Guia Maestro 1o_fundam Castillo

8/17/2019 Guia Maestro 1o_fundam Castillo

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BLOQUE 3 / SECUENCIA 1 1

Guía para el maestro

s e c u n d a

r i a

F U N DA M E N T

A L 1


2/52

Dirección editorial: Adriana Beltrán Fernández • Subdirección editorial: Tania CarreñoKing • Gerencia de secundaria: Aurora Saavedra Solá • Gerencia de diseño: Renato

Aranda • Cordinación editorial: Jannet Vázquez • Edición: Milosh Trnka Rodríguez,Alberto Lara y Karina Islas Ríos • Asistencia editorial: Erika López Galbraith • Supervisiónde diseño: Gabriela Rodríguez Cruz • Coordinación de diseño: Carina J. Haro Vázquez• Diseño de interiores: Gustavo Hernández • Adaptación de diseño de portada: RenatoAranda • Diagramación: Rocío Mince • Supervisión de imagen: Tere Leyva • Investigacióniconográfica: Édgar Estrella Juárez • Ilustración: Raúl Tena • Fotografía: Archivo digital• Digitalización y retoque: Juan Ortega Corona • Gerencia de producción: Alma Orozco • Coordinación de producción: Alma RamírezColaboración: Erick Rodríguez Castro

Primera edición: mayo de 2012

Matemáticas 1Guía para el maestro

D.R. © 2012, del texto: Ediciones Castillo, S.A. de C.V.

Todos los derechos reservadosD.R. © 2012, Ediciones Castillo, S.A. de C.V.Castillo ® es una marca registrada

Insurgentes Sur 1886, Col. FloridaDeleg. Álvaro Obregón,C.P. 01030, México, D.F.

Tel.: (55) 5128–1350Fax: (55) 5128–1350 ext. 2899

Ediciones Castillo forma parte del Grupo Macmillan

www.grupomacmillan.comwww.edicionescastillo.cominfocastillo@grupomacmillan.comLada sin costo: 01 800 536 1777

Miembro de la Cámara Nacionalde la Industria Editorial Mexicana

Registro núm. 3304

Prohibida la reproducción o transmisión parcial o total de estaobra en cualquier forma electrónica o mecánica, incluso fotocopia,o sistema para recuperar información, sin permiso escrito del editor.

Impreso en México / Printed in Mexico


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BLOQUE 3 / SECUENCIA 1 3PRESENTACIÓN 3

Al maestro: La práctica docente exige cada día más y diferentes recursos para enfrentarla y lograruna educación de calidad. Por eso, Ediciones Castillo ha elaborado para usted estaGuía para el maestro, una herramienta que le facilitará el trabajo diario en el aula con-

siderando los retos que plantea trabajar con el enfoque didáctico de los Programas deestudio 2011:

• Abordar los contenidos desde contextos vinculados a la vida personal, cultural ysocial de los alumnos.

• Estimular la participación activa de los alumnos en la construcción de sus cono-cimientos.

• Contribuir al desarrollo de competencias para la vida, al perfil de egreso y a lascompetencias específicas de la asignatura.

El trabajo con secuencias didácticas, entendido como una estrategia de enseñanzay de aprendizaje para construir y reconstruir el propio conocimiento, representa, encuanto a su metodología, una manera radicalmente distinta a la forma tradicional deenseñanza. Es por esto que la guía que ponemos a su alcance tiene como princi-pal objetivo acompañarlo en cada una de las etapas que conforman el proceso detrabajo con las secuencias, señalando, en primer lugar, los conceptos, habilidades yactitudes que se desarrollarán, y los antecedentes que sobre los contenidos tienenlos estudiantes.

En cada una de las etapas, inicio, desarrollo y cierre, encontrará la explicación de suintención didáctica, así como sugerencias didácticas complementarias y respuestasa cada una de las actividades que conforman la secuencia.

Asimismo, en esta guía encontrará el solucionario correspondiente a las evaluacio-nes tipo PISA y ENLACE que aparecen en el libro del alumno y una evaluación adicionalpor bloque recortable con la que usted podrá, si lo considera conveniente, realizaruna evaluación diferente a sus alumnos.

Al inicio de cada bloque le sugerimos un avance programático que le ayudará a pla-near y organizar bimestralmente su trabajo en el aula y un resumen del bloque dondese especifican cuáles son los aprendizajes esperados y las competencias que se favo-recerán.

Se incluyen recomendaciones de otros recursos como el uso del CD Recursos di-gitales para el docente elaborado por Ediciones Castillo como otra herramienta de

apoyo a su trabajo en el aula, páginas de Internet, audios, películas, videos, libros,museos, entre otros.

Los que participamos en la elaboración de esta Guía sabemos que con su expe-riencia y creatividad logrará potenciar las intenciones didácticas aquí expuestas, yasí conseguir que sus alumnos desarrollen, de manera natural, las habilidades y ac-titudes para el logro de los aprendizajes esperados y las competencias para la vida.


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BLOQUE 3 / SECUENCIA 136

El trabajo con secuencias

didácticasUna secuencia didáctica es un conjunto de actividades, textos, imágenes y otros re-cursos, organizados —a partir de un nivel de complejidad progresivo— en tres fases:inicio, desarrollo y cierre, cuyo propósito es contribuir al logro de un aprendizaje.

Al inicio de cada lección del l ibro del alumno se presenta una situación problemáticay articuladora, cuyo objetivo es movilizar los conocimientos previos y despertar elinterés de los estudiantes en torno a los contenidos curriculares.

En esta fase, es importante que el maestro comparta con los alumnos los propósitosde la secuencia; que se asegure de que sus estudiantes identifican la realidad queserá objeto de estudio, las cuestiones o problemas que plantea esa realidad, y queindague y revise los posibles esquemas de actuación inicial que proponen sus alum-nos para dar respuesta a la situación problemática.

Posteriormente, en la fase de desarrollo se presenta un conjunto de actividades queconstituyen un reto para los alumnos, y que promueve la construcción de los aspec-tos más relevantes con el fin de que logren la apropiación y la comprensión profundade los mismos.

En esta fase los alumnos reflexionarán, resolverán y aplicarán estrategias diversas,lo que posibilita poner en marcha el aprendizaje contextualizado de distintos con-tenidos: conceptuales, procedimentales y actitudinales. Por esto, se sugiere que eldocente trabaje con sus alumnos para que reconozcan con claridad los procedi-mientos que se pueden seguir y los conocimientos que deben aplicar para actuarcon eficiencia, pasando progresivamente de conocimientos y procedimientos em-píricos hacia otros más expertos. En todo momento, es conveniente que el maestroofrezca ayudas específicas en función de las características de los alumnos, y revisecon ellos el esquema de actuación, la aplicación concreta que hacen de sus cono-cimientos y el proceso de construcción de otros nuevos.

En el cierre de las secuencias se revisa la solución que ofrecieron en un inicio losalumnos a la situación problemática.

De esta forma, y una vez que los alumnos comprenden y dominan el esquemade actuación que los lleva al desarrollo de las competencias de la asignatura, seránecesario que el maestro recapitule lo trabajado en la secuencia, acompañe a susalumnos en la aplicación de lo aprendido a situaciones diversas vinculadas con su

realidad, evalúe su progreso, detecte hasta dónde fueron alcanzados los aprendizajes esperados, y promueva la reflexión crítica sobre los contenidos abordados.

ESTRUCTURA DE LA GUÍA6


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La evaluaciónLa evaluación es un elemento fundamental en el proceso de enseñanza-aprendizaje,ya que es una oportunidad para que usted valore el desarrollo de las habilidadesmatemáticas de sus alumnos, lo cual le será útil en el diseño de sus propias estrate-gias de enseñanza. También son valiosas para los alumnos, ya que les permiten serreflexivos en cuanto a sus avances. Con este propósito se han incluido en el libro delalumno tres tipos de evaluaciones al final de cada bloque: Autoevaluación, evalua-ción tipo ENLACE y evaluación tipo PISA.

En las autoevaluaciones, los alumnos leerán una serie de enunciados, uno por cadalección vista en el bloque, y tendrán que responder si son falsos o verdaderos. Des-pués deberán escribir una propuesta de verificación de su respuesta. A través de

este ejercicio, los alumnos podrán valorar su nivel de aprendizaje, pues les permitirádetectar las áreas que dominan y aquellas en las que deben mejorar.

Las pruebas tipo ENLACE (Evaluación Nacional del Logro Académico en Centros Es-colares) están elaboradas a partir de cinco preguntas, con cuatro respuestas posiblespara cada una. Esta evaluación ofrece un beneficio adicional para la preparación delos alumnos ante este instrumento de evaluación oficial.

En las pruebas tipo PISA (siglas en inglés del Programa para la Evaluación Interna-cional de los Estudiantes) los estudiantes tendrán que responder tres preguntas de

análisis de problemas que, además de abarcar contenidos del bloque, implican lamovilización de las habilidades y competencias adquiridas.

ESTRUCTURA DE LA GUÍA 7


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El trabajo con secuencias

didácticasUna secuencia didáctica es un conjunto de actividades, textos, imágenes y otros re-

cursos, organizados —a partir de un nivel de complejidad progresivo— en tres fases:

inicio, desarrollo y cierre, cuyo propósito es contribuir al logro de un aprendizaje.

Al inicio de cada lección del l ibro del alumno se presenta una situación problemática

y articuladora, cuyo objetivo es movilizar los conocimientos previos y despertar el

interés de los estudiantes en torno a los contenidos curriculares.

En esta fase, es importante que el maestro comparta con los alumnos los propósitos

de la secuencia; que se asegure de que sus estudiantes identifican la realidad que

será objeto de estudio, las cuestiones o problemas que plantea esa realidad, y que

indague y revise los posibles esquemas de actuación inicial que proponen sus alum-

nos para dar respuesta a la situación problemática.

Posteriormente, en la fase de desarrollo se presenta un conjunto de actividades que

constituyen un reto para los alumnos, y que promueve la construcción de los aspec-

tos más relevantes con el fin de que logren la apropiación y la comprensión profunda

de los mismos.

En esta fase los alumnos reflexionarán, resolverán y aplicarán estrategias diversas,

lo que posibilita poner en marcha el aprendizaje contextualizado de distintos con-

tenidos: conceptuales, procedimentales y actitudinales. Por esto, se sugiere que el

docente trabaje con sus alumnos para que reconozcan con claridad los procedi-

mientos que se pueden seguir y los conocimientos que deben aplicar para actuar

con eficiencia, pasando progresivamente de conocimientos y procedimientos em-

píricos hacia otros más expertos. En todo momento, es conveniente que el maestro

ofrezca ayudas específicas en función de las características de los alumnos, y revise

con ellos el esquema de actuación, la aplicación concreta que hacen de sus cono-

cimientos y el proceso de construcción de otros nuevos.

En el cierre de las secuencias se revisa la solución que ofrecieron en un inicio los

alumnos a la situación problemática.

De esta forma, y una vez que los alumnos comprenden y dominan el esquema

de actuación que los lleva al desarrollo de las competencias de la asignatura, será

necesario que el maestro recapitule lo trabajado en la secuencia, acompañe a sus

alumnos en la aplicación de lo aprendido a situaciones diversas vinculadas con su

realidad, evalúe su progreso, detecte hasta dónde fueron alcanzados los aprendizajes esperados, y promueva la reflexión crítica sobre los contenidos abordados.

ESTRUCTURA DE LA GUÍA6


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La evaluaciónLa evaluación es un elemento fundamental en el proceso de enseñanza-aprendizaje,ya que es una oportunidad para que usted valore el desarrollo de las habilidades

matemáticas de sus alumnos, lo cual le será útil en el diseño de sus propias estrate-

gias de enseñanza. También son valiosas para los alumnos, ya que les permiten ser

reflexivos en cuanto a sus avances. Con este propósito se han incluido en el libro del

alumno tres tipos de evaluaciones al final de cada bloque: Autoevaluación, evalua-

ción tipo ENLACE y evaluación tipo PISA.

En las autoevaluaciones, los alumnos leerán una serie de enunciados, uno por cada

lección vista en el bloque, y tendrán que responder si son falsos o verdaderos. Des-

pués deberán escribir una propuesta de verificación de su respuesta. A través de

este ejercicio, los alumnos podrán valorar su nivel de aprendizaje, pues les permitirádetectar las áreas que dominan y aquellas en las que deben mejorar.

Las pruebas tipo ENLACE (Evaluación Nacional del Logro Académico en Centros Es-

colares) están elaboradas a partir de cinco preguntas, con cuatro respuestas posibles

para cada una. Esta evaluación ofrece un beneficio adicional para la preparación de

los alumnos ante este instrumento de evaluación oficial.

En las pruebas tipo PISA (siglas en inglés del Programa para la Evaluación Interna-

cional de los Estudiantes) los estudiantes tendrán que responder tres preguntas de

análisis de problemas que, además de abarcar contenidos del bloque, implican lamovilización de las habilidades y competencias adquiridas.

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Contenidos del bloqueCompetencias que se favorecen

• Resolver problemas de manera autónoma.• Comunicar información matemática.• Validar procedimientos y resultados.• Manejar técnicas eficientemente.

Aprendizajes esperados

• Convierte números fraccionarios a decimales y viceversa.• Conoce y utiliza las convenciones para representar números fraccio-

narios y decimales en la recta numérica.• Representa sucesiones de números o de figuras a partir de una regla

dada y viceversa.

Sentido numérico y pensamiento algebraico. Como continuación delos estudios de la escuela primaria, en el primer contenido se estudiannuevos aspectos de los números fraccionarios y decimales, lo que re-sulta propicio para introducir en la siguiente secuencia problemas deplanteamiento de números fraccionarios. Por otra parte, el contenidoreferente a las sucesiones requiere la búsqueda de una regularidad ma-temática que exige al estudiante un nivel mayor de abstracción. Conrespecto a la simbolización, comienza con el contenido en el que lasliterales corresponden a números generales.

Forma, espacio y medida. En este eje los contenidos están dedicados

al trazo de las figuras más elementales y de las líneas y puntos notablesdel triángulo, construcciones que por sí mismas son importantes en lageometría y que, además, resultan indispensables para abordar cons-trucciones más complejas, como se verá en los siguientes bloques.

Manejo de la información. En este bloque los contenidos introducenun par de temas de este eje: la proporcionalidad se aborda con elreparto proporcional, mientras que las nociones de probabilidad co-mienzan con la identificación y la práctica de juegos de azar sencillos.

Bloque 1

BLOQUE 1


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Avance programático

Aprendizajes esperados:

• Convierte números fraccionarios a decimales y viceversa.

• Conoce y utiliza las convenciones para representar números fraccionarios y decimales en la recta numérica.

• Representa sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada y viceversa.

Semanas Eje Tema Lección Contenido Páginas

1 y 2

S e

n t i d o n u m é r i c o y p e n s a m i e n t o a l g e b r a i c o

Números y sistemas

de numeración

1. Fracciones y

decimales

Conversión de fracciones decimales y no

decimales a su escritura decimal y viceversa.22 a 27

2 y 32. Representaciones en

la recta

Representación de números fraccionarios

y decimales en la recta numérica a partir

de distintas informaciones, analizando las

convenciones de esta representación.

28 a 33

3 y 4 Problemas aditivos3. Suma y resta de

fracciones

Resolución y planteamiento de problemas que

impliquen más de una operación de suma y

resta de fracciones.

34 a 37

4

Patrones y ecuaciones

4. Sucesiones

Construcción de sucesiones de números o de

figuras a partir de una regla dada en lenguaje

común. Formulación en lenguaje común de

expresiones generales que definen las reglas

de sucesiones con progresión aritmética o

geométrica, de números y de figuras.

38 a 44

5 5. De letras y figuras

Explicación del significado de fórmulas

geométricas, al considerar las literales como

números generales con los que es posible

operar.

45 a 50

6

F o r m a , e s p a c i o

y m e d i d a

Figuras y cuerpos

6. Figuras de tres y

cuatro lados

Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el

uso del juego de geometría.51 a 58

6 y 77. Las líneas del

triángulo

Trazo y análisis de las propiedades de las

alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en

un triángulo.

59 a 68

7 y 8

M a n e j o d e l a

i n f o r m a c i ó n

Proporcionalidad y

funciones

8. Reparto

proporcional

Resolución de problemas de reparto

proporcional.69 a 72

8 y 9Nociones de

probabilidad9. Juegos de azar

Identificación y práctica de juegos de azar

sencillos y registro de los resultados. Elección

de estrategias en función del análisis de

resultados posibles.

73 a 77

BLOQUE 1


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L1Fracciones y decimalesConversión de fracciones a decimales

y no decimales a su escritura decimal y viceversa

12 BLOQUE 1 / LECCIÓN 1

Prepararse para

la secuenciaAprendizaje esperado

Al terminar esta secuencia, se espera que los alumnosconviertan números fraccionarios a decimales y vice-versa.

Conceptos principales: fracción decimal, fracciónirreducible, número decimal periódico, truncamiento,redondeo.

Materiales: calculadora.

Antecedentes

• Valor posicional de las cifras de un número decimal• Fracciones equivalentes• División entre números naturales con cociente deci-

mal• Comparación de números naturales, fraccionarios y

decimales

• Reglas prácticas para multiplicar rápidamente por 10,100, 1 000,…

• Conversión de fracciones decimales a escritura deci-mal y viceversa. Aproximación de algunas fraccionesno decimales mediante la notación decimal

• Operaciones sencillas con números decimalesIdeas erróneas

1. Es frecuente que los alumnos piensen que 18

es ma-yor que 1

4 por el hecho de que 8 es mayor que 4.

2. Algunos alumnos pueden pensar que 0.57 es mayorque 0.6 porque 57 y 7 son mayores que 6.

3. Para encontrar una fracción equivalente a una dada,

los alumnos pueden creer que sumando el mismonúmero tanto al numerador como al denominadorse obtienen fracciones equivalentes; por ejemplo,que una fracción equivalente a 4

7 es 4 + 2

7 + 2.

Se espera que el alumno resuelva la situación ini-

cial convirtiendo la fracción a número decimal y elnúmero decimal a fracción, y después sea capazde analizar qué conversión le es más útil en la re-solución del problema.

Regresa y revisa (pág. 27)

Las actividades planteadas en esta sección tie-nen la intención de que el alumno obtenga pro-cedimientos para convertir números decimales afracciones y viceversa. Comenzará por expresarnúmeros decimales como fracciones decimalesy después, empleando equivalencia de fraccio-nes, deducirá un procedimiento para convertirnúmeros decimales a fracciones irreducibles.Después, aprenderá a convertir fracciones a nú-meros decimales mediante la división. Primero

obtendrá números decimales finitos y despuésestudiará fracciones como 2

3, así como los deci-

males periódicos. Para terminar, analizará la con-versión de decimales periódicos puros y mixtos,donde se utilizan procedimientos como el redon-deo y el truncamiento de cifras decimales.

Explora y construye (págs. 22-27)

Se busca que el alumno intente comparar un nú-mero decimal con uno fraccionario, para que noteque dicha comparación requiere que la fracción seexprese como número decimal o viceversa.

Situación inicial (pág. 22)

L1Fracciones y decimalesConversión de fracciones a decimales

y no decimales a su escritura decimal y viceversa.


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13

Material

PlaneaciónTrabajo extraclase

Fecha

Situación inicial

Página 22

Décimos y fracciones de litro / Analiza

1. a) La tercera parte de la unidad.b) Tres décimas partes de la unidad.c) Mostrando que 1

3 es distinto de 0.3.

2. El muro con el tono amarillo más fuerte tiene mayor

cantidad de pintura amarilla en la mezcla.

Sugerencia didáctica. Se debe preguntar a los alum-nos cómo creen que pueden comparar un númerodecimal con una fracción. En este ejercicio, si se pre-sentan, se pueden discutir las ideas erróneas 1 y 2.

Explora y construye

Página 22

De decimales a fracciones decimales y sus equivalentes

1. a) En el número 0.2 el dígito 2 representa dos décimaspartes de la unidad, y en el número 2 representados unidades. Además, 0.2 es la décima parte de 2.

b) En el número 0.2 el dígito 2 representa dos déci-mas partes de la unidad, y en 0.02 representa doscentésimas partes de la unidad.

c) 1

Página 23

d) 132.5 e) 100

f) 1 000 g) 1 000h) 21 349

1 000 i) 1 325

100 j) 1

10

2. Sugerencia didáctica. Se debe preguntar a los alum-nos de cuántas maneras se pueden encontrar fraccio-nes equivalentes, y después, si se presenta, discutir laidea errónea 3.

3. a) 0.671b) Si la pregunta se limita a fracciones con una sola

cifra en el denominador, sería 610

+ 7100

+ 11 000

.

c) 6711 000

4. El alumno debe deducir que si el número decimaltiene 1, 2, 3,… cifras decimales, entonces el denomi-nador de la fracción será 10, 100, 1 000,…

Solucionario y sugerencias didácticas

BLOQUE 1 / LECCIÓN 1

Bloque

1

22

Conversión defraccionesdecimales yno decimalesasu escrituradecimal yviceversa.

1. Fracciones y decimales

Décimos y fracciones de litro

Alejandro pintó un muro de su casa, para lo cual preparó un litro de pintura con13

de litro de pintura amarilla y el resto de pintura blanca. Para pintar otro muro con el

mismo tono, adquirió en la tienda 0.3 de litro de la misma pintura amarilla y completó

el litro con pintura blanca. Los colores de los muros no quedaron iguales. Explica cuál

fue el error de Alejandro.

Situación inicial

Explora y construye

De decimales a fracciones decimales y sus equivalentes

En el sistema decimal, el valor de un dígito en un número depende de su posición

en éste; es decir, el sistema decimal es posicional.

1 En parejas, respondan lo siguiente.

a) El valor del dígito 2 es diferente en el número 0.2 que en el número 2. ¿En

qué consiste esta diferencia?

b) ¿Y cuál es la diferencia del valor de este dígito en los números 0.2 y 0.02?

c) ¿Qué obtienen al multiplicar 0.1 por 10?

1. Enparejas, respondan lo siguiente.

a) ¿Qué representa13 de una unidad?

b) ¿Qué representa 0.3 de una unidad?

c) ¿De qué manera pueden concluir que las cantidades de pintura amarilla de las dos

mezclas no son iguales?

2. Engrupo, discutan qué muro tiene un tono de color amarillo más fuerte y por qué.

Analiza

Un dígito vale la décima parte de lo que valdría si estuviera justo una posición a su

izquierda.

M _ .indd 0 3:37

p á g . 2 2

Lección

1

23

d) ¿Y al multiplicar 13.25 por 10?

e) ¿Por qué número deben multiplicar 13.25 para obtener 1 325?

f) ¿Por qué número deben multiplicar 21.349 para obtener 21 349?

g) ¿Por qué número deben dividir 21 349 para obtener 21.349?

h) Expresen la operación del inciso anterior como una fracción.

i) ¿Qué fracción con denominador 100 tiene el mismo valor que 13.25?

j) ¿Qué fracción con denominador 10 tiene el mismo valor que 0.1?

Paraobtenerfrac-

cionesequiv alentes

sepuedendividir

(omultiplicar)

el numeradory el

denominadorde

una fracción por

el mismonúmero

entero. Explica por

qué8

40 esequiva-

lente a 15

,y 15

es

equivalente a3

15.

Entonces,¿cómo

son8

40 y

3

15 entre

sí? ¿Porqué?

Lo que ya sabes

Se llaman fracciones decimales aquellas cuyo denominador es 10 o sus

múltiplos 100, 1 000, 10 000,...

2 En grupo, escriban varios números decimales en el pizarrón y para cada uno den

una fracción decimal que tenga el mismo valor.

3 Haz la siguiente suma: 0.6 + 0.07 + 0.001.

a) ¿Qué número obtienes?

b) Escribe el número anterior como suma de tres fracciones decimales cuyo

numerador conste de una sola cifra.

c) Escribe el resultado de la suma anterior como una fracción con denominador

1 000.

4 Escribe en tu cuaderno cómo convertir un número decimal a una fracción de-

cimal y discute tu propuesta en grupo.

5 Haz lo siguiente.

a) Escribe una fracción decimal que valga lo mismo que 0.5

b) Encuentra una fracción equivalente a5

10 con denominador 2.

c) Encuentra otra fracción que tenga el mismo valor que510 y cuyo denominador

sea distinto de 2.

d) Escribe al menos tres fracciones que tengan el mismo valor que el número

0.5 y cuyo denominador no sea 10, 100, 1 000,…

e) Convierte los siguientes números decimales a fracciones cuyo denominador

no sea 10, 100, 1 000,…

• 12.76 = • 3.4 = • 5.78 = • 2.15 =

f) ¿Es posible expresar el número 2.1 como una fracción cuyo denominador no

sea 10, 100, 1 000,…? ¿Por qué?

M _ .indd 3 0 3:37

p á g . 2 3


14/52

14

5. a) 510

b) 12

c) Cualquier fracción equivalente a12

. Ejemplo:24

.

d) Fracciones equivalentes a12

, como:36

,48

,612

.

e) Fracciones no decimales. Ejemplos:

• 31925

• 175

• 28950

• 4320

f) Sí, porque se puede multiplicar tanto el numeradorcomo el denominador de 21

10

por un número dife-

rente de 10, 100, 1 000,… para obtener una frac-ción equivalente, por ejemplo 42

20 .

Página 24

g) Fracciones irreducibles. Ejemplos:

• 920

• 185

• 110

•94

6. Un método es convertir el número decimal a una frac-ción decimal y, si es posible, simplificarla. De lo con-tario se puede multiplicar tanto el numerador comoel denominador por un número diferente de 10, 100,

1 000,… para obtener una fracción equivalente.7. No hay un límite para el número de fracciones equi-

valentes, ya que hay una cantidad infinita de números(1, 2, 3,…) que pueden multiplicar al numerador y aldenominador de una fracción dada.

De fracción a decimales

1. a) 0.2b) 13.6; 0.76

2. Un método es recorrer el punto decimal del numera-dor hacia la izquierda tantas cifras como ceros tengael denominador.

3. a) 0.4b) • 0.25 • 0.75 • 0.125 • 0.8

4. a) No, porque en cada paso de la división se obtieneel mismo residuo, que es 2, y al ser éste distinto decero el procedimiento no termina.

b) • Después de la primera cifra decimal, que es 1, serepiten las cifras 190476.

Página 25

• 8

• No, porque se repiten los residuos cada seis pasos.6. a) 0.75 b) 2.14 c) 0.09 d) 0.67. a) Periódico puro.

b) Periódico mixto.c) Finito.

8. Por ejemplo, decimal finito:98

, decimal periódico

puro:1

9 y decimal periódico mixto: 9

105.

Página 26

De decimales periódicos a fracciones

1. a) El 8 y el 2.b) Porque ese método sólo funciona para números

decimales finitos.

c) 8281 000

; fracción simplificada: 207250

.

d) 828 2831 000 000

; fracción simplificada: 207 070 707250 000 000

.

2. a) 207 070 707250 000 000

b) Sí será más cercano. Ningún redondeo será exac-tamente igual porque para cada aproximación sepuede obtener una aproximación mejor.

3. a) 0.2666


Bloque

1

24

Sesimplifica una fracción cuando el numerador y el denominador se dividen entre un mis-

mo número distinto de 1 que no sea decimal. Si no es posible hacerlo, se dice que la fracción

es irreducible.

g) Convierte los siguientes números decimales a fracciones irreducibles.

• 0.45 = • 3.6 = • 0.1 = • 2.25 =

6 En parejas, escriban en su cuaderno un procedimiento para convertir números

decimales a fracciones cuyo denominador no sea 10, 100, 1 000, etc., en los

casos que sea posible.

7 En grupo, escriban algunos números decimales en el pizarrón y conviértanlos

en su equivalente en fracciones. Comenten cuántas fracciones con el mismo

valor podrían encontrar para cada número decimal.

De fracción a decimales

1 En parejas, y sin usar la calculadora, respondan lo siguiente.

a) Dividan 2 entre 10 hasta que obtengan residuo cero y escriban 210

en su equi-

valente en número decimal.

b) Escriban 13610

y 76100

en forma decimal.

2 Validen sus respuestas anteriores con la calculadora.

3 En grupo, discutan un procedimiento para convertir una fracción decimal en su

equivalente en número decimal y escríbanlo en su cuaderno.

4 En parejas, realicen lo siguiente.

a) Sin usar la calculadora, dividan 2 entre 5 hasta que obtengan residuo cero

y escriban25 en su equivalente en número decimal.

b) Escriban las siguientes fracciones en su equivalente en número decimal.

•14 = •

34 = •

18 = •

45 =

c) Verifiquen sus respuestas a los incisos anteriores con la calculadora.

5 Respondan lo siguiente.

a) Analicen la fracción23 dividiendo 2 entre 3 sin usar calculadora. ¿Pueden

terminar de dividir? ¿Por qué?

b) Consideren la fracción5

42. Dividan 5 entre 42, sin usar la calculadora, hasta

obtener 13 cifras después del punto decimal.

• ¿Qué observan?

laprimeradelas si-

guientespáginasla

fracciónequivalen-

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decimaly,enla

segunda,el decimal

equivalentea una

fracción:

www.edutics.mx/

Zoz

www.edutics.mx/

ZoK

Busca en...

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p á g . 2 4

Lección

1

25

• ¿Cuál es el residuo de la división?

• ¿Podrán llegar a obtener cero como residuo, es decir, terminar de dividir?

¿Por qué?

Como observaron, en los incisos a y b de la actividad 4, al convertir las fracciones en su

equivalente en número decimal obtuvieron, al realizar la división, un residuo de cero.

Este tipo de números se llaman números decimales finitos.

Por otro lado, en la actividad 5, al intentar convertir las fracciones23 y

542 en su equiva-

lente en número decimal no se puede obtener un residuo cero, aunque se siga dividien-

do. A este tipo de números se les llama números decimales periódicos.

Si se divide 2 entre 3 para obtener el número equivalente a la fracción23 se obtiene

0.666…, donde el dígito 6 se repite infinitamente. Lo mismo sucede para la fracción 542

,

ya que ésta vale lo mismo que el número 0.11904761…, en el que la agrupación de cifras190476 se repite una infinidad de veces. Los números decimales anteriores se pueden

representar de la siguiente manera:23 = 0.666… = 0.6 y

542 = 0.11904761… = 0.1190476,

donde los dígitos que se encuentran bajo la raya se repiten una infinidad de veces.

Los números decimales periódicos se dividen a su vez en dos tipos:

• Números decimales periódicos puros: aquellos que sólo repiten una misma cifra o un

mismo grupo de cifras inmediatamente después del punto decimal; por ejemplo, 0. 6.

• Números decimales periódicos mixtos: aquellos en los que después del punto de-

cimal aparecen cifras que no se repiten infinitamente y, después, una misma cifra o

un mismo grupo de cifras que sí se repiten infinitamente. Un ejemplo es el número

0.1190476.

6 Encuentren el número decimal equivalente de cada una las siguientes fracciones.

a)34 = b)

21299 = c)

111 = d)

23 =

7 Indiquen si el número decimal equivalente de cada una de las siguientes frac-

ciones es finito, periódico puro o periódico mixto. Luego, sin usar la calculadora,

verifiquen su respuesta.

a) 730

= b) 17 = c)

5112

=

8 En grupo, con ayuda de una calculadora obtengan tres fracciones de modo que

una de ellas tenga como equivalente un número decimal finito, otra un número

decimal periódico puro y la tercera un número decimal periódico mixto.

Toma nota

Localiza lossi-

guientesconceptos

en el glosario(págs.

272-276) y anota

con tuspropiaspa-

labrasuna explica-

ción y un ejemplo

de cada uno:

• Fracción decimal

• Escritura decimal

de un número

• Fracción irredu-

cible

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p á g . 2 5


15/52

15

Material


Fecha

Página 27

b) Fracciones simplificadas: 1 3135 000

; 131 313500 000

.

c) No, porque al hacer las divisiones correspondien-tes se obtienen números decimales finitos.

d) No, porque al truncarlo el resultado es un númeromenor. Tampoco se puede truncar si se redondea,ya que el resultado es un número mayor o menor.

4. a) Fracciones simplificadas:

• 48 3032 000

• 22 83350 000

• 47 77710 000

• 1 143 24310 000 000

b) El redondeo y el truncamiento son procedimien-tos para obtener aproximaciones. Para obtener unafracción cuyo valor sea el mismo que un númerodecimal finito, sería necesario considerar todas lascifras que están después del punto decimal.

Sugerencia didáctica. Se debe discutir con el alum-no que el error de la aproximación que se obtieneal redondear o truncar puede hacerse tan pequeñocomo se quiera. Esto se logra considerando una

cantidad mayor de dígitos al efectuar alguno de losprocedimientos. Es importante comentar que hayprocedimientos para obtener de manera exacta la

fracción correspondiente a un número decimal pe-riódico, pero requieren conocimientos de nivelesacadémicos posteriores.

Reflexiona

1. a Aquellas que en el numerador tengan un número queno se pueda dividir entre 2 o 5. Esto se debe a que losdivisores de 10 son 2 y 5, y los denominadores de lasfracciones decimales son de la forma 10, 100, 1 000,…

b) 150100

; 1 5001 000

; 15 00010 000

c) Ejemplos: 45 3751 000

, 453 75010 000

, 4 537 500100 000

.

Regresa y revisa

Página 27

1. a) 0.3333, el cual es mayor que 0.3.

b) 310

, el cual es menor que 13

.

c) La respuesta dependerá de cada alumno.2. Da el mismo resultado. Es la aproximación menos

exacta al ser la menor en cuanto a número de dígitosconsiderados.


Bloque

1

26

De decimales periódicos a fracciones

1 En parejas, consideren el número decimal 0.82 y respondan lo que se pide.

a) ¿Cuáles son los dígitos que se repiten?

b) ¿Por qué no se puede convertir ese número decimal en su equivalente en

fracción con el método que aprendieron en la sección “De decimales a frac-

ciones decimales y sus equivalentes”?

Una opción para hacer este tipo de conversiones es partir de una aproximación del número

decimal periódico. Se puede aproximar ese número redondeándolo o truncándolo. El signo

de aproximación es “≈”.

Para redondear un número a cierta cantidad de cifras, se considera el dígito que le sigue a la

última cifra. De ahí hay tres casos:

• Si ese dígito es menor que 5, el dígito anterior permanece igual. Por ejemplo, 1.422 ≈ 1.42

• Si el dígito es mayor que 5, al dígito anterior se le suma un 1. Por ejemplo, 1.428 ≈ 1.43

• Si el dígito es igual a 5, se considera el dígito anterior y se acostumbra que:

i) Si ese dígito es par, permanece igual. Por ejemplo, 24.525 ≈ 24.52

ii) Si ese dígito es impar, se le suma un 1. Por ejemplo, 24.535 ≈ 24.54

c) Redondeen 0.82 a 3 cifras después del punto decimal y escriban a continua-

ción ese número en su equivalente en fracción.

d) Ahora redondéenlo a 6 y 9 cifras después del punto decimal y expresen los

números obtenidos en sus respectivos equivalentes en fracción.

2 En grupo, respondan lo siguiente.

a) Comparen los cocientes de las fracciones de los incisos c y d del ejercicio

anterior, señalen cuál se aproxima más al número 0.82 y expliquen por qué.

b) ¿Creen que si el redondeo se hace con más cifras después del punto el resulta-

do será más cercano al número 0.82? ¿Y en algún momento será exactamente

igual a ese número? Justifiquen sus respuestas.

3 En parejas, consideren el número decimal 0.26 y respondan lo siguiente.

a) Escriban el número 0.26 con 4 cifras después del punto decimal.

A la acción realizada en el inciso anterior se le llama truncar un número hasta 4 cifras des-

pués del punto decimal. Un número decimal periódico se puede truncar hasta la cantidad

de cifras que se desee. A diferencia del redondeo, no se toma en cuenta si el último dígito es

mayor, menor o igual a 5.

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p á g . 2 6

Lección

1

27

1. Responde lo siguiente en tu cuaderno.

a) ¿Cuáles son las fracciones decimales que no pueden simplificarse?

b) El número 1.5 tiene el mismo valor que la fracción1510. Escribe la fracción que vale lo

mismo que 1.5 cuyo denominador es: 100, 1 000 y 10 000.

c) Escribe cuatro fracciones que tengan el mismo valor que el número 45.375 y cuyos

denominadores sean múltiplos de 10.

Reflexiona

1 Lee nuevamente la situación inicial y responde en tu cuaderno.

a) Expresa13 en su equivalente en número decimal, redondeado a 4 cifras de-

cimales, y compáralo con el número 0.3.

b) Convierte el número 0.3 en su equivalente en fracción y compáralo con13 .

c) ¿Con qué conversión te parece más sencillo concluir que la cantidad de pin-

tura que usó Alejandro para pintar cada muro no es la misma? ¿Por qué?

2 En grupo, discutan que pasaría si expresaran13 en su equivalente en número

decimal, redondeado a una cifra decimal, y lo comparan con el número 0.3.

b) Ahora trunquen el mismo número hasta 6 cifras y escriban a continuación,

para los truncamientos hasta 4 y 6 cifras del número 0.26, su equivalente en

fracción.

c) ¿El cociente de alguna de las fracciones anteriores es igual al número 0.26?

¿Por qué?

d) ¿Hay una cantidad de cifras decimales hasta la que se pueda truncar el número

0.26 de modo que la fracción equivalente al número resultante tenga el mismo

valor que 0.26? ¿Y si en lugar de truncar se redondea? Justifiquen su respuesta.

4 En grupo, hagan lo que se indica.

a) Expresen los siguientes números decimales periódicos en su equivalente en

fracción. Los cocientes de las fracciones deben tener por lo menos 4 cifrasdespués del punto decimal.

• 24.15 = • 0.456 =

• 4.7 = • 0.11432 =

b) Discutan cuáles son las dificultades para convertir un número decimal pe-

riódico en su equivalente en fracción y comenten el error que se genera al

hacer aproximaciones.

Regresa y revisa

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p á g . 2 7


16/52

L1

16

Prepararse para


Se espera que al terminar esta secuencia los alumnosconozcan y utilicen las convenciones para representarnúmeros fraccionarios y decimales en la recta numérica.

Conceptos principales: recta numérica, unidadcomo referencia de medida, densidad numérica.

Antecedentes

• Valor posicional de las cifras de un número decimal• Fracciones equivalentes• Ubicación de fracciones y decimales en la recta nu-

mérica• Identificación de una fracción o un decimal entre dos

fracciones o decimales. Acercamiento a la propiedadde densidad de los racionales, en contraste con losnúmeros naturales

Ideas erróneas

1. Es frecuente que los alumnos piensen que 18

es ma-yor que 1

4 porque 8 es mayor que 4.

2. Algunos estudiantes pueden pensar que 0.57 es ma-yor que 0.6 porque 57 y 7 son mayores que 6.

3. Es probable que algunos piensen que, una vez defi-nida la posición de dos números, la de un tercero sepuede determinar de manera arbitraria.

4. Los alumnos pueden pensar, si no reflexionan sobreello, que entre ciertos decimales o fracciones no haymás números: por ejemplo, entre 1

10 y 2

10 o entre

0.25 y 0.26.

El alumno deberá representar mediante amplia-ciones de una recta numérica números con unamayor cantidad de cifras decimales respecto a losde la situación inicial.

Regresa y revisa (págs. 32-33)

La intención de esta parte de la secuencia esque los alumnos aprendan a ubicar un númerodecimal o fraccionario en la recta si se conocela posición de al menos otro par de números: sedestaca que al definir la posición del cero y la uni-dad queda determinada la de cualquier otro nú-mero natural, decimal o fraccionario. Finalmente,concluirán que siempre es posible encontrar unnúmero entre cualesquiera otros dos.


En esta sección se busca que el alumno utilice susconocimientos previos para ubicar en la recta nú-meros decimales (con distintas cantidades de cifrasdecimales) y fracciones, y comparar sus valores.

Situación inicial (págs. 28-29)

L2Representaciones en la rectaRepresentación de números fraccionarios y decimales

en la recta numérica a partir de distintas informaciones,

analizando las convenciones de esta representación.



17/52

17

Material


Fecha

Situación inicial

Página 28

La carrera

1. Sugerencia didáctica. Si se presentan, las ideas erró-neas 1 y 2 se pueden discutir.

a) Diana. b) Karina.2.

3. Las cámaras van en las siguientes posiciones: 0.2, 0.4,0.6 y 0.8 km; el puesto de hidratación debe estar ala mitad del segmento que va de 0 a 1 km. Pida queobserven que, aunque no se pidió ubicarla, tambiénhay una cámara en el kilómetro 1.

4. Las cámaras van en las siguientes posiciones: 5.2, 5.4,5.6 y 5.8 km; el puesto de hidratación debe estar a

la mitad del segmento que va de los 5 a los 6 km.Aunque no se pidió ubicarlas, también hay cámarasen los kilómetros 5 y 6.

Analiza

1. a) En 2. b) En 5.

Página 29

c) Se puede repetir el procedimiento, ya que son seg-mentos de igual longitud y con extremos enteros.

d) Basta con 20 pasos.

e) A Nancy, a Diana y a Karina. f) Por ejemplo, para localizar a las demás corredoras

hay que dividirlo en 100 partes iguales.g) Renata y Karina, corredoras que van en 2° y 1er lu-

gar, respectivamente.2.


Distancia (km)

Con decimales ofracción

Con fracción dedenominador 100

214

525100

5110

510100

5710

570100

501100

501100

11320

565100

533100

533100

Posición

4

5

1

6

2

3


Bloque

1

28

5 km 6 km

1. Enparejas, respondan lo siguiente.

a) ¿En cuántas partes tuvieron que dividir la distancia que hay entre los kilómetros 0 y 1

para saber dónde están los puestos de hidratación?

b) ¿Y en cuántas hubo que dividirla para localizar las cámaras?

Analiza

1 Responde las siguientes preguntas.

a) ¿Entre Diana y Lucía, quién va ganado?

b) ¿Y entre Karina y Renata quién lleva la delantera?

2 Completa la tercera columna del cuadro 1.2.1.

3 Ubica en la siguiente recta los puestos de hidratación y las cámaras que se en-

cuentren entre los kilómetros 0 y 1.

Representación denúmeros fraccionariosydecimales en larecta numéricaa partirde distintasinforma-

ciones,analizandolasconvencionesdeesta representación.

2. Representaciones en la recta

La carrera

0 km 1 km

Cuadro1.2.1.

4 Ubica en la siguiente recta los puestos de hidratación y las cámaras que se

encuentren entre los kilómetros 5 y 6. Después, ubica las posiciones de las

corredoras.

Corredora

Distancia

(km) Posición

Nanc y 5. 25

Diana 5.1

Karina 5.7

Lucía 5.01

Re nat a 5. 65

Al ici a 5. 33

Fig.1.2.1.

Fig.1.2.2.

Situación inicial

En una carrera de maratón, las seis corredoras que

llevaban la delantera habían recorrido en los prime-

ros 20 minutos las distancias que se muestran en el

cuadro 1.2.1.

A lo largo del trayecto, cada15 de kilómetro había una

cámara de seguimiento de la carrera, y cada 12

km un

puesto de hidratación.

5 Verifica que las posiciones que anotaste en el cuadro 1.2.1 correspondan a lo

marcado en la figura 1.2.2.

M _ .indd 8 0 3:37

p á g . 2 8 29

Lección

2

El cero y la unidad en la recta

1 En la siguiente recta, marca los puntos donde se localizan12 y 2.

2 Ubica el 0 en una posición diferente a la que tiene en la recta de la figura 1.2.3,

y ubica el número 1 de modo que la distancia entre éste y el 0 sea diferente a la

que hay entre ellos en la figura 1.2.3.

c) ¿De qué modo usaron la información del primer kilómetro (fig. 1.2.1) para saber

cómo ubicar los puntos solicitados del kilómetro representado en la fig. 1.2.2?

d) Para localizar a la corredora que va en segundo lugar, ¿en cuántas partes tuvieron

que dividir el segmento entre los kil ómetros 5 y 6?

e) ¿A qué otras corredoras pueden localizar dividiendo el segmento como en el inciso

anterior?

f) ¿Qué necesitaron hacer para localizar al resto de las corredoras?

g) De las seis corredoras, ¿cuáles ya pasaron por el puesto de hidratación que se en-

cuentra entre los kilómetros 5 y 6?

2. Completen el cuadro 1.2.2, de modo que expresen en fracciones con denominador

100 las distancias que han alcanzado las corredoras.

Corredora

Distancia (km)

Con decimaleso

fracción

Con fracción de

denominador100

Nancy

Diana

Karina

Lucía

Renata

Alicia

3. En grupo, a partir de las conversiones anteriores, propongan un procedimiento

para verificar si ubicaron correctamente las posiciones de las corredoras en la figura

1.2.2 y aplíquenlo.

Fig.1.2.3.

Fig.1.2.4.

Cuadro 1.2.2.

Explora y construye

0 1

M _ .indd 9 0 3:37

p á g . 2 9


18/52

18

3. Un método es dividir el segmento de recta en 100partes iguales.

Sugerencia didáctica. Se puede preguntar al alum-no por qué algunas veces es más práctico ubicar unnúmero decimal a partir de su equivalente en frac-ción. Por ejemplo, para localizar el número 5.25 setiene que dividir el segmento entre 5 y 6 en 100 partesiguales, pero, si se toma en cuenta su equivalente en

fracción (214

) y se expresa como fracción propia (5 14

),sólo hay que dividir el mismo segmento en cuatropartes iguales. Una manera de obtener mayor pre-cisión en la localización de números de varias cifrasdecimales es aumentar la escala de la recta.

Explora y construye

Página 30

El cero y la unidad en la recta

3. Depende de la medida de la unidad, es decir, de la

distancia entre el 0 y el 1 y de la posición del 0.

Sugerencia didáctica. Se puede discutir, si es quese presenta, la idea errónea 3, preguntándole a losalumnos cuál es el error si, una vez definida la posi-ción de dos números, la ubicación de un tercero sedetermina de manera aleatoria.

4. Que el lugar en el que se ubican es diferente en am-bas rectas, pues depende de la unidad establecida.

5. La posición de cualquier número en la recta dependetanto de la posición del 0 como de la distancia entreel 0 y el 1.

Sugerencia didáctica. Se pueden plantear otras situa-ciones en las que la posición de dos números esté defi-nida, y pedirle al alumno que localice otras cantidades.

Fracciones y decimales en la recta

1. De izquierda a derecha: 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7,0.8 y 0.9.

2. Dividiendo a la mitad el segmento entre 0.2 y 0.3; el

número 0.25 es el punto medio.4. Se puede dividir el segmento entre 0.11 y 0.12 en 10

partes iguales y marcar la segunda división.5. Sugerencia didáctica. Se le pueden plantear al alum-

no otras situaciones en las que, para ubicar númerosdecimales en la recta, sea más fácil considerar susequivalentes en fracciones.

7. Por ejemplo, se pudo iniciar dividiendo el segmento encuatro partes iguales para obtener la unidad y despuéshacer más divisiones, como en los ejercicios anteriores.

Página 31

1. b) 1421

y 1521

, respectivamente.

c) Se puede dividir el segmento de 0 a 1 en 21 partesy situar las dos fracciones donde correspondan;éstas deben coincidir con las fracciones originales( 2

3 y 5

7 ).

d) Porque los numeradores son 14 y 15, y no hay nin-gún número entero entre ellos.

e) 2842

y 3042

, respectivamente. f) 2942

2. Sugerencia didáctica. En caso de aparecer, se puedediscutir la idea errónea 4. Si el alumno no responde



Bloque

1

30

Fig.1.2.5. 0 1

3 ¿De qué depende la posición que tienen el12 y el 2 en la figura 1.2.3 y en la

figura 1.2.4?

4 Ubica los números 83

y 54

en las rectas de las figuras 1.2.3 y 1.2.4. En parejas ,

comenten qué diferencias observan entre las posiciones de estos números de

una recta a otra.

5 Con base en las rectas anteriores, discutan en grupo de qué depende la posición

de cualquier número en la recta y escriban sus conclusiones.

Fracciones y decimales en la recta

1 En la lección anterior viste que1

10 = 0.1. La unidad de la siguiente recta está

dividida en 10 partes iguales. Señala sus valores en números decimales.

2 Explica cómo ubicarías en la recta anterior el número 0.25 y márcalo en ella.

3 En la siguiente recta ubica el 0.11.

4 Explica en tu cuaderno qué harías para ubicar el 0.112 en la recta anterior.

5 En grupo, verifiquen sus respuestas de los ejercicios 1 a 4 usando fracciones

decimales.

6 En parejas, ubiquen en cada recta los números que se indican.

a)12 y 3.2.

b)53 , 1.4, 2 y 3.

7 Revisen sus respuestas del ejercicio anterior en grupo y discutan qué pasosrealizaron para localizar cada punto.

Fig.1.2.6.0 0.1 0.2

Fig.1.2.7.

Fig.1.2.8. 0 4

0 4

M _ .indd 30 06 03 : 9

p á g . 3 0 31

Lección

2Entre dos números

1 En parejas, hagan y respondan lo siguiente.

a) Ubiquen las fracciones 23

y 57 en la recta.

b) ¿Qué fracciones con denominador 21 son equivalentes a las anteriores?

c) Observen los numeradores de las fracciones anteriores y verifiquen que hayan

ubicado correctamente 23

y 57

en la figura 1.2.9. Expliquen cómo lo hicieron.

d) Consideren las fracciones que obtuvieron en el inciso b y expliquen por qué en

ese caso no es posible encontrar una fracción entre ellas con denominador 21.

e) ¿Qué fracciones con denominador 42 son equivalentes a las iniciales, es decir,

a 23

y 57

?

f) Consideren las fracciones que obtuvieron en el inciso anterior y obtengan

una intermedia a ellas con denominador 42.

2 En grupo, discutan si siempre es posible encontrar otra fracción entre cualquier

par de fracciones y por qué.

3 Señala en la recta numérica el número 0.218.

4 Señala un número en la recta anterior que esté entre el 0.21 y el 0.218.

5 ¿Siempre es posible encontrar otro número entre cualquier par de números

decimales? ¿Por qué?

0.21 0.22

Fig.1.2.9.

Fig.1.2.10.

0 1

1. En equipos de tres, respondan lo siguiente.

a) Además de usar la recta numérica, ¿de qué otra manera pueden comparar fraccio-

nes o números decimales?

Reflexiona

M _ .indd 3 0 3:37

p á g . 3 1


19/52

19

Material


Fecha

cómo puede encontrar una fracción entre cualquierpar de fracciones, se le puede pedir que encuentremás entre 28

42 y 30

42 . Para esto, pregunte por las frac-

ciones equivalentes con denominador mayor a 42de esas dos fracciones.

5. Sí; por ejemplo, se puede sumar los dos números ydividir el total entre 2 para encontrar otro que se en-cuentre a la mitad de ellos.

Reflexiona

1. a) Un método es el sugerido en el ejercicio 1 de la pági-

na 31. Para comparar los numeradores hay que mo-dificar las fracciones de modo que tengan el mismodenominador. En el caso de los decimales, se puedencomparar dígito a dígito, de izquierda a derecha, hastaencontrar cuál es mayor.

Página 32

2. a) Cuando el número sea un decimal finito, o cuan-do ubicarlo no requiera una división de la recta enmuchas partes.

b) No sirve dividir el segmento comprendido entre los

números 2 y 3 en una cantidad finita de partes. Alpasar 2.3 a su forma de fracción sólo se obtiene unaaproximación, pues hay que redondearlo o truncarlo.

Sugerencia didáctica. Como en la lección anterior, esimportante comentar que hay procedimientos paraobtener de manera exacta la fracción correspondien-te a un número decimal periódico, pero requieren co-nocimientos de niveles académicos posteriores.

Regresa y revisa

Página 33

2. • 21.73 • 21.741 • 21.743

4. Se necesita un cambio de la escala cada vez que seconsidere un dígito más a la derecha del punto; porlo tanto, implica muchas rectas a escala.

Resuelva y practica

1. 0.25 es equivalente a 728

.2. R. L.3. a) Ejemplos: 3

4 , 1, 5

4 , 6

4 , 7

4 .

b) Ejemplos: 1036

, 1136

, 1236

,…, 2236

, 2336

.

c) Ejemplos: 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6.

d) Ejemplos: 51110

, 52110

,…, 58110

, 59110

.

4. • 0 • 0.8 • 0.3 • 1


Bloque

1

32

En la carrera del problema inicial, a 1 hora y 20 min del comienzo las tres corredoras

punteras han recorrido las siguientes distancias.

Corredora Distancia

(km)

Ana 21.748

K ar in a 2 1. 74 6

P at ri ci a 2 1. 74 5

Regresa y revisa

Cuadro 1.2.3.

Fig.1.2.11.

1 Ubica en la recta la posición de cada corredora. Para ello, usa las rectas numé-

ricas de la figura 1.2.11, las cuales representan:

• La distancia entre el kilómetro 21 y el 22.

• La ampliación correspondiente a la distancia de los 21.7 km a los 21.8 km.

• La ampliación de la distancia de los 21.74 km a los 21.75 km.

(Las letras F , E y D las utilizarás más adelante.)

21 22

21.7 F 21.8

21.74 E D 21.75

b) En su cuaderno, intenten ubicar el número 2.3 en la recta.

2. Engrupo, respondan las siguientes preguntas.

a) ¿Cuándo convendría usar la recta para comparar números?

b) ¿Cuál es la dificultad para ubicar el número 2.3 en la recta?

M _ .indd 3 0 3:37

p á g . 3 2 33

Lección

2

1. Explica por qué en la recta el número 0.25 se encuentra en el mismo

punto que 728 .

2. Inventa una situación problemática cuya solución se obtenga al compa-

rar 315

y 0.92 en la recta y pídele a un compañero que la resuelva.

3. Encuentra tres números entre cada una de las siguientes parejas.

a) 0.5 y84.

b)14 y

69.

c) 0.12 y 0.76.

d)511

y611

.

4. A partir de la ubicación de los números 0.5 y 0.7 en la recta de la figura

1.2.12, determina la posición de las siguientes letras.

• W . • Y .

• X . • Z .

5. En tu cuaderno, traza una recta numérica y las ampliaciones necesarias

para localizar los números 5.65, 7.13 y 10.87.

Resuelve y practica

Fig.1.2.12.

Toma nota

Localiza rectanu-

mérica en el glosa-

rio(págs. 272-276)

y anota con tus

propiaspalabras

una explicación

y un ejemplodel

término.

W X 0.5 0.7 Y Z

2 De acuerdo con la recta numérica de la figura 1.2.11, ¿cuáles son los puntos en

los que se encuentran Fernanda, Elisa y Diana, representadas con las letras F , E

y D respectivamente?

• F . • E . • D.

3 En equipos de cuatro, comparen sus respuestas y discútanlas si hay diferencias.

4 En grupo, comenten si el método usado es práctico para localizar el número

21.7428647 y discutan cuándo es útil el cambio de escala en la recta numérica.

Escriban sus conclusiones a continuación.

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p á g . 3 3


20/52

20

Suma y resta de fraccionesResolución y planteamiento de problemas que

impliquen más de una operación de suma y resta

de fracciones.

L3

Prepararse para


Esta secuencia contribuye a que el alumno alcance elaprendizaje esperado de la lección 1 del bloque 5: re-solver problemas aditivos que implican el uso de nú-

meros enteros, fraccionarios o decimales positivos ynegativos.

Conceptos principales: suma y resta de fracciones.

Materiales: calculadora.

Antecedentes

• Fracciones equivalentes• Cálculo mental para resolver adiciones y sustraccio-

nes con números fraccionarios• Resolución de problemas de suma o resta de fraccio-

nes con denominadores diferentes• Resolución de problemas aditivos con números frac-

cionarios

Ideas erróneas

1. En una suma o resta de fracciones, algunos alumnospueden sumar o restar por una parte los valores delnumerador y por otra los del denominador para ob-tener los valores de cada elemento.

2. Algunos alumnos pueden pensar que si dos fraccio-nes son iguales, la parte del total que representan esigual aunque los totales sean diferentes; por ejemplo,que 13 de 10 sea igual a

13 de 20.

En esta sección se busca que el alumno sepa in-terpretar que el valor que representa una fraccióndepende del valor del total.


La intención de las actividades de esta sección esque el alumno logre plantear ciertos problemasy realice las conversiones necesarias para hacerlas sumas y restas que conduzcan a la solución.Algunas veces, antes de hacer el planteamien-to, se le pedirá hacer estimaciones mentales. El

alumno también inventará algunos problemasque impliquen sumas y restas de números frac-cionarios. Con todo lo anterior se busca que hagauna correcta interpretación del significado de lasfracciones en los problemas.


En primaria, los alumnos aprendieron a efectuarsumas y restas sencillas de números fraccionarios,por lo que con esta situación inicial se busca quese den cuenta de que, para hallar la solución a cier-tos problemas, a veces es necesario hacer más deuna conversión para obtener el mismo denomina-dor y así poder efectuar la operación.




21/52

21

Material


Fecha

Situación inicial

Página 34

Consumo de agua / Analiza

1. a) 38

b) 14

2. Queda una octava parte del total de la capacidad deltinaco pues 1 – 1

2– 1

4 – 1

8 = 1

8.

Sugerencia didáctica. El problema implica tres res-tas; es necesario verificar que en cada caso se hagacorrectamente la conversión necesaria para obtenerel mismo denominador, y así restar las fracciones. Esposible que algún alumno convierta todos los nú-meros para tener el mismo denominador. Si la ideaerrónea 1 aparece, se puede discutir.

Explora y construye

Página 34

Acopio, reparto, carga, equilibrio…1. a) • Es muy probable que respondan que es difícil ha-

cerlo mentalmente.

• Se juntaron 2 41210

kg. Faltan 169210

para hacer paque-tes de 1 kg.

• A una unidad, en este caso 1 kg, se le resta lacantidad fraccionaria del total recolectado.

Página 35

b) • 320

• 520

= 14

• 120

+ 520

= 620

= 310

• 1 – 1420

= 620

= 310

c) • 16

+ 310

= 1430

= 715

• 34

– 715

= 1760

d) 5 – 13

– 13

– 18

+ 12

+ 12

+ 14

= 5 1124

kg

2. a) R. L.b) Sirve cuando no se requiere una respuesta exac-

ta para resolver un aspecto de una situación; por

ejemplo, para saber si una cantidad fue menor omayor a otra especificada.



Bloque

1

34

Resoluciónyplanteamientodeproblemasqueimpliquenmásde unaoperacióndesumayrestadefracciones.

3. Suma y resta de fracciones

Consumo de agua

En casa de Rosario almacenan el agua en un tinaco, el cual se llena al inicio de cada

día y después no vuelve a recibir agua. El líquido se usa diariamente de esta manera:

la mitad de la capacidad del tinaco en el baño, una cuarta parte de su capacidad en

lavar la ropa y una octava parte de su capacidad en la cocina. ¿Qué parte del tinaco

queda al final de cada día?

Situación inicial

1. En parejas, respondan lo siguiente.

a) Si un día no se l ava ropa, ¿qué parte del tinaco sobraría?

b) Si un día no se usa agua en la cocina, ¿qué parte del tinaco sobraría?

2. Resuelvan el problema inicial y justifiquen su respuesta.

Analiza

Explora y construye

Acopio, reparto, carga, equilibrio…

1 En parejas, resuelvan los siguientes problemas.

a) En una escuela se realiza una recolección de periódicos viejos para venderlos

y donar lo que se obtenga a la Cruz Roja. El primer día, un equipo de cuatro

alumnos llevó las siguientes cantidades de papel: 37 kg 6

10 kg, 1

2 kg y 2

3 kg.

• Cada uno estime mentalmente la suma de las cantidades anteriores y,

a partir de ello, diga cuánto falta para completar un número entero de

kilogramos.

• Hagan los cálculos necesarios para obtener el total del periódico juntado

y cuánto falta para formar paquetes de 1 kg de papel cada uno. Expresen

su respuesta como fracción.

• Expliquen cómo determinaron cuál es la cantidad que falta para formar

un número entero de paquetes.

• Usen la calculadora para comprobar sus resultados.

b) En un grupo de primero de secundaria tres alumnas festejaron su cumplea-ños. Para, ello sus compañeros compraron un pastel de dos pisos del mismo

tamaño: uno de fresa y otro de durazno. Se cortaron 10 rebanadas por piso,

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p á g . 3 4 35

Lección

3

todas del mismo tamaño. Cinco personas comieron, cada una, una rebanada

de pastel de fresa y otra de durazno, y cuatro personas sólo comieron una

rebanada de pastel de fresa cada una.

Usando sólo fracciones respondan lo siguiente en su cuaderno.

• ¿Qué parte del pastel de dos pisos representan todas las rebanadas de

pastel de fresa que sobraron?

• ¿Qué parte del pastel de dos pisos representan todas las rebanadas de

pastel de durazno que sobraron?

• Escriban una suma de fracciones que permita determinar qué parte del

pastel sobró. Después, realicen la suma.

• A partir del número total de rebanadas que se consumieron, escriban una

resta de fracciones que permita determinar qué parte del pastel sobró,

y verifiquen que hayan obtenido el mismo resultado del punto anterior.

c) Jorge le pidió prestada a su tío su camioneta para entregar mercancía.

Cuando empezó a usar el vehículo, el tanque tenía 34

de su capacidad de

gasolina. Luego de un recorrido, Jorge notó que había gastado 16

de la ca-

pacidad total del tanque. Si durante el resto del día se consumieron 310

de

la capacidad total del tanque:

el siguiente libroinformaciónsobre la resolución de proble-mascon fraccionesen el anti-guoEgipto:Miguel Ángel PérezGarcía (2009). Unahistoriade lasmatemáticas: retos y conquis-

tas através de sus personajes. Madrid. Visión Libros.

Para encontrarmásproblemasde fracciones,consulta ClaudeIrwin Palmer et al. (2003). Ma-temáticas prácticas.

Barcelona.Reverté.

Busca en...• Calculen qué fracción de la capacidad total del tanque gastó

Jorge ese día.

• Calculen qué fracción de la capacidad total del tanque quedó

después del recorrido.

d) En una balanza de dos platos se coloca un objeto de peso desco-

nocido en el derecho y una carga formada por varias pesas con

un total de 5 kg en el plato izquierdo. Pero la balanza no queda

equilibrada; para lograrlo, se le quitan al plato izquierdo dos pesas

de 13

kg y una de 18

kg y se le agregan dos pesas de 12

kg y una de14

kg. ¿Cuántos kilogramos pesa la carga del plato derecho?

2 En grupo, hagan lo siguiente.

a) Redacten dos problemas cuya resolución implique operaciones de

suma y resta de fracciones. Antes de hacer los cálculos respecti-

vos estimen mentalmente los resultados y después resuelvan los

problemas.

b) Discutan cuál es la utilidad de estimar resultados mentalmente.c) Analicen qué otro problema o problemas del ejercicio anterior po-

drían haberse resuelto mediante estimación y expliquen por qué.

Fig.1.3.1.

?1212

14

131

3

18

M _ .indd 35 0 3:37

p á g . 3 5


22/52

22

c) Depende de cada alumno, aunque en general esnecesario escribir los cálculos para esos problemas.

Página 36

3. a) 45

b) 25

c) 15

4. a) 65

metros y 35

metros, respectivamente.

b) Ejemplo: le queda 15

de la tabla, lo mismo que ledio a Isaías, así que es la misma longitud, es decir,3

5

metros.

Sugerencia didáctica. Se le puede preguntar al alum-no qué sucedería si la longitud de la tabla fuera, porejemplo, de 4, 5, o 6 metros. Si surge la idea errónea2, discútanla.

Invención de problemas

a) • I. 12

• II. 14

• III. 18

b) • I. 12

• II. 34

• III. 78

2. Por ejemplo, para el círculo I: Juan compró una gelati-na circular para celebrar su cumpleaños en la escuela.

Si al final del día se consumió el área sombreada, ¿quéparte de la gelatina sobró?3. Solución del problema anterior: sobró la mitad.

Página 37

5. Por ejemplo, Roberto tiene que llenar un contenedorde 5 litros de agua. Primero agregó 4 12 litros, después13 de litro. Si retiró

45 de litro de lo que había en el

contenedor, ¿cuántos litros hacen falta para llenarlopor completo?

7. Respuesta del ejemplo anterior: le faltan 2930

de litro.

Reflexiona

1. a) 18

b) 116

c) Menor, pues siempre falta la mitad del valor repre-sentado en cada doblez para completar la unidad.

d) 12 +14 +

18 +

116 =

1516

Regresa y revisa

Página 37

1. b) 18 2. Se parecen en que las fracciones de consumo del vo-

lumen total de los tinacos son las mismas en ambos

casos. Difieren porque los tinacos no tienen la mismacapacidad.

Sugerencia didáctica. Si aparece aquí la idea erró-nea 2, se puede discutir.


Bloque

1

36

d) Comenten lo que hicieron para resolver los problemas. Identifiquen cuándo

usaron restas de fracciones y cuándo sumas de fracciones, y por qué fue así.

3 En equipos de tres, resuelvan el siguiente problema.

Alejandra hizo un librero de madera y le sobró una tabla. Su amigo Isaías le pidió

la quinta parte de la tabla para terminar de construir una mesa; Tere quiso dos

quintas partes de la tabla para una repisa y Rodolfo, una quinta parte de la tabla

para hacer un joyero para su esposa.

a) ¿Qué parte de la tabla en total regaló Alejandra?

b) ¿Qué parte de la tabla le quedaba antes de darle la quinta parte a Rodolfo?

c) ¿Qué parte de la tabla le quedó?

4 En grupo, consideren que la longitud de la tabla de Alejandra era de 3 metros y

respondan lo siguiente en su cuaderno.

a) Como Isaías recibió 15

de tabla, entonces la longitud de su pedazo es de35

metros. Expresen con fracciones de metro las longitudes de los pedazos

de Tere y Rodolfo.

b) Expliquen cómo obtendrían la longitud del pedazo que le quedó a Alejandraen fracciones de metro.

Invención de problemas

1 En equipos y con base en las imágenes siguientes, respondan las preguntas.

I II III

a) ¿Qué fracción del círculo representa su área sombreada?

• I. • II. • III.

b) ¿Qué fracción de cada círculo no está sombreada?

• I. • II. • III.

2 Cada integrante del equipo elija un círculo de la figura 1.3.2, plantee un problema

a partir de él y explique su planteamiento a sus compañeros.

3 Elijan uno de los problemas que plantearon en el ejercicio 2, resuélvanlo y ex-

plíquenlo al grupo.

4 En equipos de tres, cada uno elija una de las siguientes operaciones.

a) 4 12

+ 13

– 45

b) 87

– 37

+ 17

c) 78

– 14

+ 23

d) 54

– 35

– 18

e) 75

– 16

– 23

f) 25

+ 75

+ 15

Fig.1.3.2.

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p á g . 3 6 37

Lección

3

5 Cada quien plantee un problema con la operación que eligió.

6 Expliquen el planteamiento a sus compañeros de equipo.

7 Elijan juntos uno de los problemas, resuélvanlo y explíquenlo al grupo.

1. José leyó que hay un l ímite de dobleces de una hoja de papel sobre sí misma. Toma

cualquier hoja de papel y dóblala sobre sí misma el mayor número de veces que

puedas y después responde lo siguiente.

a) ¿Qué fracción de la hoja de papel representa el tercer doblez?

b) ¿Y el cuarto doblez?

c) Si sumamos las fracciones que resultan en los primeros cuatro dobleces de la hoja,

¿el resultado será mayor o menor que la unidad? Explica tu respuesta.

d) Verifica tu respuesta al inciso anterior efectuando la suma de las fracciones.

Reflexiona

1 En parejas, lean la situación inicial y el siguiente planteamiento. Después, res-

pondan.

El tinaco de la casa de Rosario tiene una capacidad de 1 200 L. Los vecinos tie-

nen un tinaco de 2 000 L de capacidad que también se llena al inicio del día y

después no vuelve a recibir agua; ellos emplean el agua del tinaco cada día de la

siguiente forma: la mitad de la capacidad del tinaco en el baño, una cuarta parte

de su capacidad en lavar la ropa y una octava parte de su capacidad en la cocina.

a) Observen la figura 1.3.3, la cual representa a los dos tinacos, y dibujen qué

parte de la capacidad de cada uno de los tinacos se ocupó para el baño, cuál

para lavar ropa y cuál para la cocina.

b) ¿Qué fracción de la capacidad del tinaco de

los vecinos queda al final del día?

2 En grupo, respondan en qué se parecen y en

qué difieren el consumo de agua de la familia

de Rosario y el de los vecinos

Regresa y revisa

Rosario

Nivel de

1 200 L

Nivel de

2000 L

Vecinos

Fig.1.3.3.

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p á g . 3 7


23/52

23

Prepararse para


Se espera que al terminar esta secuencia los alumnos

representen sucesiones de números o de figuras a partirde una regla dada, y viceversa.

Conceptos principales: sucesiones, elemento de unasucesión, consecutivo en una sucesión, progresión arit-mética, progresión geométrica.

Materiales: para cada equipo de cuatro, aproximada-mente medio kilogramo de frijoles o algún otro tipo desemilla; calculadora.

Antecedentes

• Identificación y aplicación de la regularidad de suce-siones de números o figuras que tengan progresión

aritmética o geométrica, así como sucesiones espe-ciales

• Construcción de sucesiones a partir de la regularidad• Resolución de problemas que implican identificar la

regularidad de sucesiones con progresión aritmética,geométrica o especial

Ideas erróneas

1. Algunos alumnos pueden confundir las sucesionescon progresión geométrica con las sucesiones espe-ciales, por ejemplo, la sucesión 1, 4, 9, 16, 25,…, quese forma al elevar al cuadrado los números naturales,

tiene un cociente diferente entre cada par de térmi-nos sucesivos.

El objetivo de esta actividad, en la que se presentauna sucesión de figuras que no tiene progresiónaritmética ni geométrica, es que el alumno deter-mine la regla que define la sucesión, y sea capaz

de encontrar un término específico.


A lo largo de varias actividades, el alumno repa-sará las similitudes y diferencias entre las suce-siones, de figuras y de números, con progresiónaritmética y progresión geométrica. Se le pediráque analice cómo se relacionan los términos de

una sucesión y que obtenga, a partir de esa rela-ción y en lenguaje común, la regla que define lasucesión. También construirá sucesiones a partirde una regla dada en lenguaje común.


Se propone una actividad en la que los alumnosusarán como ejemplo una sucesión sencilla defiguras para hacer sus propias sucesiones consemillas. Mediante preguntas se analizará la su-cesión dada para tener una aproximación de laregularidad con la que está formada.


L4 SucesionesConstrucción de sucesiones de números o de figurasa partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación

en lenguaje común de expresiones generales que definen

las reglas de sucesiones con progresión aritmética ogeométrica, de números y de figuras.



24/52

24

Situación inicial

Página 38

Con semillas

3 a 5. Sugerencia didáctica. Hay que verificar que lasconstrucciones hechas por los alumnos sigan unaregla. De no ser así, se les puede orientar con pre-guntas que guíen el análisis de la diferencia o el

cociente entre cada par de términos consecutivosde la sucesión.

Analiza

1. a) Una posible respuesta es: una sucesión es una co-lección de números o figuras que se forma a partir deuna regla dada.b) Un frijol solo (o semilla).c) Se agregan dos frijoles más (o semillas) a la dere-

cha del frijol inicial, formados en línea vertical.d) 2e) 2

f) En cada paso se agregan 2 frijoles.

Explora y construye

Página 39

Sucesiones de figuras

3. a) Se coloca una columna de 2 frijoles a la izquierdadel frijol inicial.

b) El número de frijoles que hay en la base y el lugarque ocupa son iguales.

c) Es la suma de los números desde 1 hasta el lugar

que ocupa la figura.

d) Con 21 frijoles. Se coloca un frijol, después seagrega una columna de 2 a la izquierda del prime-ro; luego una de 3 a la izquierda de los anteriores,y así sucesivamente hasta agregar una columna de6 frijoles.

4. Se puede emplear el procedimiento anterior.5. a) Se colocan 8 frijoles en dos columnas juntas, de 4

frijoles cada una.

b) La fila de la base siempre tiene dos frijoles, así queno hay relación.

c) El número de filas de frijoles y el lugar que ocupason iguales.

Página 40

d) El número de frijoles necesarios es el doble del lu-gar que ocupa la figura.

e) Con 12 frijoles. Se colocan dos frijoles en una fila,después se agregan arriba filas de 2 frijoles, y asísucesivamente hasta obtener 6 filas.

6. Se puede emplear el procedimiento anterior.7. a) 5b) 3c) En el primer lugar es igual. En el segundo es igual

al lugar que ocupa más 1. En el tercero es igual allugar que ocupa más 2, y así sucesivamente.

d) El número de frijoles necesarios es el lugar queocupa la figura multiplicado por sí mismo.

e) Con 25 frijoles. Se coloca un frijol, después unafila de tres frijoles debajo, dejando el frijol inicialen el centro; después se coloca otra fila debajo,dejando la fila de 3 frijoles en el centro, y así suce-sivamente.



Bloque

1

38

Construccióndesucesionesde númerosodefiguras apartirde unaregladadaen lenguajecomún.Formu-

laciónen lenguajecomúnde expresionesgeneralesque definenlas reglasde sucesionescon progresión

aritméticaogeométrica,denúmerosy defiguras.

4. Sucesiones

Con semillas

En equipos de cuatro, realicen lo siguiente.

1 Lleven a clase aproximadamente medio kilogramo de frijoles o de algún otro

tipo de semilla.

2 Observen el siguiente ejemplo de una sucesión cuyos elementos son figuras.

3 Divídanse en dos parejas y cada una proponga cómo construir una nueva suce-

sión cuyos elementos sean figuras.

4 Construyan las primeras cuatro figuras de la sucesión que planteó la otra pareja.

5 Asegúrense de que las construcciones que realice la otra pareja sean correctas.

Si no lo son, repítanles la explicación para que las rehagan.

a) ¿Qué entiendes por sucesión?

b) Describe el primer elemento de la sucesión de la figura 1.4.1.

c) ¿Cómo se construye el segundo elemento de la figura 1.4.1?

d) ¿Cuántas semillas más tiene el segundo elemento respecto al primero?

e) ¿Cuántas semillas más tiene el tercer elemento respecto al segundo?

f) Señala la regularidad que hay en el aumento del número de semillas en esa sucesión.

Analiza

Situación inicial

Fig.1.4.1.

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p á g . 3 8 39

Lección

4

Explora y construye

Sucesiones de figuras

1 Dibuja los elementos que faltan en cada una de las siguientes sucesiones.

I

III

2 Utiliza las semillas para reproducir las sucesiones y construye las figuras corres-

pondientes a los lugares 5º y 6º de cada sucesión.

3 En parejas, respondan Io siguiente sobre la sucesión I.

a) ¿Cómo se construye el segundo elemento de la sucesión?

b) ¿Qué relación hay entre el lugar que ocupa una figura y el número de frijoles

que tiene la fila de su base?

c) ¿Qué relación hay entre el lugar que ocupa una figura y el número de frijoles

que se necesitan para su construcción?

d) ¿Cómo y con cuántos frijoles construiste la sexta figura de la sucesión?

4 En grupo, expliquen cómo construir una figura de la sucesión I a partir de la

figura que la antecede.

5 En parejas, respondan lo siguiente sobre la sucesión II.

a) ¿Cómo se construye el cuarto elemento de la sucesión?

b) ¿Qué relación hay entre el lugar que ocupa una figura y el número de frijoles

que tiene la fila de su base?

c) ¿Qué relación hay entre el lugar que ocupa una figura y su número de filas

horizontales?

II

Fig.1.4.2.

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p á g . 3 9


25/52

25

Material


Fecha

8. Se puede emplear el procedimiento anterior.9. En la sucesión II.10. Una sucesión con esas características es la que se

da con la siguiente regla: primer paso, colocar unfrijol; segundo paso, agregar una columna de 2 frijo-les a la derecha del frijol inicial; tercer paso, agregaruna columna de 2 frijoles a la figura del paso dos, yasí sucesivamente.

Sucesiones con progresión aritmética

1. a) 2

b) 6c) 20d) 100e) El número de la sucesión es el doble del lugar que

ocupa.

Página 41

f) 250, ya que es el doble de 125, es decir, del lugarque ocupa.

g) 22. La sucesión se puede generar sumándole 2 al tér-

mino anterior, o multiplicando por 2 la posición queocupa el número.

3. Sugerencia didáctica. Es importante verificar que losalumnos comprendan que las sucesiones tienen unaregla que define cómo obtener un término a partir deotro.

4. a) 42b) 82c) No. Todos los números de la sucesión son pares.d) El número es igual al lugar que ocupa en la suce-

sión multiplicado por 4 más 2.e) El consecutivo es igual al anterior más 4.f) Se le suma 4 al noveno término.

5. a) Se empieza por el número 6. Luego se le suma 4 acada paso.

b) Algunos ejemplos son:1, 5, 9, 13, 17,…2, 6, 10, 14, 18,…

11, 15, 19, 23,…

Página 42

6. a) 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50b) No. Todos los números acaban en 5 o en 0.c) 90

d) Un procedimiento es multiplicar 79 × 5.


40

Bloque

1

d) ¿Qué relación hay entre el número de frijoles que se necesitan para construir

una figura de esta sucesión y el lugar que ocupa?

e) ¿Cómo y con cuántos frijoles se construye la sexta figura de la sucesión?

6 En grupo, expliquen cómo construir cualquier figura de la sucesión II.

7 En parejas, respondan lo siguiente sobre la sucesión III.

a) ¿Cuántos frijoles tiene la fila de la base de la figura que se encuentra en el

tercer lugar de la sucesión?

b) ¿Cuántas filas horizontales tiene esa figura?

c) ¿Qué relación hay entre el lugar que ocupa una figura y el número de frijoles

que tiene en la fila de su base?

d) ¿Qué relación hay entre una figura y el número de frijoles que se necesitan

para su construcción?

e) ¿Cómo y con cuántos frijoles se construye la quinta figura de la sucesión?

8 En grupo, expliquen cómo construir una figura de la sucesión III a partir de la

figura que la antecede.

9 Anota en cuál de las tres sucesiones la diferencia entre la cantidad de frijoles de dos

figuras consecutivas es siempre la misma.

10 En parejas, diseñen una sucesión de frijoles en la cual la cantidad de semillas

aumente siempre lo mismo de figura a figura y dibújenla en su cuaderno.

11 En grupo, comparen sus sucesiones y expliquen su construcción.

Sucesiones con progresión aritmética

1 En parejas, analicen la siguiente sucesión de números: 2, 4, 6, 8, 10, 12,…, y res-

pondan las preguntas.

a) ¿Cuál es el primer elemento de la sucesión?

b) ¿Qué número hay en el tercer luga

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