Duas figuras são congruentes quando possuem a mesma forma e tamanho (mesma medida).
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GEOMETRIA GEOMETRIA PLANA PLANA
Prof. FabianoProf. Fabiano
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POLÍGONOS REGULARES
O O ORR Ra a a
...
R = Raio- raio da circunf. circunscrita - distância do centro a um vértice
a = Apótema- Raio da circunferência inscrita- distância do centro ao meio de um lado
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POLÍGONOS REGULARES
O O ORR Ra a a
...
R = Raio- raio da circunf. circunscrita - distância do centro a um vértice
a = Apótema- Raio da circunferência inscrita- distância do centro ao meio de um lado
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TRIÂNGULO EQUILÁTERO
R
a.O
h = —— 32
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QUADRADO
Ra
.O
2d =
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HEXÁGONO REGULAR
Ra
O.
6 triângulos equiláteros
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ÁREAS PLANASRETÂNGULO
b.hS = PARALELOGRAMO
bh
bh
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ÁREAS PLANAS
QUADRADO
2S =TRAPÉZIO
S = 2————(B+b).h
b
B
h
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ÁREAS PLANAS
TRIÂNGULO
b
h S = 2———b.h
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CIRCUNFERÊNCIA
C = RO. 2πR
πR2S =
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MEDIANA Mediana é o segmento que vai de um vértice qualquer de um triângulo até o ponto médio do lado oposto. Veja o exemplo:
No triângulo ABC acima, o ponto "D" é o ponto médio do lado CB. Portanto, o segmento AD é a mediana relativa ao lado "A" do triângulo ABC.Como o triângulo possui três lados e três vértices, possui também três medianas (uma para cada vértice).
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MEDIATRIZConsideremos um segmento AB e seja M o ponto médio do segmento. A reta r perpendicular ao segmento AB e que passa por M e denominada mediatriz do segmento AB.
Todo o triângulo tem três mediatrizes ( cada uma relativa a um lado), e se encontram no mesmo ponto C denominado circuncentro.
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ALTURAÉ o segmento cujas as extremidades são vértice do triângulo e a intersecção da perpendicular com o lado oposto ( ou seu prolongamento).
É interessante observar que,quando se trata de um triângulo obtusângulo, AH é a altura relativa ao lado BC.Todo o triângulo possui três alturas ( cada uma relativa a um lado), que se encontram num mesmo ponto O, denominado ortocentro
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BISSETRIZÉ a semi-reta que divide um ângulo em dois ângulos congruentes. Na figura a semi-reta OM é a bissetriz do ângulo AÔB pois os ângulos AÔM e MÔB são congruentes.
Todo o triângulo tem três bissetrizes (cada uma relativa a um ângulo), que se encontram num mesmo ponto I, denominado incentro.
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Pontos notáveis de um triângulo:
•1 - Incentro
•2 - Circuncentro
•3 - Baricentro
•4 - Ortocentro
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. 1. O incentro Chama-se bissetriz de um ângulo à reta que divide o ângulo em duas partes iguais. Ao ponto de intersecção das bissetrizes dos ângulos de um triângulo chamamos incentro. Este ponto é o centro da circunferência inscrita no triângulo.
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2. O circuncentroCom os três vértices do triângulo pode-se traçar um circunferência na qual o triângulo fica inscrito. O centro desta circunferência é o circuncentro - ponto de intersecção das mediatrizes dos lados do triângulo.
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3. O baricentro Unindo o ponto médio de cada lado do triângulo ao vértice oposto obtém-se um segmento de reta designado mediana. O ponto onde se interceptam as medianas é o baricentro ou centro de gravidade do triângulo.
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4. O ortocentro O ortocentro é o ponto onde se interceptam as alturas do triângulo, isto é, as perpendiculares traçadas desde os vértices até aos lados opostos (ou seus prolongamentos).
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ÂNGULOS
AGUDO
OBTUSO
30º
30º
30º
30º
150º
150º150º
150º
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Si =
Si =
180º
360ºSi = 180º(n-2)
QUALQUER POLÍGONO:
ÂNGULOS
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(FUVEST-98) As retas t e s são paralelas. A medida do ângulo x, em graus, éa) 30b) 40c) 50d) 60e) 70
ÂNGULOS
40º20º
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ÂNGULOS
40º20º
20º+90º+X=180º110º+X=180º
X=70º
(FUVEST-98) As retas t e s são paralelas. A medida do ângulo x, em graus, éa) 30b) 40c) 50d) 60e) 70
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ÂNGULOS
120º120º
60º 120º
OO
OO..
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90º
(UFMG-97) Observe a figura. Suponha que as medidas dos ângulos PSQ, QSR, SPR, assinalados na figura, sejam 45°, 18° e 38°, respectivamente. A medida do ângulo PQS, em graus, é:a) 38b) 63c) 79d) 87
Exercício resolvido
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(UFMG-97) Observe a figura. Suponha que as medidas dos ângulos PSQ, QSR, SPR, assinalados na figura, sejam 45°, 18° e 38°, respectivamente. A medida do ângulo PQS, em graus, é:a) 38b) 63c) 79d) 87
90º 36º
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90º 36º
76º
(UFMG-97) Observe a figura. Suponha que as medidas dos ângulos PSQ, QSR, SPR, assinalados na figura, sejam 45°, 18° e 38°, respectivamente. A medida do ângulo PQS, em graus, é:a) 38b) 63c) 79d) 87
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90º 36º
76º
90º + 36º + 76º + x = 360º
202º + x = 360º
x = 158º
x
(UFMG-97) Observe a figura. Suponha que as medidas dos ângulos PSQ, QSR, SPR, assinalados na figura, sejam 45°, 18° e 38°, respectivamente. A medida do ângulo PQS, em graus, é:a) 38b) 63c) 79d) 87
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90º 36º
76º
90º + 36º + 76º + x = 360º
202º + x = 360º
x = 158º
x = 158º
79º
(UFMG-97) Observe a figura. Suponha que as medidas dos ângulos PSQ, QSR, SPR, assinalados na figura, sejam 45°, 18° e 38°, respectivamente. A medida do ângulo PQS, em graus, é:a) 38b) 63c) 79d) 87
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80º
60º
60º
40º
40º
80º
A
E
F
D
C
B
≈
ÂNGULOS IGUAIS
SEMELHANÇA
LADOS PROPORCIONAIS
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∆ABC ∆DBE≈A C
B
ED
DE // AC
SEMELHANÇA
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TRIÂNGULO RETÂNGULOA
CB
b.
a
c h.
a2 = b2 + c2 ah = bc
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Exercício proposto(UFES-99) Na figura, as retas r e s são paralelas. A soma α+β+γ+δ das medidas dos ângulos indicados na figura éa) 180°b) 270°c) 360°d) 480°e) 540°
Resposta: eResposta: e
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(UEL-97) Na figura a seguir, tem-se os ângulos XYW, XZW e XTW, inscritos em uma circunferência de centro O.Se med do ângulo XOW=80°, então med do ângulo XYW +med do ângulo XZW +med do ângulo XTW é igual aa) 160° b) 150°c) 140° d) 120°e) 100°
Resposta: dResposta: d
Exercício proposto