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Grafos

Antonio Alfredo Ferreira [email protected]

http://www.dcc.ufmg.br/~loureiro

UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 1

[email protected]://www.dcc.ufmg.br/~loureiro

Motivao

Suponha que existam seis sistemas computacionais (A, B, C, D, E, e F) inter-conectados entre si da seguinte forma:

E

A

B

C

DF

Esta informao pode ser representada por este diagrama, chamado degrafo.

Este diagrama identifica unicamente um grafo.


Motivao

Dois objetos especiais: Vrtices Arestas

F

E

B

A C

D

Vrtice

Aresta


Definio

Um grafo G consiste de dois conjuntos finitos:

1. Vrtices V (G)2. Arestas E(G)

Em geral, um grafo G representado como:

G = (V,E)


Terminologia

Cada aresta est associada a um conjunto de um ou dois vrtices, chamadosns terminais.

Extremidade de uma aresta: vrtice da aresta. Funo arestaextremidade: associa aresta a vrtices. Lao (Loop): aresta somente com n terminal. Arestas paralelas: arestas associadas ao mesmo conjunto de vrtices. Uma aresta dita conectar seus ns terminais. Dois vrtices que so conectados por uma aresta so chamados de adjacen-

tes. Um vrtice que n terminal de um lao dito ser adjacente a si prprio. Uma aresta dita ser incidente a cada um de seus ns terminais. Duas arestas incidentes ao mesmo vrtice so chamadas de adjacentes. Um vrtice que no possui nenhuma aresta incidente chamado de isolado. Um grafo com nenhum vrtice chamado de vazio.


Terminologia

v

2v 5v 7v

6v1e

4v5e

2e

3e

6e4e

3v

1

Arestas paralelas Vrtice isolado

Lao


Terminologia

Conjunto de vrtices:{v1, v2, v3, v4, v5, v6}.

Conjunto de arestas:{e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7}.

Funo arestavrtice:

Aresta Vrticee1 {v1, v2}e2 {v1, v3}e3 {v1, v3}e4 {v2, v3}e5 {v5, v6}e6 {v5}e7 {v6}

e

3e 3v

1e 4e

2v

1v 4v

6v

5v

6e

5e

7e

2


Terminologia

e1, e2 e e3 so incidentes av1.

v2 e v3 so adjacentes a v1.

e2, e3 e e4 so adjacentesa e1.

e6 e e7 so laos.

e2 e e3 so paralelas.

v5 e v6 so adjacentes en-tre si.

v4 um vrtice isolado.

e

3e 3v

1e 4e

2v

1v 4v

6v

5v

6e

5e

7e

2


Terminologia

Seja um grafo especificadocomo: Conjunto de vrtices:{v1, v2, v3, v4}.

Conjunto de arestas:{e1, e2, e3, e4}.

Funo arestavrtice:

Aresta Vrticee1 {v1, v3}e2 {v2, v4}e3 {v2, v4}e4 {v3}

Duas possveis representaes deste grafo:

v4v3e

2e

3v

4e

1e

1v

2

v

2e 3e

2v

3v

4e

1v

1e

4


Terminologia

Considere os dois diagramas abaixo. Rotule os vrtices e as arestas de talforma que os dois diagramas representem o mesmo grafo.


Terminologia

Uma possvel identificao de vrtices ertulos pode ser:

v

2v

3v4v

5v

1e

4e

3e

2e

5e

1

v

4v

2v

3v

1e

5v

2e

3e

4e

5e

1

Os dois diagramas so repre-sentados por: Conjunto de vrtices:{v1, v2, v3, v4, v5}.

Conjunto de arestas:{e1, e2, e3, e4, e5}.

Funo arestavrtice:

Aresta Vrticee1 {v1, v2}e2 {v2, v3}e3 {v3, v4}e4 {v4, v5}e5 {v5, v1}


Modelos usando grafosGrafo Vrtice Aresta

Comunicao Centrais telefnicas, Compu-tadores, Satlites

Cabos, Fibra ptica, Enlacesde microondas

Circuitos Portas lgicas, registradores,processadores

Filamentos

Hidrulico Reservatrios, estaes debombeamento

Tubulaes

Financeiro Aes, moeda TransaesTransporte Cidades, Aeroportos Rodovias, Vias areasEscalonamento Tarefas Restries de precednciaArquitetura funcional deum software

Mdulos Interaes entre os mdulos

Internet Pginas Web LinksJogos de tabuleiro Posies no tabuleiro Movimentos permitidosRelaes sociais Pessoas, Atores Amizades, Trabalho conjunto

em filmes


Modelos usando grafosCircuito eltrico: Leis de Kirchoff

Gustav Kirchoff (18241887), fsico alemo. Foi o primeiroa analisar o comportamento de rvo-res matemticas com a investigaode circuitos eltricos.

i1 + i4 = i2 + i3


Modelos usando grafosEstruturas de molculas de hidrocarboneto

Arthur Cayley (18211895), matemtico ingls. Logo apso trabalho de Kirchoff, Cayley usourvores matemticas para enumerartodos os ismeros para certos hidro-carbonetos.

HH C

C

H

C C

C

H

C C

C

H

C C

C

H

C

Butano

CH

H

H

H

H

C

C

HC

H

H

CC

H

H

Isobutano


Modelos usandografosConectividade naInternet

Este grafo mostra a conectividadeentre roteadores na Internet, re-sultado do trabalho Internet Map-ping Project de Hal Burch e BillCheswick.

Atualmente o trabalho est sendodesenvolvido comercialmente pelaempresa Lumeta (www.lumeta.com).


Modelos usando grafosConectividade na Internet

Este trabalho de StephenCoast (http://www.fractalus.com/steve/stuff/ipmap/) estmedindo e mapeando a estru-tura e desempenho da Internet.Este um de seus trabalhosiniciais.


Modelos usando grafosConectividade na RNP2

A Rede Nacional de Pesquisa(RNP) criou a primeira infra-estrutura de comunicao (back-bone) no Brasil para intercone-xo com a Internet. Atualmente,este backbone conhecido comoRNP2.

O grafo de conectividade daRNP2 tem uma estrutura (topo-logia) basicamente na forma deestrela. Note que diferentes en-laces de comunicao (arestas)possuem diferentes capacidades.

A Internet formada basica-mente por interconexo de Sis-temas Autnomos (AS Autono-mous System), onde cada AS um backbone distinto.


Modelos usando grafosGrafo de derivao sinttica

Noam Chomsky John Backus Peter Naur

Chomsky e outros desenvolveram novas formas dedescrever a sintaxe (estrutura gramatical) de lingua-gens naturais como ingls. Este trabalho tornou-sebastante til na construo de compiladores paralinguagens de programao de alto nvel. Nesteestudo, rvores (grafos especiais) so usadas paramostrar a derivao de sentenas corretas gramati-calmente a partir de certas regras bsicas.

comum representar estas regras, chamadas deproduo, usando uma notao proposta por Bac-kus (1959) e modificada por Naur (1960) usada paradescrever a linguagem de programao Algol. Estanotao chamada de BNF (Backus-Naur Notation).

Notao BNF (subconjunto da gram-tica da lngua inglesa):

sentence ::= noun phraseverb phrasenoun phrase ::= articlenoun |

articleadjectivenounverb phrase ::= verbnoun phrasearticle ::= theadjective ::= youngnoun ::= man | ballverb ::= caught


Modelos usando grafosVegetarianos e Canibais (1)

Seja uma regio formada por vegetarianos e canibais.

Inicialmente, dois vegetarianos e dois canibais esto na margem esquerda(ME) de um rio.

Existe um barco que pode transportar no mximo duas pessoas e sempreatravessa o rio com pelo menos uma pessoa.

O objetivo achar uma forma de transportar os dois vegetarianos e os doiscanibais para a margem direita (MD) do rio.

Em nenhum momento, o nmero de canibais numa margem do rio pode sermaior que o nmero de vegetarianos, caso contrrio, . . .



Soluo: Notao para representar cada cenrio possvel. Modelo para representar a mudana de um cenrio em outro vlido.

Notao: ME/MD vvccB/ ME: 2v, 2c e o barco (B); MD: . vc/Bvc ME: 1v, 1c; MD: B, 1v e 1c.

Modelo: grafo Vrtice: cenrio vlido. Aresta: transio vlida de um dado cenrio em outro.



Uma possvel sequncia vlida de cenrios :

/Bvvcc

vv/Bcc

vvc/Bc

cc/Bvv

vvcB/c

vvccB/

c/Bvvc

ccB/vv

vcB/vc

vc/Bvc


Modelos usando grafosVisualizando grafos

Graph Drawing: Algorithms for the Vi-sualization of Graphs. Giuseppe DiBattista, Peter Eades, Roberto Tamas-sia, e Ioannis G. Tollis. Prentice HallEngineering, Science & Math, 432 pp.,ISBN 0-13-301615-3.

Para muitas aplicaes importante dese-nhar grafos com certas restries: Planares, i.e., no h cruzamento de

arestas


Grafo simples

Definio: Um grafo simples um grafo que no possui laos nem arestas pa-ralelas. Num grafo simples, uma aresta com vrtices (ns terminais) u e v representada por uv.

Exemplo: Quais so os grafos com quatro vrtices {u, v, w, x} e duas arestas,sendo que uma delas a aresta uv? Dado quatro vrtices, existem C(4,2) = 6 subconjuntos, que definem ares-

tas diferentes: {uv, uw, ux, vw, vx,wx}. Logo, todos os grafos simples de quatro vrtices e duas arestas, sendo uma

delas a uv so:

x

vu

w x

vu

w x

vu

w x

vu

w x

vu

w


Grafo dirigido (1)

Definio: Um grafo dirigido ou digrafo ou direcionado G consiste de dois con-juntos finitos:

1. Vrtices V (G)2. Arestas dirigidas E(G), onde cada aresta associada a um par ordenado

de vrtices chamados de ns terminais. Se a aresta e associada ao par(u, v) de vrtices, diz-se que e a aresta dirigida de u para v.

v

2v 5v 7v

6v1e

5e

2e

3e

8e4e

3v

4v

7e6e

1


Grafo dirigido (2)

Para cada grafo dirigido, existe um grafo simples (no dirigido) que obtidoremovendo as direes das arestas, e os loops.

Grafo dirigido:

v

2v 5v 7v

6v

3v

4v1

Grafo no dirigido correspondente:

v

2v 5v 7v

6v

3v

4v1


Grafo dirigido (3)

A verso dirigida de um grafo no dirigido G = (V,E) um grafo dirigidoG = (V , E) onde (u, v) E sse (u, v) E.

Cada aresta no dirigida (u, v) em G substituda por duas arestas dirigidas(u, v) e (v, u).

Em um grafo dirigido, um vizinho de um vrtice u qualquer vrtice adjacentea u na verso no dirigida de G.

Grafo no dirigido:

v

2v 3v

1

Grafo dirigido correspondente:

v

2v 3v

1


Grafo completo (1)

Definio: Um grafo completo de n vrtices, denominado Kn, um grafo sim-ples com n vrtices v1, v2, . . . , vn, cujo conjunto de arestas contm exatamenteuma aresta para cada par de vrtices distintos.

Nota: A letra K representa a letra inicial da palavra komplett do alemo, quesignifica completo.

Exemplo: Grafos completos com 2, 3, 4, e 5 vrtices.

vv 1v 2v

3v

2v

3v4v4v

3v5v

1v 2v

5K4K3K2K

1v21


Grafo completo (2)

Dado o grafo completo Kn temos que

Vrtice est conectado aos vrtices atravs de # arestas(no conectados ainda)

v1 v2, v3, . . . , vn n 1

v2 v3, v4, . . . , vn n 2... ... ...

vn1 vn 1

vn 0

ou seja, se contarmos o nmero total de arestas de Kn temos

n1i=1

i =(n 1) n

2=n2 n

2=

(|V |2 |V |)2


Grafo completo (3)

Os grafos K2, K3, K4, e K5

vv 1v 2v

3v

2v

3v4v4v

3v5v

1v 2v

5K4K3K2K

1v21

possuem a seguinte quantidade de arestas:

Grafo # arestasK2 1K3 3K4 6K5 10


Quantidade de grafos distintos com n vrtices (1)

O nmero total de grafos distintos com n vrtices (|V |)

2

n2n2

= 2

(|V |2|V |)2

que representa a quantidade de maneiras diferentes de escolher um subcon-junto a partir de

n2 n2

=(|V |2 |V |)

2possveis arestas de um grafo com n vrtices.



Exemplo: Quantos grafos distintos com 3 vrtices existem?

Um grafo com 3 vrtices v1, v2 e v3 possui no mximo 3 arestas, ou seja,E = {v1v2, v1v3, v2v3}. O nmero de sub-conjuntos distintos de E dado por P(E), ou seja, o con-

junto potncia de E que vale 2|E|.

P(E) =

,{v1v2},{v1v3},{v2v3},

{v1v2, v2v3},{v1v3, v2v3},{v1v2, v1v3},

{v1v2, v1v3, v2v3}

Cada elemento de P(E) deveser mapeado num grafo com 3

vrtices levando a um grafo dis-

tinto:

v

1v 2v

3



Exemplo: Quantos grafos distintos com 3 vrtices existem (continuao)?

Para cada elemento (sub-conjunto) do conjunto potncia deE temos um grafodistinto associado, ou seja, o nmero total de grafos com 3 vrtices :

2

n2n2

= 2

3232

= 23 = 8

v

1v 2v

3v

1v 2v

3v

1v 2v

3v

1v 2v

3v

1v 2v

3v

1v 2v

3v

1v 2v

3v

1v 2v

3


Grafo ciclo

Definio: Um grafo ciclo de n vrtices, denominado Cn, n 3, um grafosimples com n vrtices v1, v2, . . . , vn, e arestas v1v2, v2v3, . . ., vn1vn, vnv1.

Exemplo: Grafos ciclos de 3, 4, e 5 vrtices.

vv 2v

3v

2v

3v4v4v

3v5v

1v 2v

5C4C3C

11


Grafo roda

Definio: Um grafo roda, denominado Wn, um grafo simples com n + 1vrtices que obtido acrescentado um vrtice ao grafo ciclo Cn, n 3, econectando este novo vrtice a cada um dos n vrtices de Cn.

Exemplo: Grafos rodas de 3, 4, e 5 vrtices.

vv 2v

3v

2v

3v4v4v

3v5v

1v 2v

5W4W3W

4v5v 6v

11


Grafo Cubo-n (1)

Definio: Um grafo cubo-n de 2n vrtices, denominadoQn, um grafo simplesque representa os 2n strings de n bits. Dois vrtices so adjacentes sse osstrings que eles representam diferem em exatamente uma posio.

O grafo Qn+1 pode ser obtido a partir do grafo Qn usando o seguinte algoritmo:

1. Faa duas cpias de Qn;2. Prefixe uma das cpias de Qn com 0 e a outra com 1;3. Acrescente uma aresta conectando os vrtices que s diferem no primeiro

bit.


Grafo Cubo-n (2)

Exemplo: Grafos Qn, para n = 1, 2, e 3 vrtices.

100

Q 2Q 3Q

0 1 00

10 11

01

011

110 111

010

101

000 001

1


Grafo bipartido (1)

Definio: Um grafo bipartido um grafo com vrtices v1, v2, . . . , vm ew1, w2, . . . , wn, que satisfaz as seguintes propriedades:

i, k = 1,2, . . . ,m j, l = 1,2, . . . , n

1. as arestas do grafo, cada aresta conecta algum vrtice vi a algum vrticewj;

2. uma aresta entre cada par de vrtices vi e vk;3. uma aresta entre cada par de vrtices wj e wl;


Grafo bipartido (1)

Definio: Um grafo bipartido um grafo com vrtices v1, v2, . . . , vm ew1, w2, . . . , wn, que satisfaz as seguintes propriedades:

i, k = 1,2, . . . ,m j, l = 1,2, . . . , n

1. as arestas do grafo, cada aresta conecta algum vrtice vi a algum vrticewj;

2. uma aresta entre cada par de vrtices vi e vk;3. uma aresta entre cada par de vrtices wj e wl;

As duas ltimas propriedades so consequncias da primeira.


Grafo bipartido (2)

Exemplo: Grafos bipartidos.

1w

4v

3w 3v

4w

v 1

2v

3v

4v

1w

2w

3w

7v

8v

v 6

5v

4w

5w

2vv 1

1w 2w 3w 4w 2w 2v

v 1


Grafo bipartido completo (1)

Definio: Um grafo bipartido completo de m,n vrtices, denominado Km,n, um grafo simples com vrtices v1, v2, . . . , vm e w1, w2, . . . , wn, que satisfaz asseguintes propriedades:

i, k = 1,2, . . . ,m j, l = 1,2, . . . , n

1. uma aresta entre cada par de vrtices vi e wj;2. uma aresta entre cada par de vrtices vi e vk;3. uma aresta entre cada par de vrtices wj e wl;


Grafo bipartido completo (2)

Exemplo: Grafos bipartidos completos K3,2 e K3,3.

w

2w

1w

K3,2

2v

1

K3,3

v

3v

1w1v

2w2v

3v 3


Grafo de Petersen

Definio: grafo no dirigido cbico com 10 vrtices e 15 arestas, como ilustradoabaixo. um grafo largamente utilizado como exemplo e contra-exemplo paramuitos problemas em teoria dos grafos.

[Recebe esse nome em homenagem ao matemtico dinamarqus Julius Petersen, que o utilizouem um trabalho publicado em 1898. No entanto, o primeiro registro do uso desse grafo se devea um trabalho de Alfred Kempe, matemtico ingls, 12 anos antes, em 1886.]

Em teoria dos grafos, existem vrios outros grafos que recebem nomes es-peciais sejam eles baseados em nomes de pessoas (e.g, Folkman, Gabriel,Heawood, Turn, Yao) ou em propriedades (e.g., autocomplementar, com-plementar, disco unitrio, intervalar, orientado balanceado, poliedro).UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 42

Multigrafo

Definio: Um multigrafo um grafo que no possui laos mas pode ter arestasparalelas. Formalmente, um multigrafo G = (V,E) consiste de um conjunto Vde vrtices, um conjunto E de arestas, e uma funo f de E para {{u, v}|u, v V, u 6= v}. As arestas e1 e e2 so chamadas mltiplas ou paralelas se f(e1) =f(e2).

e

3e 3v

1e 4e

2v

1v 4v

6v

5v

5e

2

Vrias aplicaes precisam ser modeladas como um multigrafo.UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 43

Pseudografo

Definio: Um pseudografo um grafo que pode ter laos e arestas paralelas.Formalmente, um pseudografo G = (V,E) consiste de um conjunto V de vr-tices, um conjunto E de arestas, e uma funo f de E para {{u, v}|u, v V }.

Pseudografo mais geral que um multigrafo.


Multigrafo dirigido

Definio: Um multigrafo dirigido um grafo que pode ter laos e arestas pa-ralelas. Formalmente, um multigrafo dirigido G = (V,E) consiste de um con-junto V de vrtices, um conjunto E de arestas, e uma funo f de E para{{u, v}|u, v V }. As arestas e1 e e2 so arestas mltiplas se f(e1) = f(e2).


Hipergrafo

Definio: Um hipergrafoH(V, F ) definido pelo par de conjuntos V e F , onde: V um conjunto no vazio de vrtices; F um conjunto que representa uma famlia e partes no vazias de V .

Um hipergrafo um grafo no dirigido em que cada aresta conecta um nmeroarbitrrio de vrtices.

Seja, por exemplo, o grafo H(V, F )dado por:

V = {v1, v2, v3, v4}F = {{v1, v2, v4}, {v2, v3, v4}, {v2, v3}}

v

1v 2v

3v4


Terminologia de grafos

Tipo Aresta Arestas mltiplas? Laos permitidos?

Grafo simples No dirigida No No

Multigrafo No dirigida Sim No

Pseudografo No dirigida Sim Sim

Grafo dirigido Dirigida No Sim

Multigrafo dirigido Dirigida Sim Sim


Grafo valorado

Definio: Um grafo valorado um grafo em que cada aresta tem um valor as-sociado. Formalmente, um grafo valorado G = (V,E) consiste de um conjuntoV de vrtices, um conjunto E de arestas, e uma funo f de E para P , onde Prepresenta o conjunto de valores (pesos) associados s arestas.

Grafo valorado usado para modelar vrios problemas importantes em Ci-ncia da Computao.


Grafo imersvel

Definio: Um grafo imersvel em uma superfcie S se puder ser representadogeograficamente em S de tal forma que arestas se cruzem nas extremidades(vrtices).

Um grafo planar um grafo que imersvel no plano.

As conexes de uma placa de circuito impresso devem ser representadaspor um grafo planar.


Subgrafo

Definio: Um grafo H = (V , E) dito ser um subgrafo de um grafo G =(V,E) sse: cada vrtice de H tambm um vrtice de G, ou seja, V V ; cada aresta de H tambm uma aresta de G, ou seja, E E; e cada aresta deH tem os mesmos ns terminais emG, ou seja, se (u, v) E

ento (u, v) E.

Exemplo: Todos os subgrafos do grafo G:

v

1v2v

1v

3e

1e 1v2v

1v2v

3e

2v

2e

1v2v

2e

1e 1v2v

1e 1v2v

3e

2e

1v2v

3e

2e

1e 1v2v

3e

G

1

2e

1e 1v2v

3e

10

8

3

21

9

4 5

7

11

6


Grau de um vrtice (1)

Definio: Seja G um grafo e um vrtice v de G. O grau de v, denominadograu(v) (deg(v)), igual ao nmero de arestas que so incidentes a v, comuma aresta que seja um lao contada duas vezes. O grau total de G a somados graus de todos os vrtices de G.

Exemplo: Determinando o grau de v1 no grafo abaixo.

v3v2v

1v v

4

1grau( ) = 5



Em um grafo dirigido o grau de um vrtice v o nmero de arestas quem saemdele (out-deg(v)) mais o nmero de arestas que chegam nele (in-deg(v)).

Exemplo: Determinando o grau de v3 no grafo abaixo.

v

1v

2v 5v 7v

6v1e

2e

3e

8e4e

3v

4v

7e6e

5e

3grau( ) = 4



Exemplo: Seja o grafoG abaixo. Determine o grau de cada vrtice e o grau totalde G.

e

1e 3v2v

3e

1v

2

grau(v1) = 0, j que no existe aresta incidente a v1, que um vrticeisolado.

grau(v2) = 2, j que e1 e e2 so incidentes a v2. grau(v3) = 4, j que e1, e2 e e3 so incidentes a v3, sendo que e3 contribui

com dois para o grau de v3.

Grau de G = grau(v1) + grau(v2) + grau(v3) = 0 + 2 + 4 = 6 Grau de G = 2 nmero de arestas de G, que 3, ou seja, cada aresta

contribui com dois para o grau total do grafo.



Teorema (do aperto de mos ou handshaking): Seja G um grafo. A soma dosgraus de todos os vrtices de G duas vezes o nmero de arestas de G. Espe-cificamente, se os vrtices de G so v1, v2, . . . , vn, onde n um inteiro positivo,ento

Grau de G = grau(v1) + grau(v2) + . . . + grau(vn)= 2 nmero de arestas de G.



Prova:

Seja G um grafo especfico mas escolhido arbitrariamente.

Se G no possui vrtices ento no possui arestas, e o grau total 0, que o dobro das arestas, que 0.

Se G tem n vrtices v1, v2, . . . , vn e m arestas, onde n um inteiro positivoe m um inteiro no negativo. A hiptese que cada aresta de G contribuicom 2 para o grau total de G.

Suponha que e seja uma aresta arbitrria com extremidades vi e vj. Estaaresta contribui com 1 para o grau de vi e 1 para o grau de vj.



Prova (continuao):

Isto verdadeiro mesmo se i = j j que no caso de um lao conta-se duasvezes para o grau do vrtice no qual incide.

vei

v j

e=iv v j

i 6= j i = j

Assim, a aresta e contribui com 2 para o grau total de G. Como e foi escolhidoarbitrariamente, isto mostra que cada aresta de G contribui com 2 para o grautotal de G.

... O grau total de G = 2 nmero de arestas de G.

Corolrio: O grau total de um grafo par.


Grafo regular

Definio: Um grafo dito ser regular quando todos os seus vrtices tm omesmo grau.

Exemplo: Os grafos completos com 2, 3, 4, e 5 vrtices so grafos regulares.

vv 1v 2v

3v

2v

3v4v4v

3v5v

1v 2v

5K4K3K2K

1v21


Determinando a existncia de certos grafos (1)

possvel ter um grafo com quatro vrtices de graus 1, 1, 2, e 3?No. O grau total deste grafo 7, que um nmero mpar.

possvel ter um grafo com quatro vrtices de graus 1, 1, 3, e 3?Sim. Exemplos:

dd c

aa b

cd

a b

cd

a b

c

b



possvel ter um grafo simples com quatro vrtices de graus 1, 1, 3, e 3?No.

Prova (por contradio):

Suponha que exista um grafo simples G com quatro vrtices de graus 1, 1, 3, e 3. Chamea e b os vrtices de grau 1, e c e d os vrtices de grau 3. Como grau(c) = 3 e G nopossui laos ou arestas paralelas, devem existir arestas que conectam c aos vrtices a, be d.

d c

a b

Pelo mesmo raciocnio devem existir arestas que conectam d aos vrtices a, b e c.a b

d c

Mas o grau(a) 2 e grau(b) 2, o que contradiz a suposio que estes vrtices tmgrau 1.

... A suposio inicial falsa e, consequentemente, no existe um grafo simples com quatrovrtices com graus 1, 1, 3, e 3.



possvel num grupo de nove pessoas, cada um ser amigo de exatamentecinco outras pessoas?No.

Prova (por contradio): Suponha que cada pessoa represente um vrtice de um grafo e a aresta

indique uma relao de amizade entre duas pessoas (vrtices).

Suponha que cada pessoa seja amiga de exatamente cinco outras pes-soas.

Ento o grau de cada vrtice cinco e o grau total do grafo 45.

... Isto contradiz o corolrio que o grau total de um grafo par e, consequen-temente, a suposio falsa.


Caracterstica de um grafo

Teorema: Em qualquer grafoG, existe um nmero par de vrtices de grau mpar.

Prova:

Suponha que G tenha n vrtices de grau mpar e m vrtices de grau par, onde n e m sointeiros no negativos. [Deve-se mostrar que n par.]

Se n = 0, ento G tem um nmero par de vrtices de grau mpar. Suponha que n 1. Seja P a soma dos graus de todos os vrtices de grau par, I a soma

dos graus de todos os vrtices de grau mpar, e T o grau total de G. Se p1, p2, . . . , pm so os vrtices de grau par e i1, i2, . . . , in so os vrtices de grau mpar,

P = grau(p1) + grau(p2) + . . . + grau(pm),I = grau(i1) + grau(i2) + . . . + grau(in),T = grau(p1) + grau(p2) + . . . + grau(pm) +

grau(i1) + grau(i2) + . . . + grau(in)= P + I [que deve ser um nmero par]

P par, j que P = 0 ou P a soma de grau(pr), 0 r m, que par. Mas T = P + I e I = T P . Assim, I a diferena de dois inteiros pares, que par. Pela suposio, grau(is), 0 s n, mpar. Assim, I, um inteiro par, a soma de n inteiros

mpares grau(i1) + grau(i2) + . . . + grau(in). Mas a soma de n inteiros mpares par, enton par [o que devia ser mostrado].



possvel ter um grafo com 10 vrtices de graus 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, e 6?No. Duas formas de provar:1. Este grafo supostamente possui trs vrtices de grau mpar, o que no

possvel.2. Este grafo supostamente possui um grau total = 29, o que no possvel.


O problema das sete pontes de Knigsberg ouO incio da teoria dos grafos (1)

Leonhard Euler (1707-1783) aos 49 anos. Tela em leo pintada porJakob Emanuel Handmann em 1756.

Leonhard Euler, matemtico suo. Considerado um dos maiores matemticos de todos ostempos. Foi um cientista extremamente produtivo contribuindo para muitas reas da matemticacomo teoria dos nmeros, anlise combinatria e anlise, bem como o seu uso em reas comomsica e arquitetura naval. Euler foi o primeiro a usar o termo funo para descrever umaexpresso envolvendo vrios argumentos, ou seja, y = F (x). No total escreveu mais de1100 artigos e livros. Durante os ltimos 17 anos de vida, ele ficou praticamente cego, quandoproduziu quase que metade de seus trabalhos.

A rea de teoria dos grafos comea em 1736 quando publica um artigo (Solutio problematis adgeometriam situs pertinentis) contendo a soluo para o problema das sete pontes de Knigs-berg, na poca uma cidade da Prssia e, atualmente, cidade da Rssia.


O problema das sete pontes de Knigsberg ouO incio da teoria dos grafos (2)

A cidade de Knigsberg foi construda numa regio onde haviam dois braos do Rio Pregel euma ilha. Foram construdas sete pontes ligando diferentes partes da cidade, como mostradona figura:

Problema: possvel que uma pessoa faa um percurso na cidade de tal forma que inicie evolte a mesma posio passando por todas as pontes somente uma nica vez?


O problema das sete pontes de Knigsberg ouOnde Knigsberg (3)

Referncia: Northern Ger-many as far as the Bavarianand Austrian Frontiers; Hand-book for Travellers by Karl Ba-edeker. Fifteenth Revised Edi-tion. Leipzig, Karl Baedeker;New York, Charles ScribnersSons 1910.

History: Kaliningrad was for-merly the Prussian port of K-nigsberg, capital of East Prus-sia. It was captured by theRed Army in April 1945 andceded to the Soviet Union atthe Potsdam conference. Itwas renamed in honor of se-nior Soviet leader Mikhail Kali-nin, although he never actuallyvisited the area.

Mapa parcial (recente) da ci-

dade.


O problema das sete pontes de Knigsberg (4)

Euler resolveu este problema dando incio teoria dos grafos.

Modelagem proposta por Euler: Todos os pontos de uma dada rea de terra podem ser representados por

um nico ponto j que uma pessoa pode andar de um lado para o outrosem atravessar uma ponte.

Um ponto conectado a outro se houver uma ponte de um lado para ooutro.

Graficamente, Euler representou o problema como:

A

B

C

D



Problema a ser resolvido: possvel achar um caminho que comece e termine num vrtice qualquer

(A, B, C, ou D) e passe por cada aresta, exatamente, e uma nica vez?,ou ainda,

possvel desenhar este grafo que comece e termine na mesma posiosem levantar o lpis do papel?

D

C

A

B



Aparentemente no existe soluo!

Partindo do vrtice A, toda vez que se passa por qual-quer outro vrtice, duas arestas so usadas: a de che-gada e a de sada.

Assim, se for possvel achar uma rota que usa todasas arestas do grafo e comea e termina em A, ento onmero total de chegadas e sadas de cada vrticedeve ser um valor mltiplo de 2.

No entanto, temos: grau(A) = grau(C) = grau(D) = 3; e grau(B) = 5.

Assim, por este raciocnio informal no possvel teruma soluo para este problema.

D

C

A

B


Caminhamentos em grafosCaminho (1)

Seja G um grafo no dirigido, n 1, e v e w vrtices de G.

Caminho (walk ): Um caminho de v para w uma sequncia alternada devrtices e arestas adjacentes de G. Um caminho tem a forma:

(v =)v0e1v1e2v2 . . . vn1envn(= w)

ou ainda

v0[v0, v1]v1[v1, v2]v2 . . . vn1[vn1, vn]vn

onde v0 = v e vn = w.

e

7

4e

2v 1 3v

2e5e6e

1v 3e 4v

e

Um possvel caminho entre v1 e v4:v1e6v3e2v4e7v2e1v3e2v4e3v1e4v2e5v4


Caminhamentos em grafosCaminho (2)

No caso de arestas mltiplas, deve-se indicar qual delas est sendo usada.

Vrtices v0 e vn so extremidades do caminho.

Tamanho (comprimento) do caminho: nmero de arestas do mesmo, ou seja,nmero de vrtices menos um.

O caminho trivial de v para v consiste apenas do vrtice v.

Se existir um caminho c de v para w ento w alcanvel a partir de v via c.


Caminhamentos em grafosCaminho fechado (1)

Caminho fechado (Closed walk ): Caminho que comea e termina no mesmovrtice:

(v =)v0e1v1e2v3 . . . vn1envn(= w)

onde v = w.

e

7

4e

2v 1 3v

2e5e6e

1v 3e 4v

e

Um possvel caminho fechado :v1e6v3e2v4e7v2e1v3e2v4e3v1e4v2e5v4e3v1

Um caminho fechado com pelo menos uma aresta chamado de ciclo.


Caminhamentos em grafosCaminho fechado (2)

Dois caminhos fechados

v0v1 . . . vn e v0v1 . . . v

n

formam o mesmo ciclo se existir um inteiro j tal que

vi = vi+j mod n,

para i = 0,1, . . . , n 1.

e

7

4e

2v 1 3v

2e5e6e

1v 3e 4v

e

O caminho fechado v1v2v3v4v1 forma omesmo ciclo que os caminhos fechadosv2v3v4v1v2, v3v4v1v2v3 e v4v1v2v3v4.


Caminhamentos em grafosTrajeto

Trajeto (Path): Caminho de v para w sem arestas repetidas:

(v =)v0e1v1e2v3 . . . vn1envn(= w)

onde todas as arestas ei so distintas, ou seja, ei 6= ek, para qualquer i 6= k.

e

7

4e

2v 1 3v

2e5e6e

1v 3e 4v

e

Um possvel trajeto :v1e6v3e2v4e7v2e1v3


Caminhamentos em grafosTrajeto simples

Trajeto simples (Simple path): Caminho de v para w sem arestas e vrticesrepetidos.

e

7

4e

2v 1 3v

2e5e6e

1v 3e 4v

e

Um possvel trajeto simples :v1e6v3e2v4e7v2


Caminhamentos em grafosCircuito

Circuito (Circuit): Trajeto fechado, ou seja, um caminho onde no h arestarepetida e os vrtices inicial e final so idnticos:

(v =)v0e1v1e2v3 . . . vn1envn(= w)

onde toda aresta ei,1 i n, distinta e v0 = vn.

e

7

4e

2v 1 3v

2e5e6e

1v 3e 4v

e

Um possvel circuito :v1e6v3e2v4e7v2e1v3


Caminhamentos em grafosCircuito simples

Circuito simples (Simple circuit): Trajeto fechado, ou seja, um caminho ondeno h arestas e vrtices repetidos, exceto os vrtices inicial e final que soidnticos.

e

7

4e

2v 1 3v

2e5e6e

1v 3e 4v

e

Um possvel circuito simples :v1e6v3e2v4e7v2e4v1

Um circuito simples tambm chamado de ciclo simples.


Terminologia de caminhamentosAresta Vrtice Comea e termina

Tipo repetida? repetido? no mesmo vrtice?

Caminho (walk ) Pode Pode Pode

Caminho fechado (closed walk ) Pode Pode Sim

Trajeto (path) No Pode Pode

Trajeto simples (simple path) No No No

Circuito (circuit) No Pode Sim

Circuito simples (simple circuit) No v0 = vn Sim


Caminhamentos em grafosNotao simplificada (1)

Em geral um caminho pode ser identificado de forma no ambgua atravs deuma sequncia de arestas ou vrtices.

e

3e

1e

1v 2v 3v4e

2

O caminho e1e2e4e3 representa de forma no ambgua o caminhov1e1v2e2v3e4v3e3v2

A notao e1 ambgua, se usada para referenciar um caminho, pois poderepresentar duas possibilidades: v1e1v2 ou v2e1v1.

A notao v2v3 ambgua, se usada para referenciar um caminho, pois poderepresentar duas possibilidades: v2e2v3 ou v2e3v3.


Caminhamentos em grafosNotao simplificada (2)

e

1v 2v

3e2e

3v

1

A notao v1v2v2v3, se for associada a um caminho, representa de formano ambgua o caminho v1e1v2e2v2e3v3

Se um grafo G no possui arestas paralelas, ento qualquer caminho em Gpode ser determinado de forma nica por uma sequncia de vrtices.


Identificando o caminhamento (1)

v

e

2e3e

4e

5e

7e

9e

8e

1v

4v3v

6e

6v 5v

e102

1

Que tipo de caminhamento ? v1e1v2e3v3e4v3e5v4

Aresta repetida? No. Vrtice repetido? Sim v3. Comea e termina no mesmo

vrtice? No. Trajeto.

e1e3e5e5e6 Aresta repetida? Sim e5. Vrtice repetido? Sim v3. Comea e termina no mesmo

vrtice? No. Caminho.



v

e

2e3e

4e

5e

7e

9e

8e

1v

4v3v

6e

6v 5v

e102

1

Que tipo de caminhamento ? v2v3v4v5v3v6v2

Aresta repetida? No. Vrtice repetido? Sim v2 e v3. Comea e termina no mesmo

vrtice? Sim v2. Circuito.

v2v3v4v5v6v2 Aresta repetida? No. Vrtice repetido? Sim v2. Comea e termina no mesmo

vrtice? Sim v2. Circuito simples.



v

e

2e3e

4e

5e

7e

9e

8e

1v

4v3v

6e

6v 5v

e102

1

Que tipo de caminhamento ? v2v3v4v5v6v3v2

Aresta repetida? Sim e3. Vrtice repetido? Sim v2 e v3. Comea e termina no mesmo

vrtice? Sim v2. Caminho fechado.

v1 Aresta repetida? No. Vrtice repetido? No. Comea e termina no mesmo

vrtice? Sim v1. Caminho (circuito) trivial.


Fecho transitivo direto

Definio: O fecho transitivo direto (FTD) de um vrtice v o conjunto de todosos vrtices que podem ser atingidos por algum caminho iniciando em v.

Exemplo: O FTD do vrtice v5 do grafo ao lado o conjunto {v1, v2, v3, v4, v5, v6}. Note queo prprio vrtice faz parte do FTD j que ele alcanvel partindo-se dele mesmo.

2v

4v 6v

7v

5v

3v1v


Fecho transitivo inverso

Definio: O fecho transitivo inverso (FTI) de um vrtice v o conjunto de todosos vrtices a partir dos quais se pode atingir v por algum caminho.

Exemplo: O FTI do vrtice v5 do grafo abaixo o conjunto {v1, v2, v4, v5, v7}. Note que o pr-prio vrtice faz parte do FTI j que dele podealcanar ele mesmo.

2v

4v 6v

7v

5v

3v1v


Conectividade (1)

Informalmente um grafo conexo (conectado) se for possvel caminhar de qual-quer vrtice para qualquer outro vrtice atravs de uma sequncia de arestasadjacentes.

Definio: Seja G um grafo. Dois vrtices v e w de G esto conectados sseexiste um caminho de v para w. Um grafoG conexo sse dado um par qualquerde vrtice v e w em G, existe um caminho de v para w. Simbolicamente,

G conexo vrtices v, w V (G), um caminho de v para w.

Se a negao desta afirmao for tomada, possvel ver que um grafo no conexo sse existem dois vrtices em G que no esto conectados por qualquercaminho.


Conectividade (2)

v 6v3v 4v2v

1v

1G

5

Grafo conexo.

v 3v

2v 4v 6v

8v 7v

5v

2G

1v

3v

2v

5v

4v

6v

3G

1

Grafos no conexos.


Conectividade (3)Lemas

Seja G um grafo.

(a) Se G conexo, ento quaisquer dois vrtices distintos de G podem serconectados por um trajeto simples (simple path).

(b) Se vrtices v e w so parte de um circuito de G e uma aresta removidado circuito, ainda assim existe um trajeto de v para w em G.

(c) Se G conexo e contm um circuito, ento uma aresta do circuito pode serremovida sem desconectar G.


Conectividade (4)

Os grafos

v 3v

2v 4v 6v

8v 7v

5v

2G

1v

3v

2v

5v

4v

6v

3G

1

possuem trs partes cada um, sendo cada parte um grafo conexo.

Um componente conexo de um grafo um subgrafo conexo de maior tamanhopossvel.


Componente conexo (1)

Definio: Um grafo H um componente conexo de um grafo G sse:

1. H um subgrafo de G;2. H conexo;3. Nenhum subgrafo conexo I de G tem H como um subgrafo e I contm

vrtices ou arestas que no esto em H.

Um grafo pode ser visto como a unio de seus componentes conexos.


Componente conexo (2)

Os componentes conexos do grafo G abaixo so:

v 2v

3v 4v 8v

6v 7v

5v

1e 2e

5e 3e

4e1

G possui trs componentes conexos:

H1 : V1 = {v1, v2, v3} E1 = {e1, e2}H2 : V2 = {v4} E2 = H3 : V3 = {v5, v6, v7, v8} E3 = {e3, e4, e5}


Componente fortemente conexo (conectado)

Um grafo dirigido G = (V,E) fortemente conexo se cada dois vrticesquaisquer so alcanveis a partir um do outro.

Os componentes fortemente conexos de um grafo dirigido so conjuntos devrtices sob a relao so mutuamente alcanveis.

Um grafo dirigido fortemente conexo tem apenas um componente fortementeconexo.

v

3v 0v

1v

4v

5v2

Os componentes fortemente conexos do grafo ao lado so:

H1 : V1 = {v0, v1, v2, v3}H2 : V2 = {v4}H3 : V3 = {v5}

Observe que {v4, v5} no um componente fortemente co-nexo j que o vrtice v5 no alcanvel a partir do vrtice

v4.


Circuito Euleriano (1)

Definio: Seja G um grafo. Um circuito Euleriano um circuito que contmcada vrtice e cada aresta de G. uma sequncia de vrtices e arestas ad-jacentes que comea e termina no mesmo vrtice de G, passando pelo menosuma vez por cada vrtice e exatamente uma nica vez por cada aresta de G.



Teorema: Se um grafo possui um circuito Euleriano, ento cada vrtice do grafotem grau par.

Prova: Suponha que G um grafo que tem um circuito Euleriano. [Deve-se mostrar que

qualquer vrtice v de G tem grau par.]

Seja v um vrtice particular de G mas escolhido aleatoriamente. O circuito Euleriano possui cada aresta de G incluindo todas as arestas inci-

dentes a v. Vamos imaginar um caminho que comea no meio de uma das arestas ad-

jacentes ao incio do circuito Euleriano e continua ao longo deste circuito etermina no mesmo ponto.



v2v

3v

4v5v

0

1v

Par de arestas entrada/sada

Par de arestas entrada/sada

Comece aqui

Prova (continuao): Cada vez que o vrtice v visitado atravs de uma aresta de entrada, este

vrtice deixado j que o caminho termina no meio de uma aresta. J que cada circuito Euleriano passa em cada aresta de G exatamente uma

nica vez, cada aresta incidente a v visitada uma nica vez neste processo. Como o caminho que passa por v feito atravs de arestas incidentes a v na

forma de pares entrada/sada, o grau de v deve ser mltiplo de 2. Isto significa que o grau de v par. [O que devia ser mostrado.]



O contrapositivo deste teorema (que logicamente equivalente ao teorema ori-ginal) :

Teorema: Se algum vrtice de um grafo tem grau mpar, ento o grafo no temum circuito Euleriano.

Esta verso do teorema til para mostrar que um grafo no possui umcircuito Euleriano.

e

7

4e

2v 1 3v

2e5e6e

1v 3e 4v

e

Vrtices v1 e v3 possuem grau 3 e, assim, no possuem um circuito Euleriano.



Revisitando o problema das sete pontes da cidade de Knigsberg.

A

B

C

D

Problema: possvel que uma pessoa faa um percurso na cidade de tal formaque inicie e volte a mesma posio passando por todas as pontes somente umanica vez?

No. Todos os vrtices tm grau mpar.UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 96


No entanto, se cada vrtice de um grafo tem grau par, ento o grafo tem umcircuito Euleriano?

No. Por exemplo, no grafo abaixo todos os vrtices tm grau par, mas comoo grafo no conexo, no possui um circuito Euleriano.

v

1v

1e

2e

3v

4v

3e

4e

2



Teorema: Se cada vrtice de um grafo no vazio tem grau par e o grafo conexo,ento o grafo tem um circuito Euleriano.

Prova: [Esta uma prova construtivista, ou seja, apresenta um algoritmo para achar um circuitoEuleriano para um grafo conexo no qual cada vrtice tem grau par.]

Suponha que G um grafo conexo no vazio e que cada vrtice de G temgrau par. [Deve-se achar um circuito Euleriano para G.] Construa um circuito C usando o algoritmo descrito a seguir.

PASSO 1:

Escolha qualquer vrtice v de G. [Este passo pode ser executado j que pela supo-sio o conjunto de vrtices de G no vazio.]



Prova (continuao):

PASSO 2:

Escolha uma sequncia qualquer de vrtices e arestas adjacentes, come-ando e terminando em v, sem repetir arestas. Chame o circuito resultantede C.

[Este passo pode ser executado pelas seguintes razes: Como o grau de cada vrtice de G par, possvel entrar num vrtice qualquer que no

seja o v por arestas de entrada e sada no visitadas ainda. Assim, uma sequncia de arestas adjacentes distintas pode ser obtida enquanto o vrtice v

no seja alcanado. Esta sequncia de arestas deve voltar em v j que existe um nmero finito de arestas.

]



Prova (continuao):

PASSO 3: Verifique se C contm cada aresta e vrtice de G. Se sim, C umcircuito Euleriano e o problema est terminado. Caso contrrio, execute ospassos abaixo.



Prova (continuao):

PASSO 3A:

Remova todas as arestas do circuito C do grafo G e quaisquer vrtices quese tornaram isolados quando as arestas de C so removidas.

Chame o grafo resultante de G.

[Note que G pode no ser conexo, como ilustrado abaixo, mas cada vrtice de G tem grau

par, j que removendo as arestas de C remove um nmero par de arestas de cada vrtice e a

diferena de dois nmeros pares par.]

G:

uv

w

C

G



Prova (continuao):

PASSO 3B:

Escolha qualquer vrtice w comum a ambos C e G.

[Deve haver pelo menos um vrtice deste tipo j que G conexo. Na figura abaixo existem

dois vrtices deste tipo: u e w.]

G:

uv

w

C

G



Prova (continuao):

PASSO 3C:

Escolha uma sequncia qualquer de vrtices e arestas adjacentes, come-ando e terminando em w, sem repetir arestas. Chame o circuito resultantede C.

[Este passo pode ser executado j que o grau de cada vrtice de G par e G finito. Veja a

justificativa para o passo 2.]



Prova (continuao):

PASSO 3D:

Agrupe C e C para criar um novo circuito C como segue: Comece em v e siga em direo a w. Percorra todo o circuito C e volte a w. Caminhe pela parte de C no percorrida ainda at o vrtice v.

[O efeito de executar os passos 3C e 3D para o grafo anterior mostrado abaixo.]

C

uv

w

G:

C

C



Prova (continuao):

PASSO 3E:

Seja C C e retorne ao passo 3.

[Como o grafo G finito, a execuo dos passos deste algoritmo termina, com a construo de

um circuito Euleriano para G. Como diferentes escolhas podem ser feitas, diferentes circuitos

podem ser gerados.]



Determine se o grafo abaixo tem um circuito Euleriano. Em caso positivo acheum circuito Euleriano para o grafo.

g

i

d

c

e h

f ja

b

Os vrtices a, b, c, f, g, i, j tm grau 2. Os vrtices d, e, h tm grau 4. Pelo teorema anterior, este grafo possui um circuito Euleriano.



Seja v = a e seja

C : abcda.

i

bg

jd

c

e h

fa

3

1

4

2

C no um circuito Euleriano para este grafo, mas C possui uma intersecocom o restante do grafo no vrtice d.



Seja C : deghjid. Agrupe C a C para obter

C : abcdeghjida.

Seja C C. Ento C pode ser representado pelas arestas rotuladas no grafoabaixo:

g

d

c

e h

f j

i

a

b 2

1

5

3

6

7

8

9

10

4

C no um circuito Euleriano para este grafo, mas C possui uma intersecocom o restante do grafo no vrtice e.



Seja C : efhe. Agrupe C a C para obter

C : abcdefheghjida.

Seja C C. Ento C pode ser representado pelas arestas rotuladas no grafoabaixo:

i

d

c

e h

f ja

bg

92

4

11

5

10

6

13

7

12

8

1

3

C inclui cada aresta do grafo exatamente uma nica vez e, assim, C umcircuito Euleriano para este grafo.



Teorema: Um grafo G tem um circuito Euleriano sse G conexo e cada vrticede G tem grau par.

Definio: Seja G um grafo e seja v e w dois vrtices de G. Um Trajeto Euleri-ano de v para w uma sequncia de arestas e vrtices adjacentes que comeaem v, termina em w e passa por cada vrtice deG pelo menos uma vez e passapor cada aresta de G exatamente uma nica vez.

Corolrio: Seja G um grafo e dois vrtices v e w de G. Existe um trajeto Eu-leriano de v para w sse G conexo e v e w tm grau mpar e todos os outrosvrtices de G tm grau par.


Trajeto Euleriano (1)

Uma casa possui uma diviso representada pela planta abaixo. possvel umapessoa sair do cmodo A, terminar no cmodo B e passar por todas as portasda casa exatamente uma nica vez? Se sim, apresente um possvel trajeto.

K

J

IA

B

C D

G

F

H

E


Trajeto Euleriano (2)

A planta da casa pode ser representada pelo grafo abaixo:

J

I

E

K

H

F

G

DC

B

A H

F

G

DC

B

A

J

I

E

K

Cada vrtice deste grafo tem um grau par, exceto os vrtices A e B que tmgrau 1. Assim, pelo corolrio anterior, existe um trajeto Euleriano de A para B.

AGHFEIHEKJDCBUFMG/ICEx/DCC MD Grafos 112

Circuito Hamiltoniano (1)

William Hamilton (1805

1865), matemtico irlands. Contri-

buiu para o desenvolvimento da p-

tica, dinmica e lgebra. Em particu-

lar, descobriu a lgebra dos quaterni-

ons. Seu trabalho provou ser signifi-

cante para o desenvolvimento da me-

cnica quntica.

Em 1859, props um jogo na forma de umdodecaedro (slido de 12 faces).


Circuito Hamiltoniano (2)Jogo proposto por Hamilton

Cada vrtice recebeu o nome de uma cidade: Londres, Paris, Hong Kong, NewYork, etc. O problema era: possvel comear em uma cidade e visitar todasas outras cidades exatamente uma nica vez e retornar cidade de partida?

O jogo mais fcil de ser imaginado projetando o dodecaedro no plano:


Circuito Hamiltoniano (3)Jogo proposto por Hamilton

Uma possvel soluo para este grafo :

Definio: Dado um grafo G, um Circuito Hamiltoniano para G um circuitosimples que inclui cada vrtice de G, ou seja, uma sequncia de vrtices adja-centes e arestas distintas tal que cada vrtice de G aparece exatamente umanica vez.


Comentrios sobre circuitos Euleriano eHamiltoniano (1)

Circuito Euleriano: Inclui todas as arestas uma nica vez. Inclui todos os vrtices, mas que podem ser repetidos, ou seja, pode no

gerar um circuito Hamiltoniano.

Circuito Hamiltoniano: Inclui todas os vrtices uma nica vez (exceto o inicial = final). Pode no incluir todas as arestas, ou seja, pode no gerar um circuito

Euleriano.


Comentrios sobre circuitos Euleriano eHamiltoniano (2)

possvel determinar a priori se um grafo G possui um circuito Euleriano.

No existe um teorema que indique se um grafo possui um circuito Hamil-toniano nem se conhece um algoritmo eficiente (polinomial) para achar umcircuito Hamiltoniano.

No entanto, existe uma tcnica simples que pode ser usada em muitos casospara mostrar que um grafo no possui um circuito Hamiltoniano.


Determinando se um grafo no possui um circuitoHamiltoniano (1)

Suponha que um grafo G tenha um circuito Hamiltoniano C dado por:

C : v0e1v1e2 . . . vn1envn

Como C um circuito simples, todas as arestas ei so distintas e todos osvrtices so distintos, exceto v0 = vn.

Seja H um subgrafo de G que formado pelos vrtices e arestas de C, comomostrado na figura abaixo (H o subgrafo com as linhas grossas).



Se um grafo G tem um circuito Hamiltoniano ento G tem um subgrafo H comas seguintes propriedades:

1. H contm cada vrtice de G;2. H conexo;3. H tem o mesmo nmero de arestas e

de vrtices;4. Cada vrtice de H tem grau 2.

Contrapositivo desta afirmao: Se um grafo G no tem um subgrafo H com propriedades (1)(4) ento G

no possui um circuito Hamiltoniano.



Prove que o grafo G abaixo no tem um circuito Hamiltoniano.

a

e

c

d

b

Se G tem um circuito Hamiltoniano, ento G tem um subgrafo H que:

1. H contm cada vrtice de G;2. H conexo;3. H tem o mesmo nmero de arestas e de vrtices;4. Cada vrtice de H tem grau 2.



a

e

c

d

b

Em G, grau(b) = 4 e cada vrtice de H tem grau 2; Duas arestas incidentes a b devem ser removidas de G para criar H; Qualquer aresta incidente a b que seja removida far com que os outros vr-

tices restantes tenham grau menor que 2;

Consequentemente, no existe um subgrafo H com as quatro propriedadesacima e, assim, G no possui um circuito Hamiltoniano.


O Problema do Caixeiro Viajante (1)

Em ingls, Traveling Salesman Problem, ou TSP.

Suponha o mapa abaixo mostrando quatro cidades (A,B,C,D) e as distn-cias em km entre elas.

A

C

D

B

40

50 35

25

30

30

Um caixeiro viajante deve percorrer um circuito Hamiltoniano, ou seja, visitarcada cidade exatamente uma nica vez e voltar a cidade inicial.

Que rota deve ser escolhida para minimizar o total da distncia percorrida?



Possvel soluo: Enumere todos os possveis circuitos Hamiltonianos comeando e termi-

nando em A; Calcule a distncia de cada um deles; Determine o menor deles.

Rota Distncia (km)

ABCDA 30+ 30+ 25+ 40 = 125

ABDCA 30+ 35+ 25+ 50 = 140

ACBDA 50+ 30+ 35+ 40 = 155

ACDBA 50+ 25+ 35+ 30 = 140

ADBCA 40+ 35+ 30+ 50 = 155

ADCBA 40+ 25+ 30+ 30 = 125

A

C

D

B

40

50 35

25

30

30

Assim, tanto a rota ABCDA ou ADCBA tem uma distncia total de 125km.



A soluo do TSP um circuito Hamiltoniano que minimiza a distncia to-tal percorrida para um grafo valorado arbitrrio G com n vrtices, onde umadistncia atribuda a cada aresta.

Algoritmo para resolver o TSP: Atualmente, fora bruta, como feito no exemplo anterior. Problema da classe NP-Completo.

Exemplo: para o grafo K30 existem

29! 8,84 1030

circuitos Hamiltonianos diferentes comeando e terminando num determinadovrtice.

Mesmo se cada circuito puder ser achado e calculado em apenas 1s, serianecessrio aproximadamente 2,8 1017 anos para terminar a computaonesse computador.UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 124

Representao de um grafo

Dado um grafo G = (V,E): V = conjunto de vrtices. E = conjunto de arestas, que pode ser representado pelo subconjunto deV V .

O tamanho da entrada de dados medido em termos do: Nmero de vrtices |V |. Nmero de arestas |E|.

Se G conexo ento |E| |V | 1.


Representao de um grafoConvenes

Conveno I (Notao): Dentro e somente dentro da notao assinttica os smbolos V e E signifi-

cam respectivamente |V | e |E|. Se um algoritmo executa em tempo O(V +E) equivalente a dizer que

executa em tempo O(|V |+ |E|).

Conveno II (Em pseudo-cdigo): O conjunto V de vrtices de G representado por V [G]. O conjunto E de arestas de G representado por E[G]. Os conjuntos V e E so vistos como atributos de G.


Representao de um grafoEstruturas de dados

Matriz de adjacncia: Forma preferida de representar grafos densos (|E| |V |2). Indica rapidamente (O(1)) se existe uma aresta conectando dois vrtices.

Lista de adjacncia: Representao normalmente preferida. Prov uma forma compacta de representar grafos esparsos (|E| |V |2).

Matriz de incidncia: Representao que inclui vrtice e aresta.

As duas primeiras formas acima so as principais formas de representar umgrafo.


Representao de um grafoMatriz de adjacncia e grafo dirigido (1)

Seja o grafo dirigido abaixo:

e

2e

4e 5e

6e

1v

2v

3v

3e

1

Este grafo pode ser representado por uma ma-triz A = (aij), onde (aij) representa o nmerode arestas de vi para vj. Matriz de Adjacncia

v1 v2 v3

v1

A = v2v3

1

1

1

0

1

0

0

2

0



Definio: Seja G um grafo dirigido com vrtices v1, v2, . . . , vn. A matriz deadjacncia de G a matriz A = (aij) (A[1 . . . n,1 . . . n]) definida como:

aij = # de arestas de vi para vj, i, j = 1,2, . . . , n.

Valor diferente de zero na diagonal principal: lao.

Valor igual a 1 na entrada (aij): uma nica aresta de vi a vj.

Valores maiores que 1 na entrada (aij): arestas paralelas de vi a vj.

Espao: O(V 2).



v

3v

1e

3e

4e

5e

2v

2e

1

v1 v2 v3

v1

A = v2v3

0

0

2

0

1

1

0

1

0

v

1e

2e 3e

4e

5e

1v3v

2

v1 v2 v3

v1

A = v2v3

1

1

0

1

0

0

0

2

0



Dada a matriz de adjacncia de umgrafo:

v1 v2 v3 v4

A =

v1

v2

v3

v4

0

1

0

2

1

1

0

1

1

0

1

0

0

2

1

0

Um possvel desenho deste grafo :

v

4v3v

v1 2


Representao de um grafoMatriz de adjacncia e grafo no dirigido

Definio: Seja G um grafo no dirigido com vrtices v1, v2, . . . , vn. A matrizde adjacncia de G a matriz A = (aij) sobre o conjunto dos inteiros nonegativos tal que

aij = # de arestas conectando vi a vj, i, j = 1,2, . . . , n.

Dado o grafo:

v

3e

4e5e

3v4v

2v2e

7e

6e

1e

1

A matriz de adjacncia correspon-dente :

v1 v2 v3 v4

A =

v1

v2

v3

v4

0

1

0

1

1

1

2

1

0

2

0

0

1

1

0

1


Representao de um grafoMatriz de adjacncia e componentes conexos

Dado o grafo:

v3v

2v

3e

2e

4e

1e

1

v4v

6e

5e

5

v

6v

7e 8e

7

A matriz de adjacncia correspondente :

A =

1 0 1 0 0 0 0

0 0 2 0 0 0 0

1 2 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 1 1 0 0

0 0 0 0 0 0 2

0 0 0 0 0 2 0

A matriz A consiste de blocos de diferentes tamanhosao longo da diagonal principal, j que o conjunto de vr-tices disjunto.


Representao de um grafoMatriz de adjacncia: Anlise

Deve ser utilizada para grafos densos, onde |E| prximo de |V |2 (|E| |V |2).

O tempo necessrio para acessar um elemento independente de |V | ou |E|.

muito til para algoritmos em que necessitamos saber com rapidez se existeuma aresta ligando dois vrtices.

A maior desvantagem que a matriz necessita O(V 2) de espao.

Ler ou examinar a matriz tem complexidade de tempo O(V 2).


Representao de um grafoUso de matriz de adjacncia

Quando usada, a maior parte dos algoritmos requer tempo O(V 2), mas exis-tem excees.

Seja um grafo dirigido que contm um vrtice sink, ou seja, um vrtice com: Grau de entrada (in-degree) = |V | 1 Grau de sada (out-degree) = 0 No existe uma aresta loop

Apresente um algoritmo para determinar se um grafo dirigido possui um vr-tice sink em tempo O(V ) usando uma matriz de adjacncia.


Representao de um grafoNmero de vrtices sink num grafo dirigido

Quantos vrtices sink um grafo dirigido G = (V,E) possui no mximo? No mximo 1.

Prova por contradio: Suponha que si e sj sejam vrtices sink. Deve existir uma aresta de todos os ns do grafo G para si e sj, exceto loops. Em particular deve existir uma aresta (si, sj) e uma aresta (sj, si) j que si

e sj so vrtices sink. Isto no pode ocorrer j que o grau de sada de um vrtice sink 0.

Logo, se existir um vrtice sink no grafo G no mximo 1.


Representao de um grafoMatriz de incidncia

Definio: Seja G um grafo no dirigido com vrtices v1, v2, . . . , vn e arestas e1, e2, . . . , em. Amatriz de incidncia de G a matriz M = (mij) de tamanho n m sobre o conjunto dosinteiros no negativos tal que

mij =

{1 quando a aresta ej incidente a vi.0 caso contrrio.

Dado o grafo:

v

3e

4e5e

3v4v

2v2e

7e

6e

1e

1

A matriz de incidncia correspondente :

e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7

M =

v1

v2

v3

v4

1

0

0

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

0

0

1

0

1

0

1


Representao de um grafoLista de adjacncia

Vetor Adj de |V | listas, uma para cada vrtice de V .

Para cada vrtice u V , a lista Adj [u] contm apontadores para todos osvrtices v tal que a aresta (u, v) E (todos os vrtices adjacentes a u emG). Definio vale para grafos no dirigidos e dirigidos.

|V |i=1 comprimento da lista de adjacncia, vale:

Grafo dirigido = |E|, cada aresta aparece uma nica vez na lista. Grafo no dirigido = 2|E|, cada aresta aparece duas vezes na lista (entrada

de u e entrada de v).

Espao: O(V + E).


Representao de um grafoLista de adjacncia e grafo dirigido (1)

Seja o grafo dirigido abaixo:

e

2e

4e 5e

6e

1v

2v

3v

3e

1

Este grafo pode ser representado por uma listade adjacncia Adj :

Adj[v1] = [v1]

Adj[v2] = [v1, v2, v3, v3]

Adj[v3] = [v1]

Adj

v

3v

1v 1v

1v

3v3v2v1v2


Representao de um grafoLista de adjacncia e grafo dirigido (2)

v

3v

1e

3e

4e

5e

2v

2e

1

Este grafo pode ser representadopela lista de adjacncia:

Adj[v1] = []

Adj[v2] = [v2, v3]

Adj[v3] = [v1, v1, v2]

v

1e

2e 3e

4e

5e

1v3v

2

Este grafo pode ser representadopela lista de adjacncia:

Adj[v1] = [v1, v2]

Adj[v2] = [v1, v3, v3]

Adj[v3] = []


Representao de um grafoLista de adjacncia e grafo no dirigido

Dado o grafo:

v

3e

4e5e

3v4v

2v2e

7e

6e

1e

1

Uma lista de adjacncia correspon-dente :

Adj[v1] = [v2, v4]

Adj[v2] = [v1, v2, v3, v3, v4]

Adj[v3] = [v2, v2]

Adj[v4] = [v1, v2, v4]


Contando caminhos de tamanho n (1)

O tamanho (comprimento) de um caminho o nmero de arestas do mesmo,ou seja, nmero de vrtices menos um.

Dado o grafo

e 4e

2v

3v

1v

1e

2e

3

O caminho

v2e3v3e4v2e2v2e3v3

tem tamanho 4.

Quantos caminhos distintos de tamanho 2 exis-tem conectando v2 a v2?

v2e1v1e1v2v2e2v2e2v2v2e3v3e4v2v2e4v3e3v2v2e3v3e3v2v2e4v3e4v2

Existem seis caminhosdistintos.



Quantos caminhos distintos de tamanho n existem conectando dois vrtices deum dado grafo G? Este valor pode ser computado usando multiplicao de matrizes.

Seja o grafo:

e 4e

2v

3v

1v

1e

2e

3

A matriz de adjacncia correspondente :

v1 v2 v3

v1

A = v2v3

0

1

0

1

1

2

0

2

0



O valor de A2 dado por: 0 1 01 1 20 2 0

0 1 01 1 20 2 0

= 1 1 21 6 22 2 4

Observe que a22 = 6, que o nmero de caminhosde tamanho 2 de v2 para v2.

e 4e

2v

3v

1v

1e

2e

3

Se A a matriz de adjacncia de um grafo G, a entrada aij da matriz A2

indica a quantidade de caminhos de tamanho 2 conectando vi a vj no grafoG.

Este resultado vlido para caminhos de tamanho n calculando An.


Isomorfismo de grafos (1)

Os desenhos abaixo

v

2v

3v4v

5v

1e5e

4e 2e

3e

1v

4v

2v5v

3v

1e

2e

3e

4e

5e

1

representam o mesmo grafo G: Conjuntos de vrtices e arestas so idnticos; Funes arestavrtice so as mesmas.

Grafos isomorfos (do grego, o que significa a mesma forma).UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 145


G Gv

2v

3v4v

5v

1e5e

4e 2e

3e

1 v

3v

5v4v

2v

1e4e

2e 3e

5e

1

Vrtices de

v

1v

2v

3v

4v

5v

1v

3v

4v

5v

Vrtices de G G

2

G

e

1e

2e

3e

4e

5e

1e

3e

4e

5e

Arestas de Arestas de G

2

Estes grafos so diferen-tes apesar de possurem osmesmos conjuntos de vrti-ces e arestas.

As funes arestavrticeno so as mesmas.



Definio: Sejam os grafos G e G com conjuntos de vrtices V (G) e V (G)e com conjuntos de arestas E(G) e E(G), respectivamente. O grafo G isomorfo ao grafo G sse existem correspondncias um-para-um

g : V (G) V (G)

h : E(G) E(G)

que preservam as funes aresta-vrtice de G e G no sentido que

v V (G) e E(G)

v um n terminal de e g(v) um n terminal de h(e).



Os grafos

G G

v

3v

4v

1e

4e

5e

7e

6e

2v

5v

3e2e1

w

5w

2f

2w

4f

5f

3f

7f

1f

3w

4w6f

1

so isomorfos?



Para resolver este problema,devemos achar funes

g : V (G) V (G)e

h : E(G) E(G)tal que exista a correspon-dncia como mencionadoanteriormente.

Grafos G e G so iso-morfos.

G G

v

3v

4v

1e

4e

5e

7e

6e

2v

5v

3e2e1

w

5w

2f

2w

4f

5f

3f

7f

1f

3w

4w6f

1

g

w

1v

2v

3v

4v

5v

1w

3w

4w

5w

V(G) V(G)

2

E(G)

f

1e

2e

3e

4e

5e

1f

3f

4f

5f

7e

6e 6f

7f

hE(G)

2



Os grafos

G G

v

2v3v

4v 5v

0v

2e

3e 1e

4e

6e

5e7e

0e

10e

9e

11e

8e

7v 6v

1

w 2w3w

7w4w

0w0f 1f 2f

3f

4f 5f 6f

7e

8f 9f 10f 11f

5w 6w

1

so isomorfos?



Para resolver este problema,devemos achar funes

g : V (G) V (G)e

h : E(G) E(G)tal que exista a correspon-dncia como mencionadoanteriormente.

Grafos G e G so iso-morfos.

G Gv

2v3v

4v 5v

0v

2e

3e 1e

4e

6e

5e7e

0e

10e

9e

11e

8e

7v 6v

1

w 2w3w

7w4w

0w0f 1f 2f

3f

4f 5f 6f

7e

8f 9f 10f 11f

5w 6w

1

V(G)

w

1v

2v

3v

4v

5v

1w

3w

4w

5w

6v 6w

g

0v 0w

V(G)

2

E(G)

e

7e

8e

9e

10e

11e

0e

1e

2e

4e

5e

3e

7f

6f

8f

9f

10f

11f

1f

0f

2f

3f

4f

5f

hE(G)

6



Isomorfismo de grafos uma relao de equivalncia no conjunto de grafos.

Informalmente, temos que esta propriedade : Reflexiva: Um grafo isomorfo a si prprio. Simtrica: Se um grafo G isomorfo a um grafo G ento G isomorfo aG.

Transitiva: Se um grafo G isomorfo a um grafo G e G isomorfo a G

ento G isomorfo a G.


Representantes de classes de isomorfismo (1)

Ache todos os grafos no isomorfos que tm dois vrtices e duas arestas.

(a) (b) (c) (d)

Existe um algoritmo que aceita como entrada os grafos G e G e produz comoresultado uma afirmao se estes grafos so isomorfos ou no? Sim. Gere todas as funes g e h e determine se elas preservam as fun-

es arestavrtice de G e G.


Representantes de classes de isomorfismo (2)

Se G e G tm cada um n vrtices e m arestas, o nmero de funes g n!e o nmero de funes h m!, o que d um nmero total de n! m! funes.

Exemplo para n = m = 20. Temos 20! 20! 5,9 1036 pares a verificar. Assumindo que cada combinao possa ser achada e calculada em ape-

nas 1s, seria necessrio aproximadamente 1,9 1023 anos para termi-nar a computao nesse computador.


Invariantes para isomorfismo de grafos (1)

Teorema: Cada uma das seguintes propriedades uma invariante para isomor-fismo de dois grafos G e G, onde n,m e k so inteiros no negativos:

1. Tem n vrtices;2. Tem m arestas;3. Tem um vrtice de grau k;4. Tem m vrtices de grau k;5. Tem um circuito de tamanho k;6. Tem um circuito simples de tamanho k;7. Tem m circuitos simples de tamanho k;8. conexo;9. Tem um circuito Euleriano;

10. Tem um circuito Hamiltoniano.

Isto significa que seG isomorfo aG ento seG tem uma destas propriedadesG tambm tem.



Os grafos

GG

so isomorfos?

No. G tem nove arestas e G tem oito arestas.



Os grafos

HH

so isomorfos?

No. H tem um vrtice de grau 4 e H no tem.


Isomorfismo de grafos simples (1)

Definio: Se G e G so grafos simples (sem arestas paralelas e sem laos)ento G isomorfo a G sse existe uma correspondncia g um-para-um doconjunto de vrtices V (G) de G para o conjunto de vrtices V (G) de G quepreserva a funo arestavrtice de G e de G no sentido que

vrtices u, v G

uv uma aresta de G {g(u), g(v)} uma aresta de G.



Os grafos

z

b

c

d

a w y

G G

x

so isomorfos?



z

b

c

d

a w y

G G

x

Sim, so isomorfos.

z

V(G) V(G)g

a

b

c

d

w

x

y

A funo g preserva a funo arestavrticede G e de G:

Arestas de G Arestas de G

ab yw = {g(a), g(b)}ac yx = {g(a), g(c)}ad yz = {g(a), g(d)}cd xz = {g(c), g(d)}


rvore

Definio: Uma rvore (tambm chamada de rvore livre) um grafo no diri-gido acclico e conexo.


Floresta

Definio: Uma floresta um grafo no dirigido acclico podendo ou no serconexo.


rvore geradora (1)

Suponha que uma companhia a-rea recebeu permisso para voarnas seguintes rotas:

C

D

N

S L

I

M

A

No entanto, por questes de econo-mia, esta empresa ir operar ape-nas nas seguintes rotas:

C

D

N

S L

I

M

A

Este conjunto de rotas interconectatodas as cidades.

Este conjunto de rotas mnimo? Sim! Qualquer rvore deste grafo possui oito vrtices e sete arestas.


rvore geradora (2)

Definio: Uma rvore geradora de um grafo G um grafo que contm cadavrtice de G e uma rvore.

Esta definio pode ser estendida para floresta geradora.

Proposio: Cada grafo conexo tem uma rvore geradora. Duas rvores geradores quaisquer de um grafo tm a mesma quantidade

de arestas.


rvore geradora (3)

Seja o grafo G abaixo

v0v 2v

3v4v5v

1

Este grafo possui o circuito v2v1v4v2.

A remoo de qualquer uma das trs arestas docircuito leva a uma rvore.

Assim, todas as trs rvores geradoras so:

v0v 2v

3v4v5v

1 v0v 2v

3v4v5v

1 v0v 2v

3v4v5v

1


rvore geradora mnima ouMinimal Spanning Tree (1)

O grafo de rotas da companhia a-rea que recebeu permisso paravoar pode ser rotulado com as dis-tncias entre as cidades:

83

D

N

S

I

M

A

C695

242

355

74

262

269

348

306230

151

L

Suponha que a companhia desejavoar para todas as cidades masusando um conjunto de rotas queminimiza o total de distncias per-corridas:

230

D

N

S

I

M

A

C

242

355

74

262

151

L83

Este conjunto de rotas interconectatodas as cidades.


rvore geradora mnima (2)

Definio: Um grafo com peso um grafo onde cada aresta possui um pesorepresentado por um nmero real. A soma de todos os pesos de todas asarestas o peso total do grafo. Uma rvore geradora mnima para um grafocom peso uma rvore geradora que tem o menor peso total possvel dentretodas as possveis rvores geradoras do grafo.

Se G um grafo com peso e e uma aresta de G ento: w(e) indica o peso da aresta e, e w(G) indica o peso total do grafo G.


Algoritmos para obter a rvore geradora mnima

Algoritmo de Kruskal.

Algoritmo de Prim.

Grafo inicial:

83

D

N

S

I

M

A

C695

242

355

74

262

269

348

306230

151

L

rvore geradora mnima:

230

D

N

S

I

M

A

C

242

355

74

262

151

L83


Algoritmo de Kruskal (1)

Idia bsica: Seleciona a aresta de menor peso que conecta duas rvores de uma flo-

resta. Repita o processo at que todos os vrtices estejam conectados sempre

preservando a invariante de se ter uma rvore.


Algoritmo de Prim Idia bsica:

Tomando como vrtice ini-cialA, crie uma fila de priori-dades classificada pelos pe-sos das arestas conectandoA.

Repita o processo at quetodos os vrtices tenhamsido visitados.


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