GRE Recife Sul

3º ENCONTRO DE MATEMÁTICA 2015

Resoluções da Lista

GRE Recife Sul

1) (Adaptada - Ufpe) Uma importante ferramenta que permite a visualização gráfica na geometria analítica é a equação segmentária de uma reta, a sua principal característica possibilita destacar os pontos onde a reta intercepta os eixos coordenados, A(0, q) e B(p, 0). Estabelecendo a condição: (x /p + y/q) = 1, sendo assim . de acordo com a figura abaixo observe que as retas r e s são paralelas, e a distância da origem (0,0) à reta “s” é √3. Sabendo-se que a equação reduzida da reta “s” é y=ax+b. podemos afirmar que 6 p² + 4 q² .é igual a:

45º

45º

45º

45º√3

p = -√6x

y

r

s

√3

q2= (√3)² +( √3)²

q² = 6

(-√6)

(√6)

Assim: 6p² + 4q²

6 (-√6)² + 4(√6)² 6 ( 6) + 4(6) 60 Resposta C

c

doc= q

o q = √6

√3

p

2ª Forma de Resolução: Desenvolvida pelos Professores no Encontro:

B (-c ,0)

A(0,c)45º

45º45º 45º

dps

A(0, q) e B(p, 0) c = -p = q

6p² + 4q² 6 (-√6)² + 4(√6)²

6 ( 6) + 4(6) 6p² + 4q² 60Resposta e

45º

x0 =0 e y0=0 a=1 b=-1 c=c

Encontrando a Equação da reta s

ms= tg45º =1

y=x

y=x +c y=x +c r: x - y +c=0

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2. (UFRRJ ) A distância (d) entre o ponto (p) (intersecção entre as retas r e s), com a reta t e o consequente valor do ângulo β que é formado entre as retas r e s são respectivamente iguais a .

p

Achar as equações de r e s

Em relação a “r” : A(5,0) B(0,5)

mr = 5 - 0 0 - 5

mr= -1 y– y0 = m ( x – xo)

y– o = --1 ( x – 5)

--x + 5

ms = 2 - 0 0 –(-1)

Em relação a “s” : C(-1,0) D(0,2)

ms = 2

y– o = -2[ x – (-1)] y = -2x + 2

Ponto de Intersecção -2x + 2 = 2x + x = 5 - 2 x = 1 y = -2.1 + 2 y = 4

(1,4)

y = -- x + 5 Equação reta r

Equação reta s

Para determinar a distância entre o Ponto de intersecção de r com s P1,4)Com a reta t, é necessário que primeiro se determine a equação da reta t :

Do gráfico temos os seguintes pontos da reta tE(1,0) F( 0,1)mt = ( 1 – 0 ) ( 0 – 1) mt= -1 Retas r e t paralelas

y– y0 = m ( x – xo) y– 0 = --1 ( x – 1)

y = -- x + 1

distância do ponto P a reta r : ax0 + bx0 + c √a² + b²

x + y -1 = 0

Temos a = 1 ; b=1 c=-1 x0 = 1 y0 = 4

Substituindo : d = 1.(1) + 1 .( 4) -1 √1² + 1²

d = 4 √2

d = 4 x √2 √2 x √2

d = 2√2

Equação reta t

d = 2√2

Para determinarmos o ângulo entre as retas r e s temos:

(1,4)

tg β= mr – ms 1 + msxmr

ϴ tg ϴ = mr – ms 1+– mrxms

tg ϴ = 3

ms = 2

tg ϴ = -1– (2) 1 + (-1)x(2)

tg ϴ - 3 1 - 2

tg ϴ= 3

ϴ = arctg 3

mr = -1

Resposta c

180- ϴ

βr βs

ϴ= βr- βs

tg ϴ = mr – ms 1 + msxmr

GRE Recife Sul

73,13

:

73,13

3.(Uel) Considere os pontos A(0;0), B(2;3) e C(4;1). O segmento BC é o diâmetro da circunferência cuja equação esta representada por: a) x² + y² + 6x + 4y + 11 = 0 b) x² + y² - 6x - 4y + 11 = 0 c) x² + y² - 4x + 9y + 11 = 0d) x² + y² - 6x - 4y + 9 = 0 e) x² + y² - 4x - 9y + 9 = 0 °

2

O Centro será o ponto médio de AB

C ( xa + xb ) , ya` + yb

2 2

C ( 4+ 2) , (1` + 3) 2 2

C(3,2)C(3,2)

O raio “r” será a distância BC / 2 d(BC)2 = (xc – xb)² + (yc –yb)² d(BC)2 = (4– 2)² + (1 – 3)² d(BC)2 = (2)² + (–2)²

d(BC)2 = 4 + 4 d(BC) = √8 r = √8/2

Equação geral da circunferência

A

B

c

Equação geral da circunferência

C(3,2)

r = √13/2

ϫ: (x – a)² + (y –b)² = r² C(a,b)

ϫ: (x –3)² + (y–2)² = (√8/2)²

ϫ: (x² –6x + 9) + (y² –4x +4 ) = (8/4)

ϫ: (x² + y² –6x -4y + 13 = 2

ϫ: (x² + y² –6x -4y + 11=0

Logo a equação da circunferência é igual a:

{

Resposta b

4. (PUC Campinas) Sejam o ponto P(-3; 0), a reta r de equação y = x + 6 e a circunferência C de equação x²+y²- 4y = 0. é verdade que: a) P pertence ao interior de C. b) P pertence a r. c) r e C não têm pontos comuns. d) r e C interceptam-se em um único ponto.

e) r e C interceptam-se em dois pontos

a) Se P pertence ao interior de C então, a distância entre os pontos do centro da circunferência e o ponto P deverá ser menor que r

x²+y²- 4y = 0 (x – 0)² + (y – 2)² - 4 = 0 (x – 0)² + (y – 2)² = 4 c( 0, 2) e r= 2

d(cp)2 = (xc – xo)² + (yc –yo)² De P(-3,0) temos: xo = -3 e yo=0

d(cp)2 =[ (0 – (-3)]² + (2–0)² d(cp)2 =[ 3)² + (2)² d(cp) = √13 ˃ 2 P é externo a C

b) Se P pertence a r , ele deve satisfazer a equação de r :

P(-3; 0), a equação de é y = x + 6 P(-3; 0), a equação de é 0= x + 6 x= -6 ≭ -3

P (-3,0) não satisfaz “r”Portanto o ponto “P”: não pertence a reta r

c) Se r e C não tem ponto comum , então a distância entre os pontos do centro da circunferência e a reta r deverá ser maior que - r: x – y +6 =0

distância do ponto c a reta r : ax0 + by0 + c √a² + b²

a=1 b=-1 c=6 xo=0 yo= 2

distância do ponto c a reta r : 1(0) -1(2)+ 6 √1² + (-1)²

d= 4 √2

d= 2√2 ˃ 2 r e c não tem pontos comuns

(d) e (e) : Se r e C não tem ponto comum então , a reta r não é nem secante nem tangente a C .,

Resposta c

5. (Uel) O gráfico abaixo corresponde à função:a) y = 2 sen x b) y = sen (2x) c) y = sen x + 2 d) y = sen (x/2) e) y = sen (4x)

Valor médio = 0

Imagem (Amplitude) = [2.(-1)] e (2.1)

Período : 2π

y = 0 + 2 sen x y = 2sen x

T : 2π / nº mult. X

O n´º que mult. X =1

Resposta a

Valor Médio

Amplitue máxima

Imagem sen [ -1 , 1]

No gráfico :

Amplitue mínima

Temos uma amplitude na imagem de f(x)

Imagem (Amplitude) = -2 e 2

3π/2 2π

Amplitude máxima

Amplitude máxima

T = 2π Nº que meltiplica π

T=2π/1 = 2π

Linha Média

6. O gráfico abaixo representa as vendas de aparelhos celulares em uma loja no primeiro semestre do ano. Essa loja tinha uma meta de vender, no primeiro semestre, 250 aparelhos celulares. Pode-se afirmar que:(A) a meta foi atingida.(B) a meta foi superada.(C) faltaram menos de 50 unidades para se alcançar a meta.(D) as vendas ficaram 75 unidades abaixo da meta.(E) as vendas aumentaram mês a mês.

2025

20

35 35

40

Venda : 20 + 25 + 20 + 35 + 35 + 40 = 175

Meta = 250 aparelhos

Venda = 175 aparelhos

Diferença = 250 - 175 aparelhos = 75

Resposta D

7. (ENEM) O gráfico fornece os valores das ações da empresa XPN, no período das 10 às 17 horas, num dia em que elas oscilaram acentuadamente em curtos intervalos de tempo. Neste dia, cinco investidores compraram e venderam o mesmo volume de ações, porém em horários diferentes, de acordo com a seguinte tabela. Com relação ao capital adquirido na compra e venda das ações, qual O investidor fez o melhor negócio:

Investidor 1 : 460 – 150 = 310

Investidor 2 : 200 – 150 = 50

Investidor 3 : 460 – 380 = 80

Investidor 4 : 100 – 460 = -360

Investidor 5 : 200 – 100 = 100

Vendeu por : comprou por

Lucro = Receita – Custo

Resposta a

8. (M120126ES) Observe no plano cartesiano abaixo a representação da reta r de equação y = mx + n. Os valores de m e n, referentes à reta r são, respectivamente iguais aA) – 4 e 4. B) – 4 e 1. C) 1 e – 4. D) 1 e 4. E) 4 e – 4 .

y= mx + n ; n coordenada que intercepta eixo y

n= -4

Temos no gráfico x = 4 y=0

Logo 0 = 4m -4

m =1

Resposta c

a) y= -x – 5 b) y= x + 5 c) y= -x +5 d) y= 5x +5 e) y = -5x +5

9. De acordo com o gráfico abaixo discriminado Podemos afirmar que a Representação da equação da reta obtida é igual a :

a) y= -x – 5 b) y= x + 5 c) y= -x +5 d) y= 5x +5 e) y = -5x +5

tg ϫ= 3 – 1 2 – 4

tg ϫ= -1

tg ϫ= coeficiente angular : m = -1

P(4,1) Q(2,3)

y– y0 = m ( x – xo)

y– 1 = -1( x – 4)

y– 1 = - x + 4)

y = - x + 5)

Resposta c

21 042 yx 042 yx 04 yx 042 yx 044 yx21 042 yx 042 yx 04 yx 042 yx 044 yx 042 yx

10. A equação da reta que passa pelo ponto (2, –1) e tem coeficiente angular ½ . É igual a :

21

P(2,-1) m = ½ y– y0 = m ( x – xo)

y– (-1) = 1 /2 ( x – 2) 2 (y + 1) = ( x – 2) 2 y + 2 = x – 2

x - 2y – 4 =0

Resposta d

- - x + 2y – 4 =0

11. Em uma promoção de venda de camisas, o valor a ser pago P pelo consumidor é calculado pela expressão P(x) = -½ x + 35, onde x é a quantidade de camisas compradas (0 ≤ x ≤ 20). O gráfico que representa o preço P em função da quantidade x é

3521)( xxP

X=0 P(x)= 35

x= 20 P (x) = -1/2 20 +35 = 25

Resposta a

12. Na figura o ponto P é a interseção das retas r e s. As equações de r e s são respectivamente y = x - 1 e y = -2x + 5. As coordenadas do ponto P são:A) (2,1) B) (1,2) C) (1,0) D) (0,5) E) (1,1)

Ponto de Intersecção :

y = x - 1 e y = -2x + 5.

x - 1 = -2x + 5.

3 x = + 5 +1 . 3 x = 6 x = 2

y = 2 - 1 y = 1

Resposta a

13. D11 – Contextualizar em Sala (M090371A9 ) A figura abaixo representa a área de um sítio que foi cercada com 4 voltas de fio de arame farpado.Qual foi a quantidade mínima de arame farpado usada para cercar essa área?A) 472 m B) 480 m C) 952 m D) 960 m

1 Volta = 2 x 50 + 2 x 70 – 2 = 238

4 Voltas = 4 x 238 = 952m

Resposta a

14. Uma casa, com 899 m2 de área, ocupa uma região retangular de um terreno quadrado, cujo lado mede L metros, conforme mostra o desenho abaixo.Qual é a medida do lado desse terreno?A) 20 metros. B) 29 metros. C) 31 metros. D) 40 metros. E) 50 metros

D) 40 metros. E) 50 metros

L -11

L - 9 (L -11 ) x ( L -9 ) = 899

L² -9L -11L +99 = 899

L² -20L - 800 =0

∆ = 20² - 4 x1 x (- 800) =0

∆ = 3600 √∆ = 60

L1 , l2 = 20 +/- 60 2x1

L1 = -20

L2 = 40m Resposta d

15. Qual é a equação da circunferência de centro C(1,0) e raio r = 3?a) x²+ y² - 2x - 8 =0b) x²+ y² + 2x – 8 =0 c) x²+ y² - 2x - 5 =0d) x²+ y² + 2x – 5 =0 e) x²+ y² + 2x – 4 =0

(X – 1)² + ( y – 0)² = 3²

X² – 2x +1 + ( y² – y0 + 0²) = 9

X² +y² – 2x +1 = 9

X² +y² – 2x - 8 = 0

Resposta a

GRE Recife Sul

Obrigado a todos!

Um abraço!