GRUPO CCarlos Eduardo Oliveira Rodrigues - 122033

Gustavo Chiquetto de Brito - 117135Talles Trama Buozzi - 177328

Thaís Marson - 142007

Conteúdo:Carlos E. O. Rodrigues

Gustavo C. BritoTalles T Buozzi

Thaís Marson

Diagramação original:Fernanda Alves de Oliveira Gonçalves

Marina Luccas Castro

Adaptado por:Thaís Marson

Revisão do Conteúdo:Thaís Marson

Revisão do Latex:Gustavo C. Brito

Caro Estudante,

A matemática depende de algumas definições e notações para representá-la e, comisso, somos capazes de desenvolver logicamente os conceitos, verificar propriedadese até estabelecer paralelos com nossa vida. Fatores importantes para facilitar a visuali-zação e resolução de problemas, além de conseguirmos manipular melhor as equações.

O livro M4T3M4T1C4 apresenta algumas ferramentas fortemente utilizada alémda matemática, por exemplo em assuntos da física e da química, a fim de forneceruma base essencial para trabalhar em problemas. Há uma introdução histórica quetenta mostrar que a matemática se desenvolve segundo demandas de seu tempo, afim de esclarecer que não é simplesmente algo dado como verdadeiro, mas que foidesenvolvido.

Como nossas vidas são cheias de desafios enriquecedores, ao fim dos capítulosapresentamos um, para que se utilize o que foi aprendido no capítulo, numa formadiferente dos exercícios, os quais tem a finalidade de treinar o estudante para que elesaiba manusear bem os novos conceitos.

O livro é muito importante para que se relembre o aprendido em sala de aula,através da leitura da teoria, a qual contém as explicações, e exercícios para fixar osconhecimentos.

Um Pouco de História

Hipócratesde Quios

A palavra “potência” foi utilizada pela primeira vez por Hipó-crates de Quios (470 – 410a.C.), num célebre livro em que reuniu,de modo lógico e organizado, a Geometria da época, e tal livro,considerado o primeiro em Geometria, foi precursor dos Elemen-tos de Euclides, no qual dizem que Euclides recolheu muitasinformações importantes. Hipócrates designou o quadrado deum segmento pela palavra “dynamis”, que significa precisamente:potência.

Mas foi com Arquimedes de Siracusa (287 – 212a.C.), o maiormatemático da Antiguidade e um dos maiores de todos os tempos,que as potenciações tiveram seus cálculos mais significativos.Arquimedes foi grande tanto na Matemática quanto na Física,e tinha grande habilidade na engenharia e na construção de so-fisticados mecanismos. Em seu trabalho, O Contador de Grãos

Arquimedesde Sira-cusa

de Areia, Arquimedes criou um sistema de numeração especial-mente destinado a exprimir números muito grandes, como o dosgrãos de areia necessários a preencher uma esfera de raio igual àdistância entre a Terra e o Sol. Obteve a solução 1051, que nãopodia ser escrita na numeração utilizada na altura (alfabética),uma vez que apenas permitia escrever números até 10000 (umamiríade). Arquimedes criou então um novo sistema: conside-rou os números de 1 a 108, ou seja, até uma miríade de miríade(10000 · 10000 = 108), que se podiam escrever na numeraçãogrega como sendo de primeira ordem; depois, os números de 108

até 1016 como sendo de segunda ordem, em que a unidade é 108,e assim sucessivamente. Arquimedes utilizou, deste modo, umaregra equivalente à propriedade da multiplicação de potênciascom a mesma base:

1051 = 103 ·108 ·108 ·108 ·108 ·108 ·108

Outras fontes dizem que, posteriormente, Arquimedes obteve asolução 1063, seguindo os mesmos passos.

Para facilitar os cálculos, Arquimedes construiu uma tabela eelaborou um método para escrever números grandes, utilizandoas miríades, que hoje conhecemos como expoentes. Com isso,utilizava as potências de 10 na qual conhecemos hoje, principal-mente em cálculos com notação científica, usados em cálculosde átomos, moléculas, elétrons e outras partículas, além de gran-des distâncias assim como da Terra ao Sol. Também contribuiupara a construção das leis e propriedades das potências, na qualconhecemos hoje.

M4T3M4T1C4 9

Potencia com ExpoenteInteiro(Z):

Com a finalidade de simplificar e diminuir as contas na ma-temática, criamos algumas notações com grandes significados.Aqui temos como objetivo entender primeiramente o significadodesta notação e, posteriormente, utilizá-las para facilitar na reso-lução de alguns problemas e equações.

Iniciaremos o contato com potenciação com a seguinte defini-ção que possui algumas restrições, as quais serão retiradas mais afrente:

Se a for um número qualquer pertencente ao conjunto dos reais(R) e b for um número qualquer pertencente ao conjunto dosnaturais (N), teremos a notação ab, sendo a chamado de basee b chamado de expoente, que significa

ab =a · a · · ·a︸ ︷︷ ︸b vezes

com o a aparecendo b vezes na multiplicação.Obs.: Se b = 1, então:

a1 =a︸︷︷︸

1 vez= a

Quadrado perfeito é qualquer número natural que possa serrepresentado pelo quadrado de um número também natural.

Exemplo 1. Utilizando a definição acima, podemos calcu-lar 32 veja:

32 = 3 ·3 = 9

Sabemos que 3 e 9 são números naturais. Como 9 pode serrepresentado pelo quadrado de 3 (32), então, podemos dizerque 9 é um quadrado perfeito.

M4T3M4T1C4 10

Exemplo 2. Também podemos calcular 25 da seguinte ma-neira:

25 = 2 ·2 ·2 ·2 ·2 = 32

Como dito anteriormente, iremos retirar aos poucos algumasrestrições referentes aos conjuntos numéricos, para conseguirmosusar a ferramenta de potenciação para uma quantidade maior denúmeros.

Trabalhar com a forma de potência nos garante algumas pro-priedades vindas da definição e, por isso, vamos mostrar comochegamos nos resultados e, assim, conseguiremos enxergar por-que elas realmente são válidas. Isso simplificará a resolução demuitos exercícios e, além disso, explicitará como essa notaçãoreduz algumas contas.

Propriedades para Expoente Natural (N)Quando temos os números a,b quaisquer pertencentes aos

conjunto dos números reais (R) e outros c,d pertencentes aoconjunto dos inteiros (Z), são válidas as seguintes propriedades:

1. Produto de potências de mesma baseSe temos duas potências de mesma base, então o produtoentre elas será uma potência de mesma base e expoente iguala soma dos dois expoentes, podemos ver melhor a seguir:

ac · ad =(a · · ·a)︸ ︷︷ ︸c vezes

·(a · · ·a)︸ ︷︷ ︸d vezes

=a · · ·a︸ ︷︷ ︸

c+d vezes

ou seja, temos o a aparecendo c + d vezes nessa multiplica-ção, portanto podemos escrever

ac · ad = ac+d

Exemplo 3. Utilizando a propriedade 1, podemos cal-cular facilmente 52 ·513, veja:

52 ·513 = 52+13 = 515

2. Quociente de duas potênciasSe temos uma fração na qual o numerador e o denominadorsão potências de mesma base, representando as potênciascomo produtos, podemos simplificar, podemos ver melhor aseguir:

M4T3M4T1C4 11

ac

ad =

c vezes︷ ︸︸ ︷a · · ·aa · · ·a︸ ︷︷ ︸

d vezes

Nesta fração, no produto do numerador, há c fatores iguais aa e no denominador há d fatores iguais a a. Simplificandoesta fração, teremos c – d fatores iguais a a. Portanto

ac

ad =

c vezes︷ ︸︸ ︷a · · ·aa · · ·a︸ ︷︷ ︸

d vezes

= ac–d

Então:

ac

ad = ac–d

Como aqui estamos trabalhando apenas com números na-turais (N), então neste caso é necessário que c > d. O casoc = d ou c < d será visto no próximo capítulo.

Exemplo 4. Aplicando a propriedade para513

52 , temos

513

52 = 513–2 = 511

3. Potência da potênciaEscrevendo o título da propriedade com símbolos matemáti-cos temos: (ac)d.

Aplicando a definição de potência, temos:

(a · · ·a)d︸ ︷︷ ︸c vezes

Dentro dos parenteses temos um produto com c fatores iguaisa a. Aplicando novamente a definição de potência, temos:

M4T3M4T1C4 12

(a · · ·a)︸ ︷︷ ︸c vezes

· · ·(a · · ·a)︸ ︷︷ ︸c vezes︸ ︷︷ ︸

d vezes

.

Isso quer dizer que temos um produto com d fatores iguais a(a · · ·a).Então no fim temos d · c fatores iguais a a, logo

(ac)d = ac·d = ad·c = (ad)c

Exemplo 5. Aplicando a propriedade para (32)5

(32)5 = 32·5 = 310

4. Potência do produtoAqui já não temos apenas um elemento na base, mas umproduto, que podemos escrever da seguinte forma: (a ·b)c.

Apliquemos a definição de potência e chegaremos na se-guinte expressão:

(a ·b)c =(a ·b) · · · (a ·b)︸ ︷︷ ︸

c vezes

Neste produto, temos c fatores iguais a (a · b), mas pode-mos reescrever a equação acima de um modo que facilite avisualização:

(a ·b)c =(a ·b) · · · (a ·b)︸ ︷︷ ︸

c vezes=

(a · · ·a)︸ ︷︷ ︸c vezes

·(b · · ·b)︸ ︷︷ ︸c vezes

= ac ·bc

Isso quer dizer que:

(a ·b)c = ac ·bc

Daqui aplicamos esta última propriedade e vemos que(ab

)c=

ac

bc

M4T3M4T1C4 13

Exemplo 6. Aplicando para(

23

)4temos:

(23

)4=

24

34

Agora que esgotamos essa forma mais simples da potência,vamos tentar expandir nossos horizontes, trabalhar com maisconjuntos numéricos e tornar a potência uma ferramenta aindamais poderosa.

É importante ressaltar que aqui estamos aprendendo potên-cias de uma maneira pura, ou seja, simplesmente o significadomatemático de potência para, posteriormente, utilizar em outrostemas.

A restrição que foi tão citada no início da seção era referente aoconjunto que o expoente pertence. Neste caso inicial ele pertenciaao conjunto dos naturais (N), portanto sempre eram positivos. Ese o expoente fosse igual a zero? E se ele pertencesse ao conjuntodos inteiros (Z) e fosse negativo?

São convenções estabelecidas as responsáveis pelas respostasdessas perguntas. Elas serão apresentadas como definições paraesclarecer.

Caso o expoente seja zero e possua uma base pertencente aosreais(R) teremos:

a0 = 1.

Quando temos um a pertencente aos reais(R) e um b perten-cente aos inteiros(Z) então temos:

a–b =1ab

Exemplo 7. Calculando(

12

)–2temos:

(12

)–2=(

21

)2

É possível entender a causa disso observando mais profun-damente o item 2 das propriedades de expoentes naturais. Láexcluímos o caso c < d pois c – d daria um número negativo, istoé, pertencente aos inteiros(Z) e a fração teria mais fatores nodenominador. Portanto ac–d seria uma fração.

M4T3M4T1C4 14

As propriedades apresentadas anteriormente, então, valempara expoentes iguais a zero e negativos.Propriedades para expoentes inteiros (Z)

Aqui apresentaremos as propriedades considerando os expo-entes negativos e nulos, portanto teremos a,b pertencentes aoconjuntos dos reais (R) e c,d pertencentes ao conjuntos dos intei-ros (Z).

1. Produto de potências de mesma baseQuando temos um produto de potências de mesma base comexpoentes negativos, a propriedade ocorre de maneira similarà apresentada anteriormente só que agora no denominador.Veja como podemos desenvolver a expressão:

a–c · a–d =1ac ·

1ad =

1ac · ad =

1ac+d = a–(c+d)

Enxergamos no denominador a propriedade mostrada anteri-ormente. Por fim, em resumo temos:

a–c · a–d = a–(c+d) =1

ac+d

Exemplo 8. Aplicando a propriedade para 7–2 · 7–3,temos:

7–2 ·7–3 = 7–(2+3) =1

72+3 =175

2. Quociente de duas potênciasQuando nos depararmos com uma fração composta por po-tências de mesma base com expoentes negativos, podemostambém resolver de forma similar à propriedade análoga dotópico de “Expoentes Naturais”. Veja:

a–c

a–d =1ac

1ad

=1ac ·

ad

1=

ad

ac = ad–c

Então temos:

a–c

a–d = a–c–(–d) = ad–c

que é possível verificar a propriedade do quociente já ditaanteriormente.

M4T3M4T1C4 15

Exemplo 9. Aplicando para2–1

2–5

2–1

2–5 = 2–1–(–5) = 25–1 = 24

3. Potência da potênciaAo se deparar com este caso, demonstramos de maneirasemelhante à propriedade de potência da potência do tópicode “Expoente Naturais”.

(a–c)–d = a(–c)·(–d) = ac·d

Exemplo 10. Aplicando para (3–5)–2

(3–5)–2 = 3(–5)·(–2) = 310

4. Potência do produtoAqui temos um produto com expoente negativo, daí podemosdemonstrar de maneira análoga à propriedade de mesmonome do tópico de “Expoentes Naturais”

(a ·b)–c =1

(a ·b)c

Exemplo 11. Calculando (2 ·3)–4

(2 ·3)–4 =1

(2 ·3)4 =164

Como já é possível reparar, as propriedades aqui acontecemde forma similar às da seção anterior, então tente mostrar que aspropriedades 2 e a 3 valem para os expoentes negativo também!Isso poderá te dar mais autonomia e entender de onde surgemmuitas das “fórmulas matemáticas”.

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Exerc«“cios propostos

1- Considerando o produto 2 ·2 ·2 ·2 ·2 ·2.Escreva-o como potência de base:a) 2 b) 4 c) 8 d) 64

2- Calcule:a) 63 b) 28 c) 09 d) 1012

3- Calcule:a) (–3)2 b) –32

Por que os resultados são diferentes?

4- Calcule:

a)(

–24

)4

b)–72

2

c) –(

–35

)4

d) –(

23

)5

5- Podemos fazer tinta utilizando água,cola e pó de giz. Sabendo que com opó de um giz de reuso, podemos fazer12 ml de tinta, quantos ml de tinta con-seguimos fazer em uma semana para osalunos de uma escola se, a escola compra12 caixas de giz por semana, cada caixacontém 12 potes com 12 gizes cada pote?

6- No chão de uma sala quadrada há umtapete também quadrado que foram me-ditos em metros (m) como mostra a fi-gura

a) Calcule o perímetro do tapete.b) Qual a área do chão sem tapete?

7- Qual é o expoente?a) 2x = 32

b) 10t =(

1100

) c) 3m = 81

d) 2n =(

164

)

8- Veja como a sequência a seguir é for-mada de uma maneira muito curiosa

a) Qual é o número de triângulos pinta-dos em cada figura? Escreva em formade potência.b) Qual será o número de triângulos pin-tados na próxima figura?

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9- Escreva sob a forma de uma só potên-cia comuma) a2 · a · a4

b) 58 ·5–1 ·52

c) (0,1)–2 · (0,1)–8

d) 32 ·3 ·3e) 22 ·4 ·2–6

f) 27 ·3 ·9

10- Aplique as propriedades convenien-tesa) (32)4

b) (52)–1

c) (2 ·3 ·4)3

d) (2 : 4)4 ·3e) (108 : 104) ·10–2

f) 38 : (3 ·32)5

11- Relacione as expressões que têm omesmo valorA) 7 ·7 ·7 ·7 ·7B) (72)4

C) (72)2

D) 74 ·72

I) 494

II) 7 ·7 ·7 ·7III) (73)2

IV) 74 ·7

12- Qual o valor de 2359 : 2356

13- Sabendo que 210 = 1024, calcule 29

14- Respondaa) Qual é a metade de 220?b) Qual é a quarta parte de 220?

15- Escreva os seguintes números emordem descrecente326 212 168 415 811

16- Durante um programa de condicio-namento físico, uma pessoa deve correrdurante 7 dias. A cada dia deve percor-rer uma distância igual ao dobro do diaanterior. Comecei o programa correndo1km. Quantos km correrei em 7 dias?

17- Um salão de forma quadrada vai serrevestido com mosaicos como mostra afigura. Os mosaicos das diagonais sãopretos e os restantes são brancos. Se fo-rem usados 101 mosaicos pretos, qualserá o número total de mosaicos bran-cos?

18- Quantos cubos de 2cm de aresta ca-bem em um cubo de 8cm de aresta?

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DesafioEm uma província chamada Taligana havia um Rajá que perdeu um de seus

filhos em uma batalha, por este motivo encontrava-se em profunda depressão e jánão cuidava mais do seu reino e de si próprio.

Certo dia, Rajá recebeu a visita inesperada de Lahur Sessa, que neste dialhe apresentou um tabuleiro com 64 casas, sendo estas, metade na cor preta emetade na cor branca e juntamente apresentara ao Rajá as peças que representavamfielmente as tropas de seu exército, a infantaria, a cavalaria, os carros de combate,os condutores de elefantes, o principal vizir e o próprio Rajá.

Para Sessa, este jogo trouxe ao Rajá paz e o livrou da depressão. O Rajá insistiuentão que Sessa aceitasse uma recompensa, como gratidão pelo que ele havia feito.Por sua vez, Sessa apenas pediu-lhe grãos de trigo para que colocasse no tabuleiro.A quantidade de grãos que obedeceriam a seguinte sequência: um grão na primeiracasa, dois grãos na segunda casa, quatro grãos na terceira, oito grãos na quarta eassim sucessivamente até completar todas as casas do tabuleiro. Rajá achou que opedido de Sessa era tão simples de ser cumprido, que ordenou aos seus súditos quefizessem os cálculos e que entregassem a Sessa a sua recompensa.

Após a realização dos cálculos Rajá percebeu que sua safra não seria suficientepara completar o tabuleiro de Sessa. Ficaria endividado por toda a vida. Rajá ficouimpressionado com a inteligência do Sessa e convidou-lhe para ser seu vizir princi-pal de seu reino. Sessa então aceitou o convite de Rajá e, desta forma, também operdão de Sessa pela sua dívida pelos grãos de trigo.

Resolva você:

a) Sabemos pelo texto que teremos um grão na primeira casa, dois grãos na segundacasa, quatro grãos na terceira, oito grãos na quarta e assim sucessivamente. Quantosgrãos teremos na sexta casa? E na oitava? O que está acontecendo em cada casa?

b) Quantos grãos então, o rajá estava devendo? Sabemos que 100 grãos pesa emmédia 2,73g (segundo o Instituto Agronômico de Campinas), quantos kg tem ototal de grãos da dívida do Rajá?

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Um Pouco de História

Símboloquedesignaradical

Os primeiros registros do uso de radicais para solução deproblemas vieram dos Hindus(originários principalmente da Índia,Nepal e Bangladesh). Eles utilizaram, a princípio, as regras deextração de raízes quadradas e cúbicas, dando passos gigantescosnos meios resolutivos da matemática.

Os árabes (O chamado mundo árabe é constituído por deze-nove países, doze dos quais são asiáticos Síria, Líbano, Jordânia,Iraque, Arábia Saudita, Iêmen, Iêmen do Sul, Sultanato de Omã,Qatar, Emirados Árabes Unidos, Bahrein, Kuwait e sete africa-nos Egito, Líbia, Tunísia, Argélia, Marrocos, Mauritânia, Sudão),aprendizes dos Hindus, utilizavam uma palavra (gird) advinda deuma linguagem árabe para designar radicais. Esta palavra tinhaem sua definição o significado de raiz quadrada. Paralelo a isso,o conhecimento sobre uma raiz particularmente curiosa, por setratar de um número irracional, foi descoberto pelos pitagóricosna Grécia por volta do século V a.C. ao fazerem uma relaçãoentre a medida da diagonal com o lado de um quadrado de ladounitário.

A origem da palavra radical vem do latim radix ou radicise significa raiz. Já o símbolo de radical só foi inserido no anode 1525 pelo matemático Chistoff Rusolff, em seu livro sobreálgebra Die coss. Por analogia, chegamos ao entendimento que osímbolo de radical tenha surgido devido a sua semelhança com aletra r, letra inicial da palavra radical.

Para compreendermos o significado real da palavra radical énecessário que saibamos também o que significa raiz. Em termosde um dicionário convencional, raiz é o número que é elevadoa certa potência. Da mesma forma encontramos que radical éo símbolo precedente a certa quantidade quando se quer extrairalguma raiz. Sendo assim, diremos que radical se refere à raiz,e que raiz é a extração feita de certa quantidade com a ajuda doradical.

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Potencia com ExpoenteRacional(Q)

Como já expressamos, temos o objetivo de melhorar cada vezmais nossa ferramenta de potenciação para termos condições deresolvermos um maior número de problemas.

No entanto, começaremos lhes mostrando uma definição eposteriormente vamos ver como agem as propriedades, semprecomparando com o que já sabemos para termos uma boa base.

A partir da definição que apresentaremos, também seremoscapazes de aprender as propriedades de raízes. No entanto, antesdisso, é preciso que saibamos como se estrutura uma raiz e o quesignifica esta operação matemática.

A seguinte expressão:

n√a = b

tem o mesmo significado que a seguinte expressão:

a = bn

com a,b,n pertencentes ao conjunto dos números reais (R).

Exemplo 1. Vamos calcular a seguinte raiz: 2√42√4 = 2 pois 4 = 22

Sendo a um número real(R) e c,d inteiros(Z), o número raci-onal (Q) no expoente representará uma raiz, como segue demodo genérico:

acd = d√ac

Exemplo 2. Veja para a = 4, c = 2 e d = 4:

424 =

4√

42 = 4√16 =4√

24 = 2

Sabendo disso, podemos fazer relações com as propriedadesanteriores, procurando semelhanças.

Propriedades para Expoente Racional (Q)

Aqui estudaremos, partindo em todos os casos da forma deradical, as propriedades para potências com expoente racional, ou

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seja, aumentaremos a capacidade da nossa ferramenta de potenci-ação, agora em conjunto com a radiciação, tornando ela capaz deresolver uma quantidade maior de problemas. Para seguir, sejama,b números reais(R) e c,d,e, f números inteiros(Z).

1. Produto de Potências de mesma base

d√ac · f√ae = acd · a

ef = a

cd+e

f = acf+ed

df =df√

acf+ed

No expoente temos uma soma de frações, assim, pela defi-nição de “expoente racional(Q)” podemos formar a últimaraiz. Simplificadamente:

d√ac · f√ae =df√

acf+ed.

Exemplo 3. Aplicando para3√

24 · 2√

23

3√

24 · 2√

23 = 243 ·2

32 = 2

8+96 =

6√

217

2. Quociente de duas potênciasde mesma base

d√ac

f√ae=

acd

aef

= acd · a–e

f = acd–e

f = acf–ed

df =df√

acf–ed

No expoente aparece uma subtração de frações. Depoisdisso, utilizamos a definição de “expoente racional(Q)”,simplificadamente:

d√ac

f√ae=

df√

acf–ed

Exemplo 4. Aplicando para3√24

2√23

3√24

4√23=

243

234

= 216–912 =

12√

27

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3. Potência da potência

(acd )

ef = a

cedf

Como exercício, tente aplicar a definição de “expoente raci-onal (Q)” para enxergar como ficaria no formato de raiz.

4. Potência do produto

(a ·b)cd = a

cd ·b

cd

Tente aplicar a definição de “expoente racional(Q)” e relem-brar as propriedades do capítulo anterior para verificar se aúltima igualdade realmente é verdadeira.

Exemplo 5. Aplicando para (3 ·412 )

23

(3 ·412 )

23 = 3

23 · (4

12 )

23 = 3

23 ·4

26

Sabendo-se das propriedades desse e do capítulo anterior po-demos fazer várias misturas que serão verificadas em muitosexercícios, onde você poderá colocar a prova suas habilidadespara manipular as potências.

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Exerc«“cios propostos

1- Resolva e simplifique quando neces-sário:a) 3

42 + 2

42

b) 416 –

23

c) 542 + 27

23

d) 642 +

23

e) 242 – 2

42

f) 842 – 4

16

g) 922 +

35

h) 16912 – 6

42

2- Usando da convenção sobre opera-ções, simplifique as expressões.a)(

62512 + 1/7

)–(

412 ·4

12)

b) 31 –(

5112)2

c)24 +

(125

13)

29+[(

3612)2

+(

4912)3]

d) 32 +

(4

24

2

)·(

32 – 7)

3- Das afirmações a seguir qual ou quaissão verdadeira?a) 2–5 é inteirob) 4

12 é natural

c) 3–2 é naturald) 82 é natural

4- Calcule:a)

5√

34 ·24

b)5√

33 ·32

c)2√

32 ·32

d) 6√(

92)3

e) 3√729f) 4√625g)

3√

82 · 3√8

5- Aplique as propriedades aprendidasneste capítulo conforme necessário.

a) (0,5 ·8)12

b) (812 )8

c)3√27

3√216d)

4√

33 · 2√

34

e) (5 ·25)12

f) (14412 )4

g)4√16

4√625h)

4√

93 · 2√

94

6-Complete o espaço com > (maior) ou< (menor).a) 169

12 __

4√

33 · 2√

34

b) (412 )2 __ 3√512

c) (14412 )2 __ 3√2197

d) (512 )2 __ 4√10000

e) (612 )2 __ 3√343

f) (712 )2 __ 3√216

g) (312 )2 __ 2√64

h) (112 )2 __ 3√0

7-Determine:a) o menor quadrado perfeito de 1 alga-rismo.b) o maior quadrado perfeito de 1 alga-rismo.c) o menor quadrado perfeito de 2 alga-rismo.d) o maior quadrado perfeito de 2 alga-rismo.e) o menor quadrado perfeito de 3 alga-rismo.

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f) o maior quadrado perfeito de 3 alga-rismo.g) o menor quadrado perfeito de 4 alga-rismo.h) o maior quadrado perfeito de 4 alga-rismo.

8- Quantos quadrados perfeitos são divi-sores de 360?

9- Quantos quadrados perfeitos são divi-sores de 30963?

10- Em uma reta graduada, posicionecorretamente os números:√

11,√

4, 3√125, 2713 ,√

64,√

4, 6412 ,

34313 .

11- O esporte olímpico Judo, é praticadosobre um tatâmi quadrado. Em uma aca-demia o anuncio dizia que o tatâmi tem36m2 , qual é a medida das laterais dessetatâmi?

12- No gráfico abaixo, qual letra de co-luna corresponde ao número

√25?

a) A.b) B.c) C.d) D.

13- Em cada um dos itens abaixo faça(xy)6

4 e (x ·y)14

a) x = 1 e y = 2b) x = 3 e y = 5c) x = 2 e y = 2d) x = 13 e y = 3

14- Uma criança possui um volume debrinquedos de aproximadamente 216m3.Sabendo que em uma loja há apenas mo-delos de caixa em forma de cubo, cubostem todas as arestas regulares, quantomede em metros a altura do cubo(caixade brinquedos)?

15- Ordene os números de maneira cres-cente.3√64,

√64, 169

12 , 144

12

16- Aplique as propriedades cabíveis esimplifique quando possível.

a) (14 ·35)12

b) (312 )3

c)3√2163√64

d)6√

23 · 4√

24

e) (4 ·25)12

f) (412 )4

g)4√6254√216

h)4√

73 · 2√

74

17- Escreva os números inteiros quadra-dos perfeitos compreendidos entre 99 e200.

18- Verifique qual sentença é falsa. Podehaver mais de uma verdadeira.

a) an + am = an+m

b) am : an = am–n c) anm = m√an

d) (an)m = anm

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DesafioO quadrado mágico nasceu na Asia e se difundiu-se pelo mundo.O quadrado abaixo foi preenchido com números de 1 a 9, e tem a peculiaridadede ao somar três números em linha: vertical, horizontal ou diagonal, a soma é 15.Complete o quadrado mágico usando as propriedades de potenciação, descubra osnúmeros já contidos e preencha os que faltam.

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Torres de Han«oiSinopseEste experimento se trata de um jogo conhecido por Torres de Hanói, oqual se constrói a partir de 3 pinos e alguns discos. Ele possui regras bemsimples: os discos que, inicialmente, formam uma torre no primeiro pino,em ordem decrescente de tamanho, devem ser transferidos para o último,movendo-se apenas um disco de cada vez e nunca colocando um disco maiorsobre um menor. Neste experimento, vamos, primeiramente, pensar em umaestratégia para solucionar esse jogo usando o menor número possível demovimentos. Depois, vamos tentar encontrar a relação algébrica que fornece omenor número possível de movimentos em função do número de discos na Torre.

Comentários iniciaisNeste experimento vocês vão conhecer e analisar um jogo de estratégiaconhecido por Torres de Hanói, ilustrado a seguir. Tentem vencê-lo em grupo,usando o menor número de movimentos possíveis. Bom jogo!

Regras do JogoInicialmente, coloquem os discos no pino da esquerda, com os maiores sob osmenores. Deve-se transferir todos os discos para o pino da direita utilizandoo do meio como auxiliar, movendo apenas um disco de cada vez e nuncacolocando um disco maior sobre um menor.

1. Construção das Torres de Hanói(a) Com o isopor de 15mm, construam 5 discos, de raios 1,5 cm, 2,0cm,

2,5 cm, 3,0cm e 3,5 cm. Depois, encape-os com papel de seda de coresdiferentes.

(b) Façam uma placa de 23cm x 8cm com o isopor de 20mm e fixem nela,de maneira alinhada, as três varetas de churrasco.

2. O jogo

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(a) Tentem vencer o jogo com 1, 2 e 3 discos.(b) Vocês acham que é possível predizer qual será o menor número de

movimentos necessários para transferir os discos do primeiro para oúltimo pino? Se sim, quantos movimentos vocês acham que serãosuficientes para uma Torre com 10 discos?

(c) Chamando de n o número de discos na partida e de J o menor númerode movimentos feitos para vencê-la, tentem preencher a tabela abaixo.

n J12345

3. Investigação de uma relação(a) Com base na última coluna da tabela que o professor fará na lousa,

tentem descobrir qual será o menor número de movimentos para 6, 7 e8 discos.

(b) Escrevam os primeiros elementos da sequência “Menor número demovimentos” (J) e façam um gráfico de n x Jn, onde Jn é o númeromínimo de movimentos para o caso de n discos. Esta sequência lembraa vocês alguma relação conhecida?

(c) Vocês saberiam descrever alguma fórmula que prediga o número mí-nimo de lances para solucionar o jogo a partir do número de discos napartida? Como vocês chegaram a essa hipótese?

Jogue onlineVocê também pode jogar online, basta acessar o código QR abaixo.

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Bibliografia

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[28] TrustThisProduct. Gerador online gratuito códigos de QR. https:/ / qrcode . trustthisproduct . com / free - qr - code -generator.php?lang=pt.

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