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Grandezas Vetoriais & Operações com Vetores

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Grandezas Vetoriais &

Operações com Vetores

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Escalares e Vetores

As Grandezas Físicas podem ser

ESCALARES ou VETORIAIS.• GRANDEZA ESCALAR

N° + PADRÃO DE MEDIDA

• GRANDEZA VETORIAL N° + PADRÃO + ORIENTAÇÃO

Ex.: comprimento; massa; tempo; temperatura; volume; pressão; energia; etc.

Ex.: deslocamento; velocidade; aceleração; força; torque; impulso; campos; etc.

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VETOR é um ente matemático

constituído de um módulo, direção e

sentido, utilizado em Física para

representar as grandezas vetoriais.

B

A(origem)

(extremidade: sentido)

“para onde”

V(vetor V)

RETA SUPORTE(DIREÇÃO)

OBS: módulo de | | ou V = medida do segmento de reta

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Comparação entre vetoresI – Vetores Equipolentes (ou Iguais)

• São vetores que apresentam as mesmas

características: mesmos módulos; mesmas

direções e mesmos sentidos.

= = ��

��

��São vetores iguais ou

equipolentes.

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II – Vetores Simétricos (ou Opostos)

• São vetores que apresentam mesmos

módulos; mesmas direções; porém,

apresentam sentidos contrários.

𝒙𝒚

𝒘 𝒛

= - São vetores simétricos ou opostos.

= - São vetores simétricos ou opostos.

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Componentes ortogonais de um vetorSão dados um vetor e um sistema

cartesiano com dois eixos

ortogonais x e y. Pode-se projetar a

origem e a extremidade do vetor em

cada eixo x e y, obtendo-se; assim,

suas componentes ortogonais

(perpendiculares) e .

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0x

y

��

��𝐱

��𝐲

: componente horizontal (ou

tangencial) de

: componente vertical (ou

normal) de

Método Geométrico da Decomposição Vetorial

OBS: Todo vetor apresenta duas componentes ortogonais.

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Método Analítico da Decomposição Vetorial

V

Vx

Vy

: ângulo de elevação do vetor V medido a partir da horizontal (referencial).= Vcos = Vsen

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Adição vetorial (Vetor-soma ou vetor-resultante “r”)

A adição vetorial é a operação

que permite calcular um único

vetor cujo efeito é equivalente ao

efeito produzido pelos vetores-

parcelas.Para representar o vetor-soma, pode-se

utilizar dois processos geométricos, que

podem ser aplicados indistintamente,

obtendo-se o mesmo resultado.

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MÉTODO DO POLÍGONO

MÉTODO DO PARALELOGRAMO

Na extremidade do 1º

vetor junta-se a origem do

2º vetor e assim por

diante. O vetor-soma liga

a origem do 1º vetor com

a extremidade do último

vetor.

Liga-se os vetores dados pela origem. Da extremidade de cada vetor, constrói-se um paralelogramo. A diagonal do paralelogramo, traçada a partir da origem dos vetores-parcelas, é o vetor-soma.

��𝟏 ��𝟐

��𝟏

��𝟐

��=��𝟏+��𝟐

��𝟏

��𝟐

��=��𝟏+��𝟐

��𝟏 ��𝟐

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Importante!

I) O módulo do vetor-soma de dois vetores só

será igual a zero se; e somente se, forem

simétricos.

II) O módulo do vetor-soma de três ou mais

vetores só será igual a zero se; e somente se, a

linha poligonal formada for fechada

(coincidência entre a extremidade do último

vetor com a origem do primeiro vetor).

S = 0

��+ ��+𝒄+��+ ��=��

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A.sen

A.cos

Método Analítico da Soma Vetorial

��

��

��

R² = A² + B² + 2 A B cos

R² = (B + Acos)² + (Asen)²

R²= B² + 2ABcos + A²cos² + A²sen²

R² = A²(sen² + cos²) + B² + 2ABcos

R

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Sendo assim, qualquer que seja a direção

entre os dois vetores-parcelas, o módulo do

vetor-resultante pertencerá ao intervalo:

| A – B | ≤ R ≤ A + B

Importante!I)

O vetor 0

e é o elemento neutro da soma de vetores.

Ele é um vetor com módulo zero.

Existe

tal queII)

a e a

e V

b V

0a b

tal que

Existe

O vetor b a

é o vetor simétrico da soma de vetores.

a

-a

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a b b a

III) A adição vetorial é comutativa, isto é, para quaisquer vetores e , temos:

IV) A adição vetorial é associativa, isto é, para quaisquer vetores , e , temos:

subtração vetorial (Vetor-diferença “D”)

Subtrair dois vetores consiste em somar o

primeiro vetor com o vetor-simétrico do

segundo.

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A soma de de um vetor a com um vetor

simétricodefine a subtração de vetores. Para realizá-la é suficiente

aplicar qualquer método geométrico a esses vetores:

a

��

��

a

��=��+(− ��)

Método Analítico da Subtração Vetorial

a

��

��

180° -

Identidade importante: cos(180° - ) = - cos

D² = a² + b² + 2a b cos(180° - ) D² = a² + b² + 2a b(- cos)

D² = a² + b² - 2 a b cos

��+(− ��) −��

−��

−��

−��

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RESUMO!

cos2²²²||:

cos2²²²||:

vuvuvuMenorDiagonal

vuvuvuMaiorDiagonal

APLICADACOSSENOSDOSLEI

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Produto de um vetor por um escalarSeja K um número real não nulo e um vetor não

nulo. A esse número e a esse vetor associamos um

vetor, que simbolizamos por K :

I. com a mesma direção de ;

II. com módulo igual ao módulo de K vezes o módulo

de ;

III. com o mesmo sentido de , se K é positivo, mas

com sentido oposto ao de , se K é negativo.

Entretanto, se K = 0 ou se a = 0, definimos K como

sendo o vetor-nulo.

a

a

a

a

a

a

a

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Versor de um VetorUm vetor que possui módulo igual a 1,

independente de sua direção e sentido, é

nomeado de “vetor unitário”.

Vetor no plano, em função dos versores dos eixos coordenados

Vamos associar um versor a cada eixo do plano cartesiano.

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Assim, o versor = (1, 0) no eixo dos x e

o versor = (0, 1) no eixo dos y,

conforme a figura ao lado:

* Decomposição vetorial em vetores unitários

ortogonais (forma linear de um vetor):

j3i3c

i2b

j3a

:respostas