GRASP aplicado ao problema de aterrissagem de aviões

GRASPAplicado ao problema de aterrissagem de avioes

Bruno FissKaue Silveira

Instituto de Informatica - UFRGS

23 de junho de 2010

Definicao do problema GRASP Experimentos

1 Definicao do problemaFormalizacaoDescricao como programa inteiroRepresentacao de uma solucao

2 GRASPAlgoritmoGeracao de solucoesBusca local

3 ExperimentosResultadosAnalise

Bruno Fiss Kaue Silveira UFRGS

Formalizacao

Descricao

O problema de aterrissagem de avioes consiste em definir ummomento no tempo para a aterrissagem de cada aviao i ∈ P, sendo Po conjunto de avioes. Cada aviao possui os seguintes dados:

Ei : Momento mais prematuro em que o aviao i pode realizar pouso.

Ti : Momento ideal para pouso do aviao i.

Li : Momento mais tardio em que o aviao i pode realizar pouso.

gi : Penalidade por unidade de tempo da diferenca do pouso para otempo ideal se o aviao chegar mais cedo do que o ideal.

hi : Penalidade por unidade de tempo da diferenca do pouso para otempo ideal se o aviao chegar mais tarde do que o ideal.

Sij : Distancia de tempo requerida apos o pouso do aviao i para que oaviao j possa pousar.

Formalizacao

Descricao

Formalizacao

Descricao

Formalizacao

Descricao

Formalizacao

Descricao

Formalizacao

Descricao

Formalizacao

Descricao

Formalizacao

Descricao

O objetivo e encontrar uma solucao com somatorio de todas aspenalidades mais baixo possıvel.

Descricao como programa inteiro

Variaveis

Variaveis xi representam o momento de aterrissagem do aviao i .

Variaveis αi e βi representam o quao adiantado ou atrasado,respectivamente, o aviao i chega em relacao ao seu tempo ideal.

TEi i Li ixβ i

Figura: Exemplo da variavel βi

Variaveis binarias δij indicam se o aviao i aterrissa antes do aviao j .

Variaveis

TEi i Li ixβ i

Variaveis

TEi i Li ixβ i

Restricoes

minimiza∑i∈P

giαi + hiβi

sujeito a xi = −αi + βi + Ti , ∀i ∈ P

Ei ≤ xi ≤ Li , ∀i ∈ P

xj − xi ≥ Sijδij + (Ej − Li )δji , ∀i , j ∈ P

δij + δji = 1, ∀i , j ∈ P

xi ≥ 0, xi ∈ R, ∀i ∈ P

αi ≥ 0, αi ∈ R, ∀i ∈ P

βi ≥ 0, βi ∈ R, ∀i ∈ P

δij ∈ B, ∀i , j ∈ P

Restricoes

As variaveis δij e as restricoes xj − xi ≥ Sijδij + (Ej − Li )δji , ∀i , j ∈ Ppodem ser desnecessarias de acordo com as relacoes entre os avioes i e j .

TE i i Li TE j j Lj

Figura: Diferentes situacoes entre avioes

Representacao de uma solucao

Variaveis inteiras

A parte mais complicada do problema esta na definicao das variaveisinteiras, δij .

A solucao do problema sera considerada a instanciacao dessasvariaveis, pois com essa podemos resolver o problema linearresultante, de forma eficiente, com o metodo Simplex.

Variaveis inteiras

A parte mais complicada do problema esta na definicao das variaveisinteiras, δij .

A solucao do problema sera considerada a instanciacao dessasvariaveis, pois com essa podemos resolver o problema linearresultante, de forma eficiente, com o metodo Simplex.

Sequencia de avioes

Para representar a solucao, decidimos utilizar uma representacao desequencia de avioes, na qual a ordem dos avioes diz a ordem dechegada desses ao aeroporto.

1 4 5 2 6 3

Figura: Uma sequencia de avioes

A partir dessa representacao podemos definir as variaveis δij , evice-versa.

Sequencia de avioes

1 4 5 2 6 3

Sequencia de avioes

1 4 5 2 6 3

Ideia geral

A ideia principal da meta-heurıstica GRASP e construir solucoesiniciais de uma forma gulosa porem aleatoria.

Em vez de selecionar-se o melhor elemento a ser inserido numasolucao, escolhe-se um entre alguns dos melhores de forma aleatoria.

Apos isso se faz uma busca local em torno da solucao inicial gerada.

A melhor solucao encontrada durante a execucao do algoritmo eretornada como resultado.

Ideia geral

Algoritmo

Funcao principal

p r o c e d i m e n t o GRASP( a lpha , semente )m e l h o r S o l u c a o = INF ;enquanto nao c r i t e r i o −de−parada f a c a

s o l = g e r a r S o l u c a o I n i c i a l ( a lpha , semente ) ;r e s = b u s c a L o c a l ( s o l ) ;s e r e s < m e l h o r S o l u c a o entao

m e l h o r S o l u c a o = r e s ;f im−s e ;

f im−enquanto ;r e t o r n a r m e l h o r S o l u c a o ;

f im−p r o c e d i m e n t o ;

Geracao de solucoes

Sequencia ideal

De forma a construir solucoes com um algoritmo semi-guloso foinecessario definir o conceito de sequencia ideal.

Essa sequencia serve de base para a determinacao de quais sao osmelhores elementos a serem inseridos em um dado passo do algoritmo.

Essa sequencia e incialmente definida como a ordem em que os avioeschegariam caso todos aterrissassem no seu momento ideal.

Cada vez que uma solucao melhor do que a atual e encontrada,durante a execucao do algoritmo, a sequencia ideal e atualizada paraa sequencia que gerou a nova solucao.

Geracao de solucoes

Sequencia ideal

Geracao de solucoes

Sequencia ideal

Geracao de solucoes

Sequencia ideal

Geracao de solucoes

Parametro α

Parametro do metodo GRASP que define o quao ”ruim”um elementopode ser e ainda assim ser selecionado.

Na nossa implementacao, esse parametro equivale a maxima distanciaaceitavel entre a posicao do aviao na sequencia ideal e a posicao a serpreenchida na solucao parcial.

Geracao de solucoes

Parametro α

Parametro do metodo GRASP que define o quao ”ruim”um elementopode ser e ainda assim ser selecionado.

Na nossa implementacao, esse parametro equivale a maxima distanciaaceitavel entre a posicao do aviao na sequencia ideal e a posicao a serpreenchida na solucao parcial.

Geracao de solucoes

Variacao: Reactive GRASP

A meta-heurıstica GRASP original mantinha o parametro α fixodurante todas as iteracoes do algoritmo.

Com base no Reactive GRASP, nosso algoritmo escolhealeatoriamente, a cada iteracao, um valor para α entre 0 e αmax , umnovo parametro do nosso metodo.

Geracao de solucoes

Variacao: Reactive GRASP

A meta-heurıstica GRASP original mantinha o parametro α fixodurante todas as iteracoes do algoritmo.

Com base no Reactive GRASP, nosso algoritmo escolhealeatoriamente, a cada iteracao, um valor para α entre 0 e αmax , umnovo parametro do nosso metodo.

Geracao de solucoes

Funcao geradora de solucoes

p r o c e d i m e n t o g e r a r S o l u c a o I n i c i a l ( a lpha , semente )s o l u c a o = v a z i o ;enquanto naoPronta ( s o l u c a o ) f a c a

RCL = gerarRCL ( a l p h a ) ;e l emento = s o r t e a r (RCL , semente ) ;a d i c i o n a r E l e m e n t o ( s o l u c a o , e l emento ) ;

f im−enquanto ;r e t o r n a r s o l u c a o ;

f im−p r o c e d i m e n t o ;

Geracao de solucoes

RCL (Resctricted candidate list) e a lista de todos os elementos(nesse caso avioes) que podem ser inseridos em um determinadopasso da construcao da solucao.

Todos os elementos dessa lista satisfazem as restricoes citadas nadescricao do parametro α, e tambem atendem ao criterio de que, seforem adicionados a solucao, mante-la-ao viavel.

Geracao de solucoes

RCL (Resctricted candidate list) e a lista de todos os elementos(nesse caso avioes) que podem ser inseridos em um determinadopasso da construcao da solucao.

Todos os elementos dessa lista satisfazem as restricoes citadas nadescricao do parametro α, e tambem atendem ao criterio de que, seforem adicionados a solucao, mante-la-ao viavel.

Geracao de solucoes

RCL - Exemplo

Nas figuras abaixo podemos ver um exemplo de sequencia ideal e de umasolucao parcial. Nesse exemplo, se α fosse 2, a RCL seria .

1 4 5 2 6 3

Figura: Exemplo de sequencia ideal

Figura: Exemplo de solucao parcial

Geracao de solucoes

RCL - Exemplo

Nas figuras abaixo podemos ver um exemplo de sequencia ideal e de umasolucao parcial. Nesse exemplo, se α fosse 2, a RCL seria {1, 5, 6}.

1 4 5 2 6 3

Figura: Exemplo de sequencia ideal

Figura: Exemplo de solucao parcial

Busca local

Vizinhanca e busca local

A segunda parte de cada iteracao do metodo GRASP consiste emrealizar uma busca local ao redor da solucao gerada gulosa ealeatoriamente.

A definicao de um vizinho de uma sequencia e: uma sequencia evizinha de outra se for resultante da troca de posicao entre doisavioes adjacentes e de mais nenhuma alteracao.

O tipo de busca local escolhido foi o de primeiro incremento, isto e,pesquisa-se na vizinhanca por uma solucao melhor e, quandoencontra-se a primeira solucao melhor, passa-se a considerar essanova solucao como a solucao atual, reiniciando a pesquisa nosvizinhos dessa.

Busca local

Resultados

Resultados I

Testamos, para todos os casos de entrada, o parametro αmax com valoresentre 1 e 5, sempre utilizando sementes aleatorias diferentes.

Tabela: Tabela de resultados dos experimentos

Caso αmax Semente Solucao Tempo (s) Desvio (%)

airland1 1 14766 700 1 0airland1 2 20024 700 2 0airland1 3 19673 700 1 0airland1 4 23915 700 2 0airland1 5 710 700 2 0

Resultados

Resultados II

airland2 1 22574 1.480 5 0airland2 2 26494 1.480 9 0airland2 3 11040 1.480 8 0airland2 4 27382 1.480 9 0airland2 5 11503 1.500 10 1.33

Resultados

Resultados III

airland3 1 15751 820 18 0airland3 2 14185 820 21 0airland3 3 31028 820 21 0airland3 4 20012 820 21 0airland3 5 17962 820 21 0

Resultados

Resultados IV

airland4 1 26543 2.520 18 0airland4 2 23571 2.520 21 0airland4 3 21435 2.520 21 0airland4 4 3896 2.520 21 0airland4 5 21136 2.520 21 0

Resultados

Resultados V

Resultados

Resultados VI

Resultados

Resultados VII

Resultados

Resultados VIII

Analise

Analise e conclusoes

A escolha dos parametros e funcoes envolvidas na construcaogulosa-aleatoria de solucoes e fundamental para o sucesso doalgoritmo.

Aparentemente, a escolha de solucoes iniciais proximas de umasequencia ideal pre-definida e eficaz para a solucao desse problema.

A variacao do parametro α, como proposto na meta-heurısticaReactive GRASP, tambem parece ter sido importante para o sucessoda abordagem.

Analise

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