Grandezas Grandezas ProporcionaisProporcionais

Professor João GilbertoProfessor João Gilberto

Grandezas ProporcionaisGrandezas Proporcionais

1) A proporcionalidade entre grandezas1) A proporcionalidade entre grandezas

Vimos anteriormente que grandezagrandeza é tudo aquilo que pode ser medido, quantificado. Desta maneira, temos como exemplo de grandezas a temperatura, o comprimento, o consumo, a massa, o tempo e etc.

As grandezas podem ser classificadas de duas formas:

1)Grandezas diretamente proporcionais2)Grandezas inversamente proporcionais

Então, a partir de agora, vamos analisar estes dois casos através de alguns exemplos.

Grandezas ProporcionaisGrandezas Proporcionais

1) A proporcionalidade entre grandezas1) A proporcionalidade entre grandezasExemplo 1:

Para fazer uma torta de morango, uma doceria utiliza 0,5 gramas de farinha de trigo.

Número de tortas

1 2 3 4 5

Quantidade de farinha de

trigo0,5 1 1,5 2,0 2,5

Grandezas ProporcionaisGrandezas Proporcionais

1) A proporcionalidade entre grandezas1) A proporcionalidade entre grandezas

Quando duplicamos o número de tortas, a quantidade de farinha de trigo também duplica.

Número de tortas

1 2 3 4 5

Quantidade de farinha de

trigo0,5 1 1,5 2,0 2,5

Quando triplicamos o número de tortas, a quantidade de farinha de trigo também triplica, e assim por diante.

Neste caso, dizemos que as grandezas número de tortas e quantidade de farinha de trigo têm uma relação de proporcionalidade direta, ou seja, são grandezas diretamente proporcionais.

Grandezas ProporcionaisGrandezas Proporcionais1) A proporcionalidade entre grandezas1) A proporcionalidade entre grandezasExemplo 2:

Número de funcionários

1 2 3 4

Tempo (em horas)

6 3 2 1,5

Observe na tabela a seguir, a relação que há entre o número de tortas e a quantidade de farinha de trigo utilizada.

Suponhamos que nessa mesma doceria, 1 funcionário faça uma certa

quantidade de tortas em 6 horas. Devido a proximidade do natal, o proprietário

dessa doceria resolveu fabricar essa mesma quantidade de tortas num tempo

menor. Para isso, foi aumentando a quantidade de funcionários, de mesma

produtividade e trabalhando nas mesmas condições.

Grandezas ProporcionaisGrandezas Proporcionais

1) A proporcionalidade entre grandezas1) A proporcionalidade entre grandezasQuando duplicamos o número de funcionários, o número de horas fica reduzido pela metade.

Quando triplicamos o número de funcionários, o número de horas fica reduzido à terça parte, e assim, por diante.

Neste caso, dizemos que as grandezas número de funcionários e tempo têm uma relação de proporcionalidade inversa, ou seja, são grandezas inversamente proporcionais.

Número de funcionários

1 2 3 4

Tempo (em horas)

6 3 2 1,5

Grandezas ProporcionaisGrandezas Proporcionais2) Grandezas diretamente proporcionais2) Grandezas diretamente proporcionaisDuas grandezas são diretamente proporcionais quando a razão Duas grandezas são diretamente proporcionais quando a razão entre os valores da primeira é igual a razão entre os valores entre os valores da primeira é igual a razão entre os valores correspondentes da segunda.correspondentes da segunda.

Exemplo 3:

Mariana pesquisou sobre a produção de uma usina de açúcar e anotou o número de sacos de açúcar produzidos, no decorrer de cindo dias, montando a seguinte tabela:

Período de produção (em dias)

Produção de açúcar (em número de sacos)

1 5000

2 10000

3 15000

4 20000

5 25000

Grandezas ProporcionaisGrandezas Proporcionais2) Grandezas diretamente proporcionais2) Grandezas diretamente proporcionais

Observe que as razões entre os números da primeira coluna e os correspondentes da segunda coluna são iguais.

Período de produção (em dias)

Produção de açúcar (em número de sacos)

1 5000

2 10000

3 15000

4 20000

5 25000

1 2 3 4 5

5000 10000 15000 20000 25000

Todas as frações são redutíveis a uma mesma fração que é .1

5000

Grandezas ProporcionaisGrandezas Proporcionais2) Grandezas diretamente proporcionais2) Grandezas diretamente proporcionais

Dizemos então que:

Período de produção (em dias)

Produção de açúcar (em número de sacos)

1 5000

2 10000

3 15000

4 20000

5 25000

O número , que é a razão entre dois termos correspondentes em cada

coluna da tabela, é chamado de fator de proporcionalidade.

1

5000

os números 1, 2, 3, 4 e 5 são diretamente proporcionais aos números 5000, 10000, 15000, 20000 e 25000.

Grandezas ProporcionaisGrandezas Proporcionais3) Grandezas inversamente proporcionais3) Grandezas inversamente proporcionais

Razões inversas:Razões inversas:

Consideremos as razões e . Repare que o produto dessas duas

razões é igual a 1, pois:

3

4

4

3

3 41

4 3

Em situações semelhantes a esta, dizemos que as razões são

inversas.

Grandezas ProporcionaisGrandezas Proporcionais3) Grandezas inversamente proporcionais3) Grandezas inversamente proporcionaisDuas grandezas são inversamente proporcionais quando a razão Duas grandezas são inversamente proporcionais quando a razão entre os valores da primeira é igual ao inverso da razão entre os entre os valores da primeira é igual ao inverso da razão entre os valores correspondentes da segunda.valores correspondentes da segunda.

Exemplo 4:

Durante alguns dias, Cláudio anotou a velocidade média atingida pelo automóvel dele e o tempo gasto (em horas) para percorrer um determinado trajeto, obtendo a seguinte tabela:

Velocidade (em km/h) Tempo (em horas)

30 12

60 6

90 4

120 3

Grandezas ProporcionaisGrandezas Proporcionais3) Grandezas inversamente proporcionais3) Grandezas inversamente proporcionais

Velocidade (em km/h) Tempo (em horas)

30 12

60 6

90 4

120 3

Quando duplicamos a velocidade do automóvel, o número de horas fica reduzido pela metade.

Quando triplicamos a velocidade do automóvel, o número de horas fica reduzido à terça parte, e assim, por diante.

Por isso, as grandezas velocidadevelocidade e tempotempo são ditas inversamente inversamente proporcionaisproporcionais.

Grandezas ProporcionaisGrandezas Proporcionais3) Grandezas inversamente proporcionais3) Grandezas inversamente proporcionais

Observe que as razões entre os números da primeira coluna e os inversos dos números correspondentes na segunda coluna são iguais, ou seja:

Velocidade (em km/h) Tempo (em horas)

30 12

60 6

90 4

120 3

3030 12 360

112

9090 4 360

14

6060 6 360

16

120120 3 360

13

Grandezas ProporcionaisGrandezas Proporcionais3) Grandezas inversamente proporcionais3) Grandezas inversamente proporcionais

Velocidade (em km/h) Tempo (em horas)

30 12

60 6

90 4

120 3

Dizemos então que:

2) o número 360, que é o produto entre os números da primeira e os

correspondentes da segunda coluna da tabela, é chamado de fator de

proporcionalidade.

1) os números 30, 60, 90 e 120 são inversamente proporcionais aos números 12, 6, 4, e 3.