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Geometria DescritivaGeometria Descritiva

Prof. Sérgio VianaProf. Sérgio Viana

Estas notas de aulas são destinadas a todos aqueles que desejam ter

um conhecimento básico de Geometria Descritiva para um posteriorum conhecimento básico de Geometria Descritiva, para um posterior

estudo mais profundo.

Geometria Descritiva - Prof. Sérgio Viana

GEOMETRIA DESCRITIVA

Ciência que estuda os métodos de representação gráfica das figuras

espaciais sobre um plano, resolvendo os problemas em que são consideradas até

t ê di õ d tili d i dú t i tas três dimensões, capazes de ser utilizadas nas indústrias e nas artes.

Projeção : Figura geométrica obtida pela incidência sobre um plano de

perpendiculares tiradas dos extremos da linha ou objeto que se quer representar.

Classificação das Projeções

Projeção Ortogonal – cilíndrica fig 2 A e 3 A;

Projeção Obliqua – cilíndrica fig. 2B e 3 B ou cônica fig. 1.j ç q g g


Projeção Cilíndrica

Fig.. 1 - A figura, sendo paralela ao plano, se projeta em sua real grandeza, ou seja, projeção igual a figura.Fig.. 1 A figura, sendo paralela ao plano, se projeta em sua real grandeza, ou seja, projeção igual a figura.

Fig.. 2 - Quando a figura é oblíqua ao plano, haverá uma acentuada modificação em sua imagem projetada.

Fig.. 3 - A figura é perpendicular ao plano. Sua projeção se reduz a um segmento.g g p p p p j ç g


Projeção Cônica

A projeção cônica transforma um par de pontos em outro par, dando origem a triângulos semelhantes que tem

é i ( P )um vértice comum ( P ).

Projeção Cônica Direta

Dependendo da origem dos elementos, pólo, figura e plano, a projeção será semelhante à figura objetiva ( ampliada

ou reduzida ), ou mesmo reduzida a um ponto, portanto nula.

Fig.. 4 - Pólo, figura, plano - projeção ampliada.

Fig.. 5 - Pólo, plano, figura - projeção reduzida.

Fig.. 6 - Figura, pólo ( coincidentes com o plano ) - projeção inversa


Projeção Cônica - Inversa

Fig 7 Pólo eqüidistantes da fig ra e plano projeção ig al à fig raFig.. 7 - Pólo eqüidistantes da figura e plano - projeção igual à figura.

Fig.. 8 - Pólo mais próximo da figura - projeção ampliada.

Fig.. 9 - Pólo mais próximo do plano - projeção reduzida.


Projetividadej

Na figura abaixo temos a perspectiva de um objeto no espaço e suas

projeções ortogonais sobre dois planos de

projeção (π’) e (π). O símbolo que

representa o plano vertical de projeção é

(π’) e o símbolo que representa o plano(π ) e o símbolo que representa o plano

horizontal de projeção é (π). Na interseção

dos dois planos temos a linha de terra, que

é representada por LT.

Todo ponto a ser projetado é

representado por uma letra maiúscula entre

parênteses. Exemplo (A)


A projeção de um ponto (A) no plano (π’) é representada por A’ e a sua

projeção no plano (π) será A.

Diedros

Os planos de projeção (π’) e (π)

dividem o espaço em quatro diedros e a

linha de terra divide cada plano de

projeção em dois sem iplanos.

SpHA – Sem iplano horizontal anterior;

SpHP – Sem iplano horizontal posterior;

SpVS – Sem iplano vertical superior;

SpVI – Sem iplano vertical inferior.

A região do espaço lim itada pelos SpHA e SpVS denom ina-se primeiro

diedro, a lim itada pelas SpVS e SpHP segundo diedro, a lim itada pelos SpHP e

SpVI terceiro diedro e a lim itada pelas SpVI e SpHA quarto diedroSpVI terceiro diedro e a lim itada pelas SpVI e SpHA quarto diedro.


Épura

O francês Gaspard Monge foi o criador da Geometria Descritiva e idealizoup g

um modo de mostrar as projeções denominada Épura.

figura 1 figura 2


Não se pode medir com régua e compasso as distâncias A’(A) e A(A)

porque são desenhos que representam figuras no espaço e só podemos medir

di tâ i b l A i l b t t d li hdistâncias sobre o plano. Ao girarmos um plano sobre o outro, em torno da linha

de terra, temos o semiplano horizontal posterior (SpHP) coincidindo com o

semiplano vertical superior (SpVS). Teremos também a

coincidência do semiplano horizontal anterior (SpHA)

coincidindo com o semiplano vertical inferior (SpVI) conforme

figura 3 abaixofigura 3 abaixo.

figura 3


As projeções verticais e horizontais de um ponto qualquer determinam uma

linha perpendicular à linha de terra que chamamos de linha de chamada conforme

a figura abaixo.g


Estudo do ponto

Na figura abaixo temos as três coordenadas de um ponto (A).


P o s ição d o p o n to A fas ta m e n to C o ta

1 º D ied ro p o s itivo p o s itiva

2 º D ied ro n e g a tivo p o s itiva

3 º D ied ro n e g a tivo n e g a tiva

4 º D ied ro p o s itivo n e g a tiva

S p H A p o s itivo n u la

S p V S n u lo p o s itiva

S p H P n e g a tivo n u la

S p V I n u lo n e g a tiva

L T n u lo n u lo

A s coordenadas de um pon to são sem pre dados na ordem (x;y ;z) , onde x é a abscissa; y o

afastam en to e z a co taafastam en to e z a co ta .


Exemplo:

1. O ponto (A) no espaço onde (A) = (1;3;2) ou (A) = (x;y;z)


R e b a tim e n to


1. Em épura, a abscissa x de um ponto é marcado sobre a linha de terra, a

partir da origem pré fixada. A épura do ponto (A) é representada na

épura da seguinte forma, conforme a figura abaixo.


P la n o B is s e to r

O p la n o qu e d iv id e u m d ie d ro e m du a s p a rte s igua is ch a m a -se p la n o

b isse to r O s ím b o lo (β i) o u (β 1 3) s ig n if ica p lan o b isse to r ím p a r e (βp ) ou (β 24)b isse to r. O s ím b o lo (β i) o u (β 1 3) s ig n if ica p lan o b isse to r ím p a r e (βp ) ou (β 24)

s ign if ica p lan o b isse to r p a r.


Estudo da Reta

Dois pontos distintos determinam uma reta. A reta é representadap p

por uma letra minúscula entre parênteses (r). E r’ representa a projeção de

uma reta (r) no plano (π’) e r representa a projeção de uma reta (r) no plano

( )(π).


Tipos de Retas

Reta Horizontal é toda reta paralela ao plano horizontal. Quando a reta é

paralela ao plano horizontal sua projeção vertical é paralela à linha de terra.


Reta Frontal é toda reta paralela ao plano vertical. Quando a reta é

paralela ao plano vertical sua projeção horizontal é paralela á linha de terra.


Reta Paralela à linha de terra é toda reta paralela à linha de terra e

paralela ao plano vertical e ao plano horizontal. Quando a reta é paralela ao plano

vertical e ao plano horizontal suas projeções são paralelas à linha de terra.p p j ç p


Reta Vertical é toda reta perpendicular ao plano horizontal. A sua projeção

horizontal é um ponto e sua projeção vertical é uma reta vertical r’.


Reta de Topo é toda reta perpendicular ao plano vertical. A sua projeção

horizontal é uma reta vertical e sua projeção vertical é um ponto.

O rebatimento de uma Reta de perfil será estudado mais adiante.


T d R t Traços de uma Reta

Traços de uma reta são os pontos onde a reta fura os planos de projeção.

(v) – Traço Vertical


Para encontrar o traço vertical de uma reta, se prolonga sua projeção r até

a linha de terra. Na interseção da linha de terra com a projeção r levanta-se umaa linha de terra. Na interseção da linha de terra com a projeção r levanta se uma

linha de chamada até encontrar a projeção r’. Na interseção da linha de chamada

com a projeção r’ temos o traço (v).


(H ) – T ra ç o H o rizo n ta l

P a ra en co n tra r o tra ço H o rizo n ta l d e u m a re ta , se p ro lo n g a su a p ro je çã o r ’P a ra en co n tra r o tra ço H o rizo n ta l d e u m a re ta , se p ro lo n g a su a p ro je çã o ra té a lin h a d e te rra . N a in te rse çã o d a lin h a d e te rra com a p ro je çã o r ’ le va n ta -se

u m a lin h a d e ch am ad a a té e n co n tra r a p ro je çã o r . N a in te rse çã o d a lin ha d e

ch a m a d a co m a p ro je çã o r te m o s o tra ço (H ) .p j ç ç ( )


Rebatimento de uma Reta de Perfil


Retas Coplanares e Retas Não Coplanares

D t ã l ã l S d tDuas retas no espaço são coplanares ou não coplanares. Se duas retas

estão contidas no m esm o plano dizem os que são coplanares. Retas Coplanares

podem ser concorrentes, parale las ou coincidentes. As retas não coplanares são

tam bém cham adas retas reversas.

As retas coplanares podem ser:

Concorrentes


P a ra le la s

- d is tin ta s

- c o in c id e n te s


Reversas


Planos

A interseção do plano (α) com o plano (π) determina a reta απ’ que seA interseção do plano (α) com o plano (π) determina a reta απ que se

denomina traço vertical do plano. A interseção do plano (α) com o plano (π)

determina uma outra reta, απ, que se determina traço horizontal. Na épura

qualquer plano pode ser representado por seus traços Os planos devem serqualquer plano pode ser representado por seus traços. Os planos devem ser

representados por uma letra grega minúscula.


REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

MACHADO, Adervan. Geometria Descritiva. Editora McGraw-Hill do Brasil

LTDA 1974LTDA, 1974

PRÍNCIPE JR. Geometria Descritiva. V.1 e 2.

STAMATO, José. Cadernos do MEC, Introdução ao Desenho Técnico, 1972

http://www.mat.uel.br/marie ( acessado em 7/01/2008)

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