Geometrias Mais geometrias · Modelo vetorial 1. Geometrias e armazenamento 2. Modelos de dados...

Modelo vetorial1. Geometrias e armazenamento2. Modelos de dados não topológicos

(spaghetti)3. Modelos de dados topológicos4. Topologia5. Operadores de análise espacial6. Generalização7. Análise de redes: algoritmos de Prim e

Dijkstra

Sistemas de Informação Geográfica

Geometrias

• Pontos:Estações de monitorização, descargas, captações

• Linhas:Troços de rios, canais de rega, eixos médios, margens de planos de água

• Polígonos:Planos de água, albufeiras, rios.

Geometrias

• O elemento básico da representação vetorial é o ponto, definido pelas suas coordenadas cartesianas.

• As linhas existem como linhas poligonais geradas a partir de um conjunto ordenado de pontos

• Sendo po,…,pn pontos de R2 (n> 0), designa-se por linha poligonal o subconjunto:

L< po,…,pn > ∪ i: 0< i <n-1 [pi,pi+1]

• Uma linha poligonal é simples se∀i: 0< i <n-1, L< po,…,pi > ∩ [pi,pi+1] = ∅

• Uma linha poligonal é um ciclo se:L<po,…,pn-1> é uma linha poligonal simplesL<po,…,pn-1> ∩ [pn-1,pn] = ∅

po=pn

Mais geometrias

Região de polígonos encaixados

Arcos são entidades compostas por segmentos

Arcos podem ser simplemente conexos, disjuntos, com circuitos ou com interseções

Região = entidade composta por polígonos

polígonos disjuntos

polígonos adjacentes

Linhas e polígonos

• Vértice: parte de uma linha poligonal• Segmento: linha que liga dois vértices • Arco: série (1 ou mais...) de

segmentos• Nó: vértice especial no início ou fim

de cada arco

• Polígono: área delimitada por uma série de um ou mais arcos formando uma linha fechada

• Ponto de label ou de âncora: no interior do polígono, para distinguir entre interior e exterior (pois o

polígono interior e o polígono exterior

são descritos pela mesma fronteira)

Armazenar a geometria

• Por pares de coordenadas:– Ponto: (x,y)– Linha: {(x1,y1),…, (xn,yn)}– Polígono: {(x1,y1),…, (xn,yn), [(x1,y1)]}

x1,y1

x2,y2 x3,y3

x4,y4

x5,y5x6,y6

B

APolígono Coordenadas

A x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4

B x1,y1,x4,y4,x5,y5,x6,y6

entidade-a-entidade


p1

p2 p3

p4

p5p6

B

A

Polígono Pontos

A p1,p2,p3,p4

B p1,p4,p5,p6

Ponto Coordenadas

p1 x1,y1

p2 x2,y2

... ...

dicionário de pontos


cadeias

p1

p2 p3

p4

p5p6

B

A

Cadeia Pontos

a p1,p2,p3,p4

b p1,p4

c p1,p6,p5,p4

Ponto Coordenadas

p1 x1,y1

p2 x2,y2

... ...

a

b

c

Polígono Cadeia

A a,b

B b,c

Modelos não topológicos

• As formas de codificação anteriores armazenam a geometria dos objetos.

• As relações espaciais entre os objetos têm de ser determinadas analiticamente.

• São modelos ditos “não-topológicos/ spaghetti”

– Se duas linhas se cruzam, existe uma relação topológica.

– Não é forçoso existir um vértice na interseção.– O ponto de interseção pode ser determinado

analiticamente (eg: pesquisando interseções entre os segmentos das linhas poligonais).

Modelos não topológicos• Entidade-a-entidade

P1 P2

0 10 20 30 40 50

010

2030

4050

• Dicionário de pontos

Polígono Nome Coordenadas

1 Villarriba (10,15),(5,25),(13,37),(22,25)

2 Villabajo (40,10),(33,15),(28,35),(40,40)

Polí-gono

Nome Pontos

1 Villarriba P1,P2,P3,P4

2 Villabajo P5,P6,P7,P8

Ponto Coordenadas

P1 (10,15)

P2 (5,25)

… …

P8 (40,40)

Os polígonos intersetam-se?

Modelos topológicos

• Um modelo vetorial diz-se “topológico” se as relações espaciais entre objetos forem armazenadas explicitamente.

• Objetivos– menor redundância geométrica (cada

“localização” só é guardada uma vez)– maior integridade– maior rapidez nas análises espaciais

• Exemplos: polygon-arc, arc-node, left-right

Topologia: Polygon-arc

A

D

EB

C

7

10

43

9

8

2

61

5

universo

universo

Polígono Cadeias

A 1,6,10,5

B 10,7,4

C 5,4,3,9

D 7,6,2,3,0,8

E 8

Cadeia Pontos

1 ...

2 ...

... ...

9 ...

10 ...

Topologia: Arc-node

polígonos, arcos orientados e nós

n1

v1 v2

n2

v3v4

a

b

c

Arco Nó Origem

Nó Destino

Vértices intermédios

a n1 n2 v1,v2

b n1 n2

c n1 n2 v4,v3

d n3 n1n3

d

há quebra nas interseções

Topologia: Left-right

Cadeia Esquerda Direita

1 U A

2 U D

3 C D

4 B C

5 A C

6 D A

7 D B

8 D E

9 U C

10 A B

o polígono universo é o exterior

Relações topológicas

• Conetividade• Adjacência

As relações topológicas são invariantes quando as

entidades são sujeitas a transformações topológicas,

isto é, quando sofrem translações, rotações ou

variações de escala.

Relações topológicasConetividade

Adjacência

Topologia

• Informação espacial: a topologia fornece o comprimento, distância, perímetro, área.

• Relação espacial: a topologia cria conexões, que funcionalmente ligam entidades que são adjacentes.

• Múltiplas ligações: Cada entidade é ligada a outras entidades, fornecendo múltiplas conexões (ligações).

• Análise de rede: As conexões funcionais, distância, e outras relações espaciais, combinadas com uma BD relacional, são o ideal para interpretar entidades de rede.

A topologia é aplicada (“construída”) habitualmente após a digitalização da

informação

Relações espaciais

O Dimensionally Extended Nine-Intersection Model, ou matriz de Clementini, indica as possívels relações entre geometrias

equals geometries are topologically equal

disjoint geometries have no point in common

intersects geometries have at least one common point

touches geometries have at least one boundary point in common, but no interior points

crosses geometries share some but not all interior points, and the dimension of the intersection is less than that of at least one of the geometries

within geometry “a” lies in the interior of geometry “b”

contains geometry “b” lies in the interior of geometry “a”

overlaps geometries share some but not all interior points, and the intersection has the same dimension as the geometries themselfves

Relações espaciais

• Matriz 3x3

WITHIN - linha A e polígono B

CONTAINS - multipontos A e B

• Apicações em BD espaciais, como PostGIS, Oracle Spatial, ArcSDE, Spatial Support for DB2, bibliotecas SIG

Exa

mp

los

de

Xio

ng

, Hu

i, “E

ncy

clo

ped

ia o

f G

IS”,

Sp

rin

ger

-V

erla

g

Operações de análise espacialOperações que recorrem à componente espacial da informação para a produção de resultados, espaciais ou alfanuméricos.

Conjunto de Dados Geográficos

Operação Espacial

Operação SQL

Sequência de Processo

Indicação de Prioridade no Processo

anál

ise

esp

acia

l

União

Tema A Tema B

Tema C

União (Union)א ב

-,א -,ב

אב

2 polígonos 1 polígono

5 polígonosHá herança de atributos, incluindo as propriedades geométricas de A e B, mais os seus próprios valores para essas propriedades

Cada um 5 polígonos sabe a sua área e perímetro, e as áreas e perímetros herdadas de A e de B

isto é um valor de um atributo União

anál

ise

esp

acia

l

• A operação de união é a operação fundamental (várias das outras operações de sobreposição topológica podem ser vistas como operações sobre subconjuntos de objetos resultantes de operações de uma união)• Ao efetuar a união é construída uma nova topologia• A operação de união só se define entre CDG de polígonos

-,א -,ב

א ב

א ב U =

Int

Tema A Tema B

Tema C

Interseção (Intersect)

anál

ise

esp

acia

l

Um dos temas A ou B tem de ser de polígonos

Pode-se intersetar:• pontos com polígonos• linhas com polígonos • polígonos com polígonos

Interseção

Como é uma interseção de dois CDG de polígonos

só surgem estes dois polígonos no CDG resultante

ID

Tema A Tema B

Tema C ( )

Identidade (Identity)

anál

ise

esp

acia

l

A id B B id A

Pode fazer-se esta operação entre 2 CDG de polígonos

Corte

Tema A Tema B

Tema C

anál

ise

esp

acia

l

Corte (Cut, Clip)

Fusão<atributo>

Tema A

Tema B

A1C1 C2

A3 B3

B2

Fusão (Dissolve)

anál

ise

esp

acia

l

1

3

2

A B

CFusão pelo primeiro atributo

Fusão pelo segundo atributo

Eliminação<condição>

Tema A

Tema B

A B

C

A B

C

Eliminação (Eliminate)

anál

ise

esp

acia

l

Elimição não é o mesmo que “apagar” simplesmente algumas entidades, pois implica uma fusão

Ex.: Eliminação por “área<x”

Atualização

Tema A Tema B

Tema C

Atualização

anál

ise

esp

acia

l

B “atualiza” AA e B são CDG de

polígonos

anál

ise

esp

acia

l

ΨΨ

Ψ

Ψ

Extração ou seleção (select)Tema A

Tema B

<Expressão>Ξ

Φ

Ξ

ΨΨ

Ψ

ΨA “expressão” é sempre booleana

Tema A

Tema B

Tipo = “Ψ”

Tema E

Part

Tema A Tema B

Tema DTemas

Partição

anál

ise

esp

acia

l

Voronoi

Tema A

Tema B

Diagrama de Voronoi

anál

ise

esp

acia

l

O resultado é sempre um tema de polígonos

Limite

Buffer< dist >

Tema A

Tema B

Buffer (envolvente)

anál

ise

esp

acia

l

Envolvente a pontos

Envolvente a polígonos

Envolvente a linhas

Acesso (service area)

anál

ise

esp

acia

l

Acesso< valor >

Tema A

Tema B

Tema linhas

A

B é a área acessível a partir de A a menos de x unidades de custo acumulável ao longo das linhas

anál

ise

esp

acia

l

Próximo

Tema A

Tema Aid_próximo,dist

Tema Bid=27

dist=580m

O Tema A fica com novas colunas (id_próximo e distância) na sua tabela de atributos

27

id=8dist=240m

8

15

Próximo (Nearest)Tabela A

Tabela C

Tabela B

Junção de tabelas

anál

ise

esp

acia

lID NUM TIPO

1 10 A

2 15 B

3 20 C

4 25 D

5 35 E

ID2 NUM COR

1 5 Azul

5 10 Amarelo

2 35 Amarelo

4 20 Vermelho

9 40 Verde

8 20 Branco

ID A.NUM TIPO B.NUM COR

1 10 A 5 Azul

2 15 B 35 Amarelo

3 20 C

4 25 D 20 Vermelho

5 35 E 10 Amarelo

Junção pelo atributo ID de A com o atributo ID2 de B

JunçãoID,ID2

Junção de tabelas

anál

ise

esp

acia

l

• É comum a utilização da junção de tabelas como modo de resolver diversas perguntas “espaciais”• Pode-se calcular atributos adicionais com estatísticasExemplo: pretende-se saber quantos pontos tem cada polígono no seu interior

Tema B2polígonos

JunçãoB.ID,B.ID

& contar pontos por polígono

Int

Tema Apontos

Tema Bpolígonos

Tema Cpontos

O tema B2 vai ter um atributo com o número de pontos em cada polígono

B “fornece” a parte espacial e atributos e C “fornece” mais atributos

Que operações?

Que operação?

E se o input for o tema amarelo?

Exemplo de diagrama de análise espacialExemplo de diagrama de análise espacial

Int

Tema A Tema B

Tema D

Buffer30m

Tema C

Tema E

Corte

Tema F

anál

ise

esp

acia

l

ID ValorID_Poli Soma

101

102

103

104

105

11

10

15

27

33

1

2

3

4

5

?

?

?

?

?

Int

Tema A Tema B

Tema C

ID Valor

101

102

103

104

105

11

10

15

27

33

ID_Poli

1

1

3

2

3

anál

ise

esp

acia

l

ID Valor

101102103104105

1110152733

ID_Poli

11323

S_Valor

212748

ID_Poli

123SELECT ID_Poli , SUM(Valor)

FROM Tema CGROUP BY ID_Poli

ID_Poli Soma

12345

?????

S_Valor

212748

ID_Poli

123

ID_Poli Soma

12345

21274800

an

álise

esp

acia

l

A100

C100C200

A300 B300

B200

100

300

200

AB

C

Int

Habitantes Zonas

Hab_Zon

anál

ise

esp

acia

l

exemplo

• Interpolação em áreas– Implica o cálculo da proporção de cada área num tema que

interseta os polígonos de um outro diferente

Secções estatísticas

Valores populacionais atribuídos proporcionalmente

Fonte: de Smith, Goodchild, Longley: “Geospatial Analysis - a comprehensive guide”, 2nd ed.

A60

C40C150

A100 B200

B50

10.2

11.5

12.3

A160B250

C190

Int

Habitantes Zonas

Hab_Zon

Habitantes

D=N_Hab/área

N_Hab = D*áreaSELECT SUM N_Hab

GROUP BY Zona

Tab_HabxZon

Solução simplificada usando a densidade populacional

Solução simplificada usando a densidade populacional

an

áli

se e

sp

acia

l

anál

ise

esp

acia

l

Cart

as d

e U

sos d

o S

olo

Info

rmação o

btida a

part

ir d

o P

DM

Ajuste manual dos limites para concelhos adjacentes

Plataforma harmonizada de

trabalho (USOS DO SOLO)

anál

ise

esp

acia

l

Rede viária (PRN2000):

IP, IC, AE e Estradas Regionais

Rede de estradas municipais (AML)

Rede viária

Calibração da rede:

• TMD;• Velocidade mínima;• Perfil da via;• Nº de pistas;• Penalizações

Determinação das isócronas

anál

ise

esp

acia

l

Isófonas

Conversão Analógico-digital

Contabilização das populações

abrangidas

Usos urbano e urbanizável

anál

ise

esp

acia

l Informação resultanteInformação resultante

Carta de acessibilidade em transporte individual aos principais aeroportos

Carta de Acessibilidade Regional (em condições desfavoráveis de circulação)

Quantitativo populacional de 1991 e cenários para 2008

Estrutura etária da população

Carta de condicionantes e espaços ecologicamente sensiveis

anál

ise

esp

acia

l

Carta de usos do solo afetados pelo ruído do aeroporto

Carta de usos do solo Carta de fatores de impacte no ordenamento do território

Carta de transformação direta do uso do solo

anál

ise

esp

acia

l

Exercício: LOCALIZAR UM PARQUE DE PIQUENIQUES

OBJETIVO Encontrar os locais com potencial para a construção de um parque de piqueniques.

CONDIÇÕES A zona deverá situar-se:C1 - a menos de 400m e a mais de 100m de estradas;C2 - a menos 300m de uma linha de água;C3 - não ser eucaliptal;C4 - não conter escarpas ou outros obstáculos naturais suscetíveis de produzirem acidentes;C5 - ter área superior a 1 ha.

DADOS - Todos os que identifique como necessários

anál

ise

esp

acia

l

Suponha que (...) pretende saber a localização de espécies florestais invasoras e promover a reflorestação com espécies endémicas, a fim de (...). Dispõe de dados sobre áreas florestais (polígonos para os quais se sabe a espécie dominante), freguesias (polígonos, sabendo-se para cada uma o número de habitantes), colmeias (pontos) e estradas (linhas).Elabore um diagrama de análise espacial para poder saber quais são as “áreas florestais de intervenção prioritária”, sabendo que estas terão de cumprir simultaneamente as quatro condições seguintes:1. a sua espécie dominante é a “acácia” ou a “mimosa”;2. estão integralmente situadas a menos de 400 m de uma estrada;3. têm pelo menos metade da sua área numa freguesia com mais de 1000

habitantes ou com mais de 500 habitantes por km2;4. contêm pelo menos uma colmeia.

Nota: não obedecerão à condição 2) as áreas florestais que tenham alguma

parte a mais de 400 m de uma estrada – ou seja, as áreas florestais não

devem ser divididas; admita que uma área florestal não pertence a mais que

duas freguesias

EXERCÍCIO: ESPÉCIES ENDÉMICAS (exame de 2010-11)

anál

ise

esp

acia

l

Suponha que, para uma determinada área de estudo, dispõe dos seguintes conjuntos de dados geográficos: edifícios (com indicação de número de habitantes), freguesias, estradas e zonas de risco sísmico (que pode ser “alto”, “médio” ou “baixo”). Elabore os diagramas de análise espacial para responder aos seguintes pedidos da Proteção Civil:

a. Como se poderia saber quais as freguesias que têm mais de 10% da sua área em zonas de risco sísmico “alto”?

b. Como se poderia saber quais as freguesias que têm mais de 10% dos seus habitantes em zonas de risco sísmico “alto”?

c. Em caso de sismo, não se pode circular em locais a menos de 10 m dos edifícios em zonas de risco sísmico “alto”. Como se poderia saber o comprimento total das estradas que ficariam intransitáveis?

EXERCÍCIO: ZONAS DE RISCO SÍSMICO (médio)

anál

ise

esp

acia

l

Suponha que pretende estudar certos aspetos do impacto ambiental da construção de uma estrada. Está disponível à partida informação relativa a coberto vegetal, uso do solo, eixo projetado da estrada, estimativa do número de gambozinos para cada quadrado de uma quadrícula de 10 km de lado. Indique os procedimentos e a informação de que necessitaria para poder efetuar as seguintes tarefas:i. determinar as áreas de habitat possível para gambozinos, considerando que estes:

- não atravessam estradas;- necessitam de pelo menos 40ha onde se possam deslocar (com pelo menos 1ha de pinhal);

ii. calcular a área de habitat possível que é eliminada pela construção da estrada, considerando que, para este efeito, a estrada inutiliza uma área de 20m para cada lado do eixo;iii. sabendo que os gambozinos nidificam unicamente na zona de pinhal e cada ninho é utilizado em média por dois indivíduos, como procederia para obter uma estimativa do número de gambozinos cujos ninhos seriam inutilizados pela construção da estrada (considerando a faixa de influência de 100m para cada lado do eixo).

EXERCÍCIO: HABITAT DOS GAMBOZINOS (mais difícil)

anál

ise

esp

acia

l

Suponha que (...) pretende responder a um pedido de um cliente à procura de casa em Lisboa. Dispõe de dados sobre as freguesias (sabe para cada uma o número de habitantes), uso do solo (“área industrial”, “área urbana”, “espaços verdes”, “água” e “outros usos”), a rede viária, a localização de transportes públicos (há um atributo que indica o tipo: autocarro, metro, elétrico, praça de táxis, etc.) e a localização de equipamentos (escolas, hospitais, etc., sempre dentro da “área urbana”, “espaços verdes” ou “outros usos”).

Indique num diagrama de análise espacial a sequência de operações que determine os locais que agradam ao referido cidadão, sabendo que deverão verificar em simultâneo as cinco seguintes condições:i) estão numa freguesia com menos habitantes que a média da cidade;ii) têm pelo menos um espaço verde a menos de 300 metros medidos a pé

sobre as ruas da cidade;iii) há pelo menos uma escola e um hospital a menos de 500 m, em linha reta;iv) pertencem a freguesias que têm, pelo menos, uma paragem de metro no

seu território;v) não há nenhuma área industrial a menos de 1000 metros.

EXERCÍCIO: IMOBILIÁRIA (exame de 2015-16)

anál

ise

esp

acia

l

Generalização“A generalização é, antes de mais, uma questão de restrição e

seleção da informação de base. Para isso procede-se à

simplificação das entidades na carta e à omissão de entidades

pequenas ou pouco interessantes.”

A. Hettner (1910) - Die Eigenschaften und Methoden der kartographischen

Darstellung

“...capturar as características essenciais de uma classe de objetos...”

W.R.Tobler (1964) - An experiment in the computer generalization of maps

“Uma generalização adequada depende de informação e compreensão.”

“Uma vez realizada uma generalização, somente pode ser descrita como boa ou

má, não como certa ou errada, uma vez que as alterações introduzidas na

informação têm muitas alternativas possíveis, não havendo forma de definir uma

solução absoluta.

J.S.Keates (1973) - Cartographic Design and Production

Generalização (cartográfica)

• Em geral designa-se por generalização o processamento de seleção e representação da informação num mapa

• A informação deve adaptar-se à escala a que o mapa será observado/analisado

• Pode considerar-se que a generalização se inicia no processo de aquisição de informação.

• É específica do contexto de utilização• Em mapas em papel, relaciona-se sobretudo com

reduções de escala

Carta IGeoE 1/50 000

Carta IGeoE 1/25 000

Efeitos da redução de escalaCONGESTIONAMENTO Quando um elevado número de entidades surge num reduzido espaço

COALESCÊNCIAQuando diferentes entidades se sobrepõem, tanto devido à resolução do periférico de output (impressora, p.ex.) como devido à simbologia usada

IMPERCETIBILIDADEQuando uma entidade fica abaixo da dimensão mínima de representação

Indicadores de necessidade de generalização

DENSIDADE Excessivo número de pontos, linhas ou áreas por unidade de área, SINUOSIDADE Grande variação angular por unidade de comprimento, direcionalidade, “energia”FORMARelações perímetro-área-amplitude excedem certo valorDISTÂNCIAPequenas distâncias entre pontos, linhas e áreas“GESTALT”Características percetuais (continuidade, similaridade)MEDIDAS ABSTRATAS Avaliações concetuais da distribuição espacial (homogeneidade, simetria, repetição e complexidade)

Valores típicos de dimensões mínimas

0,05 mm Linha preta

0,10 mm Linha de outra cor

Ø 0,15 mm Círculo

0,30 mm x 0,30 mm

Quadrado

0,15 mm Afastamento de linhas pretas

0,25 mm Afastamento de linhas de outra cor

0,20 mm Afastamento entre polígonos

Operadores de generalização

SIMPLIFICAÇÃOredução do número de vértices

SUAVIZAÇÃOdeslocamento de vértices obtendo uma diminuição de sinuosidade


SIMPLIFICAÇÃOalgoritmo de Douglas-Peucker

Fonte: Baek, J.; Choi, Y. A New Method for Haul Road Design in Open-Pit Mines to Support Efficient Truck Haulage Operations. Appl. Sci. 2017, 7, 747.


AGREGAÇÃOagrupamento de diversas entidades numa outra entidade hierarquicamente superior

COLAPSOmudança de classe topológica (área-linha,área-ponto)


REFINAMENTOselecção de um subconjunto de entidades representativo e manutenção do padrão de distribuição.

EXAGEROexagero na dimensão e forma de objectos para evidenciar as suas características.


REALCEalteração de forma, dimensão ou tipode símbolo por forma a evidenciar a entidade

DESLOCAÇÃOdeslocação das entidades ou parte delas relativamente à sua posição original para permitir legibilidade e utilização de simbologia

Bader & Barrault, GeoComputation 2000

Operadores de generalizaçãoOMISSÃO / SELEÇÃOnão representar determinadas entidades

CLASSIFICAÇÃOagrupamento de atributos (por proximidade numérica, redução de classes)

Efeitos da generalização na estrutura SIG

• Diminuição (em geral) do comprimento de linhas

• Alteração de áreas e perímetros (tanto aumentam como diminuem)

• Alteração de posições relativas dos objetos

• Mudança de classe topológica

• Diminuição do número de entidades

colapso

agregação + omissão

agregação

simplificação + suavização

Que operações de generalização foram feitas?

nó / vértice

arco / aresta

Um grafo representa uma rede por um conjunto de arcos e de nós.

Uma entidade linear que liga nós é um arco ou aresta.

Os nós ou vértices representam interseções entre os arcos ou as extremidades destes.

Redes em SIG

•coordenadas xx, yy•nome ou código da via •direção•classificação: EM, EN, AE, IP, IC, via urbana•limite de velocidade •volume de tráfego•comprimento•valor cénico•impedância

Atributos dos arcos e dos nós

• G = (V, A), A⊆V2

Exemplo: V = {1,2,3,4}

A = {(1,2),(2,3),(1,4),(2,4)}

Grafo simples não há mais que uma aresta a ligar um par de nós

1 2

4 3

Grafos simples

1 2

4 3

grafo simplesgrafo não simples

Impedância ou custo de um arco: custo do seu atravessamento

Impedâncias

Impedância de mudança de arco: tempo ou pena-lização de efetuar uma mudança

Análise de caminhos mais curtoscaminhos algoritmo de Dijkstra (fig. esq.)circuitos problema do caixeiro-viajante (fig. dir.)

Árvore de dispersão mínima algoritmo de Prim

Algoritmos de análise de redes

Algoritmo de Prim

2 3

6 5

1 4

24

24

18

13 11

5

12 17 5

escolher (u,v)∈A: custo é aí mínimoT = {u,v}enquanto T e V forem diferentes

acrescentar em T o nó v*:(u*,v*)∈A, de custo mínimo: u*∈T e v*∉T

fim ciclo;

2 3

6 5

1 4

24

24

18

13 11

5

12 17 5

escolher (u,v)∈A: custo é aí mínimoT = {u,v}enquanto T e V forem diferentes

acrescentar em T o nó v*:(u*,v*)∈A, de custo mínimo: u*∈T e v*∉T

fim ciclo;

T = {3,5}, custo total = 5

T = {3,5,4}, custo total = 10

T = {3,5,4,2}, custo total = 23

T = {3,5,4,2,6}, custo total = 35

T = {3,5,4,2,6,1}, custo total = 59

2 3

6 5

1 4

24 13

5

12 5

Algoritmo de Prim

Encontrar o caminho mais curto (de menor custo) de modo a ligar dois locais na rede.Exemplo: de 1 para 4

2 3

6 5

1 4

24

30

18

13 11

5

12 17 5

Construir duas listas indexadas pelos nós:distpredecessor

e uma lista de nós que falta visitar

Algoritmo de Dijkstra

2 3

6 5

1 4

24

30

18

13 11

5

12 17 5

para todos os v ∈ V,dist(v) = ∞;

fim ciclo;dist(início) = 0; lista = V;predecessor(início) = *indefinido*;enquanto lista ≠ ∅

escolher v ∈ lista: dist é aí mínimo;lista = lista \ {v};para todos os u ∈ lista: (v, u) ∈ A

se dist(u) > dist(v) + custo(v,u)então dist(u) = dist(v) + custo(v,u);

predecessor(u)=v;fim ciclo;

fim ciclo;


2 3

6 5

1 4

24

30

18

13 11

5

12 17 5






fim ciclo;

vért. dist pred

1 ∞∞∞∞

2 ∞∞∞∞

3 ∞∞∞∞

4 ∞∞∞∞

5 ∞∞∞∞

6 ∞∞∞∞


2 3

6 5

1 4

24

30

18

13 11

5

12 17 5

vért. dist pred

1 0 *ind*

2 ∞∞∞∞

3 ∞∞∞∞

4 ∞∞∞∞

5 ∞∞∞∞

6 ∞∞∞∞






fim ciclo;lista = {1,2,3,4,5,6}


2 3

6 5

1 4

24

30

18

13 11

5

12 17 5

vért. dist pred

1 0 *ind*

2 ∞∞∞∞

3 ∞∞∞∞

4 ∞∞∞∞

5 ∞∞∞∞

6 ∞∞∞∞






fim ciclo;lista = {2,3,4,5,6}

v = 1


2 3

6 5

1 4

24

30

18

13 11

5

12 17 5

vért. dist pred

1 0 *ind*

2 30 1

3 ∞∞∞∞

4 ∞∞∞∞

5 ∞∞∞∞

6 24 1






fim ciclo;lista = {2,3,4,5,6}

v = 1


2 3

6 5

1 4

24

30

18

13 11

5

12 17 5

vért. dist pred

1 0 *ind*

2 30 1

3 41 6

4 ∞∞∞∞

5 42 6

6 24 1






fim ciclo;lista = {2,3,4,5}

v = 1,6


2 3

6 5

1 4

24

30

18

13 11

5

12 17 5

vért. dist pred

1 0 *ind*

2 30 1

3 41 6

4 47 5

5 42 6

6 24 1






fim ciclo;


2 3

6 5

1 4

24

30

18

13 11

5

12 17 5

Sequênciavez=0

lista = {1}pred(1) = *indefinido*custo(1) = 0

vez=1cand: (1,2)0+30; (1,6)0+24lista = {1,6}pred(6) = 1; custo(6) = 24

vez=2cand: (1,2)0+30; (6,2)24+12; (6,3)24+17; (6,5)24+18lista = {1,2,6}pred(2) = 1; custo(2) = 30

vez=3cand: (2,3)30+13;(6,3)24+17; (6,5)24+18lista = {1,2,3,6}pred(3) = 6; custo(3) = 41


2 3

6 5

1 4

24

30

18

13 11

5

12 17 5

Sequência (cont.)vez=4

cand: (3,4)41+11;(3,5)41+5;(6,5)24+18lista = {1,2,3,5,6}pred(5) = 6; custo(5) = 42

vez=5cand: (3,4)41+11;(5,4)42+5

lista = {1,2,3,4,5,6}pred(4) = 5; custo(4) = 47

vért. dist pred

1 0 *ind*

2 30 1

3 41 6

4 47 5

5 42 6

6 24 1


Indicadores topológicosIndicadores topológicos baseados na rede (conetividade)

Medida Domínio Expressão Avaliação

Número deciclos

rede número de ciclos no grafo

Índice α rede número de ciclos em relação ao número máximo possível

de ciclos

Índice β rede número de arestas (troços) em relação ao número de vértices

Índice γ(entre 0 e 1)

rede número de arestas em relação ao máximo possível

SVA +−

52 −

+−

V

SVA

V

A

63 −V

A

A = #arestas V = #vértices S = #subgrafos conexos

calcular p/ estas redes

Indicadores topológicosIndicadores métricos baseados em distâncias (acessibilidade)

Medida Domínio Expressão Avaliação

Número de König

nó centralidade de um nó (número de arestas necessárias para o ligar com o nó que seja mais

distante)

Diâmetro rede distância (custo) entre os dois nós mais afastados

Índice de conetividade

nó grau de conetividade de um nó

Índice de dispersão ou de Shimbel

rede soma dos graus de conetividade de todos os nós

ijj

i dK max=

ijji

d,

max

=

=V

jiji dA

1

= =

=V

i

V

jiji dA

1 1

calcular p/ as redes do slide anterior

Autocorrelação EspacialA distribuição não-aleatória de fenómenos espaciais tem várias consequências para aanálise estatística.• Parâmetros de estimação enviesados• Redundância de dados (afecta o cálculo

de intervalos de confiança)• Positiva• Negativa• Zero: não se nota efeito espacial, a variação parece

ser aleatória

Medidas de autocorrelação espacialJoins count statistics / I de Moran / C de Geary / Nuvem do

variograma

Correlação Cruzada

• Positiva• Negativa• Zero

MAUP

Área Modificável: As unidades são arbitrariamente definidas e uma organização distinta cria resultados analíticos diferentes.

MAUP - problema da área mínima modificável

MAUP (cartograma distorcido)

alteração da forma mantendo uma característica geométrica (a área) proporcional à grandeza que se pretende ilustrar e mantendo a topologia (vizinhanças)

MAUP - problema da área mínima modificável

As unidades espaciais mínimas são habitualmente artificiais e modificáveis, no sentido em que podem ser combinadas, por agregação, para produzir outras unidades de diferente configuração

As unidades de agregação usadas são arbitrárias em relação ao fenómeno em estudo; e vão afectar as estatísticas feitas a partir de dados com essa configuração

Se as unidades espaciais forem diferentes, observam-se padrões e relações distintas

MAUP

Efeito de escala: valorações distintas de índices estatísticos para os mesmos dados de base quando sujeitos a diferentes níveis de agregação.

Efeito de generalização: evidencia-se através das várias alternativas como o agrupamento de unidades espaciais menores pode ser feito, mesmo considerando um nível fixo de agregação

MAUPEfeitos de escala (B, C, D) e generalização (E, F)

A: m = 18,75 σ2 = 105,00

20 10 10

30 20 20

10 30 10

10 30 10

40

30

10

10

15

25

20

20

20

25

15

C: m = 18,75 σ2 = 22,92

15

25

25

10

10

B: m = 18,75 σ2 = 41,07

18

17,5

20

E: m = 18,875 σ2 = 1,73

20

F: m = 21,84 σ2 = 124,73

10

15,7135

D: m = 18,75 σ2 = 98,21

25 15 15 35

10 30 10 10

26,66

MAUP• Gerrymandering: ação

propositada de alterar as unidades de base para condicionar resultados

3-1

4-0

2-2

1-3

verdes vs. roxos

MAUPHá problemas em todas as áreas de aplicaçãoExemplos:• fronteiras dos círculos eleitorais• relações entre variáveis: a correlação entre as

variáveis “desemprego” e “não posse de

automóvel”, que a um nível é fortemente positiva, a outro nula e a outro fortemente negativa

S Openshaw, L Rao: Algorithms for reengineering 1991 Census geographyEnvironment and Planning A 1995, Vol. 27, pp. 425-446

fonte: http://www.envplan.com/openaccess/a270425.pdf

Falácia EcológicaA “Falácia Ecológica” ocorre quando se faz uma inferência sobre um

indivíduo com base em informação agregada (o oposto é a “Generalização Precipitada”)

• A falácia ecológica e o MAUP são concretizações do problema denominado Problema de Mudança de Suporte (COSP).

• Há mais termos para descrever COSP particulares e respetivas soluções

(Reference: http://jratcliffe.net/research/ecolfallacy.htm)

Geometrias Mais geometrias · Modelo vetorial 1. Geometrias e armazenamento 2. Modelos de dados...

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