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Licenciatura em ciências · USP/ Univesp
Elet
rom
agne
tism
o
13.1 Introdução13.2 Dois fenômenos distintos13.3 O que é força eletromotriz?13.4 A lei de Faraday13.5 Aplicações
13.5.1 Geração de energia elétrica13.5.2 Motor elétrico13.5.3 Transformadores
13.6 Indutores e Autoindutância
Gil da Costa Marques
A InDuçãO ElETrOMAGnéTICA13
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Eletromagnetismo
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13.1 IntroduçãoVimos na eletrostática que uma distribuição de cargas produz um campo elétrico.
No entanto, não só cargas elétricas em repouso ou em movimento podem gerar campos elétricos.
Campos magnéticos, que variam com o tempo, também podem dar origem a campos elétricos.
Esse fenômeno é conhecido como indução, pois um campo elétrico é induzido pela variação
de outro campo – o campo magnético.
Neste tópico, abordaremos ainda outra forma de gerar campos magnéticos. Essa forma é um
tanto sutil. Trata-se de um efeito relativístico, ou seja, ainda que o campo magnético não varie com
o tempo, se nós nos colocarmos num referencial em movimento, nesse referencial existe um campo
elétrico que se relaciona de uma forma muito simples com o campo magnético. É um fenômeno
análogo à lei de Biot-Savart invertendo-se, no entanto, os papéis dos campos elétricos e magnéticos.
Tem origem, em última análise, no caráter relativo de campos dos campos elétricos e magnéticos.
Os dois fenômenos a serem abordados neste tópico têm um
número muito grande de aplicações. A lei que, afinal, descreve os dois
fenômenos em termos do conceito de força eletromotriz estabe-
lece o princípio básico sobre o qual está assentada, por exemplo, a
geração de energia elétrica em grande escala. Para isso, construímos
equipamentos denominados geradores. Outros dispositivos como
transformadores e motores fazem uso, para efeitos práticos, dos dois
fenômenos descritos nos dois primeiros parágrafos.
Apesar de outros pesquisadores estarem, àquela
época, investigando o fenômeno, credita-se a Michael
Faraday a descoberta experimental da indução eletro-
magnética no ano de 1831.
A experiência de Faraday era simples. Ele colocou
duas bobinas próximas uma da outra. Em seguida,
fez passar uma corrente por uma delas. Notou que,
ao abrir e fechar o circuito nessa bobina, surgia uma
corrente na outra. Dedicou-se ao tema durante muitos
anos, tendo realizado experiências envolvendo a indução
provocada por ímãs, além de bobinas.
Figura 13.1: Usina Hidroelétrica de Itaipu. De caráter binacional, localizada na fronteira entre Brasil e Paraguai.
Figura 13.2: Ilustração e esquema da experiência de Faraday.
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13 A Indução Eletromagnética
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Entendemos hoje que, ainda com referência à primeira experiência de Faraday, o movimento
dos elétrons no segundo circuito se deve ao surgimento de uma força elétrica que atua nesses
elétrons. Esse fenômeno foi descrito, historicamente, como associado a uma força eletromotriz.
Heinrich Friedrich Emil Lenz deu outra contribuição significativa para o entendimento do
fenômeno ao definir um critério para se estabelecer o sentido da corrente elétrica induzida.
Tal critério acarreta, na verdade, a determinação do sinal num dos membros da equação de Maxwell.
Faraday descobriu ainda um segundo fenômeno eletromagnético, ou seja, o surgimento de uma
força eletromotriz que provoca o deslocamento de elétrons num condutor. Nesse novo fenômeno,
não ocorre uma variação do campo magnético com o tempo. Ainda assim, surge uma força eletromo-
triz que impulsiona os elétrons ao movimento, desde que um condutor, um fio por exemplo, esteja
em movimento. Essa é a base do princípio de funcionamento do seu famoso Disco de Faraday.
Tal arranjo consistia, essencialmente, de
um disco de cobre colocado entre os
polos de um magneto com a forma de
uma ferradura, que, quando colocado em
movimento giratório, funciona como um
gerador (dito gerador homopolar). Assim,
coube a ele a construção do primeiro
gerador de eletricidade.
Assim, Faraday descobriu, por meio de experiências, que se pode gerar uma força eletromotriz
mesmo quando não existe uma variação do campo magnético ao longo de um circuito ou de
um condutor elétrico. Tal força eletromotriz surge quando o circuito ou o condutor se move
em determinadas direções em relação a um campo magnético uniforme.
Veremos, neste tópico, que a força eletromotriz (que, a rigor, não é uma força) se origina da variação do campo magnético produzido pelo primeiro circuito.
Figura 13.3: Ilustração e esquema do disco de Faraday.
Em resumo, Faraday descobriu dois fenômenos que, como se verá a seguir, podem ser descritos em termos de um único conceito – o conceito de força eletromotriz; portanto, os dois fenômenos eletromagnéticos, os quais, a despeito de terem origens distintas, podem ser descritos a partir de uma só lei.
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Eletromagnetismo
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Logo depois das descobertas de Faraday houve uma corrida para a construção dos precursores
dos dínamos, os quais são geradores de eletricidade baseados na variação do fluxo de campos
magnéticos. Os primeiros geradores eram muito ineficientes. Até então, a corrente elétrica era
fornecida pelas pilhas. A viabilidade prática de tais dispositivos e a fabricação de dínamos em
larga escala só vieram a acontecer depois de 1866.
Muitas são as aplicações práticas do fenômeno da indução e da relatividade dos conceitos de
campo elétrico e magnético. A seguir, analisaremos algumas delas.
13.2 Dois fenômenos distintosO surgimento de uma força eletromotriz no caso de condutores em repouso submetidos a
um campo magnético que varia com o tempo, e aquele em que os condutores se movimentam
numa região que contém um campo magnético constante no tempo tem explicações distintas.
É interessante que, apesar de terem origens distintas, ainda assim é possível descrever os dois
fenômenos utilizando apenas uma lei.
Num primeiro caso, estamos tratando da variação do campo
magnético com o tempo. Nesse caso, a Lei de Faraday, discutida a
seguir, se escreve da seguinte forma:
13.1
Essa é a equação básica do fenômeno da indução, ou seja, um
campo magnético que varia com o tempo se comporta como uma
fonte na geração de um campo elétrico (o campo elétrico induzido).
No segundo caso, um condutor ou um circuito é colocado em movimento numa região na
qual existe um campo magnético constante no tempo. Esse foi o segundo fenômeno observado
por Faraday a partir da sua experiência envolvendo um disco condutor em rotação.
Duas linhas de raciocínio inteiramente equivalentes podem ser adotadas para se entender a
segunda classe de fenômenos. Cada uma delas faz uma análise a partir de referenciais distintos.
Na primeira delas, o fenômeno é analisado a partir do referencial do laboratório, referencial
no qual os elétrons são vistos em movimento. Nesse caso, a existência da força que coloca os
Figura 13.4: A aproximação do ímã é equivalente à variação do campo mag-nético no circuito gerando um campo elétrico que colocará os elétrons.
BEt
∂∇× = −
∂
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13 A Indução Eletromagnética
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elétrons em movimento dentro de um condutor, quando este se move com velocidade v, é uma
consequência da Força de Lorentz. Assim, quando um condutor se move numa região em que
existe um campo magnético independente do tempo, cada um dos elétrons experimentará a
ação de uma força dada por:
13.2
Considere agora o caso em que analisamos o mesmo fenômeno a partir do referencial que
se move junto com o condutor.
Ele experimentará a ação de uma força magnética?
Não, pois nesse referencial tudo se comporta como se os elétrons estivessem em repouso.
A solução para esse aparente paradoxo vem da Teoria da Relatividade, na qual interpre-
tamos os campos elétricos e magnéticos como algo análogo a “duas faces da mesma moeda”.
Assim, de acordo com a Teoria da Relatividade, no referencial do condutor em movimento
existe, além do campo magnético, um campo elétrico, que é dado por:
13.3
onde, agora,
V é a velocidade relativa entre dois referenciais. No referencial do elétron, seu movi-
mento é atribuido ao campo elétrico resultante do movimento de acordo com a expressão 13.3.
Sobre o elétron age uma força dada por:
13.4
Assim, o resultado, quando analisado a partir dos dois referenciais, é o mesmo.
F r qV B r( ) = × ( )
E r V B rmovimento ( ) = × ( )
F r qE r qV B r( ) = ( ) = × ( )movimento
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Eletromagnetismo
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Exemplos
• ExEmplo 01A bobina retangular feita de fio de cobre é posta a girar com velocidade angular ω = 2πf por meio de uma manivela, numa região em que existe um campo magnético
B. Essa região se localiza entre os dois polos de um ímã. Fixando nossa atenção em apenas uma espira das grandes bobinas dos geradores de corrente elétrica, este arranjo simples permite entender o princípio de funcionamento de um gerador elétrico.
Como os elétrons livres do fio são postos em movimento?
→ REsolução:Ao girar os elétrons, eles adquirem uma velocidade
v associada ao movimento de rotação da espira ( v r= ×ω ). Isso significa que os elétrons livres do fio experimentam a ação de uma força magnética
dada pela equação 13.2, isto é:
F e v B= − ×( ) . O sinal negativo advém do fato de a carga do elétron ser negativa: q = −e (e = 1,6 × 10−19 C). A Figura 13.6 ilustra uma posição da espira na qual a velocidade
v é, momentaneamente, perpen-dicular a
B para facilitar o raciocínio.
Figura 13.5: Esquema de uma bobina girante.
Figura 13.6: Aplicação da Força de Lorentz F qv B= ×
sobre um elétron livre nos lados AB e CD da espira quando eles (este lados) cruzam perpendicularmente o campo magnético
B.
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13 A Indução Eletromagnética
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Na Figura 13.6, representamos duas situações opostas: no lado AB a força magnética
F sobre um elétron livre é no sentido B para A; e no lado CD, ela é no sentido C para D. Isso ocorre por causa da posição do elétron nesse segmento, que é invertida em relação ao segmento AB.Para melhor análise, vamos adotar um sistema cartesiano e escrever os vetores velocidade e campo magnético em função dos versores cartesianos. A Figura 13.7 mostra o sistema cartesiano adotado. Vamos agora analisar a força sobre um
elétron livre do lado AB enquanto a espira gira no sentido horário (quando vista de uma posição perpendicular ao plano que contenha a manivela em movimento).Seja φ o ângulo entre o plano que contém a espira e o plano xy que é, como resultado da rotação crescente no sentido horário, tendo como referência (φ = 0) quando a espira estiver na posição da Figura 13.7. A velocidade e o campo magnético podem ser escritos assim:
Substituindo-se na equação 9.1, teremos:
Como
j j×( ) = 0 e
k j i×( ) = − , temos:
Como se trata de um elétron: q = −e, a expressão da força se reduz a:
Devido ao movimento da espira, o ângulo φ varia com o tempo. Em termos do período do movi-mento de rotação, escrevemos:
Figura 13.7: Referencial cartesiano adotado: 0x na direção do eixo de rotação e o eixo 0y na direção e sentido do campo magnético
B. Em (b), o ângulo entre o lado AC e o campo magnético é φ, crescente no sentido da rotação da espira. Neste sistema:
B Bj= e
V V j v k= +sen . cos .ϕ ϕ .
a b
V V j V kB B j= +
=
.sen . .cos .
.
ϕ ϕ
F q V j V k B j qvB j j qVB k= +( ) × = ×( ) + ×. .sen . cos . .sen .cosϕ ϕ ϕ ϕ jj( )
F qV B i qvB i= [ ] −( ) = −[ ]. . .cos cosϕ ϕ
F e vB i eVB i= − −( ) = [ ]cos cos .ϕ ϕ
ϕ ωπ
= =tTt2
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Eletromagnetismo
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Analisemos o que ocorre com os elétrons do lado AB à medida que a espira gira de 0 até φ = π, ou seja, realiza uma meia rotação (decorrido um intervalo de tempo de meio período). Primeira-mente, como nesse intervalo a função cosφ cresce de 0 até 1 (−φ = π/2), a força varia de F = 0 até F = evB. Posteriormente, quando o ângulo varia de π/2 até π, a função cosφ varia de 1 até atingir o valor 0 e, portanto, nesse intervalo de tempo a força diminui até se anular em φ = π. Isso significa que, no primeiro momento, os elétrons livres, contidos no lado AB da espira, são impelidos sempre no mesmo sentido, o sentido positivo de 0x (ou seja, de B para A). No meio ciclo seguinte, quando o ângulo varia de π até 2π, o cosφ adquire valores negativos e a força F = eVBcosφ assume valores negativos, ou seja, os elétrons são impelidos no sentido oposto ao anterior (ou seja, de A para B).O que ocorre no lado CD da espira? Exatamente o oposto. Assim, conforme a espira gira, nos coletores 1 e 2 acumulam-se, alternadamente, cargas negativas em um deles e falta de cargas negativas em outro. Por isso, esse tipo de gerador é denominado gerador de corrente alternada. O vai e vem dos elétrons corresponde a uma corrente que se alterna. Tudo volta a acontecer da mesma forma depois de um período T.Podemos escrever a corrente alternada sob a forma:
13.5
Os elétrons livres dos lados AC e DB da espira também sofrem ação da Força de Lorentz, porém, eles são compelidos em direção à superfície interna do fio.
• ExEmplo 02Transferindo-nos para o referencial da espira em movimento, como se comporta o campo elétrico nos lados AB e CD da espira girante do Exemplo 01?
→ REsolução:Vamos usar os resultados do Exemplo 01. Lá foram estabelecidos:
Portanto, substituindo-se em 13.3 temos que o campo elétrico no interior dos fios da espira é:
Como
j j×( ) = 0 e
k j×( ) = −1 o vetor campo elétrico será
E VB i= − cos .ϕ .O campo elétrico tem a direção do eixo 0x (que é paralelo aos lados AB e CD da espira) mas no sentido oposto ao positivo do eixo 0x. Portanto, ao longo do lado AB da espira atua um campo elétrico expresso por
E VB i= − cos .ϕ , cujo sentido é oposto ao da força
F eVB i= cosϕ . O campo elétrico no interior do fio varia conforme a espira gira; para ângulos entre π ≤ φ ≤ 2π, o sentido do campo é oposto ao que vigora entre os valores 0 ≤ φ ≤ (π/2) em completa concordância com os resultados do Exemplo 01.
i i t= +( )0 sen ω δ
V V j V k B Bj= + =sen . cos .ϕ ϕ e
E V j V k B j VB j j VB k j= +( ) × = ( ) ×( ) + ( ) ×(sen . cos . . sen cosϕ ϕ ϕ ϕ ))
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13 A Indução Eletromagnética
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13.3 O que é força eletromotriz?Força eletromotriz (ε = f.e.m.) é uma grandeza física atribuída a fontes e dispositivos como
pilhas, baterias e geradores elétricos. Essa denominação, de natureza histórica, não é uma força,
como o nome sugere.
Na definição rigorosa de força eletromotriz, fazemos uso de grandezas físicas obtidas através
de integrais de caminhos dos campos elétricos. Nessa formulação, a força eletromotriz é defi-
nida como uma integral de caminho do campo elétrico, caminho designado por Γ, ao longo
de uma curva fechada, isto é, ela é definida por:
13.6
O campo elétrico acima pode ser de qualquer natureza: tanto aquele que resulta da variação do
campo magnético (veja expressão 13.1) como aquele deduzido a partir da teoria da relatividade
(expressão 13.3). Campos derivados de potencial, como aqueles da eletrostática contribuem
com um valor nulo para a f.e.m.
Como se nota na definição 13.6, a f.e.m. é a quantidade de energia por unidade de carga
(joule/coulomb) envolvida no deslocamento de uma carga elétrica – em um trajeto interno no
interior da fonte – de um terminal para outro, portanto – produzindo, entre eles uma diferença
de potencial elétrico. Por isso, ela é medida em “volt”.
13.4 A lei de FaradayPara introduzir a lei de Faraday, mister se faz definir outra
grandeza física denominada f luxo do campo magnético. Definimos
o f luxo do vetor campo magnético através de uma superfície deli-
mitada pelo caminho como a integral de superfície:
13.7
ε = ⋅∫� ��E dlΓ
Figura 13.8: Fluxo de um vetor através de uma superfície.
Φ = ∫∫�i�
B dSS
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Eletromagnetismo
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Muitas vezes podemos ter uma ideia do fluxo magnético analisando as linhas de força (ou
linhas do fluxo) do campo magnético.
Considere, a título de exemplo, o caso de um ímã. O f luxo magnético − φ − é tanto
maior quanto maior for o conjunto de “linhas de f luxo” do campo magnético que atravessa
uma superfície. O f luxo será máximo se as linhas forem perpen-
diculares à superfície. Caso isso não ocorra, devemos considerar
apenas as componentes normais. No ímã de barra, o f luxo mag-
nético através das superfícies dos polos é o conjunto de todas as
linhas de f luxo que as atravessam.
O fluxo magnético é uma grandeza escalar e a sua unidade de
medida no sistema SI é o “weber” (leia-se: véber), cujo símbolo é
Wb, em homenagem ao físico alemão Wilhelm Webber.
• ExEmplo 03Qual é o fluxo do campo magnético uniforme dado por
B B k= . através de uma espira plana retan-gular e pertencente ao plano xy (veja Figura 13.10), e de lados x = a e y = b?
→ REsolução:O elemento de área no plano xy é ds = dx.dy. Define-se o vetor elemento de área ds como um vetor perpendicular ao elemento de área, ou seja, ds = (ds).en, onde
en = vetor unitário na direção perpen-dicular à superfície. No caso em tela, a direção normal à superfície considerada é o eixo 0z, o que implica que
en =
k . Então, podemos escrever que ds = (ds).
k . Substituindo-se
B e ds na equação 9.4, temos:
Figura 13.9: Linhas de fluxo de um ímã de barra. As linhas são contínuas; elas atravessam a superfície do polo S e saem pela superfície do polo N, e retor-nam ao polo S e assim sucessivamente.
Figura 13.10: Fluxo do campo magnético num elemento de superfície plana.
ϕ = ⋅( ) = ⋅( ) = ( ) ⋅( ) = ( )∫∫ ∫∫ ∫∫∫∫
B ds Bk ds k Bds k k BdsS S SS
.
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13 A Indução Eletromagnética
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Substituindo ds = dxdy, o fluxo é obtido resolvendo-se uma integral dupla cujo domínio é 0 ≤ y ≤ b e 0 ≤ x ≤ a, conforme indica a figura. Logo:
Unidade do campo magnético em função da unidade de fluxo.Da resposta acima podemos escrever: B = φ/S; portanto, a unidade de B = (unidade de fluxo)/(unidade de área) = Wb/m² = tesla = N/amp.m.
• ExEmplo 04A Figura 13.11 ilustra um campo magnético constante (módulo, direção e sentido) atraves-sando uma espira circular de área S totalmente contida no plano. Determine o fluxo do campo magnético na espira.
→ REsolução:Nesse caso, a direção normal ao plano da espira difere da direção do campo magnético de um ângulo θ.
A definição de produto escalar entre dois vetores nos leva a escrever
B . ds = B.ds.cosθ.
Portanto, ϕ θ θ= ( ) =∫∫ ∫∫B ds B dsS S
. .cos .cos . Uma vez que ds SS
. =∫∫ , o fluxo na espira é:
φ = B.S.cosθ.Observa-se que 1. Quando as linhas de fluxo forem perpendiculares ao plano da área S, o ângulo θ = 0° e cos0° = 1
e o fluxo φ = B.A.cosθ. = B.A atingem o valor máximo.2. Quando as linhas de fluxo passarem tangencialmente ao plano da área S, o ângulo θ = 90° →
cos 90° = 0 e o fluxo φ = B.A.cos90°= 0 são nulos nesse caso.
A Lei de Faraday estabelece uma relação muito simples entre a força eletromotriz e a taxa
com que o fluxo magnético varia com o tempo. Tal lei se escreve:
13.8
Seu significado físico é simples. Uma
corrente elétrica será induzida ao longo
de um circuito fechado se o campo
magnético variar com o tempo, afetando
o seu fluxo sobre uma superfície que
contém o circuito.
ϕ = = =∫∫ Bdydx B a b B Sba
00
. . .
Figura 13.11: Fluxo do campo magnético numa espira circular contida num plano.
Figura 13.12: A força eletromotriz é dada como a integral de caminho do campo elétrico numa curva fechada. O fluxo do campo magnético se refere ao fluxo numa superfície aberta delimitada por essa curva.
ε = −ddtΦ
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Eletromagnetismo
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A força eletromotriz surgirá tanto no caso em que existe um movimento do circuito
(a corrente resulta da força de Lorentz), quanto no caso em que o campo elétrico surge devido
à alteração do campo magnético com o tempo, ou os dois efeitos concomitantemente.
Assim, a Lei de Faraday descreve os dois fenômenos apontados na introdução.
Em particular, podemos afirmar que, quando o fluxo que induz a corrente está aumentando
com o tempo, o fluxo induzido (associado ao campo produzido pela corrente elétrica) tem
sentido oposto. No entanto, quando
o fluxo indutor estiver diminuindo
com o tempo, o fluxo induzido tem o
mesmo sentido que o indutor.
A indução eletromagnética é descrita,
portanto, por duas Leis:
• Lei de Faraday que determina a
f.e.m. (e, por consequência, a corrente elétrica) induzida.
• Lei de Lenz, que permite determinar o sentido da corrente induzida.
• ExEmplo 05O polo N de um ímã de barra é aproximado com velocidade
V perpendicularmente à área de uma espira metálica circular. Determine o sentido da corrente elétrica induzida na espira. Analise também o caso em que o polo se afasta.
Finalmente, é importante comentar o sinal negativo da Lei de Faraday. Esse sinal negativo é a contribuição de Lenz já mencionado. Esse sinal determina o sentido da força eletromotriz resultante. De acordo com Lenz, esse sentido se opõe à variação que o produziu.Dito de outra forma, a Lei de Lenz afirma que:A força eletromotriz induzida agirá de tal forma que a corrente induzida gere um campo magnético, cujo fluxo se oporá à mudança no fluxo magnético que a produz.
Figura 13.13: Indução por conta da variação do campo magnético.
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13 A Indução Eletromagnética
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→ REsolução:O sentido da corrente elétrica induzida é aquele indicado na Figura 13.14.Para entendermos a resposta dada, lembramos a Lei de Lenz. De acordo com essa lei, “o sentido da corrente induzida é tal que os seus efeitos tendem a se opor às variações do fluxo magnético promovidas pelo indutor.” Portanto:1º Quando o fluxo magnético indutor aumenta sobre a espira, a cor-
rente induzida gera um fluxo que se oporá a esse aumento.Em virtude da aproximação do polo N do ímã o fluxo magnético externo sobre a espira aumenta. Conforme a Lei de Faraday, essa variação de fluxo gera na espira uma f.e.m. que, por sua vez, gera uma corrente elétrica na espira. Qual o sentido da corrente elétrica induzida? O sentido deve ser tal que o campo magnético induzido (ver Lei de Ampère) gera um fluxo que se opõe ao fluxo do ímã (fluxo indutor).Na Figura 13.15 as linhas vermelhas estão asso-ciadas ao fluxo magnético induzido pela corrente induzida i; elas induzem um campo magnético oposto ao campo magnético indutor.Outra maneira de descrever a situação é pelo modelo denominado “ímã fantasma”. A aproxi-mação do polo N do ímã indutor faz com que a corrente induzida circule na espira de modo a criar um “ímã fantasma” cujo polo N se opõe à aproximação do polo N do ímã indutor.Consideremos agora o caso em que o ímã é movimentado no sentido oposto. O polo N do ímã – se afasta do plano da espira. O fluxo mag-nético diminui, pois as linhas do fluxo do campo magnético indutor ficam cada vez mais rarefeitas. Quando o fluxo magnético indutor sobre a espira diminui, a corrente induzida induz um campo magnético cujo fluxo se opõe a essa diminuição.A corrente induzida muda de sentido e passa a circular na espira de modo a induzir um fluxo magné-tico que se oponha à diminuição do fluxo indutor. As linhas vermelhas da Figura 13.16 mostram o sentido do fluxo magnético gerado pela corrente induzida. Elas têm o mesmo sentido das linhas de fluxo magnético gerado pelo ímã indutor, mas as linhas pretas estão se afastando da espira.O fluxo magnético da corrente induzida (em vermelho) cresce para compensar a diminuição do fluxo magnético (em preto) do ímã que se afasta.
• ExEmplo 06Analise a lei de Lenz à luz do princípio da Conservação da Energia.
→ REsolução:A relação entre o sentido da corrente elétrica induzida em um circuito fechado e a variação do fluxo magnético, estabelecida pela Lei de Lenz, é tal que a corrente elétrica induzida produz efeitos opostos a suas causas.
Figura 13.14: Corrente elétrica induzida.
Figura 13.15: Raciocinando com a lei de Lenz de forma a prever o sentido da corrente induzida quando aumentamos o fluxo.
Figura 13.16: Raciocinando com a lei de Lenz de forma a prever o sentido da corrente induzida quando reduzimos o fluxo.
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Eletromagnetismo
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Mais especificamente, o sentido da corrente elétrica induzida é tal que o fluxo magnético, por ela criado, se opõe à variação do fluxo magnético que a produziu. Em outras palavras, para gerar uma corrente induzida, é necessário energia. Se a corrente elétrica induzida produzisse um fluxo magnético cuja variação fosse igual à do campo indutor, mais e mais corrente elétrica seria induzida; e isso violaria a lei da conservação da energia.
• ExEmplo 07O fluxo sobre uma bobina de 400 espiras varia com o tempo conforme a expressão:
Determine a f.e.m. induzida na bobina.
→ REsolução:Numa bobina de N espiras, a f.e.m. é ampliada N vezes. Logo, para uma bobina de N espiras a f.e.m. induzida é ε = −N(dφ)/(dt). Portanto:
• ExEmplo 08Um campo magnético é perpendicular à secção transversal A = 12 cm² de uma bobina com N = 13 espiras enroladas num tubo de plástico, com ar no seu interior. Se a intensidade do campo magnético variar conforme a lei B(t) = 4.t (Tesla; segundo), qual a f.e.m. induzida nos terminais C e D da bobina?
→ REsolução:Considerando que o fluxo φ = B.S.cosθ, a força eletromotriz induzida nos terminais da bobina com N espiras é dada pela expressão:
No caso, como B é perpendicular ao plano da área S, o ângulo θ = 0 → cos 0° = 1; S = 12 cm² = 12 × 10-4 m²; N = 13 espiras e B(t) = 4.t. Assim:
Isso significa que as linhas do fluxo magnético se adensam no interior da bobina gerando uma f.e.m. = −62,4 mV.Se a intensidade do campo magnético diminuísse com o tempo à mesma taxa, (dΦ/dt < 0), as linhas do fluxo magnético no interior da bobina ficariam cada vez mais rarefeitas, gerando uma f.e.m. = + 62.4 mV.
ϕ = × − × ( )28 10 400 105 5 t Wb; s
ε = −( )× − ×( )
= −( ) − ×( ) = +
− −−400
28 10 400 10400 400 10
5 55
d tdt
11 6, V
Figura 13.17: Indução numa bobina.
ε ϕθ
= = −( )N d dt Nd B S
dt. /
. .cos
ε θ= −[ ] ( )= − × × ×
( )= ×− −N S
d Bdt
d tdt
. .cos 13 12 10 14
624 104 4 m .T/2 ss mV( ) = −62 4,
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13 A Indução Eletromagnética
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13.5 Aplicações13.5.1 Geração de energia elétrica
Um exemplo da utilização do fenômeno da indução o da geração de energia elétrica por meio
de geradores instalados em usinas hidroelétricas ou usinas atômicas. Nesses casos, existe a con-
versão de duas formas de energia (gravitacional e atômica, respectivamente) em energia elétrica.
Numa usina hidroelétrica, formamos uma enorme barragem na qual a água é represada.
Em alguns pontos da barragem, permitimos o escoamento da água que, em seu movimento
descendente, atinge as hélices de turbinas que então se colocam em movimento. Condutores
distribuídos de forma a se movimentarem numa região em que existe um campo magnético
produzirão correntes elétricas. Na Figura 13.19 ilustramos como uma corrente alternada é
produzida num gerador.
Figura 13.18: Usina Hidrelétrica de Itaipu (a) e esquema de seu funcionamento (b).
b
a
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Eletromagnetismo
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De acordo com o que foi analisado nos dois exemplos anteriores, quando existe um campo
magnético uniforme numa região em que uma espira de área S se movimenta dotada de velocidade
angular ω, existe uma variação do fluxo do campo magnético através da espira. Seja θ o ângulo entre
a normal ao plano da espira e o campo magnético. Nessas circunstâncias, o fluxo será dado por:
13.9
Se a velocidade angular for constante, o ângulo θ varia com o tempo de acordo com a expressão:
13.10
E, portanto, o fluxo varia com o tempo de acordo com a expressão:
13.11
Da expressão acima deduzimos que a força eletromotriz é dada por:
13.12
Essa força eletromotriz pode ser expressa como:
13.13
Figura 13.19: Princípio de funcionamento de um gerador de corrente alternada.
Φ = BS cosθ
θ ω θ= +t 0
Φ = +( )BS tcos ω θ0
ε ω θ ω ω θ= − = − +( ) = +( )ddt
BS ddt
t BS tΦ cos sen0 0
ε ω θ= +( )V t0 0sen
314
13 A Indução Eletromagnética
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Existe, portanto, uma diferença de potencial entre os coletores (diferença de potencial entre
os fios de entrada e de saída da espira) que varia com o tempo de forma periódica. Essa dife-
rença de potencial é denominada voltagem alternada. Esse é o princípio de funcionamento de
um gerador de corrente alternada.
Se um gerador estiver conectado a um circuito cuja resistência é R (usualmente, a resistência
interna), a corrente resultante será uma corrente alternada da forma:
13.14
13.5.2 Motor elétrico
Um fio condutor, quando conectado a uma bateria, será percorrido por uma corrente elé-
trica. Considere um arranjo no qual uma espira é ligada a uma bateria, de tal forma que ela seja
agora colocada numa região em que existe um campo magnético.
De acordo com a Força de Lorentz, os elétrons experimentarão
uma força cuja orientação é dada pela Figura 13.20. Cria-se, em
função da geometria do fio, um torque que colocará a espira em
rotação. Considerando-se um conjunto muito grande de espiras,
esse efeito é grandemente ampliado. O movimento de rotação que
pode ser transferido a um eixo é de origem mecânica e pode ser
aproveitado para os mais diversos fins.
O fato é que um fio no formato de uma espira quando percorrido por uma corrente e
colocado numa região onde existe um campo magnético externo experimentará a ação de
um par de forças denominado binário.
13.5.3 Transformadores
Quando variamos a corrente num circuito primário, geramos um campo magnético variável
no núcleo de um transformador. Se dispusermos de um segundo circuito − o secundário,
esse campo magnético variável induzirá uma força eletromotriz nesse circuito. É um efeito
denominado indução mútua.
iR
VR
t i t= = +( ) = +( )εω θ ω θ0
0 0 0sen sen
Figura 13.20: Força sobre uma espira percorrida por uma corrente quando sob a ação de um campo magnético.
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Eletromagnetismo
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• ExEmplo 09Explique o funcionamento de um transformador com base no fenômeno da indução eletromagnética.
→ REsolução:Transformador é um dispositivo cujo funcionamento se fundamenta no fenômeno da indução eletromagnética.Basicamente, um transformar consiste de duas bobinas, cada uma delas com um número de espiras diferentes e um núcleo de ferro também. Uma das bobinas recebe o nome de “bobina primária” ou “bobina de entrada”; a outra é denominada “bobina secundária” ou “bobina de saída”.Quando a bobina primária é percorrida por uma corrente alternada, cria-se um campo magnético variável ao redor dela. A variação do campo magnético gera um fluxo magnético variável que, propagando-se através do núcleo de ferro, induz na bobina secundária uma f.e.m. variável. O núcleo de ferro, além de servir de estrutura, tem a função importante de confinar as linhas de fluxo, impedindo que elas se espalhem.A bobina primária corresponde à “entrada” de energia e a bobina secundária, à “saída” de energia. Por meio das linhas de fluxo de um campo magnético variável produzido por uma bobina, ocorre transferência de energia para o circuito da outra bobina.Os transformadores dissipam energia em forma de calor; eles se aquecem durante o funcionamento.
Figura 13.21: Transformador seu esquema de funcionamento.
a b
Figura 13.22: Um transformador com Np espiras no primário e Ns espiras no secundário.
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13 A Indução Eletromagnética
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Relação entre as tensões e o número de espiras em cada bobina para um transformador ideal:Num transformador ideal, a dissipação de energia é nula e as linhas de fluxo do campo magnético criado pela bobina primária são confinadas no núcleo de ferro.Assim, o fluxo por espira é o mesmo em todas as espiras das duas bobinas e a f.e.m. (ou a diferença de potencial) em cada bobina é: Vp = −Np(dφ/dt) e Vs = −Ns(dφ/dt).
13.15
13.16
Se [Ns/Np] > 1 → Vs > Vp (transformador de elevação de tensão).Se [Ns /Np] < 1 → Vs < Vp (transformador de redução de tensão).
13.6 Indutores e AutoindutânciaUm conceito importante no eletromagnetismo, e em particular
na análise dos circuitos, é o conceito de indutor. Num circuito
elétrico, o indutor é mais um elemento a ser considerado.
Um indutor (um reator ou um arranjo com espiras) é um compo-
nente de um circuito elétrico contendo dois terminais, de forma que
nele se possa armazenar energia eletromagnética. Qualquer que seja o condutor, tem associado a
ele uma indutância. Tal conceito pode ser introduzido no contexto da Lei de Faraday.
Consideremos o caso de um circuito isolado no qual circula uma corrente elétrica i, que varia
com o tempo. Tal corrente produzirá um campo magnético que varia igualmente com o tempo e,
consequentemente, o fluxo desse campo no circuito irá variar. Portanto, estamos tratando de um
caso de autoindução, ou seja, uma força eletromotriz induzida pelo circuito sobre ele mesmo.
Nesse caso, o fluxo do campo elétrico pelo circuito dependerá do tempo e essa dependencia
ocorre por conta da dependencia da corrente elétrica com o tempo. E, portanto, podemos escrever:
13.17
VV
NN
s
p
s
p
=
V N N Vs s p p= / .
Figura 13.23: Um indutor pode ser construído mediante a aglomeração de fios agrupados, formando espiras.
ε = − = −ddt
ddididt
Φ Φ
317
Eletromagnetismo
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Ao primeiro coeficiente do lado direito dessa expressão damos o nome de coeficiente de
indutância mútua, e o representamos com a letra L:
13.18
O coeficiente de autoindutância é um coeficiente que envolve parâmetros do circuito e
depende da geometria desse circuito.
Utilizando a autoindutância, escrevemos a Lei de Faraday da seguinte forma:
13.19
De 13.19 pode-se concluir que a unidade de medida de indutância, no SI, é
que recebe o nome de “henry” - símbolo H.
L ddi
≡Φ
ε = −L didt
Figura 13.24: Bobinas com diferentes valores de indutância.
volts segundoampere×