Geometria dos Sólidos -...
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Geometria dos S´olidos Geometria dos S´ olidos Prof. M´ arcio Nascimento [email protected] Universidade Estadual Vale do Acara´ u Centro de Ciˆ encias Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matem´ atica Disciplina: Geometria Espacial - 2014.2 1 de abril de 2015
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Geometria dos Solidos
Geometria dos Solidos
Prof. Marcio [email protected]
Universidade Estadual Vale do AcarauCentro de Ciencias Exatas e TecnologiaCurso de Licenciatura em Matematica
Disciplina: Geometria Espacial - 2014.2
1 de abril de 2015
Geometria dos Solidos
Angulos Poliedrais
Sumario
1 Angulos Poliedrais
2 Poliedros
Geometria dos Solidos
Angulos Poliedrais
Diedros
Angulo Diedral
Um diedro ou angulo diedral e a abertura entre dois planos seintersectam.
Os planos AM, BN sao chamados de faces do angulo diedral.
A reta AB e chamada aresta do angulo diedral.
Geometria dos Solidos
Angulos Poliedrais
Diedros
Angulo Diedral
Um diedro ou angulo diedral e a abertura entre dois planos seintersectam.
Os planos AM, BN sao chamados de faces do angulo diedral.
A reta AB e chamada aresta do angulo diedral.
Geometria dos Solidos
Angulos Poliedrais
Diedros
Angulo Diedral
Um diedro ou angulo diedral e a abertura entre dois planos seintersectam.
Os planos AM, BN sao chamados de faces do angulo diedral.
A reta AB e chamada aresta do angulo diedral.
Geometria dos Solidos
Angulos Poliedrais
Diedros
Angulos Diedrais Adjacentes
Se dois angulos diedrais tem uma aresta em comum, e uma faceem comum entre eles, tais diedros sao ditos adjacentes.
Geometria dos Solidos
Angulos Poliedrais
Diedros
Angulos Diedral Reto
Se um plano encontra outro plano de modo a produzir dois angulosdiedrais adjacentes e iguais, cada um deles e chamado angulodiedral reto.
Planos perpendiculares
Se dois planos se intersectam formando um angulo diedral reto,entao dizemos que tais planos sao perpendiculares.
Geometria dos Solidos
Angulos Poliedrais
Diedros
Angulo Plano de um Diedro
O angulo plano formado por dois segmentos de reta, um em cadaplano, perpendiculares a aresta do diedro no mesmo ponto, echamado angulo plano do diedro.
Geometria dos Solidos
Angulos Poliedrais
Poliedros
Angulo Poliedral
Quando uma porcao do espaco e separada dorestante por tres ou mais planos que seencontram em um unico ponto, tais planosformam um angulo poliedral.
Elementos
O ponto comum e chamado vertice. Asintersecoes entre os planos, sao chamadasarestas. As partes dos planos entre duas arestas,sao as faces. Duas arestas adjacentes, formamum angulo de face e duas faces adjacentesformam um angulo diedral.
Geometria dos Solidos
Angulos Poliedrais
Poliedros
Teorema
A soma de dois angulos de face em um angulo triedral e maior queo terceiro angulo de face.
X V Y + Y V Z > X V Z
Geometria dos Solidos
Angulos Poliedrais
Poliedros
Teorema
A soma dos angulos de face em um angulo poliedral qualquer emenor que quatro angulos retos (ou 3600 ou 2π).
Geometria dos Solidos
Poliedros
Sumario
1 Angulos Poliedrais
2 Poliedros
Geometria dos Solidos
Poliedros
Poliedros
O que e um solido?
Geometria dos Solidos
Poliedros
Poliedros
Solido Geometrico
Solidos que tem figuras geometricas em suas construcoes.
Solidos Geometricos: bola de sinuca, barra de sabao,diamantes lapidados, etc.
Solidos nao Geometricos: pedras, corpo humano, etc.
Geometria dos Solidos
Poliedros
Poliedros
Solido Geometrico
Solidos que tem figuras geometricas em suas construcoes.
Solidos Geometricos: bola de sinuca, barra de sabao,diamantes lapidados, etc.
Solidos nao Geometricos: pedras, corpo humano, etc.
Geometria dos Solidos
Poliedros
Poliedros
Solido Geometrico
Solidos que tem figuras geometricas em suas construcoes.
Solidos Geometricos: bola de sinuca, barra de sabao,diamantes lapidados, etc.
Solidos nao Geometricos: pedras, corpo humano, etc.
Geometria dos Solidos
Poliedros
Poliedros
A geometria tridimensional desempenha um importante papel naestrutura das moleculas.
Por exemplo, quando os atomos de carbono. Dependendo daforma de como estao agrupados, podem formar diamantes ouo grafite, como os usados nos lapis.
Geometria dos Solidos
Poliedros
Poliedros
A geometria tridimensional desempenha um importante papel naestrutura das moleculas.
Por exemplo, quando os atomos de carbono. Dependendo daforma de como estao agrupados, podem formar diamantes ouo grafite, como os usados nos lapis.
Geometria dos Solidos
Poliedros
Poliedros
A geometria tridimensional desempenha um importante papel naestrutura das moleculas.
Por exemplo, quando os atomos de carbono. Dependendo daforma de como estao agrupados, podem formar diamantes ouo grafite, como os usados nos lapis.
Geometria dos Solidos
Poliedros
Poliedros
A geometria tridimensional desempenha um importante papel naestrutura das moleculas.
Por exemplo, quando os atomos de carbono. Dependendo daforma de como estao agrupados, podem formar diamantes ouo grafite, como os usados nos lapis.
Geometria dos Solidos
Poliedros
Poliedros
Poliedros
Um solido geometrico formado por polıgonos que determinamuma regiao (fechada) no espaco e chamado poliedro [do grego:poly (varios) + hedra (face ou assento, banco)].
Poliedros: prismas, cubos, piramides, etc.
Solidos Geometricos, mas nao poliedros: cilindro, cone,esfera, etc.
Geometria dos Solidos
Poliedros
Poliedros
Poliedros
Um solido geometrico formado por polıgonos que determinamuma regiao (fechada) no espaco e chamado poliedro [do grego:poly (varios) + hedra (face ou assento, banco)].
Poliedros: prismas, cubos, piramides, etc.
Solidos Geometricos, mas nao poliedros: cilindro, cone,esfera, etc.
Geometria dos Solidos
Poliedros
Poliedros
Poliedros
Um solido geometrico formado por polıgonos que determinamuma regiao (fechada) no espaco e chamado poliedro [do grego:poly (varios) + hedra (face ou assento, banco)].
Poliedros: prismas, cubos, piramides, etc.
Solidos Geometricos, mas nao poliedros: cilindro, cone,esfera, etc.
Geometria dos Solidos
Poliedros
Poliedros
As superfıcies planas (polıgonos) que delimitam um poliedrosao chamadas faces.
Um segmento onde duas faces se encontram, e chamadoaresta.
O ponto de intersecao entre tres ou mais arestas, e chamadovertice.
Geometria dos Solidos
Poliedros
Poliedros
As superfıcies planas (polıgonos) que delimitam um poliedrosao chamadas faces.
Um segmento onde duas faces se encontram, e chamadoaresta.
O ponto de intersecao entre tres ou mais arestas, e chamadovertice.
Geometria dos Solidos
Poliedros
Poliedros
As superfıcies planas (polıgonos) que delimitam um poliedrosao chamadas faces.
Um segmento onde duas faces se encontram, e chamadoaresta.
O ponto de intersecao entre tres ou mais arestas, e chamadovertice.
Geometria dos Solidos
Poliedros
Poliedros
As superfıcies planas (polıgonos) que delimitam um poliedrosao chamadas faces.
Um segmento onde duas faces se encontram, e chamadoaresta.
O ponto de intersecao entre tres ou mais arestas, e chamadovertice.
Geometria dos Solidos
Poliedros
Poliedros
Classificacao
Assim como os polıgonos sao classificados pelo numero de lados,os poliedros sao classificados pelo numero de faces. Os prefixossao os mesmos dados aos polıgonos como uma excecao: umpoliedro com quatro faces e chamado tetraedro.
Geometria dos Solidos
Poliedros
Poliedros
TETRAEDRO
Geometria dos Solidos
Poliedros
Poliedros
PENTAEDRO
Geometria dos Solidos
Poliedros
Poliedros
HEXAEDRO
Geometria dos Solidos
Poliedros
Poliedros
HEXAEDRO
Geometria dos Solidos
Poliedros
Poliedros
HEPTAEDRO
Geometria dos Solidos
Poliedros
Poliedros
HEPTAEDRO
Geometria dos Solidos
Poliedros
Poliedros
HEPTAEDRO
Geometria dos Solidos
Poliedros
Poliedros
OCTAEDRO
Geometria dos Solidos
Poliedros
Poliedros
OCTAEDRO
Geometria dos Solidos
Poliedros
Poliedros
Outras nomenclaturas:
Nove faces: ENEAEDRO.
Dez faces: DECAEDRO.
Onze faces: UNDECAEDRO.
Doze faces: DODECAEDRO.
Treze faces: TRIDECAEDRO.
Quatorze faces: TETRADECAEDRO.
Quinze faces: PENTADECAEDRO
Vinte faces: ICOSAEDRO.
Geometria dos Solidos
Poliedros
Poliedros
Outras nomenclaturas:
Nove faces: ENEAEDRO.
Dez faces: DECAEDRO.
Onze faces: UNDECAEDRO.
Doze faces: DODECAEDRO.
Treze faces: TRIDECAEDRO.
Quatorze faces: TETRADECAEDRO.
Quinze faces: PENTADECAEDRO
Vinte faces: ICOSAEDRO.
Geometria dos Solidos
Poliedros
Poliedros
Outras nomenclaturas:
Nove faces: ENEAEDRO.
Dez faces: DECAEDRO.
Onze faces: UNDECAEDRO.
Doze faces: DODECAEDRO.
Treze faces: TRIDECAEDRO.
Quatorze faces: TETRADECAEDRO.
Quinze faces: PENTADECAEDRO
Vinte faces: ICOSAEDRO.
Geometria dos Solidos
Poliedros
Poliedros
Outras nomenclaturas:
Nove faces: ENEAEDRO.
Dez faces: DECAEDRO.
Onze faces: UNDECAEDRO.
Doze faces: DODECAEDRO.
Treze faces: TRIDECAEDRO.
Quatorze faces: TETRADECAEDRO.
Quinze faces: PENTADECAEDRO
Vinte faces: ICOSAEDRO.
Geometria dos Solidos
Poliedros
Poliedros
Outras nomenclaturas:
Nove faces: ENEAEDRO.
Dez faces: DECAEDRO.
Onze faces: UNDECAEDRO.
Doze faces: DODECAEDRO.
Treze faces: TRIDECAEDRO.
Quatorze faces: TETRADECAEDRO.
Quinze faces: PENTADECAEDRO
Vinte faces: ICOSAEDRO.
Geometria dos Solidos
Poliedros
Poliedros
Outras nomenclaturas:
Nove faces: ENEAEDRO.
Dez faces: DECAEDRO.
Onze faces: UNDECAEDRO.
Doze faces: DODECAEDRO.
Treze faces: TRIDECAEDRO.
Quatorze faces: TETRADECAEDRO.
Quinze faces: PENTADECAEDRO
Vinte faces: ICOSAEDRO.
Geometria dos Solidos
Poliedros
Poliedros
Outras nomenclaturas:
Nove faces: ENEAEDRO.
Dez faces: DECAEDRO.
Onze faces: UNDECAEDRO.
Doze faces: DODECAEDRO.
Treze faces: TRIDECAEDRO.
Quatorze faces: TETRADECAEDRO.
Quinze faces: PENTADECAEDRO
Vinte faces: ICOSAEDRO.
Geometria dos Solidos
Poliedros
Poliedros
Outras nomenclaturas:
Nove faces: ENEAEDRO.
Dez faces: DECAEDRO.
Onze faces: UNDECAEDRO.
Doze faces: DODECAEDRO.
Treze faces: TRIDECAEDRO.
Quatorze faces: TETRADECAEDRO.
Quinze faces: PENTADECAEDRO
Vinte faces: ICOSAEDRO.
Geometria dos Solidos
Poliedros
Poliedros
Outras nomenclaturas:
Nove faces: ENEAEDRO.
Dez faces: DECAEDRO.
Onze faces: UNDECAEDRO.
Doze faces: DODECAEDRO.
Treze faces: TRIDECAEDRO.
Quatorze faces: TETRADECAEDRO.
Quinze faces: PENTADECAEDRO
Vinte faces: ICOSAEDRO.
Geometria dos Solidos
Poliedros
Poliedros
Ramat Polling housing - Jerusalem
Geometria dos Solidos
Poliedros
Poliedros
E possıvel construir umpoliedro com n faces, paratodo inteiro n > 2?
Geometria dos Solidos
Poliedros
Poliedros
Poliedro Convexo
Um poliedro e dito convexo se quaisquer dois pontos do solidopodem ser ligados por um segmento de reta inteiramente dentrodo poliedro.
Geometria dos Solidos
Poliedros
Poliedros
Poliedro Convexo
Um poliedro e dito convexo se quaisquer dois pontos do solidopodem ser ligados por um segmento de reta inteiramente dentrodo poliedro.
Geometria dos Solidos
Poliedros
Poliedros
Teorema de Euler
O Numero de faces (f), vertices (v) e arestas (a) de um poliedroestao relacionadas pela formula
f + v = a + 2
Geometria dos Solidos
Poliedros
Poliedros
Teorema de Euler
O Numero de faces (f), vertices (v) e arestas (a) de um poliedroestao relacionadas pela formula
f + v = a + 2
Geometria dos Solidos
Poliedros
Poliedros
Exemplo
Qual o numero de arestas?
Resposta...
15 arestas (7 face e 10 vertices!).
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Poliedros
Poliedros
Exemplo
Qual o numero de arestas?
Resposta...
15 arestas (7 face e 10 vertices!).
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Poliedros
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Exemplo
Qual o numero de arestas?
Resposta...
15 arestas (7 face e 10 vertices!).
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Poliedros
Poliedros
Poliedro Regular ou Solidos de Platao
Um poliedro e dito regular quando TODAS as suas faces saopolıgonos regulares iguais.
Poliedro Regular ou Solidos de Platao
Existem apenas cinco poliedros regulares:
1 Tetraedro Regular (faces triangulares);2 Cubo (faces quadradas);3 Octaedro Regular (faces triangulares);4 Dodecaedro Regular (faces pentagonais);5 Icosaedro Regular (faces triangulares).
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Poliedros
Poliedros
Poliedro Regular ou Solidos de Platao
Um poliedro e dito regular quando TODAS as suas faces saopolıgonos regulares iguais.
Poliedro Regular ou Solidos de Platao
Existem apenas cinco poliedros regulares:
1 Tetraedro Regular (faces triangulares);2 Cubo (faces quadradas);3 Octaedro Regular (faces triangulares);4 Dodecaedro Regular (faces pentagonais);5 Icosaedro Regular (faces triangulares).
Geometria dos Solidos
Poliedros
Poliedros
Por que apenas cincoSolidos Regulares???
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Poliedros
Poliedros
>>>FlashbackTeorema
A soma dos angulos de face em um angulo poliedral qualquer emenor que quatro angulos retos (ou 3600 ou 2π).
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>>>FlashbackTeorema
A soma dos angulos de face em um angulo poliedral qualquer emenor que quatro angulos retos (ou 3600 ou 2π).
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Poliedros
Poliedros
Exemplo
A partir de um pentagono regular de lado a, erguem-se triangulosisosceles de altura h que se encontram em um ponto V de modoque tem-se um hexaedro. Qual a soma dos angulos de face novertice V ?
Resposta...
10.arctga
2h
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Exemplo
A partir de um pentagono regular de lado a, erguem-se triangulosisosceles de altura h que se encontram em um ponto V de modoque tem-se um hexaedro. Qual a soma dos angulos de face novertice V ?
Resposta...
10.arctga
2h
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Poliedros
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Exemplo
A partir de um pentagono regular de lado a, erguem-se triangulosisosceles de altura h que se encontram em um ponto V de modoque tem-se um hexaedro. Qual a soma dos angulos de face novertice V ?
Resposta...
10.arctga
2h
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Poliedros
Poliedros
Exemplo
A partir de um hexagono regular de lado a, erguem-se triangulosisosceles de altura h que se encontram em um ponto V de modoque tem-se um hexaedro. Qual a soma dos angulos de face novertice V ?
Resposta...
12.arctga
2h
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Poliedros
Poliedros
Exemplo
A partir de um hexagono regular de lado a, erguem-se triangulosisosceles de altura h que se encontram em um ponto V de modoque tem-se um hexaedro. Qual a soma dos angulos de face novertice V ?
Resposta...
12.arctga
2h
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Poliedros
Poliedros
Exemplo
A partir de um hexagono regular de lado a, erguem-se triangulosisosceles de altura h que se encontram em um ponto V de modoque tem-se um hexaedro. Qual a soma dos angulos de face novertice V ?
Resposta...
12.arctga
2h
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Poliedros
Poliedros
Exemplo
A partir de um polıgono regular de n lados, cada um deles medindoa, erguem-se triangulos isosceles de altura h que se encontram emum ponto V de modo que tem-se um hexaedro. Qual a soma dosangulos de face no vertice V ?
Resposta...
2n.arctga
2h
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Poliedros
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Exemplo
A partir de um polıgono regular de n lados, cada um deles medindoa, erguem-se triangulos isosceles de altura h que se encontram emum ponto V de modo que tem-se um hexaedro. Qual a soma dosangulos de face no vertice V ?
Resposta...
2n.arctga
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Poliedros
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Exemplo
A partir de um polıgono regular de n lados, cada um deles medindoa, erguem-se triangulos isosceles de altura h que se encontram emum ponto V de modo que tem-se um hexaedro. Qual a soma dosangulos de face no vertice V ?
Resposta...
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Geometria dos Solidos
Poliedros
Poliedros
Exemplo
Dispoe-se de 7 triangulos isosceles de papelao cujos lados medem4cm, 7cm e 7cm. Ainda, tem-se a disposicao um heptagono regularde lado 4cm. E possıvel construir um poliedro com tais pecas?
Resposta...
Sim. O angulo entre os lados iguais do triangulo isosceles e de33, 20. Portanto, e possıvel coloca-los dentro de umacircunferencia de raio 7cm de modolo que os lados detamanho 7cm fiquem adjacentes. Ao colocarmos 7 triangulos,teremos ocupado uma area correspondente a um setor circularde 7 × 33, 20 = 232, 420 < 3600, isto e, e possıvel formar umangulo poliedral e, portanto, construir um poliedro.
Geometria dos Solidos
Poliedros
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Exemplo
Dispoe-se de 7 triangulos isosceles de papelao cujos lados medem4cm, 7cm e 7cm. Ainda, tem-se a disposicao um heptagono regularde lado 4cm. E possıvel construir um poliedro com tais pecas?
Resposta...
Sim. O angulo entre os lados iguais do triangulo isosceles e de33, 20. Portanto, e possıvel coloca-los dentro de umacircunferencia de raio 7cm de modolo que os lados detamanho 7cm fiquem adjacentes. Ao colocarmos 7 triangulos,teremos ocupado uma area correspondente a um setor circularde 7 × 33, 20 = 232, 420 < 3600, isto e, e possıvel formar umangulo poliedral e, portanto, construir um poliedro.
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Poliedros
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Exemplo
Dispoe-se de 7 triangulos isosceles de papelao cujos lados medem4cm, 7cm e 7cm. Ainda, tem-se a disposicao um heptagono regularde lado 4cm. E possıvel construir um poliedro com tais pecas?
Resposta...
Sim. O angulo entre os lados iguais do triangulo isosceles e de33, 20. Portanto, e possıvel coloca-los dentro de umacircunferencia de raio 7cm de modolo que os lados detamanho 7cm fiquem adjacentes. Ao colocarmos 7 triangulos,teremos ocupado uma area correspondente a um setor circularde 7 × 33, 20 = 232, 420 < 3600, isto e, e possıvel formar umangulo poliedral e, portanto, construir um poliedro.
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Poliedros
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Exemplo
Dispoe-se de 15 triangulos isosceles de papelao cujos lados medem4cm, 7cm e 7cm. Ainda, tem-se a disposicao um pentadecagonoregular de lado 4cm. E possıvel construir um poliedro com taispecas?
Resposta...
Nao. Usando o raciocınio da questao anterior para disporestes 15 triangulos, terıamos um angulo poliedral deaproximadamente 4980. Portanto, terıamos triangulos demaispara formar o poliedro.
Geometria dos Solidos
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Exemplo
Dispoe-se de 15 triangulos isosceles de papelao cujos lados medem4cm, 7cm e 7cm. Ainda, tem-se a disposicao um pentadecagonoregular de lado 4cm. E possıvel construir um poliedro com taispecas?
Resposta...
Nao. Usando o raciocınio da questao anterior para disporestes 15 triangulos, terıamos um angulo poliedral deaproximadamente 4980. Portanto, terıamos triangulos demaispara formar o poliedro.
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Exemplo
Dispoe-se de 15 triangulos isosceles de papelao cujos lados medem4cm, 7cm e 7cm. Ainda, tem-se a disposicao um pentadecagonoregular de lado 4cm. E possıvel construir um poliedro com taispecas?
Resposta...
Nao. Usando o raciocınio da questao anterior para disporestes 15 triangulos, terıamos um angulo poliedral deaproximadamente 4980. Portanto, terıamos triangulos demaispara formar o poliedro.
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Exemplo
Dispoe-se de n triangulos isosceles de papelao cujos lados medem4cm, 7cm e 7cm. Ainda, tem-se a disposicao um polıgono regularde n lados, cada um deles medindo 4cm. Qual o maximo valor den para que se possa construir um poliedro com tais pecas?
Resposta...
n deve ser no maximo igual a 10.
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Exemplo
Dispoe-se de n triangulos isosceles de papelao cujos lados medem4cm, 7cm e 7cm. Ainda, tem-se a disposicao um polıgono regularde n lados, cada um deles medindo 4cm. Qual o maximo valor den para que se possa construir um poliedro com tais pecas?
Resposta...
n deve ser no maximo igual a 10.
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Exemplo
Dispoe-se de n triangulos isosceles de papelao cujos lados medem4cm, 7cm e 7cm. Ainda, tem-se a disposicao um polıgono regularde n lados, cada um deles medindo 4cm. Qual o maximo valor den para que se possa construir um poliedro com tais pecas?
Resposta...
n deve ser no maximo igual a 10.
