3. Palavras Chaves (selecionadas pelo autor)

AERODINÂMICA DE SATtLITE

FORÇAS E TORQUES EM 8ATtLI'TEARRASTE AERODINÂMICO

4. Distribuição1. Classificação INPE-COM.4/RPE

C.D.U.: 521.3:629.783

2. Periodo

interna

externa

oGJ

5. Re1a tó r io n9

INPE-1944-RPE/262

6. Data

Novembro, 1980

7. Revisado por

~~.

N. S. Venkataraman

8. Titulo e Sub-Titu10

ESTIMAÇÃO DAS FORÇAS AERODINÂMICAS EM

SATtLITES TERRESTRES, APLICAÇÃO

A UM SATtLITE EXPERIMENTAL

9. Autorizado por

/\/~Nel~on ~1 Jesus P~ada

n_·-_.L-r

10. Setor DSE/DDO Código 11. NQ de cópias 06

12. J'.utoria Valdemir Carrara

Ii

_" Jaa,u..t~-;;fd:laaL.......-13. Assinatura Responsave1 ~. _

16. Sumario/Notas

14. N9 de páginas 42

15. rreço

Este trabalho objetiva o estudo e posterior adaptação em

termos computacionais das forças de arraste atuantes num satélite artificial, visto que estas forças são de grande importância para a predeteriminação da órbita, sendo indispensável sua perfeita compreensãõ.

Para isto, foi construida a sub-rotina DRAG que estima as forças, devido ao arraste aerodinãmico, para um satJlite de qualque formato, CU

jas equações são derivadas da equação do BoUzman, com distribuiçãõMaxeUiana de velocidade e utilizando dados atmosféricos obtidos pelomodelo de Jacchia-Roberts.

17. Observações

tNDICE

ABSTRACT iv

LISTA DE FIGURAS ~.. .. ... v

1. INTRODUÇ~O 1

2. RESUMO TEORICO 1

3. A SUB-ROT INA ORAG 7

4. APLICAÇAO AO SATELITE EXPERIMENTAL 12

5. AN~LISE DOS RESULTADOS 20

6. REFER[NCIA BIBLIOGR~FICA 38

- iii -

ABSTRACT

This work a~ms the study of the forces acting on an

artifitial satellite as well as writing computable expressions fopthem. Bearing in mind that these forces play an important role in

prognostics of the satellite orbit~ it is important to undepstand

then well. With this in view~ it was written a subroutine called DRAG~

which estimates the forces due to aerodynamic drag acting on a

satellite with a general shape. The equations were derived from

Boltzmann equation~ with a Maxwellian distribution of velocity andusing atmospheric parameters from Jacchia~Roberts modelo

- iv -

LISTA DE FIGURAS

1. Sistema de coordenadas do satelite 2

2. Reflexão especular........................................... 5

3. Refl exão difusa 6

4. Medidas (em mm) principais do satélite e colocação do eixo de

coordenadas X Y Z. ............................................. 13

5. ~reas encobertas (suprimidas de integração) 14

6. ~reas encobertas (suprimidas de integração) ~ 15

7. ~reas encobertas (suprimidas de integração) 16

8. ~reas encobertas (suprimidas de integração) 17

9. ~reas encobertas (suprimidas de integração) 18

10.Grãfico 1 25

11.Grãfi co 2 26

12.Grãfi co 3 ,....... 27

13.Grãfi co 4 28

14. Grã fico 5 , , ".".. 29

l5.Grãfico 6 , ,..,. 30

16.Grã fico 7 31

17.Grãfi co 8 ,.............. 32

- v -

ESTIMAÇAO DAS FORÇAS AERODINAMICAS EM SATtLITES TERRESTRES,

APLICAÇAO A UM SATtLITE EXPERIMENTAL

1. INTRODUÇAO

A estimação das forças que atuam num satelite em õrbita

terrestre e de extrema importância, pois delas depende o tempo de vida

do satelite. Tais forças, quando não balanceadas causam torquessobre o

centro de gravidade, modificando sua atitude. Alem disso, alteramos e

lementos Keplerianos, em especial a excentricidade, diminuindo-a, tor

nando a õrbita gradativamente circular; reduzem o semi-eixo maiore con

sequentemente o período de revolução do satelite em torno da Terra.

Em satelites de baixa altitude, a força predominante e o

arraste atmosferico, causado pelos choques das moleculas e lons da a!

mosfera com a superflcie do satelite. Pode-se consideraro arraste aer.Q.

dinâmico como predominante ate a altura de 1.000 km sobre o esferõide

terrestre, quando então as demais forças (Coulombiana, de Indução, Ra

diação Solar etc.) atingem uma magnitude não mais desprezível, quando

comparada com a aerodinâmica.

2. R~SUMO TEORICO

Nas condições dos satelites, a atmosfera e tão rarefeita

que o livre caminho medio, isto e, a distancia media percorrida por uma

molecula entre duas colisões moleculares sucessivas, supera algumas v~

zes as dimensões da maioria dos satelites. Deve-se tambem considerar

os efeitos das partículas neutras e carregadas, pois a porcentagem de

ionização aumenta de 0.1% a 300 km para quase 100% a 4000 km. Não se

pode, por isso, utilizar a análise dimensional, baseada na teoria con

tínua, mas sim, a Teoria Molecular dos Gases.

Inicialmente, fixa-se um sistema de eixos X Y Z no sateli

te e considera-se um elemento de área dA, em cuja superflcie se orienta o

sistema xyz, de forma que o eixo x coincida com a normal interna como

indica a Figura 1 e, portanto, os eixos y e z estarão contidos no plano

do elemento.

- 2 -

Fig. 1 - Sistema de coordenadas do satelite

- 3 -

o vetor velocidade relativa U, da atmosfera em relação

ao sate1ite, dado por meio de suas componentes no sistema XVZ, pode ag~

ra, efetuando-se algumas rotações, ser expresso no sistema x,y, z, cu

jos co-senos diretores serão ~, n, ç, respectivamente.

Admi tir-se-ã agora que as propri edades dos gases são d~

rivados exclusivamente do movimento de suas mo1ecu1as e queestemovime~

to pode ser predito pela Mecânica Clássica, como por exemplo, a energia

cinetica de uma mo1ecu1a dada por e. = --21 m.v~. Aplicando-se a função1 1 1de distribuição Maxwe11iana de velocidades ã equação de Bo1tzmann, ob

ter-se-ã a equação diferencial (Sta1der e Zurick, 1951):

+ I: ~ I 1 + erf (sç;) I} dA

ou dO = __1 P u2 G (s) dA2

sendo que:

(1 )

(2)

dO representa a projeção da diferencial da força aplicada no ele

mento da área dA, na direçao cujos co-senos diretores são tx, Qy e

tz, no sistema, x, y, z, devido ao arraste aerodinâmico.

U e a velocidade media das mo1êcu1as em re1açâo ao sa

telite. Para sua obtenção, são necessarios os elementos da õrbita e nao

deve ser desprezado o movimento de rotação da atmosfera.

- 4 -

p - e a densidade local da atmosfera.

erf(x) - função erro, definida como:

erf(x) = ro

2 -tL- e dt;; (3)

Tw - temperatura na superf;cie do elemento de ãrea

Ti - temperatura média das moleculas antes da colisao com o satêli

te.

o coeficiente admensional s, razao de velocidades, e

obtido da relação:

us=---/2:;'

sendo que:

(4)

K - constante de Boltzmann

m - massa de uma molecula. Quando mais de um gas estiver presen

te, m serã igual ã razão da massa pelo numero de moleculas

contidas num elemento de volume.

Os coeficientes a e a' respectivamente, transferência

de momento tangencial e normal, são definidos como:

a = (5)

01 = pi - pr

pi - pw

(6)

- 5 -

sendo que T é a componente tangencial do momento da molécula e p, a co~

ponente normal ao elemento de supef;cie. Os ;ndices i e rse referem as

moleculas incidentes e refletidas, enquanto que w indica os momentos

tangencial e normal, se as moléculas fossem refletidas com distribuição

Maxwelliana de velocidades e com temperatura igual a da superf;cie, Tw.

Deve-se notar que os coeficientes a e a' são valores m~

dios e descrevem o fenômeno de reflexão das moléculas (Schaafe Chambre,

1961), de uma forma bastante simplificada. Entretanto, numa anãl ise

mais detalhada, ver-se-ã que estes coeficientes dependem também do an

gulo de incidência das moleculas, do material, da temperatura, da su

perf;cie, etc ..

Se a reflexão for especular (ângulo de incidência igual

ao ângulo de reflexão), como esquematizado na Figura 2, e se não hou

ver tempo para troca de calor entre as moléculas com temperatura Ti e

a superf;cie, com temperatura Tw, então Ti = Tr , pi = pr, e ter-se-ã:

ai = a = O - reflexão especular sem acomodação, isto e, troca de/

calor.

Fig. 2 - Reflexão especular

Se a reflexão for completamente difusa (moléculas re

fletidas espalham-se em todas as direções) como mostrado na Figura 3,

e com acomodação térmica perfeita, isto e temperatura das moléculas r~

fletidas igual ã temperatura da superf;cie, ter-se-ã pr = pw e Tr= TW,

e assim:

o = 01 =

- 6 -

reflexão difusa com perfeita acomodação.

Fig. 3 - Reflexão difusa

Na prãtica, os valores de o e ai situam-se entre

mas hã uma predominância na refexão difusa, mesmo em superficies

tante lisas como por exemplo:

ar e vidro - a = 0,87

o e 1

bas

De acordo com a equação diferencial (1) os co-senos di

retores tx, ~y e ~z indicam a direção na qual a força resultante ap1icada ao elemento de ãrea dA e projetada, obtendo-se dO. Se essa dir!

ção coincidir com a direção da velocidade U, a força se denomina arra~

te. A componente da resultante na direção perpendicular ao arraste dã

a sustentação.

o coeficiente de arraste Co e definido como:

O

Co =

_1 P u2 A

2 B

(7)

- 7 -

onde:

D e o arraste (força na direção da velocidade) e AS e uma área de

referência adotada, que poderá ser uma superficie qualquer do sa

telite ou a área do contorno projetada na direção da velocidade

(ãrea frontal).

Da relação (2) conclui-se que:

CD = _1_ f G(s) dAAS

(8)

o coeficiente de arraste e, portanto, uma função da r~

zao de velocidades e da direção da velocidade U, para um mesmo sateli

te.

3. A SUS-ROTINA DRAG

A integração ana1itica da equação de arraste (1) e po~

sivel em casos simples, como uma placa plana, um cilindro, um cone ou

uma esfera. Se numa primeira aproximação se considerar o sate1ite como

tendo uma~associação desses formatos, e se efetuar a integração anali

tica, os resultados não terão em si nenhum erro de integração. Porem, é

raro, se ter, atualmente, satélites com tais formatos. Outro fator que

dificulta o cálculo, é que se se tiver um elemento de área encoberto

por outro, na direção da velocidade U, sua contribuição no arraste vai

depender da área encoberta, da distância entre os elementos considera

dos, do mõdulo da velocidade e da densidade atmosferica. Dequalqer fo~

ma pode-se considerar como desprezivel a força atuante num elemento en

coberto. Isso eliminará do tratamento analitico a quase totalidade dos

satelites, como por exemplo, satelites esfericos (pass;veis de integr~

ção anãlitica) com antenas radiais, pois a integração numerica sera

mais vantojasa.

- 8 -

No sentido de tornar a sub-rot;na o mais geral possível,

foi necessãri o separã-l a de qua 1quer confi guração em especi.a1. Como a for

ça atuante num elemento de ãrea depende apenas do seu tamanho e orienta

ção em relação ao satelite, fixado os demais fatores, nesse ponto e fei

ta a interface satel ite - sub-roti na.

Definir-se-ã, então para posterior utilização, um siste

ma de coordenadas fixo no satêl ite X Y Z, em relação ao qual serão forne

cidas informações ã sub-rotinas Drag.

Precisar-se-ã, nesse ponto, da densidade, da temperatura

e da massa media das moleculas da atmosfera. Para isso, adotar-se-ã o

modelo de Jacchia (1971) e Roberts (1971), utilizando o trabalho Negrel

ros de Paiva (1979), que fornece os elementos acima, em função da altu

ra do satelite sobre o esfer6ide terrestre e de outros coeficientes me

dios que serão vistos adiante.

Computacionalmente, a sub-rotina Drag estã na forma:

SUBROUTINE DRAG(EXT, AB, ALT, UX, UY, UZ, LM0N)

onde:

EXT: e uma sub-rotina e, portanto, deverã ser declarada em um co

mando EXTERNAL EXT, no subprograma principal. Esta sub-rotina deverã es

tar na forma:

SUBROUTINE EXT(DA, Xl, X2, X3, ENDE)

sendo que:

DA: e um dos elementos de ãrea, na qual foi dividida a superfície

do satélite; sua dimensão é m2• Se o elemento for plano, sua

ãrea poderã ser a maior posslvel. Se, entretanto, tiver um fo~

mato curvo, seu tamanho deverã ser compatlvel com a precisão

desejada. A divisão de um cilindro, por exemplo em 60 partes,

- 9 -

assegura um boa rapidez de calculo aliada a uma precisão razoa

ve 1 (Soe 1tcher e Legge, 1979)

Xl, X2, X3: são as componentes da normal externa do elemento de area

em cons ideração, em relação ao sistema X Y Z.

ENDE: e uma variãvel lógica que, quando verdadeira, comanda a saí

da de resultados e provoca o retorno da sub-rotina Drag. Deve

rã, portanto, ser verdadeira quando o ultimo elemento de area

DA for enviado a sub-rotina integradora DRAG.

AS: e a ãrea de referência adotada para o cãlculo do coeficiente

de arraste CD, em m2.

ALT: e a altura em km, do satelite sobre a superflcie da Terra. Hã

uma entrada alternativa (veja S mais adiante) na qual não e ne

cessãrio fornecer este valor.

UX, UY, UZ: sao os co-senos diretores da velocidade U, do meio em

re1ação ao satel ite, no sistema X Y Z.

LM0M: e uma variavel lógica que, quando verdadeira, calcula os m~

mentos devido às forças aerodinâmicas que agem no satelite.Se

for verdadeira, o subprograma devera conter o comando:

C0MM0N/CENGRA/CGX, CGY, CGZ~ onde:

CGX, CGY, CGZ são as coordenadas do centro de gravidade

do satelite do sistema X Y Z, que, portanto, deverão ser

definidas antes da chamada da sub-rotina Drag, e a sub­

rotina EXT devera conter:

C0MM0N/RAI0S/RX, RY, RZ, onde:

RX, RY e RZ são as coordenadas do centro de elemento de

area DA, no sistema X Y Z, em metros.

.. 10 -

Entradas Alternativas

A sub-rotina DRAG define uma serie de variáveis que,

por outro lado, poderão ser definidas no subprograma, desde que se in

clua os comandos:

a) C0MM0N/DAD0S/S, SIGMA, Str.MAP, TW •. Introduzindo este cartão no

programa principal pode-se ter controle sobre:

S - razão de velocidades varia de 2 a 12 conforme a altitude va

ria de 2000 a 160 km. Se o valor de S for nulo, a sub-roti

na irã considerar o valor de ALT para o cálculo de S.

SIGMA E SIGMAP - são os coeficientes de tranferencia dos momen

tos tangenciais e normais, respectivamente. Se não forem de

finidos, serão considerados unitários.

TW - e a temperatura da superfície do satelite em graus Kelvi~

Serã igual ã temperatura da atmosfera, se não for definida

no subprograma.

b) C0MM0N/PARAT/SS0F, S0F, PK, GLAT, SDEC, LMST, TMJT

EStes dados são utilizados no cálculo das contantes at

mosfericos, conforme Negreiros de Paiva (1979), Jacchia (1971)eRoberts

(1971). As constantes são:

SS0F e S0F: fluxo solar corrigido para a data e fluxo solar re

al do dia anterior, respectivamente, ambos em Watts/10-22

m2 Hz.

PK: lndice de atividade geomagnetica

GLAT: latitude geográfica em radianos

SDEC: declinação do sol em radianos

LMST: tempo medio solar local, em graus

TMJD: tempo em dias julianos modificados.

- 11 -

Os valores adotados pela sub-rotina ORAG são medios, En

tretanto, qualquer um dos elementos pode ser alterado, mantendo-se os

outros com seu valor inicial. Ao fornecer estes valores, ALTdeverã ser

definido e S devera ser nulo.

Sa;das

a) Sub-rotina Orag - fornece as componentes OX, OY e OZ da for

ça resultante aplicada no satelite em relação ao sistema XYZ, e sua

unidade e Newtons.

b) Modulo e co-senos diretores da força resultante, do arraste

e do sustentação, alem dos ângulos TETA e FI que são respectivamente:

ângulo formado pela força e o plano X Y, e angulo formado pelo eixo X

ate a projeção da força no plano XY.

c) Coeficiente de arraste CO'

d) Razão de velocidade admensional S.

e) Se LM0M for verdadeiro, a sub-rotina imprime as componentes

dos momentos nos três eixos em Newton.m, e sua resultante, dando o m~

dulo e a direção. Quando se deseja calcular os momentos, e aconselhãvel

dividir a superf;cie do satelite em pequenos elementos, inclusive as

partes planas.

f) Introduzindo o cartão:

C0MM0N/PARCIA/LPARC na sub-rotina EXT, quando LPARC, varia

vel logica, for verdadeira, a sub-rotina Orag imprime resultados pa!

ciais que sao:

COP - coeficiente de arraste calculado entre dois LPARC ver

dadeiros consecutivos.

COPU - coeficiente de arraste calculado no passo onde foi fei

to LPARC verdadeiro.

- 12 -

OPAX, OPAY, OPAZ - forças calculadas entre dois LPARC verda

deiros consecutivos en Newtons.

Xl, X2, X3 - componentes da normal ã superfície do elemento,

no sistema X Y Z.

DA - ãrea do elemento em m2•

Em anexo, mostra-se a listagem em FORTRAN da sub-rotina

ORAG. A sub-rotina Atdens não se encontra listada, mas para maiores in

formações veja Negreiros de Paiva (1979).

4. APLICAÇAO AO SATtLITE EXPERIMENTAL

Como uma primeira análise, foi aplicada a integração nu

merica ao modelo de satelite indicado na Figura 4. As superfícies late

rais são cobertas com celulas solares que tambem recobrem a parte sup~

rior. Os apêndices são antenas de telemetria e telecomando, sendo que

o apêndice central superior e o mastro extensível para a estabilização

do satelite por gradiente de gravidade. Embora o perfil se apresente

bastante simples, sua dificuldade se encontra nas ãreas encobertas que

deverão ser subtraídas da integração, em função do angulo de ataque a

e de rotação s, do vetor velocidade em relação ao sistema de eixos do

satelite.

Os resultados para angulos de ataque foram computados,

assumi ndo-se os valores - 900, - 600 , - 450, - 300, 00, 300, 450, 600 e

900. Para cada um desses casos foi variado o raio da órbita (o que im

plica numa variação da razão de velocidades S) de 100 a 900 km, com pa~

so de 100 km, e tambem o ãngulo de rotação S, que assumiu os valoreso o

- 25.5 , O, 22,5 .

As figuras 5, 6, 7,8, 9 e 10 mostram as ãreas omitidas

da integração por estarem encobertas, quando o vetor velocidade U assu

me determinada direção.

- 13 -

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Fig. 4 - Medidas (em mm) principaisdo sate1ite e colocação doeixo de coordenadas X Y Z.

- 14 -

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- 15 -

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- 20 -

Pela falta de maiores informações sobre o material da su

perflcie do sate1ite, bem como o seu controle termico, foram adotados

as constantes a, a' e I Tw/Ti como unitárias.

Numa análise mais detalhada, deverão ser inc1uidos dados

fornecidos pelas condições atmosfericas, corrigidas para a data, junta

mente com informações sobre o equi11brio termico e textura da superfl

cie externa do sate1ite, bem como a velocidade, que deverá ser a soma

vetoria1 das velocidades do sate1ite em função dos elementos Kep1eria

nos e da atmosfera (que poderá ser admitida como sendo a mesma ve10ci

dade angular da Terra).

5. ANALISE DOS RESULTADOS

Os resultados parclals indfcaram que o mastro da

massa estabi1izadora e responsável por um aumento significativo no ar

raste total, devido ao seu grande comprimento (10m). Por essa razão e

pelo fato de se considerar uma área de referência fixa e igual ã area

do octaedro (AS = .707 m2), e não a ãrea projetada na direção da velo

cidade, e que, somente a baixas altitudes (S grande) e ângulos de at~

~e - 900 e 900 (quando o mastro estã encoberto e a área de referência

coincide com a área projetada), o coeficiente de arraste se aproxima

de seu valor limite no fluxo Newtoniano (s ~ 00), ou seja CD = 2.

O grande comprimento do mastro e, tambem, responsável por

um momento considerável no eixo X, que tende a desa1inhar o eixo Z do

~te1ite com a vertical local. O ponto de equi11brio deverá ser obtido

incluindo no equi1ibrio de momentos, principalmente, o efeito devido

ao gradiente de gravidade.

As Tabelas 1, 2, 3 apresentam os resultados obtidos para

a coeficente de arraste CD, em função do ângulo de ataque a, da a1tit~

de e do angu10 de rotação 8. Esses resultados foram p10tados no grãfico

1, CD em função da altitude, e no gráfico 2, CD em função da razão de

velocidades S. Os mesmos resultados estão tambem nos gráficos 3, 4e 5,

- 21 -

que relacionam o coeficiente de arraste com a altura e com o ângulo de

ataque, para rotações S diferentes. O mesmo acontencendo nos grãficos

6, 7 e 8, onde a altura foi substituída pela razão de velocidades ~

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- 38 -

6. REFERtNCIA BIBLIOGR~FICA

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Princeton University Press, 1961. (Princeton Aeronautica1

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STALDER, J.R.; ZURICK, V.J. Theoretical aerodynamic characteristic of

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(NACA. TN2423).

STALDER, J.R.; GOODWIN, G.; CREAGER, M.O. Heat transfer to bodies in

a hight speed rarefied gas stream. Washington, D.C., NACA, 1951.

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KARR, G.R. Environmental dynamics at orbital altitudes. Washington,

D.C., NASA, 1976. (NASA CR-2765).

BOETTCHER, D.; LEGGE, H. Determination of aerodynamic forces on

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17-22, 1979. 13 p

~ NEGREIRONS DE PAIVA, R. Simulação numérica da densidade atmosférica.

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JACCHIA, L.G. Revised static models of the thermospehre and exosphere

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ROBERTS, Jr. C.E. An ana1ytica1 mode1 for upper atmospheric densities

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-377, Dec. 1971.