Geometria Anal´ıtica e Vetores Notas de...

Geometria Analıtica e VetoresNotas de Aula

Petronio Pulino

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PULINUS

Geometria Analıtica e VetoresNotas de Aula

Petronio PulinoDepartamento de Matematica Aplicada

Instituto de Matematica, Estatıstica e Computacao Cientıfica

Universidade Estadual de Campinas

e-mail: [email protected]

www.ime.unicamp.br/∼pulino/GeometriaAnalitica/

Janeiro de 2018

Sumario

1 Matrizes e Sistemas Lineares 1

1.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Tipos Especiais de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.5 Inversa de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.7 Matrizes em Blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.8 Operacoes Elementares. Equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.9 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

1.10 Forma Escalonada. Forma Escada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1.11 Matrizes Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

1.12 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

1.13 Matrizes Congruentes. Lei da Inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

1.14 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

1.15 Sistemas de Equacoes Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

1.16 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

2 Vetores no Plano e no Espaco 111

2.1 Conceitos Basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

2.2 Operacoes com Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

2.2.1 O Plano Cartesiano e o Espaco Tridimensional . . . . . . . . . . . . 116

2.2.2 Adicao de Vetores e Multiplicacao por Escalar . . . . . . . . . . . . . 119

2.2.3 Adicao de Ponto com Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

2.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

2.4 Dependencia e Independencia Linear. Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

2.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

2.6 Mudanca de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

2.7 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

3 Produto Escalar 151

3.1 Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

3.2 Norma Euclidiana. Metrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

3.3 Definicao de Angulo e Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

3.4 Projecao Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

3.5 Base Ortogonal. Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

3.6 Processo de Ortogonalizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

3.7 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

i

ii SUMARIO

3.8 Distancia de Ponto a Ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

3.9 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

4 Produto Vetorial. Produto Misto 201

4.1 Orientacao do Espaco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

4.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

4.3 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

4.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

4.5 Produto Misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

4.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

5 Estudo da Reta no Espaco 229

5.1 Equacao Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

5.2 Posicao Relativa de Reta e Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

5.3 Angulo entre Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

5.4 Distancia de Ponto a Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

5.5 Distancia entre Reta e Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

5.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

6 Estudo do Plano no Espaco 259

6.1 Equacao Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

6.2 Equacao Geral. Vetor Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

6.3 Posicao Relativa de Retas e Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

6.4 Angulo entre Reta e Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

6.5 Angulo entre Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

6.6 Distancia de Ponto a Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

6.7 Distancia entre Reta e Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

6.8 Distancia entre Plano e Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

6.9 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

7 Mudanca de Coordenadas 301

7.1 Sistemas de Coordenadas em IE2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

7.1.1 Translacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

7.1.2 Rotacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

7.1.3 Rotacao Composta com uma Translacao . . . . . . . . . . . . . . . . 322

7.2 Sistemas de Coordenadas em IE3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

7.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

8 Conicas 341

8.1 Conicas – Forma Reduzida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

8.1.1 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

8.1.2 Hiperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

8.1.3 Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

8.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

8.3 Diagonalizacao de Matrizes Simetricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

SUMARIO iii

8.3.1 Autovalores e Autovetores de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . 366

8.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

8.5 Aplicacao da Rotacao e da Translacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380

8.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

8.7 Classificacao das Conicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

8.8 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417

Referencias Bibliograficas 419

iv SUMARIO

Petronio Pulino Geometria Analıtica e Vetores

3Produto Escalar

Sumario

3.1 Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

3.2 Norma Euclidiana. Metrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

3.3 Definicao de Angulo e Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . 166

3.4 Projecao Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

3.5 Base Ortogonal. Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

3.6 Processo de Ortogonalizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

3.7 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

3.8 Distancia de Ponto a Ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

3.9 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

151

152 Geometria Analıtica e Vetores

3.1 Produto Escalar

Na geometria Euclidiana as propriedades que nos possibilitam expressar o comprimento de

vetor e o angulo entre dois vetores sao denominadas de propriedades metricas. No estudo

do espaco de vetores V 3, em Geometria Analıtica, definimos comprimento, ou norma, de

vetores, angulo entre dois vetores e o conceito de ortogonalidade atraves do produto escalar.

Denotamos o produto escalar entre dois vetores ~u e ~v do espaco V 3 da seguinte forma:

~u � ~v ou por 〈 ~u,~v 〉 .

Neste capıtulo apresentamos um estudamos das propriedades geometricas que sao atribuıdas

ao espaco de vetores atraves do produto escalar definido nesse espaco. Mais especificamente,

estabelecemos as propriedades basicas, e suas aplicacoes, dos conceitos de norma, angulo,

ortogonalidade e projecao ortogonal determinadas ao espaco de vetores pelo produto escalar.

Definicao 3.1.1 Considere o espaco de vetores V 3. Uma aplicacao

〈 ·, · 〉 : V 3 × V 3 −→ IR

que satisfaz as seguintes propriedades:

(1) Simetria: 〈 ~u,~v 〉 = 〈~v, ~u 〉 ; ∀ ~u, ~v ∈ V 3

(2) Positividade: 〈 ~u, ~u 〉 ≥ 0 ; ∀ ~u ∈ V 3, com 〈 ~u, ~u 〉 = 0 ⇐⇒ ~u = ~0

(3) Distributividade: 〈 ~u+ ~w,~v 〉 = 〈 ~u,~v 〉 + 〈 ~w,~v 〉 ; ∀ ~u, ~v, ~w ∈ V 3

(4) Homogeneidade: 〈λ~u,~v 〉 = λ〈 ~u,~v 〉 ; ∀ ~u, ~v ∈ V 3 e λ ∈ IR

define um produto escalar no espaco de vetores V 3.

Note que com as propriedades de simetria, distributividade e homogeneidade, tem–se

(5) 〈 ~u,~v + ~w 〉 = 〈 ~u,~v 〉 + 〈 ~u, ~w 〉

(6) 〈 ~u, λ~v 〉 = λ 〈 ~u,~v 〉

para todos ~u, ~v, ~w ∈ V 3 e λ ∈ IR.

Petronio Pulino 153

De fato, com as propriedades de simetria e distributividade, obtemos

〈 ~u,~v + ~w 〉 = 〈~v + ~w, ~u 〉 = 〈~v, ~u 〉 + 〈 ~w, ~u 〉 = 〈 ~u,~v 〉 + 〈 ~u, ~w 〉 ,

e com as propriedades de simetria e homogeneidade, obtemos

〈 ~u, λ~v 〉 = 〈λ~v, ~u 〉 = λ〈~v, ~u 〉 = λ 〈 ~u,~v 〉 ,

para todos ~u, ~v, ~w ∈ V 3 e λ ∈ IR.

Assim, dizemos que o produto escalar, no espaco de vetores V 3, e uma aplicacao bilinear,

isto e, o produto escalar e uma aplicacao linear em cada uma das variaveis. Com o objetivo

de esclarecer vamos apresentar o conceito de transformacao linear.

Definicao 3.1.2 Considere o espaco de vetores V 3 e uma aplicacao de T : V 3 −→ V 3.

Dizemos que T e uma transformacao linear se possui as seguintes propriedades:

(a) T (~u + ~v) = T (~u) + T (~v) para todo ~u , ~v ∈ V 3 .

(b) T (λ~u) = λT (~u) para todo ~u ∈ V 3 e λ ∈ IR .

Das duas propriedades de transformacao linear, obtemos facilmente que

T (a~u + b~v) = a T (~u) + b T (~v)

para todo ~u, ~v ∈ V 3 e a, b ∈ IR.

Exemplo 3.1.1 Considere o espaco de vetores V 3. Definimos a transformacao linear

T : V 3 −→ V 3

~v −→ T (~v) = ~v

que e a transformacao identidade.

Exemplo 3.1.2 Considere o espaco de vetores V 3 e um escalar λ ∈ IR fixo, porem

arbitrario. Definimos a transformacao linear

T : V 3 −→ V 3

~v −→ T (~v) = λ~v

que representa uma contracao para 0 < λ < 1, e uma expansao para λ > 1.

Note que, tanto na contracao quanto na expansao, o vetor T (~v) tem a mesma direcao e

sentido do vetor v, como ilustram as Figuras 3.1 e 3.2.


Na Figura 3.1 temos a ilustracao de uma expansao.

Or

λ~v

~v

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��

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Figura 3.1: Expansao (λ > 1)

Na Figura 3.2 temos a ilustracao de uma contracao.

Or

~v

λ~v

��

��

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��

��✒

Figura 3.2: Contracao (0 < λ < 1)

Exemplo 3.1.3 Considere o espaco de vetores V 3. Definimos a transformacao linear

T : V 3 −→ V 3

~v −→ T (~v) = −~v

que representa uma reflexao em torno da sua origem.

Na Figura 3.3 temos a ilustracao de uma reflexao em torno da origem.

Or

~v

−~v

��

��✒

��

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Figura 3.3: Reflexao em torno da origem

Tendo o conceito de transformacao linear, voltamos ao fato que o produto escalar e uma

aplicacao bilinear, isto e, e uma aplicacao linear em cada uma das variaveis. De fato, das

propriedades de produto escalar, obtemos facilmente que

1. 〈 a~u + b~v, ~w 〉 = a 〈 ~u, ~w 〉 + b 〈~v, ~w 〉

2. 〈 ~w, a~u + b~v 〉 = a 〈 ~w, ~u 〉 + b 〈 ~w,~v 〉

para todo ~u, ~v, ~w ∈ V 3 e a, b ∈ IR.

Petronio Pulino 155

Exemplo 3.1.4 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 .Dado um vetor nao–nulo ~w ∈ V 3 fixo, porem arbitrario, podemos verificar facilmente que

a transformacao T : V 3 −→ IR definida da forma:

T : V 3 −→ IR

~u −→ T (~u) = 〈 ~u, ~w 〉e uma transformacao linear.

De fato, para todo ~u, ~v ∈ V 3 e a, b ∈ IR, tem–se

T (a~u + b~v) = 〈 a~u + b~v, ~w 〉 = a 〈 ~u, ~w 〉 + b 〈~v, ~w 〉 = a T (~u) + b T (~v) ,

o que mostra que T e uma transformacao linear.

Teorema 3.1.1 Considere o espaco de vetores V 3 e os vetores genericos

~u = (x1 , x2 , x3) e ~v = (y1 , y2 , y3) .

A aplicacao

〈 ·, · 〉p : V 3 × V 3 −→ IR

(~u,~v) −→ 〈 ~u,~v 〉p = a x1 y1 + b x2 y2 + c x3 y3

para a , b , c numeros reais positivos, define um produto escalar no espaco de vetores V 3,

denominado produto escalar ponderado.

Demonstracao – A prova e feita, essencialmente, considerando que o conjunto dos numeros

reais IR e munido das seguintes propriedades:

1. Se ab = 0, entao a = 0 ou b = 0.

2. Se a < b e c > 0, entao ac < bc.

3. Se a 6= 0, entao a2 > 0.

4. Se a < b e c < 0, entao ac > bc.

5. Se a < c e b < d, entao a + b < c + d.

6. Se ab > 0, entao a e b sao positivos ou ambos sao negativos.

para todo a, b, c ∈ IR. �

Teorema 3.1.2 Considere o espaco de vetores V 3 e os vetores genericos

~u = (x1 , x2 , x3) e ~v = (y1 , y2 , y3) .

A aplicacao

〈 ·, · 〉 : V 3 × V 3 −→ IR

(~u,~v) −→ 〈 ~u,~v 〉 = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3

define um produto escalar no espaco de vetores V 3.

Demonstracao – A prova segue do Teorema 3.1.1 para a = b = c = 1. �


Exemplo 3.1.5 Considere o espaco de vetores V 3 munido do produto escalar ponderado

〈 · , · 〉p , definido da seguinte forma:

〈 ~x, ~y 〉p = 2x1 y1 + 4x2 y2 + 6x3 y3

para todo ~x = (x1 , x2 , x3) , ~y = (y1 , y2 , y3) ∈ V 3.

Determine o produto escalar entre os vetores:

(a) ~u = (1,−2, 1) e ~v = (3,−1, 1)

(b) ~u = (2,−1, 1) e ~v = (−4, 2,−2)

(c) ~u = (1,−1, 1) e ~v = (2, 3, 1)

Resolucao – Tomando a definicao do produto escalar ponderado dada acima, tem–se

(a) 〈 ~u,~v 〉p = 2× (1× 3) + 4× (−2×−1) + 6× (1× 1) = 6 + 8 + 6 = 20

Os itens (b) e (c) podem ficar a cargo do leitor.

Exemplo 3.1.6 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 ,definido da seguinte forma:

〈 ~x, ~y 〉 = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3


Determine o produto escalar entre os vetores:

(a) ~u = (1,−2, 1) e ~v = (3,−1, 1)

(b) ~u = (2,−1, 1) e ~v = (−4, 2,−2)

(c) ~u = (1,−1, 1) e ~v = (2, 3, 1)

Resolucao – Tomando a definicao do produto escalar dada acima, tem–se

(a) 〈 ~u,~v 〉 = 1× 3 + (−2×−1) + 1× 1 = 3 + 2 + 1 = 6


Petronio Pulino 157

Teorema 3.1.3 (Desigualdade de Cauchy–Schwarz) Considere o espaco de vetores V 3

munido do produto escalar 〈 · , · 〉 . Entao, para todos ~u , ~v ∈ V 3 tem–se

〈 ~u,~v 〉2 ≤ 〈 ~u, ~u 〉〈~v,~v 〉 .

Alem disso, a igualdade e valida se, e somente se, os vetores ~u e ~v sao linearmente

dependentes.

Demonstracao – Inicialmente vamos considerar que os vetores ~u e ~v sao linearmente

independentes, isto e,

~u + λ~v 6= ~0 para todo λ ∈ IR .

Desse modo, tem–se

〈 ~u + λ~v, ~u + λ~v 〉 = 〈 ~u, ~u 〉 + 〈 ~u, λ~v 〉 + 〈λ~v, ~u 〉 + λ2 〈~v,~v 〉

= 〈 ~u, ~u 〉 + 2λ 〈 ~u,~v 〉 + λ2 〈~v,~v 〉 > 0

e uma inequacao de segundo grau na variavel λ.

Assim, a equacao do segundo grau na variavel λ

〈 ~u, ~u 〉 + 2λ 〈 ~u,~v 〉 + λ2 〈~v,~v 〉 = 0 (3.1)

nao possui raızes reais. Note que a equacao do segundo grau dada em (3.1) pode ser escrita

da seguinte forma:

aλ2 + bλ + c = 0 ,

onde a = 〈~v,~v 〉 > 0, b = 2 〈 ~u,~v 〉 e c = 〈 ~u, ~u 〉 > 0. Na figura abaixo ilustramos o

grafico da funcao quadratica ϕ(λ) = aλ2 + bλ + c para λ ∈ IR.

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✻

0

.

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λ

ϕ


Portanto, devemos ter

4 〈 ~u,~v 〉2 − 4 〈 ~u, ~u 〉〈~v,~v 〉 < 0 ⇐⇒ 〈 ~u,~v 〉2 < 〈 ~u, ~u 〉〈~v,~v 〉 ,

provando a validade da desigualdade para vetores linearmente independentes.

No caso em que os vetores ~u e ~v sao linearmente dependentes, existe um unico escalar λ

de modo que

~u + λ~v = ~0 .

Desse modo, a funcao quadratica ϕ tem λ como sua unica raiz, como ilustra a figura abaixo.

✲

✻

0

.

................................................

.............................................

..........................................

.......................................

...................................

................................

.............................

..........................

.......................

...................

................................... ................ .............. .............. ................

...................................

...................

.......................

..........................

.............................

................................

...................................

.......................................

..........................................

.............................................

................................................

λ

λ

ϕ

Assim, tem–se

4 〈 ~u,~v 〉2 − 4 〈 ~u, ~u 〉〈~v,~v 〉 = 0 ⇐⇒ 〈 ~u,~v 〉2 = 〈 ~u, ~u 〉〈~v,~v 〉 ,

o que mostra a validade da igualdade para vetores linearmente dependentes, completando a

demonstracao. �

Petronio Pulino 159


〈 ~x, ~y 〉 = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3


Verifique a desigualdade de Cauchy–Schwarz para os seguintes vetores:

(a) ~u = (1,−2, 1) e ~v = (3,−1, 1)

(b) ~u = (2,−1, 1) e ~v = (4,−2, 2)

Resolucao – Vamos verificar a desigualdade de Cauchy–Schwarz para os vetores

~u = (1,−2, 1) e ~v = (3,−1, 1) .

Para isso, necessitamos dos seguintes calculos:

〈 ~u,~v 〉 = 6 , 〈 ~u, ~u 〉 = 6 e 〈~v,~v 〉 = 11 .

Assim, tem–se

62 < 6× 11 .

O item (b) pode ficar a cargo do leitor.

Exemplo 3.1.8 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar ponderado


〈 ~x, ~y 〉p = 2x1 y1 + 4x2 y2 + 6x3 y3


Verifique a desigualdade de Cauchy–Schwarz para os seguintes vetores:

(a) ~u = (1,−2, 1) e ~v = (3,−1, 1)

(b) ~u = (2,−1, 1) e ~v = (4,−2, 2)

Resolucao – Vamos verificar a desigualdade de Cauchy–Schwarz para os vetores

~u = (1,−2, 1) e ~v = (3,−1, 1) .

Para isso, necessitamos dos seguintes calculos:

〈 ~u,~v 〉p = 20 , 〈 ~u, ~u 〉p = 24 e 〈~v,~v 〉p = 28 .

Assim, tem–se

202 < 24× 28 .

O item (b) pode ficar a cargo do leitor.


3.2 Norma Euclidiana. Metrica

Definicao 3.2.1 (Norma) Considere o espaco de vetores V 3. Uma aplicacao

‖ · ‖ : V 3 −→ IR

~u −→ ‖ ~u ‖


(a) Positividade:

‖ ~u ‖ ≥ 0 para todo ~u ∈ V 3, com ‖ ~u ‖ = 0 ⇐⇒ ~u = ~0

(b) Homogeneidade:

‖λ~u ‖ = |λ | ‖ ~u ‖ para todo ~u ∈ V 3 , λ ∈ IR

(c) Desigualdade Triangular:

‖ ~u + ~v ‖ ≤ ‖ ~u ‖ + ‖~v ‖ para todo ~u , ~v ∈ V 3

define uma norma no espaco de vetores V 3.

Definicao 3.2.2 (Distancia) Considere o espaco de vetores V 3. Uma aplicacao

d(·, ·) : V 3 × V 3 −→ IR

(~u,~v) −→ d(~u,~v)


(a) Positividade:

d(~u,~v) ≥ 0 para todo ~u, ~v ∈ V 3, com d(~u,~v) = 0 ⇐⇒ ~u = ~v

(b) Simetria:

d(~u,~v) = d(~v, ~u) para todo ~u, ~v ∈ V 3

(c) Desigualdade Triangular:

d(~u,~v) ≤ d(~u, ~w) + d(~v, ~w) para todo ~u, ~v, ~w ∈ V 3

define uma metrica, ou uma distancia, no espaco de vetores V 3.

Petronio Pulino 161

Teorema 3.2.1 (Norma Euclidiana) Considere o espaco de vetores V 3 munido com o

produto escalar 〈 · , · 〉 . A aplicacao

‖ · ‖ : V 3 −→ IR

~u −→ ‖ ~u ‖ =√

〈 ~u, ~u 〉

define uma norma no espaco de vetores V 3.

Demonstracao – As propriedades (a) e (b) seguem das propriedades de positividade e

homogeneidade do produto escalar.

Para provar que a aplicacao ‖ · ‖ satisfaz a propriedade da desigualdade triangular, vamos

utilizar a desigualdade de Cauchy–Schwarz escrita da forma:

〈 ~u,~v 〉2 ≤ 〈 ~u, ~u 〉〈~v,~v 〉 ⇐⇒ | 〈 ~u,~v 〉 | ≤ ‖ ~u ‖ ‖~v ‖ para todo ~u , ~v ∈ V 3 .

Com algumas manipulacoes algebricas, obtemos

‖ ~u + ~v ‖2 = 〈 ~u + ~v, ~u + ~v 〉 = 〈 ~u, ~u 〉 + 〈 ~u,~v 〉 + 〈~v, ~u 〉 + 〈~v,~v 〉 .

Fazendo uso da propriedade de simetria do produto escalar, tem–se

‖ ~u + ~v ‖2 = 〈 ~u, ~u 〉 + 2 〈 ~u,~v 〉 + 〈~v,~v 〉 = ‖ ~u ‖2 + 2 〈 ~u,~v 〉 + ‖~v ‖2 .

Tomando o modulo do segundo termo do membro da direita da equacao acima, obtemos

‖ ~u + ~v ‖2 ≤ ‖ ~u ‖2 + 2 | 〈 ~u,~v 〉 | + ‖~v ‖2 .

Utilizando a desigualdade de Cauchy–Schwarz, obtemos

‖ ~u+ ~v ‖2 ≤ ‖ ~u ‖2 + 2 ‖ ~u ‖ ‖~v ‖ + ‖~v ‖2 = ( ‖ ~u ‖ + ‖~v ‖ )2 .

Portanto

‖ ~u+ ~v ‖2 ≤ ( ‖ ~u ‖ + ‖~v ‖ )2 =⇒ ‖ ~u+ ~v ‖ ≤ ‖ ~u ‖ + ‖~v ‖

provando a desigualdade triangular, o que completa a demonstracao. �



〈 ~x, ~y 〉 = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3

para todo ~x = (x1 , x2 , x3) , ~y = (y1 , y2 , y3) ∈ V 3, e a norma ‖ · ‖ proveniente desse

produto escalar, isto e,

‖ ~x ‖ =√

〈 ~x, ~x 〉 para todo ~x ∈ V 3 .

Determine a norma dos seguintes vetores:

(a) ~u = (1,−2, 1)

(b) ~v = (−4, 2,−2)

(c) ~w = (1,−1, 1)

Resolucao – Tomando a definicao da norma dada acima, tem–se

(a) ‖ ~u ‖ =√

〈 ~u, ~u 〉 =√6




〈 ~x, ~y 〉p = 2x1 y1 + 4x2 y2 + 6x3 y3



‖ ~x ‖ =√

〈 ~x, ~x 〉p para todo ~x ∈ V 3 .

Determine a norma dos seguintes vetores:

(a) ~u = (1,−2, 1)

(b) ~v = (−4, 2,−2)

(c) ~w = (1,−1, 1)

Resolucao – Tomando a definicao da norma dada acima, tem–se

(a) ‖ ~u ‖ =√

〈 ~u, ~u 〉p =√24 = 2

√6


Petronio Pulino 163

Definicao 3.2.3 Considere o espaco de vetores V 3 munido do produto escalar 〈 · , · 〉 e da

norma ‖ · ‖ proveniente desse produto escalar. Dizemos que o vetor ~u ∈ V 3 e um vetor

unitario se, e somente se, ‖ ~u ‖ = 1.

Definicao 3.2.4 Considere o espaco de vetores V 3 munido do produto escalar 〈 · , · 〉 e da

norma ‖ · ‖ proveniente desse produto escalar, e o vetor ~u ∈ V 3 nao–nulo. O vetor unitario

~n ∈ V 3 definido da forma:

~n =~u

‖ ~u ‖

e denominado versor do vetor ~u.


〈 ~x, ~y 〉 = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3



‖ ~x ‖ =√

〈 ~x, ~x 〉 para todo ~x ∈ V 3 .

Determine o versor dos seguintes vetores:

(a) ~u = (1,−2, 1)

(b) ~v = (−4, 2,−2)

(c) ~w = (1,−1, 1)

Resolucao – Os exemplos devem ser resolvidos cuidadosamente junto com a classe.



〈 ~x, ~y 〉p = 2x1 y1 + 3x2 y2 + 5x3 y3



‖ ~x ‖ =√

〈 ~x, ~x 〉p para todo ~x ∈ V 3 .

Determine o versor dos seguintes vetores:

(a) ~u = (1,−2, 1)

(b) ~v = (−4, 2,−2)

(c) ~w = (1,−1, 1)



Teorema 3.2.2 (Distancia Euclidiana) Considere o espaco de vetores V 3 munido com

o produto escalar 〈 · , · 〉 e com a norma ‖ · ‖ proveniente desse produto escalar. A aplicacao

d(·, ·) : V 3 × V 3 −→ IR

(~u,~v) −→ d(~u,~v) = ‖ ~u − ~v ‖

define uma metrica no espaco de vetores V 3.

Demonstracao – A prova pode ficar a cargo do leitor. �

Apresentamos a seguir uma interpretacao geometrica para a distancia Euclidiana. Considere

o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 , definido da seguinte forma:

〈 ~u,~v 〉 = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3

para todo ~u = (x1 , x2 , x3) , ~v = (y1 , y2 , y3) ∈ V 3, e da norma ‖ · ‖ proveniente desse


‖ ~u ‖ =√

〈 ~u, ~u 〉 =√

(x1)2 + (x2)2 + (x3)2 para todo ~u ∈ V 3 .

Desse modo, distancia Euclidiana entre os vetores ~u, ~v ∈ V 3, isto e,

d(~u,~v) = ‖ ~u − ~v ‖ =√

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + (x3 − y3)2

definida pela norma Euclidiana, representa a distancia entre as extremidades dos vetores

~u =−−→OB e ~v =

−→OA, isto e, o comprimento do segmento AB, como ilustra a Figura 3.4.

r✁✁✁✁✁✁✁✁✁✁✁✁✕

✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✯

~u

~v

❅❅❅

❅❅❅❘

~u −~v

O

rA

rB

Figura 3.4: Distancia Euclidiana entre os vetores ~u, ~v ∈ V 3

E importante recordar que o vetor diferenca entre os vetores

~u = (x1 , x2 , x3) e ~v = (y1 , y2 , y3) ∈ V 3 ,

e expresso da seguinte forma:

~u − ~v = (x1 − y1 , x2 − y2 , x3 − y3) .

Alem disso, nao podemos esquecer que a distancia Euclidiana depende o produto escalar

definido no espaco de vetores, como veremos nos exemplos a seguir.

Petronio Pulino 165


〈 ~u,~v 〉 = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3

para todo ~u = (x1 , x2 , x3) , ~v = (y1 , y2 , y3) ∈ V 3, e a norma ‖ · ‖ proveniente desse


‖ ~u ‖ =√

〈 ~u, ~u 〉 =√

(x1)2 + (x2)2 + (x3)2 para todo ~u ∈ V 3 .

Determine a distancia Euclidiana entre os vetores:

(a) ~u = (1,−2, 1) e ~v = (3,−1, 1)

(b) ~u = (2,−1, 1) e ~v = (−4, 2,−2)

(c) ~u = (1,−1, 1) e ~v = (2, 3, 1)




〈 ~u,~v 〉p = 2x1 y1 + 3x2 y2 + 5x3 y3

para todo ~u = (x1 , x2 , x3) , ~v = (y1 , y2 , y3) ∈ V 3, e a norma ‖ · ‖ proveniente desse


‖ ~u ‖ =√

〈 ~u, ~u 〉p =√

2(x1)2 + 3(x2)2 + 4(x3)2 para todo ~u ∈ V 3 .

Determine a distancia Euclidiana entre os vetores:

(a) ~u = (1,−2, 1) e ~v = (3,−1, 1)

(b) ~u = (2,−1, 1) e ~v = (−4, 2,−2)

(c) ~u = (1,−1, 1) e ~v = (2, 3, 1)



3.3 Definicao de Angulo e Ortogonalidade

Considere o espaco de vetores V 3 munido do produto escalar 〈 · , · 〉 e com a norma ‖ · ‖proveniente desse produto escalar. Podemos mostrar que, para quaisquer vetores nao–nulos

~u, ~v ∈ V 3 o quociente〈 ~u,~v 〉

‖ ~u ‖ ‖~v ‖ ∈ [−1, 1] .

De fato, pela desigualdade de Cauchy–Schwarz, sabemos que

〈 ~u,~v 〉2 ≤ 〈 ~u, ~u 〉〈~v,~v 〉 ⇐⇒ | 〈 ~u,~v 〉 | ≤ ‖ ~u ‖ ‖~v ‖ ⇐⇒ | 〈 ~u,~v 〉 |‖ ~u ‖ ‖~v ‖ ≤ 1 .

Desse modo, existe um numero real θ ∈ [0, 2π] tal que

〈 ~u,~v 〉‖ ~u ‖ ‖~v ‖ = cos(θ) .

Alem disso, existe um unico valor θ ∈ [0, π] satisfazendo a igualdade. Assim, podemos ter

a nocao de angulo entre dois vetores de espaco V 3 , que sera compatıvel com a definicao de

ortogonalidade que apresentamos a seguir.

Definicao 3.3.1 (Angulo) Considere o espaco de vetores V 3 munido do produto escalar

〈 · , · 〉 e com a norma ‖ · ‖ proveniente desse produto escalar. A medida do angulo entre

dois vetores nao–nulos ~u, ~v ∈ V 3 e definido como sendo o valor θ ∈ [0, π] que satisfaz a

equacao

cos(θ) =〈 ~u,~v 〉

‖ ~u ‖ ‖~v ‖ ⇐⇒ 〈 ~u,~v 〉 = ‖ ~u ‖ ‖~v ‖ cos(θ) . (3.2)

E importante observar que estamos considerando o menor angulo entre os vetores, como

ilustra a Figura 3.5.

q✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✯

✁✁✁✁✁✁✁✁✁✁✕

~u

~v

θ

...................

..................

.................

.................

....................................

O

Figura 3.5: Angulo entre dois vetores

E importante ressaltar que o conceito de angulo entre dois vetores depende do produto

escalar definido no espaco de vetores. Assim, o produto escalar define uma geometria no

espaco de vetores, como veremos nos exemplos a seguir.

Petronio Pulino 167


〈 ~x, ~y 〉 = x1 y1 + x2 y2

para todo ~x = (x1 , x2) , ~y = (y1 , y2) ∈ V 2, e da norma ‖ · ‖ proveniente desse produto

escalar. Determine a medida em graus do angulo entre os vetores ~u ,~v ∈ V 3 dados por:

~u = (2, 0) e ~v = (1, 1) .

Resolucao – Considerando a equacao (3.2), tem–se

cos(θ) =〈 ~u,~v 〉

‖ ~u ‖ ‖~v ‖ =2

2×√2

=

√2

2⇐⇒ θ = 45o ,

como ilustra a Figura 3.6.

✲

✻

0r ✲��✒

~u

~v

θ

.

.................

..................

..................

.................

Figura 3.6: Angulo entre dois vetores ~u, ~v ∈ V 2



〈 ~x, ~y 〉p = 2x1 y1 + 3x2 y2


escalar. Determine a medida em graus do angulo entre os vetores ~u ,~v ∈ V 3 dados por:

~u = (2, 0) e ~v = (1, 1) .

Resolucao – Considerando a equacao (3.2), tem–se

cos(θ) =〈 ~u,~v 〉p‖ ~u ‖ ‖~v ‖ =

4

(2×√2)×

√5

=

√10

5⇐⇒ θ ≈ 50.7685o .

Vamos comparar os resultados obtidos nos exemplos 3.3.1 e 3.3.2, nos quais consideramos os

mesmos vetores, entretanto os espacos de vetores V 3 estao munidos com produtos escalares

diferentes. No exemplo 3.3.2 o angulo entre os vetores ~u, ~v e maior que o angulo obtido no

exemplo 3.3.1. No exemplo 3.3.2 e como estar olhando o espaco de vetores V 3 com uma

lupa, como consequencia do produto escalar ponderado definido no espaco.


Definicao 3.3.2 (Ortogonalidade) Considere o espaco de vetores V 3 munido do produto

escalar 〈 · , · 〉 . Dizemos que os vetores ~u, ~v ∈ V 3 sao ortogonais se, e somente se,

〈 ~u,~v 〉 = 0 ,

e denotamos por ~u ⊥ ~v.

Podemos observar facilmente que

〈 ~u,~v 〉 = 0 ⇐⇒ cos(θ) = 0 ⇐⇒ θ =π

2para 0 ≤ θ ≤ π ,

mostrando a compatibilidade entre os conceitos de angulo e de ortogonalidade.

Teorema 3.3.1 Considere o espaco de vetores V 3 munido do produto escalar 〈 · , · 〉 .Temos as seguintes propriedades:

1. ~0 ⊥ ~v para todo ~v ∈ V 3

2. ~u ⊥ ~v implica ~v ⊥ ~u

3. Se ~v ⊥ ~u para todo ~u ∈ V 3, entao ~v = ~0

4. Se ~v ⊥ ~w e ~u ⊥ ~w, entao (~v + ~u) ⊥ ~w

5. Se ~v ⊥ ~u, entao λ~v ⊥ ~u para todo λ ∈ IR

Demonstracao – 1. Considerando um vetor nao–nulo ~u ∈ V 3 fixo, porem arbitrario.

Podemos escrever o vetor nulo como ~0 = ~u − ~u. Assim, utilizando o vetor nulo escrito

dessa forma, e a linearidade do produto escalar, obtemos

〈~0, ~v 〉 = 〈 ~u − ~u,~v 〉 = 〈 ~u,~v 〉 − 〈 ~u,~v 〉 = 0 para todo ~v ∈ V 3 ,

provando que ~0 ⊥ ~v para todo ~v ∈ V 3.

2. Considere ~u ⊥ ~v, isto e, 〈 ~u,~v 〉 = 0. Utilizando a simetria do produto escalar, segue

que 〈~v, ~u 〉 = 0. Assim, provamos ~v ⊥ ~u. O item 3. segue imediato do item 1.

4. Considere que ~v ⊥ ~w e ~u ⊥ ~w, isto e,

〈~v, ~w 〉 = 0 e 〈 ~u, ~w 〉 = 0 .

Somando ambos os termos, e usando a linearidade do produto escalar, obtemos

〈~v, ~w 〉 + 〈 ~u, ~w 〉 = 0 ⇐⇒ 〈~v + ~u, ~w 〉 = 0 ⇐⇒ ~v + ~u ⊥ ~w .

5. Considere que ~v ⊥ ~u, isto e, 〈~v, ~u 〉 = 0. Assim, usando a homogeneidade do produto

escalar, obtemos

λ〈~v, ~u 〉 = 0 ⇐⇒ 〈λ~v, ~u 〉 = 0 ⇐⇒ λ~v ⊥ ~u para todo λ ∈ IR ,

o que completa a demonstracao. �

Petronio Pulino 169


〈 ~x, ~y 〉 = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3

para todo ~x = (x1 , x2 , x3) , ~y = (y1 , y2 , y3) ∈ V 3, e da norma ‖ · ‖ proveniente desse

produto escalar. Determine a medida em graus do angulo entre os vetores:

(a) ~u = (1,−2, 1) e ~v = (3,−1, 1)

(b) ~u = (2,−1, 1) e ~v = (−4, 2,−2)

(c) ~u = (1,−1, 1) e ~v = (2, 3, 1)


〈 ~x, ~y 〉 = x1 y1 + x2 y2


escalar. Determine a medida em graus do angulo entre os vetores:

(a) ~u = (1,−2) e ~v = (−1, 1)

(b) ~u = (1, 1) e ~v = (2,−2)

(c) ~u = (1, 1) e ~v = (0, 1)



〈 ~x, ~y 〉p = 2x1 y1 + 4x2 y2 + 6x3 y3


produto escalar. Determine a medida em graus do angulo entre os vetores:

(a) ~u = (1,−2, 1) e ~v = (3,−1, 1)

(b) ~u = (2,−1, 1) e ~v = (−4, 2,−2)

(c) ~u = (1,−1, 1) e ~v = (2, 3, 1)



〈 ~x, ~y 〉p = 2x1 y1 + 4x2 y2


escalar. Determine a medida em graus do angulo entre os vetores:

(a) ~u = (1,−2) e ~v = (−1, 1)

(b) ~u = (1, 1) e ~v = (2,−2)

(c) ~u = (1, 1) e ~v = (0, 1)


Definicao 3.3.3 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 .Dizemos que o conjunto de vetores nao–nulos β = { ~u1, ~u2, ~u3 } ⊂ V 3 e um conjunto

ortogonal se, e somente se, 〈 ~ui, ~uj 〉 = 0 para i 6= j, i, j = 1, 2, 3.

Definicao 3.3.4 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 eda norma ‖ · ‖ proveniente desse produto escalar. Dizemos que o conjunto de vetores

β = { ~u1, ~u2, ~u3 } ⊂ V 3 e um conjunto ortonormal se, e somente se,

〈 ~ui, ~uj 〉 = 0 para i 6= j, i, j = 1, 2, 3, e ‖ ~ui ‖ = 1 para i = 1, 2, 3 .

Teorema 3.3.2 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 e danorma ‖ · ‖ proveniente desse produto escalar. Seja β = { ~u1, ~u2, ~u3 } ⊂ V 3 um conjunto

ortogonal (ortonormal). Entao, β e um conjunto linearmente independente em V 3.

Demonstracao – Para mostrar que β e um conjunto linearmente independente, basta

mostrar que a equacao

c1~u1 + c2~u2 + c3~u2 = ~0

e satisfeita somente para c1 = c2 = c3 = 0. Fazendo o produto escalar de ambos os

membros da equacao acima por cada um dos vetores do conjunto β,

〈 c1~u1 + c2~u2 + c3~u3, ~ui 〉 = 〈~0, ~ui 〉 ,

e utilizando as propriedades de produto escalar, tem–se

c1〈 ~u1, ~ui 〉 + c2〈 ~u2, ~ui 〉 + c3〈 ~u3, ~ui 〉 = 0 .

Utilizando a hipotese que β e um conjunto ortogonal, obtemos

ci〈 ~ui, ~ui 〉 = 0 ⇐⇒ ci = 0 para i = 1, 2, 3 ,

uma vez que 〈 ~ui, ~ui 〉 6= 0, o que completa a demonstracao. �

Exemplo 3.3.7 Considere o espaco de vetores V 3 munido do produto escalar 〈 · , · 〉 definidoda seguinte forma:

〈 ~x, ~y 〉 = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3


produto escalar. Podemos verificar facilmente que o conjunto β = { ~u1, ~u2, ~u3 }, onde

~u1 = (4, 1,−2) , ~u2 = (1, 2, 3) e ~u3 = (1,−2, 1) ,

e um conjunto ortogonal no espaco de vetores V 3 com relacao a produto escalar definido.

Petronio Pulino 171

Teorema 3.3.3 (Teorema de Pitagoras) Considere o espaco de vetores V 3 munido do

produto escalar 〈 · , · 〉 e da norma ‖ · ‖ proveniente desse produto escalar. Entao, os vetores

~u , ~v ∈ V 3 sao ortogonais se, e somente se,

‖ ~u + ~v ‖2 = ‖ ~u ‖2 + ‖~v ‖2 .

Demonstracao – Fazendo uso da definicao de norma Euclidiana e das propriedades de

produto escalar, obtemos

‖ ~u + ~v ‖2 = 〈 ~u + ~v, ~u + ~v 〉 = 〈 ~u, ~u 〉 + 2 〈 ~u,~v 〉 + 〈~v,~v 〉 .

Portanto,

‖ ~u + ~v ‖2 = ‖ ~u ‖2 + ‖~v ‖2 ⇐⇒ 〈 ~u,~v 〉 = 0 ⇐⇒ ~u ⊥ ~v ,


Teorema 3.3.4 (Lei do Paralelogramo) Considere o espaco de vetores V 3 munido do

produto escalar 〈 · , · 〉 e da norma ‖ · ‖ proveniente desse produto escalar. Entao, para todo

~u, ~v ∈ V 3 tem–se

‖ ~u + ~v ‖2 + ‖ ~u − ~v ‖2 = 2 ‖ ~u ‖2 + 2 ‖~v ‖2 .

Demonstracao – A prova pode ficar a cargo do leitor. �

Proposicao 3.3.1 (Lei dos Cossenos) Considere o espaco de vetores V 3 munido com

o produto escalar 〈 · , · 〉 e da norma ‖ · ‖ proveniente desse produto escalar, e os vetores

~u, ~v ∈ V 3 nao–nulos. Se θ e o angulo entre os vetores ~u e ~v, entao

‖ ~u ± ~v ‖2 = ‖ ~u ‖2 + ‖~v ‖2 ± 2 ‖ ~u ‖ ‖~v ‖ cos(θ) .

Demonstracao – Com algumas manipulacoes algebricas obtemos

‖ ~u ± ~v ‖2 = 〈 ~u + ~v, ~u + ~v 〉 = 〈 ~u, ~u 〉 ± 2 〈 ~u,~v 〉 + 〈~v,~v 〉 .

Da definicao de angulo entre os vetores ~u e ~v, equacao (3.2), tem–se

〈 ~u,~v 〉 = ‖ ~u ‖ ‖~v ‖ cos(θ) ,

que substituindo na equacao acima, obtemos

‖ ~u ± ~v ‖2 = ‖ ~u ‖2 + ‖~v ‖2 ± 2 ‖ ~u ‖ ‖~v ‖ cos(θ) ,



3.4 Projecao Ortogonal

Definicao 3.4.1 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 eda norma ‖ · ‖ proveniente desse produto escalar, e os vetores ~u , ~v ∈ V 3 nao–nulos. A

projecao ortogonal do vetor ~u na direcao do vetor ~v, que vamos indicar pelo vetor ~u1, e

definida da seguinte forma:

~u1 =−−→proj~v(~u) =

〈 ~u,~v 〉〈~v,~v 〉 ~v , (3.3)

onde o parametro λ∗ =〈 ~u,~v 〉〈~v,~v 〉 e o coeficiente da projecao ortogonal.

De fato, a projecao ortogonal do vetor ~u na direcao do vetor ~v, e um vetor λ∗~v de modo

que ~u = λ∗~v + ~w onde o vetor ~w e ortogonal ao vetor ~v, como ilustra a Figura 3.7.

Desse modo, tem–se

~w = ( ~u − λ∗~v ) ⊥ ~v ⇐⇒ 〈 ( ~u − λ∗~v ), ~v 〉 = 0 .

Portanto, da equacao acima, obtemos

〈 ( ~u − λ∗~v ), ~v 〉 = 0 ⇐⇒ λ∗ =〈 ~u,~v 〉〈~v,~v 〉 .

r ✲��

��✒~u

~v

✻

~w

✲λ∗~vO

Figura 3.7: Projecao Ortogonal


〈 ~x, ~y 〉 = x1 y1 + x2 y2


escalar. Determine a projecao ortogonal do vetor ~u ∈ V 2 na direcao do vetor ~v ∈ V 2,

dados por:

~u = (1, 3) e ~v = (3, 1) .

Resolucao – Considerando a definicao 3.4.1, sabemos que a projecao ortogonal do vetor

~u ∈ V 2 na direcao do vetor ~v ∈ V 2, nao–nulo, e o vetor ~u1 ∈ V 2 dado por:

~u1 =−−→proj~v(~u) =

〈 ~u,~v 〉〈~v,~v 〉 ~v =

6

10(3, 1) =

(

9

5,3

5

)

.

Petronio Pulino 173


〈 ~x, ~y 〉 = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3


produto escalar. Determine a projecao ortogonal do vetor ~u na direcao do vetor ~v:

(a) ~u = (1,−2, 1) e ~v = (3,−1, 1)

(b) ~u = (2,−1, 1) e ~v = (−4, 2,−2)

(c) ~u = (2, 3, 7) e ~v = (1, 1, 1)

Resolucao – Da definicao 3.4.1 sabemos que a projecao ortogonal do vetor ~u ∈ V 3 sobre

o vetor ~v ∈ V 3, nao–nulo, e o vetor dado por:

~u1 =−−→proj~v(~u) =

〈 ~u,~v 〉〈~v,~v 〉 ~v ,

(a) ~u1 =〈 ~u,~v 〉〈~v,~v 〉 ~v =

6

11(3,−1, 1)

A resolucao dos itens (b) e (c) deve ser feita junto com a classe.


〈 ·, · 〉p, definido da seguinte forma:

〈 ~x, ~y 〉p = 2x1 y1 + 3x2 y2 + 5x3 y3


produto escalar. Determine a projecao ortogonal do vetor ~u na direcao do vetor ~v:

(a) ~u = (1,−2, 1) e ~v = (3,−1, 1)

(b) ~u = (2,−1, 1) e ~v = (−4, 2,−2)

(c) ~u = (2, 3, 7) e ~v = (1, 1, 1)

Resolucao – Da definicao 3.4.1 sabemos que a projecao ortogonal do vetor ~u ∈ V 3 sobre

o vetor ~v ∈ V 3, nao–nulo, com relacao ao produto escalar ponderado, e o vetor dado por:

~u1 =−−→proj~v(~u) =

〈 ~u,~v 〉p〈~v,~v 〉p

~v ,

(a) ~u1 =〈 ~u,~v 〉p〈~v,~v 〉p

~v =17

14(3,−1, 1)

A resolucao dos itens (b) e (c) deve ser feita junto com a classe. E sempre importante

ressaltar que a geometria do espaco de vetores V 3 depende do produto escalar definido

nesse espaco, como mostram os resultados dos dois exemplos anteriores.


Problema de Minimizacao

Teorema 3.4.1 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 eda norma ‖ · ‖ proveniente desse produto escalar, os vetores ~u , ~v ∈ V 3 nao–nulos e o vetor

~u1 = λ∗ ~v ∈ V 3 a projecao ortogonal do vetor ~u na direcao do vetor ~v, isto e,

~w = ~u − λ∗ ~v ⊥ ~v com λ∗ =〈 ~u,~v 〉〈~v,~v 〉 . (3.4)

Considere a funcao auxiliar ϕ : IR −→ IR definida da seguinte forma:

ϕ(λ) = ‖ ~u − λ~v ‖2 . (3.5)

Entao, λ∗ e um ponto de mınimo global da funcao ϕ, isto e,

ϕ(λ∗) ≤ ϕ(λ) para λ ∈ IR . (3.6)

Demonstracao – Vamos escrever a funcao ϕ da seguinte forma:

ϕ(λ) = ‖ ~u − λ~v ‖2 = 〈 ~u − λ~v, ~u − λ~v 〉 .

Com algumas manipulacoes algebricas, obtemos

ϕ(λ) = 〈 ~u, ~u 〉 − 2λ 〈 ~u,~v 〉 + λ2 〈~v,~v 〉 .

Fazendo ϕ′(λ) = 0, obtemos o ponto crıtico λ∗ da forma:

−2 〈 ~u,~v 〉 + 2λ 〈~v,~v 〉 = 0 ⇐⇒ λ∗ =〈 ~u,~v 〉〈~v,~v 〉 . (3.7)

Analisando o sinal da segunda derivada da funcao auxiliar ϕ, ϕ′′(λ) = 2 〈~v,~v 〉 > 0 para

todo λ ∈ IR, mostramos que o ponto crıtico λ∗ e um ponto de mınimo global para a funcao

auxiliar ϕ, como ilustra a Figura 3.8. �

✲

✻

0

.

................................................

.............................................

..........................................

.......................................

...................................

................................

.............................

..........................

.......................

...................

................................... ................ .............. .............. ................

...................................

...................

.......................

..........................

.............................

................................

...................................

.......................................

..........................................

.............................................

................................................

λ∗

λ

ϕ

Figura 3.8: Grafico e ponto de mınimo da funcao auxiliar ϕ.

E importante observar, que utilizando a definicao de distancia Euclidiana entre dois vetores,

Teorema 3.2.2, podemos interpretar a minimizacao da funcao auxiliar ϕ como sendo a

minimizacao da distancia entre a extremidade do vetor ~u e a extremidade de qualquer vetor

λ~v que estao na direcao do vetor ~v.

Petronio Pulino 175

3.5 Base Ortogonal. Coordenadas

Definicao 3.5.1 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 eda norma ‖ · ‖ proveniente desse produto escalar. Dizemos que β = { ~u1, ~u2, ~u3 } ⊂ V 3 e

uma base ortogonal (ortonormal) se β e um conjunto ortogonal (ortonormal) em V 3.

Teorema 3.5.1 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 eda norma ‖ · ‖ proveniente desse produto escalar. Seja β = { ~u1, ~u2, ~u3 } ⊂ V 3 uma base

base ortogonal para V 3. Entao, todo vetor ~u ∈ V 3 e escrito de modo unico da forma:

~u = c1~u1 + c2~u2 + c3~u3 com ci =〈 ~u, ~ui 〉〈 ~ui, ~ui 〉

, (3.8)

onde c1, c2, c3 sao as coordenadas do vetor ~u com relacao a base ortogonal β. No caso em

que β e uma base ortonormal para V 3 as coordenadas do vetor ~u sao dadas por:

ci = 〈 ~u, ~ui 〉 para i = 1, 2, 3 .

Demonstracao – Pelo Teorema 2.4.1 sabemos que todo vetor ~u ∈ V 3 pode ser escrito de

modo unico como uma combinacao linear dos vetores da base ortogonal β = { ~u1, ~u2, ~u3 },isto e,

~u = c1~u1 + c2~u2 + c3~u3 .

Fazendo o produto escalar do vetor ~u por cada um dos vetores ~ui da base ortogonal, tem–se

〈 ~u, ~ui 〉 = 〈 c1~u1 + c2~u2 + c3~u3, ~ui 〉 = c1〈 ~u1, ~ui 〉 + c2〈 ~u2, ~ui 〉 + c3〈 ~u3, ~ui 〉 = ci〈 ~ui, ~ui 〉

uma vez que 〈 ~uj, ~ui 〉 = 0 para i 6= j, i, j = 1, 2, 3. Assim, obtemos

ci =〈 ~u, ~ui 〉〈 ~ui, ~ui 〉

para i = 1, 2, 3 .

Considerando que a base β seja ortonormal, obtemos

ci = 〈 ~u, ~ui 〉 para i = 1, 2, 3 ,

uma vez que 〈 ~ui, ~ui 〉 = 1 para i = 1, 2, 3, o que completa a demonstracao. �

E importante lembrar que a matriz de coordenadas do vetor ~u com relacao a base ordenada

β e escrita da seguinte forma:

[~u]β =

c1c2c3

. (3.9)


Teorema 3.5.2 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 e danorma ‖ · ‖ proveniente desse produto escalar. Seja β = { ~u1, ~u2, ~u3 } uma base ortonormal

para V 3, e os vetor ~u, ~v ∈ V 3 escritos em relacao a base ortonormal β da forma:

~u = b1~u1 + b2~u2 + b3~u3 e ~v = c1~u1 + c2~u2 + c3~u3 ,

onde as coordenadas dos vetores ~u e ~v com relacao a base ortonormal β sao dados por:

bi = 〈 ~u, ~ui 〉 e ci = 〈~v, ~ui 〉 para i = 1, 2, 3 .

Entao, o produto escalar entre os vetores ~u e ~v e escrito de modo unico da forma:

〈 ~u,~v 〉 = b1 c1 + b2 c2 + b3 c3 .

Demonstracao – Fazendo o produto escalar entre os vetores ~u e ~v, obtemos

〈 ~u,~v 〉 = 〈3

∑

i=1

bi~ui,

3∑

j=1

cj~uj 〉

=3

∑

i=1

3∑

j=1

bi cj 〈 ~ui, ~uj 〉

=3

∑

i=1

bi ci

= b1 c1 + b2 c2 + b3 c3 ,

uma vez que β = { ~u1, ~u2, ~u3 } e uma base ortonormal, o que completa a demonstracao. �

E importante ressaltar que considerando as matrizes de coordenadas dos vetores ~u e ~v, com

relacao a base ortonormal β, que sao escritas da seguinte forma:

[~u]β =

b1b2b3

e [~v]β =

c1c2c3

, (3.10)

podemos escrever o produto escalar entre os vetores ~u e ~v, de acordo com o Teorema 3.5.2,

da seguinte forma:〈 ~u,~v 〉 = b1 c1 + b2 c2 + b3 c3

= [~u]tβ [~v]β

=[

b1 b2 b3]

c1c2c3

.

(3.11)

Petronio Pulino 177


〈 ~x, ~y 〉 = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3


produto escalar. Podemos verificar facilmente que a base canonica β = {~e1, ~e2, ~e3 }, onde

~e1 = (1, 0, 0) , ~e2 = (0, 1, 0) e ~e3 = (0, 0, 1) ,

e uma base ortonormal para V 3.


〈 ~x, ~y 〉 = x1 y1 + x2 y2


escalar. Podemos verificar facilmente que a base canonica β = {~e1, ~e2 }, onde

~e1 = (1, 0) e ~e2 = (0, 1) ,



〈 ~x, ~y 〉 = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3


produto escalar. Podemos verificar facilmente que a base β = { ~u1, ~u2, ~u3 }, onde

~u1 = (1, 0,−1) , ~u2 = (0, 1, 0) e ~u3 = (1, 0, 1) ,

e uma base ortogonal para V 3.


〈 ~x, ~y 〉 = x1 y1 + x2 y2


escalar. Podemos verificar facilmente que a base β = { ~u1, ~u2 }, onde

~u1 =

√2

2(1, 1) e ~u2 =

√2

2(1,−1) ,




〈 ~x, ~y 〉 = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3


produto escalar. Determine as coordenadas dos seguintes vetores:

(a) ~u = (3,−2,−1)

(b) ~v = (−1, 2,−2)

(c) ~w = (2, 1, 1)

com relacao a base ortogonal β = { ~u1, ~u2, ~u3 }, onde

~u1 = (1, 0,−1) , ~u2 = (0, 1, 0) e ~u3 = (1, 0, 1) .

Resolucao – Tomando a definicao de produto escalar e a base ortogonal dados acima,

sabemos que

(a) ~u = c1 ~u1 + c2 ~u2 + c3 ~u3, onde

c1 =〈 ~u, ~u1 〉〈 ~u1, ~u1 〉

= 2 , c2 =〈 ~u, ~u2 〉〈 ~u2, ~u2 〉

= −2 e c3 =〈 ~u, ~u3 〉〈 ~u3, ~u3 〉

= 1 .

Assim, tem–se

~u = (3,−2,−1) = 2× (1, 0,−1) − 2× (0, 1, 0) + 1× (1, 0, 1) .



〈 ~x, ~y 〉 = x1 y1 + x2 y2


escalar. Determine as coordenadas dos seguintes vetores:

(a) ~u = (3,−1)

(b) ~v = (−1, 2)

(c) ~w = (2, 3)

com relacao a base ortogonal β = { ~u1, ~u2 }, onde

~u1 = (1, 1) e ~u2 = (1,−1) .


Petronio Pulino 179

3.6 Processo de Ortogonalizacao

O Processo de Ortogonalizacao tem por objetivo obter a partir de uma base ordenada

β = {~v1, ~v2, ~v3 } para o espaco de vetores V 3, munido do produto escalar 〈 · , · 〉 , da norma

‖ · ‖ proveniente desse produto escalar, uma base ortogonal γ = { ~q1, ~q2, ~q3 } com relacao

ao produto escalar definido no espaco V 3. O processo de ortogonalizacao e um processo

construtivo, e de facil programacao. A seguir apresentamos a construcao da base ortogonal.

Para isso, inicialmente escolhemos o vetor ~q1 = ~v1. Em seguida construımos o vetor ~q2 da

seguinte forma:

~q2 = ~v2 − a1 ~q1 ⊥ ~q1 ⇐⇒ 〈 ~q2, ~q1 〉 = 0 .

Tomando a condicao acima, obtemos

〈 ~q2, ~q1 〉 = 0 ⇐⇒ 〈~v2, ~q1 〉 − a1 〈 ~q1, ~q1 〉 = 0 ⇐⇒ a1 =〈~v2, ~q1 〉〈 ~q1, ~q1 〉

.

Assim, o vetor ~q2 e dado por:

~q2 = ~v2 − a1 ~q1 com a1 =〈~v2, ~q1 〉〈 ~q1, ~q1 〉

. (3.12)

Em seguida construımos o vetor ~q3 da seguinte forma:

~q3 = ~v3 − b1 ~q1 − b2 ~q2 ⊥ ~q1 ⇐⇒ 〈 ~q3, ~q1 〉 = 0

~q3 = ~v3 − b1 ~q1 − b2 ~q2 ⊥ ~q2 ⇐⇒ 〈 ~q3, ~q2 〉 = 0

Tomando as condicoes acima, obtemos

〈~v3, ~q1 〉 − b1 〈 ~q1, ~q1 〉 − b2 〈 ~q2, ~q1 〉 = 0 ⇐⇒ b1 =〈~v3, ~q1 〉〈 ~q1, ~q1 〉

〈~v3, ~q2 〉 − b1 〈 ~q1, ~q2 〉 − b2 〈 ~q2, ~q2 〉 = 0 ⇐⇒ b2 =〈~v3, ~q2 〉〈 ~q2, ~q2 〉

uma vez que 〈 ~q1, ~q2 〉 = 〈 ~q2, ~q1 〉 = 0.

Desse modo, o vetor ~q3 e dado por:

~q3 = ~v3 − b1 ~q1 − b2 ~q2 com b1 =〈~v3, ~q1 〉〈 ~q1, ~q1 〉

e b2 =〈~v3, ~q2 〉〈 ~q2, ~q2 〉

. (3.13)

Finalmente, para obter uma base ortonormal γ∗, basta dividir cada vetor da base ortogonal

γ pela respectiva norma, isto e,

γ∗ =

{

~q1

‖ ~q1 ‖,

~q2

‖ ~q2 ‖,

~q3

‖ ~q3 ‖

}

.

O Processo de Ortogonalizacao e estudado de forma mais detalhada na disciplina de Algebra

Linear, denominadoProcesso de ortogonalizacao de Gram–Schmidt. Para os objetivos

da disciplina de Geometria Analıtica e suficiente o que foi apresentado de forma resumida.


Interpretacao Geometrica de Gram–Schmidt

Nessa secao apresentamos a interpretacao geometrica para o Processo de Ortogonalizacao de

Gram–Schmidt, que tem por objetivo obter a partir de uma base ordenada β = {~v1, ~v2, ~v3 },para o espaco de vetores V 3, uma base ortogonal γ = { ~q1, ~q2, ~q3 } com relacao ao produto

escalar definido no espaco. O processo de ortogonalizacao e um processo construtivo que

esta baseado em projecoes ortogonais.

Como foi visto, inicialmente escolhemos o vetor q1 = v1. Em seguida construımos o vetor

~q2 da seguinte forma:

~q2 = ~v2 − a1 ~q1 ⊥ ~q1 com a1 =〈~v2, ~q1 〉〈 ~q1, ~q1 〉

. (3.14)

Note que o vetor ~w1 expresso da forma:

~w1 = a1 ~q1 com a1 =〈~v2, ~q1 〉〈 ~q1, ~q1 〉

(3.15)

e a projecao ortogonal do vetor ~v2 na direcao do vetor ~q1, isto e, e a projecao ortogonal

do vetor ~v2 sobre a reta r que passa pela origem e e gerada pelo vetor ~q1, cuja equacao

vetorial e dada por:

r : X = O + λ ~q1 para λ ∈ IR . (3.16)

Na Figura 3.9 ilustramos a situacao descrita acima.

r ✲��

��

��✒~v2

~q1

✻

~q2 = ~v2 − a1q1

✲~w1 = a1~q1O

r

��

��

��

��

π1

Figura 3.9: Construcao do vetor ~q2

Petronio Pulino 181

Geometricamente temos que o vetor ~q2, dado pela equacao (3.14), e a projecao ortogonal do

vetor ~v2 sobre o plano π1 que passa pela origem e e perpendicular a reta r.

Finalmente, construımos o vetor ~q3 da seguinte forma:

~q3 = ~v3 − b1 ~q1 − b2 ~q2 com b1 =〈~v3, ~q1 〉〈 ~q1, ~q1 〉

e b2 =〈~v3, ~q2 〉〈 ~q2, ~q2 〉

. (3.17)

O vetor ~w2 expresso da forma:

~w2 = b1 ~q1 + b2 ~q2 com b1 =〈~v3, ~q1 〉〈 ~q1, ~q1 〉

e b2 =〈~v3, ~q2 〉〈 ~q2, ~q2 〉

(3.18)

e a projecao ortogonal do vetor ~v3 sobre o plano π2 que passa pela origem e e gerado pelos

vetores ortogonais { ~q1 , ~q2 }, cuja equacao vetorial e dada por:

π2 : X = O + λ1 ~q1 + λ2 ~q2 para λ1, λ2 ∈ IR . (3.19)

Na Figura 3.10 ilustramos a situacao descrita acima.

r��

��

��✒~v3

✻

~q3

✲~w2

��

��

��

��

��π2

O

s

Figura 3.10: Construcao do vetor ~q3

Do ponto de vista geometrico temos que o vetor ~q3, dado pela equacao (3.17), e a projecao

ortogonal do vetor ~v3 sobre a reta s que passa pela origem e e perpendicular ao plano π2.

Vamos apresentar um estudo mais detalhado para a interpretacao geometrica do processo de

Gram–Schmidt por ocasiao do estudo de reta e de plano no espaco, onde novamente vamos

abordar o tema sobre projecoes ortogonais.


Para exemplificar o processo de ortogonalizacao de Gram–Schmidt, vamos considerar o

espaco de vetores V 3 munido do produto escalar 〈 · , · 〉 definido da seguinte forma:

〈 ~x, ~y 〉 = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3

para todo ~x = (x1 , x2 , x3) , ~y = (y1 , y2 , y3) ∈ V 3, da norma ‖ · ‖ proveniente desse

produto escalar, e da base ordenada β = {~v1, ~v2, ~v3 } onde

~v1 = (1, 0, 1) , ~v2 = (0, 1, 1) e ~v3 = (1, 1, 0) .

Vamos obter uma base ortogonal γ = { ~q1, ~q2, ~q3 }, com relacao ao produto escalar definido

no espaco V 3, a partir da base ordenada β dada acima. Para isso, inicialmente escolhemos

o vetor ~q1 = ~v1 = (1, 0, 1).


~q2 = ~v2 − a1 ~q1 ⊥ ~q1 ⇐⇒ 〈 ~q2, ~q1 〉 = 0 .


〈 ~q2, ~q1 〉 = 0 ⇐⇒ 〈~v2, ~q1 〉 − a1 〈 ~q1, ~q1 〉 = 0 ⇐⇒ a1 =〈~v2, ~q1 〉〈 ~q1, ~q1 〉

=1

2.


~q2 = ~v2 − a1 ~q1 = (0, 1, 1) − 1

2(1, 0, 1) =

1

2(−1, 2, 1) .


~q3 = ~v3 − b1 ~q1 − b2 ~q2 ⊥ ~q1 ⇐⇒ 〈 ~q3, ~q1 〉 = 0

~q3 = ~v3 − b1 ~q1 − b2 ~q2 ⊥ ~q2 ⇐⇒ 〈 ~q3, ~q2 〉 = 0


〈~v3, ~q1 〉 − b1 〈 ~q1, ~q1 〉 − b2 〈 ~q2, ~q1 〉 = 0 ⇐⇒ b1 =〈~v3, ~q1 〉〈 ~q1, ~q1 〉

=1

2

〈~v3, ~q2 〉 − b1 〈 ~q1, ~q2 〉 − b2 〈 ~q2, ~q2 〉 = 0 ⇐⇒ b2 =〈~v3, ~q2 〉〈 ~q2, ~q2 〉

=1

3

uma vez que 〈 ~q1, ~q2 〉 = 〈 ~q2, ~q1 〉 = 0.


~q3 = ~v3 − b1 ~q1 − b2 ~q2 = (1, 1, 0) − 1

2(1, 0, 1) − 1

6(−1, 2, 1) =

1

3(2, 2,−2) .

Portanto, a base ortogonal γ e dada por:

γ =

{

(1, 0, 1) ,1

2(−1, 2, 1) ,

1

3(2, 2,−2)

}

.

Petronio Pulino 183


〈 ~x, ~y 〉 = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3


produto escalar, e o conjunto de vetores β = {~v1, ~v2, ~v3 } ⊂ V 3, onde

~v1 = (1,−3, 1) e ~v2 = (2, 1, 1).

Determine um vetor ~v3 de modo que o conjunto β seja uma base ortogonal com relacao ao

produto escalar definido no espaco V 3.

Resolucao – Podemos verificar facilmente que os vetores ~v1 e ~v2 sao ortogonais em V 3.

Desse modo, considerando o processo de ortogonalizacao de Gram–Schmidt, escolhemos um

vetor ~w ∈ V 3 de modo que o conjunto {~v1, ~v2, ~w } ⊂ V 3 seja uma base para V 3. Por

exemplo, podemos escolher o vetor ~w = (0, 0, 1) . Em seguida, construımos o vetor ~v3 da

seguinte forma:

~v3 = ~w − b1 ~v1 − b2 ~v2 ⊥ ~v1 ⇐⇒ 〈~v3, ~v1 〉 = 0

~v3 = ~w − b1 ~q1 − b2 ~v2 ⊥ ~v2 ⇐⇒ 〈~v3, ~v2 〉 = 0


〈 ~w,~v1 〉 − b1 〈~v1, ~v1 〉 − b2 〈~v2, ~q1 〉 = 0 ⇐⇒ b1 =〈 ~w,~v1 〉〈~v1, ~v1 〉

=1

11

〈 ~w,~v2 〉 − b1 〈~v1, ~v2 〉 − b2 〈~v2, ~v2 〉 = 0 ⇐⇒ b2 =〈 ~w,~v2 〉〈~v2, ~v2 〉

=1

6

uma vez que 〈~v1, ~v2 〉 = 〈~v2, ~v1 〉 = 0.

Desse modo, o vetor ~v3 e dado por:

~v3 = ~w − b1 ~v1 − b2 ~v2

= (0, 0, 1) − 1

11(1,−3, 1) − 1

6(2, 1, 1)

=1

66(−28, 7, 49)

E importante ressaltar que o vetor ~v3 depende da escolha do vetor ~w em particular. Assim,

existem infinitos vetores ~v3 de modo que β seja uma base ortogonal.



〈 ~x, ~y 〉 = x1 y1 + x2 y2

para todo ~x = (x1 , x2) , ~y = (y1 , y2) ∈ V 2, da norma ‖ · ‖ proveniente desse produto

escalar, e da base ordenada β = { ~v1 = (2, 1) , ~v2 = (1, 1) }. Determine a partir da base

ordenada β uma base ordenada ortonormal γ∗ com relacao ao produto escalar definido no

espaco V 2.

Resolucao – Inicialmente escolhemos o vetor ~q1 = ~v1 = (2, 1). Em seguida, construımos

o vetor ~q2 da seguinte forma:

~q2 = ~v2 − a1 ~q1 ⊥ ~q1 ⇐⇒ 〈 ~q2, ~q1 〉 = 0 .

Tomando a condicao acima, tem–se

〈 ~q2, ~q1 〉 = 0 ⇐⇒ 〈~v2, ~q1 〉 − a1 〈 ~q1, ~q1 〉 = 0 ⇐⇒ a1 =〈~v2, ~q1 〉〈 ~q1, ~q1 〉

=3

5.


~q2 = ~v2 − a1 ~q1 = (1, 1) − 3

5(2, 1) =

3

5(−1, 2) .

Desse modo, obtemos a base ortogonal γ e dada por:

γ =

{

(2, 1) ,3

5(−1, 2)

}

.

Para determinar a base ortonormal γ∗ basta dividir cada vetor da base ortogonal γ pela

respectiva norma. Portanto, obtemos

γ∗ =

{√5

5(2, 1) ,

√5

5(−1, 2)

}

.


〈 ~x, ~y 〉 = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3


produto escalar, e o conjunto de vetores β = {~v1, ~v2, ~v3 } ⊂ V 3, onde

~v1 = (a, 1, b) , ~v2 = (1, c, 3) e ~v3 = (1,−c, 1).

Determine os valores dos parametros a, b, c ∈ IR de modo que o conjunto β seja uma

base ortogonal com relacao ao produto escalar definido no espaco V 3.


Petronio Pulino 185


〈 ~x, ~y 〉 = x1 y1 + x2 y2

para todo ~x = (x1 , x2) , ~y = (y1 , y2) ∈ V 2, da norma ‖ · ‖ proveniente desse produto

escalar, e da base ordenada β = { ~v1 = (1, 1) , ~v2 = (2, 1) }. Determine a partir da base

ordenada β uma base ordenada ortonormal γ∗ com relacao ao produto escalar definido no

espaco V 2.

Resolucao – Inicialmente escolhemos o vetor ~q1 = ~v1 = (1, 1). Em seguida, construımos

o vetor ~q2 da seguinte forma:

~q2 = ~v2 − a1 ~q1 ⊥ ~q1 ⇐⇒ 〈 ~q2, ~q1 〉 = 0 .

Tomando a condicao acima, tem–se

〈 ~q2, ~q1 〉 = 0 ⇐⇒ 〈~v2, ~q1 〉 − a1 〈 ~q1, ~q1 〉 = 0 ⇐⇒ a1 =〈~v2, ~q1 〉〈 ~q1, ~q1 〉

=3

2.


~q2 = ~v2 − a1 ~q1 = (2, 1) − 3

2(1, 1) =

3

2(1,−1) .

Desse modo, obtemos a base ortogonal γ e dada por:

γ =

{

(1, 1) ,3

2(1,−1)

}

.



γ∗ =

{√2

2(1, 1) ,

√2

2(1,−1)

}

.


〈 ~x, ~y 〉 = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3


produto escalar, e da base ordenada β = {~v1, ~v2, ~v3 } onde

~v1 = (1, 1, 1) , ~v2 = (1, 0, 1) e ~v3 = (1, 1, 0) .

Determine a partir da base ordenada β uma base ordenada ortonormal γ∗ com relacao ao

produto escalar definido no espaco V 3.

Resolucao – Inicialmente, vamos obter uma base ortogonal γ = { ~q1, ~q2, ~q3 }, com relacao

ao produto escalar definido no espaco V 3, a partir da base ordenada β dada acima.


Para isso, inicialmente escolhemos o vetor ~q1 = ~v1 = (1, 1, 1). Em seguida construımos o

vetor ~q2 da seguinte forma:

~q2 = ~v2 − a1 ~q1 ⊥ ~q1 ⇐⇒ 〈 ~q2, ~q1 〉 = 0 .


〈 ~q2, ~q1 〉 = 0 ⇐⇒ 〈~v2, ~q1 〉 − a1 〈 ~q1, ~q1 〉 = 0 ⇐⇒ a1 =〈~v2, ~q1 〉〈 ~q1, ~q1 〉

=2

3.


~q2 = ~v2 − a1 ~q1 = (1, 0, 1) − 2

3(1, 1, 1) =

2

3(1,−2, 1) .


~q3 = ~v3 − b1 ~q1 − b2 ~q2 ⊥ ~q1 ⇐⇒ 〈 ~q3, ~q1 〉 = 0

~q3 = ~v3 − b1 ~q1 − b2 ~q2 ⊥ ~q2 ⇐⇒ 〈 ~q3, ~q2 〉 = 0


〈~v3, ~q1 〉 − b1 〈 ~q1, ~q1 〉 − b2 〈 ~q2, ~q1 〉 = 0 ⇐⇒ b1 =〈~v3, ~q1 〉〈 ~q1, ~q1 〉

=2

3

〈~v3, ~q2 〉 − b1 〈 ~q1, ~q2 〉 − b2 〈 ~q2, ~q2 〉 = 0 ⇐⇒ b2 =〈~v3, ~q2 〉〈 ~q2, ~q2 〉

= −1

4

uma vez que 〈 ~q1, ~q2 〉 = 〈 ~q2, ~q1 〉 = 0.


~q3 = ~v3 − b1 ~q1 − b2 ~q2 = (1, 1, 0) − 2

3(1, 1, 1) +

1

6(1,−2, 1) =

1

6(3, 0,−3) .

Portanto, a base ortogonal γ e dada por:

γ =

{

(1, 1, 1) ,2

3(1,−2, 1) ,

1

6(3, 0,−3)

}

.



γ∗ =

{√3

3(1, 1, 1) ,

√5

5(1,−2, 1) ,

√2

6(3, 0,−3)

}

.

Petronio Pulino 187

3.7 Exercıcios

Em todos os Exercıcios, considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar

〈 · , · 〉 , definido da seguinte forma:

〈 ~u,~v 〉 = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3

e com a norma proveniente desse produto escalar, denominadaNorma Euclidiana, definida

da seguinte forma:

‖ ~u ‖ =√

〈 ~u, ~u 〉 =√

(x1)2 + (x2)2 + (x3)2

para todo ~u = (x1 , x2 , x3) , ~v = (y1 , y2 , y3) ∈ V 3.

Exercıcio 3.7.1 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 .Determine o conjunto de todos os vetores do espaco V 3 que sao paralelos ao vetor

~u = (1, 1, 1) .

Exercıcio 3.7.2 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 .Descreva o conjunto de todos os vetores do espaco V 3 que sao ortogonais ao vetor

~u = (1, 0,−1) .

Exercıcio 3.7.3 Qual o significado geometrico dos conjuntos encontrados nos item (a)?

Exercıcio 3.7.4 Qual o significado geometrico dos conjuntos encontrados nos item (b)?

Exercıcio 3.7.5 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 .Decompor o vetor ~w = (−1,−3,−2) como soma de dois vetores, isto e, ~w = ~u+ ~v, onde o

vetor ~u e paralelo ao vetor ~v1 = (0, 1, 3) e o vetor ~v e ortogonal ao vetor ~v1 = (0, 1, 3).

Sugestao: o vetor ~u pode ser escolhido como sendo a projecao ortogonal do vetor ~w na

direcao do vetor ~v1 = (0, 1, 3).

Exercıcio 3.7.6 Considere os pontos A , B , C do espaco Euclideano IE3 dados por:

A = (3,−2, 8) , B = (0, 0, 2) e C = (2, 3, 2) .

(a) Usando os conceitos de vetores mostre que o triangulo ABC e um triangulo retangulo.

(b) Determine o ponto H no lado AC, do triangulo ABC, para o qual os segmentos AC

e HB sao ortogonais.

(c) Determine a area do triangulo ABC.

Sugestao: o vetor−−→AH e a projecao ortogonal do vetor

−→AB na direcao do vetor

−→AC.


Exercıcio 3.7.7 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 .Determine um vetor ~u ∈ V 3 que seja ortogonal aos vetores

~v1 = (2, 3,−1) e ~v2 = (2,−4, 6)

tal que ‖ ~u ‖ = 3√3.

Exercıcio 3.7.8 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 .Sejam γ∗ = { ~q1, ~q2, ~q3 } uma base ordenada ortonormal para o espaco de vetores V 3, ~u

e ~v vetores quaisquer de V 3 cujas matrizes de coordenadas em relacao a base ortonormal

γ∗ sao dadas por:

[~u]γ =

a1

b1

c1

e [~v]γ =

a2

b2

c2

.

(a) Mostre que qualquer vetor ~w ∈ V 3 pode ser escrito da forma:

~w = 〈 ~w, ~q1 〉 ~q1 + 〈 ~w, ~q2 〉 ~q2 + 〈 ~w, ~q3 〉 ~q3 ,

apresentando uma interpretacao geometrica.

(b) Mostre que o produto escalar entre os vetores ~u e ~v pode ser escrito da forma:

〈 ~u,~v 〉 = a1a2 + b1b2 + c1c2 .

Exercıcio 3.7.9 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 .Dados os vetores ~u = (1, 1, 0) e ~v = (0, 1, 1), determine o vetor ~w ∈ V 3 de modo

que ‖ ~w ‖ = 1 e 〈 ~u, ~w 〉 = 〈~v, ~w 〉 = 0. De uma interpretacao geometrica.

Exercıcio 3.7.10 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 eda norma ‖ · ‖ proveniente desse produto escalar. Mostre que, para ~u , ~v ∈ V 3,

‖ ~u ‖ = ‖~v ‖ ⇐⇒ 〈 ~u + ~v, ~u − ~v 〉 = 0 ,

Exercıcio 3.7.11 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 eda norma ‖ · ‖ proveniente desse produto escalar. Mostre que, para ~u, ~v ∈ V 3 nao–nulos,

〈 ~u,~v 〉 = 0 ⇐⇒ ‖ ~u + α~v ‖ ≥ ‖ ~u ‖ para todo α ∈ IR .

Exercıcio 3.7.12 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 .Determine os valores do parametro α ∈ IR, se possıvel, de modo que os vetores

~u = (1, 2, α) e ~v = (α,−1, α)

sejam ortogonais, isto e, 〈 ~u,~v 〉 = 0.

Petronio Pulino 189

Exercıcio 3.7.13 Considere o espaco de vetores V 3 munido do produto escalar 〈 ·, · 〉 e da

norma ‖ · ‖ proveniente desse produto escalar, e os vetores dados por:

~u1 = (1, 0,−1) , ~u2 = (1,−1, 1) e ~u3 = (−1, 1, 0) .

(a) Mostre que β = { ~u1, ~u2, ~u3 } e uma base para V 3, isto e,

(i) Mostre que todo vetor ~u = (a, b, c) ∈ V 3 pode ser escrito como uma combinacao

linear dos elementos de β.

(ii) Mostre que β e linearmente independente.

(b) Determine uma base ortogonal γ = {~q1, ~q2, ~q3 } a partir da base β.

(c) Determine as coordenadas do vetor ~w = (1,−3, 2) com relacao a base ortogonal γ.


3.8 Distancia de Ponto a Ponto

Definicao 3.8.1 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 eda norma ‖ · ‖ proveniente desse produto escalar. Sejam O um ponto do espaco IE3 e

γ∗ = { ~q1, ~q2, ~q3 } uma base ordenada ortonormal para o espaco de vetores V 3. Definimos

por Σ = (O, ~q1, ~q2, ~q3), ou por Σ = (O, γ∗), o Sistema Ortogonal de Coordenadas

para o espaco IE3, onde o ponto O ∈ IE3 e a origem do sistema ortogonal de coordenadas.

0r

��

��

��

��

��✠

✲

✻

��

��✠~q1

✲~q2

✻~q3

Figura 3.11: Sistema de coordenadas para o espaco tridimensional IE3.

Considere agora os pontos A, B, C ∈ IE3 definidos da seguinte forma:

A = O + ~q1 , B = O + ~q2 e C = O + ~q3 , (3.20)

que e o mesmo conceito de adicao de ponto com vetor estudado na secao 2.2.3.

Cada uma das retas suporte dos segmentos OA, OB e OC sao denominadas de eixos

coordenados, respectivamente, eixo das abscissas (OX ), eixo das ordenadas (OY ) e

eixo das cotas (OZ ), como ilustra a Figura 3.11.

De modo analogo, temos os planos coordenadas, denominados plano OXY (determinado

pelos pontos O, A, B), plano OXZ (determinado pelos pontos O, A, C) e plano OYZ

(determinado pelos pontos O, B, C).

Cada um dos planos coordenados dividem separadamente o espaco IE3 em dois semiespacos,

por exemplo, o plano coordenado OXY divide o espaco em dois semiespacos: um semiespaco

situado na direcao positiva do eixo OZ e outro na direcao negativa do eixo OZ .

Petronio Pulino 191

Os tres planos coordenados dividem conjuntamente o espaco IE3 em oito partes, os quais

denominamos de octantes coordenados. Os octantes coordenados sao enumerados da

seguinte forma:Octante eixo OX eixo OY eixo OZ

I positivo positivo positivo

II negativo positivo positivo

III negativo negativo positivo

IV positivo negativo positivo

V positivo positivo negativo

VI negativo positivo negativo

VII negativo negativo negativo

VIII positivo negativo negativo

Considerando o sistema ortogonal de coordenadas Σ = (O, ~q1, ~q2, ~q3), dado um ponto

P ∈ IE3 podemos representar o vetor−→OP da seguinte forma:

−→OP = x ~q1 + y ~q2 + z ~q3 , (3.21)

onde a terna ordenada (x, y, z) e denominada coordenadas cartesianas do ponto P ,

determinada de maneira unica pelo sistema ortogonal de coordenadas Σ = (O, ~q1, ~q2, ~q3) e

pelo ponto P ∈ IE3, uma vez que sabemos da existencia de uma bijecao entre o espaco IE3

e o produto cartesiano IR3 = IR× IR× IR, como estudado na secao 2.2.1. Assim, podemos

identificar o ponto P da seguinte forma P = (x, y, z), como ilustra a Figura 3.12.

0��

��

��

��

��✠

✲

✻

��

��✠~q1

✲~q2

✻~q3

✁✁✁✁✁✁✁✁✁✕rP = (x, y, z)

−→OP

Figura 3.12: Identificacao dos pontos no espaco tridimensional IE3.


E importante ressaltar que, as coordenadas do ponto P ∈ IE3 relativamente ao sistema

de coordenadas Σ = (O, ~q1, ~q2, ~q3) sao as mesmas coordenadas do vetor−→OP ∈ V 3 com

relacao a base ortonormal γ∗ = { ~q1, ~q2, ~q3 }, isto e, a matriz de coordenadas do vetor−→OP

com relacao a base ortonormal γ∗ e dada por:

[−→OP ]γ∗ =

x

y

z

, (3.22)

como mostra a equacao (3.21).

Definicao 3.8.2 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 eda norma ‖ · ‖ proveniente desse produto escalar. Sejam γ∗ = { ~q1, ~q2, ~q3 } uma base

ordenada ortonormal para o espaco de vetores V 3 e Σ = (O, ~q1, ~q2, ~q3) um sistema

ortogonal de coordenadas para o espaco IE3. Dados os pontos A, B ∈ IE3,

A = (x1, y1, z1) e B = (x2, y2, z2) ,

definimos a distancia entre os pontos A e B da seguinte forma:

d(A,B) = ‖−→AB ‖ =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2 . (3.23)

r✁✁✁✁✁✁✁✁✁✁✁✁✕

✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✯

−−→OB

−→OA

❅❅❅

❅❅❅❘

−→AB

O

rA

rB

Figura 3.13: Distancia de ponto a ponto no espaco IE3

E importante ressaltar que, como o espaco de vetores V 3 esta munido com base ortonormal

γ∗, isto e, Σ = (O, γ∗) e um sistema ortogonal de coordenadas para o espaco IE3, sabemos

que os vetores−→OA e

−−→OB sao escrito de modo unico da seguinte forma:

−→OA = x1 ~q1 + y1 ~q2 + z1 ~q3 e

−−→OB = x2 ~q1 + y2 ~q2 + z2 ~q3 . (3.24)

Assim, o vetor−→AB =

−−→OB − −→

OA e representado da seguinte forma:

−→AB = (x2 − x1) ~q1 + (y2 − y1) ~q2 + (z2 − z1) ~q3 , (3.25)

e a distancia entre os pontos A e B ficada definida como no equacao (3.23), uma vez que

d(A,B) = ‖−→AB ‖.

Petronio Pulino 193


〈 ~u,~v 〉 = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3

e com a norma ‖ · ‖ proveniente desse produto escalar, definida da seguinte forma:

‖ ~u ‖ =√

〈 ~u, ~u 〉 =√

(x1)2 + (x2)2 + (x3)2


Sejam β = {~e1, ~e2, ~e3 }, onde ~e1 = (1, 0, 0) , ~e2 = (0, 1, 0) e ~e3 = (0, 0, 1), a

base canonica para o espaco de vetores V 3 e Σ = (O, ~e1, ~e2, ~e3) o sistema ortogonal de

coordenadas para o espaco IE3, com O = (0, 0, 0) a origem para esse sistema ortogonal de

coordenadas. Determine a distancia entre os pontos A, B ∈ IE3 dados por:

A = (1, 2, 3) e B = (4, 6, 8) .

Resolucao – A distancia entre os pontos A e B e definida pela equacao (3.23), onde o

vetor−→AB ∈ V 3 e dado por:

−→AB = 3~e1 + 4~e2 + 5~e3 ,

assim, obtemos

d(A,B) = ‖−→AB ‖ =√9 + 16 + 25 =

√50 = 5

√2 .

Exemplo 3.8.2 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 e danorma ‖ · ‖ proveniente desse produto escalar. Sejam γ∗ = { ~q1, ~q2, ~q3 } uma base ordenada

ortonormal para o espaco de vetores V 3 e Σ = (O, ~q1, ~q2, ~q3) um sistema ortogonal de

coordenadas para o espaco IE3. Dados os pontos A = (x1, y1, z1), B = (x2, y2, z2) ∈ IE3,

prove que o ponto medio do segmento AB, denotado pelo ponto M , e expresso da forma:

M =

(

x1 + x2

2,y1 + y2

2, ,

z1 + z2

2

)

(3.26)

Resolucao – Considerando a ilustracao da Figura 3.14, note que podemos escrever o ponto

medio M do segmento AB da seguinte forma:

M = A +1

2

−→AB

para obter suas coordenadas de acordo com a equacao (3.26).

Ar

Mr

Br

Figura 3.14: Ponto medio do segmento AB



〈 ~u,~v 〉 = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3


‖ ~u ‖ =√

〈 ~u, ~u 〉 =√

(x1)2 + (x2)2 + (x3)2





coordenadas. Considerando os pontos A, B, C ∈ IE3 dados por:

A = (1, 1, 0) , B = (0, 1, 1) e C = (1, 0, 1) ,

mostre que o triangulo ABC e um triangulo equilatero.

Resolucao – Considere os vetores−→AB,

−→AC,

−−→BC ∈ V 3. Basta mostrar que

d(A,B) = d(A,C) = d(B,C) ,

sabendo que

d(A,B) = ‖−→AB ‖ , d(A,C) = ‖−→AC ‖ e d(B,C) = ‖−−→BC ‖ ,

de acordo com a Definicao 3.8.2.



coordenadas para o espaco IE3. Dado o ponto C = (a, b, c) ∈ IE3 e o escalar positivo

r ∈ IR, determine o lugar geometrico dos pontos no espaco IE3 cuja distancia ao ponto C

seja igual a r.

Resolucao – Considere um ponto generico P = (x, y, z) ∈ IE3 satisfazendo a condicao,

d(C,P ) = r ⇐⇒ ( d(C,P ) )2 = r2 .

Sabemos que d(C,P ) = ‖−→CP ‖, onde o vetor−→CP e escrito da forma:

−→CP = (x − a) ~q1 + (y − b) ~q2 + (z − c) ~q3 ,

obtemos

( ‖−→CP ‖ )2 = r2 ⇐⇒ (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = r2 ,

que e a equacao de uma superfıcie esferica de centro no ponto C = (a, b, c) e raio igual a

r, com relacao ao sistema ortogonal de coordenadas Σ = (O, ~q1, ~q2, ~q3).

Petronio Pulino 195


〈 ~u,~v 〉 = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3


‖ ~u ‖ =√

〈 ~u, ~u 〉 =√

(x1)2 + (x2)2 + (x3)2





coordenadas. Mostre que os pontos A, B, C ∈ IE3 dados por:

A = (1, 1, 1) , B = (2, 3, 4) e C = (4, 5,−6) ,

sao os vertices de um triangulo retangulo.

Resolucao – A resolucao pode ficar a cargo do leitor.



coordenadas para o espaco IE3. Dado o ponto P = (a, b, c) ∈ IE3.

(a) Determine a projecao ortogonal do ponto P sobre cada um dos eixos coordenados.

(a) Determine a projecao ortogonal do ponto P sobre cada um dos planos coordenados.

Resolucao – Vamos denotar por Px, Py, Pz ∈ IE3 as projecoes ortogonais do ponto P

sobre os eixos coordenados OX , OY , OZ , respectivamente. Recordamos que a projecao Px

e obtida pela interseccao da reta perpendicular ao eixo OX passando pelo ponto P . De

modo analogo, obtemos as projecoes Py e Pz.

Desse modo, conhecendo as coordenadas do ponto P = (a, b, c), podemos representar suas

projecoes ortogonais sobre os eixos coordenados da seguinte forma:

Px = O + a ~q1 , Py = O + b ~q2 e Pz = O + c ~q3 , (3.27)


E importante ressaltar que as coordenadas do ponto P = (a, b, c) ∈ IE3, relativamente ao

sistema de coordenas ortogonais Σ = (O, ~q1, ~q2, ~q3), sao os comprimentos dos segmentos

OPx , OPy e OPz, respectivamente. Assim, as coordenadas do ponto P sao dadas por:

a = OPx , b = OPy e c = OPz , (3.28)

uma vez que γ∗ = { ~q1, ~q2, ~q3 } e uma base ortonormal para o espaco de vetores V 3.


Vamos denotar por Pxy, Pxz, Pyz ∈ IE3 as projecoes ortogonais do ponto P sobre os planos

coordenados OXY , OXZ , OYZ , respectivamente. Desse modo, obtemos

Pxy = O + a ~q1 + b ~q2 , Pxz = O + a ~q1 + c ~q3 e Pyz = O + b ~q2 + c ~q3 ,

como ilustra a Figura 3.15. De modo analogo, obtemos a projecao ortogonal do ponto P

nos outros dois planos coordenados.

0�

��

��

��

��

�✠

✲

✻

��

��✠~q1

✲~q2

✻~q3

rP = (a, b, c)

r

Pxy

r

r

r

Py

Px

Pz

Figura 3.15: Projecoes do ponto P no plano coordenado OXY e nos eixos coordenados


〈 ~u,~v 〉 = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3


‖ ~u ‖ =√

〈 ~u, ~u 〉 =√

(x1)2 + (x2)2 + (x3)2





coordenadas. Determine as respectivas projecoes ortogonais do ponto P = (2,−1, 3) ∈ IE3

sobre os eixos coordenados, denotadas por Px, Py, Pz ∈ IE3, e sobre os planos coordenados,

denotadas por Pxy, Pxz, Pyz ∈ IE3.

Resolucao – A resolucao pode ficar a cargo do leitor.

Petronio Pulino 197



coordenadas para o espaco IE3. Dados os pontos A = (x1, y1, z1), B = (x2, y2, z2) ∈ IE3,

Determine as coordenadas do ponto P que divide o segmento AB numa razao λ, isto e,

d(A,P )

d(A,B)= λ ⇐⇒ ‖−→AP ‖

‖−→AB ‖= λ para 0 ≤ λ ≤ 1 , (3.29)


Resolucao – Considerando a equacao (3.29) e a ilustracao da Figura 3.16, note que podemos

escrever um ponto P pertencente ao segmento AB da seguinte forma:

P = A + λ−→AB ⇐⇒ −→

AP = λ−→AB para 0 ≤ λ ≤ 1, (3.30)

Por simplicidade, vamos escrever o ponto P = (x, y, z), com relacao ao sistema ortogonal

de coordenadas Σ = (O, ~q1, ~q2, ~q3). Desse modo, podemos escrever a equacao (3.30) da

seguinte forma:

(x− x1) ~q1 + (y − y1) ~q2 + (z − z1) ~q3 = λ(x2 − x1) ~q1 + λ(y2 − y1) ~q2 + λ(z2 − z1) ~q3

A equacao acima pode ser escrita da seguinte forma:

( x~q1 + y~q2 + z~q3 ) = ((1− λ)x1 + λx2)~q1 + ((1− λ)y1 + λy2)~q2 + ((1− λ)z1 + λz2)~q3

Pela igualdade de vetores, obtemos

x = (1− λ)x1 + λx2 , y = (1− λ)y1 + λy2 e z = (1− λ)z1 + λz2 ,

para 0 ≤ λ ≤ 1. Note que para λ =1

2obtemos as coordenadas do ponto medio.

Ar

Pr

Br

Figura 3.16: O ponto P divide o segmento AB numa razao λ


3.9 Exercıcios

Em todos os Exercıcios, considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar

〈 · , · 〉 , definido da seguinte forma:

〈 ~u,~v 〉 = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3

e com a norma proveniente desse produto escalar, denominadaNorma Euclidiana, definida

da seguinte forma:

‖ ~u ‖ =√

〈 ~u, ~u 〉 =√

(x1)2 + (x2)2 + (x3)2


Considere tambem o espaco de vetores V 3 munido com a base canonica β = {~e1, ~e2, ~e3 },onde ~e1 = (1, 0, 0) , ~e2 = (0, 1, 0) e ~e3 = (0, 0, 1). Definimos por Σ = (O, ~e1, ~e2, ~e3)

o sistema ortogonal de coordenadas para o espaco IE3, com O = (0, 0, 0) a origem para

esse sistema ortogonal de coordenadas.

Exercıcio 3.9.1 Determine as coordenadas do ponto medio M do segmento AB, onde os

pontos A, B ∈ IE3 sao dados por: A = (1,−2, 3) e B = (−2, 3, 4).

Exercıcio 3.9.2 Determine as coordenadas do ponto P que divide o segmento AB numa

razao de tres quartos, onde os pontos A, B ∈ IE3 sao dados por:

A = (1,−2, 3) e B = (−2, 3, 4) .

Exercıcio 3.9.3 Determine as coordenadas do ponto P ′ simetrico ao ponto P = (2,−4,−6)

com relacao ao ponto M = (1,−1, 1). Faca inicialmente uma representacao grafica para

auxiliar na resolucao do exercıcio.

Exercıcio 3.9.4 Determine o vetor ~v ∈ V 3 de modo que P = Q + ~v, onde os pontos

P, Q ∈∈ IE3 sao dados por: P = (3,−2, 1) e Q = (3,−4, 6). Faca inicialmente uma

representacao grafica para auxiliar na resolucao do exercıcio.

Exercıcio 3.9.5 Determine o escalar λ ∈ IR de modo que P = Q + λ~v, onde os pontos

P, Q ∈∈ IE3 e o vetor ~v ∈ V 3 sao dados por:

P = (1,−10, 14) , Q = (3,−4, 6) e ~v = (−1,−3, 4) .

Faca inicialmente uma representacao grafica para auxiliar na resolucao do exercıcio.

Exercıcio 3.9.6 Dados os ponto A, B, C, D ∈ IE3 os vertices de um cubo, onde

A = (−a,−a,−a) , B = (a,−a,−a) , C = (−a, a,−a) e D = (a, a, a) .

Determine as coordenadas dos outros vertices. Faca uma representacao grafica para auxiliar

na resolucao do exercıcio.

Petronio Pulino 199

Exercıcio 3.9.7 Dados os pontos A, B, D ∈ IE3 os vertices de um paralelogramo ABCD,

onde

A = (1, 1, 1) , B = (2, 0, 2) e D = (3, 2, 0) .

Determine as coordenadas do vertice C, oposto ao vertice A. Faca uma representacao

grafica para auxiliar na resolucao do exercıcio.

Exercıcio 3.9.8 Dados os pontos A, B, C ∈ IE3 os vertices de um paralelogramo ABCD,

onde

A = (3,−4, 7) , B = (−5, 3,−2) e C = (1, 2,−3) .

Determine as coordenadas do vertice D, oposto ao vertice B. Faca uma representacao

grafica para auxiliar na resolucao do exercıcio.

Exercıcio 3.9.9 Determinar os pontos P no eixo coordenado OX cuja distancia ao ponto

A = (1,−2, 4) seja igual a 6.

Exercıcio 3.9.10 Determinar o lugar geometrico dos pontos P , no plano coordenado OXY ,

cuja distancia ao ponto A = (1,−2, 4) seja igual a 6.

Exercıcio 3.9.11 Determinar o lugar geometrico dos pontos P , no plano coordenado OXZ ,


Exercıcio 3.9.12 Determinar o lugar geometrico dos pontos P , no plano coordenado OYZ ,


Exercıcio 3.9.13 Qual interpretacao geometrica poderıamos propor para os Exercıcios 3.9.10,

3.9.11 e 3.9.12.

Exercıcio 3.9.14 O segmento AB esta dividido em quatro partes iguais pelos pontos C, D, E,

onde os pontos A e B sao dados por:

A = (2, 1, 4) e B = (4, 3, 2) .

Determine as coordenadas dos pontos C, D, E ∈ IE3. Faca uma representacao grafica para

auxiliar na resolucao do exercıcio.

Exercıcio 3.9.15 Determine a interseccao da superfıcie esferica de centro C = (1,−2, 4)

e raio r = 6 com os planos coordenados OXY , OXZ e OYZ .

Referencias Bibliograficas

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Edicao, McGraw–Hill (1987).

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