Guia de laboratório de Sinais e Sistemas Mecatrónicos

Guia de laboratório deSinais e Sistemas Mecatrónicos

12 de Setembro de 2014

Conteúdo

Conteúdo i

Introdução iii

Bibliografia v

1 Introdução à utilização de aparelhos de medida e geração de sinal 11.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2.1 Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.2 Multímetro digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.3 Osciloscópio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.4 Gerador de sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.5 Resistências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.6 Tipos de cabos utilizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.7 Caixa com material para cada bancada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Preparação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Trabalho experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.1 Lista de Material Necessário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4.2 Procedimentos do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Projeto, implementação e validação da cadeia de atuação e medida 112.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Preparação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4 Trabalho experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13


3 Análise de um sistema de segunda ordem 173.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2.1 Circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2.2 Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.3 Preparação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.4 Trabalho experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18


4 Filtragem de sinais 234.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.3 Preparação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.4 Trabalho experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23


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Introdução

Signum est quod et se ipsum sensui et praeter se aliquid animo ostendit.

S. Agostinho, De dialectica, V

Há quatro aulas de laboratório, que têm lugar nas seguintes semanas:

Aula Duração Semanas1 1h30 13 a 17 de outubro2 3h00 27 a 31 de outubro (turnos ímpares) ou 10 a 14 de novembro (turnos pares)3 1h30 1 a 5 de dezembro4 1h30 9 a 15 de dezembro

O laboratório situa-se no Pavilhão de Engenharia Mecânica III, piso 1 (subcave), ao fundo das escadas.

iii

Os trabalhos são efetuados em grupos de três alunos, sendo as inscrições nos turnos realizadas na página daunidade curricular:https://fenix.tecnico.ulisboa.pt/disciplinas/SSM25/2014-2015/1-semestreNa página vão encontrar-se também alguns ficheiros adicionais que vão ser necessários para as aulas.

Todas as aulas têm de ser preparadas previamente, conforme indicado na secção “Preparação” de cadauma. A preparação envolve sempre passar a escrito algo que se tem de mostrar ao docente no início da aula.Um grupo que não o faça não poderá participar na aula.

No final do semestre é preciso entregar um trabalho de casa, cuja nota corresponde a 30% da classificaçãofinal da unidade curricular. O trabalho consiste na resposta às perguntas das secções de “Preparação”, e nosresultados obtidos com as experiências descritas nas secções de “Procedimentos do trabalho”, com os comentáriosque forem necessários e tidos por conveniente. A estrutura é deixada ao cuidado de cada grupo. A notaatribuída a este trabalho dependerá também do desempenho e da desenvoltura demonstrada no laboratório portodos os membros do grupo. O trabalho é entregue, em formato PDF, usando o sistema Fenix, até às24h00 do dia 2 de janeiro de 2015. Se algum grupo eventualmente entregar o trabalho atrasado, terá de o fazerenviando-o por correio eletrónico para o respetivo docente; a entrega com n dias de atraso corresponderá a umapenalização na nota de �n� valores.

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Bibliografia

[1] http://sine.ni.com/nips/cds/view/p/lang/en/nid/14604

[2] Ogata, K. — Modern Control Engineering. Prentice-Hall, 2009.

[3] Bolton, W. — Mechatronics. Prentice-Hall, 2013.

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Capítulo 1

Introdução à utilização de aparelhos demedida e geração de sinal

1.1 Objetivos

1. Utilizar o multímetro digital nas funções de voltímetro, amperímetro, ohmímetro e frequencímetro.

2. Utilizar o osciloscópio nos diferentes modos, com e sem componente contínua do sinal.

3. Utilizar o gerador de sinais, especificando a forma da onda, a amplitude pico a pico (pp), a média efrequência.

4. Efetuar ligações na bread-board (base de montagens).

1.2 Introdução

No laboratório (figura 1.1) existem instrumentos de medida e de geração de sinal, que é preciso conhecer bem,e com os quais se pretende ganhar familiaridade durante esta primeira aula.

Figura 1.1: Bancada do laboratório.

1.2.1 Base

As diversas montagens serão efectuadas sobre uma base adequada (figura 1.2).O voltímetro é um instrumento de medida para a medição da tensão eléctrica, o que implica que o mesmo

seja colocado em paralelo com o circuito a medir.

1

Figura 1.2: Base para trabalho.

O amperímetro é um instrumento de medida da amplitude da corrente eléctrica, o que implica que o mesmoseja colocado em série com o circuito a medir.

A base de montagem inclui um voltímetro e um amperímetro; para estas funções também se pode usar ummultímetro (figura 1.4).

Os pontos da breadboard encontram-se ligados de acordo com as linhas azuis da figura 1.3. Repare que asligações transversais, nalgumas breadboards, são a toda a largura, e, noutras, apenas a metade da largura daplaca. Verifique com cuidado qual é o caso da sua, sob pena de a sua montagem ficar incorreta (e ainda poderdanificar componentes!). Por cortesia de alunos que as usaram antes, algumas breadboards podem ter zonasqueimadas, que, naturalmente, são de evitar ao fazer as montagens.

Os circuitos integrados montam-se como indicado na figura 1.3.

Figura 1.3: Ligações e utilização da breadboard.

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1.2.2 Multímetro digital

O multímetro digital (figura 1.4) é um instrumento de medida multifuncional que congrega diversos instrumentos:voltímetro, amperímetro, ohmímetro e frequencímetro, dispondo de um mostrador com virgula flutuante.

É importante notar que as ligações para as funções de voltímetro e amperímetro são distintas. É importan-tíssimo não trocar a posição das ligações e não trocar as funções. O cabo preto é sempre colocado na entradaCOM (terra), escolhendo para o outro cabo a entrada adequada à medição pretendida: V, Ω, A ou mA/μA. Sea ligação for incorreta, soará um alarme do multímetro.

Figura 1.4: Multímetro digital.

É importante para a compreensão e depuração do circuito associar as cores dos fios às funções: o preto éassociado à terra, e o vermelho ao cabo activo (ou de alimentação). Aproveite as cores dos fios presentes parafacilitar a compreensão do circuito.

1.2.3 Osciloscópio

O osciloscópio (figura 1.5) é um instrumento de medida que permite visualizar em tempo real a amplitude deuma tensão eléctrica, revelando-se de extrema importância para a visualização de sinais em tensão.

Figura 1.5: Osciloscópio; esquerda: Philips; direita: Goldstar.

O osciloscópio é um aparelho de visualização. Considerando, por exemplo, um sinal sinusoidal (figura 1.6), obotão de Amplitude permite alterar a escala dos eixo dos yy, enquanto que o botão de Base de Tempo permitealterar a escala do eixo dos xx.

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Figura 1.6: Exemplo de visualização no osciloscópio.

O osciloscópio tem duas entradas: canal A ou X, e canal B ou Y. Ambas apresentam ligações com fichasBNC; veja-se na figura 1.7 um T BNC, que permite ligar um mesmo sinal a duas fichas BNC diferentes.

Figura 1.7: T BNC.

As duas entradas do osciloscópio permitem visualizar simultaneamente dois sinais em função do tempo. Paracada uma delas, pode-se ajustar independentemente quer a gama de medida (expressa em V/div, ou seja, Voltspor divisão) quer a posição do zero na vertical.

A escala de tempo é acertada para ambos os sinais (normalmente o botão para isso é o mais à direita). Aposição extrema deste selector fornece o gráfico y(x) do sinal, i.e., o sinal do canal Y em função do sinal docanal X. Alguns osciloscópios permitem alterar a base de tempo de apenas um dos canais, pelo que se deveráter cuidado para não confundir as escalas dum e doutro sinal.

Alguns dos osciloscópios possuem botões que permitem um acerto fino da calibração das escalas, isto é,permitem alterar ligeiramente a escala que se selecionou, para um valor próximo mas desconhecido. Logicamente,os botões desses acertos finos devem estar sempre desligados (após um clique) para se poder saber com exatidãoqual a escala (do eixo dos xx ou do eixo dos yy) que está efetivamente a ser usada.

1.2.4 Gerador de sinais

O gerador de sinais (figura 1.8) é o instrumento que nos permite gerar sinais em tensão contínuos, DC, ouvariantes no tempo: ondas sinusoidais, ondas triangulares ou ondas quadradas.

A forma do sinal é selecionada através de um dos 4 botões agrupados no centro do aparelho. A saída(Output) está disponível numa ficha BNC.

Na geração de sinais variantes no tempo, cuja frequência é possível alterar, tal pode ser feito através dobotão normalmente mais à esquerda (com a ajuda do selector de gamas). No caso de o gerador não forneceruma informação visual da frequência, deve utilizar-se o multímetro no circuito, na sua função de frequencímetro.

Se tiver dificuldades em colocar o gerador de sinais em modo DC, ou mesmo no modo de DC offset (acres-centar um valor DC ao sinal alterno), contacte o docente de laboratório.

Na base para montagens existe também um gerador de sinais, mas este é de qualidade sofrível; portanto,deve-se utilizar normalmente o gerador existente na bancada, exceto se explicitamente indicado o contrário.

1.2.5 Resistências

O valor de cada resistência está indicado no seu exterior pelo código de cores da figura 1.9. No laboratório,as resistências estão arrumadas em gavetas consoante o seu valor, mas os seus colegas que as usaram antes

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Figura 1.8: Gerador de sinais; em cima, à esquerda: Goldstar; em cima, à direita, Philips; em baixo: TTi –TG300.

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podem ter-se enganado ao arrumá-las (ou, repreensivelmente, podem tê-las arrumado com descuido). Portanto,verifique sempre os valores pelo código de cores, e, ao arrumá-las, deixe-as tão organizadas como gostaria de aster encontrado.

Figura 1.9: Código de cores das resistências.

1.2.6 Tipos de cabos utilizados

Os cabos utilizados no laboratório são os da figura 1.10. Repare que pode sempre substituir um cabo BNC–bananas por um cabo BNC–pontas ligado à breadboard, ligando depois a esta cabos banana–ponta fina. Os cabosdescarnados nas pontas servem para fazer ligações na breadboard ; não devem ter a ponta descarnada compridanem curta demais: esta pode cortar-se ou descarnar-se com os alicates disponíveis na caixa de material de cadabancada.

1.2.7 Caixa com material para cada bancada

A caixa a que se acaba de fazer referência é semelhante à da figura 1.11, e contém cabos descarnados para fazerligações na breadboard e alicates.

1.3 Preparação

• Estude cuidadosamente os procedimentos que vai ter de realizar.

• Aponte numa folha, para mostrar ao docente no início da aula:

– quais as cores das resistências que vai utilizar (com base na figura 1.9);

– quais os valores que espera, em circunstâncias ideais, encontrar na tabela 1.1.

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Cabo BNC–BNC Cabo BNC–pontas Cabo BNC–bananas

Cabo banana–ponta fina Cabo banana–banana Cabos descarnados nas pontas

Figura 1.10: Cabos utilizados no laboratório.

Figura 1.11: Caixa com material (existe uma por bancada).

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Valores ideaisRnominal 470 Ω 1 kΩ 4, 7 kΩ

coresU (V) 5 5 5I (mA)

Valores medidosRmedidaI (mA)U (V)U/I (Ω)

Tabela 1.1: Tabela para os valores medidos com a montagem da figura 1.12.

1.4 Trabalho experimental

1.4.1 Lista de Material Necessário

• Base para montagens.

• Multímetro digital e respectivas pontas.

• Gerador de sinais.

• Osciloscópio.

• Resistências de 470 Ω, 1 kΩ e 4,7 kΩ.

1.4.2 Procedimentos do trabalho

1. Meça com o multímetro o valor de cada uma das resistências (compare com o código de cores da figura1.9) e anote-o na tabela 1.1. Para medir o valor de uma resistência no multímetro digital insira as pontasdo multímetro nas entradas COM e V-Ω e seleccione a função ohmímetro Ω com o seletor.

2. Efectue a montagem do circuito na figura 1.12. Registe na tabela os valores de corrente e tensão, medidospara cada uma das resistências. A alimentação do circuito é feita a partir dos +5 V da base. Compare osdiversos valores obtidos para as resistências.

Figura 1.12: Circuito para medição de corrente e tensão; AM: amperímetro; VM: voltímetro).

3. Ligue um cabo do tipo BNC–pontas ao canal A do osciloscópio. Comute o selector do canal para GND,e ajuste a posição do traço no ecrã (este deve aparecer coincidente com o eixo dos xx). Note que sempreque efetuar medições com o osciloscópio deve previamente verificar a horizontalidade do traço e a posiçãodo zero. Seguidamente, segure a ponta do cabo BNC–pontas de cor encarnada com uma das mãos e ajusteas gamas e posições até ver no ecrã uma onda com uma componente sinusoidal mais marcada. Meça afrequência da onda principal e indique as razões que possam estar na origem desta.

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4. Coloque um T BNC na saída do gerador de sinais. Ligue com um cabo BNC–BNC o T BNC ao canalA do osciloscópio. Ligue o gerador e gere um sinal sinusoidal de 10 V pp (isto é, 5 V de amplitude)e média nula a 100 Hz. Acerte as gamas e posições do osciloscópio até ver nitidamente dois períodosestáveis no ecrã. Depois comute o multímetro para a função de voltímetro AC, e ligue com um caboBNC–bananas o T BNC às entradas COM e V-Ω do multímetro. Meça a tensão fornecida pelo geradorde sinais. Comute agora o multímetro para a função de frequencímetro (para tal, comute o seletor para aposição de voltímetro, carregando de seguida na tecla Hz). Compare os valores de amplitude e frequênciaque consegue obter com os diferentes aparelhos: gerador de sinais, osciloscópio, e multímetro.

5. Mantendo o T BNC no gerador de sinais, ligue, a partir deste, cabos BNC–BNC aos canais A e B doosciloscópio. Coloque o seletor do canal A em DC e o do canal B em AC. Ajuste o gerador de sinaispara fornecer um sinal sinusoidal de amplitude 2 V pp. Altere a frequência para 2 kHz. Visualize noosciloscópio a forma da onda resultante. De seguida, altere o valor da componente contínua entre valorespositivos e negativos. Repare que existe um período de adaptação na imagem do ecrã. Indique quais asdiferenças encontradas entre os dois canais.

6. Mantendo as ligações do ponto anterior ajuste o gerador de sinais para fornecer um sinal com a forma deonda quadrada, de 5 V pp, média nula e frequência 10 kHz. Acerte as gamas e posições até ver nitidamentedois períodos estáveis no ecrã. Repita o procedimento anterior alterando a frequência para 1 kHz, 100 Hz,e 10 Hz. Se baixar as frequências para a gama dos Hz, que se passa?

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Capítulo 2

Projeto, implementação e validação dacadeia de atuação e medida

2.1 Objetivos

1. Projetar e implementar um condicionamento de sinal.

2. Perceber a importância do controlo em anel fechado.

2.2 Introdução

O trabalho a realizar neste laboratório consiste no projeto, implementação e validação da cadeia de atuaçãoe medida de um motor de corrente contínua. Usaremos no laboratório um motor DC e um sensor de posiçãoangular. Para começar a dar alguma ênfase ao controlo, estudado com pormenor numa unidade curricular dosegundo semestre do terceiro ano, é utilizado um simples controlador proporcional de posição com o motor DC.

O sinal de comando do motor trabalha numa gama de −10 V a 10 V; o sinal de saída do sensor de posiçãoangular está na mesma gama de valores. Pretende-se atuar o motor, e medir a sua posição angular, através deum computador com o conversor analógico-digital-analógico NI USB-6008 [1], cujas saídas analógicas (conversorDA de 12 bit) possuem uma gama de 0 V a 5 V e cujas entradas analógicas (conversor AD de 12 bit) possuemuma gama de −10 V a 10 V (figura 2.1).

Figura 2.1: Esquema do problema em estudo.

É preciso projetar o condicionamento de sinal necessário para que toda a gama de entrada e saída doconversor AD/DA seja utilizada. No projeto de condicionamento de sinal as operações normalmente usadassão as de amplificação (ou atenuação) e de offset. Para tal usam-se habitualmente as seguintes montagens comAmpOps: amplificador inversor, amplificador não inversor, subtrator e somador (figura 2.2).

O modelo G(s) do motor utilizado, que será estudado posteriormente nas aulas teóricas, relaciona a trans-formada de Laplace da excitação ao motor V (s) com a transformada de Laplace da posição angular do rotorΘ(s), e é dado por:

G(s) =Θ(s)

V (s)=

Km

s(Kts+ 1)(2.1)

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Amplificador inversor Amplificador não inversor

Subtrator (inversor)

Somador (inversor)

Figura 2.2: Montagens com AmpOps.

2.3 Preparação


• Utilize o ficheiro Simulink fornecido na página da unidade curricular simul_lab2.mdl (figura 2.3) paraexercitar em simulação o controlo em posição de um motor. O diagrama de blocos é o correspondente àfigura 2.4. Os valores numéricos utilizados para os parâmetros foram retirados de [2]; destinam-se apenaspara a situação da simulação indicada, e não são os valores dos parâmetros do motor que encontrará emlaboratório.

• Ache as relações entre entradas e saída das montagens da figura 2.2. Para simplificar, considere, no casodo subtrator e do somador, as resistências todas iguais. Em caso de dúvida, consulte o manual da cadeira[3].

• Analise com cuidado se no condicionamento de sinal que vai ter de efetuar é indiferente a ordem dasoperações. Caso necessite de tensões para além de ±15 V para alimentar os AmpOps, leve em conta noprojeto que apenas dispõe na base de montagem de ±5 V. Recorde também que a saída de um AmpOpnunca é maior, em módulo, que as tensões com que é alimentado.

• Desenhe numa folha, para mostrar ao docente no início da aula, qual o esquema do condicionamento desinal que vai implementar, incluindo os valores de resistências a empregar.

• Calcule a resolução da atuação com e sem condicionamento de sinal.

Figura 2.3: O ficheiro simul_lab2.mdl.

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Figura 2.4: Diagrama de blocos correspondente ao ficheiro simul_lab2.mdl.


2.4.1 Lista de Material Necessário• Base de montagem.

• Multímetro digital.


• Osciloscópio.

• Computador e conversor AD/DA NI USB-6008.

• Base DIGIAC com motor de corrente contínua (DC) e sensor angular.

• AmpOps LM741 e resistências, na quantidade e com os valores que constem do esquema que mostrou aodocente.

2.4.2 Procedimentos do trabalho1. Regule as fontes V+ e V- da base de montagem para os valores de +15 V e −15 V necessários à alimentação

dos AmpOps.

2. Implemente o condicionamento de sinal que projetou. Tenha em atenção o esquema de pinos do AmpOp dafigura 2.5. Se o seu condicionamento incluir vários AmpOps, monte um de cada vez, e teste-o logo com o equipaUtilize o gerador de sinais para simular o sinal proveniente do conversor digital–analógico, na gama de0 V a 5 V (sinal DC), usando o osciloscópio para verificar se a tensão que chega ao motor corresponde àgama desejada.

Figura 2.5: Esquema de pinos do AmpOp LM741.

3. Antes de ligar o circuito implementado ao conversor AD/DA, faça um último teste com o equipamento debancada. Repare que a gama desejada é de −10 V a +10 V, que uma entrada de 0 V deve correspondera uma saída de −10 V, uma entrada de 2, 5 V deve corresponder a uma saída de 0 V, e uma entrada de5 V deve corresponder a uma saída de +10 V.

4. Chame o docente para verificar todas as ligações antes de prosseguir para as ligações ao conversor NIUSB-6008 e à base DIGIAC.

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5. Ainda na presença do docente, e de forma a fechar o anel, ligue agora a saída analógica AO0 do con-versor AD/DA à cadeia de atuação, e a entrada AI0 à cadeia de medida. Como o sinal de saída docondicionamento de sinal não tem corrente suficiente para excitar o motor, é passado previamente por umamplificador de potência, como se vê na figura 2.6. Ligue o GND da base de montagem ao GND da baseDigiac.

Figura 2.6: Ligações no DIGIAC.

6. O software de processamento, envio e aquisição de sinal é o Matlab/Simulink. O tempo de amostragemé de 10 ms. Abra o ficheiro controlo.mdl que se encontra da directoria NI USB-6008 no ambiente detrabalho (deve primeiro abrir o Matlab e depois redirecionar a diretoria de trabalho para a pretendida).Neste ficheiro está implementado um controlador proporcional para a posição angular do motor. Configureo bloco “Signal Generator” para uma onda quadrada com amplitude de 2 V e frequência de 0,2 Hz. Corrao programa várias vezes para diferentes valres do controlador proporcional K: comece por K = 1, e depoisexperimente valores tanto menores como maiores.

7. Grave para ficheiros as variáveis correspondentes a alguns (digamos, quatro ou cinco) valores de K. Copieos ficheiros para incluir esses dados no seu trabalho de casa.

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Figura 2.7: O ficheiro controlo.mdl.

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Capítulo 3

Análise de um sistema de segunda ordem

3.1 Objetivos1. Estudar teoricamente um circuito RLC.

2. Observar experimentalmente as respostas no tempo e em frequência de um sistema de segunda ordempuro.

3.2 Introdução

3.2.1 CircuitoO circuito a montar no laboratório está representado na figura 3.1. A resistência será de valor variável. Vi(t) éa entrada (input) do sistema, e Vo(t) a saída (output).

Figura 3.1: Circuito RLC.

A equação que descreve o comportamento dinâmico de um sistema RLC, e que é formalmente igual à de umsistema massa—mola—amortecedor, é dada por

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

Vi(t) = R i(t) + Ldi(t)

dt+

1

C

∫ t

0

i(τ) dτ

Vo(t) =1

C

∫ t

0

i(τ) dτ

⇒ LCd2Vo(t)

dt2+RC

dVo(t)

dt+ Vo(t) = Vi(t) (3.1)

Aplicando a transformação de Laplace, podemos obter a função de transferência

Vo(s)

Vi(s)=

1

LC

s2 +R

Ls+

1

LC

(3.2)

3.2.2 MaterialA figura 3.2 mostra um condensador, uma bobina, e uma resistência variável ou reóstato. O reóstato tem umcursor que se desloca sobre uma resistência com um botão. A resistência está ligada aos terminais da esquerdae da direita, e o cursor ao terminal do meio. Para termos uma resistência variável, usamos o terminal do meioe um dos terminais das pontas, e rodamos o botão para variar o comprimento da resistência que está a ser

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atravessado pela corrente elétrica (recorde que a resistência de um condutor é diretamente proporcional ao seucomprimento).

Figura 3.2: Condensador (esquerda), bobina (centro), e reóstato ou resistência variável (direita).

3.3 Preparação


• Para os valores de L e C da lista de material abaixo, escolha três valores diferentes de R, correspondentesa um sistema subamortecido, criticamente amortecido, e sobreamortecido.

• Calcule para cada caso os valores do coeficiente de amortecimento ξ e dos polos da respetiva função detransferência.

• Ache a resposta ao degrau para cada um dos três casos, servindo-se das funções tf e step de Matlab.

• Ache a resposta em frequência para cada um dos três casos, com a função bode de Matlab.

• Colija os resultados numa folha para mostrar ao docente no início da aula.

• Leve para o laboratório a folha Excel SSM_Bode.xls (figura 3.6), para registar os resultados.



• Base de montagem.



• Osciloscópio.

• 1 potenciómetro (resistência variável) de 10 kΩ.

• 1 condensador de 100 nF.

• 2 bobinas de 100 mH, para serem montadas em série.

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3.4.2 Procedimentos do trabalho

1. As bobinas, como não são ideais, apresentam, para além de uma componente indutiva L, uma componenteresistiva que denotaremos por RL. Recorrendo ao multímetro, meça a resistência das bobinas em série(ou a resistência de cada uma separadamente, e some os dois valores), antes de as inserir no circuito. Emtodos os cálculos que se seguem, este valor deverá somar-se ao da resistência do potenciómetro Rp, paraachar a resistência total R.

2. Monte o circuito RLC da figura 3.1, representativo de um sistema de segunda ordem puro. As duasbobinas são montadas em série. Para testar o circuito recorra à montagem da figura 3.3.

Figura 3.3: Como testar o circuito da figura 3.1.

3. Para três casos do sistema, correspondentes a sobreamortecimento, amortecimento crítico, e subamorte-cimento, que devem ser verificados pelo docente de laboratório, determine com o auxílio do multímetroo valor da resistência do potenciómetro Rp (retire-o do circuito para fazer a medição). (Estes três casospodem corresponder aos valores da resistência que estudou com o Matlab durante a preparação destelaboratório, ou outros diferentes, confrme preferir. Experimente-os pela ordem acima.) Calcule ovalor do coeficiente de amortecimento ξ, sabendo que num sistema de segunda ordem puro se verifica

⎧⎪⎨⎪⎩

ω2n =

1

LC

2ξωn =R

L, onde R = Rp +RL

(3.3)

Obtenha em cada um dos três casos a resposta do sistema a uma entrada em degrau dada por Vi(t) = 5H(t),onde H é a função de Heaviside. Para tal, forneça como sinal de entrada Vi, com o gerador de sinais,uma onda quadrada com 5 V pp e 200 Hz: em cada semiperíodo de uma onda quadrada, a resposta dosistema é idêntica à resposta a um degrau de amplitude 5, desde que a onda quadrada tenha um períodosuficientemente grande para o regime transiente se tornar desprezável, e a resposta alcançar o regimeestacionário. Visualize Vi no canal A (ou X) do osciloscópio, e a saída Vo no canal B (ou Y). Acerte aescala de tempo do osciloscópio de modo a ver somente um período completo. Verifique que o sinal desaída pode ou não apresentar oscilações, consoante o valor de ξ.

4. Para o sistema subamortecido (que deve ser o que tem neste momento à sua frente), meça na resposta queobserva (figura 3.4) os valores de máximo de sobreimpulso Mp e de tempo de pico tp. Compare-os com osque pode obter analiticamente por

Mp = e− ξ√

1−ξ2π=

ymax − y0y0

(3.4)

tp =π

ωn

√1− ξ2

(3.5)

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Figura 3.4: Máximo sobreimpulso e tempo de pico de uma resposta no tempo visualizada no osciloscópio.

Figura 3.5: Figuras de Lissajous.

5. Ache a resposta em frequência do sistema subamortecido do ponto anterior. Para isso, altere a entrada docircuito para um sinal sinusoidal, e faça variar a sua frequência entre 20 Hz e 20 kHz, da seguinte forma,que garante um espaçamento aproximadamente igual em escala logarítmica:

ω ∈ {20 50 100 200 500 1000 2000 5000 10000 20000} Hz (3.6)

Observe para cada frequência de entrada os valores de amplitude e fase do sinal de saída, e registe-osna folha SSM_Bode.xls. Para essa determinação experimental do ganho e da desfasagem de um sistemalinear, é preferível a representação com base nas curvas de Lissajous (figura 3.5). Para visualizar as curvasde Lissajous no osciloscópio, rode o seletor de escala de tempo até à posição X Y (B em função de A).Repare que as escalas V/div que tem selecionadas é que determinam as escalas dos eixos da figura que sevê no ecrã. Verifica-se que

{Vi = a sin(ωt)Vo = b sin(ωt+ φ)

⇒{

ganho = ba

A desfasagem φ é função de arcsin cb

(3.7)

A folha traça automaticamente o diagrama de Bode do sistema à medida que se preenche a tabela comos valores 2a, 2b e 2c. Repare que nos casos em que ocorra uma divisão por zero (por se ter lido noosciloscópio um valor nulo) se deve aumentar a escala dos eixos que forem necessários, até encontrar umvalor próximo de zero mas muito pequeno, evitando assim obter um erro no gráfico.

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Figura 3.6: O ficheiro SSM_Bode.xls.

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Capítulo 4

Filtragem de sinais

4.1 Objetivos

1. Efetuar o estudo teórico de filtros passa-baixo e passa-alto, passivos e ativos.

2. Implementar e analisar o comportamento dos filtros passa-baixo e passa-alto de primeira ordem.

4.2 Introdução

Neste trabalho irão empregar-se um filtro passa-baixo e um filtro passa-alto, ambos passivos (figura 4.1).

Filtro RC passa-baixo Filtro RC passa-alto

Figura 4.1: Filtros passa-baixo e passa-alto passivos.

4.3 Preparação


• Utilize o ficheiro Simulink simul_lab4.mdl (figura 4.2), disponível na página da unidade curricular, paratreinar em simulação o processo de filtragem. Para correr a simulação, clique sobre o ícone �. Aproveitepara aceder a cada um dos elementos, alterando os dados para se familiarizar com o Simulink.

• Com os valores dados para os componentes R e C, obtenha, para mostrar ao docente no início da aula,as funções de transferência, e os respectivos diagramas de Bode (use a função bode de Matlab):

– dos filtros passivos que vai implementar;

– dos filtros ativos passa-baixo e passa alto da figura 4.3.



• Base de montagem.

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Figura 4.2: O ficheiro simul_lab4.mdl.

Figura 4.3: Filtros passa-baixo (esquerda) e passa-alto (direita), ativos e passivos.

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• Osciloscópio.

• 1 resistência de 4,7 kΩ.

• 1 condensador de 100 nF.

• 1 circuito somador.

4.4.2 Procedimentos do trabalho1. Use o gerador de sinais da base de montagem para obter um sinal sinusoidal com uma amplitude de

5 V pp e uma frequência de 20 Hz. Sirva-se do multímetro na função de frequencímetro para confirmar afrequência.

2. Use o gerador de sinais com que tem sempre trabalhado para obter um sinal sinusoidal com uma amplitudede 1 V pp e uma frequência de 5 kHz. (Terá de carregar num botão que atenua as amplitudes de saída20 dB para conseguir uma aplitude tão baixa.)

3. Alimente o AmpOp do circuito somador (figura 4.4) com −15 V e +15 V, provenientes da base. Some osdois sinais sinusoidais, colocando-os nas entradas e1 e e2. Visualize o sinal resultante eo no canal A doosciloscópio. Ajuste a escala de tempo do osciloscópio de modo a visualizar aproximadamente um períododa componente de menor frequência.

Figura 4.4: Circuito somador.

4. Monte o filtro RC passa-baixo passivo (figura 4.1). O sinal a filtrar Vin corresponde ao obtido à saídado circuito somador, que é visualizado no canal A do osciloscópio. No canal B do osciloscópio deverávisualizar a saída do filtro Vout, isto é, a tensão no ponto de ligação do condensador à resistência. Observeas curvas obtidas. Aumente gradualmente a frequência de menor valor, e comente o desempenho do filtro.Reponha a menor frequência no valor inicial, diminua gradualmente a frequência de maior valor, e comenteo desempenho do filtro.

5. Altere a montagem para obter o filtro RC passa-alto passivo. (Repare que basta trocar a posição doscomponentes.) Varie as frequências como no ponto anterior, e comente o desempenho do filtro.

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Guia de laboratório de Sinais e Sistemas Mecatrónicos

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