_Gravitação

Curso de Física Módulo VI Prof. Adivaldo

Gravitação Universal prof. Adivaldo 1

Gravitação Universal

1. Introdução. A gênese da teoria

Vários fatores e a conjugação de todos

eles tornou possível a elaboração, por Newton da

teoria da gravitação universal.

Vejamos:

Em primeiro lugar, desde Galileu, sabia-

se como fazer pergunta a natureza, e que

tipo de perguntas era relevante. Sabia-se,

se não explicitamente; pelo menos

operacionalmente, construir modelos.

Novos instrumentos matemáticos (o

cálculo diferencial e integral) nasciam com

o próprio Newton e com Leibniz.

Havia enunciadas por Newton, definições

e leis que construíam uma doutrina

coerente do movimento relacionado com

as causas (forças) das suas mudanças

(acelerações).

Na Inglaterra, na Itália e na França

sociedades científicas se formavam: a mais

célebre era a Royal Society, em Londres.

Nessas sociedades homens de ciência

reuniam-se para discutir os problemas que

desde Aristóteles atormentavam os

estúdios: movimentos dos objetos celestes,

Geocentrismos versus Heliocentrismos...

Assunto aos quais se somavam as recentes

descobertas de Kepler e de Galileu.

Finalmente, graças aos esforços daqueles

homens, entre os quais se encontravam físicos

(Newton, Hooke, Wallis,...) e astrônomos

(Halley,...) a física e a astronomia, separadas

desde Ptolomeu iriam juntar-se de novo. Essa

teoria iria finalmente dar as respostas aos

problemas sobre os quais havia dois mil anos

tropeçava o pensamento científico do mundo

ocidental.

2. Leis Cinemáticas da Gravitação

2.1 Primeira lei de Kepler.

Os planetas giram em torno do sol em

orbitas elípticas com o sol ocupando um dos

focos.

sol

vF2F1

Planeta eixo menor

b

eixo maior

a

2a

c

rmina

rmax

2b

Excentricidade

Definição:

e =ca

a2=b

2+c

2a

2 = b

2 + a

2e

2

2.2 Segunda lei de Kepler:

O raio vetor que liga o sol ao planeta

varre áreas iguais em tempos iguais

A

B

D

C

Planetav1

v2

A1A2 Dt1Dt2

sol

Como Dt2Dt1= Temos A1 A2=

De acordo com a segunda lei de Kepler, o arco

CD é maior do que o arco AB então:

CD > AB → V2.Dt > V1 DT → V2 > V1

No caso do planeta terra a velocidade no afélio é 29 km/s e no periélio e 30 Km/s

aproximadamente.

Quando o planeta sai do afélio e se

direciona ao periélio sua velocidade aumenta,

sua energia cinética aumenta e sua energia

potencial diminui.



Afélio

v

sol

Planeta

periélio

Quando o planeta sai do periélio e se

direciona ao afélio sua velocidade diminui, sua

energia cinética diminui e sua energia potencial

aumenta.

Afélio

v

sol

Planeta

periélio

2.3 Terceira lei de Kepler.

Após um período de quatorze anos do

lançamento das duas primeiras leis, Kepler

lançou sua terceira lei que trata do intervalo de

tempo gasto para o planeta executar uma volta

em torno (período) e do raio da órbita. Depois de

analisar cuidadosamente os dados de seu mestre

Tycho Brahe Kepler concluiu:

O quadrado do período de revolução

do planeta em torno do sol é diretamente

proporcional ao cubo do raio médio de sua

órbita.

sol

rmin rmax

planeta

r semi-eixo maior

r

É necessário que a relação acima seja usada

quando o corpo central for o mesmo, por

Exemplo:

r1

r2

M

m1

m2

V2

V1

Aplicando a terceira lei de Kepler ao sistema de

corpos acima temos:

Já para os sistemas abaixo não vale o resultado

encontrado por Kepler, ou seja.

r1M1

m1

V1

r2

m2

V2

M2

2. Newton e a lei da Gravitação

Universal.

Origem da força

Isaac Newton nasceu em 1642 no dia de

natal, filho póstumo de um fazendeiro teve de

custear seus estudos trabalhando e foi graças à

ajuda de um tio que conseguiu entrar em

Cambridge Em 1661. Quatro anos depois em

1665 bacharelou-se e encorajado pelo seu



professor Isaac Barrow permaneceu em

Cambridge.

No verão de 1665 a peste se alastrou

rapidamente por Londres dizimando cerca de

70000 pessoas, a universidade fechou e Newton

refugiou-se em Woolshorpe entre 1665 e 1666

produziu vários trabalhos entre os quais

destacamos. Achou o binômio de Newton e a

serie binomial, a formula de interpolação de

Newton, o calculo diferencial, o calculo integral,

a teoria das cores e a partir da 3ª lei de Kepler

deduziu que as forças que mantem os planetas

em suas órbitas varia inversamente com o

quadrado de suas distâncias aos centros em torno

dos quais giram. Todos esses resultados foram

obtidos por Newton em sua fazenda, entre 23 e

24 anos de idade.

2.1 3ª lei de Kepler e as órbitas

circulares:

Em primeira aproximação, admitamos

que os planetas tenham órbitas circulares:

r

r

r =r

r

Sol

P

FF

m

r vetor unitário

vetor posição

r

Como a 2ª lei de Kepler em orbitas

circulares implica que o movimento é uniforme,

podemos delinear todo o raciocínio de Newton

de forma bem simples vejamos:

A aceleração centrípeta no movimento

circular uniforme é dado por:

( )

(

)

A força sobre o planeta é dado pela segunda lei

de Newton

Pela terceira lei de Kepler temos:

A equação abaixo foi o resultado anunciado por

Newton

A força sobre um corpo em orbita em torno

do sol é inversamente proporcional ao inverso

do quadrado da distancia entre eles.

2.2 A maça e lua

Newton quer agora saber se a força que

mantém os planetas nas suas órbitas

presumivelmente a lua na sua órbita, é a

“mesma” força que atrai os corpos na superfície

da terra.

Se a força for a mesma (entendendo-se

de mesma natureza), então a aceleração da lua na

sua órbita e a aceleração de um corpo que cai na

superfície da terra devem estar entre si na razão

inversa dos quadrados das respectivas distâncias

da lua ao centro da terra e do corpo ao centro da

terra.

A aceleração da gravidade da maçã na

superfície da terra como de qualquer outro corpo

em queda sem nenhuma resistência já era

conhecida desde Galileu e vale:

am=g=9,8m/s2



Em se tratando da aceleração da lua na sua órbita

temos:

Substituindo o raio da órbita da lua que já

era conhecido desde Hiparco de rodes, veja mais

abaixo, e o tempo para ela dar uma volta em

torno da terra temos:

( )

( )

⁄

Calculando o raio da terra:

Erastóstenes século III A.C

R

Ds

q

A

B

q

As cidades A e B indicadas na figura acima são

respectivamente Alexandria e Siene, atual

Aswan no Egito. O dia escolhido por

Erastóstenes foi ao solstício de verão (dias mais

longo do ano). O valor de q é igual a 7,2o

ângulo formado com a vertical do lugar.

Conhecendo a distância D entre as duas cidades

temos:

q D

D

q

Calculando a distância terra lua

Hiparco de rodes 130 A.C

Hiparco baseou-se em observações da

duração de um eclipse total da lua. Essa duração

é o tempo decorrido entre a entrada (em A) e a

saída (em B) da lua no cone de sombra projetado

pela terra veja figura abaixo.

Lua

A

B

Sol

Terra

a qRL

RT

La

a/2

a/2

Hiparco conclui que q=2,5a aproximadamente,

sendo a

Como RL é bem maior que o raio da terra

podemos fazer a seguinte aproximação:

2RTa

L+ RL

A

B

x

RL

q

( )

( )

( a ) a

a



Há consequentemente fortes indícios de

que “a gravidade (terrestre) se estenda até a

órbita da lua” ou ainda, como Galileu o tinha

pressentido que a física terrestre se aplica

também aos “céus”, ou pelo menos, ao sistema

solar.

r

Sol

P

FF

m

M

Pela segunda lei de Newton temos:

F M eq: 2

Combinando as equações 1 e 2 temos

Na forma vetorial

0r1

r2

r12

F12

F21

m1

m2

Ù

r12

r12

Então temos:

3. O Campo Gravitacional

Um procedimento experimental para

medirmos o campo gravitacional em um dado

ponto do espaço deve obedecer as seguintes

etapas:

1. Utilizamos um corpo de prova (massa m)

2. Abandonamos a massa m no campo

gravitacional.

3. A aceleração adquirida pela massa m num

dado ponto do campo é igual em modulo direção

e sentido ao campo gravitacional nesse mesmo

ponto.

g

g

g

g

g

Fm

Definição:

=Fm kg

N

M

Antes do conceito de campo se tornar

largamente aceito, imaginava-se que a força que

atua entre corpos que gravitam fosse uma

interação direta e instantânea. Esse modelo,

chamado de ação à distância, foi usado também

para descrever as forças eletromagnéticas. No

caso da gravitação, ele pode ser representado

esquematicamente como:



⏟ ( )

⏟ ( )

Indicando que as duas massas interagem

diretamente uma com a outra de acordo com este

modelo, o efeito do movimento de um corpo é

instantaneamente transmitido ao outro corpo.

Esta interpretação viola teoria da relatividade

especial. Uma interpretação mais moderna

baseada no conceito de campo e que atualmente

é parte essencial da teoria da relatividade geral,

pode ser representada na forma:

⏟ ( )

⏟ ( )

Onde uma massa não interage

diretamente com a outra, mas M gera um campo

gravitacional que interage com m aplicando nela

uma força F, por sua vez m gera seu campo

gravitacional que interage com M aplicando nela

uma força F, veja.

M

m

-F

FF=mgM

F=Mgm

De modo que podemos interpretar o

campo gravitacional como uma entidade que

desempenha o papel de mediador nas

interações entre massas.

As mudanças na localização de uma das

massas causam alterações no seu campo

gravitacional; essas variações no campo se

transmitem à velocidade da luz, de modo que o

conceito de campo é compatível om as restrições

impostas pela relatividade especial.

Especula-se que a atração gravitacional,

ocorre através da troca de partículas, os

grávitons. Entretanto, diferentemente do caso

elétrico, no caso gravitacional ainda não foi

possível verificar experimentalmente esta

suposição. Os grávitons foram postulados em

virtude do grande sucesso da teoria quântica em

descrever o comportamento de todas as demais

forças conhecidas na natureza, como

transmitidas por partículas elementares. O

gráviton se existir, deve ser um bóson de spin

igual a 2 e deve ter uma massa de repouso igual

a zero.

5. Campo Gravitacional de uma Massa

Puntiforme

A força gravitacional entre duas massa

puntiformes é expressa por:

M

m

F

r

r

O campo gravitacional de M sobre m é

dado por:

Para uma distribuição continua de massa m

temos:



v

r

r

r’

m

dv’

( )

( )

∫ ∫

∫ ( )

Em módulo:

∫

∫

( )

Exemplo 01.

Uma barra uniforme de massa M e comprimento

L é centrada na origem e apoia-se ao longo do

eixo x. Determine o campo gravitacional devido

a barra em todos os pontos do eixo x para x >

L/2.

Solução:

L/2-L/2dg

dm

dx’ r

x

x’

0 x

∫ ∫

∫

∫

∫

⁄

∫

( )

∫

( )

∫

[

]

[

( )

( )

]

[

(

)

[ ( )

]

]

( )

Caso tenhamos x>>L temos:

(

)

Campo de uma massa puntiforme

6. Campo Gravitacional de uma casa

esférica e de uma esfera maciça.

I. Casca esférica pontos internos e

externos

Vamos agora obter o campo gravitacional

de uma casca esférica em duas etapas:

1. Calcula-se o campo gravitacional sobre o

eixo de um anel de massa uniforme.

2. Aplica-se o resultado a uma casca

esférica

a

dg.cos(a)

dgs

r

R

dm

dg.sen(a)



Devido à simetria na distribuição de massa no

anel as componentes verticais se anulam

restando somente as componentes horizontais

que somadas dão o campo resultante ao longo do

eixo do anel.

∫ (a) ∫

(a)

(a)

Agora vamos aplicar esse resultado na

casca esférica de massa M e raio R. Primeiro

construímos um anel ao longo da superfície da

esfera e aplicamos o resultado encontrado no

anel de massa conforme figura acima.

s

r

aq

R

dm

dq

Rdq

dg

Podemos escrever um diferencial de campo de

gravidade produzido pelo elemento anelar de

massa dm conforme equação abaixo.

(a)

sabendo que a distribuição de massa na casca

esferica é uniforme e usando o conceito de

densidade superficial de massa podemos

escrever.

Destacando o triguangulo retangulo de lados R, s

e r temos:

s

r

aq

R

Rsen(q)

Rsen(q)

Raio do anel

anel

Calculando a área do elemento de área anelar

vem.

Rdq2 Rsen(q)

(q) q

Substituindo o elemento de área na equação

anterior temos:

(q) q

(q) q

(q) q

∫ ∫

(a)

∫

(q) q

(a)

∫

(q) q

(a)

lei dos cossenos no triângulo de lados R, s e r

temos:

(q)

Como r e R permanecem constante para

qualquer posição do elemento de área s é função

apenas de q. Então diferenciando a equação

acima temos:

2sds=2rRsen(q)dq

lei dos cossenos no triângulo de lados R, s e r

temos:



(a)

(a) ( )

Substituindo os resultados acima na

integral de g temos:

∫

(q) q

(a)

∫

( )

∫

( )

∫

( )

∫[

( )

]

vejamos no triângulo de lados R, r e s acima os

limites de integração:

s

r

q=0o

R

S=r-R

s

r

q=180o

R

S=r+R

∫ [

( )( )

]

[

( )( )

]

[( )

( )( )

( ) ( )

( )( )

( )]

[( ) ( ) ( )

( )]

[ ]

Consideremos um ponto p no interior da casca

esférica r < R.

r

q

R

dM

dq

Rdq

p

Isolando o triangulo de lados R, s e r interno a

esfera temos:

s

a

R

r

q p

Rsen(q)

Raio do anel

R

Vejamos no triângulo de lados R, r e s acima os


s

R

q=0o

r

S=R-r

s

r

q=180o

R

S=R+r

p

p

R



[

( )( )

]

[( ) ( ) ( )

( )]

[ ]

II. Campo de uma esfera maciça para r

< R.

Para calcular calcular o campo de

gravidade no interior de uma esfera (planeta) nos

iremos considerar uma distribuição de massa

uniforme e homegenea.

R

r

M’

M

Aplicando o conceito de densidade

absoluta de massa temos:

o campo de gravidade a uma distância r

do centro é dada por:

para 0< r < R

III. Campo de uma esfera maciça para

r > R.

1º Modo

Um dos problemas mais importantes da

teoria da gravitação universal está relacionada ao

cálculo da força gravitacional devido a uma

esfera homogênea.

A questão aqui é como deve ser o campo

gravitacional fora de uma esfera homogênea de

raio R responsável pela força gravitacional.

Vejamos:

q

dq

r

sr’

R

dr’

pa

dg.cos(a)

dg dg.sen(a)

O campo de gravidade produzido pelo

elemento de massa em p conforme figura acima

é dado por:

Somando os dg sobre todo o volume esférico e

sabendo que por simetria as componentes

verticais se cancelam temos:

∫ (a) ∫

(a)

aplicando o conceito de densidade


( )

( )

o elemento de volume dv’ em

coordenadas esféricas é dado por:



Substituindo dm e dv’ em g acima temos:

∫ ∫ ( )

(a)

Assumindo a densidade constante temos:

∫

(a)

Aplicando a lei dos cossenos no triângulo abaixo

temos:

r

sr’

qa

(q)

Diferenciando a equação acima para um

dado r’ temos:

(q) q

(q) q

Calculando o cosseno de a veja figura

acima tem-se.

(a)

(a) ( )

Substituindo os resultados acima na integral de g

e integrando inicialmente em tem-se:

∫

( )

∫ ∫

( )

∫ ∫

( )

s

r

q=0o

r’

S=r-r’

s

r

q=180o

r’

S=r+r’

∫

∫ [ ( )

]

∫

[ ( )

]

∫

[( ) ( )

( )

( ) ( )

( )]

∫

[( ) ( ) ( )

( )]

∫

∫

[

]

2º Modo

Um dos problemas importantes da teoria

da gravitação universal está relacionada ao

cálculo da força gravitacional devido a esfera

homogênea. A questão é qual é o campo

gravitacional fora de uma esfera homogênea de



raio R responsável pela força gravitacional.

Vejamos:

q

dq

r

sr’

R

dr’

pa

dg.cos(a)

dg dg.sen(a)

O campo de gravidade produzido pelo

elemento de massa em p conforme figura acima

é dado por:

Somando os dg sobre todo o volume esférico e

sabendo que por simetria as componentes

verticais se cancelam temos:

∫ (a) ∫

(a)

aplicando o conceito de densidade


( )

( )

o elemento de volume dv’ em

coordenadas esféricas é dado por:

Substituindo dm e dv’ em g acima temos:

∫ ∫ ( )

(a)

Assumindo a densidade constante temos:

∫

(a)

Aplicando a lei dos cossenos no triângulo abaixo

temos:

r

sr’

qar-r’cos(q)

(q)

Calculando o cosseno de a veja figura

acima temos.

(a) ( )

Substituindo os resultados acima na integral de g

e integrando inicialmente em temos:

∫ ( )

∫ ∫ ( )

[ (q)]

calculando a derivada de cos(q) temos:

[ (q)] (q) q

Substituindo na integral acima temos:

∫ ∫( ) [ (q)]

[ (q)]

derivando s em r temos:

[ ]

[ (q)]

[ (q)]

[ (q)]

( )

[ (q)] ( )



( )

[ (q)]

Podemos então substituir esse resultado na

integral abaixo:

∫ ∫( ) [ (q)]

[ (q)]

∫ ∫

[

(q)]

[ (q)]

calculando a integral em d[ (q)]

∫

[ (q)]

[ (q)]

Usando substituição temos:

(q)

[ (q)] [ (q)]

Substituindo na itegral temos:

[∫

[ ]

[

] ] [

] [

]

Aplicando a derivada em r temos:

[∫

[ ]

[

] ]

[

]

[[ (q)]

]

[[ ]

[ ] ]

[[( ) ]

[( ) ]

]

[( ) ( )]

(

)

(

)

(

)

Voltando a integral de g temos:

∫

[

]

O gràfico de g em função da distância desde do

centro da esfera ate o exterior da esfera é

apresentado abaixo.

M

R2

g

r

G M

r2

Para r > R

0

G

M r

R3

G

R

O resultado anterior vale para o planeta

terra desde que ela seja considera esférica

homogênea e sem rotação.



Equador

G M

RT2

S

N polos

F

F=mg força gravitacional

ou força peso

RT

RT

gE = gp =

Considerando o achatamento dos polos temos:

E

S

NP

Rp

RE

RE < Rp Þ gE < gp

OL

Plano equatorial

7. Força entre uma massa puntiforme e

uma camada esférica

Observando a figura abaixo e sabendo

que F=mg tme-se.

R

m

Casca

esférica

espessura da Casca

MF

r

F

GmM

R2

R

e(espessura)<<R

8. Força entre uma massa puntiforme e

uma esférica maciça.

Observando a figura abaixo e

sabendo que F=mg tem-se.

R

m

Esfera

maciça

M

F

F

M

R2

F

r

G M

r2

Para r > R

0

G

R

m

M

R3

Gm r

m



9. Variação de g com a latitude devido

a rotação da terra.

Considere então a terra girando em torno

do eixo polar com velocidade constante.

Novamente faremos toda analise trantando a

terra com forma esférica.

A

F F’

FCF

R

r

N

S

(180-q)q

FC m

r ® raio da circunferência

descrita pelo objeto A.

FCP=m2RCos(q)

Força centrípeta (R.I)

r = RCos(q)

q

No sistema de referência da terra, ou seja,

referencial não inercial o corpo m está em

repouso então a força centrípeta é igual à força

centrífuga.

FCP = FCF = m2Rcos(q)

F F’

FCF

(180-q)q

m

F’ ® força gravitacional aparente ou peso

aparente

F=mg ® força gravitacional e g aceleração da

gravidade

F’=mg’ ® força gravitacional aparente e g’

gravidade aparente

Aplicando a lei dos cossenos no triângulo

acima temos:

( )

( ) ( ) [ ( )]

( ) ( )

q

q

q q

( q

q

)

√( ( ( )

)

q

)

Considerando os valores temos:

Substituindo em ( )

nós obtemos:

( )

(

)

( ( )

)

(

)

√( q

)

( q

)

Aplicando a expansão binomial temos:

(

q

)

( q

)

q



Nos polos da terra q temos:

No equador da terra q temos:

10. Energia potencial

10.1- Partícula sob a ação de uma força que

varia com 1/r2.

Suponhamos, então que uma partícula

(um satélite artificial, por exemplo), se desloca

de A(r1) até B(r2).

Pergunta:

Como varia a energia potencial do

sistema. Para responder esta pergunta

apliquemos a definição de trabalho conforme

figura abaixo.

Terra

M

A

B

rF

r2

r1

dsm

^ r

O trabalho diferencial é:

A força gravitacional entre as massas na posição

veja figura acima é dada por:

Observando a figura a seguir podemos

escrever:

r

F

ds

drdrt

Fazendo o produto escalar de

[ ]

Como ( ) são perpendiculares o

produto escalar é igual a zero então:

Pois apresentam mesma direção e

sentido.

Em sistemas conservativos podemos

escrever.

Na forma diferencial temos:



∫

∫

[

]

[

]

[

]

A variação da energia potencial do

sistema somente depende da configuração inicial

(r1) e da configuração final (r2). Não depende,

portanto, do caminho seguido pela partícula

entre essas duas posições.

Fazendo

[

]

Adotando r2 = 0 e tem-se:

Energia potencial do sistema em relação

ao infinito.

Forma alternativa apresentada no

ensino médio

Vamos calcular o trabalho da força

gravitacional para deslocar uma partícula a partir

da superfície da terra até uma distancia r do

centro da terra.

m

M

R

m

M

r

(r-R)

F

F =G m M

r2

Como temos um problema de força

variável é necessário utilizar método auxiliar que

consta em dividir a distância (r-R) em partes

extremamente pequenas veja figura abaixo.

(r-R)

Rr1

r2

r3

r4

r5

r6

r7

M

m

M

m

A BF

r1

r

r2

d

d = r2 - r1

Como d é muito pequeno r1 e r2 estão tão

próximos que podemos calcular a força média

como a média aritmética das forças



gravitacionais nas posições r1 e r2, veja gráfico

abaixo.

F

rr1 r2

F1

F2 F =F1 + F2

2

Após calcularmos a força media em cada

intervalo, o passo seguinte é calcular então o

trabalho realizado em cada intervalo e depois

somamos todos os trabalhos para obter o

trabalho total. Vejamos:

Calculando a força média temos:

(

)

Sabendo que d é muito pequeno podemos fazer

( )

Elevando ao quadrado temos

( )

(

)

Calculando o trabalho em cada intervalo

temos:

Primeiro intervalo de R a temos

( )

(

)

( ) (

)

Segundo intervalo de temos

( )

(

)

( ) (

)

Terceiro intervalo temos

( )

(

)

( ) (

)

No enésimo intervalo temos

(

)

Somando os trabalhos em todos os intervalos

temos

(

)

(

)

Como sabemos que

( )

( ) (

)

(

)



O gráfico da variação da energia

potencial gravitacional é medida a partir da

superfície da terra é apresentada na figura

abaixo.

(

)

R 2R

DU

h

mgR

mgR

GmM2R=

20

Terra

h=(r-R)

r

Caso temos (próximo à

superfície da terra)

(

) [

( )

]

[( )

]

Substituindo em temos

Observe que próximo a superfície da

terra pode ser calculado usando qualquer

uma das duas equações.

Falha para grandes distâncias,

devendo, podendo ser usada à equação a seguir

(

)

Igualando termo a termo na equação abaixo

temos

( ) [(

) (

)]

As duas equações acima nos permite

calcular a energia potencial gravitacional

armazenada pela a terra e uma massa puntiforme

para qual distância elas.

A variação da energia potencial entre r e

infinito é dada por:

rr¥

M

Terra

m

.

( ) [(

) (

)]

( ) [(

) ]

A expressão acima calcula a energia potencial

em uma posição r qualquer em relação ao

infinito. O gráfico abaixo mostra como a energia

potencial gravitacional varia para pontos

externos ao planeta terra.

U(r)

GmMR

-

R



Força entre uma casca esférica e uma

massa puntiforme.

Vamos agora obter a energia potencial

gravitacional entre uma casca esférica e uma

massa puntiforme em duas etapas:

1. Calcula-se a energia potencial entre um

anel de massa uniforme M e uma massa

puntiforme m localizada no eixo do anel.

2. Aplica-se o resultado anterior para uma

casca esférica e uma massa puntiforme

localizada ao longo do seu diâmetro, veja

figura.

s

r

R

dm

m

Integrando a expressão acima ao longo

do anel e observando a simetria na distribuição

de massa no anel e que a distância s permanece

constante podendo escrever.

∫

∫

Agora vamos aplicar esse resultado na

casca esférica de massa M e raio R. Primeiro

construímos um diferencial de anel ao longo da

superfície da esfera e aplicamos o resultado

encontrado entre o diferencial de massa e a

massa puntiforme conforme figura abaixo.

sr

qR

dMdq

m

0

Rdq

Retificando o anel de massa e calculando sua

área temos

Rdq2 Rsen(q)

(q) q

Usando o conceito de densidade superficial de

massa temos

(q) q

(q) q

(q) q

∫ ∫



∫

(q) q

∫

(q) q

aplicando a lei dos cossenos no triângulo de

lados R, s e r figura abiaxo temos:

(q)

s

r

qR

dq

m

0

Rsen(q)

Rsen(q) raio do anel

Rdq

Como r e R permanecem constante para

qualquer posição do elemento de área, s é função

apenas de q. Então diferenciando a equação

acima temos:

[ (q) q]

(q) q

Substituindo os resultados acima na

integral de u temos:

∫

∫

vejamos no triângulo de lados R, r e s acima os


s

r

q=0o

R

S=r-R

s

r

q=180o

R

S=r+R

∫

( ) |

[( ) ( )]

Consideremos uma massa m no interior da casca

esférica r < R, veja figura abaixo.

r

q

R

dM

dq

Rdq

m



Isolando o triangulo de lados R, s e r interno a

casca esférica temos:

sR

r

q p

Rsen(q)

Raio do anel

R

Vejamos no triângulo de lados R, r e s acima os


s

R

q=0o

r

S=R-r

s

r

q=180o

R

S=R+r

p

p

R

Observe que a situação é completamente igual

quando a massa m estar do lado de fora, a menos

dos limites de integração. Portanto a integral é a

mesma

∫

( ) |

[( ) ( )]

[ ]

O resultado acima mostra que dentro da casca a

energia potencial entre a massa m e a casca

esférica permanece constante.

Os gráficos da energia potencial em

função da distância até o centro é representado

abaixo considerando uma espessura pequena

comparada com o raio e depois com a espessura

tendendo a zero, vejamos.

r

G m M

R-

0

RPara e<<R

U =G m M

r-

U(r)

r

G m M

R

0

R

U =G m M

r-

e ® 0

-

U(r)

Para calcular a força entre a casca

esférica e a massa m, apliquemos a derivada de u

em relação à r, vejamos.

{

Representando graficamente os resultados

anteriores temos:



F

R

e

r

G m M

R2

-

0

R

Para e<<R

F=0

F =G m M

r2

-

Para uma espessura tendendo a zero temos:

F

r

G m M

R2

-

0

R

F=0

F =G m M

r2

-

e ® 0

Força entre uma massa puntiforme e

uma esfera solida

Conforme vimos anteriormente a energia

potencial gravitacional entre uma esfera de

massa M e uma massa puntiforme de massa m é

dada por:

R

M

mr

Derivando a equação acima em r temos

Que é a força gravitacional entre M e m. esse

resultado simula a força entre um planeta

esférico massa M e um objeto de massa m.

Agora faremos análise de uma massa m

no interior da esfera sólida veja figura baixo.

Isso simula, por exemplo, uma pessoa dentro de

uma caverna contida no interior de um planeta.

Rm

M

r F

r

A força F é dada por:

Substituindo do campo de gravidade no interior

de uma esfera sólida temos.

A energia potencial gravitacional entre M e m

com m no interior da esfera é dada por

∫ ∫

( ) ( ) ∫

∫

( ) ( ) ∫



( ) ( ) ∫

( ) ( )

∫

( ) ( )

|

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

Lançando os resultados acima nos

diagramas da energia potencial e da força F em

função da distância até o centro temos

r

G m M

R-

0

R

U(r) =G m M

r-

U(r)

Gm M

R-3

2 U(r) =G m M

R-

2

G m M

R3

+2

r2

3

0 £ r ³ R

r ³ R

F

r

G m M

R2

-

0

R

F=0

F =G m M

r2

-

F =G m M

R3

-r

Energia potencial de um sistema de

partículas.

m1

m2

m3

r12

r13

r23

( )

Para N partículas temos:

∑∑

∑∑

∑ ∑

∑

∑

Para uma distribuição contínua massa de

temos

M

dm

dm = rdv



∑

∫

∫ ( ) ( )

∫ ( ) ( )

( )

Auto-energia graviatcional de uma

esfera.

A auto energia de uma corpo é definido

como o trabalho necessário para constui-lo a

partir de distâncias infinitas. A auto energia

gravitacional é usualmente necessária em

problemas estelares e galáticos.

Vamos considerar um corpo de densidade

uniforme r e esférico. Vamos construir a esfera

camada por camada, quando a esfera atingir um

raio r sua massa será veja figura abaixo:

m

r dr, dm

A energia de interação entre o caroço

esférico de raio r e uma camada infinitesimal dm

é dada por

( )

( )

∫

( )

|

( )

( )

(

)

( )

( )

A expressão acima mostra que a energia

potencial gravitacional armazenada em uma

estrela ou planeta é diretamente proporcional ao

quadrado da sua massa M e inversamente

proporcional ao raio seu R.

Para finalizar podemos fazer uma

aproximação quanto ao raio do elétron. O raio

clássico do elétron é dado por

De acordo com Einstein a energia de qualquer

partícula é dada por

Igualando as expressões temos:



Substituindo os valores temos:

Problemas

1. Trace as superfícies equipotenciais e as linhas

de força para dois pontos de massa separados por

certa distância. A seguir, considere uma das

massas como tendo uma massa negativa fictícia

de -M. Trace as superfícies equipotenciais e as

linhas de força para esse caso. Para que tipo de

situação física este conjunto de equipotenciais e

linhas de campo se aplica? (Note que as linhas

de força têm direção; portanto, indique isso com

setas apropriadas).

2. Se o vetor campo gravitacional for

independente da distância radial em uma esfera,

descubra a função que descreve a densidade

r=r(r) da esfera.

3. Supondo que a resistência do ar não é

relevante, calcule a velocidade mínima que uma

partícula deve ter na superfície da Terra para

escapar do campo gravitacional da Terra.

Obtenha um valor numérico para o resultado.

(Essa velocidade é chamada de velocidade de

escape.)

4. Uma partícula em repouso é atraída em

direção a um centro de força de acordo com a

relação F = —mk2/x

3. Mostre que o tempo

necessário para a partícula atingir o centro de

força de uma distancia d é d2/k.

5. Uma partícula cai na Terra a partir do repouso

a uma grande altura (várias vezes o raio da

Terra). Desconsidere a resistência do ar e mostre

que a partícula requer aproximadamente

do

tempo total de queda para percorrer a primeira

metade da distância.

6. Calcule diretamente a força gravitacional em

uma unidade de massa em um ponto exterior a

uma esfera homogênea de matéria.

7. Calcule o potencial gravitacional devido a

uma barra fina de comprimento l e massa M a

uma distância R do centro da barra e em uma

direção perpendicular a ela.

8. Calcule o vetor campo gravitacional devido a

um cilindro homogêneo em pontos exteriores ao

eixo do cilindro.

a) faça os cálculos calculando diretamente a

força.

b) faça os cálculos calculando primeiro o

potencial.

9. Calcule o potencial devido a um anel circular

fino de raio a e massa M para os pontos no plano

do anel e exteriores a ele. O resultado pode ser

expresso como uma integral elíptica. Suponha

que a distância do centro do anel para o ponto do

campo é grande se comparada com o raio do

anel. Expanda a expressão para o potencial e

encontre o primeiro termo de correção.



10. Encontre o potencial em pontos fora do eixo

devido a um anel circular de raio a e massa M.

Considere R como a distância do centro do anel

ao ponto de campo e q como o ângulo entre a

linha que conecta o centro do anel com o ponto

de campo e o eixo do anel. Suponha que

de forma que os termos de ordem (a/R)3 e

superior possam ser desconsiderados.

11. Considere um corpo maciço de formato

arbitrário e uma superfície esférica que seja

exterior ao corpo e não o contenha. Mostre que o

valor médio do potencial devido ao corpo

tomado pela superfície esférica é igual ao valor

do potencial no centro da esfera.

12. No problema anterior, considere que o corpo

maciço está dentro da superfície esférica. Agora,

mostre que o valor médio do potencial sobre a

superfície da esfera é igual ao valor do potencial

que existiria na superfície da esfera se toda a

massa do corpo estivesse concentrada no centro

da esfera.

13. Um planeta de densidade r1, (núcleo

esférico, raio R1) com uma nuvem de poeira

esférica espessa (densidade r2, raio R2) é

descoberto. Qual é a força na partícula de massa

m posicionada na nuvem de poeira?

14. Mostre que a autoenergia gravitacional

(energia de um conjunto por partes do infinito)

de uma esfera uniforme de massa M e raio R é

15. Uma partícula é jogada em um orifício feito

diretamente através do centro da Terra. Ao

desconsiderar efeitos de rotação, mostre que o

movimento da partícula é harmônico simples se

você pressupõe que a Terra possui densidade

uniforme. Mostre que o período de oscilação é

por volta de 84 min.

16. Uma esfera de massa uniformemente sólida

M e raio R é fixada a uma distância h acima de

uma folha fina infinita de densidade de massa σ

(massa/área). Com que força a esfera atrai a

folha?

17. O modelo de Newton de altura das marés,

utilizando os dois poços de água escavados no

centro da Terra, baseou-se no fato de que a

pressão na parte inferior dos poços deveria ser a

mesma. Suponha que a água é incompressível e

encontre a diferença de altura de marés h, devido

à Lua, utilizando esse modelo.

∫

∫

18. Mostre que a razão das alturas máximas das

marés devido à Lua e ao Sol é dada por

(

)



e que esse valor é 2,2. REs é a distância entre o

Sol e a Terra e Ms é a massa do Sol.

19. A revolução orbital da Lua em torno da Terra

leva por volta de 27,3 dias e segue a mesma

direção da rotação da Terra (24 h). Utilize essa

informação para mostrar que as marés altas

ocorrem por todo lugar na Terra a cada 12 h e 26

min.

20. Um disco fino de massa M e raio R fica no

plano (x, y) com o eixo z passando por seu

centro. Calcule o potencial gravitacional (z) e o

campo gravitacional g(z) = - ( ) = -k ( )

no

eixo z .

21. Um ponto de massa m está localizado a uma

distância D da extremidade mais próxima de

uma barra fina de massa M e comprimento L ao

longo do eixo da barra. Encontre a força

gravitacional exercida na massa pontual pela

barra.

22. Fazemos uma cavidade esférica em uma bola

de chumbo de raio R , de tal modo que sua

superfície toca o exterior da esfera de chumbo,

passando também pelo seu centro. A massa da

esfera, antes de ser feita a cavidade, era M . Qual

a intensidade da força gravitacional com que a

esfera côncava atrairá uma pequena esfera de

massa m , que está a uma distância d do seu

centro, medida ao longo

23. Três cascas concêntricas de densidade

uniforme têm massa M1 (interna) e M2

(intermediária) M3 (externa) e estão distribuídas

como mostra a figura ao lado. Calcule a força

gravitacional sobre uma partícula de massa m

quando ela estiver em:

a

b

c

a) 0 < r < a

b) a < r < b

c) b < r < c

d) r >c

24. Um foguete é acelerado até uma velocidade

√ próximo à superfície da Terra (aqui

RT é o raio da Terra) e, então, orientado para

cima.



V0

r¥

V¥

RT

a) Mostre que ele escapará da Terra.

b) Mostre que a sua velocidade, quando estiver

muito distante da Terra, será ¥ √

25. Uma esfera de massa M e raio a tem uma

cavidade concêntrica de raio b, como é mostrado

na figura à seguir.

ab

r m

M

a) Faça um esboço do gráfico da força

gravitacional F exercida pela esfera sobre uma

partícula de massa m a uma distância r do centro

da esfera, em função de r entre os limites 0 ≤ r ≥

¥. Considere em particular os pontos r = 0, b, a e

¥.

b) Esboce também o gráfico da energia potencial

gravitacional U(r) deste sistema

26. Um sistema particular de três estrelas é

formado por duas estrelas, cada uma de massa m,

em órbita ao redor de uma estrela central de

massa M, ocupando a mesma órbita circular de

raio r. As duas estrelas estão, sempre, uma em

cada extremo de um diâmetro da órbita. Deduza

uma expressão para o período orbital das estrelas

menores.

m

m

M

Exercícios

1. (ITA - 1980) Um foguete lançado

verticalmente, da superfície da Terra, atinge uma

altitude máxima igual a três vezes o raio R da

Terra. Calcular a velocidade inicial do foguete.

a) √

, onde M é a massa da Terra e G

constante gravitacional.

b) √

c) √

d) √

2. (ITA - 1988) Duas estrelas de massa m e 2m

respectivamente, separadas por uma distância d e

bastante afastadas de qualquer outra massa

considerável, executam movimentos circulares

em torno do centro de massa comum. Nestas

condições, o tempo T para uma revolução

completa, a velocidade v(2m) da estrela maior,

bem como a energia mínima W para separar

completamente as duas estrelas são:



T V(2m) W

a)

√

√

b)

√

√

c)

√

√

d)

√

√

e)

√

√

3. (ITA - 1991) Considere um planeta cuja a

massa é o triplo da massa da Terra e seu raio, o

dobro do raio da Terra. Determine a relação

entre a velocidade de escape deste planeta e a da

Terra (vP/vT) e a relação entre a aceleração

gravitacional na superfície do planeta e da Terra

(gP/gT).

a)

√

b)

√

c)

√

d)

e

e)Nenhuma das anteriores

4. (ITA - 1999) Considere a Terra uma esfera

homogênea e que a aceleração da gravidade nos

pólos seja de 9,8 m/s2. O número pelo qual seria

preciso multiplicar a velocidade de rotação da

Terra de modo que o peso de uma pessoa no

Equador ficasse nulo é:

a)

b)

c) 3

d) 10

e) 17

5. (ITA - 1999) Suponha um cenário de ficção

científica em que a Terra é atingida por um

imenso meteoro. Em conseqüência do impacto,

somente o módulo da velocidade da Terra é

alterado, sendo V0 seu valor imediatamente após

o impacto, como mostra a figura abaixo. O

meteoro colide com a Terra exatamente na

posição onde a distância entre a Terra e o Sol é

mínima (distância AO = R na figura). Considere

a atração gravitacional exercida pelo Sol, tido

como referencial inercial, como a única força de

interação que atua sobre a Terra após a colisão, e

designe por M a massa do Sol e por G a

constante de gravitação universal. Considere

ainda que o momento angular da Terra seja

conservado, isto é, a quantidade de módulo m

sen ( ) permanece constante ao longo da

nova rajetória elíptica da Terra em torno do sol

(nessa expressão, m é a massa da Terra, r é o

módulo do vetor posição da Terra em relação ao

Sol, o módulo da velocidade da Terra e o

ângulo entre r e ). A distância (OB), do

apogeu ao centro do Sol, da trajetória que a

Terra passa a percorrer após o choque com o

meteoro, é dada pela relação:



a) 0

G - 0

b) 0

G 0

c) sen

G 0

d) 0 sen

G - 0

e) R

6. (ITA - 2000). Uma casca esférica tem raio

interno R1, raio externo R2 e massa M distribuída

uniformemente. Uma massa puntiforme m está

localizada no interior dessa casca, a uma

distância d de seu centro ( R1 < d < R2). O

módulo da força gravitacional entre as massas é :

a) 0

b) GMm / d2

c) GMm / (R3- d

3)

d) GMm / (d3- R1

3)

e) GMm (d3- R1

3) / d

2 (R2

3- R1

3)

7. (ITA - 2000) O raio do horizonte de eventos

de um buraco negro corresponde à esfera dentro

da qual nada, nem mesmo luz, escapa da atração

gravitacional por ele exercida. Por coincidência,

esse raio pode ser calculado não

relativisticamente como o raio para o qual a

velocidade de escape é igual à velocidade da luz.

Qual deve ser o raio do horizonte de eventos de

um buraco negro com uma massa igual à massa

da Terra?

a) 9 m

b) 9 mm

c) 30 cm

d) 90 cm

e) 3 km

8. (ITA - 2004) Uma estrela mantém presos, por

meio de sua atração gravitacional, os planetas

Alfa, Beta e Gama. Todos descrevem órbitas

elípticas, em cujo foco comum se encontra a

estrela, conforme a primeira lei de Kepler. Sabe-

se que o semieixo maior da órbita de Beta é o

dobro daquele da órbita de Gama. Sabe-se

também que o período de Alfa é vezes maior

que o período de Beta. Nestas condições, pode-

se afirmar que a razão entre o período de Alfa e

o de Gama é:

a)

b) 2

c) 4

d) 4

e) 6



9. (ITA - 2005) Suponha que na Lua, cujo raio é

R, exista uma cratera de profundidade R/100, do

fundo da qual um projétil é lançado

verticalmente para cima com velocidade inicial v

igual à de escape da cratera. Determine

literalmente a altura máxima alcançada pelo

projétil, caso ele fosse lançado da superfície da

Lua com aquela mesma velocidade inicial v.

10. (ITA – 2007) Lançado verticalmente da

Terra com velocidade inicial V0, um parafuso de

massa m chega com velocidade nula na órbita de

um satélite artificial, geoestacionário em relação

à Terra, que se situa na mesma vertical.

Desprezando a resistência do ar, determine a

velocidade V0 em função da aceleração da

gravidade g na superfície da Terra, raio da Terra

R e altura h do satélite.

11. (ITA – 2008) A estrela anã vermelha Gliese

581 possui um planeta que, num período de 13

dias terrestres, realiza em torno da estrela uma

órbita circular, cujo raio é igual a 1/14 da

distância média entre o Sol e a Terra. Sabendo

que a massa do planeta é aproximadamente igual

à da Terra, pode-se dizer que a razão entre as

massas da Gliese 581 e do nosso Sol é de

aproximadamente:

a) 0,05

b) 0,1

c) 0,6

d) 0,3

e) 4,0

12. (ITA – 2008) Numa dada balança, a leitura é

baseada na deformação de uma mola quando um

objeto é colocado sobre sua plataforma.

Considerando a Terra como uma esfera

homogênea, assinale a opção que indica uma

posição da balança sobre a superfície terrestre

onde o objeto terá a maior leitura.

a) Latitude de 45°.

b) Latitude de 60°.

c) Latitude de 90°.

d) Em qualquer ponto do Equador.

e) A leitura independe da localização da balança

já que a massa do objeto é invariável.

13. (a) Escreva uma expressão para a força

exercida pela Lua, de massa M, sobre uma

partícula de água, de massa m, sobre a Terra em

A, diretamente abaixo da Lua, como mostra a

Figura. O raio da Terra é R e a distância centro

a centro entre a Terra e a Lua é r. (b) Suponha

que a partícula de água estivesse no centro da

Terra. Que força a Lua exerceria sobre ela

naquele ponto? (c) Mostre que a diferença entre

essas forças é dada por 3

2T

GMmRF

r= e

representa a força das marés, a força sobre a



água relativamente à Terra. Qual é a direção e o

sentido da força das marés? (d) Repita para uma

partícula de água em B, no lado oposto da

Terra, em relação à Lua. Qual é a direção e o

sentido desta força de maré? (e) Explique por

que existem duas regiões salientes nos oceanos

(e na Terra sólida), devido às marés, uma

apontando para a Lua e a outra em sentido

oposto.

14. O problema seguinte foi apresentado na

“Olimpíada” da Universidade Pública de

Moscou, em 1946 (veja a Figura): Numa esfera

de chumbo de raio R, faz-se uma cavidade

esférica de tal modo que a sua superfície toca a

superfície externa da esfera de chumbo e passa

pelo centro desta. A massa da esfera antes que a

cavidade fosse feita era M. Com que força, de

acordo com a lei da gravitação universal, a

esfera de chumbo irá agora atrair uma pequena

esfera de massa m, que está à distância d do

centro da esfera de chumbo, sobre uma linha reta

que une os centros das esferas e da cavidade?

15. Uma nave espacial tripulada por marcianos

chega à vizinhança da Terra (de massa M)

seguindo uma órbita hiperbólica cuja assíntota

dista b do centro da Terra. Quando a nave se

encontrava a uma distância muito grande da

Terra, sua velocidade era VO. Qual a relação

entre VO, b e a distância de perigeu a?

16. Considere a Terra como uma esfera

homogênea de raio R que gira com velocidade

angular uniforme ω em torno do seu próprio eixo

Norte-Sul. Na hipótese de ausência de rotação da

Terra, sabe-se que a aceleração da gravidade

seria dada por g = GM/R2. Como ω ≠ 0, um

corpo em repouso na superfície da Terra na

realidade fica sujeito forçosamente a um peso

aparente, que pode ser medido, por exemplo, por

um dinamômetro, cuja direção pode não passar

pelo centro do planeta.



Então, o peso aparente de um corpo de massa m

em repouso na superfície da Terra a uma latitude

λ é dado por:

17. Considere um segmento de reta que liga o

centro de qualquer planeta do sistema solar ao

centro do Sol. De acordo com a 2ª Lei de Kepler,

tal segmento percorre áreas iguais em tempos

iguais. Considere, então, que em dado instante

deixasse de existir o efeito da gravitação entre o

Sol e o planeta. Assinale a alternativa correta.

A. ( ) O segmento de reta em questão continuaria

a percorrer áreas iguais em tempos iguais.

B. ( ) A órbita do planeta continuaria a ser

elíptica, porém com focos diferentes e a 2ª Lei

de Kepler continuaria válida.

C. ( ) A órbita do planeta deixaria de ser elíptica

e a 2ª Lei de Kepler não seria mais válida.

D. ( ) A 2ª Lei de Kepler só é válida quando se

considera uma força que depende do inverso do

quadrado das distâncias entre os corpos e,

portanto, deixaria de ser válida.

E. ( ) O planeta iria se dirigir em direção ao Sol

18. Um sistema particular de três estrelas é

formado por duas estrelas, cada uma de massa

2m, em órbita ao redor de uma estrela central de

massa M, ocupando a mesma órbita circular de

raio r. As duas estrelas estão, sempre, uma em

cada extremo de um diâmetro da órbita. Deduza

uma expressão para o período orbital das estrelas

menores.

2m

2m

M

19. Duas estrelas de massas M e m, separadas

por uma distância d, revoluciona em órbitas

circulares em torno de seu centro de massa. O

período de cada estrela é dado por:

a) √

( )

b) √

c) √

( )

d) √

e) √

20. Suponha que na Lua, cujo raio é R, exista

uma cratera de profundidade R/100, do fundo da

qual um projétil é lançado verticalmente para



cima com velocidade inicial v igual à de escape

da superfície da lua. Determine literalmente a

altura máxima alcançada pelo projétil, contado a

partir da superfície da lua caso ele fosse lançado

do fundo da cratera com a mesma velocidade

inicial v.

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