Guia técnica hidráulica

72
1

Transcript of Guia técnica hidráulica

1

2

ÍNDICE

1.0 PRINCIPIO DE FLUJO EN CANALES ABIERTOS Y SU CLASIFICACION .............. 4

1.1 Descripción ....................................................................................................................... 4

1.2 Tipos de flujo .................................................................................................................... 4

1.3 Canales abiertos y sus propiedades ............................................................................. 5

1.3.1 Tipos de canales ....................................................................................................... 5

1.4 Distribución de velocidad en la sección de un canal ........................................................... 7

1.5 Medidas de la velocidad ...................................................................................................... 7

1.6 Problemas de aplicación ..................................................................................................... 8

2.0 FLUJO UNIFORME EN CANALES ............................................................................................. 11

2.1 Establecimiento del flujo uniforme ................................................................................... 11

2.2 Ecuación de Chézy . ........................................................................................................... 11

2.2.1 Relaciones del coeficiente de Chézy con el coeficiente Ganguillet y Kutter, Bazin y

Manning, ............................................................................................................................. 12

2.3 Ecuación de Manning. ....................................................................................................... 14

2.4 Estimación del coeficiente de resistencia al flujo ............................................................. 14

2.4.1 Determinación del Coeficiente de Rugosidad Manning. ............................................ 15

2.4.2 Factores que afectan el coeficiente de rugosidad de Manning ................................. 15

2.4.3 Canales con Rugosidad Compuesta ................................................................... 18

2.5 Ejemplos de Aplicación ................................................................................................. 20

2.6 Diseño de canales para flujo uniforme ............................................................................. 31

2.6.1 Canales de máxima eficiencia hidráulica .................................................................... 32

2.6.2 Diseño de canales erosionables ................................................................................. 34

2.7 Ejemplos de aplicación ..................................................................................................... 39

3.0 FLUJO DE FLUIDO EN TUBERIAS ........................................................................................... 45

3.1 Ecuación de la energía - fuerzas de resistencia ................................................................. 45

3.2 Flujo laminar ...................................................................................................................... 47

3.3 Diagrama de velocidades y esfuerzos ............................................................................... 50

3.4 Flujo turbulento................................................................................................................. 50

3.5 Distribución de esfuerzos .................................................................................................. 51

3.6 Flujo turbulento en tubos lisos.......................................................................................... 55

3.7 Flujo turbulento en tubos totalmente rugosos ................................................................. 55

3.8 Flujos de transición ........................................................................................................... 56

3

3.9 Perdidas de carga .............................................................................................................. 56

3.9.1 Pérdidas lineales .................................................................................................... 56

3.9.2 Pérdidas Singulares ............................................................................................... 63

3.9.3 Ejemplos de aplicacion .......................................................................................... 63

4

1.0 PRINCIPIO DE FLUJO EN CANALES ABIERTOS Y SU CLASIFICACION

1.1 Descripción El escurrimiento o flujo de agua en un conducto puede ser en canal abierto o tubería. Las dos clases de escurrimiento son similares en muchos aspectos, pero difieren en un punto importante: el escurrimiento en un conducto abierto tiene superficie libre y esta expuesta a la presión atmosférica.

El escurrimiento en un conducto cerrado no tiene superficie libre, debido a que el agua

llena completamente el conducto, además el flujo esta confinado dentro del conducto

cerrado, no ejerciendo presión atmosférica directa, si no solamente presión hidráulica.

1.2 Tipos de flujo Hay dos criterios para clasificar los tipos de flujo en canales abiertos:

a) Tiempo b) Espacio

Si se toma el tiempo como criterio, entonces un flujo puede ser clasificado como

permanente, lo que indica que el tirante del flujo no cambia con el tiempo (y/t = 0),o

bien, como no permanente, lo cual implica que el tirante cambia con el tiempo (y/t 0). Si el espacio es utilizado como el criterio de clasificación, entonces un flujo puede ser

clasificado como uniforme, si el tirante del flujo no varía con la distancia (y/x = 0) o

como no uniforme si el tirante varía con la distancia (y/x 0).

El flujo no uniforme, también llamado flujo variado, es además clasificado como

rápidamente variado (el tirante de flujo cambia rápidamente sobre una distancia

relativamente corta como es el caso de un salto hidráulico), o gradualmente variado

(el tirante del flujo cambia menos rápidamente con la distancia como es el caso de un

almacenamiento aguas arriba de una presa.

De acuerdo a la viscosidad, densidad y gravedad, un flujo puede ser clasificado como

laminar, transicional o turbulento. La base para esta clasificación es un parámetro

adimensional conocido como el número de Reynolds.

VLRe 1.1

En donde: V = Velocidad Característica del flujo, después de tomar la velocidad promedio de flujo.

L = Longitud característica

= Viscosidad cinemática.

La longitud característica comúnmente utilizada es el radio hidráulico que es la proporción del área del flujo “A” entre el perímetro mojado “P”.

5

Para:

Re Laminar Flujo 500

500 < Re 12500 alTransicion Flujo

Re > 12500 .Turbulento Flujo

Dependiendo de la magnitud de la proporción de las fuerzas de gravedad e inercia, un flujo es, clasificado como subcrítico, crítico y supercrítico. El parámetro sobre el cual se basa esta clasificación es conocido como el número de Froude.

gD

VF 1.2

En donde: V = Es la velocidad media del flujo

D = Es la longitud característica.

Además T

D , siendo “A” el área hidráulica, “T” el espejo de agua.

Si F = 1, el flujo está en un régimen crítico con las fuerzas inerciales y gravitacionales

en equilibrio.

Si F < 1, el flujo está en régimen subcrítico y las fuerzas gravitacionales predominan.

Si F > 1, el flujo está en un régimen supercrítico y las fuerzas de inercia predominan.

1.3 Canales abiertos y sus propiedades

1.3.1 Tipos de canales Los canales abiertos pueden ser clasificados como naturales o artificiales. Los canales naturales, son todos aquellos que han sido desarrollados por procesos naturales y que no han tenido una mejoría significativa por parte de los humanos. Ejemplos: Riachuelos, grandes y pequeños ríos y los estuarios.

Los canales artificiales; incluye todos los canales que han sido desarrollados por el

esfuerzo humano. Ejemplo: Canales de irrigación, cunetas, acequias de drenaje,

canales de navegación.

Canal: El término canal se refiere a un gran conducto abierto de pendiente suave.

Estos conductos abiertos pueden ser revestidos con concreto, pasto, madera,

materiales bituminosos o una membrana artificial.

6

Canal Prismático: Un canal prismático es el que tiene constantes tanto la forma

transversal como la pendiente de fondo. Los canales que no entran en este criterio

son los llamados no prismáticos.

1.3.2 Elementos de la sección Los elementos de la sección de un canal son, definidos por la forma geométrica del canal y por el tirante de flujo.

a) Tirante de flujo (y): éste es la distancia vertical desde el punto más bajo de la sección del canal a la superficie de agua.

y

Figura No 1.1 Perfil longitudinal de canal mostrando el tirante del flujo

De la Fig. 1 podemos afirmar que:

d

y Cos 1.3

Entonces Cos d y y como en los canales abiertos es pequeño,

concluimos que d y .

b) Nivel del agua: El nivel del agua de un flujo es la elevación de la superficie libre del agua relativa a un plano de referencia.

c) Ancho superficial (T): El ancho superficial de un canal es el ancho de la sección del canal en la superficie libre del agua.

d) Área hidráulica (A): El área hidráulica es el área de la sección transversal del flujo, tomada normal a la dirección del flujo.

e) Perímetro mojado (P): Es la longitud de la línea en la interfase entre el fluido y el contorno del canal.

f) Radio hidráulico (R): Es la relación del área hidráulica entre el perímetro mojado.

P

AR 1.4

d

7

g) Tirante hidráulico (D): Es la relación del área hidráulica con el ancho superficial.

T

AD 1.5

h) Factor de sección (Z): Para cálculos de escurrimiento crítico, Z, es el producto del área mojada por la raíz cuadrada de la profundidad hidráulica.

T

AADAZ 1.6

1.4 Distribución de velocidad en la sección de un canal Debido a la superficie libre y a la fricción a lo largo de las paredes del canal, las velocidades en un canal no están uniformemente distribuidos en la sección del canal. La velocidad máxima medida en canales comunes, normalmente ocurre a una distancia de 0.05 a 0.25 de la profundidad por debajo de la superficie libre del agua. La distribución de la velocidad en una sección del canal depende también de otros factores, tales como la forma común de la sección, la rugosidad del canal y la presencia de codos o curvas. En un curso de agua ancho, bajo y rápido o en un canal muy liso, la máxima velocidad se puede encontrar muy a menudo en la superficie libre.

En algunas investigaciones de laboratorio, el escurrimiento en un canal recto prismático es en efecto tridimensional, manifestándose un movimiento en espiral, aunque la velocidad en la sección transversal del canal es normalmente pequeña e insignificante comparada con los componentes de la velocidad longitudinal. Así mismo en canaletas cortas en el laboratorio, un disturbio pequeño a la entrada, el cual es usualmente inevitable es suficiente para causas el desplazamiento de la zona de niveles de agua más altos, a un lado dando lugar a un movimiento de espiral simple.

1.5 Medidas de la velocidad De acuerdo al procedimiento utilizado por la U.S. Geological SURVEY, para medir las corrientes, la sección transversal del canal se divide en fajas verticales mediante el trazado de verticales sucesivas, la velocidad a los 0.6 de la profundidad, en cada vertical o cuando se requiere resultados mas exactos, tomando el promedio de las velocidades a las 0.2 y 0.8 de la profundidad. El promedio de las velocidades medias en cualesquiera de dos verticales adyacentes multiplicado por el área entre las verticales da un caudal o descarga a través de esa faja vertical de la sección transversal. La suma de los caudales a través de todas las fajas, es el caudal total.

8

1 2 3 4 5 VERTICALES

MD MI

e e e e e

A1 V0.2 y A5

A2 A3 A4

V0.8 y

Figura No 1.2. Sección transversal de un cauce natural mostrando los puntos

donde se miden la velocidad del flujo.

La velocidad en una vertical es:

2

8.02.0 yy

i

vvv

1.7

o

yi vv 6.0 1.8

Por lo tanto el gasto es:

ii

n

i

AvQ

1

1.9

1.6 Problemas de aplicación 1. En la figura siguiente, se muestra la sección transversal de un túnel. Encontrar la expresión algebraica para el área mojada, perímetro mojado, tirante de agua, radio hidráulico y espejo de agua.

MD = margen derecha

MI = margen izquierda

Velocidad puntual i

Ai área de la subsección i

9

Solución:

Hallar A, R, y, P, T

Si el radio de la semi circunferencia = b/2, entonces el área es:

42

22bb

S AB

3602

180

2

2

x

bSODB

2880

1802

bSS OACODB

2242

22222

2

CosSenb

Cosb

Senb

SOCD

2241440

180

2242880

1802

2222 CosSen

bbCosSen

bbA

1

222

1

720

180.

2

2 CosSen

bA Area hidráulica.

1

22222

Cos

by

bCos

by Tirante.

b/2

b/2

b

A B

O

C D

10

2

bSenT Ancho superficial

2

720

180

223602

180 bP

bbb

xbP Perímetro mojado.

2720

180

1222

1180

720

b

CosSenb

R Radio hidráulico.

2. En el canal de la siguiente figura determinar: a) Los parámetros geométricos e hidráulicos del canal b) La velocidad media de flujo y el gasto

a) parámetros geométricos

26.27.02.17.017.012.117.0 mxxxA

mxxP 4.535.027.02

mP

AR 4814.0

mT

AD 8666.0

0.3

6.2

b) Velocidad media del flujo

6.2

)8.0(5.07.0)6.0(5.07.0...)8.0)(5.07.0(

6

xxxii

V ii

m/s 8173.06.2

125.2

6.2

28.021.051.06.0245.08.0

V

Q = 2.6 x 8173.0 2.125 m3/s

0.5m

0.7m 0.8 0.7

0.8

1.1

7

0.6 0.8 1.2

0.6

1m 1m 1m

11

2.0 FLUJO UNIFORME EN CANALES

2.1 Establecimiento del flujo uniforme El flujo uniforme ocurre cuando:

1. El tirante, el área hidráulica y la velocidad en cada sección transversal son

constantes. 2. La línea de gradiente de energía, la superficie del agua y el fondo del canal,

son todos paralelos. Figura No 2.1. Tramo de canal mostrando el flujo uniforme, donde la pendiente de la línea de energía, pendiente de la superficie de agua y la del fondo son paralelos. (So=Sw=Sf) En general el flujo uniforme ocurre únicamente en canales prismáticos muy largos y rectos, en donde puede obtenerse una velocidad media constante; es decir la distribución de velocidades a través de la sección de canal no se altera dentro del tramo en estudio. Se considera que el flujo uniforme es solo permanente, debido a que el flujo uniforme no permanente prácticamente no existe.

2.2 Ecuación de Chézy . Para propósitos computacionales, la velocidad promedio de un flujo uniforme puede calcularse de manera aproximada por diversas ecuaciones semiempíricas de flujo uniforme. Todas estas ecuaciones tienen la forma:

yxSCR 2.1

Donde: V = Velocidad media del flujo R = Radio hidráulico S = Pendiente longitudinal del canal C = Coeficiente de resistencia al flujo x,y = Coeficientes La ecuación de Chézy fue desarrollada en 1769 y la ecuación de Manning en 1889.

So

Wsen

W

Sw

Sf

L

12

La definición de flujo uniforme requiere que las fuerzas de resistencia del flujo sean exactamente iguales a las fuerzas causantes del movimiento. La fuerza causante del movimiento es:

SenWSen LFm 2.2

Dónde: W = Peso del fluido dentro del volumen de control

= Peso específico del fluido A = Área hidráulica L = Longitud del volumen de control

= Angulo de la pendiente longitudinal del canal.

Si es pequeño, que es generalmente el caso, entonces sen So (pendiente de fondo del canal). Se supone que la fuerza por unidad de área del perímetro del canal resistente al movimiento (FR), es proporcional al cuadrado de la Velocidad promedio, 0.

2

R K F 2.3

Entonces, para un canal de longitud L con perímetro mojado P, la fuerza de resistencia es:

2

R LPF K 2.4

Donde K es una constante de proporcionalidad. Igualando las ecuaciones 22 y 2.2 se obtiene:

2PL KLSen

P

Sen

2, como sen So por ser pequeño

02 RS

K

0

2/1

RS

2.5

Haciendo:

2/1

C 2.6

A la ecuación 2.6, se le conoce como el coeficiente de resistencia al flujo. Por lo común se conoce como coeficiente “C” de Chézy y en la práctica se determina por medición o estimación.

Este coeficiente de resistencia “C” dimensionalmente se expresa como L1/2 T-1

Altos valores de C las paredes son lisas.

Bajos valores de C las paredes son rugosas.

2.2.1 Relaciones del coeficiente de Chézy con el coeficiente Ganguillet y Kutter,

Bazin y Manning, Existen muchas relaciones que tratan de determinar el coeficiente de Chézy en base a una serie de trabajos de laboratorio y campo entre los cuales podemos mencionar a las siguientes formulas:

13

a. Ganguillet y Kutter

R

n

S

nS

00155.0

231

100155.023

C 2.7

El valor de C es expresado en términos de la pendiente (S), radio hidráulico (R) y el coeficiente de rugosidad de Manning (n).

b. Bazin.

R1

87C

2.8

Donde R, es el radio hidráulico, es un coeficiente de rugosidad En la

tabla No 2.1 se presenta valores del coeficiente propuestos por Bazín: Tabla 2.1 Coeficiente de Bazin para diferentes tipos de material.

Tipo de material Cemento muy liso, madera plana 0.11 Madera no plana, hormigón o ladrillo 0.21 Piedra, mampostería alisada trabajo en ladrillo pobre 0.83 Canales en tierra en perfectas condiciones 1.54 Canales en tierra en normales condiciones 2.36 Canales en tierra en rugosas condiciones 3.17 Fuente: Ven Te Chow Hidráulica de canales abiertos

c. Manning.

1/6Rn

C

2.9

Donde R es el radio hidráulico, n es un coeficiente de rugosidad. En la tabla No 2.2 se presenta los valores del coeficiente propuestos por Manning para diferentes tipos de material.

Tabla 2.2 Coeficiente de Manning para diferentes tipos de material. Tipo de Material n Madera bien trabajada 0.009 Cemento liso 0.010 Vidrio 0.010 Mortero de cemento con 1/3 de arena 0.011 Madera no trabajada 0.012 Mampostería y ladrillos bien trabajados 0.013 Para ladrillos rugosos 0.015 Mampostería de piedra labrada 0.014 Conductos de barro cocido 0.014 Hormigón moldeado in situ 0.016 Canales en grava fina 0.020 Canales y ríos en buen estado 0.025 Canales y ríos con piedras y hiervas 0.030 Canales y ríos en mal estado 0.035

14

Fuente: Ven Te Chow Hidráulica de canales abiertos

2.3 Ecuación de Manning. La Ecuación de Manning es el resultado del proceso de un ajuste de curvas, y por tanto es completamente empírica en su naturaleza.

En el sistema de unidades internacional la ecuación de Manning es:

SR1 1/22/3

n 2.10

Donde:

R = Radio hidráulico en L

n = Coeficiente de Manning 3/1/ LT

v = Velocidad media del flujo TL /

En unidades inglesas:

1/22/3SR49.1

n 2.11

En forma general:

1/22/3SRn

2.12

Donde:

=1.0 cuando se trabaja en el sistema internacional de unidades

=1.49 cuando se trabaja en el sistema ingles. Igualando la ecuación 4.5 y 4.12

1/22/3SRRSCn

1/22/31/21/2 SRSR Cn

Se obtiene la relación del coeficiente de Chézy con el de Manning.

1/6Rn

C

2.13

2.4 Estimación del coeficiente de resistencia al flujo La principal dificultad al utilizar la ecuación de Manning o de Chézy en la práctica, consiste en estimar adecuadamente un valor apropiado del coeficiente de resistencia. En general, se espera que n y C dependan del número de Reynolds del flujo, de la rugosidad de la frontera y de la forma de la sección transversal del canal. Esto equivale a hipotetizar que n y C se comportan de una manera análoga al factor de fricción f de Darcy – Weisbach utilizado para determinar la resistencia de flujo en tuberías.

g

f

24RS

2

2.14

15

R8S

2

g

f 2.15

RSCf

g RS.

8 2.16

f

8gC 2.17

2.4.1 Determinación del Coeficiente de Rugosidad Manning. Con el objeto de proporcionar una guía en la determinación apropiada del coeficiente de rugosidad presentamos algunas pautas que conllevan a obtener el valor de n:

a. Comprender cuales son los factores que afectan al valor de (n) y así adquirir un conocimiento básico del problema y reducir las suposiciones acerca del valor de n.

b. Consultar un cuadro de valores típicos de n, según el tipo el material

en la que va estar excavado el canal. c. Tomar en cuenta los canales típicos cuyos coeficientes de rugosidad

son conocidos.

d. Determinar el valor de n a través de un procedimiento analítico basado sobre la distribución teórica de la velocidad en la sección transversal del canal tomando en cuenta los datos de medidas de velocidad.

2.4.2 Factores que afectan el coeficiente de rugosidad de Manning Los factores que afectan el valor del coeficiente de rugosidad de Manning son:

Rugosidad de la superficie

Vegetación

Irregularidad del canal

Alineamiento del canal

Depósitos y socavaciones

Obstrucción

Tamaño y forma de canal

Nivel y caudal

Rugosidad de la superficie La rugosidad de la superficie se representa por el tamaño y la forma de los granos del material que forma el perímetro mojado y que producen un efecto retardante sobre el flujo. Esto es a menudo considerado como el único factor al seleccionar un coeficiente de rugosidad, pero es actualmente solo uno de los varios factores importantes. Hablando en general, los granos finos resultan en un valor relativamente bajo de n y los granos gruesos dan lugar a un valor alto de n. Vegetación

16

La vegetación puede ser vista como una clase de rugosidad superficial, pues ella también reduce en marcada forma la capacidad del canal y retarda el flujo. Este efecto depende principalmente de la altura, densidad, distribución y tipo de vegetación, y es muy importante en el diseño de canales pequeños de drenaje. Irregularidad del canal Las irregularidades del canal se da con frecuencia sobre el perímetro mojado y en la sección transversal de canal, variando de forma y tamaño a lo largo de su recorrido. En los canales naturales, tales irregularidades por lo general son producidas por la presencia de barras de arena, onda de arena, crestas, depresiones, y montículos de arena en el lecho del canal.

Alineación del canal En cuanto al alineamiento del canal podemos decir que canales con curvaturas suaves y con radios grandes darán un valor relativamente bajo de n, mientras que curvaturas agudas con meandros severos aumentaran el valor de n.

Depósitos y socavaciones Hablando en términos generales, los depósitos pueden cambiar un canal muy irregular en un canal relativamente uniforme y disminuir el n, mientras que la erosión puede hacer al revés y aumentar n.

Obstrucción La presencia de trancos, pilares de puentes y semejantes tiende a aumentar el valor de n. La magnitud del aumento depende de la naturaleza de la obstrucción, su tamaño, forma, número y distribución.

Tamaño y forma de canal No hay evidencia definitiva acerca de que el tamaño y forma del canal sea un factor importante que afecta el valor de n. Un aumento en el radio hidráulico puede aumentar o disminuir n, dependiendo de la condición de canal.

Nivel y caudal El valor de n en la mayoría de las corrientes decrece con el aumento en el nivel y en el caudal. Cuando el agua está baja, las irregularidades del fondo del canal están expuestas y sus efectos se hacen pronunciados. Sin embargo, el valor de n puede ser grande para niveles altos si los bancos son rugosos y con mucha vegetación. Considerando los factores que influyen la resistencia al flujo, COWAN desarrolló un

procedimiento para estimar el valor de n. Por este procedimiento, el valor de n se

puede calcular por:

n = (n0 + n1 + n2 + n3 + n4) m5 2.18

En donde: n0 = es un valor básico de n para un canal recto, uniforme y liso en los

materiales naturales comprendidos. n1 = es un valor agregado a n0 para corregir el efecto de las

rugosidades de la superficie. n2 = es un valor para considerar las variaciones en forma y tamaño

de la sección transversal del canal.

n3 = es un valor para considerar las obstrucciones.

17

n4 = es un valor para considerar la vegetación y condiciones de flujo.

m5 = es un factor de corrección de los efectos por meandros en el

canal.

Tabla 2.3 Valores para el cálculo del coeficiente de rugosidad

CONDICION DE CANAL

VALORES

Material

Considerado

Tierra

n0

0.020

Roca cortada 0.025

Grava fina 0.024

Grava gruesa 0.028

Grado de

Irregularidad

Liso

n1

0.000

Menor 0.005

Moderado 0.010

Severo 0.020

Variaciones de la

sección transversal

del canal

Gradual

n2

0.000

Ocasionalmente

alternante

0.005

Alternante 0.010 –

0.015

Efecto relativo de

las

obstrucciones

Despreciable

n3

0.000

Menor 0.010 –

0.015

Apreciable 0.020 –

0.030

Severo 0.040 –

0.060

Baja 0.005 –

0.010

18

Vegetación

Media

n4

0.010 –

0.025

Alta 0.025 –

0.050

Muy alta 0.050 – 0.10

Cantidad de

Meandros

Menor

m5

1.000

Apreciable 1.150

Severa 1.300

Fuente: Ven Te Chow Hidráulica de canales abiertos 2.4.3 Canales con Rugosidad Compuesta En muchos canales artificiales y en la mayor parte de los canales naturales, la rugosidad varía a lo largo del perímetro del canal, en estos casos a veces es necesario calcular un valor equivalente del coeficiente de rugosidad para todo el perímetro. Este coeficiente de rugosidad efectivo se emplea entonces en el cálculo de tirantes normales en todo el canal.

Los métodos del cálculo del coeficiente de rugosidad para este tipo de canal son:

1. Horton (1933) y Einstein y Banks (1950) desarrollaron por separado un método que supone que cada subdivisión del área tiene la misma velocidad media de la sección total:

ésima - i secciónla demedia Velocidad donde V . . . VVV N21

Además sabemos que el área total es igual a la suma de las áreas

parciales:

A=A1+A2+............+An

Y como S1

V 1/2

0

3/2

P

A

nentonces P

SA

3/2

1/2

0

vn

Ps

η v . . . P

s

η v P

s

η v

s

Vn P n

3/2

1/22

3/2

1/2

221

2/3

1/2

11

2/3

1/2

19

Simplificando se obtiene:

2/3

N

1i

3/2

ii

e

P

P

2.19

dónde ne = coeficiente equivalente de Manning

P = Perímetro mojado de la sección completa

Pi = Perímetro mojado de la subsección i

ni = coeficiente de rugosidad de Manning de la subsección i

N = número de subsecciones

2. Si se supone que la fuerza cortante total es igual a la suma de los fuerzas cortantes en cada subsección, entonces

1/2

N

1i

2

ii

e

P

P

2.20

3. Si se supone que el gasto total de la sección es igual a la suma de los gastos de cada subsección, entonces

RP

RP

N

1i i

5/3

ii

5/3

e

2.21

donde: Ri = Radio hidráulico de cada subsección

R = Radio hidráulico de la sección completa

4. Cox (1973)

A

A

ii

1

e

N

i 2.22

donde: Ai = área de la i-ésima subsección y

A = área hidráulica total

5. El método de Colbatch, que también describe Cox (1973), emplea la siguiente ecuación:

20

A

A

2/3

3/2

i

N

1i

e

2.23

2.5 Ejemplos de Aplicación 1. Un canal de dragado tiene una sección transversal que puede ser

aproximadamente a un trapecio con un ancho del fondo de 3 m y taludes de 1.5:1. Al nivel máximo el tirante promedio del flujo es de 2.6 m y el ancho superficial es de 10.8 m. El alineamiento del canal tiene un moderado grado de meandro. Mientras que los taludes son bastante regulares, el fondo es desigual e irregular. La variación del área de la sección transversal con la distancia longitudinal es moderado. El material a través del cual se puede caracterizar el canal es de arcilla gris. Los taludes del canal están cubiertos con un crecimiento moderado de vegetación, existiendo también un pequeño crecimiento de maleza sobre el fondo del canal. Dada esta descripción, estímese al valor del coeficiente de rugosidad de Manning.

Solución

Material considerado 0 = 0.02

Grado de rugosidad 1 = 0.010

Variación de la Sección transversal 2 = 0.005

Obstrucción 3 = 0.00

Vegetación 4 = 0.010

Cantidad de meandros m5 =1.00 Por lo tanto:

= (0 + 1 + 2 + 3 + 4) m5 =(0.02+0.0010+0.005+0+0.010)1.0

= 0.045

2. Dado la sección compuesta del canal en la siguiente figura, estímese el valor

del coeficiente de rugosidad compuesta.

0.018

1.0 m. 0.018

0.020

0.5m

0.02

0.016

0.7m 0.3m 1.0m

A2

A1

A3

21

Z2=4

1 1

Z1=2 yn

Aplicando la ecuación 2.19

2/3

N

1i

3/2

ii

e P

P

3/22/32/32/32/32/3

78.3

018.01020.01016.058.002.07.0018.05.0

xxxxxne

0186.0en

Aplicando la ecuación 4.18

1/2

N

1i

2

ii

e P

P

2/122222

78.3

018.01020.01016.058.002.07.0018.05.0

xxxxxne

0186.0en

3. Una cuneta de camino de sección triangular, tiene una pendiente longitudinal de 0.0001 con un coeficiente de Manning de 0.020. La descarga es de 1.415m3/seg. Calcular: - El tirante normal

- Si es posible utilizar la sección triangular de máxima eficiencia hidráulica. ¿Qué reducción en la sección transversal del área del flujo por metro lineal de cuneta habrá resultado?.

Solución:

22

Hallando el área mojada, el perímetro mojado y el radio hidráulico para la

sección dada:

y

yZyZA

2

21

222 3

2

6

2

42yyyA nn

1111 2

2

2

1

2

2

2

1 ZZyZyZyP n

nn yyP 359.6175

y

y

y

P

AR 4717.0

359.6

3 2

De la ecuación de Manning:

ASRQ 2/13/21

ASRnx 2/13/2415.1

22/13/230001.04717.002.0415.1 nn yyx

Efectuando:

23

3/8556.1 y 8/3556.1y

myn 18.1

Considerando la sección de máxima eficiencia hidráulica (Sección

triangular):

Z = 1

24

yR

2yA

yP 22

De la ecuación de Manning:

ASRQ 2/13/21

ASRnx 2/13/2415.1

22/13/20001.035355.002.0415.1 nn yyx

Efectuando:

my 9156.1

22

2 669.39156.1 mA

222

1 1772.418.133 myA n

25082.0669.31772.4 mA

1

Z = 1

yn

24

4. El canal mostrado en la siguiente figura tiene pendiente de 0.00016, cuando intercepta un terraplén de ferrocarril, el flujo debe ser conducido por dos tuberías de concreto (n = 0.014) colocados con una pendiente de 2.5/1000. ¿Qué diámetro de tubería deberán ser usadas?

Solución:

El caudal que fluye por el canal es:

S = 0.00016

ASRn

Q 2/13/21

202.3412.420.46 mxxA

mP 139.16112.4620.4 2

R = A/P = 2.107m

smQ /51.5002.3400016.0107.2014.0

1 32/13/2

El caudal que circulara por las dos tuberías (alcantarillas) será:

51.502 q

smq /25.25 3

S = 0.0025

R = D/4

A = (D2/4)

40025.0

4014.0

125.25

22/1

3/2D

xxD

x

3/8683.22 D 92.126223.3 mD pulg.

1

1

4.20 m

6.0 m

25

5. Un canal trapezoidal de hormigón sin terminación con b = 1.0 m y = 30°, conduce 100 m3/s de agua. La pendiente del fondo del canal es de 0.0001. encuentre la profundidad normal.

n = 0.015

b = 1 m

= 30°

Q = 100 m3/sg

S = 0.0001

A = by + Zy2 = Y + 1,732 Y2

Z = Cotg 30° = 1.732

P = b + 2 y 99.32112 yZ = 1 + 3.99 y

Empleando la ecuación de Manning:

100 = 015.0

1

2/1

3/2

3/52

)0001.0()99.31(

)73.1(

y

yy

150 = 3/2

3/52

99.31

73.1

y

yy

resolviendo: my 279.6

6. La sección transversal de un acueducto tiene 7 m de base, un tirante de 4 m y la inclinación de la pared del acueducto respecto a la horizontal es de 45° (sección similar a la de un canal trapezoidal). Encuentre la pendiente de fondo del acueducto sabiendo que el coeficiente de Manning es 0.015, el caudal es de 50 m3/s b = 7 m

y = 4 m

= 45

S = ?

n = 0.015

Q = 50 m3/s

Solución

Z = cotg 45° = 1

A = by + Zy2 = 7 (4) + 1 (42) = 44

y

26

P = b + 2 y 31.1812 Z

Por Manning: 2/1

3/2

3/5

)31.18(

44.

015.0

150 Sx Resolviendo: S = 0.0975

Considere un canal semicircular y uno rectangular cuya altura es la mitad del ancho.

Encuentre el diámetro del canal semicircular que tenga la misma pendiente y el mismo

valor del coeficiente n.

Solución

2

2

1

yA

y

yP

2

21

A2 = 2 b (b) = 2b2 P2 = 2b + 2b = 4b

2/1

3/2

3/52

1

21Sx

y

y

nQ

2/1

3/2

3/52

2 .4

21S

b

b

nQ

3/2

3/83/5

3/5

3/8

4

.2

2

. by

3/83/8 2599.195498.0 by

0.7854 y8/3 = b8/3

yb 9134.0

Finalmente: D = 2y = 2.19 b

7. En la siguiente figura determine el valor de b.

2y

2 y

b

2 b

y

27

Q = 300000pies3/s

n = 0.030

S = 0.000

A = 354522

15xx

xb

A = 15 b + 1575

P = 45 + 2 (20) + 2 2215 b

P = 85 + 2 2215 b

Usando Manning:

2/1

3/222

3/5

0001.0

15285

157515

030.0

49.130000 x

b

b

3/222

3/5

15285

157515684.60402

b

b

Resolviendo: b = 902.2pies

8. Se tiene un canal de sección trapecial cuyo ángulo de inclinación de los lados del canal respecto a la horizontal es de 45°, conduce un caudal de 10 m3/s. Encuentre el ancho de la plantilla del canal y la pendiente del fondo. La velocidad no deberá exceder 2 m/s. considere un tirante de agua de 2 m.

= 45° Z = Cotg 45° = 1

Q = 10 m3/s

y = 2 m

15’

20’

b b

45’

28

v = 2 m/s

n = 0.022

b = ?

S = ?

De los datos:

Q = V. A.

10 =2.A A = 5 m2

A = by+zy2 5 = b(2)+1(2)2 b = 0.5 m

De la ecuación de Manning:

2/1

3/2

3/5

.15.6

5.

022.0

110 S

S = 0.0965

9. Diseñe una zanja de drenaje que tenga una sección trapecial cuyas pendientes laterales de 1.5:1 en un lecho limpio de tierra excavada y una pendiente del fondo de 7.5 m/km. La zanja de drenaje debe diseñarse para transportar una avenida de tiempo de retorno de 25 años de 150.9 m3/s sin exceder una profundidad de flujo de 2 m. ¿Cuál es la velocidad de flujo durante la avenida?. Solución

Datos:

Z = 1.5

S = 7.5 0075.01000

m

Kmx

Km

m

Q = 150.9 m3/s

y = 2 m

n = 0.025 (tierra excavada)

Calculando el área hidráulica y perímetro mojado para la sección trapezoidal

A = 2b + 1.5 (22) = 6 + 2b

P = b + 4 25.11 = b + 7.21

Aplicando Manning

29

2/1

3/2

3/5

0075.0.21.7

26

025.0

19.150

b

b

3/2

3/5

21.7

6256.43

b

b b = 13

A = 6 + 2b = 6 + 2 (13) = 32 m2 smA

QV /71.4

32

9.150

10. Para el siguiente esquema hidráulico determine los tirantes y1, y2, e y3. Además dibuje el perfil de la superficie libre del agua.

Solución

Reemplazando datos en la ecuación de Manning

Tramo 1:

myy

y6774.00001.0

)210(

10

016.0

13 1

2/1

3/2

3/5

Tramo 2:

myy

y1638.001.0

)21(

)10(

016.0

13 2

2/1

3/2

3/5

S1 = 0.0001

b = 10 m

Q = 3 m3/s

Z = 0

n = 0.016

S2 = 0.01

b = 10 m

Q = 3 m3/s

Z = 0

n = 0.016

S3 = 0.00248

b = 10 m

Q = 3 m3/s

Z = 0

n = 0.017

30

Tramo 3:

myy

yx 26.000248.0

)21(

)10(

0017.0

13 3

2/1

3/2

3/5

Analizando los tramos 2 y 3, se concluye la presencia de salto hidráulico. Para

comprobar el lector debe de calcular el tipo de flujo para cada tramo. Asumiendo que

el tirante normal del tramo 2 es el conjugado menor calcularemos el tirante conjugado

mayor con la siguiente formula (canales de sección rectangular):

1812

2

11

2 Fy

y

Para: y1 =0.1638m, F1=1.44; se obtiene y2 = 0.26m. Como el tirante conjugado

mayor y2 e equivalente al tirante normal del tramo 2; entonces el salto se inicia

en el quiebre entre el tramo 2 y 3.

11. Un canal de sección trapezoidal esta constituida por dos tramos. El primer tramo es de 2 km y esta revestido de concreto con una pendiente de 0.001. El siguiente tramo esta revestido con mampostería de piedra cuya longitud es de 3 km y una pendiente de fondo de 0.001. La base del canal para ambos tramos es de 1.5 m y el caudal es de 3 m3/s y los taludes son de 1:1. Esquematice el posible eje hidráulico.

Solución

1er Tramo : 2do Tramo : L = 2 Km = 2000 m L = 3 Km = 3000 m

n = 0.022 n = 0.018

S = 0.001 S = 0.001

b = 1.5 m b = 1.5

Q = 3 m3/seg Q = 3 m3/seg

Z = 1 Z = 1

y1 = 0.67m

y3=0.26m

y2 = 0.16m

31

A = 1.5 y1 + 2 y12 A = 1. y2 + y2

2

P = 1.5 + 2 y1 2 P = 1.5 + 2 y2 2

Usando Manning:

2/1

3/2

3/5

..1

SP

A

nQ

Tramo 1

2/1

3/2

1

3/52

11 001.083.25.1022.0

5.113

y

yy

Tramo 2

2/1

3/2

2

3/52

22 001.083.25.1018.0

5.113

y

yy

Resolviendo: y1 = 1.1 m y2 = 0.99 m

2.6 Diseño de canales para flujo uniforme El diseño de canales para flujo uniforme incluye los diseños de canales no erosionables y los canales erosionables.

y1 = 1.1m

y2 = 0.99m

32

Son considerados canales no erosionables a aquellos canales que resisten la erosión satisfactoriamente. Los canales no terminados (solo excavados) son generalmente erosionables, excepto aquellos excavados en fundaciones firmes tales como un lecho rocoso. El dimensionamiento del canal se efectúa con la fórmula del flujo uniforme y luego se decide las dimensiones finales sobre la base de la eficiencia hidráulica, o reglas empíricas de la mejor sección, practibilidad y economía. Los factores a ser considerados en el diseño son:

- La clase de material que forma el cuerpo del canal, el cual determina el coeficiente de rugosidad (prevenir erosión y disminuir la infiltración)

- La velocidad mínima permitida, evitar depósitos si el agua lleva limo desperdicios.

- La pendiente de fondo del canal y los pendientes laterales - La altura libre - La sección más eficiente

2.6.1 Canales de máxima eficiencia hidráulica Una sección de máxima eficiencia hidráulica es aquella que representa un menor volumen de excavación. Desde un punto de vista hidráulico, entonces, la sección de máxima eficiencia es aquella que tiene el menor perímetro mojado y que para un área dada tiene el transporte máximo, tal sección es conocida como la mejor sección hidráulica.

mínimoPPSi 0dy

dP mínimo Es 2.24

Considerando un canal de sección Trapezoidal:

:que Sabemos

zyby 2 zyy

b

2.25

12 2zybP 2.26

4.23 en 4.24

212 zyzyy

P

2.27

hidráulica eficiencia Máxima deSección mínimo es P máx Q Para Tenemos

Derivando la ecuación 4.25 respecto del tirante:

0121

22 zzydy

dP 2.28

Simplificando y ordenando términos se obtiene la ecuación 2.29. 22 12 zzy

zzy

2

212

33

zzy

zyby

2

2

2

12

zzzy

b 212

zzy

b212 2

zzy

b 212 2.29

Por otro lado sabemos que:

CtgCsczz 21 2.30

Sen

Cos

Sen

Cos

Senzz

111 2.31

Asimismo sabemos que :

22cos1 2 sen y

2cos.

22

sensen

Reemplazando en 4.29

2

2

2

2.

22

22

1

2

2

Tg

Cos

Sen

CosSen

Sen

zz 2.32

Finalmente:

22

tg

y

b 2.33

Otras relaciones importantes para la sección trapezoidal. Como la plantilla óptima es:

zzyb 212 2.34

reemplazando en las relaciones del área y perímetro mojado se obtiene:

222 12 zyzzy 2.35

22 1212 zyzzyP 2.36

22 2112 zzzyP 2.37

1

z

z

z

34

zzyP 2122 2.38

Finalmente el radio hidráulico es:

2122

12

2

22 y

zzy

zzy

P

AR

2.39

Si hacemos 0dz

dp, encontraremos el talud óptimo, es decir:

3

3z 2.39

A continuación se presenta los elementos geométricos de las cuatro mejores secciones hidráulicas, pero estas secciones puede que no siempre sean prácticas debido a las dificultades en la construcción y en el uso del material. Tabla No 2.4 Elementos geométricos de las secciones hidráulicas óptimas

Sección transversal

A P R T D Z

Trapecial Mitad de un hexágono

23 y32 y2

1 y3

3

4 y

4

3 5.22

3

y

Rectángulo Mitad de un cuadrado

22y y4 y2

1 y2 y 5.22y

Triángulo Mitad de un cuadrado

2y y22 y24

1 y2 y

2

1 5.2

2

2y

semicírculo 2

2y

y y

21 y2 y

4

5.2

4y

2.6.2 Diseño de canales erosionables Las variables mas importantes que afectan el diseño de un canal erosionable son la velocidad y el esfuerzo cortante. Estabilidad de una partícula simple en el talud del canal.

La fuerza tractiva esta dado por:

.RS 2.40

La velocidad de corte esta dado por:

gRSUgRSU 2

** 2.41

35

El criterio del inicio del movimiento lo establece * yU haciendo referencia a la

siguiente figura.

Figura No 4.2 Análisis de la estabilidad de una de una partícula en el talud y fondo, cuando fluye agua por un canal.

Podemos calcular la relación entre los esfuerzos de corte en los lados y el fondo del canal. Por el principio del movimiento de fricción mecánica, se puede asumir que cuando el movimiento esta impedido, la resistencia al movimiento de la partícula es igual a la fuerza que tiende a causar el movimiento.

Fuerza que se opone al movimiento de partículas

tgWs cos 2.42

Fuerza que tiende a causar movimiento

2222

LS asenW 2.43

Dónde: a Área efectiva de la partícula

L Fuerza tractiva unitaria sobre el lado del canal.

f Fuerza tractiva unitaria sobre el fondo del canal

sW Peso sumergido de la partícula

Angulo de reposo de material

Para un movimiento eminente se tiene:

2222 tgcos LSs asenWW 2.44

Ordenando y simplificando se concluye en la ecuación 4.45:

af

2222 )( senwa sL

aL ws sen

wsCos wsSen

ws

36

2222222 cos senWtgWa SsL

22222222 c t tcos osgWgWa SsL

222222 cos tgtgWa SL

2

22222 1c

tg

tgtgosWa SL

2

2

222

2 1cos

tg

tg

a

tgWS

L

2

1cos

tg

tg

a

tgWSL 2.45

Del mismo modo, cuando el movimiento de una partícula se analiza sobre una

superficie a nivel el ángulo es cero por lo que la ecuación resultante para el fondo es:

2222cos fSS asenWtgW 2.46

fS atgW 2.47

Resolviendo para la fuerza tractiva unitaria f que causa impedimento al

movimiento sobre una superficie a nivel.

a

tgWSf

2.48

La relación de fuerzas tractivas es:

a

tgW

tg

tg

a

tgW

KS

S

f

L

2

1cos

2.49

2

1cos

tg

tg 4.50

2

1

sen

sen 4.51

37

a) Método de la máxima velocidad permisible Procedimiento:

1. Estimar el coeficiente de Manning n, inclinación de talud z y la

velocidad máxima permisible basado en el tipo de material en el cual va ser excavado el canal. Asumir la pendiente de fondo del canal So, en un primer tanteo considera la pendiente del trazo del canal.

2. Calcular el R usando la formula de Manning.

2/3

2/1

oS

nVR 4.52

3. Determinar el área mojada, A necesaria para la descarga Q con la máxima velocidad permisible V.

2zybyV

Q 4.53

4. Calculo del perímetro mojado

212 zybR

P

4.54

5. Conocido A y P, se puede resolver simultáneamente las ecuaciones

para determinar la base (b) y el tirante del canal (y). La relación (b/y) ancho de fondo y la profundidad del flujo debe ser acorde con el mínimo volumen de excavación, frecuentemente el valor recomendado es 4.

b) Método de la máxima fuerza tractiva

El diseño será realizado mediante la prueba de error, los parámetros geométricos serán ajustados de acuerdo a la máxima fuerza tractiva unitaria (fuerza cortante) que no exceda al lecho del canal ni a los costados. Procedimiento:

1. Asumir el talud del canal, basado en la distribución del tipo de material

en el cual va ser excavado el canal. Así mismo determinar el ángulo de reposo del material a partir del diámetro de partícula promedio del material de excavación.

2. Adoptar un valor para el coeficiente de Manning y la relación ancho de

fondo con la profundidad de flujo. Para canales erosionables la US Bureau of Reclamation recomienda un valor igual a 4.

3. Estimar un valor de la fuerza tractiva permisible sobre el lecho del

canal para el tamaño de partícula promedio.

4. Determinar la relación de fuerza tractiva (k) para el cual se debe seleccionar el ángulo de reposo del material y el talud.

38

5. Determinar la fuerza tractiva permisible sobre la inclinación del talud

L por fL 4.56

Previamente se debe determinar la fuerza tractiva unitaria de fondo permisible.

6. Determinar la pendiente del canal el cual no debe exceder la fuerza tractiva unitaria permisible. Asuma previamente un valor para la profundidad del flujo (y)

Para los taludes : gyS L 75.0/ 4.57

Para la base del canal: gyS f / 4.58

Seleccionar el mínimo valor para pendiente del canal.

7. Determinar el ancho de fondo del canal y la descarga usando la formula de Manning.

8. Comparar la descarga calculada con la descarga dada. Si los dos

valores son diferentes repetir los pasos 6,7 y 8 con otros valores para la profundidad del flujo y calcular las descargas hasta que estos sean razonablemente iguales.

c) Diseño de canales no erosionables Los canales se revisten por las siguientes razones:

Permite el transporte de agua a altas velocidades a través de terreno con excavaciones profundas o difíciles en forma económica.

Permite el transporte de agua a alta velocidad con un costo reducido de construcción.

Disminuye la infiltración, conservando el agua y reduciendo la sobrecarga en los terrenos adyacentes al canal.

Reduce el costo anual de operación y mantenimiento.

Asegurar la estabilidad de la sección transversal del canal Procedimiento

1. Estimar el coeficiente de Manning y el talud de acuerdo al tipo de

material de excavación y al tipo de material de revestimiento.

2. Asumir un valor inicial para el tirante del flujo

3. Determinar el ancho de fondo del canal a partir de la siguiente relación:

zzy

b 212

4. Calcular el caudal Q con la formula del flujo uniforme.

5. Comparar la descarga calculada con la descarga de diseño. Si estos dos valores son diferentes, repetir los pasos del 3 al 5 con otros valores del tirante de flujo hasta que la descarga dada sea igual que la descarga de diseño.

39

2.7 Ejemplos de aplicación 1. Un proyecto de riego de 3500 ha requiere diseñar un canal de conducción

principal. Del estudio de suelo se sabe que el canal será excavado sobre un material ligeramente suelto por lo que se adoptará un talud Z = 1.5 y este será revestido con concreto sin pulir. Del estudio de necesidades de agua para los cultivos se concluye que el módulo de riego en el área del proyecto es de 1.6 l/s/ha. Además se requiere que el canal conduzca 1400 lps para consumo de animales y 3000 lps para consumo humano. Del estudio de topografía se sabe que la pendiente del canal será de 1.5 por mil.

Solución

Cálculo del Caudal de Diseño

Módulo de riego 1.6 l/s / ha

Q1 = 1.6 ha

sl / x 3500 ha = 5.60 m3/s

Q2 = 1400 l/s = 1.4 m3/s

Q3 = 3000 l/s = 3.0 m3/s

Qd = 5.60 + 1.40 + 3.00 = 10 m3/s.

Z = 1.5

n = 0.016

So = 1.5 %

Procedimiento:

1) n = 0.016 ; Z = 1.5

2) Asumiendo y = 1.0

3) ZZy

b 212

6055.05.15.11)0.1(2 2 b

4) A = by + m y2 = 0.605 (1.0) + 1.5 (1.0)2 = 2.105

P = 210.45.110.12605.012 22 myb

R = 5.0210.4

105.2

20.3105.2.0015.0.5.0016.0

1..

1 2/13/22/13/2 ASRn

Qc

m3/s

QdQc

Tabulando las iteraciones se tiene:

y b A P R Q Qd

40

m m m2 m m m3/s

m3/s

1.0

0.605 2.105 4.210 0.5 3.20 10.0

1.5

0.908 4.737 6.316 0.75 9.46 10.0

1.55

0.938 5.057 6.526 0.775 10.32 10.00

1.52

0.920 4.864 6.400 0.76 9.80 10.00

1.54

0.932 4.992 6.484 0.77 10.15 10.00

6.10 m

0.932 m

1

1.5

1.54 m

0.45m

41

2. Diseñar un canal de drenaje que evacuara flujo superficial y flujo subterráneo. El componente del flujo superficial es del orden del 10% del agua de riego que aplica en un área de 10000 ha siendo el módulo de riego de 1.5 l/s/ha. El componente del flujo subterráneo en épocas de mayor recarga es del orden de 0.002 m/día. El canal será excavado sobre arena fina coloidal. Esquematice la sección transversal del Dren colector sabiendo que el drenaje subterráneo es a través tuberías enterradas a una profundidad de 1.0 m de la superficie del suelo. Además considere dm

= 12 mm, = 28°, además considere que el esfuerzo de corte permisible

en el lecho es f = 9.6 N/m2 .

Solución:

Cálculo del caudal de diseño.

smslxhaxha

slQ /5.1/15001.010000

/5.1 3

1

smsms

diax

ha

mxhax

dia

mQ /4.2/314.2

86400

1

1

1000010000002.0 33

2

2

smQ /9.34.25.1 3

3

Método de la velocidad máxima permisible:

1) Estimamos n = 0.020 ; Z = 2.0 y Vmax = 0.762 m/s (Tabla 4.4)

asumimos S0 = 0.0005 (suelos sueltos

Tabla 2.4 Velocidades máximas permisibles para diferentes tipos de material

Agua que transporta

Agua limpia Limos coloidales

Material n V, o V, o

pies/s lb/pie pies/s lb/pie

Arena fina coloidal 0.020 1.50 0.027 2.50 0.075

Marga arenosa no coloidal 0.020 1.75 0.037 2.50 0.075

Marga limosa no coloidal 0.020 2.00 0.048 3.00 0.11

Limos aluviales no coloidales 0.020 2.00 0.048 3.50 0.15

42

Marga firme ordinaria 0.020 2.50 0.075 3.50 0.15

Ceniza volcánica 0.020 2.50 0.075 3.50 0.15

Arcilla rígida muy coloidal 0.025 3.75 0.26 5.00 0.15

Limos aluviales coloidales 0.025 3.75 0.26 5.00 0.46

Esquistos y subsuelos de arcilla dura 0.025 6.00 0.67 6.00 0.46

Grava fina 0.020 2.50 0.075 5.00 0.67

Marga gradada a cantos rodados, no

coloidales 0.030 3.75 0.38 5.00 0.32

Limos gradados a cantos rodados

coloidales 0.030 4.00 0.43 5.50 0.66

Grava gruesa no coloidal 0.025 4.00 0.30 6.00 0.67

Cantos rodados y ripios de cantera 0.035 5.00 0.91 5.50 1.10

Fuente: Ven te Chow Hidráulica de canales abiertos

2)

2/3

2/1

max

oS

VnR

562.0)6815.0()0005.0(

762.002.0 2/3

2/3

2/1

xR

3) 2

max

118.5762.0

9.3m

V

QA

4) mR

AP 106.9

562.0

118.5

5) 118.52 Zyby

106.912;118.52 22 Zybyby

1ra. Iteración

118.52 2 yby

ybyb 4724.4106.9106.952

118.52472.4106.9 22 yyy

0118.5106.9472.2 2 yy

43

472.22

118.5472.24106.9106.9 2 y

mbmy

my

011.6 , 692.0¨

9915.2´

Tabulando las iteraciones:

S

Rm

Am2

Pm

ym

bm

b/y

b/y

Recomenda

do

0.0005 0.562 5.118 9.106 0.692 6.011 8.68 4.0

0.00045 0.608 5.118 8.417 0.792 4.875 6.15 4.0

0.00048 0.580 5.118 8.824 0.728 5.568 7.64 4.0

0.0004 0.665 5.118 7.696 0.962 3.393 3.52 4.0

0.00042 0.641 5.118 7.984 0.881 4.044 4.50 4.0

Método de la Máxima fuerza tractiva unitaria

1) Z = 2 dm = 12 mm = 28° ; = 26.5°

Se debe comprobar que: <

2) n = 0.020

4y

b

3) Estimar el valor del valor de la fuerza tractiva permisible en el lecho para el tamaño de partícula promedio. Para este ejemplo es dato.

dm = 12 mm f = 9.6 N/m2

También se puede estimar con la siguiente formula empírica:

f = 0.080 d15 y haciendo d15≈dm se obtiene:

F = 0.080(12) = 0.961 kgf/m2 9.42 N/m2

L = K . f

944.4

6844.5106.9y

44

310.028

5.2611

2

2

2

Sen

Sen

Sen

SenK

L = 0.31 (9.42) = 2.92 2m

N

4) Asumir un valor para el tirante; en este caso y = 0.8m

00049.0

8.08.9100075.0

92.2

75.02

2

m

Nm

N

ygS L

0012.0

8.08.91000

42.9

2

2

m

Nm

N

ygS

f

5) mby

b2.38.044

A = by + Zy2 = 3.2 (0.8) + 2.0 (0.8)2 = 3.84 m2

P = b + 2.472 y = 3.2 + 2.472 (0.8) = 5.177 m

R = 0.741 m

smQ /48.384.3.00049.0.741.0.02.0

1 32/13/2

smQsmQdc

/9.3/48.3 33 dc

QQ

Tabulando las iteraciones:

y

b

F

N/m2

K

L

N/m2

Y

m

SL

10-4

SF

10-3

b

m

A

m2

P

m

R

m

Qc

m3/s

Qd

m3/s

4

9.42 0.31 2.92 0.8 4.9 1.2 3.2 3.84 5.177 0.741 3.48 3.9

45

Finalmente:

3.0 FLUJO DE FLUIDO EN TUBERIAS

3.1 Ecuación de la energía - fuerzas de resistencia La solución de los problemas prácticos del flujo en tuberias, resulta de la aplicación del principio de la energía, la ecuación de continuidad y los principios y ecuaciones de la resistencia de fluidos.

La resistencia al flujo en los tubos, es ofrecida no solo por los tramos largos, sino también por los accesorios de tuberías tales como codos y válvulas, que disipan energía al producir turbulencias a escala relativamente grandes.

La ecuación de la energía para el movimiento de fluidos incompresibles en tubos es:

212222

1111

22fhZ

g

VPZ

g

VP

3..1

Donde:

4

9.42 0.31 2.92 0.9 4.4 1.0 3.6 4.86 5.824 0.824 4.50 3.9

4

9.42

0.31

2.92

0.85

4.6

1.3

3.40

4.335

5.5001

5.5001

3.96

3.9

1.0 m

0.25 m

0.85 m

3.40m

Dren subterráneo

46

FIGURA 3.1 Energía de un flujo en conductos cerrados.

LET : Línea de energía total.

LP : Línea piezométrica

H : Perdidas de energía 1,2

1, 2 : Coeficiente de Coriolis

Vi2/2g : Cabezas de velocidad

Pi/g : Cabezas de presión

τ0 : Esfuerzo cortante

Zi : Cabezas de posición

θ : Ángulo de inclinación

L : Separación entre dos puntos.

En los problemas prácticos a tiende a cancelarse por las siguientes razones:

1. En flujos turbulentos apenas es ligeramente mayor a uno.

2. Aunque en un flujo laminar es grande, las cargas de velocidad son despreciables en comparación con los otros términos.

3. tiende a cancelarse, pues aparece a ambos lados de la ecuación, y se considera que su variación es poca a lo largo del conducto.

Por lo tanto la aplicación de esta ecuación se basa en un entendimiento de los factores que afectan a las pérdidas de energía y de los métodos que se disponen para calcularla. Para flujo permanente, la ecuación de fuerzas entre dos puntos a lo largo del conducto esta dada por:

3.2

47

3.3

3.4 Donde:

Fp son las fuerzas debidas a la presión, F´w es la componente del peso del

fluido, F0 es la fuerza de oposición y i es el coeficiente de Boussinesq.

Donde el coeficiente , se ha simplificado bajo las mismas suposiciones que

el coeficiente . Para sección constante (A1 = A2), en la longitud L, se pueden simplificar las ecuaciones, sabiendo que V1 = V2. De la ecuación de la energía se obtiene:

2121

fhZPPP

3.5

fhZP

3.6

Donde - 2-Z1.

-F´w + F0 3.7 Ecuaciones que relacionan la caída de presión con las pérdidas de energía, las fuerzas que se oponen al movimiento y la componente del peso del fluido

El peso del fluido entre las do

Finalmente la ecuación de momento queda:

0A

FZP o

3.8

ecuación anterior:

00 A

FZhZ f

3.9

De donde la fuerza de oposición al movimiento resultante de la energía es:

AhF f0 3.10

3.2 Flujo laminar Para este tipo de flujo es la viscosidad del fluido la que se opone al movimiento al generar esfuerzos cortantes viscosos según la ley de Newton

dy

dV

3.11

po dAdF

3.12

Para una longitud L y una distancia r implica que:

48

FIGURA35.2 Distribución de velocidades en flujo laminar.

3.13

3.14

3.15

El área sobre la cual actúan las presiones es 2r , por lo tanto:

3.16

3.17

3.18

3.19

Donde :

3.20

49

Ecuación con la cual se obtiene la velocidad del fluido en cualquier distancia r medida desde el eje y su variación es parabólica, por lo cual la velocidad máxima estará donde esta cambie de pendiente, o sea:

máx

3.21

El caudal circulante para el área considerada será dQ = V dA

3.22

Finalmente :

3.23

Esta última relación es conocida como la ecuación de Hagen-Poiseuille

Despejando hf de la ecuación 5.23 y considerando una tubería de sección circular a flujo lleno:

3.24

Simplificando convenientemente:

3.25

y ordenado términos se obtiene la ecuación de Darcy-Weisbach:

3.26

50

La velocidad media ( ) de la conducción = Q/A será:

L

hfR

RL

hfRV

88

2

2

4

3.27

Y la relación de velocidades 2max V

V

3.28

3.3 Diagrama de velocidades y esfuerzos

FIGURA3.3 Distribución de esfuerzos y velocidades en flujo laminar.

Para flujo laminar en tuberías se concluye:

1. No hay velocidad adyacente al límite sólido. 2. El esfuerzo de corte se da por la ecuación de Newton sobre

viscosidad. 3. El factor de fricción es inversamente proporcional a la primera

potencia del número de Reynolds. 4. La relación entre velocidades máximas y media es dos.

3.4 Flujo turbulento Velocidad de fricción: V* En el flujo turbulento las fuerzas que se oponen al movimiento están caracterizadas por la acción que ejercen las rugosidades o asperezas de las paredes de la

conducción, en tanto que la viscosidad del flujo no ejerce una oposición importante.

51

0 : Esfuerzo máximo. F0 0 3.29

La relación Aflujo/p, se conoce como radio hidráulico RH, o sea RH = A/p. Para un conducto circular a flujo lleno, se encuentra que RH = D/4.

3.30

Al reemplazar la expresión de Darcy - Weisbach de pérdidas en la ecuación anterior se obtiene:

3.31

Estas ecuaciones relacionan el corte en la pared (t 0) y la densidad del fluido con el factor de fricción y la velocidad media del conducto. Dado que f es adimensional, el

término

o debe tener las mismas unidades de velocidad y esta se conoce como

la velocidad de fricción:

3.32

3.5 Distribución de esfuerzos De la expresión de esfuerzos, para un tubo de corriente de radio r concéntrico con el eje de un tubo cilíndrico, se obtiene que:

rL

h f

2

3.33

Lo que demuestra que en un flujo establecido en un tubo, el esfuerzo de corte varía linealmente según la distancia a partir del eje.

Como esta relación se ha obtenido sin considerar el régimen de flujo, es por lo tanto aplicable a laminar o turbulento.

52

FIGURA 3.4 Distribución de esfuerzos en flujo turbulento.

Del diagrama se obtiene:

3.34

3.35

Según esta expresión se espera que el t min Vmáx.

Para flujo turbulento se igualan las expresiones para el esfuerzo en su variación lineal con la ecuación de Prandlt-Von Karman.

3.36

Reemplazando y asumiendo:

3.37

53

3.38 Al extraer la raíz cuadrada y sabiendo que

3.39

3.40 Al resolver esta ecuación, con los límites:

Se obtiene:

3.41

Esta ecuación no concuerda con las mediciones realizadas por Nikuradse para tubos lisos y de rugosidad artificial, las cuales demuestran que todos los perfiles de velocidad se podrían caracterizar por la ecuación:

5.42

Relación de velocidades

FIGURA 3.5 Distribución de velocidades en flujo turbulento.

54

Para obtener la relación de velocidades se asume que el caudal circulante por toda el

área de flujo con una velocidad (Vmáx - ) debe ser igual al integral del caudal que pasa por un anillo, a una distancia r, con una velocidad (Vmax -

3.43 La cual se evalúa con los siguientes reemplazos:

3.44 Integrando

5.45 Al evaluar el corchete se obtiene que cuando y = 0 el valor del término entre corchetes

-3R2/4, por lo tanto:

3.46 Reemplazando:

3.47

Se obtiene:

3.48 De donde:

3.49

3.50

Sin embargo existe una mejor concordancia con la información experimental cuando se sustituye 3.75 por 4.07, es decir:

Vmáx = + 4.07V*. 3.51

Expresión para flujo turbulento.

55

3.6 Flujo turbulento en tubos lisos

De la ecuación para perfiles de velocidad:

3.52

Expresada para logaritmos decimales se obtiene:

3.53

Que se puede dar como:

3.54

De las pruebas de Nikuradse para tubos lisos se encuentra que A= 5.50; por lo tanto:

3.55

A partir de esta ecuación se puede derivar una relación para el factor de fricción y el número de Reynolds para flujo turbulento. en tubos lisos al reemplazar:

fLogRf

03.203.11

3.56

La cual para que este de acuerdo con la experimentación se ha transformado en:

3.57

3.7 Flujo turbulento en tubos totalmente rugosos

De la ecuación obtenida para tubos lisos:

3.58

No dada en función de Reynolds pero si con la rugosidad:

56

3.60

Nikuradse demostró que A1 = 8.48 y constante, por lo tanto

3.61

Para números de Reynolds altos y tubos rugosos, la ecuación del factor de fricción esta dado por:

3.62

La cual se ajustó experimentalmente como:

3.63

3.8 Flujos de transición

Cuando se grafican los valores de

VV

V

Vloglog75.5

*

*

max se obtienen los

rangos para los cuales las tuberías se comportan como lisas o rugosas y su respectiva transición.

Para flujo liso

10fRD

3.64

Para flujo de transición

20010 fRD

3.65

Para flujo rugoso

fRD

200

3.66

3.9 Perdidas de carga

La pérdida de carga está relacionada con otras variables fluidodinámicas según el tipo

de flujo, laminar o turbulento. Además de las pérdidas de carga lineales (a lo largo de

tramos rectos de conductos), también se producen pérdidas de carga singulares en

otros elementos de la instalación como codos, ramificaciones, válvulas, etc.

3.9.1 Pérdidas lineales Las pérdidas lineales son las producidas por las tensiones viscosas originadas por la

interacción entre el fluido y las paredes de una tubería o un conducto. En un tramo de

57

tubería de sección constante, la pérdida de carga se puede obtener mediante un

balance de fuerzas en la dirección del flujo:

fuerzas de presión + fuerzas de gravedad + fuerzas viscosas= 0

0444

21

22

2

2

1

DLL

zzDgL

Dp

Dp w

3.67

gD

Lh

g

ppzz w

f

42121

3.68

Las características de los esfuerzos cortantes son muy distintas según el flujo sea

laminar o turbulento. En el caso de flujo laminar, las diferentes capas del fluido

discurren ordenadamente, siempre en dirección paralela al eje de la tubería y sin

mezclarse, siendo la viscosidad el factor dominante en el intercambio de cantidad de

movimiento (esfuerzos cortantes). En flujo turbulento, en cambio, existe una continua

fluctuación tridimensional en la velocidad de las partículas (también en otras

magnitudes intensivas, como la presión o la temperatura), que se superpone a las

componentes de la velocidad. Este es el fenómeno de la turbulencia, que origina un

fuerte intercambio de cantidad de movimiento entre las distintas capas del fluido, lo

que da unas características especiales a este tipo de flujo. En la siguiente figura se

muestra la distribución de velocidades en régimen de flujo laminar y turbulento.

58

El tipo de flujo, laminar o turbulento, depende del valor de la relación entre las fuerzas

de inercia y las fuerzas viscosas, es decir del número de Reynolds:

D

QDDQVDVD 4)/4(

/Re

2

3.69

Siendo ρ la densidad del fluido, v la velocidad media, D el diámetro de la tubería, μ la

viscosidad dinámica o absoluta del fluido, ν la viscosidad cinemática del fluido y Q el

caudal circulante por la tubería. Para una tubería, cuando Re<2000 el flujo es laminar;

si Re>4000 el flujo se considera turbulento, entre 2000 < Re < 4000 existe una zona

de transición.

En régimen laminar, los esfuerzos cortantes se pueden calcular de forma analítica en

función de la distribución de velocidad en cada sección (que se puede obtener a partir

de las ecuaciones de Navier-Stokes), y las pérdidas de carga lineales hf se pueden

obtener con la llamada ecuación de Hagen-Poiseuille (realizaron ensayos sobre flujo

laminar hacía 1840), que muestra una dependencia lineal entre la pérdida de carga y

el caudal:

QDg

L

gD

Lh f 42

12832

3.70

En régimen turbulento, no es posible resolver analíticamente las ecuaciones de

Navier-Stokes. Tal y como se justificó al principio de este apartado, las pérdidas de

carga dependen de la tensión cortante en la pared. Se pueden relacionar las variables

implicadas mediante la relación siguiente:

,,,, DVFw 3.71

y a partir de la aplicación del teorema Pi de Buckingham se puede transformar en:

DfV

w /Re,2

3.72

59

Teniendo en cuenta la relación entre la tensión cortante en la pared y las pérdidas de

carga (5):

g

VL

Dh

VL

gDhDf

V

ffw

228

8/Re,

8222

3.73

Despejando las pérdidas de carga, se obtiene la ecuación de Darcy-Weisbach:

2

52

2 8

2Q

Dg

fL

g

V

D

Lfh f

3.74

Donde:

L : Longitud del tramo de tubería [m].

D: Diámetro del conducto [m].

V : Velocidad promedio del flujo [m/s]

g : Gravedad [m/s2]

f : Factor de fricción [adimensional]

Es de anotar que el valor estándar para la gravedad es de 9.80665 m/s2 y varía de un

mínimo de 9.77 m/s2 a u n máximo de 9.83 m/s2 en la tierra. Se utilizará un valor

nominal de 9.81 m/s2 a menos que se indique otra cosa. Esta ecuación nos sirve para

calcular las pérdidas de energía para todo tipo de flujo, por eso es conocida como la

ecuación universal.

El parámetro adimensional f, denominado factor de fricción o factor de Darcy que, en

general, es función del número de Reynolds y de la rugosidad relativa de la tubería: f =

f (Re,Kr )

En régimen laminar también es valida la ecuación de Darcy-Weisbach, en cuyo caso el

factor de fricción depende exclusivamente del número de Reynolds, y vale:

Re

64min arLaf 3.75

En régimen turbulento el factor de fricción depende, además de Re, de la rugosidad

relativa: εr=ε/D, donde ε es la rugosidad de la tubería, que representa las alturas

promedio de las irregularidades de la superficie interior de la tubería. Según pusieron

60

de relieve Prandtl y von Karman, esa dependencia está determinada por la relación

entre la rugosidad y el espesor de la subcapa límite laminar, que es la zona de la capa

límite turbulenta, directamente en contacto con la superficie interior de la tubería; en

esta subcapa las fuerzas viscosas son tan grandes frente a las de inercia (debido al

alto gradiente de velocidad) que el flujo en ella es localmente laminar. Cuando el

espesor de la subcapa límite laminar es grande respecto a la rugosidad, la tubería

puede considerarse lisa y el factor de fricción sólo depende del número de Reynolds,

según la expresión empírica (Prandtl, 1935):

ff Re

51.2log2

1 3.76

Para números de Reynolds grandes (régimen turbulento completamente

desarrollado) la importancia de la subcapa límite laminar disminuye frente a la

rugosidad, y el coeficiente de fricción pasa a depender sólo de la rugosidad relativa

(von Karman, 1938):

7.3log2

1 rK

f 3.77

Colebrook y White (1939) combinaron las ecuaciones de von Karman y de Prandtl, y

propusieron una única expresión para el factor de fricción que puede aplicarse en todo

el régimen turbulento:

f

DK

f

s

Re

51.2

71.3

/log2

1 3.78

Esta ecuación tiene el inconveniente de que el factor de fricción no aparece en forma

explicita, y debe recurrirse al calculo numérico (o a un procedimiento iterativo) para su

resolución. A partir de ella, Moody desarrolló un diagrama que lleva su nombre, en el

que se muestra una familia de curvas de isorugosidad relativa, con las que se

determina el factor de fricción a partir de la intersección de la vertical del número de

Reynolds, con la isocurva correspondiente.

Posteriormente otros autores ajustaron los datos experimentales y expresaron el factor

de fricción en función del número de Reynolds y de la rugosidad relativa con una

fórmula explícita:

61

Barr

89.0Re

1286.5

7.3log2

1 rK

f 3.79a

Haaland:

Re

9.6

7.3log8.1

111.1

rK

f 3.79b

Moody:

3/16

Re

102001001375.0 rKf 3.79c

Para conductos no circulares, es posible utilizar las expresiones deducidas para

conductos circulares sustituyendo el diámetro D por el denominado diámetro

hidráulico, Dh, que se define de la siguiente manera:

MojadoPerímetro

lTransversaSecciónDh

3.80

Tabla 3.1 Valores de la Rugosidad absoluta de algunas tuberías

Material Rugosidad absoluta Ks (mm)

Acero bridado 0.9-9

Acero comercial 0.45

Acero galvanizado 0.15

Concreto 0.3-3

Concreto bituminoso 0.25

CCP 0.12

Hierro forjado 0.06

Hierro fundido 0.15

Hierro dúctil(1) 0.25

Hierro galvanizado 0.15

Hierro dulce asfaltado 0.12

GRP 0.030

Polietileno 0.007

PVC 0.0015

62

Formula de Hazen -Williams

En el siglo antepasado e inicios del pasado se obtuvieron muchas fórmulas empíricas. Cada una de estas representa un modelo matemático que se aproxima a los valores de velocidad y fricción obtenidos en el laboratorio, pero no puede asegurarse que este modelo sea válido por fuera del rango de experimentación. Sin embargo algunas de estas formulas dan resultados aceptables y rápidos dentro de sus rangos. Una de estas fórmulas fue la propuesta por Hazen y Williams en 1903. Con esta se propuso “corregir” el inconveniente presentado con la ecuación de Colebrook – White (Ec. 14), pues el factor de fricción varía con el material, el diámetro y la velocidad, haciendo, a principios del siglo XX, engorrosa su averiguación.

La expresión original propuesta es entonces:

54.063.0318.1 fH SRCV 3.81

En donde: V : Velocidad del flujo en pies/s

C : Constante de Hazen – Williams

RH: Radio hidráulico en pies

Sf : Cociente hf/L, pérdida de energía en la longitud

del conducto en pies/pies.

El uso del radio hidráulico nos permite aplicar la fórmula tanto en conductos circulares

como en los no circulares.

Para convertir la ecuación de Hazen – Williams al SI debemos pasar la velocidad a

m/s y el radio hidráulico a metros.

54.0

63.08492.0

L

hRCV

f

H 3.82

Si despejamos hF en la ecuación 3.8, y la dejamos en función del caudal obtenemos

otra forma de la ecuación muy útil en los cálculos:

87.4852.1

852.167.10

DC

LQh f

5.83

Esta fórmula es aplicable con las siguientes restricciones:

Velocidades de flujo menores de 3.05 m/s

Conductos de diámetros entre 2 y 72 pulgadas (50 mm y 1800mm)

Agua a 15ºC

Desarrollada únicamente para flujo turbulento

63

3.9.2 Pérdidas Singulares Las pérdidas de carga singular también conocido como perdida de carga secundaria,

en accesorios, local y menores aparecen debido a que en los sistemas de tuberías se

incluyen: válvulas, codos, reducciones, dilataciones, entradas, salidas, flexiones y

otras características que causan pérdidas adicionales, llamadas pérdidas menores.

Para el cálculo de las perdidas menores se usa la ecuación:

g

VKhm

2

2

5.84

En donde: V = Velocidad media del flujo

K = Coeficiente de resistencia

3.9.3 Ejemplos de aplicacion Ejemplo 1: Calcular el factor de fricción “f” para una tubería de 0.1 m de diámetro,

rugosidad absoluta de 0.0000015m y una viscosidad cinemática de 0.00000117 m2/s.

Por la tubería fluye un flujo de 0.12m3/s.

Solución:

Datos:

Q=0.12m3/s

Ʋ=1.15x10-6m2/s

Ks=0.0000015m

D=0.10m

Solución:

Método de suposición verificación

Considerando la ecuación de Colebrook - White

f

D

f Re

51.2

71.3

/log2

1

Y haciendo

0Re

51.2

71.3

/log2

1

f

D

ffF

Tabulado para valores supuestos de f y haciendo una grafica se tiene:

64

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

0,001 0,003 0,005 0,007 0,009 0,011 0,013 0,015 0,017 0,019 0,021 0,023 0,025 0,027 0,029 0,031

F(f)

f de D-W

M. Suposicion-verificacion

f F(f)

0.030 -2.80240494

0.020 -1.46378516

0.018 -1.06955235

0.014 -0.04166329

0.010 1.55124956

0.008 2.7640111

0.005 5.80220173

El valor de f es 0.014, cuando F(f)=0.

Método de Newton Rahpson

Partiendo de la relación: 0Re

51.2

71.3

/log2

1

f

D

ffF

Luego la derivada de F(f) es:

0

71.3

/

Re

51.2

Re

51.2

10ln

25.0´

Dk

f

f

fffF

s

Reemplazando en

)(

)(

1

´

112

fF

fFff

Se obtendrá el valor de f.

Los resultados se muestran en el siguiente cuadro:

65

f1 F(f1) F´(f1) f2

0.030

-

2.80240494

-

96.4121031 0.001

0.001 24.7661631

-

17543.6365 0.002

0.002 12.4590502

-

4404.21163 0.005

0.005 5.55692046

-

1343.96229 0.009

0.009 1.92625392

-

557.035668 0.013

0.013 0.36891909

-

346.887518 0.014

0.014 0.01166854

-

307.675703 0.014

El valor de f es 0.014.

Ejemplo 2: Determinar la perdida de energía para un flujo de 0.125 m3/s, viscosidad

cinemática igual a 1.13x10-6m2/s, a través de un tubo de 300m de largo de acero

remachado (ks=0.003m) de 30 cm de diámetro.

Solución:

Datos:

Q=0.125m3/s

Ʋ=1.13x10-6m2/s

L=300m

Ks=0.003m

D=0.30m

De la ecuación de Darcy - Weisbach: g

V

D

Lfh f

2

2

smx

x

D

QV /77.1

30.01416.3

125.04422

De los datos:

01.03.0

003.0

107.41013.1

30.077.1Re 5

6

D

K

xx

xVD

s

66

Con los valores del número de Reynolds y rugosidad relativa se obtiene el factor de

fricción:

f=0.038

Por lo tanto:

mx

xxg

V

D

Lfh f 084.6

81.92

77.1

30.0

3000381.0

2

22

Ejemplo 3: Se tiene aceite (Ʋ=1x10-5m2/s) que fluye a través de un tubo de fierro

fundido (Ks=0.00025m) con una pérdida de carga de 46.60m en 400m. Determinar el

caudal, si el diámetro de la tubería es 0.20m.

Solución:

Datos:

Q=?

Ʋ=1.10x10-5m2/s

hf=46.60m

L=400m

Ks=0.00025m

D=0.20m

Por continuidad:

VVxVD

xQ 0314.04

2.01416.3

4

22

81.9220.0

40060.46

2

2

2

x

Vxf

g

V

D

Lfh f

fV

4571.0

Los otros parámetros son:

00125.02.0

00025.0

200001010.1

20.0Re

5

D

K

Vx

VxVD

s

67

Se desconocen f y V:

Suponiendo f1=0.020:

Reemplazando en:

smVf

V /781.4020.0

4571.04571.0

00125.02.0

00025.0

1056.9Re781.420000200001010.1

20.0Re 4

5

D

K

xxVx

VxVD

s

Con los valores del número de Reynolds y rugosidad relativa se obtiene el factor de

fricción:

f=0.0218.

Suponiendo f1=0.0218:

Reemplazando en:

smVf

V /579.40218.0

4571.04571.0

00125.02.0

00025.0

1016.9Re579.420000200001010.1

20.0Re 4

5

D

K

xxVx

VxVD

s

Con los valores del número de Reynolds y rugosidad relativa se obtiene el factor de

fricción:

f=0.0233.

Suponiendo f1=0.0233:

Reemplazando en:

smVf

V /429.40233.0

4571.04571.0

68

00125.02.0

00025.0

1086.8Re429.420000200001010.1

20.0Re 4

5

D

K

xxVx

VxVD

s

Con los valores del número de Reynolds y rugosidad relativa se obtiene el factor de

fricción:

f=0.0234.

Por lo tanto V=4.429m/s

smxQ /139.0429.40314.0 3

Ejemplo 4: Dos depósitos de alcohol etílico (ν=1.1x10-6 m2/s) con diferencia de 5m de

elevación están conectados por 300m de tubería de acero comercial (Ks=0.046mm).

¿Qué dimensiones debe tener la tubería para que fluya un caudal de 50 l/s?.

Solución

Datos:

Q=50l/s

Ʋ=1.10x10-6m2/s

L=300m

Ks=0.046mm

H=5m

Ecuación de Energía de 1 a 2:

.2g 2g

f2

2

22

1

2

11 hzg

vpz

g

vp

Como: p1, p2 = patm y v1≈0, v2≈ 2

Entonces:

5m

1

2

69

.f21 hzz

De la ecuación de Darcy-Weisbach:

52

22 8

2 gD

fLQ

g

V

D

Lfh f

Reemplazando datos:

5

2

52

2

81.91416.3

05.030088

xDx

xxfx

gD

fLQh f

Despejando D en función de f:

fD 0124.05

Por otro lado:

222

064.0

1416.3

050.044

DxD

x

D

QV

Se desconocen f, V y D.

Suponiendo f1=0.020:

Reemplazando en:

mDxfD 19.0020.00124.00124.05

smVD

V /773.119.0

064.0064.022

00024.019.0

000046.0

101.3Re1010.1

19.0773.1Re 5

6

D

K

xx

xVD

s

70

Con los valores del número de Reynolds y rugosidad relativa se obtiene el factor de

fricción:

f=0.0143

Suponiendo f1=0.0143:

Reemplazando en:

mDxfD 178.00143.00124.00124.05

smVD

V /020.2178.0

064.0064.022

00026.0178.0

000046.0

1027.3Re1010.1

178.002.2Re 5

6

D

K

xx

xVD

s

Con los valores del número de Reynolds y rugosidad relativa se obtiene el factor de

fricción:

f=0.0141.

Suponiendo f1=0.0143:

Reemplazando en:

mDxfD 178.00143.00124.00124.05

smVD

V /020.2178.0

064.0064.022

00026.0178.0

000046.0

1027.3Re1010.1

178.002.2Re 5

6

D

K

xx

xVD

s

Con los valores del número de Reynolds y rugosidad relativa se obtiene el factor de

fricción:

f=0.0141.

71

Como el f asumido es 0.0141 y el f calculado es 0.0143, podemos afirmar que se ha

logrado la convergencia a la solución de f.

Por lo tanto D= 0.178m, V=2.020m/s y f=0.0141.

El diámetro teórico de 0.178m, es equivalente a 7.12 pulgadas.

Por lo tanto los posibles diámetros comerciales son 6 y 8 pulgadas. Finalmente

adoptaremos el Dcomercial =8pulg. =0.20m.

.

72