Grupos - Introdução

Um polinômio em n indeterminadas f(t1, . . . , tn) é chamado de simétrico se �car invariante

quando permutamos as indeterminadas t1, . . . , tn. Por exemplo, t1 + t2 + t3 + t4 é um polinômio

simétrico em 4 indeterminadas. Em geral, t1 + · · · + tn é um polinômio simétrico em n indetermi-

nadas. Também t1t2 · · · tn =∏n

i=1 ti é simétrico. Para tornar a de�nição de polinômio simétrico mais

precisa vamos �xar alguns dados sobre permutações.

Cada permutação tanto pode ser pensada como uma simples troca na ordem dos elementos: de

1234 para 2143. Como também pode ser pensada como uma função σ : {1, 2, 3, 4} → {1, 2, 3, 4}

tal que σ(1) = 2 σ(2) = 1 σ(3) = 4 σ(4) = 3.

Essa segunda forma é mais vantajoso pois podemos, por exemplo, compor duas funções: se

τ : {1, 2, 3, 4} → {1, 2, 3, 4} for a permutação τ(1) = 3, τ(3) = 4, τ(4) = 1, e τ(2) = 2, podemos

compor as duas σ ◦ τ em uma nova permutação, σ ◦ τ(1) = σ(3) = 4, σ ◦ τ(2) = σ(2) = 1, σ ◦ τ(3) =

σ(4) = 3, σ ◦ τ(4) = σ(1) = 2.

Vamos então olhar para uma permutação do conjunto {1, 2, . . . , n}, com n elementos como uma

função bijetiva do conjunto nele mesmo, isto é, as permutações de n elementos são as funções bijetivas

σ : {1, 2, . . . , n} → {1, 2, . . . , n}. O conjunto de todas as permutações é denotado por Sn e tem n!

elementos. Sn com a operação de composição de funções é chamado de grupo simétrico.

Observe que com a introdução dessa linguagem a de�nição de polinômio simétrico �ca muito

mais precisa: de�nimos agora um polinômio f(t1, . . . , tn) com sendo simétrico se f(tσ(1), . . . , tσ(n)) =

f(t1, . . . , tn), para toda permutação σ ∈ Sn.

Dentre os polinômios simétricos em n indeterminadas encontramos uma família muito especial

que descrevemos a seguir:

eo(t1, . . . , tn) = 1,

e1(t1, . . . , tn) = t1 + · · ·+ tn,

e2(t1, . . . , tn) =∑

i<j titj,...

......

......

...

ej(t1, . . . , tn) =∑

i1<i2<···<ijti1ti2 · · · tij ,

......

...

en(t1, . . . , tn) =∏n

i=1 ti

Esses polinômios são chamados de polinômios simétricos elementares e são os coe�cientes da equação

geral de grau n nas indeterminadas x, t1, . . . , tn:

F (x, t1, . . . , tn) = (x− t1)(x− t2) · · · (x− tn) = (1)

1

xn − e1(t1, . . . , tn)xn−1 + e2(t1, . . . , tn)xn−2 + · · ·+ (−1)jej(t1, . . . , tn)xn−j + · · ·+ (−1)nen(t1, . . . , tn).

Sabemos que nos complexos, C, todo polinômio de grau n fatora-se completamente em polinômios de

grau 1: g(x) = xn +an−1xn−1 + · · ·+ao = (x− b1)(x− b2) · · · (x− bn), onde b1, . . . , bn são as raízes de

g(x). Vemos assim que substituindo-se t1, . . . , tn por b1, . . . , bn na equação geral obtemos g(x). Isto

é g(x) = F (x, b1, . . . , bn). Como consequência os coe�cientes de g(x) são obtidos pela substituição

de t1, . . . , tn por b1, . . . , bn nos polinômio simétricos elementares. Isto é

ej(b1, . . . , bn) = (−1)jan−j.

Podemos então concluir que os valores ej(b1, . . . , bn) são conhecidos, mesmo se as raízes b1, . . . , bn

não são conhecidas.

Antes de prosseguirmos convém observar que para toda permutação σ ∈ Sn vale que

F (x, tσ(1), . . . , tσ(n)) = F (x, t1, . . . , tn).

Segue-se disso que ej(tσ(1), . . . , tσ(n)) = ej(t1, . . . , tn), isto é, acabamos de veri�car que ej(t1, . . . , tn)

é um polinômio simétrico, para todo j.

Vamos agora enunciar o Teorema de Newton:

Teorema: [Newton] Para todo polinômio simétrico f(t1, . . . , tn) existe um polinômio h(t1, . . . , tn)

(não necessariamente simétrico) tal que

f(t1, . . . , tn) = h(e1(t1, . . . , tn), . . . , en(t1, . . . , tn)).

(Para a demonstração, consultar Garcia-Lequain, Teorema III.4.4, pg. 88.)

O teorema está dizendo que os polinômio simétricos são gerados pelos polinômio simétricos ele-

mentares. Outro aspecto interessante é que o polinômio h é efetivamente calculável, pelo menos em

teoria. Uma consequência importante é a seguinte:

Corolário: Dado um um polinômio g(x) = xn + an−1xn−1 + · · · + ao com coe�cientes conhecidos

(racionais, por exemplo, an−j ∈ Q) sejam b1, . . . , bn suas raízes (complexas, por exemplo, bi ∈ C).

Para todo polinômio simétrico f(t1, . . . , tn) o valor de f(b1, . . . , bn) é conhecido.

De fato, já vimos que ej(b1, . . . , bn) = (−1)jan−j. Logo pelo Teorema de Newton,

f(b1, . . . , bn) = h(e1(b1, . . . , bn), . . . , en(b1, . . . , bn)) = h(−an−1, . . . , (−1)nao)

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é um elemento conhecido pois an−1, . . . , ao são conhecidos.

O estudo dos polinômios simétricos, em particular o Teorema de Newton, levou os matemáticos

à interessarem-se pelas permutações. Na verdade o conjunto das permutações de n elementos, Sn, é

muito rico em propriedades e por isso Sn foi muito estudado e suas propriedades foram completamente

determinadas (em Garcia-Lequain todo o item 11 do capítulo 5 é dedicado ao Sn, pp. 198-214).

Vamos então olhar para uma permutação do conjunto {1, 2, . . . , n}, com n elementos como uma

função bijetiva do conjunto nele mesmo e representar o conjunto de todas as permutações por Sn

e tem n! elementos. Sn com a operação de composição de funções é chamado de grupo simétrico.

Recordemos que uma das vantagens de olhar permutações como funções bijetivas de um conjunto

com n elementos, {1, 2, . . . , n}, nele mesmo é podermos compor funções e temos assim uma operação

Sn × Sn → Sn. Observe que essa operação é associativa.

Outra vantagem de olharmos permutações como funções bijetivas é que toda função bijetiva tem

uma inversa, fato que não é tão aparente se falarmos somente em permutar a ordem dos elementos

do conjunto. Por exemplo, para a σ da página 1, σ : {1, 2, 3, 4} → {1, 2, 3, 4} dada por

σ(1) = 2 σ(2) = 1 σ(3) = 4 σ(4) = 3,

a inversa de σ é facilmente determinável:

σ−1(2) = 1 σ−1(1) = 2 σ−1(4) = 3 σ−1(3) = 4.

Neste caso vamos descobrir que σ = σ−1, outro fato não tão aparente. Já para τ , também da

página 1, teríamos τ−1(3) = 1, τ−1(4) = 3, τ−1(1) = 4, e τ−1(2) = 2. Neste caso temos ainda uma

surpresa. Pois fazendo-se as contas veri�ca-se que τ−1 = τ ◦ τ . Vamos parar de escrever �◦� para

indicar a composição, assim σ ◦ τ = στ e τ ◦ τ = ττ . Vamos também usar a notação de potência, por

exemplo ττ = τ 2. Podemos então deduzir de τ−1 = τ 2 que τ 3 = identidade. Aliás, vamos denotar a

função identidade de {1, 2, . . . , n} sempre por 1. Ficamos assim com a igualdade τ 3 = 1, coisa bem

típica da matemática.

As permutações σ e τ que descrevemos acima estão em S4. Temos que S4 tem 4! = 24 elementos

e σ e τ são apenas dois exemplos. Outro exemplo também poderia ser ρ(1) = 3, ρ(3) = 1, ρ(2) = 4

e ρ(4) = 2. Claro que escrever todos os 24 elementos é demorado e seria tedioso.

Questão 1. Veri�que diretamente que as funções τ−1 e ττ são iguais. Veri�que também que a

função τττ é a identidade, isto é τ(τ(τ(i))) = i, para todo i ∈ {1, 2, 3, 4}.

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O estudo das permutações como funções bijetivas mostrou-se de grande ajuda no estudo de

equações e ganhou uma importância muito maior depois do trabalho de Galois. Uma nova teoria foi

iniciada: a teoria de grupos. Vamos a seguir de�nir formalmente esses novos objetos matemáticos,

os grupos, e com um pouco de trabalho e paciência vamos descobrir sua importância dentro da

matemática avançada.

De�nição. Seja G um conjunto com uma operação binária G × G → G, (x, y) ∈ G × G 7−→

xy ∈ G que tem as seguintes propriedades:

(i) existe 1 ∈ G tal que 1x = x1 = x, para todo x ∈ G;

(ii) quaisquer que sejam x, y, z ∈ G temos x(yz) = (xy)z;

(iii) qualquer que seja x ∈ G existe x−1 ∈ G tal que xx−1 = x−1x = 1.

Observação. O item (i) acima garante em que G não é vazio. O elemento 1 de que fala o axioma

chama-se elemento neutro da operação e podemos provar que é único. Muitas vezes é denotado por

e.

O axioma (ii) diz que a operação é associativa.

O elemento x−1 do axioma (iii) é chamado de inverso de x e também é único.

Nos axiomas (i) e (iii) foram escritas as igualdades dos dois lados porque a operação de um grupo

não é em geral comutativa.

Caso a operação seja comutativa, dizemos que o grupo é comutativo ou abeliano.

Observe que no estudo do Sn temos uma só operação que não é comutativa (se n > 2). Logo

temos aqui uma estrutura de natureza diferente dos anéis e corpos. Uma estrutura com uma só

operação e onde pode falhar a comutatividade.

Questão 2. Veri�que que S4 não é comutativo. Faça um teste com σ e τ , por exemplo. Veri�que

igualmente que S3 não é comutativo escolhendo dois de seus elementos.

E quanto ao S2, ou S1, o que podemos dizer sobre eles?

Questão 3. Para um grupo G mostre que o elemento neutro é único. Mostre também cada

elemento tem um único inverso e conclua disso que (xy)−1 = y−1x−1. (Lembrar o que como era o

inverso do produto de duas matrizes.)

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O nome grupo deve ter-se originado da idéia de um �grupo� de elementos que interagem entre si.

Por exemplo, poderíamos tomar o grupo das pessoas que vivem em uma cidade com a operação de

casamento. Mas esse �grupo� não é um grupo. O que seria o elemento neutro?

Temos grupos que são �nitos, como no caso acima que Sn tem n! elementos e temos grupos que

são in�nitos. Veremos logo a seguir grupos in�nitos. No caso �nito de�nimos:

De�nição. Se um grupo G é �nito, chama-se ordem de G ao número de elementos do conjunto

G. Notação: |G| = ordem de G.

Os exemplos de grupos são muito abundantes. Vejamos, em primeiro lugar o Sn de que acabamos

de falar. A operação é a composição de funções. O 1 aqui é a função identidade: 1(i) = i, para todo

i ∈ {1, . . . , n}. Sabemos que a composição de funções é associativa e como todas as funções de Sn

são bijetoras, cada uma delas tem sua função inversa que é o inverso em relação a operação.

Outro exemplo é o conjunto GLn(K) = conjunto das matrizes n× n que tem determinante 6= 0,

ou equivalentemente, conjunto das matrizes n × n que tem inversa. A operação aqui é o produto

de matrizes e o 1 é a matriz identidade. Como multiplicar matrizes é associativo, e cada matriz de

GLn(K) tem uma matriz inversa, por de�nição de GLn(K), esse conjunto é um grupo. Esse é um

dos grupos mais estudado na matemática, na física, e nas engenharias, em geral.

O conjunto dos inteiros com a operação usual de soma é um grupo tendo o 0 como elemento

neutro. Mas geralmente todo anel A é um grupo abeliano em relação a operação de soma. Exemplos

desse tipo incluem os grupos Z/nZ em relação a operação soma.

O mesmo podemos dizer do conjunto dos racionais, dos reais ou dos complexos. Na verdade todo

corpo K com a operação de soma é um grupo tendo o 0 como elemento neutro.

Quando estudamos anéis surgiu um exemplo de grupo, que na época passou desapercebido. Para

um anel A o conjunto A× com a operação de multiplicação é um grupo tendo o 1 como elemento neu-

tro. Veja que embora não falássemos explicitamente em grupo, a natureza de grupo já se fazia presente

em nosso estudo. Em particular temos os grupos (Z/nZ)× = { r | 1 ≤ r ≤ n− 1 e MDC(r, n) = 1 }

que tem ordem = ϕ(n), onde ϕ(n) é o indicador de Euler de n.

No caso de um corpo K, conjunto K× = K r { 0 } é um grupo em relação a multiplicação tendo

o 1 como elemento neutro.

Também são grupos todos os espaços vetoriais em relação a soma de vetores tendo o vetor nulo

como elemento neutro. Todos os exemplos desta última lista são comutativos ou abeliano. Alguns

deles são in�nitos e outros �nitos.

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Já Sn e GLn(K) não são comutativos, Sn é �nito e GLn(K) só é �nito se K for um corpo �nito.

Por exemplo GL4(F5) tem ordem 516, isto é, tem 516 elementos. Por outro lado GL2(Q) tem ordem

in�nita.

Vamos a gora examinar com cuidado os exemplos S3, e os grupos de simetrias de um polígono

regular de n, Dn. Os grupos do tipo Dn são chamados de diedrais. Iniciemos com D3 e D4, como

está nas páginas 124-127 do livro Garcia-Lequain.

Outro exemplo que também surgiu naturalmente nos nossos estudos de extensões de corpos

ocorreu quando tomávamos a conjugação em K(√c), onde K é corpo e c ∈ K× não é um quadrado.

A função σ(a + b√c) = a − b

√c é uma bijeção de K(

√c). Tomando-se o conjunto G(K(

√c);K) =

{id, σ}, onde id é a função identidade temos um grupo com a operação de composição de funções.

Os elementos de G(K(√c);K) são homomor�smos de anel de K(

√c) em K(

√c). (Recordar a

de�nição de homomor�smo de anel.) Como id, σ são bijetivos de K(√c) em K(

√c) são chamados

de automor�smos, i.e., um automor�smo de um corpo K é um homomor�smo de anel θ : K → K

que seja bijetivo. No exemplo G(K(√c);K) os automor�smos tem uma particularidade a mais: sua

restrição aK é a identidade. Por causa disso G(K(√c);K) é chamado de grupo dos K-automor�smos

de K(√c). Por exemplo G(C; R) = {id, σ}, onde σ(a+ bi) = a− bi, é o grupo dos R-automor�smos

de C. Se procurássemos por G(C; Q) teríamos um grupo in�nito. Para se ter uma idéia, para cada

c ∈ Q que não é um quadrado existe um automor�smo σc ∈ G(C; Q) tal que σc(√c) = −

√c.

Grupos desse último tipo, como G(K(√c);K), são chamados de grupos de Galois da extensão

K(√c) de K.

Da mesmo forma que temos subanel e subcorpo (ou subespaço vetorial) temos também subgrupo.

De�nição. Dado um grupo G um subconjunto de H ⊂ G é chamado de subgrupo se: (i) 1 ∈

H, (ii) ∀x, y ∈ H resulta xy ∈ H, e (iii) ∀x ∈ H resulta x−1 ∈ H. Isto é, H tem o elemento neutro

e é fechado para a operação de G e fechado para inversos (x ∈ H se e só se x−1 ∈ H).

Podemos observar que muitos dos exemplos que apresentamos envolvem subgrupos, por exemplo

Q× é um subgrupo de R×.

Outro exemplo de subgrupo: dado um domínio de integridade A, temos A× é um subgrupo de

K×, onde K é um corpo de frações de A.

Observe que um grupo in�nito como C× (com operação dada pela multiplicação) pode conter

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subgrupos �nitos. Por exemplo, seja ξ = cos(2π/n) + sen (2π/n)√−1. Esse número é chamado de

uma raiz primitiva n-ésima da unidade, pois ξ é raiz do polinômio Xn − 1 e para todo 1 ≤ k < n,

ξ não é raiz de Xk − 1 (para veri�carmos esses dois fatos basta vermos que para todo k ≥ 1 vale

ξk = cos(2kπ/n) + sen (2kπ/n)√−1).

Por exemplo ξ4 =√−1 é uma raiz primitiva quarta da unidade e ξ3 = (−1/2) + (1/2)

√−1 é

uma raiz primitiva terceira da unidade. Já ξ2 = −1 é a raiz quadrada da unidade. Temos assim que

{ 1,−1 } é um subgrupo de C× (também de R× e Q×).

Temos que < ξ >= { 1, ξ, . . . , ξn−1} é um subgrupo �nito de C×. Esse grupo é chamado de cíclico

porque é gerado por um único elemento, todos os elementos de < ξ > são �potência� de ξ.

Outros exemplos de subgrupos podem ser obtidos no estudo de Sn ou no estudo dos grupos de

simetria de polígonos regulares. Olhar subgrupos de S4 e D4.

Questão 4. Seja G um grupo e H1, H2 dois subgrupos de G. Mostre que H1 ∩ H2 é também

um subgrupo de G.

Mais geralmente dada uma família Hi, i ∈ I de subgrupos de G mostre que⋂

i∈I Hi também é

um subgrupo de G.

Por outro lado, mostre através de um exemplo que H1∪H2 não é em geral um subgrupo (veri�que

o fechamento para a operação de G).

De�nição. (I) Seja G um grupo e S ⊂ G um subconjunto �xado. Chama-se subgrupo gerado por

S ao subgrupo

〈S〉 =⋂H

H,

onde H percorre o conjunto de todos os subgrupos de G que contem S.

(II) No caso particular em que S = { g } tem um único elemento e 〈S〉 = G, escrevemos simples-

mente G = 〈g〉 e dizemos que G é um grupo cíclico.

Exemplos: Seja G = Z com a operação de soma e S = { 1 }. Temos que 〈1〉 = Z (agora é o

número 1!).

Sejam G = S3 e σ, τ ∈ S3 tais que σ(1) = 2, σ(2) = 1, σ(3) = 3 e τ(1) = 2, τ(2) = 3, τ(3) = 1.

Para S = {σ, τ } temos que 〈S〉 = S3. Para comprovar esse fato basta veri�carmos os seguintes

elementos são todos distintos: 1, τ , τ 2, σ, στ , στ 2. Como todos eles fazem parte de S3 e |S3| = 6,

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concluímos que S3 = { 1, τ, τ 2, σ, στ, στ 2 } = 〈S〉.

Por outro lado 〈σ〉 = { 1, σ } e 〈τ〉 = { 1, τ, τ 2 }.

Vamos explicar melhor o sentido de τ 2. Mais geralmente, dada uma permutação ϕ ∈ Sn e s ≥ 1

o signi�cado de ϕs é

ϕs = ϕ ◦ ϕ ◦ · · · ◦ ϕ︸ ︷︷ ︸s vezes

Isto é, uma composição de funções. Sabemos que a composição de funções bijetivas também é bijetiva.

Por isso todas as potências de ϕ são funções bijetivas de {1, 2, . . . , n} em {1, 2, . . . , n}. Logo ϕs tem

inverso (em Sn) para todo s ≥ 1.

Qual seria o inverso de ϕs?

(ϕs)−1 = ϕ−1 ◦ ϕ−1 ◦ · · · ◦ ϕ−1︸ ︷︷ ︸s vezes

= ϕ−s. (2)

Vamos então denotar expoentes negativos como sendo a inversa de (ϕ−1)s. Isto é: Para toda ϕ ∈ Sn

e todo s ∈ Z de�nimos

ϕs =

ϕ ◦ ϕ ◦ · · · ◦ ϕ︸ ︷︷ ︸s vezes

se s ≥ 1;

1 = função identidade se s = 0;

ϕ−1 ◦ ϕ−1 ◦ · · · ◦ ϕ−1︸ ︷︷ ︸|s| vezes

se s < 0

Na verdade a de�nição acima aplica-se a todo grupo G. Isto é, dado um grupo G e g ∈ G, de�nimos

gs =

g · g · · · g︸ ︷︷ ︸s vezes

se s ≥ 1;

1 = elemento neutro se s = 0;

g−1 · g−1 · · · g−1︸ ︷︷ ︸|s| vezes

se s < 0

Com essa de�nição temos que 〈g〉 = { gs | s ∈ Z }, pois o exercício abaixo garante esse fato.

Queremos ressaltar que quando G tem operação aditiva, como no caso Z, vamos escrever sg no

lugar de gs. Logo a de�nição acima seria reescrita na forma

sg =

g + g + · · ·+ g︸ ︷︷ ︸s vezes

se s ≥ 1;

0 = elemento neutro se s = 0;

(−g) + (−g) + · · ·+ (−g)︸ ︷︷ ︸|s| vezes

se s < 0

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e então 〈g〉 = { sg | s ∈ Z }.

Questão 5. Seja G um grupo e g ∈ G. Usando a de�nição acima mostre que as seguintes

igualdades valem:

1. ∀ r, s ∈ Z, gr · gs = gr+s.

2. ∀ r, s ∈ Z, (gr)s = grs. Em particular (gr)−1 = g−r.

3. ∀ r, s, t ∈ Z, (gr+s)t = grt+st.

Questão 6. Dado um corpo K de�na para toda A ∈ GLn(K) e todo s ∈ Z a potência As como

na de�nição acima. Veri�que depois que valem as igualdades do exercício anterior.

Vamos a seguir veri�car que o número de potências distintas de um elemento g ∈ G, G um

grupo, tem certas limitações.

Seja G um grupo �nito, para todo g ∈ G existe um inteiro positivo r ≥ 1 tal que gr = 1

(= elemento neutro). De fato, considere o conjunto {. . . , g−2, g−1, g0, g1, g2, g3, . . . , } = 〈g〉. Como

〈g〉 ⊂ G e |G| é �nito também |〈g〉| tem que ser �nito. Logo existem t 6= s, dois inteiros, tais que

gt = gs. Suponhamos t > s. �Multiplicando-se� os dois lados da igualdade gt = gs por g−s vamos

obter gt−s = 1, com t− s > 0.

No caso t < s, �multiplicaríamos� por ϕ−t e obteríamos um resultado semelhante.

Podemos escolher um �t� com a propriedade de gt = 1 que seja especial e ao qual chamaremos de

ordem de g.

De�nição. Seja G um grupo, �nito ou não, e g ∈ G, chamamos de ordem de g ao mínimo{ t ≥

1 | gt = 1}, caso exista algum t ≥ 1 com gt = 1. Caso gt 6= 1 para todo t ≥ 1 dizemos que g tem

ordem in�nita.

De�nimos também que a ordem de 1 é 1 (Atenção: cada um dos �1� tem um signi�cado diferente).

Notação: |g| = ordem de g.

No caso abelianos temos |g| = min{n ≥ 1 | ng = 0} e |0| = 1.

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Observe que GL2(R) é um grupo in�nito, mas

g =

0 1

1 0

tem ordem 2, isto é

g2 =

0 1

1 0

0 1

1 0

=

1 0

0 1

= 1.

Vemos assim que podemos ter elementos com ordem �nita em um grupo in�nito. Mas também é

possível que todos os elementos de um grupo in�nito tenham ordem in�nto, como no caso G = Z.

A ordem de um elemento é bastante especial.

Propriedade. Seja G um grupo e g ∈ G, temos que |g| divide todo t ∈ Z tal que gt = 1 (=

elemento neutro de G).

Veri�cando: se g = 1, então |g| = 1 e não há nada para demonstrar. Seja g ∈ G, com g 6= 1, e

seja t ∈ Z tal que gt = 1. Pelo algorítimo de Euclides podemos escrever t = |g|q + r, com r = 0 ou

0 < r < |g|. Para r = t − |g|q vamos ter gr = gt−|g|q = gt(ϕ|g|)−q = 1, pois gt = 1 (por hipótese) e

g|g| = 1. Logo gr = 1. Suponhamos agora que r 6= 0, isto é, r ≥ 1. Obtemos então uma contradição,

pois r < |g| e r ∈ { t ≥ 1 | gt = 1}. Logo r = 0 e assim |g|, divide t, como a�rmado.

Propriedade. Juntando a de�nição de ordem de um elemento com a propriedade acima vemos

o conjunto { gt | t ∈ Z }, além de ser �nito, tem exatamente |g| elementos. Na verdade { gt | t ∈

Z } = { g = g1, g2, . . . , g|g|−1, g|g| = 1 }. Para cada t ∈ Z, se t = |g|q + r, com 0 ≤ r < |g|, temos

gt = gr.

Observação. Pelo que vimos acima temos que |g| = |〈g〉|.

Propriedade. Todo subgrupo de um grupo cíclico é cíclico. Isto é, dadoG = 〈g〉 um grupo cíclico

e H ⊂ G um subgrupo com H 6= { 1 }, temos que H = 〈gr〉, onde r = min{ t ∈ Z | t ≥ 1 e gt ∈ H }.

Veri�cando: Como H 6= { 1 } e G = 〈g〉 = { gt | t ∈ Z } vamos ter gt ∈ H, para algum t ≥ 1.

Logo o conjunto { t ∈ Z | t ≥ 1 e gt ∈ H } é não vazio e tem um menor elemento r. Observe que, de

fato, temos H = { gt | t ∈ Z | e gt ∈ H }.

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Portanto, dado h ∈ H, necessariamente existe t ∈ Z tal que h = gt. Queremos demonstrar que

r | t e assim h = (gr)q ∈ 〈gr〉, estabelecendo a igualdade H = 〈gr〉.

Se t = 0, claro que r | t. Para t 6= 0 temos que t = rq+ u com 0 ≤ u < r. Escrevemos novamente

u = t − rq e gu = gt(gr)q. Como gt, (gr)q ∈ H, resulta gu ∈ H. Finalmente, do fato u < r resulta

u = 0, demonstrando o que queríamos.

Observação. Assumimos por de�nição que o subgrupo { 1 } é cíclico.

Exemplos: Para G = Z, tomamos g = 1 (agora é o número 1!). Na verdade os geradores de

Z são 1 e −1. Dado H ⊂ Z, com H 6= { 0 } (o elemento neutro de Z para a soma é o número 0),

a propriedade acima diz que H = 〈r · 1〉, onde r = min{ t ∈ Z | t ≥ 1 e t · 1 ∈ H }. Isto é, para

cada h ∈ H, existe q ∈ Z tal que h = q(r · 1). Vemos então que H = rZ é nosso velho conhecido,

o conjunto dos múltiplos de r. Isto é, cada subgrupo de Z é igual ao conjunto dos múltiplos de r.

Conclusão: os subgrupos de Z coincidem com os ideais de Z. Esse fato também vai se repetir para

os subgrupos de Z/nZ, visto como grupo aditivo.

Na verdade, �a menos de isomor�smo,� Z é o único grupo cíclico in�nito e, para cada n ≥ 1,

Z/nZ é o único grupo cíclico de ordem n.

Observação. Um fato que convém destacar é que um grupo cíclico tem, em geral, mais de um

gerador. O grupo Z (em relação a adição) tem 1 e −1 como geradores. Para cada n, Z/nZ tem, em

geral, vários geradores. De fato, 1 é um gerador natural de Z/nZ; para cada 0 ≤ m < n podemos

escrever m = m1. Por outro lado para cada 1 ≤ r < n que seja relativamente primo com n temos

que r é um gerador de Z/nZ. Como r e n são relativamente primos, sabemos que existem t, s ∈ Z

tais que 1 = tp+ sr. Portanto 1 = sr = sr. Dessa forma Z/nZ =< 1 >⊂< r >⊂ Z/nZ, implicando

que < r >= Z/nZ.

Apenas no caso Z/2Z = { 0, 1 } temos que 1 é o único gerador do grupo.

O resultado que vamos apresentar é muito importante na teoria dos grupos e é conhecido como

Teorema de Lagrange. É um fato interessante que esse teorema leve o nomo de Lagrange pois no

tempo dele ainda não se falava em grupos. Na verdade Lagrange trabalhou com permutações nos

seus estudos sobre equações onde obteve certas propriedades que outros matemáticos acabaram por

transformar no que hoje é conhecido como �Teorema de Lagrange.�

11

Seja G um grupo �nito e H ⊂ G um subgrupo. Vamos de�nir uma relação entre os elementos de

G da seguinte maneira:

x ≡ y(modH) ⇔ x−1y ∈ H.

Questão 7. Mostre que a relação acima é uma relação de equivalência. (é re�exiva, simétrica, e

transitiva).

Para cada x ∈ G de�nimos x = classe de equivalência a qual x pertence. Isto é

x = {y ∈ G | y ≡ x }.

Propriedade. Temos que x = {xh | h ∈ H }. (†)

Veri�cação: temos que mostrar a igualdade de dois conjuntos. Vejamos primeiro que x ⊂ {xh |

h ∈ H }. Seja y ∈ x = {y ∈ G | y ≡ x }. Logo h = x−1y ∈ H, pela própria de�nição de ≡. Logo

y = xh ∈ { xh | h ∈ G }, demonstrando a primeira inclusão. Vejamos agora que {xh | h ∈ G } ⊂ x.

Seja y = xh, para algum h ∈ H. Então x−1y = h ∈ H. Pela de�nição de ≡ teremos x ≡ y e assim

y ∈ {y ∈ G | y ≡ x }, que é a outra inclusão. Logo vale a igualdade entre esse conjuntos.

Devido a igualdade acima costuma-se também representar x = xH e esse conjunto é chamado de

uma classe lateral a direita de G módulo H.

Questão 8. De�na uma nova relação de equivalência ≡1 trocando a ordem de x e y na de�nição

que demos acima de ≡ (isto é troque x−1y ∈ H por xy−1 ∈ H) e mostre que obtemos também uma

nova relação de equivalência.

De�na agora x = classe de equivalência dada por ≡1 a qual x pertence, e mostre que x = {hx |

h ∈ H }.

Para ≡1 do exercício acima a notação será mudada para x = Hx e é chamada de classe lateral a

esquerda de G módulo H.

Propriedade. Seja G um grupo �nito. Para todo x ∈ G a classe lateral a direita x tem |H|

elementos.

Veri�cação: estamos dizendo que todas as classes tem o mesmo número de elementos e que esse

número é igual a ordem de H. De fato, considere a função f : H → x = xH dada por f(h) = xh ∈ x.

12

Pela propriedade que mostramos acima, (†), f é uma função sobrejetora. Veri�quemos que é injetora:

se f(h1) = f(h2), então xh1 = xh2. �Multiplicando-se� essa igualdade pela esquerda por x−1 vamos

obter h1 = h2, e assim f é injetora. Portanto f é bijetora e os dois conjuntos tem o mesmo número

de elementos, conforme a�rmado.

Questão 9. Mostre a mesma coisa para as classes laterais a esquerda, isto é, mostre que x tem

|H| elementos, para todo x ∈ G, para G é �nito.

Recordemos agora que uma relação de equivalência particiona o conjunto sobre o qual está

de�nida. No nosso caso isso signi�ca que dados x, y ∈ G temos duas possibilidades excludentes:

x = y ou x ∩ y = ∅.

Esse fato, das duas possibilidades excludentes, é facilmente veri�cado no nosso caso. Realmente,

se existe z ∈ x ∩ y, então z ≡ x e z ≡ y. Pela transitividade x ≡ y e portanto x = y.

Talvez fosse bom ressaltamos que y ∈ x se e somente se y = x.

Observemos em seguida que para G �nito, também o conjunto de classes laterais a direita de G

módulo H será �nito. Vamos denotar por G/H ao conjunto de todas as classes laterais a direita

de G módulo H. Temos então que G/H = {x | x ∈ G }. Para G �nito o número de elementos de

G/H (= número de classe laterais de G módulo H) é chamado de índice de H em G.

Notação: (G : H) representa o índice de H em G, para G �nito.

Finalmente, note que como todo x ∈ G está em alguma classe (na sua própria classe) temos que

G =⋃

x∈G x. Juntando tudo chegamos a conclusão

Teorema[Lagrange] Seja G um grupo �nito e H ⊂ G um subgrupo. Então

|G| =∑x∈G

|x| = (G : H)|H|,

onde |x| indica o número de elementos do conjunto x que sabemos ser igual a |H|.

Corolário: Seja G um grupo �nito e H um subgrupo de G. Então |H| divide |G|.

Questão 10. Repita as discussões das últimas 15 linhas para classes laterais a esquerda de G

módulo H. Em particular mostre o Teorema de Lagrange trabalhando com x no lugar de x. Conclua

13

disso que o número de classe laterais a direita, de G módulo H, é igual ao número de classes laterais

a esquerda, de G módulo H. Portanto o índice (G : H) não depende de escolhermos uma relação ou

a outra.

Questão 11. Usando o Teorema de Lagrange e a propriedade |g| = |〈g〉|, vista anteriormente,

conclua que |g| divide |G|, para todo g ∈ G, onde G é �nito. Portanto g|G| = 1, para todo g ∈ G.

O exercício acima tem uma série de aplicações.

Aplicações. (I) [Pequeno Teorema de Fermat] Para um irredutível p ∈ Z se a ∈ Z é tal que

MDC(p, a) = 1, então ap−1 ≡ 1 (mod p).

Mais geralmente, para todo n ∈ Z se a ∈ Z é tal que MDC(n, a) = 1, então aϕ(n) ≡ 1 (mod n),

onde ϕ(n) é o 'indicador de Euler' de n.

(II) Todo grupo �nito com ordem prima é cíclico.

Veri�cação: (I) Conforme vimos na Questão 23, página 20 das Notas 2, para todo n ∈ Z o grupo

das unidades Z× tem ordem ϕ(n). Para cada a ∈ Z satisfazendo MDC(n, a) = 1 a classe de restos

a está em Z×. Logo, pelo exercício acima a ϕ(n) = 1 (= 1). Dessa forma aϕ(n) ≡ 1 (mod n). Em

particular, sabemos que ϕ(p) = p− 1 para todo irredutível de p ∈ Z.

(II) Se |G| = p é prima, para g ∈ G, g 6= 1, como |g| 6= 1 e |g| divide p, temos que |g| = p. Vimos,

contudo, na Observação da página 10 que |g| = |〈g〉|. Portanto 〈g〉 ⊂ G tem também p elementos, e

assim, 〈g〉 = G.

Vamos a seguir estudar a ordem do �produto� de dois elementos de um grupo.

Propriedade. Seja G um grupo e x, y ∈ G dois elementos que comutam (xy = yx).

• Se |x| e |y| são �nitos, então |xy| também é �nita.

• Mais ainda, se < x > ∩ < y >= { 1 }, então |xy| = mínimo múltiplo comum de |x| e |y|.

Veri�cação: Recordemos que a ordem de um elemento g ∈ G é o número |g| = min{ t ≥ 1 | gt =

1 }.

Vejamos agora a nossa propriedade. Como |x| e |y| são �nitos, existem r, s ≥ 1 tais que xr = 1

e ys = 1. Como x e y comutam, vamos obter (xy)rs = xrsyrs = (xr)s(ys)r = 1. Logo |xy| também é

�nita.

14

Para mostramos a segunda parte recordemos que para um elemento g ∈ G, < g >= { gt | t ∈ Z}

é o sugbrupo gerado por g. Mais ainda, no caso de |g| = n ser �nito, então < g >= { 1 =

g0, g, g2, . . . , gn−1}.

Estamos supondo < x > ∩ < y >= { 1 } e que |x| = n, |y| = m são números inteiros positivos.

Seja k = mínimo múltiplo comum de n e m. Então k = na e k = mb, como a, b ∈ Z. Tomemos

agora (xy)k = xkyk = (xn)a(ym)b = 1. Assim (xy)k = 1. Para que k = |xy| devemos mostrar que k

é o menor inteiro t ≥ 1 tal que (xy)t = 1. Seja t um tal inteiro. Como xtyt = (xy)t = 1, vamos ter

xt = y−t. Mas xt ∈< x > e y−t ∈< y >. Logo xt = y−t ∈< x > ∩ < y >= { 1 }. Portanto xt = 1 e

y−t = 1. Sabemos que a ordem de x divide qualquer s tal que xs = 1. Isto é n|t.

Estudemos agora o y. Tomando-se o inverso dos dois lados da equação y−t = 1 obtemos (y−t)−1 =

1−1 = 1, ou yt = 1. Logo vale também que m|t. Mas se t é divisível por n e por m, então t também

é divisível por k (que é um mínimo múltiplo comum de n e m). Mas se k|t, e k, t ≥ 1 vale que k ≤ t,

como queríamos demonstrar.

Questão 12. Sejam x1, . . . xn ∈ G, onde G é um grupo. Suponhamos que quaisquer que sejam

i 6= j tenhamos xixj = xjxi e < xi > ∩ < xj >= { 1, }. Mostre que o produto y = x1 · · ·xn tem

ordem |y| = mínimo múltiplo comum de |x1|, |x2|, . . . , |xn|.

Dica. Trabalhe recursivamente, para n = 2 é a propriedade demonstrada acima. Suponha que

vale para todo n ≤ k e demonstre que vale para n = k + 1 fazendo o seguinte: de�na y = x1 · · ·xk e

mostre que y e xk+1 comutam e < y > ∩ < xk+1 >= { 1 }. Termine usando o caso n = 2.

Questão 13. Sejam

A =

0 −1

1 0

e B =

0 1

−1 −1

elementos do grupo GL2(Q) (a operação é a multiplicação de matrizes). Mostre que A4 = 1, B3 = 1,

mas (AB)t 6= 1, para todo t ≥ 1.

Neste caso não temos a comutatividade, por isso o produto acaba com ordem in�nita.

Outro ponto básico na teoria de grupos é o estudo de homomor�smos de grupo.

De�nição. SejamG e S dois grupos e ϕ : G→ S uma função. Dizemos que ϕ é um homomor�smo

de grupos se ϕ(gh) = ϕ(g)ϕ(h) para todo para g, h ∈ G.

15

Para os homomor�smos de grupos temos propriedades bem semelhantes ao caso de anéis. A com-

posição de dois homomor�smos é um homomor�smo. Analogamente temos epimor�smos e monomor-

�smos nos casos em que o homomor�smo é sobrejetivo e injetivo. Temos também isomor�smo no

caso bijetivo.

Exemplos: a função determinante det : GLn(R) → R× é um homomor�smo de grupos.

Fixado n ≥ 1, a função θ : Z → C× dada por θ(k) = cos(2kπ/n) + sen (2kπ/n)√−1 é um

homomor�smo de grupos.

Outros exemplos surgirão naturalmente nas próximas páginas.

Aqui também temos o núcleo.

De�nição. Chamamos de núcleo do homomor�smo de grupos ϕ : G → S ao conjunto N(ϕ) =

{ g ∈ G | ϕ(g) = 1 }.

Temos para o núcleo propriedades análogas àquelas do ideais. Os itens (1) e (3) do resultado

abaixo são simples veri�cação. Quanto ao item (2) basta aplicarmos o Teorema de Lagrange.

Teorema: Seja ϕ : G→ S um homomor�smo de grupos. Então

1. N(ϕ) é um subgrupo de G tal que gN(ϕ)g−1 = N(ϕ) para todo g ∈ G. Por outro lado

Im (ϕ) = ϕ(G) é um subgrupo de S, chamado de imagem de ϕ.

2. Se G é �nito, então |G| = |N(ϕ)||Im (ϕ)|. Portanto |Im (ϕ)| divide |S| e |G|.

3. ϕ é injetiva se e somente se N(ϕ) = { 1 }.

Vamos a seguir construir mais um exemplo de homomor�smo de grupos que é particularmente

importante dentro da matemática. Para cada σ ∈ Sn consideremos a função σ : Z[t1, . . . , tn] →

Z[t1, . . . , tn] dada por σ(f)(t1, . . . , tn) = f(tσ(1), . . . , tσ(n)), para todo polinômio

f(t1, . . . , tn) ∈ Z[t1, . . . , tn]. Veri�que como exercício que σ é um isomor�smo de anéis. Mais ainda,

o conjunto Aut constituído dos automor�smos de Z[t1, . . . , tn] (isto é, o conjunto dos isomor�smos

do anel Z[t1, . . . , tn] nele mesmo) com a operação de composição de funções (isomor�smos são antes

de mais nada funções) é um grupo tendo como elemento neutro a função identidade de Z[t1, . . . , tn].

Mostre também que a relação σ 7→ σ é um homomor�smo injetivo do grupo Sn em Aut (isto é, as

seguintes relações também valem: id = id e στ = σ τ).

16

Vamos usar os fatos acima para construir um homomor�smo Sn → { 1,−1 } que está relacionado

com permutações pares e permutações impares. Para esse estudo consideremos o polinômio em n

variáveis

Φ(t1, . . . , tn) =∏i<j

1≤i,j≤n

(ti − tj).

Para cada σ ∈ Sn temos σ(Φ)(t1, . . . , tn) = Φ(tσ(1), . . . , tσ(n)), conforme de�nição acima. Por exemplo,

para n = 3 temos Φ(t1, t2, t3) = (t1−t2)(t1−t3)(t2−t3). Tomando-se σ = (123) temos σ(Φ)(t1, t2, t3) =

(t2 − t3)(t2 − t1)(t3 − t1) = Φ(t1, t2, t3). Já para o caso τ = (12) teríamos τ(Φ)(t1, t2, t3) = (t2 −

t1)(t2 − t3)(t1 − t3) = (−1)Φ(t1, t2, t3).

O que acabamos de observar nos dois exemplos podemos colocar como regra:

σ(Φ)(t1, . . . , tn) = (±1)Φ(t1, . . . , tn),

para toda σ ∈ Sn. De fato, a única alteração que fazemos em Φ(t1, . . . , tn) é trocar a ordem das

variáveis. Isso nos leva a seguinte de�nição:

De�nição. O sinal de uma perguntação σ ∈ Sn é dado por

ε(σ) =

1 se σ(Φ)(t1, . . . , tn) = Φ(t1, . . . , tn)

−1 se σ(Φ)(t1, . . . , tn) = (−1)Φ(t1, . . . , tn)

Dessa forma σ(Φ)(t1, . . . , tn) = ε(σ)Φ(t1, . . . , tn), para toda σ ∈ Sn.

De�nição. Dizemos que uma permutação σ ∈ Sn é par se ε(σ) = 1; caso contrário dizemos que

σ é impar.

Lema. O sinal é uma função multiplicativa e induz um homomor�smo sobrejetivo grupos ε : Sn →

{ 1,−1 }. Chamamos de An ao núcleo desse homomor�smo. An é chamado de n-ésimo grupo alter-

nado.

Veri�cação. É uma veri�cação direta, que �ca como exercício, que vale a relação ε(στ) = ε(σ)ε(τ).

Dessa relação decorre que ε é um homomor�smo de grupos. Por outro lado é claro que se σ é uma

transposição (2-ciclo), por exemplo σ = (12), então ε(σ) = −1. Logo ε é sobrejetiva.

Observe que o grupo alternado An é igual ao conjunto de todas as permutações pares de Sn.

17

Mostraremos mais adiante que o lema acima implica que An é um subgrupo normal de Sn e veremos

também que tem ordemn!

2.

Questão 14. Sejam ϕ e θ dois homomor�smos sobrejetivos de grupo que tem um grupo G

como domínio e os grupos S e T como contra-domínios. Mostre que existe um único homomor�smo

ψ : S → T tal que ψ ◦ ϕ = θ se e somente se o núcleo de N(ϕ) ⊂ N(θ).

Para provar a existência de ψ no caso N(ϕ) ⊂ N(θ), basta de�nir ψ da maneira obvia: ψ(ϕ(g)) =

θ(g), mostrar que ψ é uma função e que é homomor�smo. Na outra direção é simples veri�cação.

Os subgrupos com a propriedade (1) do teorema acima são chamados de normais.

De�nição. Seja G um grupo e H um subgrupo de G. Dizemos que H é um subgrupo normal de

G se gHg−1 = H, para todo g ∈ G. Notação: H CG.

Questão 15. [Exemplo de subgrupo normal] Seja G um grupo e Z(G) = { z ∈ G | gz = zg

∀g ∈ G }. Z(G) é chamado de centro de G. Prove que Z(G) CG.

A importância dos subgrupos normais vem do fato de que se H C G, então as duas relações de

equivalência ≡ e ≡1 de�nidas na página 4 coincidem e assim toda classe lateral a direita é igual a

alguma outra classe lateral a esquerda, isto é, para todo g ∈ G, existe g′ ∈ G tal que gH = Hg′. Como

consequência se de�nirmos em G/H×G/H → G/H a aplicação (g1H, g2H) 7→ (g1g2H) teremos uma

função que torna G/H um grupo. Esse grupo é chamado de grupo quociente. Temos também que

π : G→ G/H dada por π(g) = gH = g é um homomor�smo sobrejetivo de grupos que tem H como

núcleo. Esse homomor�smo π é chamado de projeção canônica.

Para os grupos temos também um teorema do isomor�smo cuja demonstração é igual ao caso de

anéis.

Teorema do Isomor�smo: ϕ : G → S um homomor�smo de grupos. Então existe um único

homomor�smo de grupos ϕ : G/H → S tal que ϕ◦π = ϕ, onde π : G→ G/H é a projeção canônica.

Mais ainda Im (ϕ) = Im (ϕ) e ϕ é injetiva.

Para um grupo abeliano G todos os subgrupos são normais. Em geral a melhor maneira de ver que

um subgrupo H de G é normal e calcular G/H é encontrar um homomor�smo sobrejetivo tendo G

18

com domínio e um grupo conhecido como contradomínio. Por exemplo, para mostrar que o conjunto

das permutações pares é um subgrupo normal de Sn construímos ε : Sn → { 1,−1 } e com isso temos

An C Sn e Sn/An isomorfo a { 1,−1 }. Logo (Sn : An) = 2 e |An| = n!/2.

Observe que podemos representar Sn = An ∪ (12)An, onde (12) é a permutação que leva 1 7→ 2 e

2 7→ 1 e deixa todos os outros i ≥ 3 �xos. A união acima é disjunta.

Como aplicação do teorema acima vamos classi�car os grupos cíclicos, pois eles são muito parti-

culares. De fato, se G é um grupo cíclico e g é um gerador de G, G =< g >, temos naturalmente

uma função ϕ : Z → G dada por ϕ(n) = gn para todo n ∈ Z (ver o segundo exemplo da página 16).

Questão 16. Veri�que que a função ϕ de�nida acima é um homomor�smo sobrejetivo de grupos.

Caso G seja �nito de ordem n, então ϕ tem núcleo nZ (agora estamos vendo Z como grupo aditivo

e nZ como um subgrupo). Usando o Teorema do Isomor�smo conclua que G ' Z/nZ.

Caso G não seja �nito, mostre que ϕ é um isomor�smo.

Podemos chegar então a seguinte conclusão: dois grupos cíclicos �nitos de mesma ordem são

isomorfos e todo grupo cíclico in�nito é isomorfo a Z. Podemos mesmo dizer que para cada n,

Z/nZ é o único, a menos de isomor�smo, grupo cíclico de ordem n. Também Z é, a menos de

isomor�smo, o único grupo cíclico in�nito.

Questão 17. Dados dois elementos de um grupo x, y ∈ G, chama-se comutador de x, y ao

elemento [x, y] = xyx−1y−1 ∈ G. Sejam S = { [x, y] | x, y ∈ G } e [G,G] = 〈S〉 (recorde a de�nição

de subgrupo gerado por um conjunto). O subgrupo [G,G] é chamado de subgrupo derivado de G.

Mostre que [G,G]CG (dica, mostre que para todo g ∈ G, gSg−1 = S). O grupo quociente G/[G,G]

é chamado de abelianizado de G porque é abeliano e se para algum subgrupo H C G tivermos que

G/H é abeliano, então [G,G] ⊂ H. Dessa forma G/[G,G] é o �maior� grupo quociente de G que é

abeliano.

Questão 18. Fugindo um pouco a sequência mostre que se G e S são dois grupos, então G×S =

{ (g, s) | g ∈ G, s ∈ S } com a operação (g, s)(g′, s′) = (gg′, ss′) é também um grupo.

Estenda o resultado acima considerando um conjunto �nito G1, G2, . . . , Gt de grupos e mostre

que G1 ×G2 × · · · ×Gt é um grupo, com a operação de�nida termo a termo como no caso n = 2.

Mostre também que caso G1, G2, . . . , Gt seja grupos �nitos, então a ordem de |G1×G2×· · ·×Gt| =

|G1| |G2| · · · |Gt|.

19

Vamos a seguir fazer outra aplicação do Teorema do Isomor�smo. Sejam m, n dois inteiros

positivos primos entre si. Considere a função θ : Z → Z/mZ×Z/nZ de�nida por θ(s) = (s+mZ, s+

nZ).

Questão 19. Mostre que θ é um homomor�smo sobrejetivo de grupos cujo núcleo é mZ ∩ nZ.

Para mostrar a sobrejetividade lembre que existe u, v ∈ Z tais que 1 = um + vn. Por causa disso,

dados a, b ∈ Z tomando-se c = vna+umb vamos ter que c−a = (vn−1)a+umb ∈ mZ e igualmente

c− b ∈ nZ.

Mostre em seguida que mZ∩nZ = mnZ (lembre que m e n são relativamente primos). Podemos

então concluir que Z/mZ× Z/nZ ' Z/mnZ.

Generalize em seguida, usando indução, esse resultado para um número �nito de inteiros positivos

m1,m2, · · · ,mt, dois a dois primos entre si, mostrando que

Z/n1Z× Z/n2Z× · · ·Z/ntZ ' Z/nZ,

onde n = n1n2 · · ·nt (Compare os fatos acima com o item (d), página 23, da Questão 24, número 8

das Notas 2.).

Voltando aos subgrupos normais temos que outro ponto vantajoso sobre eles é que podemos

combiná-los com outros subgrupos.

De�nição. Sejam S e T dois subgrupos de um grupo G e assumimos que S C G. Então ST =

{ st | s ∈ S, t ∈ T } também é um subgrupo de G.

Caso S ∩ T = { 1 }, então cada elemento de ST tem uma única representação na forma st, com

s ∈ S, e t ∈ T e dizemos que ST é um produto semi-direto de S e T . Notação: S o T .

As duas a�rmações acima são de fácil veri�cação, assim como o seguinte resultado:

Teorema: Sejam S e T dois subgrupos de de um grupo G com S C G. Então S ∩ T C T e

ST/S ' T/(S ∩ T ).

A demonstração desse resultado depende somente de observarmos que dados s ∈ S, e t ∈ T a

aplicação (st)S 7→ t(S ∩ T ) é o isomor�smo do teorema. Esse resultado é conhecido como Segundo

Teorema do Isomor�smo

Exemplo: todo diedral Dn = 〈τ〉o 〈σ〉, onde τ é uma rotação de ângulo 2π/n e τ uma re�exão

20

(rotação espacial de ângulo π). Logo |τ | = n e |σ| = 2.

Questão 20. Sejam S, T dois subgrupos normais de um grupo G tais que S ∩ T = { 1 }. Mostre

que ST ' S × T .

Caso tomemos um grupo abeliano G vamos observar que a condição de normalidade trivializa-

se, isto é, todo subgrupo é normal. Logo, dados quaisquer S, T subgrupos de um grupo abeliano,

podemos sempre construir o grupo S + T = { s+ t | s ∈ S, t ∈ T }. Caso S ∩ T = { 0 } dizemos que

temos soma direta e denotamos isso por S ⊕ T .

Podemos também estender essa construção a um número �nito de subgrupos. Ficando só no caso

abeliano se S1, . . . , St são subgrupos de G construímos S1 + S2 + · · · + St = { s1 + s2 + · · · + st |

si ∈ Si }. Para termos �soma direta� precisamos de um pouco mais de cuidado, temos que exigir

que Si ∩ (S1 + · · · + Si−1 + Si+1 + · · · + St) = { 0 }, para todo i = 1, . . . , t. Nesse caso escrevemos

S1 ⊕ S2 ⊕ · · · ⊕ St para indicar esse fato (compare tudo isso com o caso de subespaços de um espaço

vetorial).

Mostre que nas condições acima S1 ⊕ S2 ⊕ · · · ⊕ St ' S1 × S2 × · · · × St.

Temos também para grupos um Teorema da Correspondência relacionado subgrupos do domínio

de um homomor�smo com subgrupos do contradomínio. Tínhamos visto alguma parecida para ideais.

Na verdade trocando-se grupos por anéis e subgrupos por ideais o resultado continua valendo.

Teorema da Correspondência: Sejam G e S dois grupos e ϕ um homomor�smo sobrejetivo de G

sobre S.

1. Mostre que existe uma correspondência biunívoca entre o conjunto dos sugrupos de G que

contém N(ϕ) e o conjunto de todos os subgrupos de S. (Aqui também usamos que se T é um

subgrupo de S, então ϕ−1(T ) é um subgrupo de G. Mais ainda, se T C S, então ϕ−1(T ) CG).

2. Explore essa correspodência veri�cando coisas como: ela preserva inclusões, preserva inter-

seções, preserva normalidade, preserva o índice, etc. (Aqui também usamos que se T é um

subgrupo de S, então ϕ−1(T ) é um subgrupo de G. Mais ainda, (G : ϕ−1(T )) = (S : T ), e se

T C S, então ϕ−1(T ) CG).

3. Seja H um subgrupo normal de G que contém N(ϕ) e T = ϕ(H). Mostre que G/H ' S/T .

(Use a Questão (14), página 17 para obter um homomor�smo ψ : G/H → S/T e depois

21

veri�que que é um isomor�smo.)

Vamos terminar este resumos com um resultado sobre grupos abelianos.

Teorema da Decomposição Canônica Seja G um grupo abeliano �nito de ordem n. Seja n =

pn11 · · · pnt

t , com ni ≥ 1 para todo 1 ≤ i ≤ t, a fatoração de n em irredutíveis de Z. Para cada

1 ≤ i ≤ t seja

G(pi) = {g ∈ G | |g| = pri para algum r ≥ 0 }.

Temos então que

1. G(pi) é um subgrupo de G, para todo i.

2. Se i 6= j, então G(pi) ∩G(pj) = { 0 }.

3. Para todo 1 ≤ i ≤ t, |G(pi)| é uma potência de pi.

4. Para todo g ∈ G existem e são únicos gi ∈ G(pi) tais que g = g1 · · · gt, isto é,

G = G(p1)⊕G(p2)⊕ · · · ⊕G(pt) e assim G ' G(p1)×G(p2)× · · · ×G(pt).

Juntando as conclusões dos itens (3) com (4) podemos concluir que |G(pi)| = pnii (estamos

usando que Z é um anel fatorial e a Questão (16) da página 18).

Veri�cação. A demonstração dos dois primeiros itens é simples veri�cação.

(3). Uma questão que ainda não respondemos é se para todo irredutível p que divide |G| existe

g ∈ G tal que |g| = p. Isto é, se as componentes G(pi) são triviais ou não. Vemos demonstrar abaixo

que a resposta a essa pergunta é não, não são triviais, e com isso demonstramos também o fato de

que cada G(pi) tem ordem uma potência de pi.

Lema: [Cauchy] Seja G um grupo abeliano �nito e p um irredutível de Z que divide |G|. Então

existe g ∈ G com |g| = p.

Veri�cação. Se |G| = p, pelo que vimos na Aplicação (II), página 14, G ' Z/pZ. Logo G tem

elemento de ordem p. Suponhamos agora que |G| > p e vamos proceder por indução sobre |G|.

Seja u ∈ G com u 6= 0. Se |u| = pm para algum m ∈ Z, então g = mu tem ordem p. Suponhamos

que |u| = n e p - n.

22

Como G é abelianos < u > CG. Tomemos o grupo quociente G/ < u > que tem ordem |G|/n

(lembrar que | < u > | = |u|). Temos agora que p divide |G/ < u > |, pois p e n são relativamente

primos. Temos também que |G/ < u > | < |G|. Logo, pela hipótese de indução G/ < u > tem

elemento de ordem p. Isto é, existe h ∈ G tal que |h+ < u > | = p. Como |h|h = 0 temos que

|h|(h+ < u >) = 0 (= 0+ < u >) em G/ < u >. Novamente pela Propriedade no �m da página 10

temos que p | |h|. Logo |h| = pm, como no início da demonstração, e assim g = mh tem ordem p,

como queríamos demonstrar.

Voltando então ao Teorema da Decomposição Canônica, o lema acima nos diz que G(pi) 6= { 0 },

para todo i = 1, . . . , t, e como todos os elementos de G(pi) tem ordem potência de pi, necessariamente

|G(pi)| é uma potência de pi.

Para mostrar o item (4) usamos uma forma generalizada do Teorema de Bezout: Para cada

1 ≤ i ≤ t seja ai =∏

j 6=i pnj

j . Observe que n = pnii ai e que os números a1, . . . , at não tem fator

comum diferente de ±1. São em conjunto relativamente primos. Por isso existem inteiros m1, . . . ,mt

tais que 1 = m1a1 + · · · + mtat (Observe que o ideal I = a1Z + · · · + atZ, sendo principal, tem a

forma I = uZ para algum u ∈ Z. Como ai ∈ I, para todo i = 1, . . . , t teremos que u | ai, para todo

i. Logo u = ±1 e assim I = Z.) Dado g ∈ G, temos que g = g1 = gm1a1gm2a2 · · · gmtat . Basta agora

veri�camos que gi = gmiai ∈ G(pi), para todo i = 1, . . . , t.

Isso mostra a existência da decomposição. Para vermos que vale a unicidade temos que veri�car

se vale a condição da página 19:

G(pi) ∩ (G(p1) + · · ·+G(pi−1) +G(pi+1) + · · ·+G(pt)) = { 0 }, para todo i = 1, . . . , t. (3)

Para fazer a veri�cação desse fato vamos em primeiro lugar veri�car que dados g, h ∈ G, grupo

abeliano, se |g| = a e |h| = b, então c(g + h) = 0, onde c é um mínimo múltiplo comum de a e b.

Essa a�rmação é claramente correta pois c = au e c = bv para u, v ∈ Z. Logo c(g + h) = cg + ch =

u(ag) + v(bh) = 0.

Pergunta: Qual é a condição para que |g + h| = c? Sugestão: estude < g > ∩ < h >.

Mais geralmente dados g1, . . . , gm ∈ G tais que |gi| = ai seja c o mínimo múltiplo comum de

a1, . . . , am. Então c(g1 + · · ·+ gm) = 0.

Vamos agora usar essa observação na veri�cação de que vale a equação (3). Sejam gj ∈ G(pj)

para j = 1, . . . , t tais que gi = g1 + · · · gi−1 + gi+1 + · · · gt.

23

Seja c o mínimo múltiplo comum de |g1|, . . . |gi−1|, |gi+1|, . . . , |gt|. Então c é um produto de

potências de p1, . . . , pi−1, pi+1, . . . , pt. Pelo que vimos acima c(g1 + · · · gi−1 + gi+1 + · · · gt) = 0. Logo

cgi = 0, também. Dessa maneira, pela Propriedade no �m da página 10 temos que |gi| divide c. Mas

|gi| é uma potência de pi e os irredutíveis p1, . . . , pt são distintos. Portanto a única potência de pi

que pode dividir c é 1. Logo gi = 0, �cando demonstrado que a igualdade (3) vale.

Com isso o teorema �ca demonstrado.

Questão 21. Usando a Questão (17), página 19, e a terceira Propriedade que aparece na página 10

(subgrupo de cíclico é cíclico), mostre que um grupo abeliano G é cíclico se e somente se G(pi) é

cíclico para todo i = 1, . . . , t.

O Teorema da Decomposição Canônica permite descrever todo os grupos abelianos �nitos. De

fato, um grupo abeliano de ordem 4, por exemplo, tem que ser da forma Z/4Z ou da forma Z/2Z×

Z/2Z, pois 4 = 22. Já um grupo de ordem 30 só pode ser da forma Z/2ZZ/3ZZ/5Z que é isomorfo a

Z/30Z, pela Questão 20 e comentários abaixo dela. Para ordem 12, temos duas possibilidades Z/4Z×

Z/3Z ∼= Z/12Z (Questão 20, como acima) ou ou da forma Z/2Z × Z/2Z × Z/3Z ∼= Z/2Z × Z/6Z,

quando juntamos as duas últimas parcelas. De uma maneira geral, para encontrarmos os grupos

abelianos de ordem n basta decompormos n em fatores irredutíveis de Z e examinar os possíveis

cíclicos que podem ser formados.

Questão 22. Escolha alguns números pequenos e descreva todos os grupos abelianos com as

ordens escolhidas.

Vamos terminar estas notas recapitulando as famílias de grupos �nitos que �camos conhecendo.

Os grupos cíclicos Z/nZ, com os quais fabricamos todos os grupos abelianos �nitos. Os grupos

diedrais Dn com ordem 2n os grupos simétricos Sn com ordem n! e os grupos alternados An com

ordem (1/2)n!. Fora o caso cíclico, todos eles não abelianos. Mas existem muitos outros, só que são

muito mais complicados de descrever. Temos por exemplo os grupos quaterniônicos Qn (ainda não

tão complicado) que têm ordem 2n. Para n = 3, chamando-se√−1 = i, como de costume, podemos

descreve-lo

Q3 =

±1 0

0 ±1

,

±i 0

0 ±(−i)

,

0 ±1

±(−1) 0

,

0 ±i

±i 0

.

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