1Conjuntos NumricosIntroduo Os conjuntos numricos mostram a evoluo

do homem no decorrer do tempo mostrando que, de acordo com suas necessidades, criava novos nmeros para atend-las. Os conjuntos podem ser divididos em:

Naturais Inteiros Racionais Reais

Neste material no veremos nmeros complexos, contedo explorado em vestibulares no em concursos

Conjunto dos Nmeros NaturaisRepresentamos o conjunto dos nmeros

naturais com a letra maiscula N, daqui para frente sempre designados apenas nmeros naturais.

Os nmeros naturais so uma sequncia numrica que inicia no nmero zero e segue at infinito.

N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ... }

Sua criao esta ligada necessidade do homem contar.

Representamos o conjunto dos nmeros inteiros com a letra maiscula Z, daqui para frente sempre designados apenas nmeros inteiros.

Os nmeros inteiros so uma sequncia numrica em que nmero zero marca o valor central. Cada nmero a direita do zero tem seu o oposto a esquerda com sinal negativo

Z = { ..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }Os nmeros inteiros tm como

representao geomtrica a reta numerada

Sua criao esta ligada a necessidade do homem em representar valores que no possua, como por exemplo, a dvida.

Conjunto dos Nmeros RacionaisO conjunto dos nmeros racionais

representado pela letra maisculaQ, daqui para frente sempre designados apenas nmeros racionais.

Os nmeros racionais no todos os nmeros que podes ser escritos na forma em quea e b so nmeros inteiros, e o nmero b diferente de zero. Podemos, ento, dizer que nmeros naturais so os nmeros que podem ser escritos como frao.

Ex.:

Sua criao esta ligada necessidade do homem em representar valores que representam partes de um inteiro.

Conjunto dos Nmeros ReaisO conjunto dos nmeros reais

representado pela letra maiscula R, daqui para frente sempre designados apenas nmeros reais.

O conjunto dos nmeros reais rene os nmeros que podem ser escritos como frao (racionais), unidos com os que no podem ser escritos como frao (irracionais).

Nmeros irracionais, ou seja, que no podem ser escritos como fraes temos como mais usuais os que no tm raiz exata e o nmero .

Representao por diagrama

Por meio do diagrama podemos verificar que:

2Operaes com nmeros e suas Propriedades nmeros consecutivos, sucessor e antecessor

Os conceitos de consecutivos, sucessor e antecessor so utilizados em nmeros naturais e nmeros inteiros.

Dois nmeros inteiros so consecutivos quando entre eles no houver outro nmero inteiro.

Ex1.: Os nmeros 3 e 4 so consecutivos pois entre eles no temos nenhum outro nmero inteiro.

Ex2.: Os nmeros -3 e -2 so consecutivos pois entre eles no temos nenhum outro nmero inteiro.

Ex3.: Os nmeros 3 e 6 no so consecutivos pois entre eles temos outros nmeros inteiros, como 4 e 5.

Adio e subtrao de Inteirosa) (+ 4) + (+ 7) = + 4 + 7 = +11 (tiramos os

parnteses e conservamos os sinais dos nmeros)

b) (- 4) + (- 7) = - 4 - 7= -11 (tiramos os parnteses e conservamos os sinais dos nmeros)

c) (+ 4) + (- 7) = + 4 - 7 = - 3 (tiramos os parnteses e conservamos os sinais dos nmeros)

d) (+ 4) - (+ 7) = + 4 - 7 = -3 (tiramos os parnteses e trocamos o sinal do nmero que estava depois da subtrao)

e) (- 4) - (- 7) = - 4 + 7 = + 3 (tiramos os parentes e trocamos o sinal do nmero que estava depois da subtrao)

Multiplicao e diviso de inteirosNa multiplicao de inteiros alm de

multiplicarmos ou dividirmos temos que usar o jogo de sinais:

Sinais iguais resulta em positivo e sinais diferentes resulta em negativo.

a) Exemplos de Multiplicao:(-2) x (+5)= -10(-3) x (-5)= +15(+6) x (-4)= -24(+5) x (+4)= +20b) Exemplos de diviso:(-20) (+5)= -4(-35) (-5)= +7(+56) (-4)= -14(+48) (+4)= +12

Mltiplos dos Nmeros NaturaisUm nmero natural x mltiplo de um

nmero natural y se existir um nmero natural k que, multiplicado por y, seja igual a x.

Ex.:15 mltiplo de 5, pois 15 = 3 5.24 mltiplo de 4, pois 24 = 6 4.24 mltiplo de 6, pois 24 = 4 x 624 mltiplo de 12, pois 24 = 2 12.27 mltiplo de 9, pois 27 = 3 9.

M (7) = { 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, ... }M (11) = { 0, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88,... }

Sendo 0 um nmero natural, ento o zero ser mltiplo de todos os nmeros naturais, pois tudo nmero multiplicado por zero zero.

Divisores de um Nmero NaturalA definio de divisor est relacionada com

a de mltiplo. Um nmero natural divisor de outro nmero natural, se este for mltiplo do mesmo. Por exemplo: 4 divisor de 20, pois 20 = 4 5, logo 20 mltiplo de 4 e tambm mltiplo de 5.

Ex.:Divisores de 60: D (60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10,

12, 15, 20, 30, 60}Divisores de 18: D (18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}Divisores de 20: D (20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}Divisores de 30: D (20) = {1, 2, 3, 5, 6, 12,

15, 30}

x y k=

3a) Mltiplos Zero mltiplo de qualquer dos nmeros

naturaisO nmero de mltiplos de um nmero

natural infinito.b) Divisores1 divisor de qualquer um dos nmeros

naturais.O nmero de divisores de um nmero

natural finito.

Critrios de DivisibilidadeOs critrios de divisibilidade so regras que

nos permitem verificar se um determinado nmero divisvel por outro sem a necessidade de efetuarmos a diviso.

As divisibilidades por 2, 3, 5, 6, 9 e 10 so as mais importantes e de fcil fixao.

Divisibilidade por 2Um nmero natural ser divisvel por 2

quando ele for par, ou seja, se termina em 0, 2, 4, 6, ou 8.

Ex1.: 3746 divisvel por 2, porque um numero par, pois termina em 6.

Ex2.: 235 no divisvel por 2, pois no um nmero par, pois termina em 5.

Divisibilidade por 3Um nmero ser divisvel por 3 quando a

soma dos valores dos seus algarismos for um nmero divisvel por 3.

Ex1.: 432 divisvel por 3, pois a soma de seus algarismos igual a 4+3+2=9, e como 9 divisvel por 3, temos que 432 divisvel por 3.

Ex2.: 253 no divisvel por 3 pois a soma de seus algarismos igual a 2+5+3=10, e como 10 no divisvel por 3, temos que 253 no divisvel por 3

Divisibilidade por 4Um nmero divisvel por 4 quando termina

em 00 ou quando o nmero formado pelos seus dois ltimos algarismos, o da dezena e o da unidade for um nmero divisvel por 4.

Ex1.: 1900 divisvel por 4, pois termina em 00.

Ex2.: 2416 divisvel por 4, pois 16 divisvel por 4.

Ex3.: 2524 divisvel por 4, pois 24 divisvel por 4.

Ex4.: 3750 no divisvel por 4, pois no termina em 00 e 50 no divisvel por 4.

Divisibilidade por 5Um nmero divisvel por 5 quando o

algarismo das unidades for 0 ou 5.Ex1.: 95 divisvel por 5, pois termina em 5.Ex2.:110 divisvel por 5, pois termina em 0.Ex3.:117 no divisvel por 5, pois termina com

7 e no com 0 ou 5. Divisibilidade por 6

Quando um nmero divisvel por 2 e por 3, ele tambm divisvel por 6.

Ex1.: 312 divisvel por seis, pois par logo divisvel por 2 e tem soma dos algarismos 6 logo divisvel por 3.

Ex2.: 5214 divisvel por seis, pois par logo divisvel por 2 e tem soma dos algarismos 12 logo divisvel por 3.

Ex3.: 716 no divisvel por seis, pois apesar de ser par e divisvel por 2 sua soma dos termos 14 que no divisvel por 3.

Ex4.: 3405 no divisvel por seis, a soma dos seus algarismos 12 logo divisvel por 3 mais no divisvel por 2 pois o numero impar.

Divisibilidade por 9Um nmero divisvel por 9 se a soma dos

valores absolutos dos seus algarismos for divisvel por 9.

Ex.: 2880 divisvel por 9, pois a soma de seus algarismos igual a 2+8+8+0=18, e como 18 divisvel por 9, ento 2880 divisvel por 9.

Divisibilidade por 10Um nmero natural divisvel por 10

quando o algarismo das unidades zero.Ex1.: 4150 divisvel por 10, pois termina

em 0.Ex2.: 2126 no divisvel por 10, pois no

termina em 0.Ex3.: 890 divisvel por 10, pois termina em

0.

4Nmeros PrimosSo nmeros naturais primos os que tm

apenas dois divisores distintos: o nmero 1 e ele mesmo.

Ex1.: 2 tem apenas dois divisores o nmero 1 e ele mesmo 2, portanto 2 um nmero primo.

Ex2.: 13 tem apenas os divisores o nmero 1 e ele mesmo 13, portanto 13 um nmero primo.

Ex3.: 9 tem os divisores 1, 3 e 9, portanto 9 no um nmero primo.

Considerando os nmeros naturais at 100 os primos so:

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}

Decomposio em Fatores PrimosTodo nmero pode ser representado por

uma multiplicao que envolve somente nmeros primos

Regra prticaExiste uma regra prtica para fatorar um

nmero.Pelo dispositivo prtico dividimos o nmero

pelo seu menor divisor primo, at atingirmos o quociente um.

Ex.: Decomponha em fatores primos o nmero 420.

Temos, ento, que 420 = 2 x 2 x 3 x 5 x 7, representado em matemtica como 2 x 3 x 5 x 7

Ex2.: Decomponha em fatores primos o nmero 72.

Temos que 72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3, ou 2 x 3.

Divisores de um Nmero InteiroUm nmero inteiro alm dos divisores

positivos tambm tem os divisores negativos, isso significa que quando consideramos os nmeros inteiros temos o dobro de divisores em relao aos nmeros naturais.

Ex.: Divisores de 18: D (18) = {-18, -9, -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6, 9, 18}

Veja o dispositivo para encontrar dispositivo para encontra o nmero de divisores inteiros

Primeiramente, decomponha o nmero em fatores primos, depois some 1 aos expoentes e multiplique os resultados e depois dobre o valor.

Ex.: o nmero 18 tem quantos divisores inteiros?

Logo temos 2 x 3.Somando 1 aos expoentes e multiplicando

temos (1 + 1) x (2 + 1) = 2 x3 = 6Dobro de 6 12.Logo o nmero 18 tem 12 divisores inteiros.

Observao: quando queremos saber o numero de divisores positivos basta no dobrar o valor no final.

Ex2.: Qual o nmero de divisores positivos de 3500.

Fatorando:

3500 fatorado fica 2 x 5 x 7.Logo o nmero de divisores dado por (2 +

1) x (3 + 1) x (1 + 1) = 3 x 4 x 2 = 24.Assim o nmero de divisores positivos de

3500 24.Mximo Divisor Comum (mdc)Dois nmeros naturais sempre tm divisores

comuns.

5Ex.: Os divisores de 18 e 24 so:D(18) = 1, 2, 3, 6, 9, 18D(24) = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24Divisores comuns a 18 e 24 so: 1, 2, 3 e 6.O maior dos divisores comuns o 6. Logo o

6 o Mximo divisor comum.Mnimo Mltiplo Comum (mmc)Dois ou mais nmeros sempre tm mltiplos

comuns. Para percebemos essa caracterstica, vamos achar os mltiplos comuns de 3 e 4.

M(3) = (0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27...)M(4) = (0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32,...)O mnimo mltiplo comum denominado

mmc o menor mltiplo diferente de zero comum aos mltiplos dos dois nmeros.

Neste caso o mmc entre 3 e 4 12.Forma prtica de encontra o mmc e o mdcPodemos utilizar a fatorao cara encontrar

o mmc e o mdc no mesmo dispositivo, a decomposio em fatores primos.

Ex1.: Qual o mmc e o mdc entre 56 e 72? Iremos decompor em fatores primos e

toda vez que os dois valores tiverem o mesmo divisor marcaremos com *.

Para encontrar o mmc basta multiplicar todos os fatores primos na decomposio.

mmc = 2 . 2 . 2 . 3 . 3 . 7 Para encontrar o mdc basta multiplicar os

que contem *. mdc = 2 . 2 . 2 = 8Ex2.: Qual o mmc e o mdc entre os valores

320, 400 e 720.

mmc = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 3 . 3 . 5 . 5 = 7200mdc = 2 . 2 . 2 . 2 . 5 = 80

01. (CONESUL) Assinale a alternativa que apresenta o valor do M.D.C. de 72 e 168.

a) 12.b) 24.c) 8.d) 16.e) 36.

02. (VUNESP) Um eletricista tem 4 rolos do fio X, com 84 m cada um, 3 rolos do fio Y, com 144 m cada um, e 5 rolos do fio Z, com 60 m cada um. Para fazer as ligaes necessrias de uma obra, ele dever cortar os fios dos 12 rolos em pedaos do mesmo tamanho, sendo esse tamanho o maior possvel, de modo que no reste nenhum pedao de fio nos rolos. Dessa maneira, ele dever obter um nmero total de pedaos igual a:

a) 24b) 36c) 49d) 64e) 89

03. (FCC) Sistematicamente, dois funcionrios de uma empresa cumprem horas-extras: um, a cada 15 dias, e o outro, a cada 12 dias, inclusive aos sbados, domingos ou feriados. Se em 15 de outubro de 2010 ambos cumpriram horas-extras, outra provvel coincidncia de horrios das suas horas-extras ocorrer em:

a) 9 de dezembro de 2010. b) 15 de dezembro de 2010. c) 14 de janeiro de 2011.d) 12 de fevereiro de 2011.e) 12 de maro 2011.

04. (FCC) Ao sacar X reais de sua conta corrente, Alade recebeu do caixa do Banco um total de 51 cdulas, que eram de apenas trs tipos: 10, 20 e 50 reais. Considerando que as quantias correspondentes a cada tipo de cdula eram iguais, o valor de X era:

a) R$ 300,00b) R$ 450,00c) R$ 600,00d) R$ 750,00e) R$ 900,00

605. O esportivo, comerciais dos produtos A, B e C, todos de uma mesma empresa, foram veiculados durante um tempo total de 140 s, 80 s e 100 s, respectivamente, com diferentes nmeros de inseres para cada produto. Sabe-se que a durao de cada insero, para todos os produtos, foi sempre a mesma, e a maior possvel. Assim, o nmero total de comerciais dessa empresa veiculados durante a transmisso foi igual a:

a) 32b) 30c) 24d) 18e) 16.

06. (OBJETIVO-SP) - O m.m.c. entre os nmeros 360. Ento, os valores de m e n so, respectivamente:

a) 3 e 2b) 2 e 3c) 1 e 4d) 4 e 1e) n.d.a

07. (FUVEST-SP) No alto de uma torre de uma emissora de televiso duas luzes piscam com freqncias diferentes. A primeira pisca 15 vezes por minuto e a segunda pisca 10 vezes por minuto. Se certo instante as luzes piscam simultaneamente, aps quantos segundos elas voltaro a piscar simultaneamente?

a) 10b) 12c) 15d) 20e) 30

08. (FCC) Trs funcionrios fazem plantes nas sees em que trabalham: um a cada 10 dias, outro a cada 15 dias, e o terceiro a cada 20 dias, inclusive aos sbados, domingos e feriados. Se no dia 18/05/02 os trs estiveram de planto, a prxima data em que houve coincidncia no dia de seus plantes foi

a) 18/11/02b) 17/09/02c) 18/08/02d) 17/07/02e) 18/06/02

09. (FCC) No almoxarifado de uma Unidade do Tribunal Regional Eleitoral h disponvel: 11 caixas de lpis, cada qual com 12 unidades; 9 caixas de borrachas, cada qual com 8 unidades; 8 caixas de rguas, cada qual com 15 unidades. Sabe-se que: Todososobjetoscontidosnascaixasacima

relacionadas devero ser divididos em pacotes e encaminhados a diferentes setores dessa Unidade; Todos os pacotes devero conter a mesma

quantidadedeobjetos;

Cadapacotedever conter umnicotipode objeto.

Nessas condies, a menor quantidade de pacotes a serem distribudos um nmero compreendido entre:

a) 10 e 20b) 20 e 30c) 30 e 40d) 40 e 50e) 50 e 60.

10. (CESGRANRIO) Considere dois grupos de agentes censitrios, um deles com 66 agentes e o outro, com 72. Os dois grupos sero divididos em equipes de trabalho. Essas equipes devero ter o mesmo nmero de agentes, sendo que todos os agentes de cada equipe devem ser originrios do mesmo grupo. Desse modo, o nmero mximo de agentes por equipe ser

a) 3b) 4c) 5d) 6

11. (CESGRANRIO) Joo tem 100 moedas, umas de 10 centavos, e outras de 25 centavos, perfazendo um total de R$ 20,20. O nmero de moedas de 25 centavos que Joo possui

a) 32b) 56c) 64d) 68e) 72

1 2 3 4 5B E D E E6 7 8 9 10A E D B C11 - - - -D - - - -

7FraesDefinioA expresso que representam nmeros

racionais no-negativos so chamados fraes e os nmeros inteiros utilizados na composio da frao so chamados numerador e denominador, separados por uma linha horizontal ou trao de frao, que representa uma diviso.

Onde: Numerador indica quantas partes do inteiro so tomadas e o denominador indica em quantas partes estamos dividimos o inteiro, sabendo que este nmero inteiro deve sempre ser diferente de zero.

Para representaes de partes de um inteiro utilizamos fraes prprias, ou seja, fraes em que o numerador menor que o denominador.

Ex.:

Na imagem vemos um retngulo dividido em 6 partes onde 5 delas esto pintadas, logo a frao que representa a parte pintada de 56

, que uma frao prpria.

Quando o numerador maior que o denominador temos uma frao imprpria, pois temos mais de um inteiro.

Os retngulos foram divididos em 6 partes cada um, e o total de partes pintadas de 9, logo a frao que representa a imagem ou em nmero misto , que se l um inteiro e trs sextos.

Para representao de fraes imprprias podemos usar os nmeros mistos com inteiros e fraes.

Operaes com Nmeros RacionaisSoma e subtrao com fraes Soma de inteiros com fraes mais fcil se

relacionarmos com nmeros mistos.Ex1.:

Para somarmos dois quintos com dois

inteiros devemos pensar em figuras divididas em cinco partes.

Dois inteiros representam 10 partes logo soma fica:

Ex2: Dois stimos que dizer que estamos dividindo em sete partes logo trs inteiros so 7 x 3 = 21 partes. Temos:

Subtrao de inteiros com fraes

Ex3.: A frao tem denominador 3 logo estamos dividindo em trs partes.

Trs inteiro representam 9 pedaos, assim:

Soma e Subtrao de Fraes com FraesSoma de fraes temos que garantir que as

mesmas tenham denominadores iguais ou seja o inteiro esteja dividido em partes iguais.

Quando os denominadores so diferentes devemos reescrever as fraes com um denominador comum, o mnimo mltiplo comum (mmc).

Ex.:

O mmc entre 8 e 6 24, logo reescreveremos as duas fraes com denominador 24.

NuneradorDenominador

96

316

21 2 237 7 7+ =

2 9 73 3 3 =

2 33

8Para encontrar a frao equivalente com denominador 24 que substitui cada uma dividimos o numero 24 pelo antigo denominador e multiplicamos o resultado pelo antigo numerador:

24 dividido por 8 3, que multiplicado por 5 resulta em 15.

24 dividido por 6 4, que multiplicado por 1 resulta em 4.

Temos ento:

Na subtrao de fraes a exemplo da suma temos que garantir que as mesmas tenham denominadores iguais ou seja o inteiro esteja dividido em partes iguais.

Ex.:

MultiplicaodeFraes

Para efetuar a multiplicao de fraes basta multiplicar numerador com numerador e denominador com denominador.

Ex.:

Como o numerador e o denominador so mltiplos de 4 podemos efetuar a simplificao encontrando uma frao equivalente dividindo por 4.

Em problema quando pedimos, por exemplo:

de quer dizer

Diviso de fraesNa diviso de duas fraes temos que

multiplicar a primeira pelo inverso da segunda.

Ex.:

Lembramos que a diviso de fraes pode aparecer representada por:

Dzimas Peridicas e Decimais ExatosUm nmero racional pode ser uma dizima

peridica ou um decimal exato.Uma frao um decimal exato quando

efetuamos a diviso do numerador pelo denominador e encontramos o fim da mesma.

Ex.:

Uma frao uma dzima peridica quando efetuamos a diviso do numerador pelo denominador e encontramos uma repetio infinita que chamamos de perodo.

Ex.:

Dzima com perodo 6

Dzima com perodo 3

Dzima com perodo 5

Dzima com perodo 15 Transformao de Um Nmero Decimal

Exato em FraoPara transformar um decimal exato em

frao contamos o nmero de casas depois da vrgula, para identificar quantos zeros ter o denominador.

Ex1.:

Escrevemos 23 sobre 100 porque o decimal original tinha duas casas depois da vrgula

Ex2.:

Escrevemos 211 sobre 100 porque o decimal original tinha duas casas depois da vrgula.

Ex3.:

34

15

3 1 3.4 5 20

=

9 Transformao de Um Nmero em Dzima Peridica para Frao Geratriz

Chamamos de frao geratriz a frao que gerou uma dzima peridica quando dividimos o numerador pelo denominador.

Para encontrar essa frao usamos uma artifcio matemtico descrito a seguir.

Ex1.:2, 333...Resoluo:Chamamos 2,333... de x temos x = 2,333... depois multiplicamos por 10

pois o perodo da dizima tem s uma casa, logo 10 x = 23,33...

Agora fazemos o maior menos o menor

A frao geratriz da dizima peridica 2,333... a frao

Ex2.: Qual a frao geratriz da dizima peridica

1,232323...Resoluo:Chamamos 1,232323... de x temosx = 1,232323... depois multiplicamos por

100 pois o perodo da dizima tem duas casas, logo 100 x 123,2323...

Agora fazemos o maior menos o menor

Ex3.:Qual a frao geratriz da dizima peridica

1,23333...Resoluo:Chamamos 1,23333... de x temosx = 1,23333... depois multiplicamos por 10

pois temos um nmero que no faz parte do perodo da dizima, logo 10 x = 12,3333...

Agora resolvemos como os anteriores.10 x = 12,3333... multiplicamos por 10 pois

o perodo da dizima tem s uma casa

ExpressesQuando se resolve expresses numricas

devemos observar o seguinte:Deve-se obedecer a seguinte prioridade de

operao:1 - multiplicao e diviso na ordem em

que as mesmas aparecem2 - soma e subtrao na ordem em que as

mesmas aparecemII Deve-se primeiro resolver as operaes

dentro dos parnteses, depois do colchete e por fim as chaves, e dentro de cada um dos trs obedecer s regras do item I

Ex1.:

Resolvemos primeiramente as operaes que esto dentro dos parnteses:

mmc(3,5) = 15 e mmc(8,12) = 24

Antes de multiplicarmos podemos simplificar por 3 o 24 com o 15 temos ento.

Ex2.:

Comeamos pelos parnteses resolvendo as somas em seu interior

mmc(5,10)=10, e mmc(6,8)=24

Resolvendo a diviso temos.

Resolvendo a diviso temos.

10x 23,333...x 2,333...

9x 21

= =

=

21 7x9 3

= =

73

100x 123,232323...x 1,232323...

99x 122

= =

=

122x99

=

100x 123,3333...10x 12,3333...

90x 111

= =

=

111 37x90 30

= =

10

Simplificando temos.

01. Evandro gasta um tero de seu salrio com moradia e ainda lhe sobram R$ 800,00 reais. Qual o salrio de Evandro?

02. Daniel gasta de seu salrio com alimentao de seu salrio com moradia e ainda lhe restam R$ 720,00. Qual o salrio de Daniel?

03. Daniel gasta de seu salrio com alimentao do restante com moradia e ainda

lhe restam R$ 720,00. Qual o salrio de Daniel?

04. (FCC) Certo dia, um tcnico judicirio trabalhou ininterruptamente por 2 horas e 50 minutos na digitao de um texto. Se ele concluiu essa tarefa quando eram decorridos do dia, ento ele iniciou a digitao do texto s:

a) 13h40min

b) 13h20min

c) 13h

d) 12h20min

e) 12h10min

05. (FCC) Suponha que, no instante em que a gua de um bebedouro ocupava os de sua capacidade, uma mesma garrafa foi usada sucessivamente para retirar toda a gua do seu interior. Considerando que tal garrafa equivale a de litro e foram necessrias 45 retiradas de garrafas totalmente cheias d'gua at que o bebedouro ficasse completamente vazio, a capacidade do bebedouro, em metros cbicos, era:

a) 0,054

b) 0,06

c) 0,54

d) 0,6

e) 5,4

06. (FCC) O funcionrio A executa de uma tarefa em 1 hora. O funcionrio B executa desta mesma tarefa em 1 hora. Os dois funcionrios trabalharam juntos na tarefa durante 1 hora. O funcionrio A retirou-se aps 1 hora de trabalho e o funcionrio B terminou a tarefa sozinho. Considerando que o funcionrio B mantenha a sua mesma velocidade de execuo, o tempo total que o funcionrio B permaneceu executando a tarefa :

a) 2h40min.

b) 2h50min

c) 3h00min

d) 3h30min

e) 4h00min

07. (FCC) Considere que Tancredo gasta, em mdia, horas para analisar N documentos fiscais. Assim sendo, para cada 10 documentos a mais que Tancredo analisar, o acrscimo de tempo na anlise dos documentos ser de

a) 2 horas e 30 minutos.

b) 2 horas e 15 minutos.

c) 1 hora e 45 minutos.

d) 1 hora e 30 minutos.

e) 1 hora e 15 minutos.

08. (CESGRANRIO) Em Floresta, no interior de Pernambuco, um tonel de 200 litros de gua custa R$4,00. Na regio central do Brasil, a gua que abastece residncias custam desse valor. Qual , em reais, o preo de 100 litros da gua que abastece residncias na regio central do Brasil?

a) 0,50

b) 1,00

c) 1,50

d) 2,00

142

5

1 2 3 4 51 200,00 2057,14 1 600,00 A A

6 7 8A E A

142

5

11

GeometriaA geometria plana baseada em figuras que

tem seus nomes determinados dependendo do nmero de lados ou de ngulos que possui e ainda dependendo do tamanho desses lados temos alguns nomes especiais.

TringuloOs tringulos posem ser classificados pelo

tamanho de seus lados ou pelo tamanho de seus ngulos.

LadosPelo tamanho de seus lados podem ser: Equiltero Issceles Escaleno

nguloEm relao ao ngulo temos trs

classificaes Retngulo Acutngulo Obtusngulo

Quando falamos de tringulos o mais conhecido o retngulo, pois a relao entre o tamanho de seus lados a mais conhecida:

Teorema de Pitgoras hipotenusa ao quadrado igual a soma dos quadrados dos catetos.

No tringulo equiltero e no tringulo issceles temos que usar o teorema de Pitgoras para encontrar a altura do tringulo.

No tringulo equiltero podemos decorar a frmula da altura ou usar Pitgoras.

Por Pitgoras temos:2

2 2

22 2

22 2

LL h

2L

L h4

LL h

4

= +

= +

=

2 22

22

2

4L Lh

43L

h43L

h4

=

=

=

L 3

h2

=

No tringulo issceles vamos usar um exemplo:

2 2 2

2

2

2

13 h 5

169 h 25

169 25 h

144 h

h 144h 12

= +

= +

=

=

==

Nos quadrilteros os mais conhecidos so o quadrado e o retngulo.

O quadrado tem todos os lados e ngulos iguais logo podemos encontrar a frmula para o calculo da diagonal.

00

2 2 25 3 425 9 1625 25

= += +=

2 2 2

2 2

2

d L L

d 2L

d 2L

d L 2

= +

=

=

=

12

Ex:Qual a diagonal de um quadrado de lado

12cm.d 12 2cm=A exemplo do quadrado o retngulo

tambm tem diagonal calculada pelo teorema de Pitgoras.

Ex:Qual a diagonal de um retngulo que tem

comprimento 20cm e largura 12cm?

2 2 2

2

d 12 20

d 144 400

d 544

d 4 34

= +

= +

=

=

ParalelogramoNo paralelogramo por termos lados

oblquos usamos o teorema de Pitgoras ou trigonometria no tringulo retngulo.

Qual a altura do paralelogramo se x = 62 2 2

2

2

10 6 h

100 36 h

100 36 h

h 64h 8

= +

= +

=

==

Qual a diagonal maior do paralelogramo.

Losango.

Losango tem todos os ngulos iguais e no tem ngulos internos iguais.

Ex.:Calcule o lado do losango de diagonais 40

cm e 30 cm?

2 2 2

2

L 15 20

d 225 400

d 625d 25cm

= +

= +

==

Permetro e rea.Permetro: o contorno da figura rea: o espao interno, ou seja a extenso

que ela ocupa.Permetro a soma de todos os lados da

figura.

Permetro = 5 + 4 + 2 + 3 + 3 + 7 = 24rea o espao interno

2 2 2

2

d 16 8

d 256 64

d 320

d 8 5

= +

= +

=

=

13

rea = 29 pois so 29 quadradinhosFrmula da rea de figuras.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ _______________________________________

14

PorcentagemToda frao que tem como denominador o

nmero 100, representa uma porcentagem, o prprio nome quer dizer por cem.

Ex.:

O smbolo % que aparece nos exemplos acima substitui a palavra porcento.

Se repararmos em nosso volta, ao andarmos observando as vitrines das lojas vamos perceber que este smbolo % aparece com muita frequncia como tambm o vemos em jornais, revistas, televiso e anncios de liquidao, etc.

A porcentagem que pode ser representada por smbolo por frao ou como decimal

Ex.:Calcular 18% de 800.Podemos resolver de trs maneiras

diferentes 1 FormaMultiplicando pela forma de frao.

Podemos cortar dois zeros do 800 com dois zeros do 100 cobrando 8 vezes 18

8 x 18 = 144.2 formaPor multiplicao por decimal.18% = 0,18800 x 0,18 = 1443 formaPor regra de trs 800 - 100% x - 18%

Multiplicando Cruzado

Com o foco em concursos pblicos a forma de resoluo mais indicada por regra de trs, pois usamos operaes com lucro e prejuzo sobre custo e sobre venda e relacionando com regra de trs.

Ex2:Uma certa mercadoria foi adquirida por

R$ 2 000,00 e revendida com um lucro de 30% sobre o custo. Qual o preo de venda?

Preo de venda R$ 2.600,00Ex3.:Uma certa mercadoria foi adquirida por

Uma mercadoria foi adquirida por R$ 2 000,00 e revendida com um lucro de 30% sobre a venda. Qual o preo de venda?

Preo de venda R$ 2 857,14Operaes financeiras podem ser realizadas

com prejuzo que por sua vez pode ser sobre a venda ou sobre o custo.

Ex4:Uma certa mercadoria foi adquirida por R$

2 000,00 e revendida com um prejuzo de 30% sobre o custo. Qual o preo de venda?

Preo de venda R$ 1 538,36

00

15

Acrscimos sucessivosQuando trabalhamos com acrscimos

sucessivos temos tomar o cuidado para trabalhar com um acrscimo de cada vez.

Ex1:Um produto sofreu dos acrscimos

sucessivos uma de 15% e em seguida um de 10%. Qual o novo valor do produto se antes dos aumentos o mesmo custava R$ 4 500,00.

Resoluo:Primeiramente encontramos o primeiro

aumento que foi de 15%.

Depois do primeiro aumento o valor do produto passou a ser 5 175, que o valor que sofrer o segundo aumento.

Logo o novo preo do produto R$ 5 175 + R$ 517,50 = R$ 5 692,50Ex2.:Um carro sofreu dois aumentos sucessivos

um de 20% e depois outro de 10%. Que porcentagem nica substituiria esses dois aumentos?

Resoluo:Considere que o valor do carro era de 100

logo20% de 100 20 assim o valor com o

primeiro aumento 120.10% de 120 12 assim o valor com o

segundo aumento 131.Logo como foi de 100 para 131 o aumento

foi de 31%.

01. A renda de uma pessoa cresceu este ano de 8% e atingiu R$ 2 700,00. Qual foi a sua renda do ano anterior?

02. Uma nota promissria de R$ 1980,00 foi paga com R$ 1 683,00. Qual foi a taxa de desconto?

03. Sobre um investimento de R$ 2 500,00 obteve-se lucro de R$ 550,00. Qual foi o percentual de lucro?

04. Uma pessoa recebeu R$ 210,00 para fazer a compra de um objeto, achando-se includa naquela soma a sua comisso de 5%. Qual o custo do objeto?

05. O advogado recebe 90% de uma questo avaliada em R$ 50 000,00 e cobra 12% da importncia recebida, a ttulo de honorrios. Qual a soma que coube ao cliente?

06. (CESPE) Ao entrar em vigor lei especfica que estabeleceu novos direitos aos usurios de telecomunicaes, uma operadora de telefonia celular perdeu 8% dos seus clientes. A empresa decidiu, ento, diminuir sua margem de lucro sobre os servios ao cliente, o que acarretou um aumento de 10% no nmero atual de clientes da empresa. Nessa situao, considerando que, aps as medidas tomadas pela empresa, o nmero de clientes da operadora passou a ser de 80.960, ento o nmero de clientes dessa operadora antes da perda dos 8% de clientes era

a) Inferior a 73.500.b) Superior a 73.500 e inferior a 75.500.c) Superior a 75.500 e inferior a 77.500.d) Superior a 77.500 e inferior a 79.500.e) Superior a 79.500.

07. (CESGRANRIO) Uma cidade, no ano de 1990, tinha uma populao de 1.500 milhes de habitantes. Essa mesma cidade, no ano 2000, apresentou uma populao de 6.000 milhes. A taxa de crescimento dessa populao, no perodo de 1990 a 2000, em termos percentuais, foi

a) 400%b) 300%c) 200%d) 25%e) 4%

08. (CESGRANRIO) Certa loja ofereceu, de 1 a 10 de fevereiro, 20% de desconto em todas as mercadorias, em relao ao preo cobrado em janeiro. Pensando em vender mais, o dono da loja resolveu aumentar o desconto e, de 11 a 20 de fevereiro, este passou a ser de 30% em relao ao preo de janeiro. Uma pessoa pagou, no dia 9 de fevereiro, R$72,00 por certa mercadoria. Quanto ela pagaria, em reais, pela mesma mercadoria se a compra fosse feita em 12 de fevereiro?

a) 27,00b) 56,00c) 61,20d) 63,00e) 64,80

16

09. (FGV) Guido fez um investimento em um fundo de aes e, a cada 30 dias, recebe um relatrio mostrando a valorizao ou desvalorizao das cotas do fundo nesse perodo. No primeiro ms o fundo teve uma valorizao de 8% e, no segundo ms de 25%. O terceiro ms foi de crise e todas as aes caram. Entretanto, no fim do terceiro ms, Guido verificou, com certo alvio, que tinha quase que exatamente o mesmo dinheiro que investiu. A desvalorizao no terceiro ms foi de cerca de:

a) 22%.b) 26%.c) 30%.d) 33%.e) 37%

10. (FCC) Certo ms, um comerciante promoveu uma liquidao em que todos os artigos de sua loja tiveram os preos rebaixados em 20%. Se, ao encerrar a liquidao o comerciante pretende voltar a vender os artigos pelos preos anteriores aos dela, ento os preos oferecidos na liquidao devem ser aumentados em.

a) 18,5%.b) 20%.c) 22,5%.d) 25%.e) 27,5%.

11. (FCC) Do total de processos que recebeu certo dia, sabe-se que um tcnico judicirio arquivou 8% no perodo da manh e 8% do nmero restante tarde. Relativamente ao total de processos que recebeu, o nmero daqueles que deixaram de ser arquivados corresponde a

a) 84,64%b) 85,68%c) 86,76%d) 87,98%e) 89,84%

_______________________________________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________

1 2 3 4 52 500,00 15% 22% 200,00 5 400,00

6 7 8 9 10E A D B D

11A

17

Sistemas de MedidasSistema Mtrico DecimalConjunto de medidas que renem

em sua formao inicial trs grandezas (comprimento, volume e massa) de forma a eliminar as discrepncias existentes em todo o mundo. Posteriormente esse sistema veio a ser substitudo pelo SI - Sistema Internacional de unidades que abrange toda e qualquer forma de medidas existente. Vejamos agora algumas formas conhecidas:

Medida de Comprimento A medida padro de comprimento adotado

foi o metro que vem do grego mtron e que significa o que mede.

Mltiplos e Submltiplos do MetroAlm da unidade fundamental de

comprimento, o metro, existe ainda mltiplos e submltiplos, que tem seus nomes formados com o uso dos prefixos: quilo, hecto, deca, deci, centi e mili. Observe o quadro:

Os mltiplos da unidade padro o metro so usados na medio de grandes distncias, enquanto os submltiplos, tem a funo de representar pequenas distncias.

Leitura das Medidas de ComprimentoCom o auxlio do quadro abaixo a

compreenso torna-se mais simples.Ex.: Faa a leitura da medida 87,052 m.Observe agora:

Distribua os nmeros nos respectivos campos abaixo.

Lemos a parte inteira acompanhada da unidade de medida do ltimo algarismo bem como a parte decimal tambm acompanhada da unidade de medida de seu ltimo algarismo.

87 052 milmetros ou 87 metros e 52 milmetros.

6,07km seis quilmetros e sete decmetros

82,107damoitenta e dois decmetros e cento e setecentmetros

0,003m trs milmetros

Transformao de Unidades

Veja agora como fica aplicando o quadro acima.

Ex.:Converta 25,147 hm em m.

Para transformar de hm para m (que est duas posies direita) devemos multiplicar por 100 (10 x 10).

25,147 hm = 25,147 x 100 = 2.514,7mEx.: Transforme 456 m em km.

Para transformar de m para km (que est trs posies esquerda) devemos dividir por 1.000.

456m = 456 : 1.000 = 0,456km

Para resolver uma expresso que contem termos em diferentes unidades, devemos inicialmente transformar todos para mesma unidade e em seguida efetuar as operaes.

Multiplosquilmetro hectmetro decmetro

km hm dam1000m 100m 10m

Submultiplosdecmetro centmetro milmetro

dm cm mm0,1m 0,01m 0,001m

Unidade fundamentalmetro

m1m

km hm dam m dm cm mm8 7, 0 5 2

km hm dam m dm cm mm

km hm dam m dm cm mm

18

Medida de rea e medida de SuperfcieAntes de iniciar nossa breve definio

vamos diferenciar rea de Superfcie. Superfcie uma grandeza representada em duas dimenses. J a rea a medida dessa grandeza descrita por um nmero.

A POLEGADA uma unidade de comprimento usada no sistema imperial de medidas britnico. Uma polegada so 2,54 CENTMETRO OU 25.4 MILMETROS.

Metro Quadrado

A unidade usada para representar a rea de uma superfcie denomina-se metro quadrado. O metro quadrado (m) a medida correspondente superfcie de um quadrado cujo lado mede 1m.

O dam, o hm e km so utilizados para medir grandes superfcies, so os mltiplos do metro quadrado, enquanto o dm, o cm e o mm so utilizados para as pequenas superfcies, pois so os submltiplos do metro quadrado.

Medidas AgrriasAs medidas agrrias so utilizadas para

medir superfcies na rea rural, plantaes, reservas, fazendas, etc. A principal unidade

destas medidas o are (a). Possui um, o hectare (ha); e um submltiplo, o centiare.

1 ha = 1hm2 =10.000 m 1a =dam= 10 m 1ca = 1m

Transformao De UnidadesPara transformar as unidades de superfcie

devemos considerar que cada unidade 100 vezes maior do que a unidade imediatamente inferior:

Observe as seguintes transformaes:Ex: Transformar 5,52 m em mm.

Para transformar m em mm (que est trs posies direita) devemos multiplicar por 1.000.000, vezes 100 a cada casa (100x100x100).

Assim: 5,52 x 1.000.000 = 5 520 000 mmEx.: Transformar 400,5 dam em km.

Para transformar dam em km (que est duas posies esquerda) devemos dividir por 10.000 pois duas casa representa dividir por (100 x 100).

Assim: 400,5 : 10.000 = 0,04005 km

Medidas de CapacidadeCapacidade o volume interno de um

recipiente e a sua unidade denomina-se litro. Um litro equivale a 1dm (10cm) ou o mesmo que um cubo com aresta de 1dm (10 cm).

Aresta: segmento que une dois planosObs.: as medidas para volume sero vistas

no prximo tpico. Mltiplosesubmltiplosdolitro.

Multiploskm hm dam

1000m 100m 10m

Unidade Fundamental (Metro Quadrado)

m1m

Submultiplosdm cm mm

0,1m 0,01m 0,001m

Unidade Agrria Hectare are(a)

centiare(ca)

Equivalncia de valor. 100a 1a 0,01a

km hm dam m dm cm mm

km hm dam m dm cm mm

Multiploskl hl dal

1000l 100l 10l

Unidade Fundamental (Litro)l

1l

19

Relaes importantes:1kl = 1m 1l = 1dm 1ml = 1cm

Transformao de unidadesAo transformar as unidades de capacidade

usando o sistema mtrico decimal, devemos lembrar que cada unidade 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.

Ex.:Converta 5,7 litros para ml Usando a tabela abaixo como referncia

observe como ficaria.

Para transformar l para ml (que est trs posies direita), devemos multiplicar por 1.000, vezes 10 a cada casa (10x10x10).

Assim: 5,7 x 1.000 = 5 700 ml

Medidas de VolumeA medida do volume envolve trs dimenses,

a saber: comprimento, altura e largura. Para obtermos essa medida utilizaremos o metro cbico (m) que a unidade padro para volume. Vale lembrar que um m equivale ao espao ocupado por um cubo com um metro de aresta.

Mltiplos e Submltiplos do Metro Cbico

Transformao de Unidades

Ao transformarmos unidades de volume usando o sistema mtrico decimal, devemos lembrar que cada unidade de volume 1.000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.

Ex.:Converta 7,51 m para dm.Usando a tabela abaixo como referncia

temos:

Para transformar m em dm (que esta uma posio direita) devemos multiplicar por 1.000.

Assim: 7,51 x 1.000 = 7 510 dm

Relao entre Capacidade e Volume

Agora que conhecemos as medidas de Capacidade e de Volume podemos fazer uma breve correlao entre elas. Vale aqui o breve apanhado feito nas medidas de capacidade. 1 kL = 1m 1m = 1000L 1L = 1dm 1ml = 1cm

Medidas de Massa

comum confundirmos massa com peso. Massa a quantidade de matria existente em um corpo aqui ou em qualquer lugar do espao. J o peso a massa mais a gravidade que atua sobre esse corpo. Assim, um corpo aqui na Terra e o mesmo corpo na Lua teriam pesos distintos por conta da gravidade que atua nestes locais ser diferente.

A unidade fundamental da massa o quilograma (kg), mas usualmente utilizamos o grama como unidade principal. 1 l de gua destilada (sem sais) = 1 dm = 1 kg.

Transformao de Unidades

Submultiplosdl cl ml

0,1l 0,01l 0,001l

Submultiplosdm cm mm

0,001m 0,0000001m 0,00000001m

Unidade Fundamental (Metro Cbico)

m1m

Multiploskm hm dam

1.000.000.000m 1.000.000m 1.000m

kl hl dal l dl cl ml

km hm dam m dm cm mm

20

Ex: Converta 7,13 kg em dag. Usando o quadro como base, temos:

Para transformar kg para dag (que est duas posies direita) devemos multiplicar por 100 (10 x 10).

Assim: 7,13 x 100 = 713 dagPeso bruto: o peso do produto com a sua

embalagem.Peso lquido: o peso somente do produto

sem a embalagem.Medidas de TempoAs medidas de tempo no fazem parte do

Sistema Mtrico Decimal. Assim essas medidas sero regidas pelo Sistema Internacional (SI) e este considera como sendo a unidade de tempo padro, o segundo.

Mltiplos e Submltiplos do Segundo

Mltiplosminutos hora dia

min h d

60s 60min = 3.600s 24h = 1440 min = 86.400s

Os submltiplos do segundo so:Dcimo de segundo, centsimo de segundo

e milsimo de segundo.

3,40h 3 h 40 min., pois 0,4 uma frao da hora. Assim para obtermos os minutos teramos que multiplicar 0,4 x 60 (min.) = 24 min. Logo 3,40h = 3h e 24 min

Razo e ProporoRazo

A razo entre dois nmeros nada mais do que uma frao.

Vamos considerar, por exemplo, que em uma reunio compaream 15 administradores e 25 economistas. O nmero de administradores esta para o nmero de economistas assim como:

15 esta para 25.

, simplificando podemos escrever o que

significa dizer que para cada 3 administradores

compareceram 5 economistas.

Na razo dizemos que 3 o antecedente e 5 o conseqente.

Uma das maiores aplicaes da razo esta nos mapas, pois neles aparece a escala utilizada que uma razo entre a medida na figura e a medida real.

Ex.:Um mapa esta na escala de 1:125 000. Quer dizer que cada centmetro no mapa corresponde a 125 000 centmetros na realidade.

Sempre que fizemos uma comparao usando a palavra por, como em densidade demogrfica: habitantes por metro quadrado, metros por segundo, gramas por metro cbico, etc... Estamos usando uma razo.

ProporoQuando temos duas fraes que

representam a mesma quantidade dizemos que temos uma proporo.

Ex.: So fraes iguais logo diretamente

proporcionais.

So fraes inversamente proporcionais, pois 2/5 igual ao inverso de

.

Em uma proporo direta o produto dos

meios igual ao produto dos extremos.

Usando o exemplo em que podemos

tambm escrever: o numero 2 e o

numero 10 so os extremos e o 5 e o 4 so os

meios.

Ao invs de produto entre meios e extremos mais usual a multiplicao cruzada na representao por fraes

kg hg dag g dg cg mg

21

Clculo da Terceira ProporcionalQuando queremos a terceira proporcional x

j nos informado s duas primeiras.

Ex.:Qual a terceira proporcional a 2 e 8.

Multiplicando cruzado, ou seja, os meios e os extremos temos:

A terceira proporcional 32.

Clculo da quarta proporcionalQuando queremos a quarta proporcional x

j nos informado s trs primeiras.

Ex.:Qual a quarta proporcional a 2, 4 e 8.

Multiplicando cruzado, ou seja, os meios e os extremos temos:

A quarta proporcional 16.

Diviso de Grandezas Diretamente Proporcional

Entendemos por grandeza tudo o que pode ser medido ou contado. No nosso dia-a-dia encontramos varias situaes em que relacionamos duas ou mais grandezas.

Duas ou mais grandezas so diretamente proporcionais quando uma delas aumenta a outra tambm aumenta, ou quando uma delas diminui a outra tambm diminui.

Ex.:A razo entre a idade de um pai e seu filho

de 7:4. Qual a idade de cada um se a soma de suas idades 66?

Diviso de grandezas inversamente proporcional

Duas grandezas so inversamente proporcionais quando uma delas aumenta a outra diminui, ou quando uma delas diminui a outra aumenta.

Ex.:Divida o numero 80 em grandezas

inversamente proporcional a 3 e 5.

Saber se duas grandezas so diretas ou inversas essencial para resoluo correta de exerccios com regra de trs composta.

Regra de TrsRegra de trs simplesA regra de trs simples compara duas

grandezas e dividida em duas partes a regra de trs simples diretamente proporcionais e a regra de trs simples inversamente proporcionais.

Diretamente ProporcionalNa regra de trs diretamente proporcionais

temos duas grandezas proporcionais, ou seja, quando uma grandeza aumenta a outra tambm aumenta e vice versa.

Ex.: 20 operrios colhem 150 caixas de tomates

em uma manha. Para colher 600 caixas, quantos operrios so necessrios?

Resoluo: As duas grandezas envolvidas so diretamente proporcionais, pois teoricamente se aumentarmos o numero de operrios aumentam o numero de caixas colhidas.

Assim representamos por duas flechas com mesmo sentido.

Multiplicando cruzado temos:

Multiplicando cruzado

22

Inversamente ProporcionalNa regra de trs inversamente proporcionais

temos duas grandezas inversamente proporcionais, ou seja, quando uma grandeza aumenta a outra diminui e vice versa.

Ex.: Uma viagem feita em 12h com velocidade

mdia de 60Km/h. Qual seria o tempo de viagem se a velocidade aumentasse para 80 Km/h?

Resoluo: As duas grandezas envolvidas so inversamente proporcionais, pois se aumentarmos a velocidade diminui o tempo de viagem.

Representamos por flechas com sentido oposto as grandezas inversas.

Conservamos a primeira frao e invertemos a segunda, que tem flecha contraria.

Regra de Trs CompostaA regra de trs composta compara mais de

duas grandezas.A interpretao se torna parte fundamental

dos problemas. Nestes problemas temos que comparar informaes aos pares, ou seja, de duas em duas considerando as restantes constantes, para definir quais so inversamente proporcionais e quais so diretamente proporcionais.

Ex 1 30 operrios gastam 15 dias de 8 horas

para construir 52m de muro. Quantos dias de 9 horas gastaro 25 operrios, para construir 39m de um muro igual?

Resoluo: Primeiro passo, temos que comparar todas as grandezas com a grandeza a ser calculada. Durante essa comparao consideramos as outras grandezas constantes.

Operrios e dias so inversos, pois aumentando o nmero de operrios diminuem os dias de trabalho.

Horas por dia e dias so inversos, pois trabalhando mais horas por dia diminuem os dias de trabalho.

Dias e metros so diretamente proporcionais, pois mais dias de trabalho mais metros de muro construdos.

Fixando o sentido da flecha dos dias, colocamos a flecha diretamente proporcional no mesmo sentido e as inversas com sentido contrario:

As fraes com flecha contraria a da frao que contem a letra so invertidas.

Ex 2Se 16 homens gastam 8 dias montando 32

mquinas, o nmero de dias que 20 homens necessitaro para montar 60 mquinas :

Resoluo: temos que comparar todas as grandezas com a grandeza a ser calculada, nesse caso o numero de dias.

Homens e dias so inversos, pois se aumentando o nmero de homens diminuem os dias de trabalho.

Dias e maquinas so diretamente proporcionais, pois se aumentarmos o nmero de dias de trabalho mais maquinas so montadas.

Fixando o sentido da flecha dos dias que a grandeza a ser calculada, colocamos a diretamente proporcional no mesmo sentido e a inversa com sentido contrario temos:

Ex 3Um grupo de 12 mulheres leva 6 dias

trabalhando 4 hora por dia para colher 300 caixas de morangos. Quantas mulheres sero necessrias para colher 400 caixas de morango em 8 dias trabalhando 6 hora por dia

5x = 60x=12 dias

11700 x = 140400 x= 12 dias

Simplificando Sem Simplificao

Simplificando Sem Simplificao

x=12 dias

x=12 dias

23

Resoluo: temos que comparar todas as grandezas com a grandeza a ser calculada, no caso o numero de mulheres.

Mulheres e dias so inversos, pois se aumentando o nmero de mulheres diminuem os dias de trabalho.

Mulheres e horas por dia so inversos, pois se aumentando o nmero de mulheres diminuem as horas dirias de trabalho.

Mulheres e nmeros de caixas so diretamente proporcionais, pois se aumentarmos o nmero de mulheres, aumentam o nmero de caixas de morangos colhidas.

Fixando o sentido da flecha dos dias que a grandeza a ser calculada, colocamos a diretamente proporcional no mesmo sentido e a inversa com sentido contrario temos:

So necessrias 8 mulheres

01. (CESPE) Alexandre, Jaime e Vtor so empregados de uma empresa e recebem, respectivamente, salrios que so diretamente proporcionais aos nmeros 5, 7 e 9. A soma dos salrios desses 3 empregados corresponde a R$ 4.200,00. Nessa situao, aps efetuar os clculos, conclui-se corretamente que:

a) a soma do salrio de Alexandre com o de Vtor igual ao dobro do salrio de Jaime.

b) Alexandre recebe salrio superior a R$ 1.200,00.

c) O salrio de Jaime maior que R$ 1.600,00.d) O salrio de Vtor 90% maior do que o de

Alexandre.02. (CESPE) Flvio ganhou R$ 720,00 de

salrio. Desse valor, ele gastou 25% pagando dvidas e com alimentao. Nesse caso, o que sobrou do salrio de Flvio foi:

a) Inferior a R$ 180,00.b) superior a R$ 180,00 e inferior a R$ 230,00.c) Superior a R$ 230,00 e inferior a R$ 280,00.d) Superior a R$ 280,00.

03. (CESPE) Lavadora de roupas _ vista 1.300,00 ou 10 vezes de 162,50.

De acordo com o anncio acima, o total do pagamento a prazo na compra da lavadora de roupas supera o valor do pagamento vista em:

a) Exatamente 25% do valor vista.b) Mais de 25% e menos de 30% do valor

vista.c) Exatamente 30% do valor vista.d) Mais de 30% do valor vista.

04. (CESPE) A metade de um trabalho foi feito em 15 dias por 6 operrios. No fim desse tempo 4 operrios abandonaram o servio. Os operrios restantes terminaro o trabalho em quantos dias?

a) 18b) 40c) 25d) 45e) 30

05. (CESPE) Uma pessoa pagou 3/5 de uma divida. A seguir liquidou-a com o desconto de R$ 500,00, correspondente a 5%. Qual o valor da divida?

a) R$ 15.000,00b) R$ 20.000,00c) R$ 25.000,00d) R$ 30.000,00e) R$ 35.000,00

06. (CESPE) A taxa nica que dever substituir vrias outras de 8%, 10% e 20% nos abatimentos sucessivos de uma fatura :

a) 42,5%b) 41,25%c) 33,76%d) 37,42%e) 39,71%

07. (CESPE) Um viajante quer fazer em 8 dias um trajeto j feito em 12 dias, de 10 horas. Quantas horas por dia dever andar, se aumentarmos de 1/5 a sua velocidade?

a) 10 horasb) 13 horasc) 12,5 horasd) 9 horase) 8 horas

24

08. (CESGRANRIO) Considere que a distncia da Terra ao Sol seja, em certo dia, de 150 milhes de quilmetros. Sabendo que a velocidade da luz no vcuo de 300 mil quilmetros por segundo, o tempo que a luz emitida do Sol demora para chegar ao nosso planeta de:

a) 8 minutos e 20 segundos.b) 9 minutos.c) 12 minutos e 40 segundos d) 15 minutos e 30 segundos.e) 20 minutos.

09. (CESGRANRIO) A cidade de Rio Claro tem, aproximadamente, 190 mil habitantes. Nessa cidade, um em cada cinco habitantes tem, no mximo, 10 anos de idade. Quantos so os habitantes de Rio Claro que tm mais de 10 anos de idade?

a) 19 milb) 38 milc) 72 mild) 144 mile) 152 mil

10. (FCC) Certo dia, Amaro, Belisrio, Celina e Jasmin foram incumbidos de digitar as 150 pginas de um texto. Para executar essa tarefa, o total de pginas foi dividido entre eles, de acordo com o seguinte critrio: Amaro e Jasmim dividiram 3/5 do total

de pginas entre si, na razo direta de suas respectivasidades:36e24anos;

Belisrio e Celina dividiram entre si as pginas restantes, na razo inversa de suas respectivasidades:28e32anos.

Nessas condies, aqueles que digitaram a maior e a menor quantidade de pginas foram, respectivamente,

a) Belisrio e Celinab) Amaro e Belisrioc) Celina e Jasmim.d) Jasmim e Belisrioe) Amaro e Celina.

11. (FCC) Sabe-se que, juntos, trs funcionrios de mesma capacidade operacional so capazes de digitar as 160 pginas de um relatrio em 4 horas de trabalho ininterrupto. Nessas condies, o esperado que dois deles sejam capazes de digitar 120 pginas de tal relatrio se trabalharem juntos durante

a) 4 horas e 10 minutosb) 4 horas e 20 minutos

c) 4 horas e 30 minutos.d) 4 horas e 45 minutose) 5 horas.

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1 2 3 4 5A D A D C6 7 8 9 10C C A E E

11 - - - -C - - - -

Teoria de ConjuntosUm assunto mais tranquilo depois das

proposies e argumentos. Veremos aqui os principais conceitos dos conjuntos e suas operaes.

DefiniesO conceito de conjunto redundante

visto que se trata de um agrupamento de coisas, coisas essas que so os elementos do conjunto.

Ex.: Conjunto das vogais do alfabeto.Elementos: a, e, i, o, u.

A nomenclatura dos conjuntos so letras maisculas do alfabeto

Ex.:

Conjunto dos estados da regio sul do Brasil

A = {Paran, Santa Catarina, Rio Grande do Sul}

Representao dos conjuntosOs conjuntos podem ser representados

tanto em chaves como em diagramas. Representao em chaves:

Ex.:Conjuntos dos estados brasileiros que

fazem fronteira com o Paraguai.B = {Paran, Mato Grosso do Sul} Representao em diagramas

Ex.: Conjuntos das cores da bandeira do Brasil.

Elementos e relao de pertinnciaNos conjuntos, os elementos pertencem

ao conjunto, a relao de pertinncia representada pelo smbolo (pertence).

Ex.:Conjunto dos algarismos paresG = {2, 4, 6, 8, 0}Observe que:4 G7 G

Conjunto unitrio e conjunto vazioConjunto unitrio: aquele que possui um

s elemento.Ex.:Conjunto da capital do BrasilK = {Braslia}Conjunto vazio: simbolizado por ou {}

o conjunto que no tem nenhum elemento.Ex.:Conjunto dos estados brasileiros que fazem

fronteira com o Chile.M = Subconjuntos

Subconjuntos so partes de um conjunto.Ex.:- Conjunto dos algarismosF = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0}- conjunto dos algarismos imparesH = {1, 3, 5, 7, 9}Observe que o conjunto H esta dentro do

conjunto F sendo ento o conjunto H um subconjunto do conjunto F.

As relaes entre subconjunto e conjunto so de: esta contido e contm .

Os subconjuntos esto contidos nos conjuntos e os conjuntos contm os subconjuntos. Veja:

H F; eF H.

00

01. Todo conjunto subconjunto de si prprio. (D D)

02. O conjunto vazio subconjunto de qualquer conjunto. ( D)

03. Se um conjunto A possui p elementos, ento ele possui subconjuntos.

04. O conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A denominado conjunto das partes de A. Assim, se A = {4, 7}, o conjunto das partes de A, dado por {, {4}, {7}, {4, 7}

Operaes com conjuntosUnio de conjuntos: a unio de dois

conjuntos quaisquer ser representada por A U B e ter os elementos que pertencem a A ou a B, ou seja: A U B = {x / x A ou x B}

O nmero de elementos da unio de dois conjuntos ser dado por: n(AUB) = n(A) + n(B) - n(AB)

Para resolver as questes de conjunto que envolve unio de conjuntos, comearemos a resoluo sempre pelo que for mais comum aos conjuntos.

Interseo de conjuntos: a interseo de dois conjuntos quaisquer ser representada por A B e ter os elementos que pertencem a A e a B, ou seja: A B = {x / x A e x B}

01. (FCC) Duas modalidades de esporte so oferecidas para os 200 alunos de um colgio: basquete e futebol. Sabe-se que 140 alunos praticam basquete, 100 praticam futebol e 20 no praticam nenhuma destas modalidades. O nmero de alunos que praticam uma e somente uma destas modalidades

a) 120. b) 100. c) 80. d) 60. e) 40. Resoluo: representando o enunciado,

temos:

Calculando o valor de x:140 x + x + 100 x + 20 = 200260 x = 200X = 260 200X = 60.Se x = 60, ento s 80 praticam somente

basquete e s 40 praticam somente futebol. Como a questo est pedindo o nmero de alunos que praticam somente uma modalidade, essa ser de:

80 + 40 = 120.Portanto a resposta correta a letra A. Diferena de conjuntos: a diferena de

dois conjuntos quaisquer ser representada por A B e ter os elementos que pertencem somente a A, mas no pertencem a B, ou seja: A B = {x / x A e x B}

2p

02. (ESAF) X e Y so dois conjuntos no vazios. O conjunto X possui 64 subconjuntos. O conjunto Y, por sua vez, possui 256 subconjuntos. Sabe-se, tambm, que o conjunto Z = X Y possui 2 elementos. Desse modo, conclui-se que o nmero de elementos do conjunto P = Y - X igual a:

a) 4 b) 6 c) 8 d) vazio e) 1 Resoluo: calculando o nmero de

elementos do conjunto X, temos:

n = 6 (elementos de X);Calculando o nmero de elementos de

Y,fica:

n = 8 (elementos de Y).Se Z = = X Y = 2 elementos, da temos a

seguinte representao dos conjuntos, com a quantidade dos seus elementos:

Ento P (nmero de elementos) = Y X = 6 elementos. E alternativa correta, letra B.

01. (FCC) Sejam: X o conjunto dos municpios brasileiros; Y o conjunto dos municpios brasileiros que tm Agncias do Banco do Brasil; Z o conjunto dos municpios brasileiros que tm mais de 30 000 habitantes. Supondo que Y Z , correto afirmar que:

a) Pode existir algum municpio brasileiro que no tem Agncia do Banco do Brasil e que tem mais de 30.000 habitantes.

b) Se um municpio brasileiro tem Agncia do Banco do Brasil, ento ele tem mais de 30.000 habitantes.

c) Se um municpio brasileiro tem menos de 30.000 habitantes, ento ele no tem Agncia do Banco do Brasil.

d) Todo municpio brasileiro que no tem Agncia do Banco do Brasil tem menos de 30.000 habitantes.

e) Todo municpio brasileiro que tem menos de 30.000 habitantes no tem Agncia do Banco do Brasil.

02. (FGV) Dado um conjunto A, chamamos subconjunto prprio no vazio de A a qualquer conjunto que pode ser formado com parte dos elementos do conjunto A, desde que:

Algum elemento de A seja escolhido; No sejam escolhidos todos os

elementos de A. Sabemos que a quantidade de subconjuntos

prprios no vazios de A 14. A quantidade de elementos de A igual a:

a) 4b) 5c) 6d) 7e) 8

03. (CESPE) Sabendo-se que dos 110 empregados de uma empresa, 80 so casados, 70 possuem casa prpria e 30 so solteiros e possuem casa prpria, julgue o item seguinte.

Mais da metade dos empregados casados possui casa prpria.

Certo ( ) Errado ( )Texto para as questes 4 a 7Considere que todos os 80 alunos de uma

classe foram levados para um piquenique em que foram servidos salada, cachorro-quente e frutas. Entre esses alunos, 42 comeram salada e 50 comeram frutas. Alm disso, 27 alunos comeram cachorro-quente e salada, 22 comeram salada e frutas, 38 comeram cachorro-quente e frutas e 15 comeram os trs alimentos. Sabendo que cada um dos 80 alunos comeu pelo menos um dos trs alimentos, julgue os prximos itens.

04. (CESPE) Quinze alunos comeram somente cachorro-quente.

Certo ( ) Errado ( )

2 64

2 2

n

n 6

=

=

2 256

2 2

n

n 8

=

=

05. (CESPE) Dez alunos comeram somente salada.

Certo ( ) Errado ( )

06. (CESPE) Cinco alunos comeram somente frutas.

Certo ( ) Errado ( )

07. (CESPE) Sessenta alunos comeram cachorro-quente.

Certo ( ) Errado ( )

08. (CESPE) Acerca de operaes com conjuntos, julgue o item subsequente.

Considere que os conjuntos A, B e C tenham o mesmo nmero de elementos, que A e B sejam disjuntos, que a unio dos trs possuia 150 elementos e que a interseo entre B e C possuia o dobro de elementos da interseo entre A e C. Nesse caso, se a interseo entre B e C possui 20 elementos, ento B tem menos de 60 elementos.

09. (UPENET) Uma pesquisa de opinio envolvendo, apenas, dois candidatos (A e B) determinou que 57% das pessoas eram favorveis ao candidato A e que 61% eram favorveis ao candidato B. Sabendo-se que 23% eram favorveis tanto ao candidato A quanto ao B, CORRETO afirmar que:

a) A pesquisa no vlida, pois o total das preferncias, considerando o candidato A e o candidato B, de 118%, o que no , logicamente, possvel.

b) Exatamente 5% das pessoas entrevistadas no so favorveis a nenhum dos dois candidatos.

c) Exatamente 4% das pessoas entrevistadas so favorveis ao candidato A, mas no, ao candidato B.

d) Exatamente 4% das pessoas entrevistadas so favorveis ao candidato B, mas no, ao candidato A.

e) Exatamente 38% das pessoas entrevistadas so favorveis ao candidato A e indiferentes ao candidato B.

10. (FCC) Do total de Agentes que trabalham em certo setor da Assemblia Legislativa de So Paulo, sabe-se que, se fossem excludos os

Do sexo feminino, restariam 15 Agentes; Do sexo masculino, restariam 12

Agentes;

Que usam culos, restariam 16 Agentes; Que so do sexo feminino ou usam

culos, restariam 9 Agentes. Com base nessas informaes, o nmero

de Agentes desse setor que so do sexo masculino e no usam culos :

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

11. (ESAF) Um colgio oferece a seus alunos a prtica de um ou mais dos seguintes esportes: futebol, basquete e vlei. Sabe-se que, no atual semestre.

20 alunos praticam vlei e basquete; 60 alunos praticam futebol e 65 praticam

basquete; 21 alunos no praticam nem futebol

nem vlei; o nmero de alunos que praticam s

futebol idntico ao nmero dos alunos que praticam s vlei;

17 alunos praticam futebol e vlei; 45 alunos praticam futebol e basquete;

30, entre os 45, no praticam vlei. O nmero total de alunos do colgio, no

atual semestre, igual aa) 93. b) 110. c) 103. d) 99. e) 114.

12. (FCC) Sobre os 55 tcnicos e auxiliares judicirios que trabalham em uma Unidade do Tribunal Regional Federal, verdade que:

I. 60% dos tcnicos so casados; II. 40% dos auxiliares no so casados; III. O nmero de tcnicos no casados 12. Nessas condies, o total de:a) Auxiliares casados 10. b) Pessoas no casadas 30. c) Tcnicos 35. d) Tcnicos casados 20. e) Auxiliares 25.

13. (CONSULPLAN) Num grupo de 250 pessoas, 34 usam culos e lente de contato, 29 usam apenas lente de contato e 95 no usam nem culos nem lente de contato. Quantas pessoas desse grupo usam apenas culos?

a) 84b) 90c) 92d) 88e) 86

14. (FUMARC) Em minha turma da Escola, tenho colegas que falam, alm do Portugus, duas lnguas estrangeiras: Ingls e Espanhol. Tenho, tambm, colegas que s falam Portugus. Assim:

4 colegas s falam Portugus; 25 colegas, alm do Portugus, s falam

Ingls; 6 colegas, alm do Portugus, s falam

Espanhol; 10 colegas, alm do Portugus, falam

Ingls e Espanhol. Diante desse quadro, quantos alunos h na

minha turma?a) 46b) 45c) 44d) 43

15. (CESGRANRIO) Em um grupo de 48 pessoas, 9 no tm filhos. Dentre as pessoas que tm filhos, 32 tm menos de 4 filhos e 12, mais de 2 filhos. Nesse grupo, quantas pessoas tm 3 filhos?

a) 4b) 5c) 6d) 7e) 8

16. (ADVISE) Em uma escola que tem 415 alunos, 221 estudam ingls, 163 estudam francs e 52 estudam ambas as lnguas. Quantos alunos no estudam nenhuma das duas lnguas?

a) 52b) 31c) 83d) 93e) 111

17. (FCC) Dos 36 funcionrios de uma Agncia do Banco do Brasil, sabe-se que: apenas 7 so fumantes, 22 so do sexo masculino e 11 so mulheres que no fumam. Com base nessas afirmaes, correto afirmar que o

a) Nmero de homens que no fumam 18.b) Nmero de homens fumantes 5.c) Nmero de mulheres fumantes 4.d) Total de funcionrios do sexo feminino

15.e) Total de funcionrios no fumantes 28.

18. (CESGRANRIO) Conversando com os 45 alunos da primeira srie de um colgio, o professor de educao fsica verificou que 36 alunos jogam futebol, e 14 jogam vlei, sendo que 4 alunos no jogam nem futebol nem vlei. O nmero de alunos que jogam tanto futebol quanto vlei

a) 5b) 7c) 9d) 11e) 13

19. (FGV) Considere o conjunto A = {2,3,5,7}. A quantidade de diferentes resultados que podem ser obtidos pela soma de 2 ou mais dos elementos do conjunto A :

a) 9b) 10c) 11d) 15e) 17

20. (FCC) Em um grupo de 100 pessoas, sabe-se que:

15 nunca foram vacinadas; 32 s foram vacinadas contra a doena A; 44 j foram vacinadas contra a doena A; 20 s foram vacinadas contra a doena C; 2 foram vacinadas contra as doenas A, B

e C; 22 foram vacinadas contra apenas duas

doenas. De acordo com as informaes, o nmero

de pessoas do grupo que s foi vacinado contra ambas as doenas B e C

a) 10b) 11c) 12d) 13e) 14

_______________________________________________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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1 2 3 4 5A A ERRADO ERRADO CERTO6 7 8 9 10

CERTO ERRADO B E D11 12 13 14 15D E C A B16 17 18 19 20C A C A C

Anlise CombinatriaNeste captulo, abordaremos Anlise

Combinatria e Probabilidade, so duas matrias muito importantes e muito cobradas nos concursos.

Definies

Disciplina que serve para descobrir o nmero de maneiras possveis de realizar determinado evento, sem que seja necessrio demonstrar todas essas maneiras.

Ex.: Quantos so os pares formados pelo lanamento de dois Dados simultaneamente.

Resoluo:(1 dado, 2 dado).No primeiro dado temos 6 possibilidades

do 1 ao 6 e no segundo dado tambm temos 6 possibilidades do 1 ao 6. Juntando todos os pares formados, temos 36 pares (6 x 6 = 36). Observe:

(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6),(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6),(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6); Logo temos 36 pares.

Veja que no h necessidade de se colocar todos os pares formados, basta que se saiba quantos so esses pares. Imagine se fossem 4 dados e quisssemos todas as quadras possveis. Todas as quadras possveis so em numero de 1296 quadras. Vale a pena colocar todas essas quadras no papel? No, definitivamente no vale e voc no precisa; basta saber a quantidade, para isso que serve a Anlise Combinatria.

Para resolver as questes de Anlise Combinatria, lanamos mo de algumas tcnicas, que veremos a partir de agora.

FatorialFatorial de um nmero (natural e maior que

1) nada mais do que a multiplicao desse nmero pelos seus antecessores em ordem at o nmero 1 (um).

Considerando um nmero n natural maior que 1, definimos o fatorial de n (indicado pelo smbolo n!) como sendo:

n! = n x (n-1) x (n-2) x ... x 4 x 3 x 2 x 1; para n 2.

Ex.:a) 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720b) 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24c) Observe que 6! = 6 x 5 x 4!d) 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1e) 8! = 8 x 7 x 6!

Para n = 0, teremos: 0! = 1.Para n = 1, teremos: 1! = 1.

Princpio Fundamental da Contagem (P.F.C)

Esta uma das tcnicas mais importantes e simples, alm de muito utilizada nas questes de Anlise Combinatria. O P.F.C utilizado nas questes em que os elementos podem ser repetidos.

Consiste de dois princpios: o multiplicativo e o aditivo. A diferena dos dois consiste nos termos utilizados durante a resoluo das questes.

Multiplicativo: usado sempre que na resoluo das questes utilizarmos o termo e. Como o prprio nome j diz, faremos multiplicaes.

Aditivo: usado quando utilizarmos o termo ou. Aqui realizaremos somas.

Vamos entender a diferena na pratica.

00

01. (CESPE) Com os algarismos 1, 3, 5 e 7, admitindo-se repetio, possvel formar mais de 60 senhas de trs algarismos.

Resoluo: Para formar senhas de 3 algarismos temos a seguinte possibilidade:

SENHA = Algarismo E Algarismo E AlgarismoNmero de SENHAS = 4 x 4 x 4 (j que so

4 os algarismos que temos na questo, e observe o principio multiplicativo no uso do e)

Nmero de SENHAS = 64.CERTA. Como a questo fala em mais de 60

senhas.

Arranjos e CombinaesOutras duas tcnicas utilizadas na Anlise

Combinatria. Nesses casos, os elementos no podem ser repetidos, mas a ordem desses elementos na questo determina qual das duas tcnicas ser utilizada.

Sempre que a ordem dos elementos fizer diferena no resultado da questo, resolveremos por ARRANJO. Quando a ordem no fizer diferena no resultado da questo, ento resolveremos por COMBINAO.

Arranjo: de um conjunto de n elementos, um agrupamento de p elementos distintos, dispostos em determinada ordem forma um ARRANJO. Dois arranjos so diferentes quando a ORDEM dos seus elementos diferente.

A frmula do arranjo :

Onde: n o nmero total de elementos do conjunto; e p o nmero de elementos utilizados.

Combinao: de um conjunto de n elementos, um agrupamento de p elementos distintos forma uma COMBINAO. Duas combinaes so diferentes quando os seus elementos so diferentes, no importando a ordem desses elementos.

A frmula da combinao :

Onde n o nmero total de elementos do conjunto; e p o nmero de elementos utilizados.

Vejamos algumas questes para entendermos melhor.

02. (CESPE) Considerando uma corrida de Frmula 1 com a participao de 22 carros e 22 pilotos igualmente competitivos, julgue o item a seguir

Se sete carros quebrarem durante a corrida e seus pilotos forem obrigados a abandon-la antes da bandeirada final, ento a quantidade de maneiras diferentes de se formar a dupla dos primeiros classificados ser inferior a 200.

Resoluo: para 1 e 2 colocados a ordem faz diferena no resultado, assim como um mesmo piloto no pode ser 1 e 2 ao mesmo tempo, portanto, vamos trabalhar com ARRANJO. Na questo: n = 22 7 = 15, e p = 2; agora s aplicar a frmula e ver quanto vai dar.

ERRADO. A questo fala em menos de 200.

03. (CESPE) Considere que seja possvel chegar a uma pequena cidade por meio de carro, por um dos 5 nibus ou por um dos 2 barcos disponveis e que, dado o carter sigiloso de uma operao a ser realizada nessa cidade, os agentes que participaro dessa operao devam chegar referida cidade de maneira independente, em veculos distintos. Em face dessa situao, sabendo-se que o rgo de inteligncia dispe de apenas um carro e que os deslocamentos devem ocorrer no mesmo dia, correto afirmar que o nmero de maneiras de o servidor responsvel pela organizao das viagens escolher os veculos para transporte de 3 agentes para essa misso inferior a 50.

Resoluo: de acordo com a questo, temos 8 meio de transporte, dos quais queremos utilizar 3. A ordem com que esses meios de transporte sero utilizados no fazem a menor diferena; como um meio de transporte no poder ser usado por 2 ou mais agentes, temos aqui uma questo de COMBINAO. Agora s aplicar a frmula e ver se a questo est certa ou no.

ERRADO. Foi dito ser inferior a 50 maneiras de organizar a misso.

PermutaesSituao interessante da Anlise

Combinatria em que, e quando, utilizamos todos os elementos n do conjunto para resolver as questes. Uma permutao difere da outra pela ORDEM dos seus elementos.

Os Anagramas - agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que pode ter ou no significado na linguagem comum utilizam essa tcnica.

As permutaes podem ser simples ou com elementos repetidos.

Permutao Simples

Onde: n o nmero total de elementos do conjunto.

Ex.:Quantos anagramas tm a palavra prova?Resoluo:A palavra PROVA tem 5 letras, e nenhuma

repetida, sendo assim n = 5, e:

Permutao com Elementos RepetidosFrmula de permetutao:

Onde:n o nmero total de elementos do

conjunto.k, y, w so as quantidades de elementos

repetidos.Ex.:Quantos anagramas tm a palavra

CONCURSO?Resoluo:Observe que nessa palavra existem duas

letras repetidas, o C e o O, e cada uma duas vezes, portanto n = 8, k = 2 e y = 2, agora:

Simplificando o 2! do numerador com um dos denominador, temos:

Para saber qual das tcnicas utilizar basta voc fazer duas, no mximo, trs perguntas para a questo, veja:

1 Pergunta: os elementos podem ser repetidos?

2 Pergunta: a ordem dos elementos faz diferena no resultado da questo?

3 Pergunta (opcional): vou utilizar todos os elementos para resolver a questo?

Se a resposta da primeira pergunta for sim, ento voc deve trabalhar com o p.F.C; se a resposta for no, voc passa para a segunda pergunta; nessa, se a resposta for sim, trabalha-se ento com arranjo; se a resposta for no, trabalha-se com as combinaes. A terceira pergunta depende de se a primeira for no e a segunda for sim; da pode-se fazer a terceira e se a resposta for sim, da trabalha-se com as permutacoes.

Permutaes Circulares e Combinaes com Repetio

Casos especiais (excees) dentro da Anlise Combinatria.

Permutao Circular (usada quando houver giros horrios ou anti - horrios)

Onde: n o nmero total de elementos do conjunto.

Pc = permutao circular.Combinao com Repetio (usada quando

p > n ou quando a questo informar que pode haver repetio)

Onde: n o nmero total de elementos do conjunto; e p o nmero de elementos utilizados.

Cr = combinao com repetio.Vamos entender isso nas questes.

04. (CESGRANRIO) Uma loja vende barras de chocolate de diversos sabores. Em uma promoo, era possvel comprar trs barras de chocolate com desconto, desde que estas fossem dos sabores ao leite, amargo, branco ou com amndoas, repetidos ou no. Assim, um cliente que comprar as trs barras na promoo poder escolher os sabores de n modos distintos, sendo n igual a:

a) 20

b) 16

c) 12

d) 10

e) 4

Resoluo: note nessa questo que n = 4 (quatro sabores de chocolate) e p = 3 (trs barras de chocolate), e a questo informar que os sabores podem ser repetidos; ento vamos trabalhar com a COMBINAO COM ELEMENTOS REPETIDOS, j que a ordem que as barras de chocolate so escolhidas no faz diferena no resultado. Basta aplicar a frmula e ver qual alternativa esta certa.

Portanto a resposta certa a letra A

05. (CESPE) O jogo de domin tradicional jogado com 28 peas, igualmente divididas entre 4 jogadores sentados face a face em torno de uma mesa retangular. As peas so retangulares e possuem uma marcao que as divide em duas metades iguais; em cada metade: ou no h nada gravado, ou est gravado um determinado nmero de buracos que representam nmeros. As metades representam 7 nmeros: 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 0, sendo este ltimo representado por uma metade sem marcao. Cada nmero ocorre em 7 peas distintas. Em 7 peas, denominadas buchas, o nmero aparece nas duas metades. Existe tambm uma variao de domin conhecida como double nine, em que as metades representam os nmeros 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, em um total de 55 peas. M. Lugo. How to play better dominoes. New York: Sterling Publishing Company, 2002 (com adaptaes).

A partir dessas informaes, julgue o item subsequente.

No domin tradicional, os 4 jogadores podem se sentar mesa de 6 maneiras distintas.

Resoluo: aqui ns temos a ideia dos giros, pois se voc observar, a mudana de lugar s ocorre quando 2 ou mais jogadores mudam efetivamente de posio. Se houver s um giro dos competidores na mesa, sem que os jogadores que estiverem dos lados direito e esquerdo de um jogador mudem de lugar, ento no houve mudana efetiva. Tente ver isso em casa com seus colegas e observe que s haver mudana quando os colegas que estiverem do seu lado esquerdo e direito mudarem, se vocs s girarem na mesa no h mudana de lugar efetiva.

Agora deve-se aplicar a frmula e ver se a questo esta certa ou no.

CERTA. A questo menciona em 6 maneiras diferentes.

01. (CESGRANRIO) Uma mesa redonda apresenta lugares para 7 computadores. De quantos modos podemos arrumar os 7 computadores na mesa de modo que dois deles, previamente determinados, no fiquem juntos, considerando equivalentes disposies que possam coincidir por rotao?

a) 120 b) 240 c) 480 d) 720 e) 840

02. (CESPE) Considere que 7 tarefas devam ser distribudas entre 3 funcionrios de uma repartio de modo que o funcionrio mais recentemente contratado receba 3 tarefas, e os demais, 2 tarefas cada um. Nessa situao, sabendo-se que a mesma tarefa no ser atribuda a mais de um funcionrio, correto concluir que o chefe da repartio dispe de menos de 120 maneiras diferentes para distribuir essas tarefas.

Certo ( ) Errado ( )03. (ACEP) Recomenda-se que, em um perodo

de 24 meses, um dado terreno deva ser cultivado em sistema de rodzio por plantaes de milho, arroz e feijo, sem repetio, em perodos de 6 meses. Seguindo estas instrues, um agricultor decide iniciar o plantio em seus trs terrenos das trs culturas, de forma que as trs sejam cultivadas, simultaneamente, uma em cada terreno. Quantas possibilidades de cultivo este agricultor teria ao cabo de 24 meses?

a) 6 b) 16 c) 18 d) 24 e) 48

04. (CESGRANRIO) Joo, Pedro, Celso, Raul e Marcos foram aprovados em um concurso. Cada um trabalhar em uma unidade diferente da empresa: P, Q, R, S ou T. Considerando que Joo j foi designado para trabalhar na unidade P, de quantos modos distintos possvel distribuir os demais aprovados pelas unidades restantes?

a) 12 b) 24 c) 48 d) 90 e) 120

05. (CESPE) Se os nmeros das matrculas dos empregados de uma fbrica tm 4 dgitos e o primeiro dgito no zero e se todos os nmeros de matrcula so nmeros mpares, ento h, no mximo, 450 nmeros de matrcula diferentes.

Certo ( ) Errado ( )

06. (CESGRANRIO) Um posto de combustvel comprou 6 bombas (idnticas) de abastecimento, que sero pintadas, antes de sua instalao, com uma nica cor, de acordo com o combustvel a ser vendido em cada uma. O posto poder vender etanol (cor verde), gasolina (cor amarela) e diesel (cor preta). De quantas maneiras