GERADORES DE UM ESPAÇO VETORIAL

Sejam os vetores: (2, 1) e (3, 2) de R2.

x e y, de (x, y), existem os números reais e , tais que

(2, 1) + (3, 2) = (x, y),

pois o sistema 2 + 3 = x1 + 2 = y

terá sempre solução única.

= 2x- 3y e = -x + 2y

Para o vetor (23, 14), teremos = 2.23 – 3.14 = 4 = - 23 +2.14 = 5

Assim, (23, 14) = 4.(2, 1) + 5.(3, 2)

Fato diferente acontece com o para de vetores (1, 2) e (2, 4).

Não é possível escrever o vetor (23, 14) na forma (1, 2) + (2, 4).

+ 2 = 232 + 4 = 14

Simplificando a segunda equação, + 2 = 7.

Isto contraria a primeira equação.

Existem e tais que (x, y) = (2, 1) + (3, 2), porém

não existem e tais que (x, y) = (1, 2) + (2, 4).

A não ser que: y = 2x.

Como qualquer vetor (x, y) pode ser escritos como (2, 1) e (3, 2), dizemos que o conjunto {(2, 1), (3, 2)} gera o espaço vetorial R2. Enquanto que: {(2,1), (4, 2)} não gera R2.

DEFINIÇÃO 1:- Dizemos que um vetor v é uma combinação linear dos vetores v1, v2, v3, ... vn se existirem os escalares 1, 2, 3, ..., n, tais que v = 1v1 + 2v2 + 3v3 + ... + nvn .

APLICAÇÃO:

Escrever o vetor (6, -9) como combinação linear dos vetores (1, 2) e (3, -1)(1, 2) + (3, -1) = (6, - 9) + 3 = 6 e 2 - = - 9

Da primeira equação = 6 - 3. Substituindo esse valor na segunda equação:

2(6 - 3) - = - 9 12 - 6 - = - 9 -7 = - 21 = 3

+ 3.3 = 6 = - 3Resposta: (6, -9) = -3.(1, 2) + 3.(3, -1)

DEFINIÇÃO 2:- Seja o conjunto G = {v1, v2, v3, ... , vn} onde cada vi é um vetor. O conjunto V de todos os vetores formados por combinações lineares de elementos de G, é denominado espaço vetorial gerado pelos vetores v1, v2, v3, ... , vn. Estes vetores são chamados de geradores do espaço vetorial V.

EXERCÍCIOS

01 – Escreva o vetor (3, 2, -5) como combinação linear dos vetores (2, 1, 0), (-1, 0, 3) e (0, 4, 1).

02 – Escreva a matriz como combinação linear das matrizes 7 48 3

1 0 0 0 0 2 0 00 0 8 0 0 0 0 6

03 – Escreva o polinômio 5x3 + 2x2 – 3x + 7 como combinação linear dos polinômios: x3 + 2x + 1, x2 – x + 2, x + 1, 5.

04 - Mostre que os vetores (2, 1) e (3, 2) são geradores do espaço vetorial R2.

05 – Mostre que os vetores (2, 1, 0), (-1, 0, 3) e (0, 4, 1) geram o espaço vetorial R3.

06 – Verifique se os polinômios x4 + x, x3 + 2x, x2 – 4x0, x + 1, 2x0 geram o espaço vetorial formados pelos polinômios de 3º grau.Os polinômios de 3º tem forma ax3 + bx2 + cx + d.