Guia

Prof. Dr. Armando Caputi 1

Prof. Dr. João Roberto Gerônimo 2 1 Universidade Federal do ABC

e-mail: armando.caputi@ufabc.edu.br 2 Universidade Estadual de Maringá e-mail: jrgeronimo@uem.br

A. Caputi J. R. Gerônimo

Histórico

O projeto Matemativa – Exposição Interativa de Matemática teve início em 2004 na Universidade Estadual de Maringá (UEM), com apoio do Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq). A primeira exposição do projeto ocorreu em outubro de 2005, durante o evento I Educação Com Ciência, realizado em Maringá pela Secretaria de Educação do Estado do Paraná. Ainda no mesmo mês, mas dessa vez de forma independente, ocorreu a segunda exposição da Matemativa, na Usina de Conhecimento, também em Maringá (PR). Em junho de 2006, o projeto esteve presente no II Educação Com Ciência apresentando uma oficina sobre simetrias, baseada na exposição Matemativa (essa oficina é uma das atividade da III Bienal da Sociedade Brasileira de Matemática).

Atualmente, o projeto consiste em duas exposições temáticas: Geometria das Curvas e Simetrias, totalizando cerca de 50 exhibits (embora alguns desse ainda se apresentem como protótipos). Em fase de desenvolvimento encontra-se também o sítio do projeto: www.matemativa.uem.br, com previsão de implantação para 2007.

Guia da Exposição

Introdução Descrever a matemática em poucas palavras é uma tarefa difícil, talvez até indesejável. Mas uma parte essencial do trabalho do matemático pode ser descrita como sendo a classificação e o estudo de padrões, entendendo-se por padrão qualquer tipo de regularidade que se possa imaginar na mente ou observar no mundo sensível, qualquer tipo de estrutura, de relação ou de ordem. Decerto não haverá consenso em torno dessa concepção, talvez estruturalista demais. Entretanto, é essa a concepção que adotamos para nortear o trabalho que vimos desenvolvendo com a Matemativa – Exposição Interativa de Matemática. Junto com essa concepção do que é a matemática, há uma concepção do que é (ou deveria ser) uma exposição de matemática: não uma aula de matemática, não um livro exposto nas paredes, não uma coleção de jogos com fundo matemático. Para nós, uma exposição de matemática deve colocar à mostra a própria matemática, sem subterfúgios ou camuflagens, buscando sensibilizar os seus visitantes através de uma experiência diferente com os objetos e conceitos matemáticos. Fazendo uso de uma formulação suficientemente clara a um público escolarizado, deve, mais do que fornecer respostas, provocar perguntas e questionamentos. Deve também saber diferenciar-se tanto do contexto escolar quanto do espaço lúdico, apesar de poder ser complementar ao primeiro e fazer uso do segundo. Como colocar em prática essa concepção? Dentre os vários modos possíveis, adotamos dois princípios: por um lado, a estruturação da exposição em setores temáticos homogêneos; por outro, organizar cada setor em “percursos”. Estes seriam conjuntos de exhibits coerentes entre si, todos relacionados a um determinado objeto ou conceito matemático. O primeiro princípio busca evitar um contexto dispersivo e fragmentado, dentro do qual o visitante logo se sentiria desmotivado e perdido. Ao contrário, em um ambiente homogêneo, cada etapa da visita reforça as outras já visitadas, mantendo a motivação e o interesse. Já a adoção dos “percursos” como unidades expositivas, em lugar de cada exhibit separadamente, encontra sua justificativa em uma das principais especificidades da matemática: seu acentuado caráter abstrato. Diferentemente das outras ciências, a matemática não possui, salvo raríssimas exceções, fenômenos a serem exibidos. Os objetos matemáticos são construtos mentais e não permitem, em geral, serem apresentados de modo direto. Daí a necessidade de construir um percurso que conecte diferentes propriedades do objeto ou conceito que queremos “expor”, de modo a permitir que o visitante, através da experiência conjugada dos diferentes exhibits do percurso, tenha alguma percepção do objeto ou conceito exposto. Aos dois princípios acima, há ainda que se acrescentar um outro princípio, já amplamente adotado pela maioria das exposições de caráter científico no Brasil e no mundo: o da interatividade. Mais do que exibir um objeto, ou até

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mesmo solicitar ao visitante que acione o objeto para ver seu funcionamento, a interatividade é pensada, hoje, em um sentido mais forte: o objeto ou experimento só tem lugar com a participação do visitante, como se este fosse parte do objeto em questão. Essa característica tem se mostrado fundamental para o sucesso das exposições científicas em todo o mundo. A exposição Matemativa organiza-se em dois setores temáticos: Geometria das Curvas e Simetrias. O primeiro é centrado quase que totalmente nas curvas clássicas: reta, circunferência e cônicas, fazendo uso também de algumas superfícies quádricas regradas. Conta também com algumas curvas como espirais e ciclóide, com a perspectiva futura de ampliar ainda mais essa classe de curvas. O segundo, em sua versão atual, trata de simetrias planas, fazendo bastante uso de espelhos. Temos a perspectiva de, em um futuro não muito remoto, incluir também as simetrias espaciais. Cada um desses setores foi fortemente inspirado em exposições já existentes. O primeiro, na exposição Oltre il Compasso – La Geometria delle Curve, do museu Il Giardino di Archimede (museu dedicado à matemática, com sede em Priverno e em Florença, Itália). O segundo, na exposição Simmetrie – Giochi di Specchi, organizada pela Universidade de Milão, Itália, e já reproduzida em Portugal pela associação Atractor – Centro Ciência Viva, da cidade do Porto. Em ambos os casos, parte do material exibido é uma reprodução do material dessas exposições. Parte do material é original. Esperamos que essa iniciativa, junto com outras que estarão presentes nesta bienal, acabem por envolver outras instituições para que, em um trabalho coordenado e voltado ao desenvolvimento de exposições dedicadas à matemática, possamos dar mais um passo na melhoria das condições de ensino e aprendizagem da matemática no Brasil. Gostaríamos de agradecer à organização da III Bienal da Sociedade Brasileira de Matemática e à Universidade Federal de Goiás pelo apoio e pela oportunidade de apresentarmos nosso trabalho neste evento. Um agradecimento especial ao Prof. Ronaldo Garcia, por todo seu empenho e dedicação.

Geometria das Curvas

As curvas ocupam um lugar privilegiado no imaginário matemático. Desde a origem da geometria, as curvas permeiam praticamente toda a atividade e pensamento dos matemáticos, que nunca pouparam esforços para estudá-las, classificá-las, medi-las e até excogitar instrumentos para traçá-las. No âmbito das ciências naturais, as curvas também ocupam um lugar de destaque, já que se prestam fortemente à modelação e à descrição de inúmeros fenômenos naturais.

Guia da Exposição

As curvas tratadas neste setor da Matemativa são, quase todas, bem conhecidas de qualquer estudante do ensino médio: retas, circunferências, elipses, parábolas e hipérboles são as protagonistas, acompanhadas de algumas curvas menos famosas, como a espiral de Arquimedes e a ciclóide. O setor inicia colocando o visitante diante de uma pergunta simples: o que é mais fácil traçar: uma reta ou uma circunferência? De posse de uma barbante e uma caneta, o visitante é convidado a fazer suas tentativas. Em breve, ele perceberá que a circunferência é bem mais simples, pois o barbante pode servir como instrumento para traçá-la. Já para traçar

uma reta, o visitante sentirá a falta de uma régua, ou seja, de um perfil (o barbante, para isso, é pouco satisfatório). Existirá algum instrumento para traçar retas? As primeiras peças da exposição tratam de mostrar a evolução das respostas a essa pergunta. Primeiro, algumas soluções

aproximadas, depois duas soluções exatas. Após esse breve passeio por retas e circunferências, o visitante se depara com uma classe um pouco mais geral de curvas, as chamadas seções cônicas: elipses, parábolas e hipérboles. Continuando com a descoberta de novos instrumentos para traçar curvas, vários mecanismos articulados e bielismos para construção de cônicas são apresentados. Alem de traçar as curvas desejadas, os mecanismos e bielismos colocam em evidência algumas propriedades dessas curvas, presentes no próprio funcionamento desses mecanismos.

Dentre as inúmeras propriedades das cônicas, a propriedade de reflexão é uma das mais importantes: Como reflete um espelho parabólico? Por que a antena parabólica é parabólica? Como seria um bilhar elíptico? Após explorar

as perguntas acima através de algumas peças curiosas, o visitante é levado um pouco fora do tema das curvas e acaba diante de algumas superfícies. Logo ele verá, porém, que tais superfícies têm muito em comum com as

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cônicas, pois estamos falando do hiperbolóide de rotação e do parabolóide hiperbólico. E mais surpreendentemente, descobrirá que essas superfícies, apesar de sua aparência curva, podem ser formadas por retas: são as chamadas superfícies regradas.

Concluindo esse setor, o visitante é levado a conhecer algumas curvas mais complexas: a espiral de Arquimedes e a ciclóide. Esta é apresentada através de dois problemas famosos: o problema da curva tautócrona e o da curva braquistócrona.

Simetrias do plano

A simetria é um padrão importante presente tanto na natureza quanto na arte. Está presente nos seres vivos, nos cristais, em diversas pinturas, desenhos, esculturas e até mesmo na música. Mas o que um matemático entende por simetria? Ou melhor, como um matemático traduz, em sua linguagem própria, esse conceito quase universal de harmonia e equilíbrio? Neste setor da Matemativa, serão tratadas somente as simetrias planas, mas de modo bastante completo. Ao observarmos as figuras simétricas com o devido cuidado, percebemos que há algum tipo de regularidade que as caracteriza. A questão, para o matemático, passa a ser, então, achar um modo de descrever essa regularidade para, em seguida, classificar os diferentes tipos de simetrias possíveis, a partir dessa descrição. Afinal, o que um matemático entende por figura simétrica? É a essa pergunta que o visitante é convidado a encontrar a resposta, através das duas primeiras peças deste setor. São duas mesas ilustradas com um mesmo desenho simétrico. Em uma das mesas, pequenos triângulos (todos iguais) reproduzem uma porção

do desenho original. Manipulando esses triângulos, o visitante poderá perceber como a figura toda pode ser reproduzida a partir desse pequeno padrão que se repete. Na outra mesa, pedaços relativamente grandes de acrílico também reproduzem parte do desenho original. Dessa vez, movendo oportunamente essas peças de acrílico,

o visitante perceberá como após certos movimentos o desenho permanece inalterado. Esses dois experimentos correspondem a duas concepções (equivalentes) de simetria usadas em matemática.

Guia da Exposição

O elemento de destaque das primeiras duas peças são as chamadas isometrias do plano. As quatro peças seguintes proporcionam a possibilidade de explorar um pouco mais esses objetos matemáticos. Novamente fazendo uso de mecanismos articulados e de bielismos, o visitante pode explorar as quatro isometrias planas: translação, rotação, reflexão e glissoreflexão. As peças que se seguem, estão divididas conforme a classificação típica

das simetrias planas: rosetas, frisos e papéis de parede. Em uma primeira mesa, vários jogos de espelhos permitem a exploração de rosetas e frisos, além de algumas câmaras quadradas para a produção de papéis de parede. Em seguida, quatro câmaras de

espelhos – uma retangular e três triangulares – permitem a produção de diferentes tipos de papéis de parede (um para cada câmara). Aqui, o visitante é desafiado a reproduzir algumas figuras propostas, a partir da observação da forma como cada câmara produz o

padrão simétrico. Após o desafio, em um momento lúdico, o visitante poderá se ver dentro de uma caixa triangular simulando um caleidoscópio gigante. A essa altura, o visitante já percebeu a grande variedade de possibilidades das simetrias. E chegou a hora de tomar ciência de que, na verdade, não são tantas assim as possibilidades. Há somente 7 tipos diferentes de frisos e 17 tipos diferentes de papéis de parede. Há infinitas rosetas, é verdade, mas todas elas se encaixam, essencialmente, em somente

duas classes (a dos grupos cíclicos e a dos grupos diedrais). O visitante é apresentado à classificação completa das simetrias do plano e, de posse disso, convidado a reconhecer a classe de algumas figuras simétricas, usando alguns mecanismos simples que têm como finalidade ajudar a perceber as isometrias presentes em cada padrão simétrico. Concluindo esse setor, os computadores trazem dois programas: SIMIS e Reflexão de Rosto. Este último tem um caráter mais lúdico: o visitante que se dispuser a tirar uma foto sua, verá seu rosto de quatro modos diferentes: original, refletido como no espelho, refletido pelo lado direito, refletido pelo lado esquerdo. Desse modo, verá quanto seu rosto é realmente simétrico. Já o programa SIMIS proporciona a possibilidade de produzir figuras

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simétricas de todos os padrões simétricos. Ele é organizado conforme a classificação das simetrias, de modo que o visitante, ao utilizá-lo, terá a ocasião de consolidar os conhecimentos porventura adquiridos durante a exposição.

Créditos

CONFECÇÃO DOS EXHIBITS UEM: Adão Fernandes; Aparecido Caetano da Silva; Claudelino

Bergamasco; Edson Caetano da Silva; Flávio Aparecido Gravina; Isaac Tonini; Jair Spurio Garcia; José Aparecido Solego; José Francisco

Pereira; Jurandir Alves Pereira; Márcio Hideki Babata; Márcio Justino; Osvaldo Santa Rosa; Valdir Socorro Ribeiro.

MUDANDO A MADEIRA: Antonio J. Marques e Júlia Cristina Cegenta METALÚRGICA TUIUTI: José Alves de Souza

ARTE

Costa Galli Propaganda

AGRADECIMENTOS Aos alunos e alunas que colaboraram com o desenvolvimento do projeto

Ana Costa Galli e equipe (Costa Galli Publicidade) A todos os monitores da exposição

AGRADECIMENTOS ESPECIAIS

Prof.a Maria Dedò (Università degli Studi di Milano) Prof. Manuel Arala Chaves (Atractor – Portugal)

Rosalia Vargas (Ciência Viva – Portugal)

REFERÊNCIAS PRINCIPAIS Simmetrie – Giocchi di specchi (Itália)

Oltre il Compasso – La geometria delle curve (Itália) Matemática Viva (Portugal)

Guia da Exposição

Apoio:

UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS

SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ

PRÓ-REITORIA DE EXTENSÃO E CULTURA

PRÓ-REITORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO