GRANDEZAS ESCALARES Fundamentos da Matemática II … · 1.1 Grandezas Escalares e Vetoriais 1.2...

TÓPI

CO

Licenciatura em ciências · USP/ Univesp

1.1 Grandezas Escalares e Vetoriais1.2 Representando vetores1.3 Operação com vetores

1.3.1 Multiplicação por um escalar (por um número)1.3.2 Soma de vetores1.3.3 Subtração de vetores

1.4 Extensão para muitos vetores1.4.1 Produtos de vetores1.4.2 Produto escalar de dois vetores1.4.3 Produto vetorial de dois vetores

1.5 Vetores como referenciais1.6 Referenciais mais gerais1.7 Vetores em coordenadas polares

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GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS1

Gil da Costa Marques

O material desta disciplina foi produzido pelo Centro de Ensino e Pesquisa Aplicada (CEPA) do Instituto de Física da Universidade de São Paulo (USP) para o projeto Licenciatura em Ciências (USP/Univesp).

Créditos

Coordenação de Produção: Beatriz Borges Casaro.

Revisão de Texto: Marcia Azevedo Coelho, Marina Keiko Tokumaru e Paulo Barroso.

Design Instrucional: Érika Arena, Fernanda Diniz Junqueira Franco, Gezilda Balbino Pereira, Juliana Moraes Marques Giordano, Marcelo Alves da Silva, Michelle Carvalho, Roberta Takahashi Soledade e Vani Kenski.

Projeto Gráfico e Diagramação: Daniella de Romero Pecora, Leandro de Oliveira, Priscila Pesce Lopes de Oliveira e Rafael de Queiroz Oliveira.

Ilustração: Alexandre Rocha, Aline Antunes, Benson Chin, Camila Torrano, Celso Roberto Lourenço, João Costa, Lidia Yoshino, Mauricio Rheinlander Klein e Thiago A. M. S.

Fotografia: Jairo Gonçalves.

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Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TERRA

Licenciatura em Ciências · USP/Univesp

1.1 Grandezas Escalares e VetoriaisAs grandezas físicas podem ser classificadas, em função de certas características, em três

grandes categorias: grandezas escalares, vetoriais e tensoriais. A distinção entre elas reside na

questão do número de atributos, ou dados, necessários para caracterizá-las.

Grandezas que requerem para sua inteira caracterização um conjunto de três informações,

ou atributos (as coordenadas, ou, no caso geral, suas componentes) são denominadas grandezas

vetoriais. A velocidade de uma partícula é um exemplo típico dessa situação, pois não basta

dizer que o veículo tem uma velocidade de, por exemplo, 40 km/h. Esse dado é apenas um dos

três necessários e ele recebe o nome de intensidade ou módulo da grandeza velocidade. Para

especificar inteiramente tal grandeza devemos fornecer ainda a direção e o sentido dela.

Por outro lado, existem grandezas físicas que requerem apenas um atributo seguido de uma

unidade de medida. Tais grandezas físicas são denominadas grandezas escalares. Por exemplo,

quando especificamos a temperatura de um objeto, basta um número seguido de uma unidade

de medida. Assim, se dissermos que um corpo tem uma temperatura de 37 °C, isso é tudo que

precisamos saber sobre tal grandeza.

Grandezas tensoriais como o stress aplicado a um corpo, ou o momento de inércia, requerem

um número maior do que 3 para sua inteira caracterização. Por exemplo, o momento de inércia

em geral requer um conjunto de 6 atributos.

Podemos utilizar dois conjuntos de atributos para especificar vetores. O primeiro deles é

mais simples, pois apela para aspectos geométricos ou gráficos das grandezas vetorias. O segun-

do deles faz uso do conceito, mais abstrato, de componentes de um vetor. Este é o conjunto de

atributos mais utilizado em cursos avançados. Apesar de não ser muito óbvio à primeira vista, os

dois são equivalentes. As duas formas são usualmente referidas como representações de vetores:

a representação gráfica ou geométrica e a representação analítica.

Para distingui-las das demais, as grandezas vetoriais, como posição, velocidade, força, aceleração

etc. serão representadas por meio de uma letra com uma flecha acima dela. Assim, temos:

1.1 r (o vetor posição), v (o vetor velocidade), a (o vetor aceleração), F

(o vetor força)

4

TÓPICO 1 Grandezas Escalares e Vetoriais


Como sempre, as grandezas escalares serão representadas apenas por letras, sem a referida flecha.

1.2

1.2 Representando vetoresUm vetor pode ser representado graficamente através de um segmento orientado (uma

flecha). A vantagem dessa representação é que ela permite especificar a direção (e esta é dada pela

reta que contém a flecha) e o sentido (especificado pela flecha). Além disso, o seu módulo (v) será

especificado pelo “tamanho” da flecha, a partir de alguma convenção para a escala da figura.

• Módulo é o atributo que caracteriza a intensidade da grandeza física. Requer, além de

um certo número de dígitos, uma unidade adequada de medida.

• Direção é o atributo que existe de comum

num feixe de retas paralelas. As retas r, s e t são paralelas e, assim, têm a mesma direção. As

retas t e w não são paralelas e, portanto, não têm

a mesma direção.

• Sentido: podemos percorrer uma direção em dois

sentidos. Por exemplo, sobre a reta y temos dois

sentidos de percurso: de A para B e de C para D.

Portanto, para cada direção existem dois sentidos.

Além da representação geométrica (ou gráfica) definida anteriormente, podemos fazer uso

da representação analítica do vetor. Nessa representação também utilizamos um conjunto de

três atributos de um vetor. Esses atributos são conhecidos como componentes do vetor. Em

geral, para a definição das componentes, a melhor alternativa – e a mais fácil – é usar um

conjunto de coordenadas cartesianas.

Dado um sistema de coordenadas cartesianas (composto de um conjunto de três eixos

ortogonais), podemos definir as componentes de um vetor nesse sistema de eixos tomando-se

as projeções do vetor ao longo desses eixos.

E (energia), T (temperatura), d (distância), M (massa)

Figura 1.1: Direção é aquilo que é comum a um feixe de retas.

5



As componentes vx e vy são definidas pelos produtos:

1.3

onde x é o ângulo formado pelo vetor v e o eixo x. Vide Figura 1.2.

Consideremos agora o vetor v no espaço tridimen-

sional. As componentes vx, vy e vz são dadas a seguir:

1.4

onde q é o ângulo formado pelo vetor v e o eixo Vz,

e o ângulo ϕ é aquele associado ao ângulo formado

pela projeção do vetor v no plano x-y e o eixo x.

Vide Figura 1.3.

1.3 Operação com vetoresLidar, operacionalmente, com grandezas escalares é muito fácil. Fazer adição de duas gran-

dezas escalares é simples. Por exemplo, 3 kg acrescidos de 2 kg resulta 5 kg.

Trabalhar com grandezas vetoriais já não é tão simples. Considere o caso da adição de duas

grandezas vetoriais. Como é possível adicionar grandezas que, além do módulo, têm direções e

sentidos diferentes? Ou ainda efetuar subtrações e multiplicações de grandezas vetoriais?

Somar grandezas vetoriais, bem como realizar as demais operações, é fundamental em Física.

Se aplicarmos duas forças a um corpo, qual será o resultado de sua adição? Certamente, não

podemos simplesmente somar os módulos.

Adição e subtração não são as únicas operações que realizamos com vetores. Introduzimos ainda

diferentes tipos de produtos. A seguir, definiremos essas operações fazendo uso das duas representações.

Figura 1.2: Componentes de um vetor.

cos

sen

x

y

ν = ν q

ν = ν q

Figura 1.3: Componentes de um vetor em 3D.

( )( )( )( )

sen cos

sen (sen )

cos

x

y

z

ν = ν q ϕ

ν = ν q ϕ

ν = ν ϕ

6



1.3.1 Multiplicação por um escalar (por um número)

Podemos multiplicar um vetor v por um número x. Dessa ope-

ração resulta um novo vetor (o vetor resultante R

):

1.5i

O vetor resultante tem os seguintes atributos:

• O módulo do novo vetor é o que resulta da multiplicação do módulo de x pelo módulo

de v, que é |v|:

1.6

• A direção do novo vetor é a mesma.

• O sentido de R

é o mesmo de v se o número x for positivo e, sentido oposto se x < 0.

Utilizando agora a representação analítica, o vetor resultante tem as seguintes componentes:

1.7

O vetor −v é igual ao valor v multiplicado por -1. Vide Figura 1.5.

1.3.2 Soma de vetores

Sejam 1v e 2v dois vetores. A soma desses vetores é um terceiro vetor, o vetor resultante v:

1.8

Figura 1.4: Multiplicando um vetor por dois.

R x= ν

R x= ν

, e x y y z zxR x R x R x= ν = ν = ν

Figura 1.5: O vetor −v é igual ao vetor v multiplicado por −1.

1 2ν = ν + ν

7



Para determinarmos o módulo, a direção e o

sentido desse vetor resultante, utilizamos a regra do

paralelogramo. Primeiramente, desenhamos o para-

lelogramo definido a partir dos vetores 1v e 2v . Vide

Figura 1.6.

• O módulo v do vetor resultante é tal que:

1.9i

Ou seja, o módulo do vetor resultante é dado pela medida da diagonal do paralelogramo

formado, e ϕ é o ângulo entre os dois vetores.

• Direção

Aquela da reta que contém a diagonal que passa pela origem comum.

• Sentido

A partir das origens dos dois vetores 1v e 2v .

O uso das componentes de um vetor facilita especialmente na adição e subtração de vetores.

Por exemplo, na soma de vetores, o vetor resultante v é tal que suas componentes são dadas pela

soma das componentes de 1v e 2v . Isto é:

1.10

1.3.3 Subtração de vetores

Consideremos os vetores 1v e 2v . A subtração de vetores resulta em um terceiro vetor r chamado diferença, cujas propriedades são inferidas a partir da soma dos vetores 1v e (− 2v ).

O vetor - 2v tem módulo e direção iguais ao do vetor 2v , mas tem o sentido oposto. Reduzimos

o problema da subtração de dois vetores ao problema da soma de 1v e – 2v .

Figura 1.6: Regra do paralelogramo.

2 2 22 2 21 2 1 2 1 2 1 22 cos 2 cosν ≡ ν = ν + ν + ν ν ϕ ≡ ν + ν + ν ν ϕ

1 2

1 2

x x x

y y y

ν = ν + νν = ν + ν

8



No caso da subtração, o vetor diferença tem suas componentes dadas pela subtração das

componentes v = 1v − 2v . Isto é:

1.11

Figura 1.7: Diferenças podem ser tratadas como somas de vetores.

1.4 Extensão para muitos vetoresA extensão das regras de adição e subtração para muitos vetores é bem simples. Se tivermos,

por exemplo, quatro vetores, o vetor resultante v será dado, utilizando-se a representação gráfica do

lado do polígono que é necessário para fechá-lo, uma vez colocados os vetores 1v , 2v ... 4v num plano,

um vetor depois do outro, começando sempre pela extremidade da flecha (Regra do Polígono).

Utilizando-se a representação em termos de componentes, escrevemos para a componente

do vetor resultante:

1.12

isto é, a componente do vetor resultante é a soma das componentes dos vetores que o compõem.

Figura 1.8: Posicionando-se os vetores, um em seguida ao outro, o vetor soma é aquele que fecha o polígono.

1 2

1 2

x x x

x x x

ν = ν − νν = ν − ν

1 2 3 4

1 2 3 4

x x x x x

y y y y y

v v v v vv v v v v

= + + += + + +

9



1.4.1 Produtos de vetores

Podemos introduzir dois tipos de produtos entre duas grandezas vetoriais.

O primeiro produto é conhecido como produto escalar de dois vetores. Esse nome decorre

do fato de que o resultado desse produto é uma grandeza escalar.

O segundo produto é denominado produto vetorial. Neste caso, o resultado do produto vetorial

é outro vetor.

1.4.2 Produto escalar de dois vetores

Sejam dois vetores a e b

. O produto escalar dos vetores a e b

, que representamos por a⋅b

,

é definido como sendo dado pelo produto dos módulos de cada um dos vetores multiplicado

pelo coseno do ângulo formado:

1.13

(lemos: a escalar b é igual ao módulo de a vezes o módulo de b, vezes o cosseno do ângulo θ formado entre os vetores a e b

).

Uma outra definição, inteiramente equivalente, é em termos das componentes dos vetores:

1.14

Por exemplo, o módulo ao quadrado de um vetor v é definido através do produto escalar v ⋅ v.

1.15

cosa b a b⋅ = ⋅ q

x x y y z za b a b a b a b⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅

2 2 2 2x y zν = ν ⋅ ν = ν + ν + ν

10



1.4.3 Produto vetorial de dois vetores

O produto vetorial de dois vetores a e b

, representado por v, é

um vetor indicado como a ∧ b

. Ou seja:

1.16i

As características desse vetor, na representação geométrica, são as seguintes:

• Direção - O vetor resultante desse produto tem a direção do

eixo perpendicular ao plano formado pelos vetores a e b

.

• Sentido - Para determinar o sentido do vetor resultante, use

sua mão direita (essa regra é conhecida como regra da mão

direita). Com os dedos da mão procure levar o vetor a até o

vetor b

. O sentido do vetor resultante será dado pelo polegar

da mão direita (vide Figura 1.10).

• Módulo - O módulo de v é dado pela expressão:

1.17

ou seja, o módulo de v

é dado pelo produto dos módulos de a e de b

vezes o seno do ângulo

entre os dois vetores.

Dentro do contexto da representação analítica, na qual os vetores são caracterizados pelas

suas componentes, o vetor v que resulta do produto vetorial de dois vetores, tem componentes

vx, vy, e vz dadas pelas expressões:

1.18

Figura 1.9: Dois vetores definem um plano que os contêm. a bν = ×

Figura 1.10: Regra da mão direita.

sen abν ≡ ν = q

x y z z y

y z x x z

z x y y x

a b a ba b a ba b a b

ν = −

ν = −

ν = −

11



1.5 Vetores como referenciaisUm ponto de origem e um conjunto de três vetores formam um referencial. Essa ideia, de

estender o conceito de referencial é de Weyl, expressa em seu livro Espaço, Tempo e Matéria. De

acordo com Weyl, um referencial é constituído por um ponto O e um conjunto de três vetores

denominados vetores da base do referencial . É, como se vê uma definição formal, baseada no

conceito de vetores.

Vamos introduzir primeiramente o referencial cartesiano. De acordo com Weyl, o

referencial cartesiano é consitituido por um ponto O e três vetores mui especiais denominados

1.19i

Tais vetores têm a mesma orientação dos eixos x, y e z. Eles

têm módulo 1 e, tendo em vista que os eixos são ortogonais, são

ortogonais entre si. Ou seja:

1.20i

Observe-se que nesse contexto simples estamos apenas trocando o conceito de três eixos

orientados por três vetores que têm a direção e o sentido dos eixos.

Nesse referencial, um vetor qualquer (V

) pode ser escrito como uma combinação linear dos

vetores i

, j

e k

:

1.21

Por exemplo, sendo a posição uma grandeza vetorial, o vetor posição no referencial carte-

siano considerado é dado por:

1.22

Figura 1.11: O referencial cartesiano generalizado.

, e i j k

1 0i j k i j i k j k= = = = = =

x y zV V i V j V k= + +

r xi yj zk= + +

12



Estabelecendo assim um novo sentido, o de projeção do vetor posição ao longo dos eixos,

para as coordenadas x, y e z. As grandezas Vx, Vy e Vz são denominadas componentes do vetor V

no referencial cartesiano.

Nesse referencial definimos as componentes de um vetor como os produtos escalares deles

pelos vetores da base:

1.23

A definição acima mostra que, pela definição de produto escalar de vetores, as componentes

são projeção dos vetores ao longo dos respectivos eixos.

Utilizando esse referencial, fica muito fácil lidar com vetores, uma vez que as operações

com tais grandezas se simplificam muito. Por exemplo, a soma (ou diferença) de dois vetores se

escreve como:

1.24

Para o produto escalar de dois vetores temos:

1.25

Efetuando o produto escalar de cada um dos termos acima, de acordo com as propriedades

dos vetores da base, obtemos:

1.26

O que ilustra a enorme utilidade do uso de um referencial baseado em vetores com as

propriedades apresentadas em 1.23.

Das propriedades 1.26 segue que o módulo de um vetor é definido como:

1.27

x y zV i V V i V V k V= = =

( ) ( ) ( )1 2 1 1 1 2 2 2

1 2 1 2 1 2 x y z x y z

x x y y z z

V V V i V j V k V i V j V k

V V i V V j V V k

+ = + + + + +

= + + + + +

( ) ( )1 2 1 1 1 2 2 2x y z x y zV V V i V j V k V i V j V k= + + + +

( )1 2 1 2 1 2 1 2x x y y z zV V V V V V V V= + +

2 2 2x y zV V V V V V≡ = + +

13



Utilizando a base de vetores 1.19, podemos introduzir uma nova definição de produto

vetorial de dois vetores. Ou seja, o produto vetorial dos vetores A

e B

é um terceiro vetor,

C

, cuja notação é:

1.28

Definido a partir do determinante:

1.29

A conclusão é que por meio da introdução de referenciais baseados em conjunto de vetores

temos um método formal de representar, e efetuar operações envolvendo grandezas vetoriais,

além da posição de um objeto puntiforme.

1.6 Referenciais mais geraisO referencial cartesiano definido em termos de três vetores da base não é único. Um re-

ferencial arbitrário, nessa nova definição de referencial, consiste em um ponto de origem – O – e três vetores da base não necessariamente ortogonais entre si. Isso nos levará a entender a

definição de componentes do vetor posição, força, velocidade e aceleração e outros vetores, em

novos referenciais.

O que dita a escolha desses novos referenciais tem a ver com a escolha de novas coordena-

das, definidas a partir das coordenadas cartesianas. Para cada escolha de coordenadas podemos

introduzir uma base de vetores 1e , 2e e 3e .

C A B= ×

det

x y z

x y z

i j kC A A A

B B B

=

14



Designando assim os vetores da base de um referencial

arbitrário por 1e , 2e e 3e , podemos agora definir um vetor

arbitrário nessa nova base por meio da combinação linear

entre os vetores da base:

1.30i

onde agora V1, V2 e V3 são as componentes do vetor

nesse novo referencial.

No sentido mais geral apresentado acima, utilizar coor-

denadas diferentes das coordenadas cartesianas, coordenadas

representadas agora por Q1, Q2 e Q3, leva a uma nova escolha de referencial. Ou seja, pressupõe

o uso de uma nova base de vetores. Esses vetores da base dependem das coordenadas. Assim,

escrevemos como base em argumentos gerais:

1.31

Existem métodos matemáticos que nos permitem, dadas as

coordenadas, determinar os vetores da base para os referenciais

correspondentes.

O vetor posição se escreve, num referencial arbitrário, como:

1.32i

onde x1, x2 e x3 são as coordenadas do vetor posição nesse referencial.

A seguir isso será ilustrado no caso do referencial polar.

Figura 1.12: Componente de um vetor numa base arbitrária.

1 1 2 2 3 3V V e V e V e= + +

( ) ( ) ( )1 1 1 2 3 2 2 1 2 3 3 3 1 2 3, , , = , , e , ,e e Q Q Q e e Q Q Q e e Q Q Q= =

Figura 1.13: Outra base de vetores.1 1 2 2 3 3r x e x e x e= + +

15



1.7 Vetores em coordenadas polares As coordenadas polares são definidas a partir das coordenadas cartesianas de acordo com

as expressões:

1.33

Ou, analogamente,

1.34

No caso das coordenadas polares os vetores da base (vetores de

módulo 1, versores, portanto) serão denominados eρ

e eϕ

, os quais

são definidos como:

1.35i

Note-se que tais vetores indicam, em cada ponto de uma circun-

ferência, a direção perpendicular a ela por aquele ponto e a direção

tangencial à circunferência, por um tal ponto.

Assim, um vetor V

será escrito, em coordenadas polares, como

1.36i

onde Vρ e Vφ são as componentes polares do vetor.

cossen

xy

= ρ ϕ= ρ ϕ

2 2

arctan

x yyx

ρ = +

ϕ =

Figura 1.14: Coordenadas polares.

Figura 1.15: Vetores da base do referencial polar.

cos sen

sen cos

e i j

e i jρ

ϕ

= ϕ + ϕ

= − ϕ + ϕ

V V e V eρ ρ ϕ ϕ= +

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