1. GEOMETRIAS NO-EUCLIDIANAS

2.

INTRODUO:

Esta apresentao o resultado dotrabalho realizado pelo Professor Paulo Petros Caratsoris, aluno do curso de ps-graduao em Novas Tecnologias noEnsinodaMatemtica(latusenso),quefoirealizadoduranteas atividades da disciplinaInformticanaEducao II,soba superviso da tutora a distncia, a Professora Maria Ins de Souza Reynaud.

O objetivo principaldestetrabalho o derealizarumaapresentaos GeometriasNo-euclidianas,comaintenodedivulgaresse contedo muito pouco explorado nos ensinos Fundamental e Mdio.

3.

GEOMETRIA NO-EUCLIDIANA

Asprimeirasidiasgeomtricasforamabstradasda natureza pelo homem nos primeiros dias da civilizao e influenciaram o desenvolvimento da humanidade.

Inicialmente, essas idias refletiam as necessidades que o homem tevedebuscar alternativas desobrevivncia na agricultura e no pastoreio.Emdiferenteslocaisdo planeta o homem produziu conhecimentogeomtrico para resolverproblemas como a demarcao de terras, construo de casas, templos, palcios,entre outros.

4.

Cercade 300a. C.,emAlexandria, Euclides sistematizou o conhecimento geomtrico dapoca, numaobra chamadaElementos,onde, deuma forma lgica, ele organizou e sistematizou a geometria, estabelecendoostermosprimitivos,axiomas,postuladose teoremas.

Usando como termos primitivos as noes de ponto, reta e plano, Euclides construiu seu sistema formal alicerado em cinco postulados, a saber:

P 1. possvel traar uma linha reta de qualquer ponto a

qualquer ponto.

P 2. possvel prolongar um segmento de reta indefinidamente para a construo de uma linha reta.

P 3. possvel traar um crculo a partir de um centro e um raio.

P 4. Todos os ngulos retos so iguais entre si.

P 5. Se uma retaincidindo sobre duas linhas retas forma ngulos internos de um mesmo lado menores do que dois retos, prolongando-se essas duas retas indefinidamente elas se interceptaro no lado em que os dois ngulos so menores do que dois retos.

5.

O quinto postulado ficou conhecido como Axioma das Paralelas porque se prova que equivalente ao seguinte: Por um ponto exterior a uma reta passa sempre uma paralela reta dada.

Devido complexidade relativa de formulao e o insuficiente apelo intuitivo do 5 Postulado, durante sculos diversos matemticos tentaram deduzi-lo,e assim demonstr-lo como um teorema. O resultado desse esforo que durou cerca de dois mil anos resistiu a todas as tentativas de demonstrao.

O fato que a Geometria Euclidiana funciona muito bem em superfcies planas. Porm, para algumas situaes geomtricas, como superfcies curvas, tal geometria insatisfatria.

Foi a partir do sculo dezenove que, trabalhando de modo independente, alguns matemticos famosos como Gauss, Lobachevski, Bolyai e, um pouco mais tarde, Riemann estabeleceram a independncia do quinto postulado, e criaram assim novas geometrias consistentes, aplicveis a espaos curvos, conhecidas por no-euclidianas, como a geometria esfrica e a hiperblica.

6.

GEOMETRIA ESFRICA

A geometria esfrica a geometria da superfcie bi-dimensional duma esfera.

Nesta superfcie, as linhas retas so circunferncias mximas. Duas quaisquer dessas retas cortam-se em dois pontos e no existem paralelas. As trajetrias mais curtas entre os pontos, so chamadas de geodsicas. As distncias entre dois pontos so os comprimentos medidos ao longo de um arco de circunferncia mxima, e o ngulo entre duas retas o ngulo entre estas circunferncias mximas.

Neste tipo de geometria aplica-se uma trigonometria esfrica, onde, por exemplo, a soma dos ngulos interiores dum tringulo excede os 180 graus.

A geometria esfrica tem importantes aplicaes prticas na navegao e da astronomia.

7.

GEOMETRIA HIPERBLICA

Vimos, a geometria esfrica pode ser visualizada, em duas dimenses, atravs da superfcie de uma esfera (ou elipside) com curvatura positiva.

A geometria hiperblica, por sua vez, deve ser representada por uma superfcie com curvatura negativa. Apesar do seu nome, as melhores escolhas para isso no envolvem uma hiprbole.

A soma dos ngulos de um tringulo desenhado nesta superfcie menor que 180 graus. Vemos tambm que quanto maior o tringulo, menor a soma de seus ngulos. Isso exatamente o contrrio do que se passa na superfcie da esfera que a representa. Alm disso, por um ponto P podem passar infinitas "retas" paralelas a outra reta.

8. COMPARAOENTREA GEOMETRIA PLANA, ESFRICA E HIPERBLICA 9.

REFERNCIAS BILBIOGRFICAS

.Thomaz, M. L. , Franco, V. S. (2008) Geometria No-Euclidiana/ Geometria Esfrica. Paran.

. Gaiowski, A. O. , Bassoi, T. S. ,A Insero das Geometrias No-Euclidianas no Currculo da Educao Bsica do Estado do Paran.Paran

.Wikipedia (2009),Geometria Esfrica- Enciclopdia Livre

http://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_esf%C3%A9rica

. Seara da Cincia (2009),A Geometria Hiperblica e a Pseudo-esfera

http--www_searadaciencia_ufc_br-donafifi-hiperbolica-curvaturas_gif.mht

. Observatrio Nacional (ON),A Geometria dos Espaos Curvos ou Geometria No-Euclidiana.

http://www.miniweb.com.br/ciencias/artigos/a_geometria_dos_espacos_curvos.pdf