriores observamos que:

[𝐼]𝐴𝐵   ⋅ [𝐼]𝐵

𝐴 =

=

10

01

41

32

11/211/1

11/311/4

[𝐼]𝐵𝐴 ⋅   [𝐼]𝐴

𝐵 =

=

− 10

01

11/211/1

11/311/4

41

32

Então podemos concluir que [𝐼]𝐵𝐴 =  ([𝐼]𝐴

𝐵)−1

Outros exercícios envolvendo bases de um espaço vetorial:

1) No espaço vetorial 3 , consideremos as bases 𝐴 = { 𝑒1, 𝑒2,  𝑒3 } e 𝐵 = { 𝑔1,  𝑔2,  𝑔3 }, tais

que:

++=

++=

+=

3213

3212

311

2

2

eeeg

eeeg

eeg

, determine [𝐼]𝐵𝐴  e [𝐼]𝐴

𝐵 

Respostas:

[𝐼]𝐴𝐵 = [

1 2 10 1 21 1 1

]  e [𝐼]𝐵𝐴 = ([𝐼]𝐴

𝐵)−1 = [

−1

2−1

2

3

2

1 0 −1

−1

2

1

2

1

2

]  

2) Consideremos o subespaço vetorial do espaço ( )33M (com as operações usuais de adição

de matrizes e multiplicação de matriz por número real), constituído das matrizes simétricas.

Determine uma base para este subespaço.

Resolução:

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As matrizes simétricas 33 são da forma:

fec

edb

cba

.

Podemos escrever estas matrizes como:

fec

edb

cba

= a

000

000

001

+ d

000

010

000

+ f

100

000

000

+ b

000

001

010

+ c

001

000

100

+

e

010

100

000

Logo o conjunto:

{

000

000

001

,

000

010

000

,

100

000

000

,

000

001

010

,

001

000

100

,

010

100

000

} gera o referido

subespaço.

Agora basta provar que este conjunto é LI.

3) Determinar as coordenadas da matriz

02

11 de ( )22M , em relação à base:

}21

00,

02

00,

00

10,

10

01{

Resolução:

+

+

+

=

21

00

02

00

00

10

10

01

02

11dcba

=+

=+

−=

=

02

22

1

1

da

dc

b

a

−=

=

−=

=

2

1

4

5

1

1

d

c

b

a

4) Determinar as coordenadas do polinômio ( )−+ 3321 Ptt , em relação:

a) à base canônica deste espaço, que é },,,1{ 32 ttt .

b) à base: }1,1,1,1{ 32 ttt −−−

Resolução:

a) =−+ 321 tt 321 tdtctba +++ 1=a , 2=b , 0=c e 1−=d

b) =−+ 321 tt ( ) ( ) ( ) ( )32 1111 tdtctba −+−+−+

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=−+ 321 tt ( ) ( ) ( ) ( ) −+−+−++++ 32 tdtctbdcba

−=−

=−

=−

=+++

1

0

2

1

d

c

b

dcba

=

=

−=

=

1

0

2

2

d

c

b

a

5) Consideremos o subespaço vetorial do espaço ( )22M (com as operações usuais de adição

de matrizes e multiplicação de matriz por número real), constituído das matrizes

}0:{ =−−

= zyx

tz

yxU

a) Mostre que os seguintes conjuntos são bases de U:

}10

00,

01

01,

00

11{

=B

}10

00,

01

10,

01

01{

=C

b) Achar BCI e C

BI

Resolução:

a) Para mostrar que B e C geram U, observe que:

Fazendo +==−− zyxzyx 0

+

+

=

+

10

00

01

01

00

11tzy

tz

yzy

Fazendo −==−− yxzzyx 0

+

−−

=

− 10

00

01

10

01

01tyx

tyx

yx

Agora é só provar que B e C são LI.

b) Para achar BCI vamos escrever os vetores de B como combinações lineares dos vetores de

C:

+

−+

=

10

00

01

10

01

01

00

11cba

+

−+

=

10

00

01

10

01

01

01

01fed

+

−+

=

10

00

01

10

01

01

10

00ihg

Resolvendo os sistemas de equações gerados obtemos:

−=

100

001

011BCI .

Finalmente, temos que CBI = ( ) 1−B

CI =

100

011

010

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5.6 Exercícios Propostos

1) Considere o conjunto V de todos os pares ordenados de números reais (ou seja, 2=V ),

com as operações assim definidas:

Adição: ( ) ( ) ( )22112121 ,,, yxyxyyxx ++=+

Multiplicação por escalar (não usual): ( ) ( )2121 ,, xxxx =

Verifique que o conjunto V com estas operações não é um espaço vetorial. Que axiomas não

são verificados? Resposta: O axioma V6 não é verificado.

2) Considere o conjunto V de todos os pares ordenados de números reais (ou seja, 2=V ),

com as operações assim definidas:

Adição (não usual): ( ) ( ) ( )0,,, 112121 yxyyxx +=

Multiplicação por escalar: ( ) ( )2121 ,, xxxx =

Verifique que o conjunto V com estas operações não é um espaço vetorial. Que axiomas

não são verificados? Resposta: Os axiomas V3 e V6 não são verificados.

3) Mostre que os seguintes subconjuntos de 4 são subespaços vetoriais:

a) W = { (x, y, z, t) 4 ; x + y = 0 , z - t = 0 }

b) U = { (x, y, z, t) 4

; 2x + y - t = 0 , z = 0 }

4) Sejam W 1 = { (x, y, z, t) 4

; 0=+ yx , 0=− tz } e W 2 = { (x, y, z, t) 4

;

0=+−− tzyx } subespaços de 4

. Exiba uma base para W 1 W 2 .

Resposta: Base = ( ) 1,1,0,0

5) Considere o seguinte subespaço de 4

: S = [ (1, 1, −2, 4), (1, 1, −1, 2), (1, 4, −4, 8) ].

a) O vetor (2/3, 1, −1, 2) pertence a S ? Resposta: Sv

b) O vetor (0, 0, 1, 1) pertence a S? Resposta: Sv

c) Estabeleça as condições para que um vetor (x, y, z, t) pertença a S.

Resposta: 02 =+ zt

6) Seja W o subespaço de M(3,2) gerado por

0 0

0 0

1 0

e

0 1

1 0

1 0

,

0 0

1 1

0 0

.

O vetor

0 5

4 3

2 0

pertence a W ? Resposta: Não.

7) Quais as coordenadas de x = (1, 0, 0) em relação à A= {(1, 1, 1), (−1, 1, 0), (1, 0, −1)}?

Resposta: [𝑥]𝐴 = [

1/3−1/31/3

]

8) Considere o subespaço de 3 gerado pelos vetores u = (1, 1, 0), v = (0, −1, 1) e

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t = (1, 1, 1). [ u, v, t ] = 3 ? Isto é, os três vetores u, v, t geram o espaço 3 ?

Resposta: Sim.

9) Considere o subespaço de 4 gerado pelos vetores v 1 = (1, −1, 0 ,0) , v 2 = (0, 0, 1, 1) , v

3 = (−2, 2, 1, 1) e v 4 = (1, 0, 0, 0).

a) O vetor (2, −3, 2, 2) [v 1 , v 2 , v 3 , v 4 ] justifique.

Resposta: Sim, a condição é t = z.

b) Exiba uma base para [v 1 , v 2 , v 3 , v 4 ]. Qual a dimensão?

Resposta: ( ) ( ) ( ) 1,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1 , Dim é 3.

c) [v 1 , v 2 , v 3 , v 4 ] = 4 ? Isto é, os vetores v 1 , v 2 , v 3 , v 4 geram 4 ? Por quê?

Resposta: Não, pois qualquer base do 4 tem 4 vetores e neste caso a Dim é 3.

10) Sejam A={(1, 0), (0, 1)} , B= {(−1, 1), (1, 1)} , C={( 3 ,1), ( 3 ,−1)} e

D={(2, 0), (0, 2)} bases ordenadas de 2

.

a) Ache as seguintes matrizes de mudança de base:

(i) BA I (ii) A

B I (iii) A

C I (iv) A

D I

Respostas: (i)

−=

11

11B

AI ; (ii)

−=

2/12/1

2/12/1A

BI ; (iii)

=

2

1

6

3

2

1

6

3

A

CI ;

(iv)

=

2/10

02/1A

DI

b) Quais as coordenadas do vetor v = (3, −2) em relação a cada uma das bases ?

Respostas: (i)

−=

2

3Av ; (ii)

−=

2/1

2/5Bv ; (iii)

+

=

12

3

12

3

Cv ; (iv)

−=

1

2/3Dv

c) As coordenadas de um vetor u em relação à base B são dadas por [u] B =40

.

Quais as coordenadas do vetor u em relação às outras bases A, C e D?

Resposta: (i)

−=

4

4Av ; (ii)

−−

−=

3/)326(

3/)326(Cv ; (iii)

−=

2

2Dv

11) Ache duas bases distintas A e B para o espaço vetorial das matrizes 2x2 , triangulares

superiores. Qual a dimensão deste espaço vetorial? Encontre as matrizes de mudança de base:

[𝐼]𝐴𝐵 e [𝐼]𝐵

𝐴.

Respostas:

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𝐴 = { [1 00 0

] , [0 10 0

] , [0 00 1

] } e 𝐵 = { [1 00 0

] , [1 10 0

] , [1 10 1

] }; Dim = 3

[𝐼]𝐵𝐴 = [

1 1 10 1 10 0 1

] e [𝐼]𝐵𝐴 = [

1 −1 00 1 −10 0 1

]

5.7 Referências Bibliográficas

1. BOLDRINI, José Luiz et al. Álgebra Linear. 3.a Edição. São Paulo: Harper & Row do

Brasil, 1980.

2. CALLIOLI, Carlos A. et al. Álgebra Linear e Aplicações. 6.a Edição. São Paulo: Atual,

1990.

3. LIPSCHULTZ, S. Álgebra Linear. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1982.

4. STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Introdução à Álgebra Linear. São Paulo: McGraw-

Hill do Brasil, 1990.