Funções Marco Antonio Montebello Júnior [email protected] Lab. de Programação de Computadores.
Grafos Definições Preliminares Marco Antonio Montebello Júnior [email protected] Estrutura...
55
Transcript of Grafos Definições Preliminares Marco Antonio Montebello Júnior [email protected] Estrutura...
Definições Preliminares
Grafos são estruturas de dados largamente utilizadas na Ciência da Computação, sendo fundamental seu estudo e dos algoritmos para sua manipulação.
Exemplos de aplicações: Modelagem de circuitos digitais; Representação de processos em um sistema paralelo ou
distribuído; Uma representação de lista encadeada Árvores de decisão Um diagrama E-R Um diagrama PERT Um Diagrama de Fluxo de Dados (DFD) Máquinas de estado finito Derivação de palavras em linguagens formais
Execução de instruções de um processador
Representação do fluxo de dados causado pela execução das instruções de um processador
R3
R4
OUT
IN
R2 R1
1
I6
1
I5
1
I8 3
I2 2
I2
1
I2
1
I1
2
I7 1
I9
2
I5 2
I1
4
I2
1
I4 1
I7
2
I6
Representação de um processador
FPU (32/64 bits)
CPU (32 bits)e
EscalonadorRAM
4Kbytes
Temporizadores
Canais
IME
Eventos
CPU
RAM
CanaisFPU
IME
Processamento Paralelo
Representação de processos em um sistema paralelo
Mestre
Escravo 1Escravo 1
Escravo 2Escravo 2
Escravo nEscravo n
Idle 1Idle 1
Idle 2Idle 2
Idle nIdle n
TestaCPUTestaCPU
TestaFPUTestaFPU
TestaCanalTestaCanal
TestaRAMTestaRAM
Estados de um SO
Os três estados que um processo pode assumir num sistema operacional [Tanenbaum, Andrew S.]
RunningRunning
I/OI/O
ReadyReady
1
23
4
Um diagrama E-R
nome endereço cidade estado
pessoa
possui
animal
Tipo_animal raçanome_animal
1
n
PERT
Exemplo de um diagrama PERT
1(3,0)
2(4,0) 10(3,0)
3(6,0)
6(1,0) 7(2,0)
11(5,0)
12(0,5)
9(2,0)
8(2,0)
4(7,0)
5(3,0)
Um DFD do fluxo de informação de alto nível num escritório de licenciamento de automóveis para uma possível automação
Aplicação do processo
Requisiçãode
pagto
Requisiçãode
pagto
Requisiçãode
pagto
cliente
DETRAN Depto veículos autom.
Requisição do cliente
validaçãofatura
pagto
recebimento placa
Notificação de créditoCópia do registro
Análise do DFD
Após a análise do DFD anterior, foi identificada a tarefa “Pagamento do Processo”a ser realizada pelo software e decomposta em subtarefas como um Diagrama de Estrutura que é uma árvore
Pgto do processo
Compararpgto
com a fatura
Atualizaro arquivo de redimentos do estado
Imprimirrecebimento
do cliente
Imprimir formulário requisição
de placa
Exemplo
Um exemplo de árvore de decisão:if(a > b)
v[i] = f(i);else
if(b > c) v[i] = g(i);
Assuma que os valores das expressões booleanas “(a > b)” e “(b > c)” são independentes e que, na média, ”(a > b)” é executado 25% do tempo e “(b > c)” 25% do tempo. Se o trecho de programa acima é executado 10.000 vezes, quantas vezes se espera que as funções f e g sejam executadas?
a > b
v [ i ] = f [ i ] b > c
v [ i ] = g [ i ]
10.000 x 0,25= 2500 vezes7.500 vezes
7.500 x 0,25 = 1875 vezes
Um exemplo de máquina de estado finito
S0/0 S1/1
S2/0
10,1
0
1
0
Definição de um Grafo
Um grafo dirigido G é um par (N, A), onde N é um conjunto finito e A é uma relação binária entre os componentes de N. Assim: G = (N, A)
N = conjunto de nós (ou vértices) de G A = conjunto de arcos (ou arestas) de G
Em um grafo não-dirigido G = (N, A), o conjunto de arcos A consiste de um conjunto desordenado de pares de nós N.
Exemplos de GrafosDirigidos e Não-dirigidos
1 - Grafo dirigido G1(N, A): N = {1,2,3,4,5,6} A = {(1,2),(2,2),(2,4),(2,5),(4,1),
(4,5),(5,4),(6,3)}
2 - Grafo não-dirigido G2(N,A): N = {1,2,3,4,5,6} A = {(1,2),(1,5),(2,5),(3,6)}
Obs: Arcos não ordenados? (2,5) == (5,2)
1 2
6
3
54
1 2
6
3
54
G1
G2
Relação de Incidência:É definida entre nós e arcos
1 - Grafo dirigido G1(N, A): Os arcos (2,2); (2,4) e (2,5) são
incidentes do nó 2 (saem de 2). Os arcos (1,2)e(2,2) são incidentes
para o nó 2 (chegam em 2).
2 - Grafo não-dirigido G2(N,A): Os arcos incidentes no nó 2 são (1,2) e
(2,5). O arco (3,6) é incidente nos nós 3 e 6.
1 2
6
3
54
1 2
6
3
54
G1
G2
Um arco é incidente do nó x quando ele sai de x Um arco é incidente para o nó x quando ele chega em x
Relação de Adjacência:Dois nós são adjacentes se existe um arco interligando-os
1 - Grafo dirigido G1(N, A): O nó 2 é adjacente ao nó 1. O nó 1 não é adjacente ao 2, pois o
arco (2,1) ? ao grafo G1. O nó 5 é adjacente ao nó 2.
2 - Grafo não-dirigido G2(N,A): Relação de adjacência é simétrica. O nó 2 é adjacente ao nó 1. O nó 1 é adjacente ao nó 2.
1 2
6
3
54
1 2
6
3
54
G1
G2
Grau de um nó: É medido pelo número de arcos incidentes
1 - Grafo dirigido G1(N, A): O nó 1 possui grau 2 (1 + 1). O nó 2 possui grau 5 (3 + 2).
2 - Grafo não-dirigido G2(N,A): O nó 2 possui grau 4. O nó 6 possui grau 2. O nó 4 possui grau 0.
1 2
6
3
54
1 2
6
3
54
G1
G2
Grau = Grau Saída + Grau Entrada
Caminho
Um caminho c de um nó u para um nó u’ em um grafo G = (N, A) é a seqüência de nós <n0, n1, n2, ... nk >, onde u = n0 e u’ = nk, e (ni-1, ni) A para i = 1, 2, ..., k.
O tamanho de c é o número de arcos existente em c. Um caminho c é composto pelos nós n0, n1, n2,... nk e
pelos arcos (n0, n1), (n1, n2), ..., (nk-1, nk). Obs.: O 2o. nó de cada arco deve coincidir com o 1o. nó do arco
seguinte.
1 2
6
3
54
G1
Quais os caminhos de 1 para 4? c1 = <1, 2, 5, 4> e c2 = <1, 2, 4>
Quais os tamanhos de c1 e c2? c1 = 3 e c2 = 2
Quais são os arcos de c1 e c2? <(1,2), (2,5), (5,4)>, <(1,2), (2,4)>
Ciclo
Um grafo G = (N, A) possui um ciclo se existir um caminho c = <n0, n1, ... nk >, onde n0 = nk. Se não existir, o grafo é dito acíclico.
O caminho é simples se <n0, n1, ... nk > são diferentes
1 2
6
3
54
1 2
6
3
54
G1
G2
1 - Grafo dirigido G1(N,A): Ciclos de G1:
<1,2,4,1>; <2,4,1,2>; <4,1,2,4>; <1,2,4,5,4,1> (não simples) e
<2,2> (laço).
2 - Grafo não-dirigido G2(N,A): Ciclos de G2:
<1,2,5,1>; <2,5,1,2>; <5,1,2,5>
Grafos conectados
Grafos conectados: Um grafo não-dirigido G = (N, A) é conectado se cada par de nós é conectado por um caminho.
Um grafo não-dirigido é conectado se possuir exatamente um componente conectado, ou seja, se cada nó é alcançável a partir de cada um dos outros nós. Logo, o grafo G2 não é conectado.
1 2
6
3
54
G2
1 - Grafo não-dirigido G2(N,A) Possui três componentes
conectados: {1, 2, 5}, {3, 6} e {4}
Grafos fortemente conectados
Um grafo dirigido G = (N, A) é fortemente conectado se cada dois nós são alcançáveis (um a partir do outro).
Todos os pares em {1, 2, 4, 5} são mutuamente alcançáveis. Os nós {3, 6} não formam um componente fortemente conectado, pois não é possível chegar em 6 a partir de 3.
Um grafo dirigido é fortemente conectado se possuir exatamente um componente fortemente conectado. Logo, o grafo G1 não é fortemente conectado.
1 - Grafo dirigido G1(N,A) Componentes fortemente conectados:
{1, 2, 4, 5}
1 2
6
3
54
G1
Subgrafo
Um grafo G’=(N’, A’) é um subgrafo de G=(N,A) se N’ em N e A’ em A. Dado um conjunto N’ em N, o subgrafo de G induzido por N’ é o grafo G’ = (N’, A’).
Exemplo: O subgrafo G3 é induzido pelo conjunto de nós {1, 2, 3, 6} do grafo G1, possuindo o conjunto de arcos {(1,2), (2,2), (6,3)}.
G1 G3
1 2
6
3
54
1 2
6
3
Grafo parcial Um grafo parcial G’ de G, é um grafo no qual
N(G’)=N(G) e A(G’)A(G), ou seja, G’ possui os mesmos nós de G, porém com um conjunto reduzido de arcos.
O grafo G4 é um grafo parcial deG1: G4(N, A’) G1(N, A) N(G1) = N(G4) = {1,2,3,4,5,6} A(G1) A’(G4) = {(1,2),(2,4),(4,1),(4,5),(6,3)}
G1 G4
1 2
6
3
54
1 2
6
3
54
Conexo
Um grafo é dito conexo se houver um caminho entre quaisquer dois vértices
a1 a4
1 a5 3
2
1 a5 3
a2 a1 2
a3
1 a5 3 a6 4 5
a2 a1 2
a3
Conexo Conexo
Não é conexo
Grafos isomorfos
São aqueles cujas estruturas são iguais a menos de um novo rotulamento. Nesse caso os grafos têm os mesmos vértices, as mesmas arestas e a mesma função de associação de arestas e seus extremos
Será que Grafo a, b e c são isomorfos?3 2 2 3
1 4 1 4 c d
a e2 b
e1
a2
a1
a1 a2
Grafo a Grafo b Grafo c
f1: 1--> a
2 --> c
3 --> b
4 --> d
f2: a1 --> e2
a2 --> e1
Grafo Planar Um grafo é planar quando este pode ser desenhado
(em uma folha de papel, isto é, em um plano) de forma que suas arestas se interceptem apenas em vértices
No século XVIII Leonhard Euler - Matemático suíço (pronuncia-se “óiler”) - observou que um grafo simples, conexo e planar (sem interseção de arestas) divide o plano em um número de regiões totalmente fechadas e uma região infinita exterior. Daí observou uma relação entre o número de n de vértices, o número a de arestas e o número r de regiões.
É a fórmula de Euler: n - a + r = 2
4 - 6 + 4 = 2
Tipos especiais de grafos Redes
Possuem 2 nós especiais: Fonte (source) - origem de arcos Destino (sink) - destino de arcos
Florestas São grafos não-cíclicos e Não-direcionados.
Árvores São grafos não-cíclicos, Não-direcionados e conectados.
1
2
6
3 5
4
6
31
2
5
4
1
2
5
4
Tipos especiais de grafos
Grafos com valores Quando os nós e/ou os arcos possuem valores.
Rio Vit
Spa
Sal
Rec
Nat
13011325
1210
890
580
1710
2680
450
R3
R4
OUT
IN
R2 R1
1
I6
1
I5
1
I8 3
I2 2
I2
1
I2
1
I1
2
I7 1
I9
2
I5 2
I1
4
I2
1
I4 1
I7
2
I6 Fluxo de instruções em
um microprocessador.
Distâncias entre localidades.
Formas de representação
Existem basicamente duas formas para representar um grafo G = (N, A): Por intermédio de uma Lista de Adjacências
É a mais utilizada, pois fornece uma representação mais compacta de grafos esparsos ( |A| << |N|2 )
Por intermédio de uma Matriz de Adjacências Utilizada quando o grafo é denso ( |A| |N|2 ), ou quando
é necessário descobrir rapidamente se existe um arco conectando dois nós pré-definidos.
Formas de representaçãoLista de adjacência Lista de adjacências para um grafo G = (N, A)
Consiste em um vetor de |N| listas encadeadas, uma para cada elemento de N.
Para cada u V , a lista de adjacências Adj[u] contém todos os
nós v para os quais existe um arco (u, v) A.
Primeiro caso: Grafo Não-Direcionado
1 2
5
3
4
1
2
5
3
4
5
5
1
4
5
2
1
4
2
2
3
2
3
4 /
/
/
/
/
Implementação mista (vetor e lista ligada)
Formas de representaçãoLista de adjacência
Segundo caso: Grafo Direcionado
1
2
5
3
4
4
5
2
5
4
6
2
/
/
/
/
/
6 6 /
1 2
4 5
3
6
Implementação mista (vetor e lista ligada)
Formas de representação
0 1
3 2
V0
V1
V2
V3
A(0,1) A(0,2)
A(1,2) A(1,3)
A(3,0) A(3,1) A(3,2)
Variável externa List
Implementação somente com Listas Ligadas
Formas de representação Vejamos uma representação muito interessante presente no livro texto. É
utilizado nós de cabeçalho (nós de grafo) e nós de lista (lista de adjacência). Ver páginas 699, 700, 701 e 702.
EB C DA
Grafo
<A,B> <A,C> <A,D> <A,E>
<D,B>
<C,E>
A
CE
D
Barcptr info nextnode
ndptr nextarc
Nó de cabecalho
Nó de lista
Formas de representação
De forma geral os nós de cabeçalho e os de lista têm diferentes formatos, necessitando serem representados por duas estruturas distintas, ou seja, são tipos de nós diferentes
Para facilitar o entendimento de uma possível implementação dinâmica, vamos supor que os nós de cabeçalho e de lista têm o mesmo formatostruct nodetype{
int info;struct nodetype *point;struct nodetype *next;
};struct nodetype *nodeptr;
Formas de representaçãoMatriz de adjacência
Matriz de adjacências para um grafo G = (N, A) Assume-se que os nós são numerados da seguinte forma: 1, 2,
3, ..., |N|; A matriz de adjacências Adj para um grafo G = (N, A) possui
dimensões |N| x |N| e elementos aij , de forma que:
1 se (i, j) A
ai,j =
0 caso contrário{
Formas de representaçãoMatriz de adjacência Primeiro caso: Grafo Não-Direcionado Para os grafos não-direcionados, os elementos
da matriz são simétricos: Adj[i][j] = Adj[j][i]. Assim, com fins de economia de memória, pode-se armazenar apenas a matriz triangular superior ou inferior.
1 2
5
3
4
1
2
5
3
4
1 2 53 4
0 1 10 0
1 0 11 1
0 1 00 1
0 1 11 0
1 1 00 1Tipos
Adj = vetor[5] [5] de inteiros
Formas de representaçãoMatriz de adjacência Segundo caso: Grafo Direcionado Na matriz de adjacências para grafos
direcionados, as linhas representam os nós origem e as colunas, os nós destino.
Tipos
Adj = vetor[6] [6] de inteiros
1
2
5
3
4
1 2 53 4
0 1 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
1 2
4 5
3
6
6
6 0 0
0
1
1
0
0
00 0
0
0
1
0
0
1
Formas de representaçãoMatriz de incidência Outra abordagem: Matriz de Incidência Primeiro caso: Grafo Não-Direcionado G = (N, A)
A matriz de incidência Inc para um grafo G = (N, A) possui dimensões |N| x |A| e elementos bij , de forma que:
1, se o arco j é incidente em i (j incide no nó i)
bij =
0, caso contrário
1 2
5
3
4
1
2
5
3
4
1 2 53 4
1 1 0 0
1 0 1 1
0 0 0 0
0 0 0 1
0 1
0
1
1
0
01 0
6 7
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
23
4
5
6 7
{
Segundo caso: Grafo Direcionado G = (N, A) A matriz de incidência Inc para um grafo G = (N, A)
possui dimensões |N| x |A| e elementos bij , de forma que:
-1, se o arco j é incidente de i (j sai do nó i)
bij = 1, se o arco j é incidente para i (j chega no nó i)
0, se o nó i não participa do arco{
1 2
4 5
3
6
1
2
5
3
4
1 2 53 4
-1 -1 0 0
1 0 1 -1
0 0 0 0
0 1 -1 0
0
0
0
1
6 7
0
0
-1
0
0
0
-1
0
0 0 -10 1 1 0
6 0 0 00 0 0 1
8
0
0
0
0
0
0Tipos
Inc = vetor[6][8] de inteiros
Formas de representaçãoMatriz de incidência
Formas de representação
A matriz de adjacência é freqüentemente inadequada porque requer o conhecimento prévio do número de nós
Mesmo que a matriz de adjacência seja esparsa, deve-se reservar espaço para todo possível arco entre dois nós. Se existir n nós, precisará de n2 alocações
Lista ligada é interessante porque só aloca o espaço necessário, porém, a implementação é mais complexa porque não dá para prever o número de nós adjacentes a determinado nó, ou seja, o número de ponteiros é bastante variável
Na representação de matriz está implícito a possibilidade de percorrer uma linha ou coluna
Percorrer em linha é identificar todos os arcos emanando de determinado nó. Neste caso, a implementação ligada é mais eficiente
Em coluna é identificar todos os arcos que terminam em determinado nó: vantagem para a matriz, já que não existe um método simples correspondente na implementação ligada
Métodos de passeio
O objetivo dos métodos de passeio é explorar um grafo, de forma sistemática, obtendo informações sobre sua estrutura.
Uma questão interessante diz respeito ao ponto de início do passeio, pois não existe um referencial a ser considerado, como por exemplo, a raiz nas árvores.
Outra questão é relacionada às repetições nas visitas. Como garantir que um nó já foi visitado? Solução: colocar marcas nos nós já visitados.
A seqüência de nós visitados depende da escolha dos nós adjacentes. Para um determinado grafo podem existir diversas seqüências de passeio.
Métodos de passeio
Existem dois algoritmos principais para passeio em um grafo G = (N, A): Largura (Breadth-first search)
Todos os nós localizados a uma distância k de um nó s, escolhido arbitrariamente, são percorridos antes dos nós localizados a uma distância k+1 de s.
Profundidade (Depth-first search) Para um nó s, escolhido arbitrariamente, um de seus nós
adjacentes é visitado, e para cada nó visitado, um dos nós adjacente a ele é visitado, até que se encontre um nó sem adjacentes. Nesse instante ocorre um “retorno” com o objetivo de visitar os nós restantes adjacentes à s.
Métodos de passeio
Largura (Breadth-first search)
Um nó, escolhido arbitrariamente, é visitado, marcado e colocado em uma fila Q;
Enquanto a fila Q não estiver vazia: Retira-se um nó N da fila Q; Para cada nó M (não marcado) adjacente à N:
Visita-se o nó M; Coloca-se o nó M na fila Q; Marca-se o nó M.
Métodos de passeio
Rotina Largura (O: nó)Variáveis N, M : nó Q : FilaInício Visita (O) Marcanó (O) InsereFila (Q, O) Enquanto Não FilaVazia (Q) Faça N = RetiraFila (Q) Para Cada M adjacente a N Faça Se Não nóMarcado (M) Então Visita (M) InsereFila (Q, M) Marcanó (M) Fim-Se Fim-Para Fim-EnquantoFim
Métodos de passeio
Profundidade (Depth-first search)
Um nó, escolhido arbitrariamente, é visitado, marcado e colocado em uma pilha S;
Enquanto a pilha S não estiver vazia: Retira-se um nó N da pilha S; Para cada nó M (não marcado) adjacente à N:
Visita-se o nó M; Coloca-se o nó N na pilha S; Marca-se o nó M; Faz-se N M
Métodos de passeio
Rotina Profundidade (O: nó)Variáveis N, M : nó; S : PilhaInício Visita (O) Marcanó (O) Push (S, O) Enquanto Não PilhaVazia (S) Faça N = Pop (S) Para Cada M adjacente a N Faça Se Não nóMarcado (M) Então Visita (M) Push (S, N) Marcanó (M) N M Fim-Se Fim-Para Fim-EnquantoFim.
Métodos de passeioVersão recursiva
Rotina ProfundidadeRec (N: nó)/*VERSÃO RECURSIVA*/
Variáveis M : nó
Início Visita (N) Marcanó (N) Para Cada M adjacente a N Faça Se Não nóMarcado (M) Então ProfundidadeRec (M) Fim-Se Fim-ParaFim.
Aplicações
Grafos com valores: Matriz de Adjacências Atribuir à posição Adj[i][j], o valor do arco que sai do
nó i e chega no nó j. Exemplo:
1
2
3
1 2 3
0 4 10
6 0 7
2 0 0
1 2
3
10
2
7
6
4
Matriz Adj
Aplicações
Grafos com valores: Matriz de Incidência Para um arco k, do nó i para o nó j, com valor V: Inc[i][k] = -V e Inc[j][k] = V Exemplo:
1 2
3
10
2
7
6
4
1
2
3
1 2 3
-4 -10 6
4 0 -6
0 10 0
4
0
-7
7
5
2
0
-2
Matriz Inc
Aplicações
Grafos com valores: Lista de Adjacência Adicionar um terceiro campo, do tipo adequado, a
cada nó da lista Exemplo:
1 2
3
10
2
7
6
4 1
2
3
4
6
2
2
1
1 /
10
7
3
3
/
/
Aplicações
Caminhos Máximo / Mínimo: Utilizando um grafo para representar estradas que unem
cidades, sendo os nós as cidades e os arcos as distâncias entre as cidades, pergunta-se:
Quais os caminhos (se existir algum) que ligam Spa à Rec?
Existindo mais de um caminho, qual o mais curto?
Rio Vit
Spa
Sal
Rec
Nat
407
5
10
30
10
5
15
<(Spa, Sal), (Sal, Nat), (Nat, Rec)> = 30
<(Spa, Rio), (Rio, Vit), (Vit, Rec)>= 45
<(Spa, Rio), (Rio, Nat), (Nat, Rec)> = 52
<(Spa, Rec)> = 40
Aplicações
Caminhos Máximo / Mínimo: No grafo abaixo, qual o caminho mais curto do
nó 1 para os demais nós do grafo ?
Quantos caminhos existem do nó 1 para o nó 2 ? Resposta: 3 caminhos
1 2
3 4
15
15
505
63
10
45
35
30201020
p/ o nó 2: <(1,3),(3,4),(4,2)> = 45
p/ o nó 3: <(1,3)> = 10
p/ o nó 4: <(1,3),(3,4)> = 25
p/ o nó 5: <(1,5)> = 45
p/ o nó 6: não há caminho
