1

GEOMETRIA ESPACIAL

3º ANO

VESTIBULAR 2012

Prof. J.PORTAL

jonaspo@hotmail.com

GUARDE NA MENTE: 1 m

3= 1000 litros 1cm

3 = 1ml

1 litro = 1 dm3 = 1000 cm

3

ALTURA E ÁREA DO TRIÂNGULO EQUILÁTERO

Área do Círculo= FÓRMULA MUITO USADA:

a2 = b2 + c2 (Teorema de Pitágoras)

POLIEDRO: Sólidos limitados por superfícies planas poligonais, nas quais podemos destacar os seguintes elementos:

E S T U D O D O S P R I S M A S

1- Classificação e elementos

Aresta da Base ( ) – É o lado do polígono da

base. Aresta Lateral (L) – É o lado de uma face lateral. Altura (h) – É a distância entre os planos das bases. Vértices – São as quinas (interseção entre duas arestas)

Área lateral (AL)

ÁREAS IMPORTANTES

Área da Base (Ab) Representa a área do polígono da base. Área lateral (AL) Representa a soma das áreas das faces laterais.

Área total (At ):

VOLUME: V = Ab.H

APLICAÇÕES 1- Qual o valor da altura e da área de um triângulo equilátero cujo lado mede 6cm? 2– Um prisma quadrangular regular tem 7cm de aresta lateral e 5 cm de aresta da base. Calcular: a) área da base b) área lateral c) área total d) volume 3- um prisma triangular regular apresenta 9cm de aresta lateral e 4 cm de aresta da base. Calcular a) área da base b) área lateral c) área total d) volume

PARALELEPÍPEDO

Fórmulas:

Diagonal da face: d = √

Diagonal do Paralelepípedo: D = √

Área total: AT = 2(ab + ac + bc)

Volume: V = a.b.c

Exemplo: Para encher uma caixa d´água de 3m de comprimento por 2m de largura e 2 m de profundidade, quanto litros de água são necessários?

CUBO Fórmulas:

Diagonal: D = a√ Área: AT = 6a2

Volume: V = a3

Exemplo: Uma caixa cúbica tem 2 m de aresta. Determine a diagonal da caixa, a área total e a sua capacidade, em litros.

l

l l

h 𝒉 𝒍

√𝟑

𝟐 𝒆 𝑨 𝒍𝟐

√𝟑

𝟒

R A = 𝜋R

2

VÉRTICE

FACE AREST

A

Altura (c)

Largura (b)

Comprimento (a)

a

a

a

2

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1- Determine a área total e o volume do paralelepípedo abaixo:

2- Uma face de um cubo tem área 81cm2. Seu volume é: a) 9cm3. b) 81cm3. c) 180cm3. d) 243cm3. e) 729cm3. 3- (FAFI-MG) As dimensões de uma piscina olímpica são: 50m de comprimento, 25m de largura e 3m de profundidade. O seu volume, em litros, é: a) 3750. b) 37500. c) 375000. d) 3750000. e) 37500000.

C I L I N D R O

1- Área Lateral

2- Área Total

3- Volume

É igual ao volume do prisma

CONE

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1- Para um cone que tem geratriz g com 5cm e raio r da base com 3cm, calcular: a) área lateral b) área da base c) área total d) altura e) volume 2- Sabendo que num cone equilátero o raio da

base mede √ cm, determine: a) área total b) altura c) volume OBS: -A secção meridiana de um cone equilátero é um triângulo equilátero. - Num triângulo equilátero, o diâmetro da base é igual à geratriz, ou g = 2r.

h

AT = AL + 2Ab

V = Ab . h = πR2.h

h – altura; R – raio da base; g – geratriz; V – vértice;

O – centro da base.

3

3- Para um cone reto com g = 10 cm e r = 6 cm, calcule: a) área lateral b) área da base c) área total d) altura e) volume

4- O cone da figura tem geratriz g=30cm e raio

R=40cm. Se fabricarmos um copinho com esta forma

e estas medidas, quantos litros de água caberá nele?

PIRÂMIDE

1- Uma pirâmide triangular regular tem todas as arestas iguais a 12cm. Determine: a) o apótema da base b) o apótema da pirâmide c) a área da base d) área total e) volume 2- Uma pirâmide triangular regular tem aresta da base a = 3cm e altura h = 5 cm. O volume dessa pirâmide é de:

a) 13√ cm3 b) √

cm3 c)

√

cm3

d) 3√ cm3 e) 34 cm3

3-A base de uma pirâmide é um quadrado de aresta 3 cm. Sabendo que a altura da pirâmide mede 10 cm, calcule a medida do apótema da pirâmide. 4- Um reservatório tem a forma de um tronco de pirâmide hexagonal regular. Sabendo que a altura do tronco vale 6 cm e as arestas das bases medem 2m e 4 m, determinar o seu volume.

ESFERA

Área da superfície: 2R..4A

Volume: 3

R..4V

3

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

1- Para uma esfera de raio igual a 200cm,

calcule a área da superfície e o seu volume.

2- Se considerarmos esférica a forma da

terra, qual o volume do nosso planeta?

4

ATIVIDADES – PROF.J.PORTAL

G.ESPACIAL

1. Qual o volume da caixa da figura abaixo?

2. Quantos litros de leite cabem na caixa da figura

abaixo?

3. A pirâmide de Quéops é conhecida como a Grande

Pirâmide do Egito. Sua base (quadrada) tem

aproximadamente 230 m de aresta e sua altura é de

147 m. Qual o volume dessa pirâmide?

4. A figura representa um tambor, desses que são

usados no transporte de óleo. O raio da sua base

mede 30 cm e a altura, 85 cm. Quantos litros de óleo

ele pode comportar aproximadamente?

5. Uma seringa tem a forma cilíndrica com 2 cm de

diâmetro por 8 cm de comprimento. Quando o êmbolo

se afastar 5 cm da extremidade da seringa próxima à

agulha, qual o volume, em mililitros, de remédio líquido

que a seringa pode conter?

6- Um produto é embalado em recipiente com formato de cilindros retos. O cilindro A tem altura 20cm e raio da base 5cm. O cilindro B tem altura 10cm e raio da base de 10cm. a) Em qual das duas embalagens gasta-se menos material? b) O produto embalado no cilindro A é vendido a R$ 4,00 a unidade, e o do cilindro B a R$ 7,00 a unidade. Para o consumidor, qual a embalagem mais vantajosa? 7- Uma caixa de sapatos (com tampa) é confeccionada com papelão e tem as medidas, em centímetros, conforme a figura. Sabendo-se que à área total da caixa são acrescentados 2% para fazer as dobras de fixação. Qual o total de papelão empregado na confecção da caixa, em cm2?

8-(ENEM-2010) Dona Maria, diarista na casa da família Teixeira, precisa fazer café para servir as vinte pessoas que se encontram numa reunião na sala. Para fazer o café, Dona Maria dispõe de uma leiteira cilíndrica e copinhos plásticos, também cilíndricos.

Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista deseja colocar a quantidade mínima de água na leiteira para encher os vinte copinhos pela metade. Para que isso ocorra, Dona Maria deverá: a) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo. b) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo. c) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo. d) encher duas leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo. e) encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.