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Algoritmos e Estruturas de Dados

LEE – 2013/14

Teoria de Grafos e Algoritmos em Grafos – 1ª Parte

Grafos - O que é um grafo?

AED (IST/DEEC) 2

Objecto abstracto

Dois tipos de entidades

Nós ou Vértices

Ramos ou Arestas

Vértices representam

Cidades, pessoas, máquinas,

números, etc

Arestas representam

Existência de ligações entre nós,

valor da ligação entre nós,

distância entre nós, etc

Grafos - Motivação

AED (IST/DEEC) 3

Mapas

caminhos mais curtos; caminhos

mais baratos.

Circuitos Eléctricos

existência de curto-circuitos;

existência de cruzamento entre

ligações.

Sequenciamento

tarefas a executar por um

conjunto de recursos sujeitas a

restrições de carácter

tecnológico.

Emparelhamento

processamento de imagem

estéreo; atribuição de pessoas a

lugares.

Redes de dados

computadores ligados entre si,

enviando e recebendo

mensagens; existência de ligação

entre quaisquer nós;

redundância.

Estrutura de Programas

grafos gerados por

compiladores representando a

estrutura de chamadas;

Grafos – Definições (1)

AED (IST/DEEC) 4

Definição – Um grafo é um conjunto de vértices e um

conjunto de arestas que ligam pares de vértices distintos (com

nunca mais que uma aresta a ligar qualquer par de vértices).

Definição – Dois vértices ligados por uma aresta dizem-se

adjacentes.

Definição – Uma aresta que ligue dois vértices diz-se incidente

de cada um dos vértices.


AED (IST/DEEC) 5

Definição – O número de arestas incidentes num vértice diz-

se o grau desse vértice.

Definição – O subconjunto de arestas e vértices a elas

associados diz-se um sub-grafo do grafo original.

Definição – Uma sequência de vértices na qual os vértices

sucessivos estão ligados por arestas do grafo diz-se um

caminho.


AED (IST/DEEC) 6

Definição – Num caminho simples os vértices e arestas são

distintos.

Definição – Um caminho em que todos os vértices e arestas

são distintos, excepto para o primeiro e último que são iguais,

diz-se um ciclo.

Definição – Dois caminhos simples dizem-se disjuntos se não

possuírem vértices comuns, excepto possivelmente para os

vértices extremos.


AED (IST/DEEC) 7

Definição – Um grafo diz-se ligado se existir um caminho de

cada vértice para todos os outros vértices do grafo.

Definição – Um grafo que não seja ligado é constituído por

componentes ligadas, que se dizem sub-grafos ligados

máximos.

Definição – Um grafo ligado acíclico, i.e. sem ciclos, diz-se uma

árvore.


AED (IST/DEEC) 8

Definição – Um conjunto de árvores diz-se uma floresta.

Definição – A árvore de suporte de um grafo ligado é um sub-

grafo que contém todos os vértices e é uma árvore.

Definição – A floresta de suporte de um grafo é um sub-grafo

que contém todos os seus vértices e é uma floresta.

Grafos – Propriedades em árvores

AED (IST/DEEC) 9

Um grafo G de V vértices é uma árvore se e só se satisfizer

qualquer das seguintes condições:

G tem V-1 arestas e nenhum ciclo.

G tem V-1 arestas e é ligado.

Existe apenas um caminho simples a unir quaisquer dois vértices.

G é ligado mas retirando uma só aresta faz com que deixe de o ser.

Grafos – Exemplos (1)

AED (IST/DEEC) 10

Os vértices 6 e 7 são adjacentes.

Os vértices 4 e 6 não são adjacentes.

O vértice 7 tem grau quatro.

1

4

2

7 6

5 8

3

G


AED (IST/DEEC) 11

G’ é um sub-grafo de G, gerado a partir das arestas a cheio.

O vértice 5 não pertence a G’.

G é um grafo ligado; G’ não é.

O sub-grafo G’ é constituído por um grafo completo com três

vértices e por uma árvore com quatro vértices

1

4

2

7 6

5 8

3

G’


AED (IST/DEEC) 12

Caminho: 1-2-4-5-7-8

1

4

2

7 6

5 8

3

G

Ciclo: 3-4-5-6-7-8-3

1

4

2

7 6

5 8

3

G


AED (IST/DEEC) 13

G’’: árvore de suporte de G.

1

4

2

7 6

5 8

3

G’’

Grafos - Definições e Propriedades (1)

AED (IST/DEEC) 14

Definição – Um grafo diz-se completo quando existe uma

aresta ligando qualquer par de vértices.

Propriedade – Um grafo com V vértices possui, no máximo,

V(V-1)/2 arestas.

Definição – Um grafo G’ diz-se complemento do grafo G

quando se obtém a partir de um grafo completo com o

mesmo número de vértices de G, retirando-lhe todas as

arestas de G.


AED (IST/DEEC) 15

Definição – Um grafo que possua um número de arestas

próximo do número máximo diz-se denso.

Definição – Um grafo cujo complemento seja denso diz-se

esparso.

Definição – Densidade de um grafo: 2E/V, em que E é o

número de arestas e V o de vértices.

Definição – A um sub-grafo completo dá-se o nome de clique.


AED (IST/DEEC) 16

Definição – Um grafo que possua a propriedade de ser

possível dividir os vértices em dois conjuntos tais que todas as

arestas apenas ligam vértices de um conjunto a vértices do

outro conjunto diz-se bipartido.

Definição – Quando existe um sentido atribuído às arestas, os

grafos dizem-se direccionados, dirigidos ou digrafos.

Definição – O primeiro vértice de uma aresta direccionada

diz-se fonte e o segundo diz-se destino.


AED (IST/DEEC) 17

Propriedade – Apenas os vértices destino são adjacentes dos

vértices fonte.

Definição – Um ciclo direccionado num digrafo é um ciclo em

que todos os pares de vértices adjacentes surgem pela ordem

especificada pelas arestas.

Definição – Um digrafo sem ciclos direccionados diz-se grafo

direccionado acíclico, ou DAG (Directed Acyclic Graph).


AED (IST/DEEC) 18

Definição – Quando se atribuem pesos às arestas,

representando custo, distância, etc., diz-se que o grafo é

ponderado.

Também é possível atribuir pesos aos próprios vértices, ou a pares

vértice/aresta.

Definição – Grafos ponderados direccionados, dizem-se redes.

Grafos - Interface ADT para Grafos (1)

AED (IST/DEEC) 19

Os algoritmos para processamento de grafos serão

desenvolvidos no contexto de uma ADT que define as tarefas

de interesse.

A nossa primeira interface elementar é tal que:

O número de vértices e arestas são especificados por inteiros;

Uma aresta é definida por um par de inteiros, designando os

vértices que une;

O número de vértices é limitado superiormente.

Esta interface irá sendo alargada à medida das necessidades.

Grafos - Interface ADT para Grafos (2)

AED (IST/DEEC) 20

typedef struct edge Edge;

Edge *EDGE(int, int);

typedef struct graph Graph;

Graph *GRAPHinit(int);

void GRAPHinsertE(Graph *G, Edge*);

void GRAPHremoveE(Graph *G, Edge*);

int GRAPHedges(Edge a[], Graph *G);

Graph *GRAPHcopy(Graph G*);

void GRAPHdestroy(Graph G*);

Graphinit cria grafo com o

número final de vértices, sem

arestas.

GraphinsertE insere uma

aresta, caso não exista.

GraphremoveE retira uma

aresta, caso exista.

Graphedges conta o número

de arestas.

Graphcopy cria uma segunda

cópia do grafo.

Graphdestroy faz o inverso de

Graphinit.

Grafos - Matriz de Adjacências (1)

AED (IST/DEEC) 22

Matriz de Adjacências

Matriz (VxV) de valores booleanos;

A entrada correspondente à linha v e coluna w é 1 se existir uma aresta

ligando estes dois vértices;

A mesma entrada vale 0 caso contrário;

A matriz é simétrica, excepto para digrafos, em que poderá não sê-lo.

Grafos - Matriz de Adjacências (2)

AED (IST/DEEC) 23

1

4

2

7 6

5 8

3

G

Grafo

1 2 3 4 5 6 7 8

1 1 1 0 1 0 0 0 0

2 1 1 0 1 0 0 0 0

3 0 0 1 1 0 0 1 1

4 1 1 1 1 1 0 0 0

5 0 0 0 1 1 1 1 0

6 0 0 0 0 1 1 1 0

7 0 0 1 0 1 1 1 1

8 0 0 1 0 0 0 1 1

Matriz

Matriz V V simétrica

Grafos - Implementação de ADT (1)

AED (IST/DEEC) 24

#include <stdlib.h>

#include “GRAPH.h”

struct graph {int V; int E; int **adj;};

struct edge {int v; int w;};

Graph *GRAPHinit(int V)

{

Graph *G = (Graph*) malloc(sizeof(struct graph));

G->V = V; G->E = 0;

G->adj = MATRIXint(V, V, 0);

return G;

}

void GRAPHinsertE(Graph *G, Edge *e){

int v = e->v, w = e->w;

if (G->adj[v][w] == 0) G->E++;

G->adj[v][w] = 1;

G->adj[w][v] = 1;

}


AED (IST/DEEC) 25

void GRAPHremoveE(Graph *G, Edge *e)

{

int v = e->v, w = e->w;

if (G->adj[v][w] == 1) G->E--;

G->adj[v][w] = 0;

G->adj[w][v] = 0;

}

int GRAPHedges(Edge a[], Graph G*)

{

int v, w, E = 0;

for (v = 0; v < G->V; v++)

for (w = v+1; w < G->V; w++)

if (G->adj[v][w] == 1)

a[E++] = EDGE(v, w);

return E;

}

Grafos – Síntese da Aula 1

AED (IST/DEEC) 26

Introdução

Definição de grafo

Motivação aplicacional

Definições e notação

Propriedades elementares em grafos

Exemplos

Definições e propriedades

Grafos completos, complemento de um grafo, densidade, cliques, grafos bipartidos, grafos direccionados, ciclos em grafos direccionados, grafos ponderados, redes.

Estrutura abstracta de dados para grafos

Interface elementar

Representação de um grafo

Matriz de adjacências

Grafos - Listas de Adjacências (1)

AED (IST/DEEC) 27

Listas de Adjacências

Cada vértice possui uma lista ligada;

Os elementos constituintes da lista de um vértice são os seus vértices

adjacentes;

Em grafos simples, se os vértices v e w são adjacentes, então w pertence

à lista de v e v pertence à lista de w.

Tabela com V listas*

de arestas

Grafos - Lista de Adjacências (2)

AED (IST/DEEC) 28

1

4

2

7 6

5 8

3

G

Grafo Lista de Adjacências

4 1 2

4 1 2

3 8 7

8 4 3 7

2 1 3 4 5

6 4 5 7

5 6 7

6 3 5 7 8

* V ponteiros para lista


AED (IST/DEEC) 29

#include <stdlib.h>

#include “GRAPH.h”

typedef struct node link;

struct node {int v; link *next;};

struct graph{int V; int E; link **adj;};

link NEW(int v, link *next)

{

link *x = (link *) malloc(sizeof(struct node));

x->v = v;

x->next = next;

return x;

}


AED (IST/DEEC) 30

Graph GRAPHinit(int V)

{

int v;

Graph *G = (Graph*) malloc(sizeof(struct graph));

G->V = V;

G->E = 0;

G->adj = (link **) malloc(V * sizeof(link*));

for (v = 0; v < V; v++)

G->adj[v] = NULL;

return G;

}

void GRAPHinsertE(Graph *G, Edge *e)

{

int v = e->v, w = e->w;

G->adj[v] = NEW(w, G->adj[v]);

G->adj[w] = NEW(v, G->adj[w]);

G->E++;

}


AED (IST/DEEC) 31

void GRAPHremoveE(Graph *G, Edge *e)

{

/* Fica como exercício */

}

int GRAPHedges(Edge a[], Graph *G)

{

int v, E = 0;

link t;

for (v = 0; v < G->V; v++)

for (t = G->adj[v]; t != NULL; t = t->next)

if (v < t->v )

a[E++] = EDGE(v, t->v);

return E;

}

Grafos - Vantagens das M. de Adj.

AED (IST/DEEC) 32

Representação de eleição quando

há espaço disponível;

os grafos são densos;

os algoritmos requerem mais que V2 operações.

Adição e remoção de arestas é feita de forma eficiente;

É fácil evitar a existência de arestas paralelas;

É fácil determinar se dois vértices estão ou não ligados.

Grafos - Inconvenientes das M. de Adj.

AED (IST/DEEC) 33

Grafos esparsos de grande dimensão requerem espaço de

memória proporcional a V2;

Neste casos, a simples inicialização do grafo (proporcional a

V2) pode ser dominante na execução global do algoritmo;

Pode nem sequer existir memória suficiente para armazenar a

matriz.

Grafos - Vantagens das L. de Adj.

AED (IST/DEEC) 34

Inicialização é proporcional a V.

Utiliza sempre espaço proporcional a V+E

adequado para grafos esparsos.

algoritmos que assentem na análise de arestas em grafos esparsos.

Adição de arestas é feita de forma eficiente.

Grafos - Inconvenientes das L. de Adj.

AED (IST/DEEC) 35

Arestas paralelas e adjacência entre vértices

requer que se pesquise as listas de adjacências, o que pode levar um

tempo proporcional a V.

Remoção de arestas

pode levar um tempo proporcional a V (este problema pode ser

contornado).

Não aconselhável para

grafos de grande dimensão que não podem ter arestas paralelas;

grande utilização de remoção de arestas.

Grafos - Variantes e Extensões (1)

AED (IST/DEEC) 36

Outros tipos de grafos

Digrafos

ambas facilmente extensíveis;

arestas representadas só uma vez;

Grafos ponderados e redes

M. de Adj. preenchida com pesos;

L. De Adj. com campos extra para representação dos pesos.

Grafos - Variantes e Extensões (2)

AED (IST/DEEC) 37

Alteração da estrutura de dados

Tipo “EDGE” contendo informação adicional, para além dos vértices que

liga.

Vectores indexados pelos vértices

Manutenção da informação do grau do vértice.

Vector de arestas

Forma alternativa de representação de grafos.

Grafos - Representações alternativas

AED (IST/DEEC) 38

Três mecanismos básicos de representação de grafos

Vector de arestas;

Matriz de adjacências;

Listas de adjacências.

Produzem diferentes desempenhos ao nível das operações de

manipulação.

Escolha deverá depender do problema a resolver.

Grafos – Desempenho Relativo

AED (IST/DEEC) 39

V. de Arestas M. de Adj. L. de Adj.

Espaço E V2 V+E

Inicialização 1 V2 V

Cópia E V2 E

Destruição 1 V E

Inserir aresta 1 1 1

Encontrar aresta E 1 V

Remover aresta E 1 V

Vértice isolado? E V 1

Caminho de u a v? Elg*V V2 V+E

Grafos - Encontrar e remover arestas (1)

AED (IST/DEEC) 40

Eficientes em representações por matriz de adjacências.

Como torná-las eficientes para as outras representações?

Atribuir um símbolo inteiro a cada aresta

Aresta v-w fica com o símbolo v*V+w.

Por exemplo, fazer uso de tabelas de dispersão (“hash-tables”)

Quando uma aresta é inserida, é fácil testar se o símbolo já foi

usado.

Grafos - Encontrar e remover arestas (2)

AED (IST/DEEC) 41

Remoção em digrafos

ponteiro na tabela de dispersão para a sua representação na lista de

adjacências;

requer listas duplamente ligadas.

Remoção em grafos simples

colocação de ambos os ponteiros na tabela de dispersão;

ou ponteiro entre os vértices.

Grafos – Procura (1)

AED (IST/DEEC) 43

Algumas propriedades simples em grafos são fáceis de

determinar, independentemente da ordem pela qual se

examinam as arestas.

Ex: grau de todos os vértices.

Outras propriedades estão associadas a caminhos, pelo que se

torna necessário identificá-las através de pesquisa feita de

vértice em vértice ao longo das arestas.

A maioria dos algoritmos em grafos que consideraremos usam

este modelo abstracto básico.

Torna-se então necessário analisar o essencial dos algoritmos

de procura em grafos e suas propriedades estruturais.

Grafos – Procura (2)

AED (IST/DEEC) 44

Procurar em grafos é equivalente a percorrer labirintos

Necessário marcar pontos já visitados

Ser-se capaz de recuar, num caminho efectuado, até ao ponto de partida.

Os vários algoritmos de procura em grafos mais não fazem

que executar uma determinada estratégia de procura em

labirintos.

Procura em profundidade primeiro (DFS – “Depth-first-search”).

Admite duas implementações: recursiva e com uso de pilha explícita.

Substituindo a pilha por uma fila FIFO, transforma-se em procura em

largura primeiro (BFS – “Breadth-first-search”).

Grafos – Exploração de labirintos (1)

AED (IST/DEEC) 45

Teseu, Ariadne e o seu pequeno problema com o Minotauro

Desenrolar um rolo de fio para poder voltar ao princípio

Marcar os lugares já visitados para evitar repetição.

Nós e os grafos

Existem lâmpadas, inicialmente apagadas, em cada encruzilhada – vértice.

Cada corredor – aresta – possui um par de portas, inicialmente fechadas,

no início e no fim deste.

As portas têm janelas que nos permitem ver se a porta do lado oposto

está ou não fechada e se a luz da encruzilhada correspondente está ou

não acesa.

O objectivo é regressar à encruzilhada inicial tendo aberto todas as

portas e acendido todas as luzes.

Necessitamos um conjunto de regras que garanta que tal acontece.

Grafos – Exploração de labirintos (2)

AED (IST/DEEC) 46

Estratégia – Exploração de Tremaux

1. Abrir uma qualquer porta que esteja fechada e dê acesso a uma saída da

presente encruzilhada (deixá-la aberta). Se todas as portas estiverem

abertas, saltar para 3.

2. Se a partir da porta que foi aberta for visível que a encruzilhada em que

o corredor termina foi acesa, abrir outra porta (passo 1). Caso contrário

(a encruzilhada está às escuras), seguir o corredor, desenrolando o fio,

até essa encruzilhada, acender a luz e voltar ao passo 1.

3. Se todas as portas estão abertas na presente encruzilhada, verificar se é

a primeira visitada. Se sim, parar. Se não, usar o fio para recuar até à

última encruzilhada visitada e voltar ao passo 1.

Grafos – Exemplo de execução (DFS)

AED (IST/DEEC) 47

2

6

4

3

5

7 1

0

Acende a luz no primeiro

vértice e abre a primeira

porta (do vértice 0 para

o vértice 2) e segue em

frente abrindo sempre a

única porta existente (até

ao vértice 4).

Escolhe uma das portas e

continua seguindo em

frente enquanto não

houver escolha.

No vértice 5 todas as

portas conduzem a

corredores que dão

acesso a vértices de luz

acesa.

Recua até ao último

vértice que ainda possui

portas por abrir.

Neste vértice (4), a única

porta que dá acesso a

pontos não visitados leva-

nos para o vértice 7.

Chegados ao vértice 1,

não há mais portas por

abrir, pelo que inicia o

processo de recuo.

No vértice 4 já estão

todas as portas abertas,

pelo que tem que

continuar a recuar.

No vértice 0 ainda há

portas por abrir.

No vértice 0 já não há

portas por abrir.

Grafos – Estratégia de Tremaux

AED (IST/DEEC) 58

Propriedade – Quando se usa a estratégia de exploração de labirintos de Tremaux abrem-se todas as portas, acendem-se todas as luzes e termina-se no local de partida.

Demonstração (esboço): Prova-se por indução, mostrando primeiro ser verdade para um labirinto

com apenas uma encruzilhada e nenhum corredor – basta acender a única luz.

Para um labirinto com mais que uma encruzilhada assume-se ser verdade para todos os labirintos menores com menos encruzilhadas.

Bastará mostrar que se visitam todas as intersecções, dado que se abrem todas as portas de cada uma delas.

Considere-se o primeiro corredor tomado.

O grafo fica dividido em dois sub-grafos: as intersecções que se visitam sem regressar à origem; e as que só são visitáveis regressando ao ponto de partida.

Grafos – DFS

AED (IST/DEEC) 59

Notar que a estratégia de procura de Tremaux, mais não é que

procura em profundidade primeiro.

O algoritmo procede sempre abrindo uma porta e afastando-

se da origem, até que chega a um ponto em que não pode

abrir mais portas, tendo então que recuar até ao último ponto

onde deixou, pelo menos, uma porta por abrir.

Se ao recuar nunca encontrar portas por abrir, acabará

regressando ao ponto de partida, dado que o fio que

desenrolou no caminho descendente, lhe permite esse

regresso.

Grafos – Síntese da Aula 2

AED (IST/DEEC) 60

Representação de um grafo Listas de adjacência; Implementações da estrutura abstracta de dados

Comparação das representações alternativas Vantagens e inconvenientes das matrizes de adjacência; Vantagens e

inconvenientes das listas de adjacência

Variantes e extensões Grafos direccionados, ponderados e redes; Outras representações

Comparação das representações alternativas Memória e tempo de execução

Procura em grafos

Analogia com a exploração de labirintos; Estratégia de Tremaux

Procura em profundidade - DFS Exemplo de execução

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