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Geometria Analítica
Superfícies
Prof° Marcelo Maraschin de Souza
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Hiperboloide de Revolução
Considere no plano yz a hipérbole de equações
𝑦2
𝑏2−
𝑧2
𝑐2= 1
𝑥 = 0
Os hiperboloides de
revolução são obtidos
por rotações em torno dos eixos y a z.
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Hiperboloide de uma folha
Fazendo a rotação da hipérbole em torno do eixo z resulta no
hiperboloide de uma folha,
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Hiperboloide de uma folha
A equação será obtida substituindo y por 𝑥2 + 𝑦2, ou seja,
𝑥2
𝑏2+y2
b2−z2
𝑐2= 1
De uma forma mais generalizada, pode dizer que a equação de
um hiperboloide de uma folha ao longo do eixo z é representada
por
𝑥2
𝑎2+y2
b2−z2
𝑐2= 1
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Hiperboloide de uma folha
Hiperboloide de uma folha ao longo do eixo y é representada por
𝑥2
𝑎2−y2
b2+z2
𝑐2= 1
Hiperboloide de uma folha ao longo do eixo x é representada por
−𝑥2
𝑎2+y2
b2+z2
𝑐2= 1
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Hiperboloide de uma folha
O traço do hiperboloide de uma folha ao longo do eixo z é dado
por
𝑛𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑥𝑦,𝑥2
𝑎2+𝑦2
𝑏2= 1
𝑛𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑥𝑧,𝑥2
𝑎2−𝑧2
𝑐2= 1
𝑛𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑦𝑧,𝑦2
𝑏2−𝑧2
𝑐2= 1
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Hiperboloide de duas folhas
Fazendo a rotação da hipérbole
em torno do eixo y resulta no hiperboloide de duas folhas.
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Hiperboloide de duas folhas
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Hiperboloide de duas folhas
A equação será obtida substituindo z por 𝑥2 + 𝑧2, ou seja,
−𝑥2
𝑏2+y2
b2−z2
𝑐2= 1
De uma forma mais generalizada, pode dizer que a equação de
um hiperboloide de duas folhas ao longo do eixo y é representada
por
−𝑥2
𝑎2+y2
b2−z2
𝑐2= 1
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Hiperboloide de duas folhas
Hiperboloide de duas folhas ao longo do eixo x é representada por
𝑥2
𝑎2−y2
b2−z2
𝑐2= 1
Hiperboloide de duas folhas ao longo do eixo z é representada por
−𝑥2
𝑎2−y2
b2+z2
𝑐2= 1
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Hiperboloide de duas folhas
O traço do hiperboloide de duas folhas ao longo do eixo y é dado
por
𝑛𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑥𝑦,𝑦2
𝑏2−𝑥2
𝑎2= 1
𝑛𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑦𝑧,𝑦2
𝑏2−𝑧2
𝑐2= 1
No plano xz, y=k, tem-se conjunto vazio, um ponto ou
elipses.
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Resumo
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Paraboloide
Consideremos a parábola no plano yz de equações
𝑦2 = 𝑏2𝑧𝑥 = 0
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Paraboloide Elíptico
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Paraboloide Elíptico
A rotação dessa parábola em torno do eixo z resulta no
paraboloide de revolução cuja equação será obtida da equação da
parábola, substituindo y por 𝑥2 + 𝑦2,
𝑧 =𝑥2
𝑏2+𝑦2
𝑏2
Um paraboloide ao longo do eixo z mais geral, denominado
paraboloide elíptico, é representado por
𝑧 =𝑥2
𝑎2+𝑦2
𝑏2
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Paraboloide Elíptico
Um paraboloide elíptico ao longo do eixo y é representado por
𝑦 =𝑥2
𝑎2+𝑧2
𝑐2
Um paraboloide elíptico ao longo do eixo x é representado
por
𝑥 =𝑦2
𝑏2+𝑧2
𝑐2
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Paraboloide Elíptico
O traço do paraboloide elíptico ao longo do eixo z é dado por
𝑛𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑥𝑦, 𝑢𝑚 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑚)
𝑛𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑥𝑧, 𝑧 = 𝑥2/𝑎2
𝑛𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑦𝑧, 𝑧 = 𝑦2/𝑏2
Obs: Traços no nos planos z=k>0 são elipses.
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Paraboloide Elíptico
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Paraboloide Hiperbólico
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Paraboloide Hiperbólico
Um paraboloide hiperbólico ao longo do eixo z é representado por
𝑧 =𝑦2
𝑏2−𝑥2
𝑎2
Um paraboloide hiperbólico ao longo do eixo y é representado por
𝑦 =𝑧2
𝑐2−𝑥2
𝑎2
Um paraboloide hiperbólico ao longo do eixo x é representado por
𝑥 =𝑧2
𝑐2−𝑦2
𝑏
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Paraboloide Hiperbólico
O traço do paraboloide hiperbólico ao longo do eixo z é dado por
𝑛𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑥 = 𝑘, 𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑦 = 𝑘, 𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎
𝑛𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑧 = 𝑘, ℎ𝑖𝑝é𝑟𝑏𝑜𝑙𝑒𝑠 𝑜𝑢 𝑑𝑢𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑡𝑎𝑠(𝑧 = 0)
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Superfícies Cônicas
Considere no plano yz a reta g de equações,
𝑧 = 𝑚𝑦𝑥 = 0
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Superfícies Cônicas
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Superfícies Cônicas
Uma superfície cônica ao longo do eixo z, mais geral, é dada por
𝑧2 =𝑥2
𝑎2+𝑦2
𝑏2
Uma superfície cônica ao longo do eixo y, mais geral, é dada por
𝑦2 =𝑥2
𝑎2+𝑧2
𝑐2
Uma superfície cônica ao longo do eixo x, mais geral, é dada por
𝑥2 =𝑦2
𝑏2+𝑧2
𝑐2
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Superfícies Cônicas
Os traços da superfície cônica ao longo do eixo z são dados por
• Em z=0, um ponto (origem);
• Em z=k, elipses (ou circunferências);
• Em x=k e y=k, hipérboles;
• Em x=0 ou y=0, duas retas.
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Superfícies Cônicas
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Superfícies Cilíndricas
Exemplo: considere a parábola 𝑥2 = 2𝑦
A equação da superfície cilíndrica também será 𝑥2 = 2𝑦
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Superfícies Cilíndricas
Tome o ponto A(2,2,0) pertencente a parábola, todo ponto do tipo
(2,2,z) também pertence a parábola, já que podemos considerar a
equação 𝑥2 = 2𝑦 + 0𝑧.
Ou seja, o valor de z não influi no fato de um ponto pertencer ou
não a superfície.
De modo geral, o gráfico em 3 dimensões de uma equação que
não apresenta uma determinada variável, corresponde a uma
superfície cilíndrica ao longo do eixo desta variável ausente.
E conforme a equação dada, temos uma superfície cilíndrica
chamada circular, elíptica, hiperbólica ou parabólica.
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Superfícies Cilíndricas
Exercício: qual superfície cilíndrica representa a seguinte
equação?
𝑥2
4+𝑧2
9= 1
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Superfícies Cilíndrica
Superfície cilíndrica elíptica ao longo do eixo y.