Geração e Estimação de processos Gegenbauer
-
Upload
aishameriane-schmidt -
Category
Data & Analytics
-
view
45 -
download
0
description
Transcript of Geração e Estimação de processos Gegenbauer
Geracao e Estimacao em Processos Gegenbauer
A.V. Schmidt1, C. Bisognin e S.R.C. Lopes
Instituto de Matematica - UFRGS
Porto Alegre, RS, Brasil
Resumo. Este trabalho baseia-se nos chamados processos Gegenbauer(d, u). Foram estudadas as condicoes deestacionariedade e invertibilidade destes processos, suas representacoes autoregressiva e media movel infinitas,suas funcoes densidade espectral e de autocovariancia. Alem disso, foi investigado um metodo de geracao doprocesso, bem como a estimacao dos seus parametros. Foi realizado um estudo sobre a estimacao classica,robusta e semi-parametrica do parametro de longa dependencia e do parametro de frequencia, baseado emsimulacoes de Monte Carlo com tamanhos de truncamento de serie diferentes e para valores diferentes de d eu. O desempenho destes estimadores e avaliado atraves do erro quadratico medio e o vıcio dos mesmos.
Palavras-Chave. Processos com Longa Dependencia, Gegenbauer, Estimacao.
1. Introducao
Os modelos de series temporais classicos, como os modelos ARMA, nao levam em conta a caracterısticade longa dependencia das observacoes, embora, em aplicacoes utilizando dados de observacoes reais, as seriespodem apresentar dependencia entre observacoes distantes entre si. O fenomeno da longa dependencia foi abor-dado, inicialmente, por por Hurst (1951) enquanto investigava a serie temporal do nıvel mensal do rio Nilo.Posteriormente, Granger e Joyeux (1980) e Hosking (1981 e 1984) definiram os modelos ARFIMA(p, d, q), quesao os chamados modelos auto-regressivos fracionariamente integrados de media movel. A caracterıstica dalonga dependencia pode ser caracterizada de diversas formas, dentre as quais destacamos: i) pelo decaimentohiperbolico da funcao de autocorrelacao com o aumento dos lags; ii) pelo crescimento ilimitado da funcao densi-dade espectral quando a frequencia tende a zero. Estes modelos de longa dependencia tem sido extensivamenteinvestigados deste a decada de 80 e, em particular, diversos artigos publicados abordam a questao da estimacaodos parametros.
Detalhes sobre a estimacao semiparametrica podem ser encontradas em Geweke e Porter-Hudak (1983) eRobinson (1994a, 1995a, 1995b). Metodos de estimacao parametrica foram propostos por Yajima (1985), Fox eTaqqu (1986), Giraitis e Surgalis (1990) e Sowell (1992). Uma revisao dos metodos de estimacao para modelosde longa dependencia pode ser vista em Beran (1994), Guegan (1994), Robinson (1994b) e Bisaglia and Guegan(1998).
Alguns dados reais comecaram a apresentar um comportamento periodicamente persistente que nao erabem modelado (absorvido?) pelo modelo ARFIMA tradicional. Na decada de 80, Gray et. al. (1988) propuseramos modelos de Gegenbauer e auto-regressivo de media movel Gegenbauerutilizando os polinomios de Gegenbauer.Este novo modelo passou a ser chamado de GARMA (Gegenbauer autoregressive moving-average e e umageneralizacao dos modelos ARFIMA. A grande diferenca e que os processos GARMA nao necessariamente saoilimitados na origem, podendo apresentar ilimitacao em qualquer frequencia d dentro do intervalo [0, π]. Giraitise Leipus (1995) e Woodward et al. (1998) propuseram uma extensao ao modelo GARMA, denotado k-factorGARMA. Neste modelo, podem ocorrer k ilimitacoes (nao gostei deste termo aqui, mas nao consigo pensar emoutro), para um numero finito k de frequencias, chamadas de frequencias de Gegenbauer, tambem chamadas defrequencias G, no intervalo [0, π].
Neste trabalho, para a estimacao dos parametros, foram utilizados os seguintes estimadores da classedos semi-parametricos: o estimador proposto por Geweke e Porter-Hudak (1983) e o estimador baseado nafuncao periodograma suavizado de covariancias ambos com as suas respectivas versoes robustas. Considerou-se tambem o estimador nao-parametricos proposto por Fox e Taqqu (1986) e os estimadores parametricos demaxima verossimilhanca aproximado e o de maxima verossimilhanca exato, este ultimo sendo uma propostadeste trabalho.
1 E-mail: [email protected]
2 A.V. Schmidt et al.
2. Processos Gegenbauer
Seja {Xt}t∈Z um processo estocastico dado pela expressao
(1− 2uB + B2)λ(Xt − µ) = εt, (2.1)
onde |u| 6 1, µ e a media do processo, B e o operador de defasagem ou de retardo, isto e, Bj(Xt) = Xt−j , paratodo j ∈ N e {εt}t∈Z e um processo ruıdo branco.
Se o processo e inversıvel, podemos escrever (2.1) atraves de sua representacao media movel infinita
Xt = µ +∑
j∈ Z>
C(λ)j (u)εt−j , (2.2)
onde C(λ)j (·)j∈Z sao os polinomios Gegenbauer definidos como
C(λ)j (u) =
bj/2c∑
k=0
(−1)kΓ(λ− k + j)(2u)j−2k
Γ(λ)Γ(k + 1)Γ(j − 2k + 1), (2.3)
para todo j > 0, com bxc sendo a parte inteira de x.
Definicao 2.1. O processo {Xt}t∈Z, dado pela equacao (2.2), e chamado de processo Gegenbauer com parametrosu e λ e pode ser escrito pela expressao dada em (2.1).
Observe que, se u = 1, {Xt}t∈Z e um ARFIMA(0, 2λ, 0). Logo, para u = 1, o processo {Xt}t∈Z pode serescrito como
(1− B)2λ(Xt − µ) = εt. (2.4)
2.1. Propriedades dos processos Gegenbauer(u, λ)Nesta secao serao definir os valores dos parametros λ e u para os quais o processo Gegenbauer e estacionario,inversıvel e apresenta a caracterıstica de longa dependencia. Tambem apresentaremos as funcoes de autoco-variancia, autocorrelacao e a funcao densidade espectral.
Proposicao 2.1. Seja Xtt∈Z um processo Gegenbauer, dado na Definicao 2.1. Entao,a) O processo {Xt}t∈Z e estacionario se λ < 0.5, quando |u| < 1, ou λ < 0.25, quando |u| = 1.b) O processo {Xt}t∈Z e inversıvel se λ > −0.5, quando |u| < 1, ou λ > −0.25, quando |u| = 1.c) Se 0 < λ < 0.25, quando |u| = 1 ou 0 < λ < 0.5, quando |u| < 1, entao {Xt}t∈Z apresenta a caracterıstica
de longa dependencia.d) A funcao densidade espectral do processo e dada por
σ2ε
2π[2(cos(ω)− u)]−2λ ∀ ω ∈ (0, π], (2.5)
onde G = cos−1 u e chamada frequencia de Gegenbauer ou frequencia G. Note que a funcao densidadeespectral torna-se ilimitada em G.
Quando ω ⇒ G temos,
fx(ω) Cf |ω −G|−2λ, onde Cf =σ2
ε
2π[2| sen (G)|]−2λ > 0. (2.6)
e) Uma aproximacao para a funcao de autocovariancia do processo quando |u| < 1 e dada por:
γx(k) =21−2λσ2
ε
πsen−2λ(G)sen(λπ)Γ(1− 2λ) cos(kG)
×Γ(k + 2λ)Γ(k + 1)
[1 + O(k−1)].
Observacao 2.1. A equacao:
γx(k) = σ2ε
∑
j∈Z≥C
(λ)j (u)C(λ)
j+k(u), ∀ |u| ≤ 1,
com k ∈ Z≥ e os componentes C(λ)j sao dados pela expressao (2.3), foi proposta em 1998 por Woodward
et al. como uma representacao da funcao de autocovariancia do processo GARMA.
Utilizando a expressao descrita na Observacao (2.1), e possıvel fazer uma extensao do processo, acrescen-tando uma componente auto-regressiva e/ou uma componente de media movel, isto e, uma combinacao de umprocesso Gegenbauer com um processo ARMA(p, q), resultando em um GARMA(p, u, λ, q).
Processos Gegenbauer 3
3. Estimacao
Nesta secao serao apresentados alguns estimadores semi-parametricos ja estabelecidos na literatura (ref ref refref) para estimar os parametros de longa dependencia e frequencia de um processo GARMA e tambem seraapresentado um estimador exato proposto neste trabalho.
3.1. O estimador GPH
O estimador GPH, proposto por Geweke e Porter-Hudak (1983), e um estimador semi-parametrico que utilizaa funcao periodograma. Inicialmente era utilizado para estimar o parametro d dos processos ARFIMA(p, d, q).Aqui apresentamos uma extensao para os processos Gegenbauer.
A ideia basica e aplicar o logaritmo na funcao densidade espectral e adicionar o logaritmo da funcaoperiodograma. A esquacao resultante pode ser comparada a uma equacao de regressao onde os parametros saoestimados atraves de mınimos quadrados ordinarios.
Para o problema da estimacao do parametro d no processo GARMA(λ, u), considere a funcao densidadeespectral de um processo Xt dada por:
fx(w) = σ2ε [2(cos(w)− u)]−2 para todo w ∈ (0, π]
Aplicando o logaritmo na equacao acima, temos:
ln fx(w) = ln(
σ2ε
2π
)− λ ln 2 cos(w)− u
2
Seja ln fu(0) = algumacoisa e ln I(w) o logaritmo natural da funcao periodograma em w. Adicionandoln fu(0) e ln I(w) aos dois lados da equacao anterior, teremos:
ln I(w) = ln fu(0) + ln(
σ2ε
2π
)− λ ln[2(cos(w)− u)]2 + ln
[I(w)fx(w)
]
Para certas condicoes (ver Geweke e Porter-Hudak - 1983) uma forma aproximada sera dada por:
ln I(w) ln fu(0)− λ ln[2(cos(w)− u)]2 + ln[
I(w)fx(w)
]
Que pode ser comparada a uma equacao de regressao da forma:
ln I(w) = β0 − β1 ln[2(cos(w)− u)]2 + εv
Como proposto por Geweke em Porter-Hudak, uma forma de estimar β0 e β1 e atraves de mınimos quadra-dos. Suas versoes robustas variam apenas na forma de estimacao dos coeficientes da regressao.
3.2. O estimador FT
O estimador proposto por Fox e Taqqu em 1986 esta na classe dos estimadores parametricos e utiliza umaaproximacao, proposta por Whittle (1951), para a matriz de autocovariancia do processo. Consiste em mini-mizar uma soma escrita em funcao do periodograma e pode ser utilizado para qualquer sequencia gaussianaestacionaria.
3.3. O estimador de maxima verossimilhanca exato
O estimador de maxima verossimilhanca exato e obtido maximizando-se a seguinte expressao:
L(x, η, σ2) = −n
2ln(2π)− 1
2ln |Qn(η)| − 1
2z′Q−n 1(η)z.
4. Simulacao
Nesta secao apresentamos os resultados das simulacoes de Monte Carlos para os Processos GARMA(d, u), paradiferentes valores de d e de u com tamanho amostral igual a 1000.
Comparamos o desempenho dos estimadores semiparametricos GPH, BA, FT e de verossimilhanca exato.Nos estimadores que utilizam a funcao periodograma suavizado de covariancia associados a janela de
Bartlett, utilizamos como ponto de truncamento o valor nβ , com β = 0.9.Para os estimadores semiparametricos GPH e BA considerou-se g(n) = nα, com α ∈ {0.55, 0.89}.Para cada valor de d geramos 1000 amostras independentes (re = 1000) e reportamos a media, o vıcio, o
erro quadratico medio e a variancia amostral. A seguinte notacao e utilizada: seja di o valor estimado de d paraa amostra i, onde i = i, · · · , re, entao
Media =1re
re∑
i=1
di, Vies = media− d, EQM =1re
re∑
i=1
(di − d)2, Var =1
re− 1
re∑
i=1
(di −media)2.
4 A.V. Schmidt et al.
5. Conclusoes
Neste trabalho comparamos o comportamento de estimadores semiparametricos e parametricos, quanto aovıcio, erro quadratico medio e variancia.
Quando aumentamos o valor de α o vıcio, o erro quadratico medio e a variancia dos estimadores semi-parametricos diminuem, na maioria dos casos analisados.
Referencias
1. Brockwell, P.J. e R.A. Davis (1991). Time Series: Theory and Methods. New York: Springer-Verlag.2. Geweke, J. e S. Porter-Hudak (1983). “The Estimation and Application of Long Memory Time Series
Model”. Journal of Time Series Analysis, Vol. 4(4), pp. 221-238.3. Granger, C.W.J. e R. Joyeux (1980). “An Introduction to Long Memory Time Series Models and Fractional
Differencing”. Journal of Time Series Analysis, Vol. 1(1), pp. 15-29.4. Hosking, J.R.M. (1981). “Fractional Differencing”. Biometrika, Vol. 68(1), pp. 165-176.5. Hosking, J.R.M. (1984). “Modelling Persistence in Hydrological Time Series Using Fractional Differencing”.
Water Resources Research, Vol. 20(12), pp. 1898-1908.6. Robinson, M.P. (2003). Time Series with long memory - Advanced texts in Econometrics. New York:
Oxford University Press.
Processos Gegenbauer 5
Tabela 1. Estimacao semi-parametrica dos parametros do processo Gegenbauer(λ, u), quandoλ = 0.2, u = 1, n = 1000 e α ∈ {0.5, 0.55, · · · , 0.85}.
Estimador GPHLM GPHMM GPHLTS BALM BAMM BALTSα = 0.50
Media 0.2069 0.2052 0.2049 0.1872 0.1961 0.1989Vies 0.0069 0.0052 0.0049 -0.0128 -0.0039 -0.0011
EQM 0.0047 0.0057 0.0062 0.0030 0.0051 0.0046Var 0.0047 0.0057 0.0062 0.0028 0.0051 0.0046
α = 0.55Media 0.2038 0.2019 0.2006 0.1909 0.1981 0.1988
Vies 0.0038 0.0019 0.0006 -0.0091 -0.0019 -0.0012EQM 0.0033 0.0037 0.0040 0.0020 0.0033 0.0028
Var 0.0033 0.0037 0.0040 0.0019 0.0033 0.0028α = 0.60
Media 0.2035 0.2017 0.2001 0.1943 0.1995 0.1996Vies 0.0035 0.0017 0.0001 -0.0057 -0.0005 -0.0004
EQM 0.0022 0.0026 0.0025 0.0014 0.0021 0.0019Var 0.0022 0.0026 0.0025 0.0014 0.0021 0.0019
α = 0.65Media 0.2043 0.2005 0.2022 0.1971 0.2005 0.2009
Vies 0.0043 0.0005 0.0022 -0.0029 0.0005 0.0009EQM 0.0016 0.0021 0.0016 0.0010 0.0015 0.0013
Var 0.0016 0.0021 0.0016 0.0010 0.0015 0.0013α = 0.70
Media 0.2031 0.1982 0.2022 0.1986 0.2012 0.2011Vies 0.0031 -0.0018 0.0022 -0.0014 0.0012 0.0011
EQM 0.0011 0.0017 0.0011 0.0007 0.0010 0.0009Var 0.0011 0.0017 0.0011 0.0007 0.0010 0.0009
α = 0.75Media 0.2027 0.2005 0.2018 0.1998 0.2021 0.2020
Vies 0.0027 0.0005 0.0018 -0.0002 0.0021 0.0020EQM 0.0008 0.0013 0.0008 0.0005 0.0007 0.0006
Var 0.0008 0.0013 0.0008 0.0005 0.0007 0.0006α = 0.80
Media 0.2025 0.2004 0.2021 0.2004 0.2028 0.2022Vies 0.0025 0.0004 0.0021 0.0004 0.0028 0.0022
EQM 0.0005 0.0010 0.0005 0.0003 0.0005 0.0005Var 0.0005 0.0010 0.0005 0.0003 0.0005 0.0004
α = 0.85Media 0.2027 0.2007 0.2018 0.2013 0.2023 0.2022
Vies 0.0027 0.0007 0.0018 0.0013 0.0023 0.0022EQM 0.0004 0.0008 0.0004 0.0002 0.0004 0.0003
Var 0.0004 0.0008 0.0004 0.0002 0.0004 0.0003α = 0.89
Media 0.2024 0.2003 0.2019 0.2013 0.2019 0.2022Vies 0.0024 0.0003 0.0019 0.0013 0.0019 0.0022
EQM 0.0003 0.0006 0.0003 0.0002 0.0003 0.0003Var 0.0003 0.0006 0.0003 0.0002 0.0003 0.0003
6. Tabelas
6 A.V. Schmidt et al.
Tabela 2. Estimacao semi-parametrica dos parametros do processo Gegenbauer(λ, u), quandoλ = 0.3, u = 0.8, n = 1000 e α ∈ {0.6, 0.65, · · · , 0.85, 0.89}.
Estimador GPHLM GPHMM GPHLTS BALM BAMM BALTSα = 0.60
Media 0.3345 0.3172 0.2999 0.3441 0.3286 0.3308Vies 0.0345 0.0172 -0.0001 0.0441 0.0286 0.0308
EQM 0.3347 0.3391 0.3508 0.1819 0.2314 0.2389Var 0.3338 0.3392 0.3511 0.1801 0.2308 0.2382
α = 0.65Media 0.3147 0.2885 0.3012 0.3191 0.3105 0.3130
Vies 0.0147 -0.0115 0.0012 0.0191 0.0105 0.0130EQM 0.0320 0.0490 0.0353 0.0185 0.0265 0.0248
Var 0.0318 0.0490 0.0353 0.0182 0.0264 0.0247α = 0.70
Media 0.3122 0.3050 0.3114 0.3200 0.3180 0.3187Vies 0.0122 0.0050 0.0114 0.0200 0.0180 0.0187
EQM 0.0045 0.0066 0.0044 0.0031 0.0042 0.0039Var 0.0043 0.0066 0.0042 0.0027 0.0039 0.0035
α = 0.75Media 0.3108 0.3026 0.3097 0.3169 0.3161 0.3164
Vies 0.0108 0.0026 0.0097 0.0169 0.0161 0.0164EQM 0.0033 0.0061 0.0031 0.0022 0.0033 0.0029
Var 0.0032 0.0061 0.0030 0.0020 0.0030 0.0026α = 0.80
Media 0.3066 0.3048 0.3071 0.3108 0.3122 0.3112Vies 0.0066 0.0048 0.0071 0.0108 0.0122 0.0112
EQM 0.0017 0.0029 0.0018 0.0012 0.0018 0.0015Var 0.0016 0.0029 0.0017 0.0011 0.0016 0.0014
α = 0.85Media 0.3047 0.3037 0.3048 0.3072 0.3071 0.3071
Vies 0.0047 0.0037 0.0048 0.0072 0.0071 0.0071EQM 0.0009 0.0018 0.0010 0.0006 0.0009 0.0007
Var 0.0008 0.0018 0.0009 0.0005 0.0008 0.0007α = 0.89
Media 0.3030 0.3032 0.3032 0.3051 0.3056 0.3048Vies 0.0030 0.0032 0.0032 0.0051 0.0056 0.0048
EQM 0.0006 0.0013 0.0006 0.0004 0.0006 0.0005Var 0.0006 0.0013 0.0006 0.0004 0.0006 0.0005
Processos Gegenbauer 7
Tabela 3. Estimacao semi-parametrica dos parametros do processo Gegenbauer(λ, u), quandoλ = 0.2, u = 0.8, n = 1000 e α ∈ {0.5, 0.55, · · · , 0.85}.
Estimador GPHLM GPHMM GPHLTS BALM BAMM BALTSα = 0.60
Media 0.1775 0.1723 0.1686 0.4761 0.3399 0.4010Vies -0.0225 -0.0277 -0.0314 0.2761 0.1399 0.2010
EQM 0.3281 0.3508 0.3640 7.8707 10.1096 10.4015Var 0.3279 0.3504 0.3633 7.8022 10.1001 10.3715
α = 0.65Media 0.1962 0.1795 0.1917 0.2529 0.2397 0.2116
Vies -0.0038 -0.0205 -0.0083 0.0529 0.0397 0.0116EQM 0.0328 0.0484 0.0353 1.3267 1.8829 1.8824
Var 0.0328 0.0481 0.0352 1.3252 1.8832 1.8842α = 0.70
Media 0.2053 0.1980 0.2018 0.2142 0.2020 0.1934Vies 0.0053 -0.0020 0.0018 0.0142 0.0020 -0.0066
EQM 0.0041 0.0069 0.0040 0.1889 0.2392 0.2479Var 0.0041 0.0069 0.0040 0.1889 0.2395 0.2481
α = 0.75Media 0.2034 0.1967 0.2018 0.2068 0.2018 0.1978
Vies 0.0034 -0.0033 0.0018 0.0068 0.0018 -0.0022EQM 0.0031 0.0055 0.0032 0.0187 0.0262 0.0236
Var 0.0031 0.0055 0.0032 0.0187 0.0262 0.0236α = 0.80
Media 0.2016 0.2013 0.2017 0.2067 0.2049 0.2036Vies 0.0016 0.0013 0.0017 0.0067 0.0049 0.0036
EQM 0.0015 0.0029 0.0016 0.0024 0.0036 0.0033Var 0.0015 0.0029 0.0016 0.0024 0.0036 0.0033
α = 0.85Media 0.2011 0.2021 0.2012 0.2045 0.2025 0.2013
Vies 0.0011 0.0021 0.0012 0.0045 0.0025 0.0013EQM 0.0008 0.0016 0.0009 0.0019 0.0028 0.0025
Var 0.0008 0.0016 0.0009 0.0019 0.0028 0.0025α = 0.89
Media 0.2006 0.2012 0.2008 0.2023 0.2018 0.2018Vies 0.0006 0.0012 0.0008 0.0023 0.0018 0.0018
EQM 0.0005 0.0012 0.0006 0.0009 0.0014 0.0012Var 0.0005 0.0012 0.0006 0.0009 0.0014 0.0012
8 A.V. Schmidt et al.
Tabela 4. Estimacao semi-parametrica dos parametros do processo Gegenbauer(λ, u), quandoλ = 0.2, u = 0.6, n = 1000 e α ∈ {0.5, 0.55, · · · , 0.85}.
Estimador GPHLM GPHMM GPHLTS BALM BAMM BALTSα = 0.60
Media 0.1839 0.0832 0.0969 0.8151 0.5452 0.4613Vies -0.0161 -0.1168 -0.1031 0.6151 0.3452 0.2613
EQM 1.7110 1.8992 1.8969 32.2087 43.7689 45.0897Var 1.7137 1.8888 1.8895 31.8851 43.7250 45.0991
α = 0.65Media 0.2365 0.1619 0.1928 0.4802 0.2862 0.3303
Vies 0.0365 -0.0381 -0.0072 0.2802 0.0862 0.1303EQM 0.2196 0.2842 0.2275 5.5206 6.8090 7.1307
Var 0.2186 0.2832 0.2278 5.4515 6.8133 7.1260α = 0.70
Media 0.2018 0.1689 0.1955 0.2555 0.1847 0.1669Vies 0.0018 -0.0311 -0.0045 0.0555 -0.0153 -0.0331
EQM 0.0241 0.0435 0.0274 0.9199 1.2183 1.2328Var 0.0241 0.0426 0.0275 0.9184 1.2202 1.2339
α = 0.75Media 0.2038 0.1967 0.2021 0.2365 0.2095 0.2145
Vies 0.0038 -0.0033 0.0021 0.0365 0.0095 0.0145EQM 0.0027 0.0060 0.0029 0.1400 0.2100 0.1912
Var 0.0027 0.0060 0.0029 0.1389 0.2103 0.1914α = 0.80
Media 0.2036 0.2006 0.2026 0.2009 0.1994 0.1952Vies 0.0036 0.0006 0.0026 0.0009 -0.0006 -0.0048
EQM 0.0023 0.0048 0.0022 0.0150 0.0224 0.0208Var 0.0023 0.0048 0.0022 0.0150 0.0225 0.0209
α = 0.85Media 0.2039 0.2030 0.2028 0.2034 0.2042 0.2045
Vies 0.0039 0.0030 0.0028 0.0034 0.0042 0.0045EQM 0.0012 0.0023 0.0012 0.0016 0.0028 0.0024
Var 0.0012 0.0023 0.0012 0.0016 0.0028 0.0024α = 0.89
Media 0.2021 0.2036 0.2017 0.2032 0.2047 0.2033Vies 0.0021 0.0036 0.0017 0.0032 0.0047 0.0033
EQM 0.0008 0.0016 0.0008 0.0014 0.0024 0.0020Var 0.0008 0.0015 0.0008 0.0014 0.0024 0.0020
Processos Gegenbauer 9
Tabela 5. Estimacao semi-parametrica dos parametros do processo Gegenbauer(λ, u), quandoλ = 0.1, u = 1, n = 1000 e α ∈ {0.5, 0.55, · · · , 0.85}.
Estimador GPHLM GPHMM GPHLTS BALM BAMM BALTSα = 0.60
Media 0.1030 0.0992 0.0996 0.0938 0.0947 0.0954Vies 0.0030 -0.0008 -0.0004 -0.0062 -0.0053 -0.0046
EQM 0.0020 0.0025 0.0026 0.0013 0.0021 0.0021Var 0.0020 0.0025 0.0026 0.0013 0.0021 0.0021
α = 0.65Media 0.1030 0.0986 0.1000 0.0958 0.0968 0.0976
Vies 0.0030 -0.0014 0.0000 -0.0042 -0.0032 -0.0024EQM 0.0013 0.0020 0.0015 0.0009 0.0014 0.0013
Var 0.0013 0.0020 0.0015 0.0009 0.0014 0.0013α = 0.70
Media 0.1020 0.0968 0.1002 0.0967 0.0975 0.0977Vies 0.0020 -0.0032 0.0002 -0.0033 -0.0025 -0.0023
EQM 0.0010 0.0016 0.0010 0.0006 0.0010 0.0009Var 0.0010 0.0015 0.0010 0.0006 0.0010 0.0009
α = 0.75Media 0.1016 0.0971 0.1005 0.0975 0.0980 0.0979
Vies 0.0016 -0.0029 0.0005 -0.0025 -0.0020 -0.0021EQM 0.0007 0.0012 0.0008 0.0005 0.0007 0.0006
Var 0.0007 0.0012 0.0008 0.0004 0.0007 0.0006α = 0.80
Media 0.1019 0.0982 0.1008 0.0986 0.0989 0.0993Vies 0.0019 -0.0018 0.0008 -0.0014 -0.0011 -0.0007
EQM 0.0005 0.0010 0.0005 0.0003 0.0005 0.0004Var 0.0005 0.0010 0.0005 0.0003 0.0005 0.0004
α = 0.85Media 0.1013 0.0989 0.1004 0.0991 0.0991 0.0994
Vies 0.0013 -0.0011 0.0004 -0.0009 -0.0009 -0.0006EQM 0.0004 0.0007 0.0004 0.0002 0.0004 0.0003
Var 0.0004 0.0007 0.0004 0.0002 0.0004 0.0003α = 0.89
Media 0.1008 0.0977 0.1002 0.0989 0.0988 0.0992Vies 0.0008 -0.0023 0.0002 -0.0011 -0.0012 -0.0008
EQM 0.0003 0.0006 0.0003 0.0002 0.0003 0.0002Var 0.0003 0.0006 0.0003 0.0002 0.0003 0.0002
10 A.V. Schmidt et al.
Tabela 6. Estimacao semi-parametrica dos parametros do processo Gegenbauer(λ, u), quandoλ = 0.4, u = 0.8, n = 1000 e α ∈ {0.5, 0.55, · · · , 0.85}.
Estimador GPHLM GPHMM GPHLTS BALM BAMM BALTSα = 0.60
Media 0.4272 0.4063 0.4224 0.4619 0.4495 0.4503Vies 0.0272 0.0063 0.0224 0.0619 0.0495 0.0503
EQM 0.3142 0.3698 0.3643 0.1889 0.2476 0.2475Var 0.3138 0.3701 0.3641 0.1852 0.2454 0.2452
α = 0.65Media 0.4030 0.3865 0.3990 0.4224 0.4133 0.4153
Vies 0.0030 -0.0135 -0.0010 0.0224 0.0133 0.0153EQM 0.0326 0.0447 0.0321 0.0181 0.0279 0.0238
Var 0.0326 0.0446 0.0321 0.0176 0.0277 0.0235α = 0.70
Media 0.4250 0.4135 0.4201 0.4391 0.4360 0.4366Vies 0.0250 0.0135 0.0201 0.0391 0.0360 0.0366
EQM 0.0053 0.0075 0.0055 0.0048 0.0058 0.0053Var 0.0047 0.0074 0.0051 0.0033 0.0045 0.0040
α = 0.75Media 0.4209 0.4096 0.4173 0.4319 0.4277 0.4297
Vies 0.0209 0.0096 0.0173 0.0319 0.0277 0.0297EQM 0.0039 0.0066 0.0040 0.0033 0.0041 0.0039
Var 0.0034 0.0065 0.0037 0.0023 0.0033 0.0030α = 0.80
Media 0.4136 0.4076 0.4115 0.4202 0.4182 0.4191Vies 0.0136 0.0076 0.0115 0.0202 0.0182 0.0191
EQM 0.0018 0.0033 0.0019 0.0015 0.0020 0.0018Var 0.0017 0.0032 0.0018 0.0011 0.0017 0.0015
α = 0.85Media 0.4090 0.4048 0.4069 0.4134 0.4109 0.4118
Vies 0.0090 0.0048 0.0069 0.0134 0.0109 0.0118EQM 0.0009 0.0018 0.0009 0.0008 0.0010 0.0009
Var 0.0009 0.0018 0.0009 0.0006 0.0009 0.0008α = 0.89
Media 0.4069 0.4049 0.4061 0.4109 0.4088 0.4098Vies 0.0069 0.0049 0.0061 0.0109 0.0088 0.0098
EQM 0.0006 0.0014 0.0007 0.0005 0.0007 0.0006Var 0.0006 0.0014 0.0006 0.0004 0.0006 0.0005
Processos Gegenbauer 11
Tabela 7. Estimacao semi-parametrica dos parametros do processo Gegenbauer(λ, u), quandoλ = 0.1, u = 0.8, n = 1000 e α ∈ {0.5, 0.55, · · · , 0.85}.
Estimador GPHLM GPHMM GPHLTS BALM BAMM BALTSα = 0.60
Media 0.1048 0.0827 0.0851 0.1201 0.0998 0.1059Vies 0.0048 -0.0173 -0.0149 0.0201 -0.0002 0.0059
EQM 0.3021 0.3647 0.3239 0.1748 0.2279 0.2365Var 0.3024 0.3648 0.3240 0.1746 0.2282 0.2367
α = 0.65Media 0.1049 0.0864 0.0968 0.1091 0.0997 0.1029
Vies 0.0049 -0.0136 -0.0032 0.0091 -0.0003 0.0029EQM 0.0311 0.0430 0.0327 0.0186 0.0265 0.0237
Var 0.0311 0.0428 0.0327 0.0185 0.0266 0.0237α = 0.70
Media 0.1022 0.0973 0.0988 0.1039 0.1017 0.1026Vies 0.0022 -0.0027 -0.0012 0.0039 0.0017 0.0026
EQM 0.0043 0.0073 0.0045 0.0024 0.0037 0.0032Var 0.0043 0.0073 0.0045 0.0024 0.0037 0.0032
α = 0.75Media 0.1025 0.0976 0.0985 0.1028 0.0999 0.1011
Vies 0.0025 -0.0024 -0.0015 0.0028 -0.0001 0.0011EQM 0.0031 0.0057 0.0033 0.0018 0.0030 0.0024
Var 0.0031 0.0057 0.0033 0.0018 0.0030 0.0024α = 0.80
Media 0.0998 0.0972 0.0994 0.1008 0.1005 0.1008Vies -0.0002 -0.0028 -0.0006 0.0008 0.0005 0.0008
EQM 0.0015 0.0031 0.0016 0.0009 0.0015 0.0013Var 0.0015 0.0031 0.0016 0.0009 0.0015 0.0013
α = 0.85Media 0.0999 0.0990 0.0994 0.1006 0.1000 0.1007
Vies -0.0001 -0.0010 -0.0006 0.0006 0.0000 0.0007EQM 0.0008 0.0019 0.0009 0.0005 0.0009 0.0007
Var 0.0008 0.0019 0.0009 0.0005 0.0009 0.0007α = 0.89
Media 0.0999 0.0989 0.0998 0.1002 0.0995 0.1002Vies -0.0001 -0.0011 -0.0002 0.0002 -0.0005 0.0002
EQM 0.0006 0.0013 0.0006 0.0004 0.0006 0.0005Var 0.0006 0.0013 0.0006 0.0004 0.0006 0.0005
12 A.V. Schmidt et al.
Tabela 8. Estimacao semi-parametrica dos parametros do processo Gegenbauer(λ, u), quandoλ = 0.1, u = 0.6, n = 1000 e α ∈ {0.5, 0.55, · · · , 0.85}.
Estimador GPHLM GPHMM GPHLTS BALM BAMM BALTSα = 0.60
Media 0.1011 0.0630 0.1073 0.1670 0.1229 0.1261Vies 0.0011 -0.0370 0.0073 0.0670 0.0229 0.0261
EQM 1.6889 1.9738 1.8577 0.9640 1.3002 1.3660Var 1.6906 1.9744 1.8595 0.9605 1.3010 1.3667
α = 0.65Media 0.0938 0.0648 0.0767 0.1060 0.0951 0.0942
Vies -0.0062 -0.0352 -0.0233 0.0060 -0.0049 -0.0058EQM 0.2456 0.3591 0.2644 0.1492 0.1853 0.1892
Var 0.2458 0.3583 0.2641 0.1493 0.1855 0.1894α = 0.70
Media 0.1013 0.0893 0.0982 0.1032 0.0971 0.1000Vies 0.0013 -0.0107 -0.0018 0.0032 -0.0029 0.0000
EQM 0.0254 0.0430 0.0273 0.0160 0.0236 0.0224Var 0.0255 0.0429 0.0274 0.0160 0.0237 0.0224
α = 0.75Media 0.0998 0.0916 0.0984 0.0999 0.0982 0.0991
Vies -0.0002 -0.0084 -0.0016 -0.0001 -0.0018 -0.0009EQM 0.0027 0.0052 0.0031 0.0016 0.0027 0.0022
Var 0.0027 0.0051 0.0031 0.0016 0.0027 0.0022α = 0.80
Media 0.1007 0.0921 0.0989 0.1004 0.0992 0.0994Vies 0.0007 -0.0079 -0.0011 0.0004 -0.0008 -0.0006
EQM 0.0023 0.0045 0.0025 0.0013 0.0022 0.0018Var 0.0023 0.0044 0.0025 0.0013 0.0022 0.0018
α = 0.85Media 0.1010 0.0976 0.1007 0.1010 0.1009 0.1010
Vies 0.0010 -0.0024 0.0007 0.0010 0.0009 0.0010EQM 0.0012 0.0028 0.0012 0.0007 0.0012 0.0010
Var 0.0012 0.0028 0.0012 0.0007 0.0012 0.0010α = 0.89
Media 0.1012 0.0983 0.1009 0.1007 0.1005 0.1008Vies 0.0012 -0.0017 0.0009 0.0007 0.0005 0.0008
EQM 0.0008 0.0018 0.0009 0.0005 0.0008 0.0007Var 0.0008 0.0018 0.0009 0.0005 0.0008 0.0007
Tabela 9. Estimacao parametrica do parametro λ do processo Gegenbauer(λ, u)
FT(d)
(d=0.1,v=0.6) (d=0.1,v=0.8) (d=0.4,v=0.8) (d=0.1,v=1.0) (d=0.2,v=0.6) (d=0.2,v=0.8) (d=0.2,v=1.0) (d=0.3,v=0.8)Media 0.0806 0.0653 0.3890 0.0311 0.1863 0.1810 0.1513 0.2899
Vies -0.0194 -0.0347 -0.0110 -0.0689 -0.0137 -0.0190 -0.0487 -0.0101EQM 0.0013 0.0026 0.0015 0.0087 0.0009 0.0014 0.0181 0.0007
Var 0.0009 0.0014 0.0014 0.0039 0.0007 0.0011 0.0157 0.0006
Tabela 10. Estimacao parametrica do parametro u do processo Gegenbauer(λ, u)
FT(v)
(d=0.1,v=0.6) (d=0.1,v=0.8) (d=0.4,v=0.8) (d=0.1,v=1.0) (d=0.2,v=0.6) (d=0.2,v=0.8) (d=0.2,v=1.0) (d=0.3,v=0.8)Media 0.4257 0.4719 0.7997 0.4633 0.5719 0.7434 0.8274 0.7967
Vies -0.1743 -0.3281 -0.0003 -0.5367 -0.0281 -0.0566 -0.1726 -0.0033EQM 0.0460 0.1462 0.0001 0.3794 0.0067 0.0227 0.1420 0.0016
Var 0.0157 0.0385 0.0001 0.0913 0.0059 0.0195 0.1123 0.0015