Geometria Plana - I

Geometria plana.Resumo terico e exerccios. 3 Colegial / Curso Extensivo.

Autor - Lucas Octavio de Souza (Jeca)

Relao das aulas.Pgina

Aula Aula Aula Aula Aula Aula Aula Aula Aula Aula Aula Aula Aula

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13

-

Conceitos iniciais................................................................ 02 Pontos notveis de um tringulo......................................... 17 Congruncia de tringulos.................................................. 27 Quadrilteros notveis........................................................ 36 Polgonos convexos............................................................ 45 ngulos na circunferncia................................................... 58 Segmentos proporcionais................................................... 70 Semelhana de tringulos................................................... 80 Relaes mtricas no tringulo retngulo........................... 94 Relaes mtricas num tringulo qualquer....................... 107 Circunferncia e crculo.....................................................121 Inscrio e circunscrio de polgonos regulares............. 131 reas das figuras planas................................................... 141

Autor - Lucas Octavio de Souza (Jeca)Jeca 01

Geometria planaEstudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas Octavio de Souza)(So Joo da Boa Vista - SP)

Aula 01 Conceitos iniciais de Geometria Plana.

I) Reta, semirreta e segmento de reta.A A A A B B B B

reta AB semirreta AB semirreta BA segmento AB

Definies. a) Segmentos congruentes. Dois segmentos so congruentes se tm a mesma medida. b) Ponto mdio de um segmento. Um ponto P ponto mdio do segmento AB se pertence ao segmento e divide AB em dois segmentos congruentes. c) Mediatriz de um segmento. a reta perpendicular ao segmento no seu ponto mdio

II) ngulo. a

A

O

Definies. a) ngulo a regio plana limitada por duas semirretas de mesma origem.B

OA - lado OB - lado O - vrtice ngulo AOB ou ngulo

b) ngulos congruentes. Dois ngulos so ditos congruentes se tm a mesma medida. a c) Bissetriz de um ngulo. a semirreta de origem no vrtice do ngulo que divide esse ngulo em dois ngulos congruentes.

IIa) Unidades de medida de ngulo. a) Grau. A medida de uma volta completa 360. 1 = 60' 1' = 60" - grau ' - minuto " - segundo

b) Radiano. A medida de uma volta completa 2p radianos. Um radiano a medida do ngulo central de uma circunferncia cuja medida do arco correspondente igual medida do raio da circunferncia. Definies. a) ngulos complementares. o par de ngulos cuja soma das medidas 90. b) ngulos suplementares. o par de ngulos cuja soma das medidas 180.

IIb) Classificao dos ngulos.

a = 0 - ngulo nulo. 0 < a < 90 - ngulo agudo. a = 90 - ngulo reto. 90 < a < 180 - ngulo obtuso. a = 180 - ngulo raso.

IIc) ngulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma reta transversal. t rb a c d

a) ngulos correspondentes (mesma posio). exemplo - b e f. Propriedade - so congruentes. b) ngulos colaterais (mesmo lado). exemplo de colaterais internos - h e c. exemplo de colaterais externos - d e g. Propriedade - so suplementares (soma = 180)

r // s sf e g h

c) ngulos alternos (lados alternados). exemplo de alternos internos - b e h. exemplo de alternos externos - a e g. Propriedade - so congruentes. Jeca 02

III) Tringulos.vrtice

ngulo externo. O ngulo externo de qualquer polgono convexo o ngulo formado entre um lado e o prolongamento do outro lado.

Classificao dos tringulos. a) quanto aos lados: - tringulo equiltero. - tringulo issceles. - tringulo escaleno. b) quanto aos ngulos: - tringulo retngulo. - tringulo obtusngulo. - tringulo acutngulo.

lado e i

i - ngulo interno e - ngulo externo Num mesmo vrtice, tem-se i + e = 180

Propriedades dos tringulos. 1) Em todo tringulo, a soma das medidas dos 3 ngulos internos 180. b a

b

2) Em todo tringulo, a medida de um ngulo externo igual soma das medidas dos 2 ngulos internos no adjacentes. e e=a+b

a

a + b + g = 180 g 3) Em todo tringulo, a soma das medidas dos 3 ngulos externos 360.

e3

e1 e2

e1 + e2 + e3 = 360 a a

4) Em todo tringulo issceles, os ngulos da base so congruentes. Observao - A base de um tringulo issceles o seu lado diferente.

Exerccios. 01) Efetue as operaes com graus abaixo solicitadas. a) 48 27' 39" + 127 51' 42" c) 90 - 61 14' 44" e) 4 x (68 23' 54")

b) 106 18' 25" + 17 46' 39"

d) 136 14' - 89 26' 12"

f) 3 x (71 23' 52")

Jeca 03

g) 125 39' 46" 4

h) 118 14' 52" 3

i)

125 12' 52" 5

j)

90 13

02) Determine o ngulo que o dobro do seu complemento.

03) Determine o ngulo que excede o seu suplemento em 54

04) Determine o ngulo cuja diferena entre o seu suplemento e o triplo do seu complemento igual a 54.

05) Dois ngulos so suplementares. O menor o complemento da quarta parte do maior. Determine as medidas desses ngulos.

06) As medidas de dois ngulos somam 124. Determine esses ngulos sabendo que o suplemento do maior igual ao complemento do menor.

07) Determine um ngulo sabendo que o suplemento da sua quinta parte igual ao triplo do seu complemento.

Jeca 04

08) Em cada figura abaixo, determine a medida do ngulo x. a)r x r // s s 41 x

b)11 6

c)x r

d) (Tente fazer de outra maneira)x r

53 39 s

r // s

53 39 s

r // s

e)r 55 x 40 s 38

f)r 35 r // s s 47 x 62

g)r 54 r // s 88 s x 28

h)

x

21

126

i)x

j)

AB = AC B 73 A x

2 11

14

3

C

k) AC = BC

C 46

l)x

15838

x A B

67

Jeca 05

09) A figura abaixo mostra dois quadrados sobrepostos. Qual o valor de x + y, em graus ?

10) Na figura abaixo, esto representados um tringulo equiltero e um retngulo. Sendo x e y as medidas dos ngulos assinalados, determine a soma x + y.

x y

x

y

11) Na figura abaixo, determinar x + y + z + t.30

12) Na figura abaixo, determinar o valor da soma das medidas dos ngulos x, y, z, t e u.y x

x t y z

z

u t

13) Na figura abaixo, calcule o valor de x em funo de 14) (IBMEC-SP) Sejam a, b, g, l e q as medidas em m. graus dos ngulos BAC, ABC, CDF, CEF e DFE da figura, respectivamente. A soma a + b + g + l + q igual a:x F 4m 3m m

a) b) c) d) e)

120 150 180 210 240D

C E

A

B

15) (ITA-SP) Em um tringulo de papel ABC fazemos 16) Determine x, sabendo-se que ABCD um retnguuma dobra PT de modo que o vrtice C coincida com lo e que F e E so pontos mdios dos lados AB e o vrtice A, e uma dobra PQ de modo que o vrtice B AD, respectivamente. E A D coincida com o ponto R de AP. Sabemos que o tringulo AQR formado issceles com ARQ = 100; calcule as medidas dos ngulos internos do tringulo ABC. Ax R T Q25

F

B

P

C

C

B

Jeca 06

Respostas desta aula.01) a) 176 19' 21" c) 28 45' 16" e) 273 35' 36" g) 31 24' 56" i) 25 02' 34" 02) 60 03) 117 04) 72 05) 60 e 120 06) 17 e 107 07) 225 / 7 08) a) 41 f) 36 k) 113 09) 270 10) 240 11) 210 12) 180 13) 2m 14) c 15) 70, 80 e 30 16) 25 b) 64 g) 62 l) 53 c) 14 h) 33 d) 14 i ) 75 e) 47 j) 34 b) 124 05' 04" d) 46 47' 48" f) 214 11' 36" h) 39 24' 57" j) 06 55' 23"

Importante para mim. Se voc, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado.

JecaProibida a reproduo deste material sem a autorizao expressa do autorJeca 07


Conceitos iniciais de Geometria Plana. Exerccios complementares da aula 01.

01) Nas figuras abaixo, determinar o valor de x.a) r 43 r //s x s r // s x s b) r 57

c) r 45 x 62 r // s s

d) r 45 x 62 r // s s

(Resolver de forma diferente da letra c)) e) r 147 r // s 82 x 126 f)

r r // s

s x g) r 140 r // s 65 r // s x s 150 i) 42 r r // s5x 2 -1

80 h) r 140 65 x s 150 j) 4840

s (Resolver de forma diferente da letra g))

r

r // s

x s 43 s

k) 55

l) r // s r

s 85

135 x

x

Jeca 08

m)

r

r // s t // u

n) x r

r // s t // u

s 43 t x u o) p) 52 62 t 58 u s

79

x

x

67

q) 52

r)

21x

x 18x 81 s) (Tringulo issceles) AB = AC t) A x (Tringulo issceles) AB = AC 15x

A

38

138 x B u) A 152 y y C AB = AC v) B C

62 x B x) C AB = BC = CD z)

98

x

AB = BD = DE D

D 98 B E x x A C A y B

y C

Jeca 09

02) Nas figuras abaixo, determinar o valor de x.a)37

b) 73

116 x31

148x

24

c)

d)

x

34

xtriz

10

138

bis

se

128 36

e)

D o ponto de encontro das 3 bissetrizes. f)

A

AD e BD so bissetrizes.

40 72

D x x 42 C

D

g) 68 r r // s s 5y 3y

B h)

x

60

2x

x + 30i) j) 43

9x

x

12x

60 62

6x

k)

A

B

ABCD um quadrado.

l)

30

x

x D C

11 8

Jeca 10

m) A

AC = CD

n)

AB = BC = CD = DE

e

AD = AE D

x

38

A x

B

C B o) C e D AE = AF p) AB = AC , BD = BE e CE = CF.

E

AB = BC = CD = DE = EF

B D B A x C E q) A ABC um tringulo equiltero e DEFG um quadrado. r) A B F C BCD um tringulo equiltero e ABDE um quadrado. A 44 x E F D

G x

F

C

x B s) A x E B D E C CDE um tringulo equiltero t) e ABCD um quadrado. E D BFE um tringulo equiltero, ABFG e BCDE so quadrados. C A

B x G D

D u) A B

C C ACE e BDF so tringulos equilteros. v) A

F

E AB = AC e DE = DF. D x 70

x

65 F x) A E D B z) A E C F AB = AC AD bissetriz de BC AE bissetriz de BD.

AB = AD = BD = DC e AC = BC.

D

C x

x38 E D C

B

B

Jeca 11

03) Na figura abaixo, determine x, y e z.

04) Na figura abaixo, determinar x, y e z.

4x x 37 z y x z 2y

05) Na figura abaixo, determinar x, y, z e t.

06) Na figura abaixo, sendo BD a bissetriz do ngulo CBE, determinar x + y.E D

t 40 4x

z 2x y x A B y 4x C

07) Na figura abaixo, determinar o valor de x.

08) Na figura abaixo, determinar o valor do ngulo x, sabendo-se que OD bissetriz de AOE, OC bissetriz de AOD e OB bissetriz de AOC.D

C E x 57 B x 28

A

O

F

09) Na figura abaixo, determine os valores de x, y e 10) Determinar os valores de x, y e z, sabendo que os mesmos formam uma progresso aritmtica de razo z. 10.z + 26 2x 2z - 84 y y z x

Jeca 12

11) (FUVEST) Na figura abaixo, determine o valor de x. 12) Na figura abaixo, determinar o valor da soma x + y + z + t + u + v, sabendo-se que CEF um tringulo inscrito no quadrado ABCD.x t t // s s F 120 v t D u C x A y E z B

140

13) Na figura abaixo, AB = AC = BC = CD. Determine o valor de x.A x

14) Na figura abaixo, AD = AC = BC e AC a bissetriz do ngulo BAD. Determine o valor de x.A

2x B C D E x B C D

15) Na figura abaixo, determine a medida do ngulo x 16) (FUVEST) Na figura, AB = BD = CD. Determine y em funo de y. em funo de x.5y D y

y

x

2y A

x B C

17) Na figura abaixo mostre que vale a relao : a + b = c + d.a c b

r

18) Um dos ngulos internos de um tringulo issceles mede 100. Determinar a medida do ngulo agudo formado pelas bissetrizes dos outros dois ngulos internos.

r // s

d

s

19) Mostre que a soma das medidas dos ngulos 20) Na figura abaixo, determinar x em funo de y e de externos de um tringulo 360. z. e2 rx y r // s z s

e1 e3

Jeca 13

21) Na figura abaixo, o quadrado ABCD cortado por 22) Na figura abaixo, determinar o valor da soma das duas retas paralelas, r e s. Com relao aos ngulos medidas dos ngulos x, y, z, t e u. x e y podemos afirmar que : a) x = y y r b) x = -y z s c) x + y = 90 A B x x d) x - y = 90 e) x + y = 180y t D C u

23) Na figura abaixo, calcule o ngulo x, sendo y o triplo 24) (FUVEST-SP) No retngulo abaixo, qual o valor em graus de x + y ? de z e t o sxtuplo de z.z

40

y

xx y 80 t

25) Na figura abaixo, sendo AD a bissetriz do ngulo , 26) Na figura abaixo, o ngulo EAB mede 38, ABCD um retngulo e AB congruente a AE. A medida do demonstre que vale a relao z - y = x - t. ngulo CBF : D A a) 38 A b) 27 c) 18 d) 19 e) 71x B y D z t C E B C F

27) Na figura abaixo, sendo AB // DE, determinar a 28) Determinar a medida do ngulo x, sabendo-se que os tringulos ABE e CDE so issceles e que o soma das medidas dos ngulos x, y e z. tringulo BCE equiltero.A B x y z E D C A x E

B

C

D

Jeca 14

29) Na figura abaixo, determine a soma das medidas 30) Na figura abaixo, determine a soma das medidas dos ngulos x, y, z, t, u e v. dos ngulos x, y, z e t.x v r y u r // s z s t z x

y

t

31) Na figura abaixo, determine a soma das medidas 32) Um retngulo de papel dobrado de forma que o vrtice D pertena ao lado BC, conforme a figura. dos ngulos x, y, z e t. Sendo EF a dobra feita, calcule a medida do ngulo x, y conhecendo a medida de 140 do ngulo assinalado.A 140

z x t

A

E

B

D

x D F C

33) Na figura, AM = AN, x > y e as reta MN e BC 34) Na figura abaixo, os ngulos ABC, ACB e CAB medem respectivamente 30, 80 e 30. Sendo AD uma interceptam-se em P. Mostre que o ngulo MPB dobra de tal forma que o lado AB simtrico do lado AB A x-y. em relao a AD, determine a medida do ngulo ADB. igual a 2 AN M x y B C

P

B

C

D

B

35) Na figura, sendo AB congruente a AC, AE congruente a AD, calcule a medida do ngulo CDE, sabendo-se que BAD = 48.A

E

B

D

C

Jeca 15

Respostas desta aula.01) a) 43 b) 123 f) 46 g) 55 k) 55 l) 130 p) 119 q) 133 u) 104 v) 46 02) a) 48 f) 111 k) 90 p) 68 u) 120 b) 51 g) 42 l) 43 q) 30 v) 60 21) c c) 107 h) 55 m) 43 r) 10/3 x) 123 c) 29 h) 70 m) 14 r) 15 x) 150 d) 107 i) 30 n) 122 s) 71 z) 108 d) 112 i) 40/3 n) 180/7 s) 75 z) 116 e) 49 j) 49 o) 39 t) 96 22) 540 23) 50 24) 130 e) 18 j) 45 o) 20 t) 60 25) demonstrao 26) d 27) 360 28) 45 29) 360 30) 180 31) 540 32) 65 33) demonstrao 34) 130 35) 24

03) 143, 37 e 143 04) 36, 18 e 144 05) 20, 60, 80 e 60 06) 100 07) 33 08) 19 09) 22, 44 e 110 10) 50, 60 e 70 11) 70 12) 270 13) 10 14) 36 15) x = 8y 16) y = 3x 17) demonstrao 18) 40 19) demonstrao 20) x = y - z




Aula 02 Pontos notveis de um tringulo.

Segmentos notveis do tringulo.mediana altura mediatriz

Mediana - o segmento que une o vrtice ao ponto mdio do lado oposto. Mediatriz - a reta perpendicular ao lado do tringulo pelo seu ponto mdio. Bissetriz - a semi-reta de origem no vrtice que divide o ngulo em dois ngulos congruentes.

M bissetriz ponto mdio

Altura - a distncia entre o vrtice e a reta suporte do lado oposto. Pontos notveis do tringulo B - baricentro I - incentro C - circuncentro O - ortocentro Incentro (I). o ponto de encontro das 3 bissetrizes do tringulo.

Todo tringulo tem: 3 medianas 3 mediatrizes 3 bissetrizes 3 alturas Baricentro (G). o ponto de encontro das 3 medianas do tringulo.

Propriedade. Propriedade. O baricentro divide cada mediana em 2 segmentos. O incentro o centro da circunferncia inscrita (interO segmento que contm o vrtice o dobro do segmen- na) no tringulo. to que contm o ponto mdio do lado oposto. O incentro o ponto do plano eqidistante dos 3 (razo 2 : 1) lados do tringulo. Observao - As trs medianas dividem o tringulo original em seis tringulos de mesma rea.A g

S2x

g

rea de cada tringulo AG = 2.GM BG = 2.GN CG = 2.GP b b

SP

SG

N

I r a a

Sx

S SM C

SB

r - raio da circunferncia inscrita.

Circuncentro (C). o ponto de encontro das 3 mediatrizes do tringulo. Propriedade. O circuncentro o centro da circunferncia circunscrita (externa) ao tringulo. O circuncentro o ponto do plano eqidistante dos 3 vrtices do tringulo.mediatriz

Ortocentro (O). o ponto de encontro das 3 alturas do tringulo. Propriedade. No tem.A A

hA

hBhA O B C hC C

A

CR

ponto mdio

B

h

B

hC

hA

hBO ortocentro B O

hCC

R - raio da circunferncia circunscrita.

Jeca 17

3) Num tringulo issceles, os quatro ponto notveis (BICO: baricentro, in1) O baricentro e o incentro sempre centro, circuncentro e ortocentro) esesto localizados no interior do to alinhados. mediana tringulo. mediatriz Observaes. 2) O circuncentro e o ortocentro podem estar localizados no exterior do tringulo.bissetriz altura mediatriz C mediana bissetriz G I O altura

4) No tringulo retngulo, o ortocentro o vrtice do ngulo reto e o circuncentro o ponto mdio da hipotenusa.ortocentro circuncentro

R

C

R

hipotenusa

Tringulo eqiltero. (importante) Em todo tringulo eqiltero, os quatro pontos notveis (baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro) esto localizados num nico ponto. - lado do tringulo eqiltero. r - raio da circunferncia inscrita. R - raio da circunferncia circunscrita. h - altura do tringulo. r R

lBICO

r r

lr

h

R = 2r e h = 3r

l

l

01) Sabendo-se que o lado de um tringulo equiltero 10 cm, determinar : a) a altura do tringulo. b) o raio da circunferncia inscrita no tringulo. c) o raio da circunferncia circunscrita ao tringulo. d) o que o ponto O do tringulo.

R

lO

lr

h

l

02) Na figura abaixo, a circunferncia de centro O est 03) Na figura abaixo, a circunferncia de centro O est inscrita no tringulo ABC. Sabendo que o ngulo BAO inscrita no tringulo ABC. Sabendo que o ngulo BOC mede 33 e que o ngulo ABC mede 56, determede 126 , encontre a medida do ngulo BAC. mine a medida do ngulo AOC.A A

O

O

B

C

B

C

Jeca 18

04) Na figura abaixo, o ponto I o incentro do tringulo. Utilizando o quadriculado, traar as trs medianas, as trs mediatrizes, as trs bissetrizes e as trs alturas e determinar o baricentro, o circuncentro e o ortocentro do tringulo.

A

I

B

C

05) Sabendo-se que a altura de um tringulo equiltero 3 cm, determinar : a) o raio da circunferncia inscrita no tringulo. b) o raio da circunferncia circunscrita ao tringulo. c) o lado do tringulo.

R

l l

lr

h

06) Na figura abaixo, os pontos E, F e G so os pontos mdios dos lados do tringulo ABC. Se AB = 2x, AC = 2y, BC = 2z, AG = 3w, BE = 3k e FC = 3n, determine o permetro do tringulo BDG, em funo de x, y, z, w, k e n. A

07) Na figura abaixo, F o ortocentro do tringulo ABC. Determine a medida do ngulo DFE sabendo que os ngulos BAC e BCA medem, respectivamente, 58 e 70.A

E F D B C E F

G

B

D

C

Jeca 19

08) Na figura abaixo, E o ortocentro do tringulo equiltero ABC. Sabendo que CD = k, determine, em funo de k, as medidas dos segmentos CE, ED e AE.C

09) Um tesouro foi enterrado num campo aberto e o mapa da localizao faz meno a trs grandes rvores do local. O tesouro foi enterrado no terceiro vrtice de um tringulo, onde o jatob o primeiro, a sibipiruna o segundo e a peroba o ortocentro do tringulo. Como possvel localizar o tesouro no local ?Sibipiruna Peroba

E

Jatob A D B

2 10) O tringulo ABC da figura tem rea 120 cm . 11) No tringulo ABC abaixo, F, D e E so os pontos Sendo BD = DE = EC e AF = FG = GE, avalie se as mdios dos respectivos lados. Sendo 30 a medida do ngulo BCA, BC = 14 cm e AC = 12 cm, determine: afirmaes abaixo so verdadeiras (V) ou falsas (F). a) a rea do tringulo ABC; A b) a rea do tringulo AFG; c) a rea do quadriltero BCAG.

F G B D E C F

A

E G

( ) G o baricentro do tringulo ABC. ( ) A rea do tringulo AEC 40 cm . ( ) A rea do tringulo BFG 40 cm .2 2

B

D

C

12) Joel, Pedro e Manoel moram em suas respectivas casas, sendo que as casa no so colineares e esto localizadas na mesma fazenda. Eles desejam abrir um poo de modo que ele fique mesma distncia das trs casas. Supondo que a fazenda plana, com seus conhecimentos de geometria, que sugesto poderia das a eles ? Justifique o seu raciocnio.

13) A prefeitura de uma cidade mandou colocar, na praa central, uma esttua em homenagem a Tiradentes. Descubra, na planta a seguir, em que local essa esttua deve ser colocada, sabendo que ela dever ficar a uma mesma distncia das trs ruas que determinam a praa.

Rua

1Ru a3

Ru

a2

Jeca 20

Respostas desta aula.01) a) (5 3 / 2) cm b) (5 3 / 6) cm c) (5 3 / 3) cm d) Baricentro, Incentro, Circuncentro e Ortocentro. 02) 118 03) 72 04) Desenho ao lado.O I G C

04)A

05) a) 1 cm b) 2 cm c) 2 3 cm 06) 2k + w + z 07) 128 08) 2k / 3 , k / 3 e 2k / 3 09) Desenho ao lado. 10) F , V e F 11) 2 a) 42 cm 2 b) 7 cm 2 c) 28 cm 12) O poo deve localizar-se no circuncentro do tringulo cujos vrtices so as trs casas. 13) A esttua deve ser colocada no incentro do tringulo formado pelas trs ruas. 09)

B

C

Sibipiruna Peroba O Jatob

tesouro




Pontos notveis de um tringulo. Exerccios complementares da aula 02.

01) Sabendo-se que o lado de um tringulo equiltero k, determinar : a) a altura do tringulo; b) o raio da circunferncia inscrita no tringulo; c) o raio da circunferncia circunscrita ao tringulo; d) o que o ponto O do tringulo.

R

kO

kr

h

k

02) Sabendo-se que o raio da circunferncia circunscrita de um tringulo eqiltero mede 5 cm, determinar : a) o raio da circunferncia inscrita no tringulo; b) a altura do tringulo; c) o lado do tringulo; d) o permetro do tringulo; e) o que o ponto O do tringulo.

R

lO

lr

h

l

03) Na figura, AG e AF, dividem o ngulo BAC em trs ngulos congruentes. Da mesma forma, CD e CE, dividem o ngulo ACB em trs ngulos congruentes. Assinale a alternativa correta.A D P Q B

04) (Unifesp) Numa circunferncia de raio R > 0 e centro O consideram-se, como na figura, os tringulos equilteros T1, inscrito, e T2, circunscrito. Determine a razo entre a altura de T2 e a altura de T1.

T2 E T1 F O R

S R C G

a) b) c) d) e)

P incentro de algum tringulo construdo na figura. Q incentro de algum tringulo construdo na figura. R incentro de algum tringulo construdo na figura. S incentro de algum tringulo construdo na figura. Nenhuma das alternativas anteriores verdadeira.Jeca 22

05) Na figura abaixo, os pontos M, N e P so mdios 06) Na figura abaixo, o ponto I o centro da circunfedos lados a que pertencem. Provar que G o baricentro rncia inscrita no tringulo ABC. Sendo DE paralelo a BC, AB = 8 cm e AC = 11 cm, determinar o permetro do do tringulo ABC e que BG = 2.GN. tringulo ADE. AA

M G

N D I E

B

P

C B C

07) No tringulo ABC da figura, BC = 10 cm e M o 08) Na figura, o tringulo ABC retngulo em C, os ponto mdio de BC. Sabendo que D e E so os ps segmentos AD e DB so congruentes e o ngulo CAD das alturas BD e CE, determine o valor de EM + DM. mede 65. Determine a medida do ngulo BDC.A D E D B C

A

B

M

C

RESOLUO - Todo tringulo retngulo pode ser inscrito em uma semi-circunferncia.

09) No tringulo ABC abaixo, ABC = 70 e ACB = 40. 10) No tringulo ABC abaixo, D ponto mdio do laDetermine a medida do ngulo BOC, sabendo-se que o do AC e CE a bissetriz do ngulo ACB. Determine a medida do ngulo BFC. ponto O o ortocentro do tringulo ABC.A A

40 O E D C F

B

B

C

11) Na figura abaixo, D o centro da circunferncia 12) (Fuvest) Um tringulo ABC, tem ngulos A = 40 inscrita no tringulo retngulo ABC. Determine a mee B = 50. Qual a medida do ngulo formado pelas dida do ngulo ADC. alturas relativas aos vrtices A e B desse tringulo ? a) 30 A b) 45 c) 60 d) 90 e) 120D B C

Jeca 23

13) Considere o tringulo ABC da figura e assinale a 14) No tringulo ABC da figura abaixo, as medianas AD e BE so perpendiculares entre si. Sabendo que afirmativa falsa. A BC = 6 e AC = 8, determine a medida de AB.E D F B C E A

a) b) c) d) e)

F o ortocentro do DABC. A o ortocentro do DFBC. Os circuncentros do DBDC e do DBEC coincidem. BF = 2.FE. O DABC acutngulo.

B

D

C

15) Na figura abaixo, o crculo inscrito no tringulo 16) Determine as medidas dos ngulos A, B e C, no ABC tem rea S e os ngulos A e B medem 50 e tringulo ABC abaixo, sabendo que D o incentro do 70, respectivamente. Determine as reas dos setores tringulo. A circulares S1, S2 e S3, em funo de S.B0 12

S3 S2 A

S1 B C

D 130 C

17) Determine as medidas dos ngulos A, B e C, no 18) Na figura, a circunferncia de centro O est tringulo ABC abaixo, sabendo que D o circuncen- inscrita no setor circular de centro A, raio AB = 15 cm e tro do tringulo. ngulo central BAC = 60. Determine o raio da circunA ferncia. B

110O

13 0D 110

B

12

A

0

C

C

19) O tringulo ABC da figura retngulo em A e os tringulos ABD, BCD e ACD so equivalentes (tm a mesma rea). Sendo BC = 18 cm, determine a medida do segmento AD.A

20) No tringulo ABC da figura, BAC = 50. Se P for o incentro do tringulo ABC, a medida do ngulo BPC x; no entanto, se P for o ortocentro do tringulo ABC, a medida do ngulo BPC y. Determine a razo entre x e y.A A

D B C P B P

B

C

C

Jeca 24

21) Na figura, ABCD um retngulo, M ponto m- 22) (UFMG) Na figura abaixo, AD = BD, ACD = 60 e dio de AD e o tringulo BMC equiltero. Determine o ngulo DAC o dobro do ngulo DBA. Determine a a medida do segmento PM, sabendo que BC = 12 cm. razo AC / BC.A A M D

P B B C D C

23) No tringulo ABC ao lado, sendo M, N e P pontos mdios dos respectivos lados e MR = 7 cm, NR = 6 cm e AR = 10 cm, determinar : a) O que so os segmentos AP, BN e CM para o tringulo ABC. b) Que ponto notvel do tringulo o ponto R. c) Quais as medidas dos segmentos CR, BR e PR.A

24) Na figura ao lado, O o centro da circunferncia inscrita no tringulo ABC que retngulo em B. Sendo m(ACB) = 30, determinar as medidas dos ngulos a, b, g e q e dizer o que a semirreta CO significa para o ngulo ACB.Aq

Og

M R

N Bb a

C

B

P

C

25) Na figura abaixo, as retas FD, ED e GD encontram-se no ponto D, e os pontos E, F e G so os pontos mdios dos lados do tringulo ABC. Para o tringulo ABC, dizer como se denomina o ponto D e o que a reta FD.A

26) (UEM-PR) Em um plano a, a mediatriz de um segmeno de reta AB a reta r que passa pelo ponto mdio do segmento de reta AB e perpendicular a esse segmento. Assinale a alternativa incorreta. a) Tomando um ponto P qualquer em r, a distncia de P ao ponto A igual distncia de P ao ponto B. b) A interseco das mediatrizes de dois lados de um tringulo qualquer em a o circuncentro do tringulo. c) Qualquer ponto do plano a que no pertena reta r no equidista dos extremos do segmento AB. d) As mediatrizes dos lados de um tringulo podem se interceptar em trs pontos distintos. e) A reta r a nica mediatriz do segmento de reta AB em a.

F D

E

B

G

C

Jeca 25

Respostas desta aula.01) a) k 3 / 2 b) k 3 / 6 c) k 3 / 3 d) BICO 02) a) (5 / 2) cm b) (15 / 2) cm c) 5 3 cm d) 15 3 cm e) BICO 03) d 04) 2 05)A

17) 55, 65 e 60 18) 5 cm 19) 6 cm 20) 23 / 26 21) 4 cm 22) 1 / 2 23) a) medianas b) baricentro c) 14 cm, 12 cm e 5 cm S ponto mdio de BG R ponto mdio de CG MNRS um paralelogramo Portando, SG = GN = BS Razo 2 : 1 24) 15, 45, 120, 30 e bissetriz 25) circuncentro e mediatriz 26) d

M G S B P

N

R C

06) 19 cm 07) 10 cm 08) 130 09) 110 10) 105 11) 135 12) d 13) d 14) 2 5 15) 23 S / 72 16) 80, 40 e 60




Aula 03 Congruncia de tringulos.

A

D

Dois tringulos so congruentes se tm os lados dois a dois ordenadamente congruentes e os ngulos dois a dois ordenadamente congruentes.

DABCB C E F

DDEF

A D B E C F AB DE AC DF BC EF

Casos de congruncia. 1) L.A.L. 2) A.L.A. 3)L.L.L. 4) L.A.AO 5) Caso especial (CE) Onde: L - lado. A - ngulo junto ao lado. AO - ngulo oposto ao lado.

Caso especial (CE). Observao. Dois tringulos retngulos so A posio de cada elemento do congruentes se tm as hipotenusas tringulo (lado ou ngulo) no desecongruentes e um cateto de um nho muito importante na caracteritringulo congruente a um cateto zao do caso de congruncia. do outro tringulo L.A.L. - dois lados e o ngulo entre eles. A.L.A. - dois ngulos e o lado entre eles.

01) Na figura ao lado, A e C so ngulos retos e os segmentos AD e CD so congruentes. Prove que os tringulos ABD e CBD so congruentes.

A

B

D

C

02) Na figura ao lado, A e C so ngulos retos e BD a bissetriz do ngulo ABC. Prove que os ngulos ABD e CBD so congruentes.

A

B

D

C

03) Na figura ao lado, os segmentos AB e BC so congruentes e os segmentos AD e CD tambm. Prove que os ngulos A e C so congruentes.

A

B

D

C

Jeca 27

04) (importante) Na figura abaixo, AB uma corda da circunferncia de centro C. Provar que se o raio CD perpendicular corda AB, ento E ponto mdio de AB.

C E D B

A

05) (Importante) Provar que em todo tringulo issceles a altura relativa base tambm bissetriz, mediana e mediatriz.A

B

H

C

06) Sabendo-se que a mediatriz de um segmento AB a reta perpendicular ao segmento pelo seu ponto mdio, provar que qualquer ponto da mediatriz eqidistante das extremidades A e B do segmento.P

A M

B mediatriz

07) Dadas as retas r e s, e os pontos O, M e P, tal que M seja ponto mdio do segmento OP, determine os pontos A pertencente a r e B pertencente a s, de modo que o ponto M tambm seja ponto mdio do segmento AB.r

O

M

P

s

Jeca 28

08) Na figura abaixo, os segmentos AE e DE so congruentes. Sabendo-se que o tringulo BCE issceles de base BC, prove que os segmentos AB e DC so congruentes.A D

09) (UFMG) Observe a figura:r A P B

E

qO R s

B

CC

Nessa figura, os segmentos AB e BC so perpendiculares, respectivamente, s retas r e s. Alm disso, AP = PB, BR = CR e a medida do ngulo POR q. Determine, em funo de q, a medida do ngulo interno AOC do quadriltero AOCB. 10) Na figura, ABCD um paralelogramo e os segmentos AE e CF so congruentes. Prove que os segmentos DE e FB so congruentes e paralelos entre si.A E B

11) Na figura abaixo, o quadrado EFGH est inscrito no quadrado ABCD. Prove que os tringulos AEH, BFE, CGF e GDH so congruentes entre si.A E B

F H F C

D

D

G

C

12) Na figura abaixo, ABCD um retngulo e os 13) Provar que se ABCD um paralelogramo e AC e segmentos AE e CF so perpendiculares ao BD so as diagonais, ento o ponto de interseco das segmento BD. Prove que os segmentos DE e BF diagonais o ponto mdio da diagonal AC. so congruentes entre si.A F B A E B

E D C

D

C

Jeca 29

Teorema do ponto exterior.

Consequncia do Teorema do ponto exterior.

Em todo quadriltero circunscrito numa circunfernDada uma circunferncia l e um ponto P, P exterior a l, se A e B so os pontos de tangncia cia a soma das medidas dos lados opostos constante. A das retas tangentes a l por P, ento PA = PB.B A

l

P

l PA = PBB D C

AB + CD = AD + BC 15) Na figura abaixo, a circunferncia est inscrita no tringulo ABC, AB = 10, AC = 12 e BC = 14. Determine a medida do segmento CT.A

14) Prove o Teorema do ponto exterior.A

l

P

B

R

S

B

T

C

16) Na figura abaixo, A, B e D so pontos de tangn- 17) Determine o valor de x na figura abaixo, sabendocia. Determinar o permetro do tringulo CEP, sabendo se que AB = 2x + 2, CD = 4x - 3, AD = 3x - 2 e que a distncia PB mede 17 cm. BC = 3x + 1.A A C B

lD

P

D C E B

18) Determinar a medida da base mdia de um trapzio issceles sabendo-se que os lados no paralelos desse trapzio medem 15 cm cada.A B

19) Determine a medida do raio da circunferncia inscrita no tringulo retngulo cujos lados medem 8 cm, 15 cm e 17 cm.

D

C

Jeca 30

Respostas desta aula.Observao - Dependendo dos dados, um exerccio pode ser provado por mais de um caso de congruncia. Levando em conta essa possibilidade nas respostas aqui registradas, em cada caso, foi considerado o caso de congruncia mais evidente. 01) Caso especial (CE)A

07)Resoluor Seja BP // OA OM = MP (L) - por hiptese OMA = PMB (A) - OPV AOM = BPM (A) - alternos internos M P Pelo caso A.L.A., temos DOAM = DPBM Portanto AM = MB CQD

02) L.A.AO.O

03) L.L.L.B

04) Caso especial 05) possvel provar por vrios casos. 06) L.A.L. 07) Demonstrao ao lado. 08) L.A.L. 09) Pelo caso L.A.L. prova-se que os tringulos APO e BPO so congruentes. Pelo mesmo caso, prova-se que os tringulos BRO e CRO tambm so congruentes. AOP = BOP = a e COR = BOR = b Portanto AOC = 2q 10) L.A.L. 11) A.L.A. 12) L.A.AO. 13) L.A.AO. 14) Caso especial (Una o ponto P ao centro) 15) 8 16) 34 cm 17) S = { A x R x>3/4}

s

18) 15 cm 19) 3 cm




Congruncia de tringulos. Exerccios complementares da aula 03.

01) Na figura abaixo, M ponto mdio de AC e de BD. Provar que o tringulo ABM congruente ao tringulo CDM.A M D

B

C

02) Na figura abaixo, M ponto mdio do segmento AC e os ngulos A e C so congruentes. Provar que M tambm ponto mdio do segmento BD.A M D

B

C

03) Na figura abaixo, M ponto mdio do segmento BD e os ngulos A e C so congruentes. Provar que os segmentos AB e CD so congruentes.A M D

B

C

04) Na figura abaixo, M ponto mdio dos segmentos AC e BD. Provar que as retas AB e CD so paralelas.A M D

B

C

05) Na figura abaixo, AB bissetriz do ngulo CAD e os ngulos ACB e ADB so congruentes. Provar que os segmentos AC e AD so congruentes.C

A

B

D

Jeca 32

06) Na figura abaixo, AC FD e BDA F

CE. Provar que o tringulo DCG issceles.

G B D C E

07) Na figura abaixo, ADE um tringulo issceles de base DE. Sabendo-se que BD tambm um tringulo issceles.A

CE, provar que ABC

B

D

E

C

08) Na figura abaixo, DAC tes.

BAE, ADE ABC e AD AB. Provar que os tringulos ABC e ADE so congruenC D

A B E

09) Na figura abaixo, ABC um tringulo eqiltero e os pontos D, E e F pertencem aos lados AB, BC e AC, respectivamente. Sabendo-se que os segmentos AF, BD e CE so congruentes, provar que o tringulo DEF eqiltero.A F

D B E C

Jeca 33

10) Provar que em todo losango as diagonais so perpendiculares entre si e bissetrizes dos ngulos internos desse losango.B k A k D M k C k

11) Na figura, ABCD e EFGH so quadrados. O centro do quadrado ABCD localiza-se no vrtice E do outro quadrado. Prove que os tringulos EJL e EKM so congruentes.A L B F

E

J

G C M H

D

K

12) Provar que em todo tringulo, o segmento que une os pontos mdios de dois lados paralelo ao terceiro lado e vale a metade desse terceiro lado.A

D

E

B

C

13) Provar que em todo trapzio, o segmento que une os pontos mdios dos lados no paralelos paralelo s bases e vale a semi-soma dessas bases.A B

E

F

D

C

Jeca 34

Respostas desta aula.Observao Dependendo dos dados, um exerccio pode ser provado por mais de um caso de congruncia. Levando em conta essa possibilidade nas respostas aqui registradas, em cada caso, foi considerado o caso de congruncia mais evidente. 01) LAL 02) ALA 03) LAAOE F G D A B C Demonstrao do exerccio n 13. A B

E

F

04) LAL 05) LAAO 06) Caso especial 07) LAL 08) ALA 09) LAL 10) LLL 11) ALADemonstrao do exerccio n 12. A A

D

C

AFB CFG (A) (opostos pelo vrtice) BF FC (L) (F ponto mdio de BC) BAF CGF (A) (alternos internos) Pelo caso LAAO, temos: e AB CG

DABF

DCGF

> AF

FG

Considerando apenas o tringulo ADG, temos: A

E

F

DD E D E F

G C

DG = DC + CG = DC + ABC

B

C

B

Pelo teorema demonstrado no exerccio 12, temos: EF //AB // CD e EF = AB + CD 2 (CQD)

Seja CF // AB (por construo) > DAE FCE (alternos internos) > AE CE (E ponto mdio) AED CEF (opostos pelo vrtice) Pelo caso ALA, temos: DADE Mas D ponto mdio de AB Se BD //CF e BD CF BC e DE // BC (CQD)

DCFE > CF

> CFAD DB

AD

> BCFD um paralelogramo

>

> DF // BC e DFMas DE EF

BC > DE = 2




Aula 04 Quadrilteros notveis.

I) Trapzio. o quadriltero que tem dois lados paralelos. A altura de um trapzio a distncia entre as retas suporte de suas bases.

a + b = 180b h a Trapzio retngulo a a a Trapzio issceles b b b

base menor base maior

Trapzio escaleno

II) Paralelogramo. o quadriltero que tem os lados opostos paralelos.A B AB // CD e AD //BC D C

III) Retngulo. o quadriltero que tem todos os ngulos internos congruentes e iguais a 90.A h D b b B h C

IV) Losango. o quadriltero que tem os lados congruentes.B

bA

a bD

a

C

AB // CD e AD // BC

V) Quadrado. o quadriltero que tem os lados congruentes e todos os ngulos internos congruentes (90).

45

Propriedades dos quadrilteros notveis. 1) Em todo paralelogramo as diagonais cortam-se nos 2) Em todo losango as diagonais so: respectivos pontos mdios. a) perpendiculares entre si; b) bissetrizes dos ngulos internos.A M A x x y y D B B y y C M ponto mdio de AC e M ponto mdio de BD. x x C

D

3) Base mdia de trapzio. 4) Base mdia de tringulo. Em todo trapzio, o segmento que une os pontos Em todo tringulo, o segmento que une os pontos mdios dos dois lados no paralelos, paralelo s mdios de dois lados paralelo ao 3 lado e vale a bases e vale a mdia aritmtica dessas bases. metade desse 3 lado.A B MN // AB // CD e MN = AB + CD 2 C MN // BC e MN = BC 2 B A

M base mdia D

N

M

N base mdia C

Jeca 36

01) No paralelogramo abaixo, determinar o valor de x e a medida da diagonal BD.A7 cm

02) No paralelogramo abaixo, determinar o valor de x e a medida da diagonal BD.A k2x + 1

B

B

2x7 cm

12

cm

D

C

xD

+

5

k C

03) No paralelogramo ABCD abaixo, determinar o 04) No losango ABCD abaixo, conhecendo-se a valor de x, o valor de y, a medida da diagonal AC e medida do ngulo BDC, determinar as medidas dos ngulos a, b, c e d. a medida da diagonal BD.B d A B A a c 58 b C

x

-47

1

2 cm

3yD

cmC

D

05) Na figura, L, M, N e P so, respectivamente, os pon- 06) Na figura, L, M, N e P so, respectivamente, os pontos mdios dos lados AB, BC, CD e DA do quadriltero tos mdios dos lados AB, BC, CD e DA do quadriltero ABCD. Determinar o permetro do quadriltero LMNP ABCD. Provar que LMNP um paralelogramo. sabendo-se que AC = 6 cm e BD = 10 cm.A L B M C N P D B M C N L A P D

07) (Unifesp) Determine a medida do menor ngulo interno de um paralelogramo sabendo-se que dois ngulos internos consecutivos desse paralelogramo esto na razo 1 : 3.

08) (UERJ) Se um polgono tem todos os lados com medidas iguais, ento todos os seus ngulos internos tm medidas iguais. Para mostrar que essa proposio falsa, pode-se usar como exemplo a figura denominada: a) tringulo equiltero; b) losango; c) trapzio; d) retngulo; e) quadrado.

Jeca 37

09) No tringulo ABC abaixo, AB = 8 cm, AC = 12 cm e BC = 10 cm. Sendo D e E pontos mdios dos lados AB e AC, respectivamente, determine a medida do permetro do trapzio BCED.A

10) No tringulo ABC abaixo, AB = 16 cm, AC = 14 cm e BC = 18 cm. Sendo D, E e F os pontosmdios dos lados AB, BC e AC, respectivamente, determinar as medidas dos segmentos DE, DF e EF.A

D

E

D

F

B B C

E

C

11) No tringulo ABC abaixo, AB = x, AC = y e BC = z. Sendo D, E e F os pontos mdios dos lados AB, AC e BC, respectivamente, determinar o permetro do quadriltero BDEF.A

12) No trapzio ABCD abaixo, a base menor AB mede 8 cm, a base maior CD mede 20 cm e os pontos E e F so os pontos mdios dos lados AD e BC, respectivamente. Determine a medida da base mdia EF.A B

E D E D B F C

F

C

13) No trapzio retngulo ABCD abaixo, a base menor 14) No trapzio ABCD abaixo, a base mdia EF mede AB mede 12 cm e a base maior CD mede 18 cm. Sendo 17 cm e a base maior CD mede 22 cm. Determine a BC = 10 cm, E e F os pontos mdios dos lados AD e BC, medida da base menor AB. respectivamente, determinar os permetros dos trapB A zios ABFE e CDEF.A B E F D C F

E

D

C

15) No trapzio ABCD abaixo, EF = 8 cm e GH = 11 cm. 16) No trapzio ABCD abaixo, AB = 12 cm, CD = 26 cm Sendo AE = EG = GD e BF = FH = HC, determine as e os pontos E e H so pontos mdios dos lados AD e medidas da base menor AB e da base maior CD. BC, respectivamente. Determinar as medidas dos segmentos EH, EF, GH e FG. B AA E F E H B

G

H

F

G

D

C D C

Jeca 38

17) Na figura, MNLP um quadriltero, C, D, E e F so os pontos mdios dos lados MN, NL, LP e PM. Determine o permetro do quadriltero CDEF sabendo-se que ML = 14 cm e NP = 8 cm.M

18) Determine as medidas dos ngulos internos de um paralelogramo sabendo-se que dois ngulos internos opostos medem 3x - 18 e 2x + 27.

F C

P E

N

D

L

19) No tringulo ABC abaixo, D e E so os pontos mdios dos respectivos lados. Sendo o permetro do tringulo DEF igual a 23 cm, determinar : a) o que o ponto F para o tringulo ABC. b) a medida do permetro do tringulo BCF.A

20) No tringulo ABC abaixo, sendo F o baricentro, AC = x, AB = y, BC = z, CF = t e DF = w, determinar o permetro do quadriltero AEFD.A

D E D F B B C C E F

21) No tringulo ABC abaixo, E e G so os pontos 22) Demosntre que o ngulo formado pelas bissetrimdios dos respectivos lados. Sendo AB = x, BC = y, zes de dois ngulos internos consecutivos de um AC = z e GD = k, determinar o permetro do tringulo paralelogramo um ngulo reto. GEC e dizer o que o ponto D do tringulo ABC.A

E D

G

C

F

B

23) (Fuvest) Em um trapzio issceles, a medida da altura igual da base mdia. Determine o ngulo que a diagonal do trapzio forma com uma das bases do trapzio.A B

D

C

Jeca 39

Respostas desta aula.01) 6 cm 02) 4 03) 11 cm e 4 cm 04) 32, 64, 90 e 116 05) 16 cm 06) Propriedade da base mdia do tringulo. BD // LP // MN e AC // LM // PN Portanto LMNP um paralelogramo. 07) 45 08) b 09) 25 cm 10) 7 cm, 9 cm, e 8 cm 11) x + z 12) 14 cm 13) 36 cm e 42 cm 14) 12 cm 15) 5 cm e 14 cm 16) 19 cm, 6 cm, 6 cm e 7 cm 17) 22 cm 18) 117 e 63 19) Baricentro e 46 cm 20) (x + y + 2w + t) / 2 21) (y + z + 6k) / 2 e baricentro 22) 2a + 2b = 180 (alternos internos) Portanto a + b = 90 23) 45




Quadrilteros notveis. Exerccios complementares da aula 04.

01) Dado o losango ABCD abaixo e o ngulo de 58, determine as medidas dos ngulos assinalados.B y t A z 58 D x C

02) (UERJ-RJ) Se um polgono tem todos os lados com medidas iguais, ento todos os seus ngulos internos tm medidas iguais. Para mostrar que essa proposio falsa, pode-se usar como exemplo a figura denominada: a) losango b) trapzio c) retngulo d) quadrado e) paralelogramo

03) No retngulo ABCD abaixo, AC e BD so as diagonais. Determine as medidas dos ngulos x e y.A y x B

04) (PUCCamp-SP) Na figura a seguir, tem-se representado o losango ABCD, cuja diagonal menor mede 4 cm. Determine a medida da diagonal maior e do lado desse losango.B

2qA

qD

C

32 D

C

05) Na figura abaixo, ABCD um retngulo e DCE um tringulo equiltero, onde o ponto E pertence ao lado AB do retngulo. Sendo DB a diagonal do retngulo, F o ponto de interseco entre a diagonal e o lado do tringulo e CD = 9 cm, determine a medida do segmento FC.A E B

06) (VUNESP-SP) Considere as seguintes proposies. I. Todo quadrado um losango. II. Todo quadrado um retngulo. III. Todo retngulo um paralelogramo. IV. Todo tringulo equiltero issceles. Pde-se afirmar que: a) s uma verdadeira. b) todas so verdadeiras. c) s uma falsa. d) duas so verdadeiras e duas so falsas. e) todas so falsas.

F

D

C

Jeca 41

07) (PUC-SP) Sendo: A = {x / x quadriltero} B = {x / x quadrado} C = {x / x retngulo} D = {x / x losango} E = {x / x trapzio} F = {x / x paralelogramo} Ento vale a relao: a) b) c) d) e) A A F A B D F D F D E D A B A B C E

08) (UFOP-MG) Assinale a alternativa incorreta: a) Em todo paralelogramo no retngulo, a diagonal oposta aos ngulos agudos menor do que a outra. b) reto o ngulo formado pelas bissetrizes de dois ngulos consecutivos de um paralelogramo. c) As bissetrizes de dois ngulos opostos de um paralelogramo so paralelas entre si. d) Ligando-se os pontos mdios dos lados de um tringulo, este fica decomposto em quatro tringulos congruentes. e) Todas as afirmativas anteriores so incorretas.

09)(UECE) Na figura, o retngulo DGHI, o tringulo equiltero DEF e o quadrado ABCI, tm todos, permetro igual a 24 cm. Se D o ponto mdio de CI, o permetro da figura fechada ABCDEFGHIA igual a: a) 48 m b) 49 m c) 50 m d) 51 m e) 52 mE C B

10) Determine as medidas dos ngulos internos de um paralelogramo sabendo que a diferena entre as medidas de dois ngulos internos consecutivos 52.

G F

D

H

I

A

11) (FGV-SP) A diagonal menor de um losango decompe esse losango em dois tringulos congruentes. Se cada ngulo obtuso do losango mede 130, quais so as medidas dos trs ngulos de cada um dos dois tringulos considerados ?

12) (ITA-SP) Dadas as afirmaes: I. Quaisquer dois ngulos opostos de um quadriltero so suplementares. II. Quaisquer dois ngulos consecutivos de um paralelogramo so suplementares. III. Se as diagonais de um paralelogramo so perpendiculares entre si e se cruzam em seu ponto mdio, ento esse paralelogramo um losango. a) b) c) d) e) Todas so verdadeiras. Apenas I e II so verdadeiras. Apenas II e III so verdadeiras. Apenas II verdadeira. Apenas III verdadeira.

Jeca 42

13) (UFV-MG) Num trapzio issceles de bases diferentes, uma diagonal tambm bissetriz de um ngulo adjacente base maior. Isso significa que: a) a base menor tem medida igual dos lados oblquos. b) os ngulos adjacentes base menor no so congruentes. c) a base maior tem medida igual dos lados oblquos. d) as duas diagonais se interceptam no seu ponto mdio. e) as diagonais se interceptam, formando ngulo reto.

14) (FUVEST-SP) No quadriltero ABCD, temos AD = BC = 2 e os prolongamentos desses lados formam um ngulo de 60. a) Indicando por a, b, g e q, respectivamente, as medidas dos ngulos internos dos vrtices A, B, C e D, calcule a + b + g + q. b) Sejam J o ponto mdio de DC, M o ponto mdio de AC e N o ponto mdio de BD. Calcule JM e JN. c) Calcule a medida do ngulo MJN.

D

C

A

B

15) Na figura, BC = 24 cm, D ponto mdio de AB, F ponto mdio de BD, E ponto mdio de AC e I ponto mdio de CE. Determine as medidas dos segmentos FG e GH.A

D F

E I

16) (ITA-SP) Considere um quadriltero ABCD cujas diagonais AC e BD medem, respectivamente, 5 cm e 6 cm. Se R, S, T e U so os pontos mdios dos lados do quadriltero dado, ento o permetro do quadriltero RSTU vale: a) 22 cm b) 5,5 cm c) 8,5 cm d) 11 cm e) 12 cm

G

H

B

C

17) No trapzio AEJF abaixo, BG = x e DI = y. Se AB = BC = CD = DE e FG = GH = HI = IJ, determine AF e EJ em funo de x e de y.A B C D E F G H I J

18) Na figura abaixo, o tringulo ABC retngulo em B, o ponto D ponto mdio do lado AB e o segmento DE paralelo ao cateto BC. Sendo AC = 24 cm, determine a medida do segmento EF.A

D F

E

B

C

Jeca 43

Respostas desta aula.01) x = 32, 02) a 03) x = 64, y = 116 y = 116, z = 64, t = 90

04) AC = 4 3 cm, AB = 4 cm 05) 6 cm 06) b 07) b 08) e 09) c 10) 64 e 116 11) 50, 65 e 65 12) c 13) a 14) a) 360 b) 1 e 1 c) 60 15) FG = 6 cm e GH = 6 cm 16) d 17) AF = 3x - y 2 18) 4cm EJ = 3y - x 2




Aula 05 Polgonos convexos.

I) Polgonos convexos. Classificao dos polgonos (quanto ao n de lados).dvrtice i e d - diagonal i - ngulo interno e - ngulo externo lado

3 lados 4 lados 5 lados 6 lados 7 lados 8 lados 9 lados 10 lados

-

tringulo quadriltero pentgono hexgono heptgono octgono enegono decgono

i + e = 180II) Soma das medidas dos ngulos internos de um polgono convexo. III) Soma das medidas dos ngulos externos de um polgono convexo.

11 lados 12 lados 13 lados 14 lados 15 lados 16 lados 17 lados 18 lados 19 lados 20 lados

-

undecgono dodecgono tridecgono quadridecgono pentadecgono hexadecgono heptadecgono octodecgono eneadecgono icosgono

IV) Nmero de diagonais de um polgono convexo.

(Si)i4 i3 i2 i1 in e2 e1 e3

(Se)e4

(d)

en

Si = i1 + i2 + i3 + ... + in Si = 180 (n - 2)n - n de lados do polgono

Se = e1 + e2 + e3 + ... + en Se = 360Para qualquer polgono convexo

Diagonal o segmento que une dois vrtices no consecutivos. d = n (n - 3) 2n - n de lados do polgono

V) Polgono regular.e e i i i e

Um polgono regular se tem: a) todos os lados congruentes entre si; b) todos os ngulos internos congruentes entre si; c) todos os ngulos externos congruentes entre si. Classificao dos polgonos regulares 3 lados - tringulo equiltero 4 lados - quadrado 5 lados - pentgono regular 6 lados - hexgono regular etc Medida de cada ngulo interno de um polgono regular. S i = ni S e = e n

e

i

i e

> >

i=

180 (n - 2) n e = 360 n

Medida de cada ngulo externo de um polgono regular.C

a

ngulo central

(importante)

Observao - Todo polgono regular pode ser inscrito e circunscrito numa circunferncia. Jeca 45

01) Determinar a soma das medidas dos ngulos inter- 02) Determinar a soma das medidas dos ngulos externos e o nmero de diagonais de um pentadecgono nos e o nmero de diagonais de um octodecgono convexo. convexo.

03) Determinar a medida de cada ngulo interno e de 04) Determinar a medida de cada ngulo interno e o n cada ngulo externo de um enegono regular. de diagonais de um octgono regular.

05) Determinar a soma das medidas dos ngulos internos de um polgono convexo que tem 65 diagonais.

06) Determinar o n de diagonais de um polgono regular cuja medida de cada ngulo externo 30.

07) Determinar o n de diagonais de um polgono regular sabendo-se que a medida de um ngulo interno excede a medida do ngulo externo em 132.

08) Determinar a medida do ngulo externo de um polgono regular que tem 14 diagonais.

Jeca 46

09) Dados dois polgonos convexos, A e B, sabe-se que B tem 4 lados e 30 diagonais a mais do que A. Determine quais so os polgonos A e B.

10) Dados dois polgonos regulares, A e B, sabe-se que B tem 6 lados a mais do que A e a diferena das medidas de seus ngulos externos 16. Determine quais so esses polgonos.

11) Determine a medida do ngulo agudo formado entre a diagonal AF e lado AB de um dodecgono regular ABC.... KL.

12) Determine a medida do ngulo agudo formado pelos prolongamentos das diagonais AC e DG de um dodecgono regular ABC...KL.

Jeca 47

13) (UNIFESP-SP) Pentgonos regulares congruentes podem ser conectados, lado a lado, formando uma estrela de cinco pontas, conforme destacado na figura. Nestas condies, o ngulo q mede: a) 108 b) 72 c) 54 d) 36 e) 18

14) (FUVEST-SP) Dois ngulos internos de um polgono convexo medem 130 cada um e os demais ngulos internos medem 128 cada um. O n de lados desse polgono : a) 6 b) 7 c) 13 d) 16 e) 17

q

15) (CESGRANRIO-RJ) No quadriltero ABCD da figura abaixo, so traadas as bissetrizes CM e BN, que formam entre si o ngulo a. A soma dos ngulos internos A e D desse quadriltero corresponde a: a) a/4 b) a/2 c) aD

16) (MACK-SP) Os lados de um polgono regular de n lados, n > 4, so prolongados para formar uma estrela. A medida, em graus, de cada vrtice da estrela : a) 360 n (n - 4) . 180 b) n c) (n - 2) . 180 n d) 180 _ 90 n e) 180 n

d) 2aN

e) 3a

C

aM A B

Jeca 48

Respostas desta aula.01) 2340 e 90 diagonais 02) 360 e 135 diagonais 03) 140 e 40 04) 135 e 20 diagonais 05) 1980 06) 54 diagonais 07) 90 diagonais 08) 360 / 7 09) Heptgono e undecgono 10) Enegono e pentadecgono 11) 60 12) 75 13) d 14) b 15) d 16) b




Polgonos convexos. Exerccios complementares da aula 05.

01) Dado um polgono convexo de 17 lados, determinar: a) a soma das medidas dos ngulos b) a soma das medidas dos ngulos c) o nmero de diagonais desse polexternos. gono. internos.

02) Dado um undecgono convexo, determinar: a) a soma das medidas dos ngulos b) a soma das medidas dos ngulos c) o nmero de diagonais desse polexternos. gono. internos.

03) Determinar o nmero de lados e o nmero de diagonais de um polgono convexo cuja soma das medidas dos ngulos internos 2160.

04) Determinar a soma das medidas dos ngulos internos de um polgono convexo que tem 44 diagonais.

Jeca 50

05) No pentgono ao lado, AB // DE. Determinar a soma das medidas dos ngulos internos assinalados.

A

B

C

E

D

06) Determinar os polgonos convexos A e B, sabendo-se que A tem 2 lados e 23 diagonais a mais que o polgono B.

07) Dado um enegono regular, determinar : a) o nmero de lados do enegono. b) a soma das medidas dos ngulos c) a medida de cada ngulo interno. internos.

d) a soma das medidas dos ngulos e) a medida de cada ngulo externo. f) o nmero de diagonais do enegoexternos. no.

08) Determinar qual o polgono regular cuja medida de um ngulo externo igual a 2/7 da medida de um ngulo interno.

Jeca 51

09) Dado um pentadecgono regular, determinar : a) o nmero de lados do pentadecgono. b) a soma das medidas dos ngulos c) a medida de cada ngulo interno. internos.

d) a soma das medidas dos ngulos e) a medida de cada ngulo externo. f) o nmero de diagonais do pentaexternos. decgono.

10) Determinar dois polgonos regulares, A e B, sabendo-se que A tem 3 lados a mais que B e que a diferena entre as medidas dos seus ngulos externos 6.

11) Dado um decgono regular ABCDE , determinar a medida do ngulo agudo compreendido entre o lado AB e a diagonal AC.

12) Dado um dodecgono regular ABCDE , sendo O o centro do dodecgono, determinar a medida do ngulo AOE.A

B

C

D E

L

F O K J I H G

Jeca 52

13) Dado um decgono regular ABCDE , sendo O o centro do polgono, determinar :A

J

B

I

C

O

H

D

G

E

F

a) a soma das medidas dos ngulos b) a medida de cada ngulo externo. c) a soma das medidas dos ngulos internos do decgono. externos do decgono.

d) a medida de cada ngulo interno.

e) a medida do ngulo obtuso forma- f) a medida do ngulo agudo formado pelos prolongamentos dos lados do pelos prolongamentos dos lados BC e DE. BC e EF.

g) a medida do ngulo agudo formado entre as diagonais BI e AG.

h) a medida do ngulo EOG.

i) a medida do ngulo EBC.

Jeca 53

14) No pentadecgono regular abaixo, determinar a 15) No icosgono regular abaixo, determinar as medimedida do ngulo agudo formado entre as diagonais das dos ngulos x, y e z. A B U ND e BJ.P N M L O A B S C R D E F J I H G Q P N M L K J I H x y T z C D E O F G

K

DICA - Aplique ngulos inscritos


16) No dodecgono regular de centro O abaixo, determinar as medidas dos ngulos x, y, z e t.A L K z J y t O D x B

17) A figura abaixo representa um quadriltero BEIK inscrito em um dodecgono regular ABC... . Determinar as medidas dos ngulos x, y, z e t.A L B y K C x D z E H G F

C

J E I t

O

I H G F



18) A figura abaixo representa um octgono regular 19) No enegono regular ABCD , determinar a ABCD de centro O. Sendo OH a bissetriz do ngulo medida do ngulo x formado pelas retas AG e DF. AHG e OB a mediatriz do segmento BC, determinar as A medidas dos ngulos x, y, z e t.A H x z y t G O C G D B H O C I B

F E

D

x

F

E


Jeca 54


20) Na figura ao lado, determinar o valor de x + y.93 y

21) Dado um polgono convexo ABCD... com n lados, n > 3, o nmero de diagonais do polgono que no passam pelo vrtice A dado por: a) 5n - 4 b) n - 11n2 2

x10

5

c) n - 5n + 6 2 d) n(n-3) 288

e) 2n - 4

2

22) Se a soma dos ngulos internos de um polgono regular 1620, sendo x a medida de cada ngulo externo ento: a) x = 18 b) 30 < x < 35 c) x = 45 d) x < 27 e) 40 < x < 45

23) Trs polgonos tm o nmero de lados expressos por nmeros inteiros consecutivos. Sabendo que o nmero total de diagonais dos trs polgonos igual a 28, determine a polgono com maior nmero de diagonais.

24) Na figura ao lado, ABC um tringulo eqiltero e DEFGH um pentgono regular. Sabendo-se que D pertence ao lado AC, F pertence ao lado AC, G e H pertencem ao lado BC, determinar as medidas dos ngulos ADE e CDH.A

25) Dado o enegono regular ao lado, determinar a medida do ngulo formado pelos prolongamentos dos lados AB e DE.A I B

H E

C

X

D

F

G

D

F C H G B

E

Jeca 55

26) Os lados de um polgono regular de n lados, com n > 4, so prolongados para formar uma estrela. Dar a expresso que fornece a medida de cada um dos n-

27) (MACK-SP) Num quadriltero convexo, a soma de dois ngulos internos consecutivos mede 190. O maior ngulo formado pelas bissetrizes internas dos dois outros ngulos mede: a) 105 b) 100 c) 90 d) 95 e) 85

28) (ITA-SP) O nmero de diagonais de um polgono regular de 2n lados, que no passam pelo centro da circunferncia circunscrita a esse polgono, dado por: a) 2n(n - 2) b) 2n(n - 1) c) 2n(n - 3) d) n(n - 5) 2 e) n.d.a.

29) (FEI) O menor ngulo interno de um polgono convexo mede 139, e os outros ngulos formam com o primeiro uma progresso aritmtica de razo 2. Determine o nmero de lados do polgono.

Jeca 56

Respostas desta aula01) a) 2700 02) a) 1620 16) x = 75, y = 45, z = 30 e t = 120 b) 360 b) 360 c) 119 17) x = 105, y = 90, z = 75 e t = 90 c) 44 18) x = 135, y = 135, z = 67,5 e t = 112,5 19) 40 20) 74 21) c 22) b 23) heptgono b) 1260 f) 27 c) 140 d) 360 24) 24 e 48 25) 60 26) 180 (n - 4) n 27) d 28) a 29) 12

03) 14 lados e 77 diagonais 04) 1620 05) 360 06) Quadridecgono e dodecgono 07) a) 9 e) 40

08) Enegono 09) a) 15 e) 24 b) 2340 f) 90 c) 156 d) 360

10) Pentadecgono e dodecgono 11) 18 12) 120 13) a) 360 e) 108 i) 36 14) 72 15) x = 27, y = 108 e z = 45 b) 36 f) 72 c) 1440 g) 54 d) 144 h) 72




Aula 06 ngulos na circunferncia.

I) Elementos da circunferncia.A r C r r D B

a

P

C - centro da circunferncia AC = r - raio da circunferncia AB = 2r - dimetro da circunferncia ACD = a - ngulo central APD - arco da circunferncia AD - corda da circunferncia

II) Posies relativas entre ponto e circunferncia.A B A - ponto exterior B - ponto da circunferncia C D D - ponto interior C - centro da circunferncia

III) Posies relativas entre reta e circunferncia.ponto de tangncia

reta ta

ngent e

reta sec

ante

reta exterior

IV) Propriedades da circunferncia. 1) Em toda circunferncia, a medida 2) Em toda circunferncia, o raio 3) Em toda circunferncia, o raio, do ngulo central igual medida perpendicular reta tangente no quando perpendicular corda, divido arco correspondente. ponto de tangncia. de essa corda ao meio.A

APB = aP C C B M A AM = MB

C

aB

V) ngulos na circunferncia. a) ngulo inscrito na circunferncia. o ngulo que tem o vrtice na "linha" da circunferncia e os dois lados secantes a essa circunferncia. Propriedade - O ngulo inscrito vale a metade do ngulo central ou a metade do arco correspondente.vrtice

b) ngulo de segmento. o ngulo que tem o vrtice na "linha" da circunferncia, um lado secante e um lado tangente a essa circunferncia. Propriedade - O ngulo de segmento vale a metade do ngulo central ou a metade do arco correspondente.nt e ca

a b b a

- ngulo central - ngulo inscrito

a b

- ngulo central - ngulo de segmento

b= a 2Jeca 58

vrtice

a btangente

se

b= a 2

IV) Consequncias do ngulo inscrito. 1) Todo tringulo retngulo pode ser 2) Em todo tringulo retngulo, a 3) Todos os ngulos de uma circuninscrito numa semicircunferncia mediana relativa hipotenusa vale ferncia inscritos no mesmo arco onde a hipotenusa coincide com o a metade dessa hipotenusa. so congruentes. dimetro.ngulo inscrito mediana relativa hipotenusa

b b

arco de medida 2b

Rhipotenusa e dimetro hipotenusa

RR

b

b

4) Em todo quadriltero inscrito numa circunferncia os ngulos internos opostos so suplementares. a + b = 180 e g + q = 180

5) ngulo excntrico de vrtice interno. x= a+b 2

6) ngulo excntrico de vrtice externo. x= a-b 2

a

C q bvrtice vrtice

a

b x

a

b

x

g

Exerccios - 01) Nas circunferncias abaixo, sendo O o centro, determine a medida do ngulo ou do arco x. a) b) c)x

x x O 118 O 46 41

O

d)

e)x

f)

39 x

O

O

62

O

x

g)

h)

i)x

62

O 104 x

O

x

O

87

Jeca 59

02) Nas figuras abaixo, sendo O o centro da circunferncia, determinar a medida do ngulo ou do arco x. a)B x A 3x x C O O x 55

b)

c)

O

12

4

D

d)

e)

f)

x 35 O x O

50

52

x O

g)

h) Tente fazer por outro mtodo.

i)88

x 37 O 37 O

x O

x

56

j)

k)

l)

87

142118

O x 33

O

O 34 x x

34

m)

n)

o)16 5

x 146 O x O 54ta ng en te

O x

77

Jeca 60

03) Na circunferncia abaixo pode-se afirmar que:H G F 70 B E D C A

04) (J) Dada uma circunferncia de dimetro AB, seja P um ponto da circunferncia distinto de A e de B. Pode-se afirmar que : a) PA = PB b) PA + PB = constante c) PA > PB d) (PA) + (PB) = constante e) (PA) - (PB) = constante2 2 2 2

a) as medidas dos arcos AHG e EDG so iguais. b) a soma dos arcos AHG e ABC 180. c) a soma dos arcos GFE e ABC 140. d) o arco GFE maior que o arco EDC. e) a soma dos arcos GFE e ABC 220. 05) Na figura abaixo, a circunferncia de centro C tangencia o tringulo DEF nos pontos A e B. Sabendose que a medida do ngulo interno D 40 e que a medida do arco AGB 75, determinar a medida do ngulo x.D

06) Na figura abaixo, os pontos A, B e C so pontos da circunferncia de centro O. O valor de x + y : a) 242 b) 121 c) 118 d) 59 B e) 62A x O

11 8A G E x B F C C y

07) Na figura abaixo, as duas circunferncias tm o mesmo raio e centros nos pontos R e S. Os pontos A, P, B e S esto na circunferncia de centro R e os pontos M, N, R e K esto na circunferncia de centro S. Se o arco APB mede 86, ento o ngulo MKN, mede : A a) 23 b) 21 30 M c) 22 d) 22 30 P R S e) 43B N K

08) Dado um pentgono regular ABCDE, consti-se uma circunferncia pelos vrtices B e E de tal forma que BC e ED sejam tangentes a essa circunferncia, em B e em E, respectivamente. Determine a medida, em graus, do menor arco BE dessa circunferncia.B

A C

E

D

09) Na figura abaixo, AB o dimetro e C, D e E so 10) (MACK-SP) Na figura a seguir, os arcos QMP e pontos da circunferncia. Sabendo-se que o ngulo MTQ medem,respectivamente, 170 e 130. Ento, o arco MSN mede: DCE mede 38, determine a medida do ngulo EFD. a) 60 b) 70 c) 80 d) 100 e) 110C P

S A F D E B N

M

T Q

Jeca 61

11) No pentadecgono regular abaixo, determinar a 12) No icosgono regular abaixo, BK, CN e HN so medida do ngulo agudo formado entre as diagonais diagonais. Determine as medidas dos ngulos x, y e z. NE e BJ.P N M L O A B C S D E F J I H G R z Q P x N M L K J I y H O F G T U A B C D E

K



13) No dodecgono regular de centro O abaixo, determinar as medidas dos ngulos x, y, z e t.A L K z J x y O t D B

14) A figura abaixo representa um quadriltero BEFK inscrito em um dodecgono regular ABC... . Determinar as medidas dos ngulos x, y, z e t.A L B y K x C

C

J E I

O z t H G F

D

I H G F

E



15) A figura abaixo representa um enegono regular 16) No enegono regular ABCD , determinar a ABCD de centro O. Sendo OI a bissetriz do ngulo medida do ngulo x formado pelas retas IB e DE. AIH e OP a mediatriz do segmento FE, determinar as A medidas dos ngulos x, y, z e t.A I t H x z G y D F F P E E O G D C B H O C I B x


Jeca 62


Respostas desta aula.01) a) 59 f) 28 02) a) 28 f) 38 k) 42 03) e 04) d 05) 35 06) d 07) b 08) 144 09) 108 10) a 11) 84 12) 45, 99 e 36 13) 75, 30, 45 e 60 14) 60, 90, 120 e 90 15) 140, 140, 70 e 140 16) 40

b) 82 g) 28 b) 22 30' g) 53 l) 92

c) 92 h) 76

d) 39 i) 87

e) 90

c) 110 h) 53 m) 107

d) 20 i) 72 n) 54

e) 40 j) 120 o) 59




ngulos na circunferncia. Exerccios complementares da aula 06.

01) Nas figuras abaixo, sendo O o centro da circunferncia, determinar a medida do ngulo ou do arco x.a) b) c)

86

246

x O x V 76 O

O

x

V

V

d)

e)

f) 29 x

x

136

O

O

88

O

x

g) x O 94

h)

x

i)10

x68

2

70

23

O

O

87

j)

l)

m) x

106

33 O x

O

O

38

x n) 51

o) x

p)

196

x O x 56 O O

Jeca 64

02) Nas figuras abaixo, sendo O o centro da circunferncia, determinar a medida do ngulo ou do arco x.a) x b) x c) 78

O

O

O

2x

98x

d) x

e)

f) x 5888

42O O

x O

57

g)

h)

i)

x

56 O O 26 x 94 O

1x

40

40 36

j) x O 82 68

l)

m)

x 55

120

O

115

x

O10 0

n)

o)

p)

56 O x x O

48 O

44

x

Jeca 65

03) Na circunferncia de centro C abaixo, AB um dimetro e a medida do segmento DE a metade da medida de AB. Determine a medida dos ngulos ADB, ECD e AFE.B C

04) Na figura abaixo, as retas PA e PB so tangentes circunferncia de centro C nos pontos A e B. Sabendo-se que o ngulo APB mede 48, determinar a medida do arco ADB.A P

C F A D D B E

05) Na figura abaixo, A, B, C e D so pontos da circunferncia de dimetro AD e centro O. Determine a medida do ngulo AEB.C B A x E

06) Sejam P, Q e R pontos de uma circunferncia de centro O, tais que P e Q esto do mesmo lado do dimetro que passa por R. Sabendo que ORP = 20 e ROQ = 80, calcule o ngulo PQO.

2872 O

D

O

R

07) Na figura abaixo, AB o dimetro e C, D e E so 08) Na figura abaixo, AB = 12 cm um dimetro da cirpontos da circunferncia. Sabendo-se que o ngulo cunferncia de centro C. Sendo D um ponto da circunferncia diferente de A e de B, determine : DCE mede 35, determine a medida do ngulo BFE. a) a medida do ngulo ADB. C b) o tipo do tringulo ADB. c) o que o segmento CD no tringulo ADB. d) a medida do segmento CD.A F A E D B C D B

Jeca 66

09) A figura abaixo representa um enegono regular inscrito em uma circunferncia de centro O. Determinar a medida do ngulo agudo formado entre as diagonais GB e HD.A I B

10) A figura abaixo representa um decgono regular inscrito em uma circunferncia de centro O. Sendo OJ e OC as bissetrizes dos ngulos AJI e BCD respectivamente, determinar a medida do ngulo COJ.A J B

H x O

C

I

C

O G D H D

F

E G F E



11) A figura abaixo representa um heptgono regular 12) A figura abaixo representa um pentadecgono reinscrito numa circunferncia de centro O. Determinar a gular inscrito numa circunferncia de centro O. Determinar o ngulo obtuso formado entre as diagonais MD medida do ngulo BDG. e BI.A P G B N A B C

M O F C L O

D

E

K E D J I H G

F



Jeca 67

13) Na figura abaixo, os pontos A, B, C, M, N e P esto na circunferncia de centro O. Se o arco APC mede 160 e o ngulo BAC mede 63, qual a medida do ngulo ACB ? A a) 51 b) 43 P M c) 33 d) 47 e) 37 OC B N

14) Na figura abaixo, os pontos A, B, C, M, N e P esto na circunferncia de centro O. Se o arco AMB mede 110 e o ngulo ABC mede 63, qual a medida do ngulo BAC ? a) 62 A b) 64 P c) 58 M d) 63 e) 59O B N C

15) Na figura abaixo, AB o dimetro da circunferncia 16) (FUVEST-SP) A hipotenusa de um tringulo retnde centro O. Determinar a medida do ngulo ADC gulo mede 20 cm e um dos ngulos mede 20. sabendo que o ngulo BAC mede 35. a) Qual a medida da mediana relativa hipotenusa ? b) Qual a medida do ngulo formado por essa mediana C e pela bissetriz do ngulo reto ?D x A 35 O B

17) No tringulo ABC abaixo, AD, BE e CF so as alturas relativas aos vrtices A, B e C. Sendo as medidas dos ngulos ABC = 48 e ACB = 64,determinar as medidas dos ngulos internos do tringulo DEF.

sa De

fioA

F

E

O

B

D

C

Jeca 68

Respostas desta aula. 01) a) 43 b) 123 c) 152 d) 136 e) 44 f) 29 g) 16 h) 128 i) 95 j) 57 l) 34 m) 90 n) 39 o) 124 p) 82 02) a) 60 b) 98 f) 156 g) 24 l) 65 m) 70 c) 204 h) 42 n) 112 d) 33 e) 48 i) 112 j) 96 o) 46 p) 48 08) a) 90 c) mediana 09) 60 10) 108 11) 360 / 7 12) 108 03) 90, 60 e 60 13) e 04) 228 14) a 05) 22 15) 125 06) 60 16) a) 10 cm 07) 55Resoluo do exerccio 17) (Desafio) O quadriltero AFOE inscrito numa circunferncia, pois os os ngulos opostos AFO e AEO so suplementares. Desenhando-se a circunferncia percebe-se que os ngulos EAO e EFO so congruentes pois esto inscritos no mesmo arco da mesma circunferncia. Anlogamente provam-se os demais ngulos. A

b) tringulo retngulo d) 6 cm

b) 25

26 F 26 E

O

64 B D C

DEF = 84 DFE = 52 EDF = 44




Aula 07 Segmentos proporcionais.

I) Teorema de Tales. Em todo feixe de retas paralelas, cortado por uma reta transversal, a razo entre dois segmento quaisquer de uma transversal igual razo entre os segmentos correspondentes da outra transversal.r a c d t r // s // t s

II) Teorema da bissetriz interna. Em todo tringulo, a bissetriz de um ngulo interno divide internamente o lado oposto em dois segmentos que so proporcionais aos lados adjacentes.Abissetriz

a aTeorema de Tales c b Teorema da bissetriz interna

b

c a = d b

B x y

C

y x c = b

Exerccios. 01) Determine o valor de x na figura abaixo.r // s // t r 8 5 x s 6 18 t 24 t x 8

02) Determine o valor de x na figura abaixo.r // s // t r s

03) Determine o valor de x na figura abaixo.r 12 s 10

04) Determine o valor de x na figura abaixo.r 5 x 8

x t r // s // t

18

4

s r // s

05) Determine o valor de x na figura abaixo.r 6 s 10 t r // s // t 12 x

06) Determine o valor de x na figura abaixo.x r 7 8 s r // s

11

Jeca 70

07) (MAPOFEI 76) Trs terrenos tm frente para a Rua A e para a Rua B, como mostra a figura. As divisas laterais so perpendiculares Rua A. Qual a medida de frente para a Rua B de cada lote, sabendo que a frente total para essa rua 180 m.xRua B y

08) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s so paralelas entre si e so cortadas pelas retas u e v. Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6, EF = 7 e JL = 8, determine a medida de GJ e de HM.A B C G H p I q D J r E L s F u M v m n

z

40 m

30 m Rua A

20 m

09) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s so paralelas entre si e so cortadas pelas retas u e v. Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6, EF = 7 e JM =15, determine as medidas de HL e GM.A B C D G H p I q J r E L s F u M v m n

10) (UNICAMP) A figura a seguir mostra um segmento AD dividido em trs partes: AB = 2cm, BC = 3 cm e CD = 5 cm. O segmento AD' mede 13 cm e as retas BB' e CC' so paralelas a DD'. Determine os comprimentos dos segmentos AB', B'C' e C'D' em centmetros.A B B' C' C D

D'

Jeca 71

11) No tringulo ABC abaixo, sendo AD a bissetriz do ngulo interno do vrtice A, determine a medida do segmento AC. Acm

12) No tringulo ABC abaixo, sendo AD a bissetriz do ngulo interno do vrtice A, determine a medida do segmento BD. A16 c m

a aB 6 cm 9 cm D C

a a

10 cm

12

B

D 20 cm

C

13) Na figura, AD bissetriz interna do ngulo A. Calcule a medida do segmento CD.A

14) Determinar o valor de x sabendo-se que na figura abaixo AD a bissetriz interna do ngulo A.A

3014 cm

cm

cm

16

3x

+1

3x 3

B

D

C

B

12 cm D

9 cm

C

15) O quadrado ABCD da figura abaixo tem lado 4 cm. Determine a medida do segmento DE.A B

16) Na figura abaixo, o ponto E o incentro do tringulo ABC. Sendo BD = 3 cm, CD = 5 cm e AC = 10 cm, determine o valor da razo DE / AE.A

3a aE B D E C 3 cm C 5 cm

10

cm

D

17) Na figura abaixo, sendo AD a bissetriz do ngulo A, determine a em funo de b, c e d.B ba

A

a a d

D

c C

18) Dado um tringulo ABC de lados AB = c, AC = b e BC = a, sendo c < b < a. Se a bissetriz do ngulo A divide o lado BC em dois segmentos, qual a medida do menor desses segmentos ? a) b . c a+c b) b . c a+b c) a . b b+c d) a . c b+c e) a . b b-c

Jeca 72

19) (Fuvest-SP) Um tringulo ABC tem lados AB = 5, BC = 4 e AC = 2. Sejam M e N os pontos de AB tais que CM a bissetriz relativa ao ngulo ACB e CN a altura relativa ao lado AB. Determine o comprimento de MN.

20) Na figura abaixo, ABC um tringulo retngulo e o segmento BD a bissetriz interna do ngulo ABC. Determine a medida de BD sabendo que BC = 25 cm e que AB = 7 cm. B

A

D

C

21) Na figura abaixo, o tringulo ABC retngulo em A ; AM a mediana relativa hipotenusa e AD a bissetriz do ngulo BAC. Determinar a medida do segmento DM.A

22) (MAPOFEI-SP) O permetro de um tringulo 100 m. A bissetriz do ngulo interno A divide o lado oposto em dois segmentos de 16 m e 24 m. Determine as medidas dos lados desse tringulo.

m

8c

m

5 cm

6c

B

D

M

C

Jeca 73

Respostas desta aula.01) 48 / 5 02) 32 / 3 03) 108 / 5 04) 32 / 5 05) 96 / 5 06) 88 / 7 07) 80 m, 60 m, e 40 m 08) 16 e 88 / 3 09) 225 / 13 e 375 / 13 10) 13 / 5, 11) 18 cm 12) (160 / 13) cm 13) (112 / 15) cm 14) 5 cm 15) 4( 2 - 1) cm 16) 1 / 2 17) b.d / c 18) d 19) 11 / 30 20) (35 / 4) cm 21) (5 / 7) cm 22) 24 cm, 40 cm e 36 cm 39 / 10 e 13 / 2




Teorema de Tales e Teorema da bissetriz interna. Exerccios complementares da aula 07.02) Na figura abaixo, sendo a // b // c //d , determinar x e y.a 7 4 y d 5 x c 4 d b

01) Na figura abaixo, sendo a // b // c //d , determinar x a e y.5 8 x 10 c y 7 b

03) Na figura abaixo, determine z em funo de y.r // s // t r x s 3x t z y

04) Na figura abaixo, sendo x + y = 9, determinar o valor de x e de y.r 2 s 3 t y r // s // t x

05) Na figura abaixo, determinar x, y e z.r x s y t 11 u v z r // s // t // u // v 2 3 7

06) Na figura abaixo, determine o valor de x.9 cm

6 cmx

7 cm9

07) Na figura abaixo, determine o valor de x em funo 08) Num tringulo ABC, o lado AC mede 32 cm e o lado BC, 36 cm. Por um ponto M situado sobre AC, a 10 cm de a, b e c. do vrtice C, traamos a paralela ao lado AB, a qual r divide BC em dois segmentos BN e CN. Determine a medida de CN.a r // s c s b x

Jeca 75

09) Na figura abaixo, as retas r , s e t so paralelas entre si. Se x + y = 12, ento o valor que mais se aproxima de x - y, : a) b) c) d) e) 1,03 1,33 1,57 1,75 2,00

10) Na figura abaixo, as retas a, b, c, d, e e f so paralelas entre si. Determine o valor da soma das medidas dos segmentos x, y, z e t.a b 2 3 c 4 y z t d 5 e 6 f 3 x

r y x 4 5 s t

11) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s so paralelas entre si e so cortadas pelas retas u e v. Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6, EF = 7 e LM = 8, qual a medida de HJ ? a) b) c) d) e) 83 / 9 81 / 7 93 / 9 72 / 7 89 / 8A B C D G H p I q J r E L s F u M v m n

12) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s so paralelas entre si e so cortadas pelas retas u e v. Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6, EF = 7 e HJ = 10, qual a medida de HM ? a) 198 / 7 A G m b) 223 / 9 n c) 220 / 9 B H d) 241 / 10 p e) 241 / 11 C Iq D J r E L s F u M v

13) Na figura abaixo, AD a bissetriz do ngulo BAC. 14) Na figura abaixo, AD a bissetriz do ngulo BAC. Determine a medida do segmento BD e o valor do pe- Determine a medida dos segmentos BD e CD. rmetro do tringulo ABC. AA a acm

a

a16 cm

18

cm

12

8 cm B D C

12 cmB

C D 20 cm

Jeca 76

15) Num tringulo ABC, CD a bissetriz do ngulo interno ACB. Sabendo que AD = 7 cm, BD = 4 cm e AC = 15 cm, determine a medida do lado BC.

16) Observe a figura abaixo. De acordo com essa figura, qual das relaes abaixo verdadeira. a) a = b.d / c b) a = b.c / d b c) a = c.d / b a d) a = c / (b.d) c x e) a = b.c.d x d

17) No tringulo ABD abaixo, BC a bissetriz do 18) (J) No tringulo ABC abaixo, AB = 12, AC = 8 e ngulo ABD, AB = 18 cm e BD = 15 cm. Determine a BC = 10. Determinar a medida de AD, sabendo que razo entre as medidas dos segmentos AC e CD. DE paralelo a BC e BE a bissetriz do ngulo interno do vrtice B. A BA D C D B C E

19) (J) Na figura abaixo, determinar x e y em funo de a, b, c, d e e.

20) (J) Na figura abaixo, determinar x, y e z em funo de a, b, c, d, e e f.

a15 b y d a b c 15 15 15 a e f x

a

a ay d z

c

x

e

Jeca 77

21) (J) Na figura abaixo, as retas a, b, c, d e e so paralelas entre si. Determine o valor da expresso E = x . y + t.a b c x d 10 e 11 9 7 5 6 y t

22) (J) No tringulo ABC abaixo, AB = 6, AC = 9 e BC = 8. Sabendo que D o ponto de encontro das trs bissetrizes dos ngulos internos do tringulo ABC, determine a razo entre CD e DT.A

S T D B C

R

23) (J) No tringulo ABC abaixo, AB = 6, AC = 9 e BC = 8. Sabendo que D o incentro do tringulo ABC e que V o ponto onde a circunferncia de centro em D tangencia o lado BC, determine a distncia VR.A

24) (J) Determine a medida de uma diagonal de um pentgono regular de lado K.

K

S T D B C d

V R

Jeca 78

Respostas desta aula.01) 25 / 4 e 28 / 5 02) 28 / 5 e 20 / 7 03) 3y 04) 18 / 5 e 27 / 5 05) 63 / 11, 27 / 11 e 22 / 9 06) (21 / 2) cm 07) a.c / b 08) (45 / 4) cm 09) b 10) 27 11) d 12) c 13) 12 cm e 50 cm 14) (60 / 7) cm e (80 / 7) cm 15) (60 / 7) cm 16) a 17) 6 / 5 18) 72 / 11 19) a.c / b 20) b.e / a, 21) 887 / 18 22) 17 / 6 23) 7 / 10 24) K(1 + 5 ) / 2 e a.c.d / b.e e e(c + d) / (a + b)

c.f / b




Aula 08 Semelhana de tringulos.

I) Semelhana de tringulos. Definio. Dois tringulos so semelhantes se tm os ngulos dois a dois congruentes e os lados correspondentes dois a dois proporcionais. Definio mais "popular". Dois tringulos so semelhantes se um deles a reduo ou a ampliao do outro.

A

semelhante

C D

B

A B C>

D E F

DABC ~ DDEF

e AB AC = BC = k = DE DF EF

F

E

K - razo da semelhana ou constante de proporcionalidade.

Importante - Se dois tringulos so semelhantes, a proporcionalidade se mantm constante para quaisquer dois segmentos correspondentes, tais como: lados, medianas, alturas, raios das circunferncias inscritas, raios das circunferncias circunscritas, permetros, etc. II) Casos de semelhana. (Como reconhecer a semelhana de tringulos) 1) Caso AA 2) Caso LLL. 3) Caso LAL. Dois tringulos so semelhantes Dois tringulos so semelhantes Dois tringulos so semelhantes se dois ngulos (AA) de um deles se tm os trs lados dois a dois or- se tm um ngulo congruente e os so congruentes a dois ngulos do denadamente proporcionais. dois lados de um tringulo adjacenoutro. tes ao ngulo so proporcionais aos dois lados adjacentes ao ngub a lo do outro tringulo.(importantssimo).

a

bd

c e

a

ac d

a

b

f

c a = = k f d af

c a b = e = = k f d III) Como aplicar a semelhana de tringulos.

a) Reconhecer a semelhana atravs dos "casos de semelhana". b) Desenhar os dois tringulos separados. c) Chamar de a, b e g os trs ngulos de cada tringulo. d) Escolher um tringulo para ser o numerador da proporo. e) Montar uma proporo entre segmentos correspondentes, mantendo sempre o mesmo tringulo no numerador da proporo. Exerccio 01 - Utilizando a tcnica de aplicao da semelhana de tringulos acima descrita, determine o valor de x na figura abaixo.A a

12

D

4a B x C

Jeca 80

02) Na figura abaixo o segmento DE paralelo 03) Na figura abaixo, AB = 7 cm, BC = 5 cm, ED = 6 cm base BC, AB = 9 cm, AC = 13 cm, BC = 12 cm e a me- e BE mede 10 cm e paralelo a CD. Determine a dida de DE 8 cm. Determine as medidas dos seg- medida dos segmentos AE e CD. mentos AD e AE. A A

E B D B E C C D

04) Na figura, AB = 5 cm, BE = 3 cm e AE = 7 cm. Determine a medida dos segmentos AC e CD, sabendo que BE paralelo a CD e que o permetro do tringulo ACD mede 45 cm. D

05) Na figura, o trapzio ABCD tem bases AB = 8 cm, CD = 18 cm e altura 12 cm. As diagonais AC e BD interceptam-se no ponto E. Determine a distncia entre o ponto E e a base CD.A B E d

E

A

B

C D C

06) Na figura, o trapzio ABCD tem bases AB = 8 cm, 07) Na figura, AB // DE, AB = 8 cm, DE = 4 cm e BD CD = 18 cm e altura 12 cm. Sendo E o ponto de inter- mede 14 cm. Determine a medida do segmento CD. seco dos prolongamentos dos lados AD e BC, deA termine a altura relativa base AB do tringulo ABE.

A

B

D B C

E C

D

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