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Governo dos Açores Escola Básica e Secundária de Velas

Período Domínios

N.º de aulas (45 minutos)

Lecionação de

conteúdos

Dia do ProSucesso, apresentação, atividades de diagnóstico, revisões,

testes, trabalhos de avaliação, correções,

autoavaliações e outras atividades da escola

1.º

Previstas

76

Lógica e Teoria de Conjuntos (LTC10) 16

12 (2 ProSucesso, 2 diagnóstico, 4

minifichas, 6 testes) Álgebra (ALG10) 24

Geometria Analítica (GA10) 24

2.º

Previstas

72

Geometria Analítica (GA10) 24 10 (2 minifichas, 6 testes, 2,

Carnaval) Funções Reais de Variável Real (FRVR10) 38

3.º

Previstas

44

Funções Reais de Variável Real (FRVR10) 18 10

(4 minifichas, 6 testes) Estatística (EST10) 16

160 32

Total (Ano) 160 + 32 = 192

Manual adotado: Maria Augusta e outros, Máximo 10, Porto Editora

PLANIFICAÇÃO ANUAL

DISCIPLINA DE MATEMÁTICA A

10.º ANO

O docente da disciplina: Luísa Matos Ano Letivo: 2016/2017

A avaliação ao longo do ano será feita mediante os seguintes parâmetros: -Observação direta; - Fichas de avaliação; -Trabalho em grupo, em pares ou individual; -Trabalhos de casa; -Empenho nas tarefas propostas; - Participação oral na aula; -Atitudes/comportamento; - Ficha de autoavaliação.

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Domínio: LTC10

1Introdução à Lógica bivalente e à teoria dos conju ntos

Conteúdos Descritores (Metas Curriculares) N.º de aulas de 45’

1. Proposiçõ es 1.1. Proposições e valores lógicos

1.1.1. Termos (ou designações) (Princípio da não contradição e princípio do terceiro excluído)

1.1.2. Equivalência de proposições

1.1. Designar por «proposição» toda a expressão � suscetível de ser «verdadeira» ou «falsa» e designar estes atributos por «valores lógicos».

1.2. Saber que uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa e designar esta propriedade por «Princípio de não contradição».

1.3. Saber, dadas proposições � e �, que «� é equivalente a � » é uma proposição, designada por «equivalência entre � e �», que é verdadeira se e somente se � e � tiverem o mesmo valor lógico e representá-la também por «� ⟺ �».

1

1.2. Operações sobre proposições 1.2.1. Equivalência 1.2.2. Negação

(Lei da dupla negação) 1.2.3. Conjunção

(Princípio da não contradição e propriedades)

1.2.4. Disjunção (Princípio do terceiro excluído, propriedades e Primeiras Leis de De Morgan)

1.2.5. Implicação (Princípio da dupla implicação e Lei da conversão)

1.4. Saber, dada uma proposição �, que «não �» é uma proposição, designada por «negação de �», que é verdadeira se� for falsa e é falsa se� for verdadeira e representá-la também por «~�».

1.5. Justificar, dada uma proposição �, que ~�~��, designando esta propriedade por «lei da dupla negação».

1.6. Saber, dadas proposições �e � , que « �e� » é uma proposição, designada por «conjunção de �e �», que é verdadeira se e somente se �e� forem simultaneamente verdadeiras, e representá-la tambémpor «� ∧ �».

1.7. Saber, dadas proposições �e � , que « � ou�» é uma proposição, designada por «disjunção de �e � », que é falsa se e somente se �e� forem simultaneamente falsas, representá-la também por «� ∨ �» e justificar que� ∨∼ �é uma proposição verdadeira, designando esta propriedade por «Princípio do terceiro excluído».

1.8. Saber, dadas proposições �e �, que « �implica�» é uma proposição, designada por «implicação entre �e � », que é falsa se e somente se �for verdadeira e� for falsa, representá-la também por «� ⟹ �», designar por «antecedente» e por «consequente» da implicação e reconhecer, dada uma proposição �, que se� ⟹ � e � ⟹ �então� ⟹ � .

1.9. Saber que, por convenção, em qualquer sequência de operações lógicas, a menos de utilização de parênteses, se respeitam as seguintes prioridades: negação; conjunção e disjunção; implicação e equivalência.

1.10. #Provar, dadas proposições�e �, que a proposição ~�� ⇒ ��é equivalente à proposição � ∧∼ �.

1.11. #Provar, dadas proposições �e �, que a proposição� ⟺ � é verdadeira se e somente se � ⇒ �e� ⇒�forem ambas proposições verdadeiras e designar esta propriedade por «princípio da dupla implicação».

1.12. #Provar, dada uma proposição �e representando por �(respetivamente �) uma qualquer proposição verdadeira (respetivamente falsa), que � ∧ � ⟺ �, � ∨ � ⟺ �, � ∨ � ⟺ �e� ∧ � ⟺ �.

1.13. #Provar, dadas proposições �e �, que ∼ �� ∧ �� ⟺ ~� ∨∼ �e que ∼ �� ∨ �� ⟺ ~� ∧∼ �e designar estas equivalências por «Primeiras Leis de De Morgan». 1.14. #Provar, dadas proposições�, �e �, que�� ∧ �� ∧ � ⟺ � ∧ �� ∧ ��,� ∧ � ⟺ � ∧ �e que�� ∧ �� ∨� ⟺ �� ∨ �� ∧ �� ∨ ��, bem como as que se obtêm permutando em todas as ocorrências os símbolos «∧» e «∨», e designá-las respetivamente por «associatividade», «comutatividade» e «distributividade».

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1.15. #Provar, dadas duas proposições�e � , que a proposição � ⇒ �é equivalente à proposição∼ � ⇒∼�, designar esta última implicação por «implicação contrarrecíproca da implicação � ⇒ �».

1.16. +Simplificar expressões envolvendo operações com proposições, substituindo-as por proposições equivalentes envolvendo menos símbolos, e determinar o respetivo valor lógico sempre que possível. 3.1. +Resolver problemas envolvendo operações lógicas sobre proposições.

Estratégias: Identificar os pré-requisitos necessários ao desenvolvimento da unidade e integrá-los e mobilizá-los a partir da resolução de alguns exercícios. Solicitar aos alunos que descrevam procedimentos por via oral e por escrito. Tirar partido de situações lúdicas para a compreensão de conceitos e a aplicação de conhecimentos. Diversificar o tipo de representações recorrendo a esquemas. Levar os alunos a reconhecer resultados e de forma progressiva a justifica-los e/ou demonstrá-los. Aproveitar as referências históricas apresentadas no manual e outras para reforçar a motivação e permitir um melhor enquadramento do conhecimento da matéria. Complementar a consolidação de conhecimentos estabelecendo conexões entre diversos domínios. Integrar a exploração de recursos tecnológicos sempre que seja pertinente. Diversificar processos de resolução de problemas e discuti-los. Estabelecer referências orientadoras para o trabalho do aluno, a partir de exemplos e da resolução de exercícios analisando e discutindo aspetos relevantes. Incentivar a consolidação e aplicação de conhecimentos a partir da diversidade e da repetição da tipologia de exercícios e problemas.

Domínio: ALG10

2 Radicais. Potências de expoente racional

Conteúdos Descritores (Metas Curriculares) N.º de aulas de 45’

1. Radicais 1.1. Raiz índice � de um número

1.1.1. Monotonia da potenciação 1.1.2. Raiz índice � de um número

1.1. +Reconhecer, dados dois números reais � e � e um número � ∈ ℕ ímpar, que se � < �então �� < ��

1.2. +Reconhecer, dados dois números reais � e � e um número � ∈ ℕ par, que se 0 ≤ � < �então0 ≤�� < �� e se � < � ≤ 0então �� > �� ≥ 0.

1.3. Saber, dado um número real �e um número� ∈ ℕ ímpar, que existe um número real�tal que�� = �,

provar que é único, designá-lo por «raiz índice �de�» e representá-lo por « √��».

1.4. +Saber, dado um número real positivo� e um número � ∈ ℕpar, que existe um número real �positivo tal que�� = �, provar que �−��� = � e que não existe, para além de� e de−�, qualquer outra solução da

equação!� = � , designar� por «raiz índice � de � » e representá-lo por « √�� ».

1.5. Justificar, dado um número natural �, que0 é o único número real cuja potência de expoente� é igual

a0 e, por esta razão, representá-lo também por « √0� » («raiz índice � de 0 »).

1

1.2. Propriedades algébricas dos radicais 1.6. #Provar, dados números reais não negativos � e � e um número � ∈ ℕ par, que √�� × √�� = √� × ��e

reconhecer que, para m∈ ℕ, # √�� $% = √�%� .

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Pré-requisitos

Propriedades da relação de ordem

em ℝ

Raízes quadradas e cúbicas

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1.2.1. Produto de raízes com o mesmo índice

1.2.2. Potência de um radical 1.2.3. Quociente de raízes com o mesmo

índice

1.2.4. Raiz de raiz ' ( √)*� +

1.7. #Provar, dados números reais � e � e um número � ∈ ℕ ímpar, que √�� × √�� = √� × ��e reconhecer

que, para m∈ ℕ, # √�� $% = √�%� .

1.8. #Provar, dados números reais � e � (respetivamente números reais � e � não negativos), � ≠ 0 , e um

número � ∈ ℕ ímpar (respetivamente um número � ∈ ℕ par), que √-�√.� = /-

. � e justificar que para 0 ∈ ℕ ,

# √�� $1% = √�1%� .

1.9. #Provar, dados números naturais � e 0 (respetivamente números naturais ímpares � e 0 ) e um

número real não negativo � (respetivamente um número real �), que ( √�2� = √��2 .

1.2.5. Racionalizar denominadores

1.10. Designar também por «fração» a representação «-.» do quociente entre números reais � e � (com

� ≠ 0), � e �, neste contexto, respetivamente por «numerador» e «denominador» e identificar duas frações como «equivalentes» quando representam o mesmo número.

1.11. +Racionalizar denominadores da forma � √��, ou �√� + 4√5 (� e 4 números inteiros, �, 5, � números

naturais, � > 1).

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2. Potências de expoente racional 2.1. Radicais equivalentes

2.1. +Reconhecer, dado um número real não negativo� e um número racional não negativo � (� ≠ 0se

� = 0),� = %� = %7

�7 (sendo 0, �, 0′e�′ números inteiros,0, 07 ≥ 0 e �, �′ ≥ 2), que √�%� = √�%7�:.

2.2. +Identificar, dado um número real não negativo �e um número racional não negativo� = %� (0e�

números inteiros, 0 ≥ 0e� ≥ 2), � ≠ 0se � = 0, a «potência de base� e de expoente �»,�; , como √�%�,

reconhecendo que este número não depende da fração escolhida para representar �, e que esta definição é a única possível por forma a estender a propriedade ��.�< = �.< a expoentes racionais positivos.

1

2.2. Multiplicação e divisão de radicais com índices diferentes

2.2. +Identificar, dado um número real não negativo �e um número racional não negativo� = %� (0e �

números inteiros, 0 ≥ 0e� ≥ 2), � ≠ 0se � = 0, a «potência de base � e de expoente �», �; , como √�% �,

reconhecendo que este número não depende da fração escolhida para representar �, e que esta definição

é a única possível por forma a estender a propriedade ��.�< = �.<a expoentes racionais positivos.

2

2.3. Operações com potências de expoente racional

2.2. +Identificar, dado um número real não negativo �e um número racional não negativo � = %� (0e �

números inteiros, 0 ≥ 0e� ≥ 2), � ≠ 0se � = 0, a «potência de base � e de expoente �», �; , como √�%�,

reconhecendo que este número não depende da fração escolhida para representar �, e que esta definição

é a única possível por forma a estender a propriedade ��.�< = �.<a expoentes racionais positivos.

2.3. Identificar, dado um número real positivo� e um número racional positivo �, a «potência de base �e

de expoente −�», �1;, como =->, reconhecendo que esta definição é a única possível por forma a estender

a propriedade �. × �< = �.?<a expoentes racionais.

2.4. +Reconhecer que as propriedades algébricas previamente estudadas das potências de expoente inteiro (relativas ao produto e quociente de potências com a mesma base, produto e quociente de potências com o mesmo expoente e potência de potência) podem ser estendidas às potências de expoente racional.

2.5. +Simplificar expressões envolvendo radicais e potências. 3.1. +Resolver problemas envolvendo operações com radicais e com potências.

2 Pré-requisitos

Potências de expoente inteiro

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3 Polinómios

1. Operações com polinómios 1.1. Divisão inteira de polinómios

4.1. Designar um polinómio @com apenas uma variável !por «@�!�».

4.2. +Reconhecer, dados polinómios não nulos A�!�e B�!�, que o grau do polinómio A�!�B�!�é igual à soma dos graus deA�!�e de B�!�.

4.3. Saber, dados polinómios A�!�e B�!�, B�!�não nulo, que existem dois únicos polinómios C�!�e D�!�tais que D�!�ou é o polinómio nulo ou tem grau inferior ao grau de B�!�eA�!� = B�!� × C�!� +D�!�, e designar, neste contexto, A�!�por «polinómio dividendo», B�!�por «polinómio divisor», C�!�por «polinómio quociente» e D�!�por «polinómio resto» da «divisão inteira» (ou «divisão euclidiana») de A�!�por B�!�.

4.4. Determinar, dados polinómios A�!� e B�!�, B�!�não nulo, as formas reduzidas dos polinómios quociente e resto da divisão inteira de A�!�por B�!�.

3

1.1.1. Regra de Ruffini

4.5. +Reconhecer, dado um polinómio @�!� e um número � ∈ ℝ, que aplicando a «regra de Ruffini» se obtém o quociente e o resto da divisão inteira de @�!�por! − � . 3

2. Teorema do resto (Resto da divisão de um polinómioE�F�por um binómio do tipo )F − G, com ) ≠ H)

4.6. Provar, dado um polinómio @�!�e um número � ∈ ℝ, que o resto da divisão inteira de @�!�por! − � é igual a @���e designar esta propriedade por «Teorema do Resto». 4.7. Designar, dado um polinómio @�!�, por «raiz do polinómio» (ou «zero do polinómio») qualquer número real �tal que @��� = 0.

4.8. Identificar um polinómio @�!�como «divisível» por um polinómio C�!�não nulo se o resto da divisão euclidiana de @�!�por C�!�é nulo.

4.9. Provar, dado um polinómio @�!�de grau � ∈ ℕe um número real �, que� é uma raiz de @�!�, se e somente se @�!�for divisível por ! − �e que, nesse caso, existe um polinómio C�!�de grau� − 1tal que@�!� = �! − ��C�!�. 5.1. +Resolver problemas envolvendo a divisão inteira de polinómios e o Teorema do resto.

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3. Decomposição de polinómios em fatores (Multiplicidade de uma raiz) (Decomposição em fatores) (Estudo do sinal de uma função polinomial. Inequações)

4.10. Identificar, dado um polinómio @�!� e uma raiz �de @�!�, a «multiplicidade de �» como o maior número natural � tal que existe um polinómio C�!� com @�!� = �! − ���C�!�, justificar que nesta situação C��� ≠ 0e designar �por «raiz simples» quando a respetiva multiplicidade é igual a 1.

4.11. +Reconhecer, dado um polinómio @�!�de grau � ∈ ℕcujas raízes (distintas) !=, !I, … , !K têm respetivamente multiplicidade �=, �I, … , �K , que �= + �I + ⋯ +�K ≤ �e que existe um polinómio C�!�sem raízes tal que@�!� = �! − !=��M�! − !I��N … �! − !K��OC�!�, tendo-se �= + �I + ⋯ +�K =� se e somente se C�!�tiver grau zero.

4.12. Reconhecer, dado um polinómio @�!�de coeficientes inteiros, que o respetivo termo de grau zero é múltiplo inteiro de qualquer raiz inteira desse polinómio. 5.2. +Resolver problemas envolvendo a fatorização de polinómios de que se conhecem algumas raízes.

5.3. +Resolver problemas envolvendo a determinação dos zeros e do sinal de funções polinomiais de grau superior a dois.

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Estratégias: Identificar os pré-requisitos necessários ao desenvolvimento da unidade e integrá-los e mobilizá-los a partir da resolução de alguns exercícios. Solicitar aos alunos que descrevam procedimentos por via oral e por escrito. Tirar partido de situações lúdicas para a compreensão de conceitos e a aplicação de conhecimentos.

Pré-requisitos

Monómios e polinómios

Equações do 2.º grau

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Diversificar o tipo de representações recorrendo a esquemas. Levar os alunos a reconhecer resultados e de forma progressiva a justifica-los e/ou demonstrá-los. Aproveitar as referências históricas apresentadas no manual e outras para reforçar a motivação e permitir um melhor enquadramento do conhecimento da matéria. Complementar a consolidação de conhecimentos estabelecendo conexões entre diversos domínios. Integrar a exploração de recursos tecnológicos sempre que seja pertinente. Diversificar processos de resolução de problemas e discuti-los. Estabelecer referências orientadoras para o trabalho do aluno, a partir de exemplos e da resolução de exercícios analisando e discutindo aspetos relevantes. Incentivar a consolidação e aplicação de conhecimentos a partir da diversidade e da repetição da tipologia de exercícios e problemas.

Domínio: LTC10

1Introdução à Lógica bivalente e à teoria dos conju ntos

Conteúdos Descritores (Metas Curriculares) N.º de aulas de 45’

2. Condições e Conjuntos 2.1. Expressões com variáveis

2.1. Designar por «expressão proposicional» ou por «condição» uma expressão ��!� envolvendo uma variável! tal que, substituindo ! por um objeto �, se obtém uma proposição ����.

1

2.2. Quantificadores: universal e existencial 2.2.1. Quantificador universal 2.2.2. Quantificador existencial 2.2.3. Segundas Leis de De Morgan

2.2. Saber, dada uma condição ��!�, que «qualquer que seja !, ��!�» é uma proposição que é verdadeira quando e apenas quando se obtém uma proposição verdadeira sempre que se substitui !em ��!�por um objeto arbitrário, representá-la por « ∀!, ��!�», e designar o símbolo «∀» por «quantificador universal».

2.3. Identificar uma condição ��!�como «universal» se ∀!, ��!�for uma proposição verdadeira e reconhecer que a disjunção de qualquer condição com uma condição universal é uma condição universal.

2.4. Saber, dada uma condição ��!�, que «existe! tal que ��!�» é uma proposição que é verdadeira se e somente se, para pelo menos um objeto �, ����for verdadeira, representá-la por «∃!: ��!�»e designar o símbolo «∃» por «quantificador existencial».

2.5. Identificar uma condição ��!�como «possível» se ∃!: ��!�for uma proposição verdadeira, como «impossível» se não for possível e reconhecer que a disjunção de qualquer condição com uma condição possível é uma condição possível e a conjunção de qualquer condição com uma condição impossível é uma condição impossível.

2.6. Saber, dada uma condição ��!�, que a negação da proposição ∀!, ��!�é equivalente à proposição ∃!: ~��!�, que a negação da proposição ∃!: ��!�é equivalente à proposição ∀!, ~��!�, designar estas propriedades por «Segundas Leis de De Morgan», reconhecendo-as informalmente em exemplos, e justificar que a negação de uma condição universal é uma condição impossível e vice-versa. 2.7. Representar, dada uma condição ��!�e um conjunto S, a proposição ∀!, ! ∈ S ⟹ ��!�por «∀ ! ∈S, ��!�», e, no caso de ser verdadeira, designar ��!�por «condição universal em S».

2.8. Representar, dada uma condição ��!�e um conjunto S, a proposição ∃!: ! ∈ S ∧ ��!�por «∃! ∈S: ��!�», no caso de ser verdadeira designar ��!�por «condição possível em S» e, no caso contrário, por «condição impossível em S».

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2.9. +Reconhecer, dada uma condição ��!�e um conjunto S, que a negação da proposição ∀ ! ∈ S, ��!�é equivalente à proposição ∃! ∈ S: ∼ ��!�, que a negação da proposição ∃! ∈ S: ��!�é equivalente à proposição ∀ ! ∈ S, ∼ ��!�e designar um elemento� ∈ Stal que ∼ ����como um «contraexemplo» para a proposição ∀ ! ∈ S, ��!�.

2.3. Conjuntos definidos por condições 2.3.1. União(ou reunião) e interseção de

conjuntos 2.3.2. Subconjunto de um conjunto 2.3.3. Diferença entre conjuntos e conjunto

complementar 2.3.4. Condições equivalentes e igualdade de

conjuntos

2.10. Representar, dada uma condição ��!�, por «T!: ��!�U» um conjunto Atal que ∀!, ! ∈ A ⟺ ��!�, designando a igualdade A = T!: ��!�U por «definição em compreensão do conjunto A pela condição ��!�».

2.11. Saber, dados conjuntos Ae B, que A = Bse e somente se ∀!, ! ∈ A ⟺ ! ∈ B.

2.12. Designar, dado um objeto� e um conjunto A, por «elemento de A» quando � ∈ A, dados objetos �=, … , �K�V ∈ ℕ�, representar por «T�=, … , �KU» o conjunto Acujos elementos são exatamente�=, … , �Ke designar a igualdadeA = T�=, … , �KUpor «definição em extensão do conjuntoA de elementos �=, … , �K».

13. Identificar, dada uma condição ��!�e um conjunto S, o conjunto T!: ! ∈ S ∧ ��!�U como «conjunto definido por ��!�em S» (ou «conjunto-solução de ��!�emS) e representá-lo também por «T! ∈S: ��!�U».

14. Identificar, dados conjuntosA eB, o «conjunto união (ou reunião) de A e B» e o «conjunto interseção de A e B» respetivamente comoA ∪ B = T!: ! ∈ A ∨ ! ∈ BUe A ∩ B = T!: ! ∈ A ∧ ! ∈ BU.

15. Identificar, dados conjuntos A e B, Acomo estando «contido em B» («A ⊂ B») quando ∀!, ! ∈ A ⟹! ∈ B e, nesse caso, designar Apor «subconjunto de B» ou por «uma parte de B».

16. Designar, dados conjuntos A e B, por «diferença entre A e B » o conjunto T! ∈ A: ! ∉ BU e representá-

lo porA\B ou simplesmente por B\quando B ⊂ Ae esta notação não for ambígua, designando-o então por «complementar deB em A».

17. Justificar, dadas condições ��!�e q�!�, que a proposição ∀!, ��!� ⟺ ��!�é equivalente à proposição

∀!, #��!� ⟹ ��!�$ ∧ #��!� ⟹ ��!�$ e designar uma demonstração da segunda proposição por

«demonstração por dupla implicação» da primeira.

18. Reconhecer, dados conjuntos A e B, que A = Bse e somente se A ⊂ B e B ⊂ A, e designar esta propriedade por «princípio da dupla inclusão».

19. +Reconhecer, dadas condições ��!�e q�!�, que a negação da proposição , «∀!, ��!� ⟹ ��!�»é equivalente à proposição «∃!, ��!� ∧∼ ��!�», isto é, que essa proposição é falsa se e somente se existir] tal que ��]�é verdadeira e ��]�é falsa.

20. Justificar, dadas condições ��!�e q�!�, que a proposição «∀!, ��!� ⟹ ��!�»é equivalente à proposição «∀!, ~��!� ⟹ ~��!�», designar a segunda proposição por «contrarrecíproco» da primeira e uma demonstração da segunda proposição por «demonstração por contrarrecíproco» da primeira. 3.2. +Resolver problemas envolvendo operações sobre condições e sobre conjuntos.

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Estratégias: Identificar os pré-requisitos necessários ao desenvolvimento da unidade e integrá-los e mobilizá-los a partir da resolução de alguns exercícios. Solicitar aos alunos que descrevam procedimentos por via oral e por escrito. Tirar partido de situações lúdicas para a compreensão de conceitos e a aplicação de conhecimentos. Diversificar o tipo de representações recorrendo a esquemas. Levar os alunos a reconhecer resultados e de forma progressiva a justifica-los e/ou demonstrá-los.

Pré-requisitos

Conjunto-solução e classificação de

equações

Intervalos de números reais

Conjunção e disjunção de

inequações

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Aproveitar as referências históricas apresentadas no manual e outras para reforçar a motivação e permitir um melhor enquadramento do conhecimento da matéria. Complementar a consolidação de conhecimentos estabelecendo conexões entre diversos domínios. Integrar a exploração de recursos tecnológicos sempre que seja pertinente. Diversificar processos de resolução de problemas e discuti-los. Estabelecer referências orientadoras para o trabalho do aluno, a partir de exemplos e da resolução de exercícios analisando e discutindo aspetos relevantes. Incentivar a consolidação e aplicação de conhecimentos a partir da diversidade e da repetição da tipologia de exercícios e problemas.

Domínio: GA10

4 Geometria Analítica

Conteúdos Descritores (Metas Curriculares) N.º de aulas de 45’

1. Referenciais cartesianos 1.1. Referencial cartesiano no plano

1.1.1. Correspondência entre os pontos do plano eℝ^

1.1.2. Quadrantes 1.1.3. Retas paralelas aos eixos coordenados 1.1.4. Semiplanos 1.1.5. Projeção ortogonal de um ponto sobre

uma reta 1.2. Referencial cartesiano no espaço

1.2.1. Identificação das coordenadas de um ponto E do espaço, em relação a um referencial o.n. _F`a

1.2.2. Correspondência entre os pontos do espaço eℝb

1.2.3. Octantes 1.2.4. Planos paralelos aos planos coordenados 1.2.5. Retas paralelas a um dos eixos

1.1. Designar por «referencial ortonormado» um referencial ortogonal e monométrico de um dado plano, tal que a unidade de comprimento comum aos eixos coordenados coincide com uma unidade de comprimento pré-fixada e, dados números reais �= e �I, designar por «A��=, �I�», o ponto A de abcissa �=e ordenada �I nesse referencial.

1.5. Designar, dado um plano munido de um referencial ortonormado, por «equação cartesiana» (respetivamente por «inequação cartesiana») de um conjunto cuma equação (respetivamente inequação) cujas soluções são as coordenadas dos pontos de c.

1.12. Reconhecer, dado um plano munido de um referencial ortonormado e uma reta� do plano de equação cartesiana ! = 4 �4 ∈ ℝ�, que os dois semiplanos abertos (respetivamente fechados) determinados por �têm por inequações cartesianas ! > 4e! < 4 (respetivamente ! ≥ 4e! ≤ 4 ) e designá-los respetivamente por «semiplano à direita» e «semiplano à esquerda» da reta �.

7.1. Identificar um «referencial (cartesiano) ortonormado do espaço» (ou simplesmente «referencial cartesiano») como um terno ordenado de retas numéricas que se intersetam nas respetivas origens, duas a duas perpendiculares e com unidades de comprimento coincidentes com uma mesma unidade de comprimento pré-fixada, designar a origem comum das três retas por «origem do referencial», a primeira reta por «eixo das abcissas», a segunda por «eixo das ordenadas», a terceira por «eixo das cotas», genericamente cada uma delas por «eixo coordenado» e, se for representada por «d» a origem do referencial, representar estes três eixos respetivamente por «d!», «de» e «df» e o referencial por «d!ef».

7.2. Designar, dado um ponto @e uma reta �, por «projeção ortogonal de @sobre �» como o próprio ponto @quando @pertencer a �e como o pé da perpendicular traçada de @para �no caso contrário, reconhecendo que é a interseção com �do plano normal a �passando por @. 7.3. Designar, dado um referencial ortonormado e um ponto @de projeções ortogonais @g, no eixo das abcissas, @h, no eixo das ordenadas e @i, no eixo das cotas, por «abcissa de @», «ordenada de @» e «cota

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de @» respetivamente a abcissa de @g, de @he de @i nas respetivas retas numéricas, e o terno ordenado

destes três valores por «coordenadas de @».

7.4. Designar por «planos coordenados» os três planos determinados por dois dos eixos coordenados, representá-los por «!de», «!df» e «edf» consoante os eixos coordenados que contêm, e reconhecer que são perpendiculares dois a dois.

7.5. +Reconhecer, dado um referencial ortonormado e um terno ordenado de números reais �!, e, f�, que existe um e apenas um ponto@ com essas coordenadas e representá-lo por «@�!, e, f�».

7.6. +Reconhecer, dado um referencial ortonormado e um ponto @��, �, 4�de projeção ortogonal @′no plano !de, que, nesse plano, munido do referencial constituído pelos eixos d!e de, @′tem coordenadas ��, �� e enunciar resultados análogos para os planos !dfeedf. 8.1. Justificar, dado um referencial ortonormado do espaço e � ∈ ℝ, que! = � é uma equação cartesiana do plano paralelo ao plano coordenado edfque interseta o eixo das abcissas no ponto A��, 0, 0�e determinar as equações dos planos paralelos aos planos coordenados !df e !de.

8.2. Justificar, dado um referencial cartesiano do espaço e �, � ∈ ℝque o conjunto dos pontos @�!, e, f�cujas coordenadas satisfazem o «sistema de equações cartesianas»! = � ∧ e = � é a reta paralela ao eixo das cotas que interseta o plano coordenado !deno ponto A��, �, 0�e determinar sistemas de equações cartesianas de retas paralelas ao eixo das abcissas e ao eixo das ordenadas.

2. Distância entre dois pontos 2.1. Distância entre dois pontos no plano 2.2. Distância entre dois pontos no espaço

1.2. +Reconhecer, fixada uma unidade de comprimento, dado um plano munido de um referencial ortonormado e pontos A��=, �I�eB��=, �I�pertencentes a esse plano, que a medida da distância entreAe

Bé igual a(��= − �=�I + ��I − �I�I, e representá-la por «5�A, B�».

8.3. +Provar, fixada uma unidade de comprimento e dados um referencial ortonormado do espaço e pontos A��=, �I, �j�eB��=, �I, �j�, que a medida da distância entreA eB é igual a

(��= − �=�I + ��I − �I�I + ��j − �j�Ie representá-la por « 5�A, B�».

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3. Coordenadas do ponto médio de um segmento de reta 3.1. Ponto médio de um segmento de reta

klmnna reta numérica 3.2. Ponto médio de um segmento de reta

klmnno plano

1.3. Demonstrar, dada uma reta numérica e dois pontos A e B de abcissas � e � respetivamente, que a

abcissa do ponto médio do segmento de reta de extremos A e B é igual a -?.

I .

1.4. +Reconhecer, utilizando argumentos geométricos baseados no Teorema de Tales ou em consequências conhecidas deste Teorema, que, dado um plano munido de um referencial ortonormado e dois pontos A��=, �I�eB��=, �I�pertencentes a esse plano, as coordenadas do ponto médio do segmento

de reta kABnsão'-M?.MI , -N?I

I +.

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4. Conjuntos de pontos do plano definidos por condições 4.1. Mediatriz de um segmento de reta 4.2. Circunferência e círculo

4.2.1. Circunferência 4.2.2. Círculo

4.3. Elipse 4.3.1. Elementos da elipse

1.6. Determinar, dado um plano munido de um referencial ortonormado e dois pontos A��=, �I�eB��=, �I�desse plano, uma equação cartesiana da mediatriz do segmento de reta kABnna formae = 0! + �(equação reduzida da reta) ou na forma ! = 4.

1.7. Justificar, fixada uma unidade de comprimento, dado um plano munido de um referencial ortonormado, um ponto A��=, �I�pertencente a esse plano e um número � > 0, que a equação �! − �=�I + �e − �I�I = �Ié uma equação cartesiana da circunferência de centro Ae de raio �, e designá-la por «equação (cartesiana) reduzida da circunferência».

1.8. Designar, fixada uma unidade de comprimento e um plano, dados dois pontos AeB pertencentes a

esse plano e um número� > =I AB\\\\, por «elipse» o conjunto de pontos @do plano tais que5�@, A� +

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5�@, B� = 2�, por «focos da elipse» os pontos AeB, por «centro da elipse» o ponto médio do segmento de reta kABn, e por «eixo maior da elipse» o número2� (e por �«semieixo maior da elipse»), interpretando-o geometricamente. 1.9. +Demonstrar, dada uma elipse de focos Ae Be de eixo maior 2�, que a mediatriz dekABninterseta a

elipse em dois pontos ceo equidistantes do centro da elipse e que tomando � = =I co\\\\se tem� = √�I − 4I,

onde4 = =I AB\\\\, designando2�por «eixo menor da elipse» (e �por «semieixo menor da elipse»).

1.10. +Reconhecer, fixada uma unidade de comprimento, dado um plano munido de um referencial

ortonormado e 0 < � < �que a equaçãogN-N +

hN.N = 1é uma equação cartesiana da elipse de semieixo

maior�e semieixo menor �que tem focos A�−4, 0�e B�4, 0�, onde 4 = √�I − �I, e designá-la por «equação (cartesiana) reduzida da elipse». 1.11. +Reconhecer, dado um plano munido de um referencial ortonormado e uma reta �do plano de equação reduzida e = �! + � ��, � ∈ ℝ�, que os dois semiplanos abertos (respetivamente fechados) determinados por�têm por inequações cartesianase > �! + �ee < �! + � (respetivamente e ≥ �! +�ee ≤ �! + � ) e designá-los respetivamente por «semiplano superior» e «semiplano inferior» em relação à reta �.

1.13. Justificar, fixada uma unidade de comprimento, dado um plano munido de um referencial ortonormado, que a inequação �! − ��I + �e − ��I ≤ �I��, � ∈ ℝ, � > 0�é uma inequação do círculo de centro c��, ��e de raio �.

2.1. +Resolver problemas envolvendo a noção de distância entre pontos do plano, e equações e inequações cartesianas de subconjuntos do plano.

5. Conjuntos de pontos do espaço definidos por condições 5.1. Plano mediador de um segmento de reta 5.2. Superfície esférica e esfera

8.4. Determinar, dado um referencial ortonormado do espaço e as coordenadas de dois pontosA e Bdo espaço, uma equação do plano mediador do segmento de reta kABnna forma�! + �e + 4f + 5 =0, �, �, 4, 5 ∈ ℝ. 8.5. Justificar, fixada uma unidade de comprimento e dados um referencial ortonormado do espaço, um ponto A��=, �I, �j�e um número� > 0, que �! − �=�I + �e − �I�I + �f − �j�I = �Ié uma equação cartesiana da superfície esférica de centro Ae de raio �, e designá-la por «equação (cartesiana) reduzida da superfície esférica».

8.6. Justificar, fixada uma unidade de comprimento e dados um referencial ortonormado do espaço, um ponto A��=, �I, �j�e um número � > 0, que�! − �=�I + �e − �I�I + �f − �j�I ≤ �Ié uma inequação cartesiana da esfera de centro Ae de raio �, e designá-la por «inequação (cartesiana) reduzida da esfera». 11.1. +Resolver problemas envolvendo a noção de distância entre pontos do espaço, equações e inequações cartesianas de subconjuntos do espaço.

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6. Cálculo Vetorial no plano e no espaço 6.1. Produto de um número real (escalar) por

um vetor

3.1. Identificar, fixada uma unidade de comprimento e dado um vetor pq, a «norma do vetor pq» como a medida do comprimento de um segmento orientado representante de pqe representá-la por «‖pq‖».

3.2. Identificar, dado um vetor pqe um número real (também designado por «escalar») s, o «produto de

pqpors» («spttttq») como o vetor de norma |s|‖ pq‖ (fixada uma mesma unidade de comprimento para o cálculo

das normas), com a direção e sentido depqsepq ≠ 0tqes > 0 e com a direção de pqe sentido contrário ao de

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Pré-requisitos

Teorema de Pitágoras

Teorema de Tales

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pqsepq ≠ 0tqes < 0, justificar que spqnão depende da unidade de comprimento fixada e que�−1�pq = −pq, vetor simétrico de pq.

3.3. Justificar, dado um vetor pqnão nulo, que um vetor vtqé colinear a pqse e apenas existir um número reals tal quevtq = spq, e que, nesse caso, sé único.

3.4. Justificar, dados vetoresvtqepq, que existe um e somente um vetor wttqtal quewttq + pq = vtq, provando que wttq = vtq + �−pq�, designarwttqpor «diferença entre vtqepq» e representá-lo por «vtq − pq». 3.5. +Reconhecer, dado um vetor pqe números reais se x, que �s + x�pq = spq + xpq.

3.6. +Reconhecer, dados vetores vtqepqe números reais se x que s�vtq + pq� = svtq + spqes�xvtq� = �sx�vtq. 9.1. Designar um par de segmentos orientados do espaço por «equipolentes» quando são complanares e equipolentes num plano que os contenha.

9.2. Saber que um «vetor do espaço» fica determinado por um segmento orientado do espaço de tal modo que segmentos de reta equipolentes determinam o mesmo vetor e segmentos de reta não equipolentes determinam vetores distintos.

9.3. Estender do plano ao espaço a definição de norma de um vetor, de adição de um ponto com um vetor, de translação de um dado vetor e as operações de subtração de dois pontos, de adição e subtração de vetores, de multiplicação de um vetor por um escalar e as respetivas propriedades geométricas e algébricas.

6.2. Operar com coordenadas de vetores 6.2.1. Coordenadas de um vetor no plano 6.2.2. Coordenadas de um vetor no espaço 6.2.3. Adição e subtração de vetores 6.2.4. Produto de um número real (escalar) por

um vetor 6.2.5. Vetores colineares 6.2.6. Vetor como diferença entre dois pontos 6.2.7. Soma de um ponto com um vetor 6.2.8. Ponto médio de um segmento de reta 6.2.9. Norma de um vetor

3.3. Justificar, dado um vetor pqnão nulo, que um vetor vtqé colinear a pqse e apenas existir um número reals tal quevtq = spq, e que, nesse caso, s é único.

4.1. +Reconhecer, fixada uma unidade de comprimento, um plano munido de um referencial ortonormado

de origem de um vetorpqdo plano que, sendo y�1,0�, z�0,1�, {q= = dytttttqe{qI = dztttttq, existe um e somente um par ordenado �p=, pI�de números reais tais que pq = p={q= + pI{qI, por esse motivo designar o par ordenado�{q=, {qI�por uma «base do espaço vetorial dos vetores do plano», �p=, pI�por «coordenadas do vetor pq(na base �{q=, {qI�)» e representar por «pq�p=, pI�» o vetor pqde coordenadas �p=, pI�.

4.2. Identificar, fixado um plano munido de um referencial ortonormado de origem de dado um ponto A,

o «vetor-posição do ponto A» como o vetordAtttttqe justificar que as coordenadas do vetor posição de um dado ponto coincidem com as coordenadas do ponto.

4.3. Justificar, fixado um plano munido de um referencial ortonormado e dados vetoresvtq�v=, vI�epq�p=, pI�e um número real s, que o vetor vtq + pq(respetivamente vtq − pq) tem coordenadas �v= + p=, vI + pI�(respetivamente �v= − p=, vI − pI�), que o vetorsvtqtem coordenadas �sv=, svI�, que o vetor simétrico do vetor vtq�v=, vI�tem coordenadas �−v=, −vI�e que dois vetores não nulos são colineares se e somente se as respetivas coordenadas forem todas não nulas e os quocientes das coordenadas correspondentes forem iguais, ou as primeiras ou segundas coordenadas de ambos os vetores forem nulas. 4.4. Justificar, fixado um plano munido de um referencial ortonormado e dados pontos

A��=, �I�eB��=, �I�que o vetorABtttttqtem coordenadas��= − �=, �I − �I�, começando por justificar queABtttttq =dBtttttq − dAtttttq, identificar, a «diferença entre os pontosB e A» como o vetor ABtttttq, representá-la por «B − A» e justificar que, para todo o vetor pqe para quaisquer pontos Ae B do plano, B − A = pq ⟺ B = A + pq.

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4.5. Justificar, fixado um plano munido de um referencial ortonormado e dado um ponto A��=, �I�e um vetor pq�p=, pI�desse plano, que o ponto A + pqtem coordenadas ��= + p=, �I + pI�.

4.6. Justificar, fixada uma unidade de comprimento e um plano munido de um referencial ortonormado

que para qualquer vetorpq�p=, pI�,‖pq‖ = (p=I + pII.

6.1. +Resolver problemas envolvendo a determinação das coordenadas de vetores do plano.

6.2. +Resolver problemas envolvendo a colinearidade de vetores do plano.

10.1. +Reconhecer, fixado um referencial ortonormado no espaço de origem de um vetor pqque, sendo

y�1,0,0�, z�0,1,0�,|�0,0,1�, {q= = dytttttq,{qI = dztttttqe{qj = d|tttttq, existe um e somente um terno ordenado �p=, pI, pj�de números reais tais que pq = p={q= + pI{qI + pj{qj, designar o terno ordenado �{q=, {qI, {qj�por uma «base do espaço vetorial dos vetores do espaço», �p=, pI, pj�por «coordenadas do vetor pq(na base �{q=, {qI, {qj��» e representar por «pq�p=, pI, pj�» o vetorpqde coordenadas �p=, pI, pj�. 10.2. Estender do plano ao espaço a definição do vetor posição de um ponto e a identificação das respetivas coordenadas, as fórmulas para o cálculo das coordenadas da soma e da diferença de vetores, do produto de um vetor por um escalar, do simétrico de um vetor, da diferença de dois pontos, da soma de um ponto com um vetor e da norma de um vetor, e o critério de colinearidade de vetores através das respetivas coordenadas.

6.3. Equação vetorial da reta 6.3.1. Equação vetorial da reta no plano 6.3.2. Retas paralelas e igualdade de declives 6.3.3. Sistema de equações paramétricas de

uma reta 6.3.4. Equação vetorial da reta no espaço

5.1. Identificar, dado um vetor pqnão nulo e uma reta �, pqcomo «tendo a direção de �» quando �tiver a direção das retas suporte dos segmentos orientados que representam pq. 5.2. Designar por «vetor diretor» de uma dada reta �qualquer vetor não nulo com a mesma direção do que�.

5.3. Provar, fixado um plano munido de um referencial ortonormado e uma reta �não vertical de declive

0, que o vetor pq��, ��é vetor diretor de �se e somente se � ≠ 0e 0 = .-, e que, em particular, o vetor de

coordenadas �1, 0�é vetor diretor da reta �.

5.4. Justificar, fixado um plano munido de um referencial ortonormado, que os vetores diretores das retas verticais são os vetores pq�0, ��, � ≠ 0.

5.5. Justificar, fixado um plano munido de um referencial ortonormado, que dada uma reta� de vetor diretor pq, os pontos de �são os pontos @ = A + }pq,} ∈ ℝ , onde Aé um qualquer ponto de �, e designar esta equação por «equação vetorial da reta �». 5.6. Justificar, fixado um plano munido de um referencial ortonormado e dados �=, �I,p=, pI ∈ ℝque um ponto @�!, e�pertence à reta �de vetor diretor pq�p=, pI�passando pelo ponto A��=, �I�se e somente se existir } ∈ ℝtal que ! = �= + }p= ∧ e = �I + }pI, e designar este sistema por «sistema das equações paramétricas da reta �».

6.3. +Resolver problemas envolvendo equações vetoriais, paramétricas e cartesianas de retas do plano. 10.3. Estender do plano ao espaço a definição e propriedades das equações vetoriais e sistemas de equações paramétricas de retas. 11.2. +Resolver problemas envolvendo cálculo vetorial no espaço.

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Estratégias:

Pré-requisitos

Vetores

Equação reduzida da reta

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Identificar os pré-requisitos necessários ao desenvolvimento da unidade e integrá-los e mobilizá-los a partir da resolução de alguns exercícios. Solicitar aos alunos que descrevam procedimentos por via oral e por escrito. Tirar partido de situações lúdicas para a compreensão de conceitos e a aplicação de conhecimentos. Diversificar o tipo de representações recorrendo a esquemas. Levar os alunos a reconhecer resultados e de forma progressiva a justifica-los e/ou demonstrá-los. Aproveitar as referências históricas apresentadas no manual e outras para reforçar a motivação e permitir um melhor enquadramento do conhecimento da matéria. Complementar a consolidação de conhecimentos estabelecendo conexões entre diversos domínios. Integrar a exploração de recursos tecnológicos sempre que seja pertinente. Diversificar processos de resolução de problemas e discuti-los. Estabelecer referências orientadoras para o trabalho do aluno, a partir de exemplos e da resolução de exercícios analisando e discutindo aspetos relevantes. Incentivar a consolidação e aplicação de conhecimentos a partir da diversidade e da repetição da tipologia de exercícios e problemas.

Domínio: FRVR10

Funções

Conteúdos Descritores (Metas Curriculares) N.º de aulas de 45’

1. Generalidades acerca de funções 1.1. Produto cartesiano e gráfico de uma função 1.2. Restrições de uma função. Imagem de um

conjunto por uma função 1.3. Funções injetivas, sobrejetivas e bijetivas 1.4. Função composta de ~com �

1.4.1. Função identidade 1.5. Função inversa de uma função bijetiva

1.5.1. A composta de uma função com a sua inversa

1.1. Identificar, dados conjuntosA e B, o «produto cartesiano de Apor B» como o conjunto T��, ��: � ∈ A ∧ � ∈ BU dos pares ordenados �a,b� tais que �e �pertencem, respetivamente aA e a Be representá-lo por «A × B». 1.2. Reconhecer que um conjunto� ⊂ A × B é o gráfico de uma função de Aem Bquando e apenas quando para todo o � ∈ Aexistir um e somente um elemento � ∈ Btal que��, �� ∈ �.

1.3. Identificar, dados conjuntos A e B, uma função �: A ⟶ Be um conjunto c, a «restrição de� a c» como a função �|� : c ∩ A ⟶ B tal que,∀! ∈ c ∩ A, �|��!� = ��!�.

1.4. Identificar, dados conjuntosA e B, uma função�: A → Be c ⊂ A, o «conjunto imagem de cpor �» como o conjunto��c� = Te ∈ B: ∃! ∈ c: e = ��!�Udas imagens por �dos elementos de c, representá-lo também por «T��!�: ! ∈ cU».

1.5. Identificar, dados conjuntos A e B, uma função�: A → B como «injetiva» se para todos os !=e!Ipertencentes a A, != ≠ !I ⟹ ��!=� ≠ ��!I� (ou, de modo equivalente, ��!=�= ��!I� ⟹ != = !I)e designar também uma tal função por «injeção de Aem B». 1.6. Identificar, dados conjuntos A e B, uma função�: A → B como «sobrejetiva» se para todo o epertencente a B, existir um elemento !pertencente a Atal que e = ��!�e reconhecer que uma função é sobrejetiva se e somente se coincidirem os respetivos contradomínio e conjunto de chegada e designar também uma tal função por «sobrejeção de Aem B» ou por «função de Asobre B».

1.7. Identificar, dados conjuntos A e B, uma função �: A → B como «bijetiva» se for simultaneamente injetiva e sobrejetiva e designar também uma tal função por «bijeção de Aem B».

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1.8. Identificar, dadas funções�: o� ⟶ A e �: o� ⟶ B, a «função composta de �com �» como a função

� ∘ �: o�∘� → B, tal que o�∘� = �! ∈ o�: ��!� ∈ o��e ∀! ∈ o�∘� , � ∘ ��!� = ����!�� e designá-la

também por «� composta com �», «� após �» ou «�seguida de �».

1.9. Designar, dado um conjunto A, por «função identidade em A» a função�5�: A → Atal que,∀! ∈A, �5��!� = ! e justificar que se trata de uma função bijetiva.

1.10. Justificar, dados conjuntos A e B e uma função�: A → Bbijetiva, que para todo o epertencente a Bexiste um e apenas um elemento! pertencente aA tal que ��!� = ee, representando-o por !h, designar

por «função inversa de �» a função �1=: B → A tal que∀e ∈ B, �1=�e� = !h.

1.11. +Reconhecer, dada uma função �: A → B bijetiva, que �1=é bijetiva e que ��1=�1= = �e designar também�1=por «bijeção recíproca de �».

1.12. Reconhecer, dada uma função �: A → B, que �é bijetiva se e somente se existir uma função�: B →A, tal que ∀�!, e� ∈ A × B, e = ��!� ⟺ ! = ��e�.

1.13. Justificar que uma função �: A → Bé bijetiva se e somente se existir uma função �: B → A tal que � ∘� = �5� e � ∘ � = �5� e que, nesse caso, � = �1=. 2.8. +Reconhecer, dada uma função real de variável real bijetiva �e um plano munido de um referencial monométrico, que os gráficos cartesianos das funções �e�1=são a imagem um do outro pela reflexão axial de eixo de equação e = !.

2. Generalidades acerca de funções reais de variável real 2.1. Funções reais de variável real. Expressão

analítica

2.1. Designar por «função real de variável real» uma função cujo domínio e conjunto de chegada estão contidos em ℝ.

2.2. Saber, dada uma expressão ��!�, que se convenciona, quando nada for indicado em contrário, que essa expressão representa a função� com conjunto de chegada igual a ℝe domínio constituído por todos os números reais �para os quais fica representado um número real pela expressão que se obtém substituindo todas as ocorrências de ! em ��!� por um símbolo representando o número �, designar, nesse caso, a expressão ��!�por «expressão analítica de �» e este processo de caracterizar por «definição (analítica) de �pela expressão ��!�».

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2.2. Sinal e zeros. Monotonia, extremos e concavidade

2.2.1. Sinal e zeros 2.2.2. Monotonia 2.2.3. Extremos 2.2.4. Concavidade do gráfico de uma função

3.1. Identificar, dada uma função real de variável real �e A ⊂ o�, �como «(estritamente) crescente em A»

(ou simplesmente «(estritamente) crescente» se A = o�) se para quaisquer dois elementos !=e!IdeA, se

!= < !I então ��!=� < ��!I�.

3.2. Identificar, dada uma função real de variável real e �eA ⊂ o�, � como «(estritamente) decrescente

em A» (ou simplesmente «(estritamente) decrescente» se A = o�) se para quaisquer dois

elementos!=e!IdeA, se != < !I então ��!=� > ��!I�.

3.3. Identificar, dada uma função real de variável real �e A ⊂ o�, � como «crescente, em sentido lato,

em A» (ou simplesmente «crescente, em sentido lato» se A = o�) se para quaisquer dois elementos

!=e!IdeA, se != < !I então ��!=� ≤ ��!I�.

3.4. Identificar, dada uma função real de variável real �e A ⊂ o�, � como «decrescente, em sentido lato,

em A» (ou simplesmente «decrescente, em sentido lato» se A = o�) se para quaisquer dois elementos

!=e!IdeA, se != < !I então��!=� ≥ ��!I�.

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3.5. Identificar, dada uma função real de variável real �e A ⊂ o�, � como «(estritamente) monótona em

A» (ou simplesmente «(estritamente) monótona» se A = o�) se for (estritamente) crescente ou

(estritamente) decrescente em Ae� como «monótona, em sentido lato, em A» (ou simplesmente «monótona, em sentido lato» se A = o�) se for crescente ou decrescente, em sentido lato, em A.

3.6. Identificar, dada uma função real de variável real �, um «intervalo de (estrita) monotonia de �» como um intervalo � ⊂ o�tal que �|�é (estritamente) monótona.

3.7. Identificar, dada uma função real de variável real �e A ⊂ o�, � como «constante em A» se para

quaisquer elementos !=e!IdeA, ��!=� = ��!I�.

3.8. Demonstrar que uma função afim definida por��!� = �! + �é estritamente crescente (respetivamente decrescente) emℝ se e somente se � > 0 (respetivamente � < 0).

3.9. Demonstrar que, dada uma função quadrática da forma��!� = �!I, se � > 0 então �é decrescente em n−∞, 0n e crescente em k0, +∞ke que, se � < 0, então �é crescente em n−∞, 0ne decrescente em k0, +∞k. 4.1. Designar, dada uma função �de domínio o� e valores em ℝ, um número real �como «majorante de

�» (respetivamente «minorante de�») quando,∀! ∈ o� , ��!� ≤ �(respetivamente, ∀! ∈ o� , ��!� ≥ �),

referindo a função� como «majorada» (respetivamente «minorada») quando admitir um majorante (respetivamente um minorante).

4.2. Designar por «limitada» uma função simultaneamente majorada e minorada.

4.3. Designar por «mínimo absoluto» (respetivamente por «máximo absoluto») de uma função real de variável real um valor ����do contradomínio de �tal que ∀! ∈ o� , ���� ≤ ��!�(respetivamente ∀! ∈o� , ���� ≥ ��!�� e designar por «extremos absolutos de �» os máximos absolutos e os mínimos absolutos

de �.

4.4. Designar, dados um número real !�e um número real positivo �, por «vizinhança �de !�» o intervalo n!� − r, !� + rke representá-la por «���!��».

4.5. Referir que uma função real de variável real «atinge um mínimo relativo (ou local)» (respetivamente «atinge um máximo relativo (ou local)») em� ∈ o�quando existe� > 0, tal que, ∀! ∈ o� ∩ �����, ���� ≤��!� (respetivamente, ∀! ∈ o� ∩ �����, ���� ≥ ��!�) e designar ����por «mínimo relativo (ou local)»

(respetivamente «máximo relativo (ou local)») de �e� por um «minimizante» (respetivamente por um «maximizante») de �. 4.6. Identificar, dada uma função real de variável real �, o gráfico de �como «tendo a concavidade (estritamente) voltada para cima» (respetivamente como «tendo a concavidade (estritamente) voltada para baixo») num dado intervalo � ⊂ o�se dados quaisquer três pontos @,C e Ddo gráfico, de abcissas em�

tais que!� < !� < !�, o declive da reta @Cé inferior (respetivamente superior) ao da reta CD.

4.7. Saber que uma função real de variável real tem a concavidade (estritamente) voltada para cima (respetivamente para baixo) num dado intervalo � ⊂ o�se e somente se dados quaisquer dois pontos @eC

do gráfico, de abcissas em �, a parte do gráfico de �de abcissas estritamente situadas entre as abcissas de @eC ficar “abaixo” (respetivamente “acima”) do segmento de reta k@Cn.

Pá

gin

a1

6

4.8. +Reconhecer, dado um número real não nulo �, que o gráfico da função� definida pela expressão ��!� = �!Item, emn−∞, +∞k, a concavidade voltada para cima se � > 0e voltada para baixo se � < 0.

2.3. Transformações geométricas e simetria de gráficos de funções

2.3.1. Funções pares e funções ímpares 2.3.2. Gráficos de funções obtidos por

translação 2.3.3. Gráficos de funções obtidos por contração

ou dilatação 2.3.4. Gráficos de funções obtidos por reflexão

em relação aos eixos coordenados

2.3. Identificar uma função real de variável real�como «par» se, para todo o! ∈ o�,−! ∈ o� e ��!� =��−!�. 2.4. Identificar uma função real de variável real � como «ímpar» se, para todo o ! ∈ o�, −! ∈o� e ��−!� = −��!�. 2.5. Justificar, dada uma função real de variável real ímpar �, que, se 0 ∈ o�, então ��0� = 0.

2.6. +Reconhecer, dado um plano munido de um referencial ortogonal, que uma dada função é par se e somente se o eixo das ordenadas for eixo de simetria do respetivo gráfico cartesiano. 2.7. +Reconhecer, dado um plano munido de um referencial cartesiano, que uma dada função é ímpar se e somente se o respetivo gráfico cartesiano for «simétrico relativamente à origemd do referencial», isto é, se e somente se a imagem do gráfico pela reflexão central de centro dcoincidir com o próprio gráfico.

2.9. Reconhecer, dados uma função real de variável real �, um número real 4e um plano munido de um referencial cartesiano, que o gráfico cartesiano de uma função� definida emo� = o�por��!� = ��!� +4é a imagem do gráfico cartesiano de �pela translação de vetor vtq�0, 4�.

2.10. +Reconhecer, dados uma função real de variável real �, um número real 4e um plano munido de um referencial cartesiano, que o gráfico cartesiano de uma função �definida por ��!� = ��! − 4�no

conjuntoo� = �! + 4: ! ∈ o��é a imagem do gráfico cartesiano de �pela translação de vetor vtq�4, 0�.

2.11. Designar, dado um plano munido de um referencial ortogonal e um número 0 < � <1(respetivamente � > 1) , por «contração vertical (respetivamente dilatação vertical) de coeficiente �» a transformação� do plano que ao ponto @�!, e�associa o ponto ��@�de coordenadas �!, �e�.

2.12. Reconhecer, dados uma função real de variável real �, um número 0 < � < 1(respetivamente� > 1) e um plano munido de um referencial ortogonal, que o gráfico cartesiano de uma função� definida emo�por��!� = ���!�é a imagem do gráfico cartesiano de �pela contração vertical (respetivamente pela

dilatação vertical) de coeficiente �. 2.13. Designar, dado um plano munido de um referencial ortogonal e um número 0 < � <1(respetivamente � > 1), por «contração horizontal (respetivamente dilatação horizontal) de coeficiente �» a transformação � do plano que ao ponto @�!, e�associa o ponto ��@�de coordenadas ��!, e�.

2.14. Reconhecer, dados uma função real de variável real �, um número 0 < � < 1(respetivamente� > 1) e um plano munido de um referencial ortogonal, que o gráfico cartesiano de uma função �definida em

o� = �g- : ! ∈ o��por��!� = ���!�é a imagem do gráfico cartesiano de� pela dilatação horizontal

(respetivamente pela contração horizontal) de coeficiente=-.

2.15. Reconhecer, dada uma função real de variável real �e um plano munido de um referencial ortogonal, que o gráfico cartesiano de uma função �definida emo� = o�por��!� = −��!�é a imagem do gráfico

cartesiano de �pela reflexão de eixo d!.

2.16. Reconhecer, dada uma função real de variável real �e um plano munido de um referencial ortogonal,

que o gráfico cartesiano de uma função �definida emo� = �−!: ! ∈ o�� por ��!� = ��−!�é a imagem do

gráfico cartesiano de �pela reflexão de eixo de.

8

Pré-requisitos

Definir uma função

Gráficos de funções afins

Pá

gin

a1

7

3. Estudo elementar de funções 3.1. Função quadrática

3.1.1. Funções do tipo ` = )F^, ) ≠ H 3.1.2. Funções do tipo ` = )�F − ��^, ) ≠ H 3.1.3. Funções do tipo ` = )�F − ��^ + �, ) ≠ H 3.1.4. Funções do tipo ` = )F^ + GF + �, ) ≠ H 3.1.5. Resolução de inequações do 2.º grau

3.2. Funções definidas por ramos. Função módulo

3.2.1. Funções definidas por ramos 3.2.2. Função módulo 3.2.3. Equações e inequações com módulos

3.3. Funções definidas por radicais quadráticos e por radicais cúbicos

3.3.1. Função ` = √F 3.3.2. Função ` = √Fb

5.1. Esboçar o gráfico de funções quadráticas, começando por representá-las por expressões da forma ��! − ��I + 4e identificando os intervalos de monotonia, o extremo absoluto, as eventuais raízes e o sentido da concavidade dos respetivos gráficos.

5.2. Identificar uma função �: o� → ℝ para a qual são dados um número natural � > 1, uma partição

A=,AI,…,A�,de o�e � expressões � �!� �1 ≤ ¡ ≤ ��tais que para todo¡o e para todo o! ∈ A , ��!� =� �!�como «estando definida por ramos pelas expressões � �!�, respetivamente nos conjuntos A �!� �1 ≤¡ ≤ ��».

5.3. Esboçar o gráfico de funções definidas por��!� = �|! − �| + 4��, �, 4 ∈ ℝ, � ≠ 0�interpretando geometricamente os valores �, � e 4. 5.4. Justificar que a função�: ℝ�? → ℝ�? definida por ��!� = !Ié bijetiva e que para todo o ! ∈ℝ�?,�1=�!� = √!.

5.5. Justificar que a função�: ℝ → ℝ definida por ��!� = !jé bijetiva e que para todo o ! ∈ ℝ,�1=�!� =√!¢

.

5.6. Determinar o domínio e esboçar o gráfico de funções definidas analiticamente por��!� = � √! − �� +4��, �, 4 ∈ ℝ, � ∈ T2,3U, � ≠ 0�.

5.7. Identificar «função polinomial» como uma função que pode ser definida analiticamente por um polinómio com uma só variável.

5.8. Esboçar o gráfico de funções definidas por ramos envolvendo funções polinomiais até ao 3.º grau, módulos e radicais quadrados e cúbicos. 6.1. +Resolver equações e inequações envolvendo as funções polinomiais e a composição da função módulo com funções polinomiais. 6.2. +Resolver equações e inequações envolvendo as funções raiz quadrada e raiz cúbica.

6.3. +Resolver problemas envolvendo as propriedades geométricas dos gráficos de funções reais de variável real.

6.4. +Resolver problemas envolvendo as funções afim, quadrática, raiz quadrada, raiz cúbica, módulo, funções definidas por ramos e a modelação de fenómenos reais.

20

4. Operações com funções 4.1. Soma e diferença de funções 4.2. Produto de funções 4.3. Quociente de funções 4.4. Produto de uma função � por um escalar

�, � ∈ ℝ 4.5. Potência de uma função � de expoente ¤, ¤ ∈

ℚ

5.9. Identificar, dadas funções �: o� ⟶ ℝ,�: o� ⟶ ℝ , um número real ]e um número racional �, as

funções� + �: o� ∩ o� → ℝ («soma de �com �»), ��: o� ∩ o� → ℝ, («produto de �por �»), �� : o¦

§→

ℝ («quociente de �por �», onde o¦§

= o� ∩ �! ∈ o�: ��!� ≠ 0�), ]�: o� ⟶ ℝ («produto de �pelo escalar

]») e��: o�¨ ⟶ ℝ («potência de expoente �de �», onde o�¨é o conjunto dos números reais !para os quais

está definido��!��), como as funções com os domínios e conjunto de chegada indicados, definidas, para cada elemento! do respetivo domínio, respetivamente por�� + ���!� = ��!� + ��!�, �����!� =��!���!�,

�� �!� = ��g�

��g�, �]���!� = ]��!�e���!� = ��!��, podendo utilizar-se, para representar as

potências de expoente racional, as notações envolvendo raízes.

6.5. +Resolver problemas envolvendo a determinação do domínio de funções obtidas por aplicação de operações algébricas a funções dadas.

6

Pré-requisitos

Funções algébricas

Pré-requisitos

Operações com funções

Pá

gin

a1

8

Estratégias: Identificar os pré-requisitos necessários ao desenvolvimento da unidade e integrá-los e mobilizá-los a partir da resolução de alguns exercícios. Solicitar aos alunos que descrevam procedimentos por via oral e por escrito. Tirar partido de situações lúdicas para a compreensão de conceitos e a aplicação de conhecimentos. Diversificar o tipo de representações recorrendo a esquemas. Levar os alunos a reconhecer resultados e de forma progressiva a justifica-los e/ou demonstrá-los. Aproveitar as referências históricas apresentadas no manual e outras para reforçar a motivação e permitir um melhor enquadramento do conhecimento da matéria. Complementar a consolidação de conhecimentos estabelecendo conexões entre diversos domínios. Integrar a exploração de recursos tecnológicos sempre que seja pertinente. Diversificar processos de resolução de problemas e discuti-los. Combinar métodos analíticos e gráficos no estudo de funções. Estabelecer referências orientadoras para o trabalho do aluno, a partir de exemplos e da resolução de exercícios analisando e discutindo aspetos relevantes.

Pá

gin

a1

9

Domínio: GA10

6 Estatística: características amostrais

Conteúdos Descritores (Metas Curriculares) N.º de aulas de 45’

1. Somatórios 1.1. Sinal de somatório. Representações na forma

de somatório 1.2. Propriedades dos somatórios

1.1. Designar, dado� ∈ ℕ e uma sequência de números reais #!=, !I, … , !©$, a soma != + !I + ⋯ +!©por «somatório de1 a �dos !ª» (ou por «soma dos �termos da sequência», quando esta designação

não for ambígua), representá-la por «∑ !ª©ª¬= », designar o símbolo « » por «sinal de somatório» e, para

1 < 0 ≤ �, representar também por «∑ !ª©ª¬% » a soma !%, !%?=, … , !©(«somatório de0a� dos !ª»).

1.2. Reconhecer, dados� ∈ ℕ, s ∈ ℝ , e uma sequência de números reais #!=, !I, … , !©$, que a

igualdade ∑ �s!ª�©ª¬= = s ∑ !ª©

ª¬= , representa, no formalismo dos somatórios, a propriedade

distributiva da multiplicação relativamente à adição aplicada ao produto sde pela soma das �parcelas !=, !I, … , !©.

1.3. Reconhecer, dados � ∈ ℕ, uma sequência de números reais #!=, !I, … , !©$e um número natural

�tal que � < �, que a igualdade∑ !ª©ª¬= = ∑ !ª�ª¬= + ∑ !ª©

ª¬�?= representa, no formalismo dos

somatórios, uma aplicação da propriedade associativa da adição à soma das �parcelas !=, !I, … , !©.

1.4. Reconhecer, dado� ∈ ℕ e sequências de números reais �!ª�=­ª­©e�eª�=­ª­©, que a igualdade

representa, no formalismo dos somatórios, uma aplicação das propriedades associativa e comutativa da adição à soma das �parcelas!= + e=, !I + eI , … , !© + e©.

7

2. Características amostrais 2.1. Propriedades da média de uma amostra 2.2. Desvios em relação à média 2.3. Soma dos quadrados dos desvios em relação

à média 2.4. Variância e desvio-padrão 2.5. Percentil de ordem �, � ∈ ℕe� ≤ ®HH

2.1. Interpretar uma dada variável estatística quantitativa em determinada população como uma função numérica definida na população, cujovalor em cada unidade estatística é o valor que mede a característica em estudo nesse elemento da população.

2.2. Representar, dada uma variável estatística quantitativa! em determinada população e uma amostra Ade dimensão� ∈ ℕ dessa população cujos elementos estão numerados de 1a �, por «!ª»o valor da variável !no elemento de Acom o número ¯, por «!~» a sequência �!=, !I, … , !��, designá-la

por «amostra da variável estatística !» ou simplesmente por «amostra» e por «valores da amostra» os valores !ª, 1 ≤ ¯ ≤ �, sempre que estes abusos de linguagem não forem ambíguos.

2.3. Representar, dado � ∈ ℕe uma amostra !~ = �!=, !I, … , !��de uma variável estatística, por «!» a

média ± g²�

²³M� , designando-a igualmente por «média da amostra !~» sempre que este abuso de

linguagem não for ambíguo.

2.4. Representar, dado� ∈ ℕ e uma amostra !~ = �!=, !I, … , !��com0valores1 ≤ 0 ≤ �, por «!» o

conjunto dos valores da amostra, por !=, !I, … , !%os elementos de!, por

9

Pré-requisitos

Sequências

Pá

gin

a2

0

«� » �1 ≤ ¡ ≤ 0�o cardinal do conjunto �¯ ∈ T1, … , �U: !ª = ! �, designar por � «frequência absoluta

do valor ! », e justificar que ± �  = �% ¬= e que ! = µ g¶�¶

2¶³M

� , designando esta última igualdade por

«fórmula da média para dados agrupados».

2.5. Representar, dado � ∈ ℕ, uma amostra !~ = �!=, !I, … , !��e números reais ℎe �, por �! + ℎ~ a

amostra e~

= ��!= + ℎ, �!I + ℎ, … , �!� + ℎ�e justificar que e\ = �! + ℎ.

2.6. Interpretar, dado � ∈ ℕ e uma amostra !~ = �!=, !I, … , !��, a média de !~como a abcissa do centro

de gravidade de um segmento de reta no qual se colocou, para cada valor ! da amostra, um ponto

material no ponto de abcissa! de massa igual à respetiva frequência absoluta � .

2.7. Reconhecer que o valor da média de uma amostra!~ = �!=, !I, … , !��nunca se mantém quando,

para um dado ¯ ∈ T1, … , �U, se altera o valor !ª, e referir, por essa razão, que a média é uma característica amostral «com pouca resistência». 3.1. Designar, dado � ∈ ℕ, uma amostra !~ = �!=, !I, … , !��e¯ ∈ T1, … , �U, por «desvio de !ªem relação

à média» a quantidade !ª − !, representá-la por «5ª» e provar que ∑ 5ª�ª¬= = 0..

3.2. +Representar dado � ∈ ℕe uma amostra !~ = �!=, !I, … , !��, por «¸¸g» a soma ± �!ª − !�I�ª¬= dos

quadrados dos desvios dos !ªem relação à média e reconhecer que ¸¸g = ± �!ª�I − �!I�ª¬= .

3.3. +Reconhecer, dado � ∈ ℕe uma amostra !~ = �!=, !I, … , !��, que é possível calcular 5�em função

de 5=, 5I, … , 5�1=mas que5�só fica determinado se for conhecida a totalidade desses� − 1 desvios, e referir, por esta razão, que «¸¸gtem� − 1 graus de liberdade».

3.4. Justificar, dado � ∈ ℕe uma amostra !~ = �!=, !I, … , !��, que se¸¸g = 0e somente se != = !I =⋯ = !�.

3.5. Justificar, dado � ∈ ℕ, uma amostra !~ = �!=, !I, … , !��e números reais ℎe ], que se e~

= !~ +ℎ(respetivamente e

~= ]!~) então¸¸h = ¸¸g(respetivamente ¸¸h = ]I¸¸g).

3.6. Justificar, dado� ∈ ℕ e uma amostra !~ = �!=, !I, … , !��, que¸¸g = µ #!  − !$I� % ¬=

,

onde!=, !I, … , !%representam os 0valores da amostra!~e� a frequência absoluta de ! .

3.7. Designar, dado� ∈ ℕ�� > 1�e uma amostra !~ = �!=, !I, … , !��,¹gI = ºº»�1=por «variância da

amostra !~» e¹g = / ºº»�1=por «desvio-padrão da amostra !~».

3.8. Justificar, dado� ∈ ℕ�� > 1�e uma amostra !~ = �!=, !I, … , !��, que se ¹g = 0e somente se

!= = !I = ⋯ = !�.

3.9. Justificar, dados� ∈ ℕ�� > 1�, uma amostra !~ = �!=, !I, … , !��e números reais ℎe ], que see~

=!~ + ℎ(respetivamente e

~= ]!~)então¹h = ¹g (respetivamente ¹h = |]|¹g).

Pré-requisitos

Medidas de localização

Diagrama de extremos e quartis

Organizar e representar dados em

histogramas

Pá

gin

a2

1

3.10. Reconhecer, dada uma variável estatística quantitativa !em determinada população, uma amostra Ade dimensão� > 1 dessa população e sendo !~ = �!=, !I, … , !��uma amostra

correspondente da variável estatística !, que para todo oV > 0 a percentagem dos elementos da amostra Anos quais os valores da variável estatística têm desvios em relação à média superiores a

Vdesvios-padrão é inferior a =

KNe interpretar este resultado como tradução quantitativa da afirmação

segundo a qual o par �!, ¹g�reflete a distribuição dos valores da amostra !~em termos de “localização”

e de “dispersão”. 3.11. Reconhecer que para comparar a “dispersão” dos valores dos elementos de duas ou mais amostras em torno da média, faz sentido comparar as respetivas variâncias (ou os respetivos desvios-padrão), sempre que a característica quantitativa em análise seja a mesma nas diversas amostras e que a respetiva medida esteja calculada na mesma unidade.

3.12. Saber, dada uma população, que existem critérios que conduzem à recolha de amostras cujas médias e desvios-padrão são consideradas boas estimativas da média e do desvio-padrão da população. 4.1. Designar, dado� ∈ ℕ e uma amostra !~ = �!=, !I, … , !��, por «amostra !~ordenada» a sequência

#!�=�, !�I�, … , !���$tal que !�=� ≤ !�I� ≤ ⋯ ≤ !���, com os mesmos valores que a amostra !~, cada um

deles figurando na sequência um número de vezes igual à respetiva frequência absoluta enquanto valor da amostra !~.

4.2. Designar, dado � ∈ ℕ, uma amostra !~ = �!=, !I, … , !��e um número natural Vdo intervalo n0,100n,

por «percentil de ordem V» o valor máximo da amostra se V = 100, a média dos elementos de ordem K�

=��eK�

=�� + 1na amostra ordenada se V ≠ 100e K�

=��for inteiro, e nos restantes casos, o elemento de

ordem ¼ K�=��½ + 1na amostra ordenada, (onde, para ! ∈ ℝ, «k!n» designa a «parte inteira de !», ou seja,

o maior número natural inferior ou igual a !) e representá-lo por «@K». 4.3. Reconhecer, dado� ∈ ℕ e uma amostra !~ = �!=, !I, … , !��, que@¾�é igual à mediana de !~e saber

que também é usual definir o primeiro e o terceiro quartil de modo a coincidirem, respetivamente, com @I¾e@¿¾. 4.4. Designar, dados números naturais� e V, V ≤ 100, uma sequência crescente de números reais ��=, �I, … , �%�e um conjunto de dados quantitativos organizados nos intervalos de classe k�ª , �ª?=k, que se supõem de igual amplitude ℎ > 0, por «percentil de ordem V», o número !tal que

∑ ��ª?= − �ª�À1=ª¬= �ª + �! − �À��À = Á=�� ∑ ��ª?= − �ª�%ª¬= �ª, ou seja, tal queℎ ∑ �ªÀ1=ª¬= + �! − �À��À =

KÂ�=��onde�ªé a frequência absoluta do intervalo de classe k�ª , �ª?=keÃé o maior número natural tal que

∑ �  ≤ K�=��

À1=ª¬= .

5.1. +Resolver problemas envolvendo a média e o desvio-padrão de uma amostra. 5.2. +Resolver problemas envolvendo os percentis de uma amostra.

ESTRATÉGIAS: Identificar os pré-requisitos necessários ao desenvolvimento da unidade e integrá-los e mobilizá-los a partir da resolução de alguns exercícios. Solicitar aos alunos que descrevam procedimentos por via oral e por escrito.

Pá

gin

a2

2

Tirar partido de situações lúdicas para a compreensão de conceitos e a aplicação de conhecimentos. Diversificar o tipo de representações recorrendo a esquemas. Levar os alunos a reconhecer resultados e de forma progressiva a justifica-los e/ou demonstrá-los. Aproveitar as referências históricas apresentadas no manual e outras para reforçar a motivação e permitir um melhor enquadramento do conhecimento da matéria. Complementar a consolidação de conhecimentos estabelecendo conexões entre diversos domínios. Integrar a exploração de recursos tecnológicos sempre que seja pertinente. Diversificar processos de resolução de problemas e discuti-los. Estabelecer referências orientadoras para o trabalho do aluno, a partir de exemplos e da resolução de exercícios analisando e discutindo aspetos relevantes. Incentivar a consolidação e aplicação de conhecimentos a partir da diversidade e da repetição da tipologia de exercícios e problemas. Integrar a avaliação como processo de regulação, recorrendo à diversidade de instrumentos de avaliação.