Gustavo Solcia

Universidade de Sao PauloInstituto de Fısica de Sao Carlos

Iniciacao Cientıfica

CONCORRENDO AO PREMIO

OTIMIZACAO DOS PARAMETROS DEREGULARIZACAO DA TRANSFORMADA INVERSA DE

LAPLACE

Gustavo Solcia1a, Elton Tadeu Montrazi1, Everton Lucas-Oliveira1, Tito JoseBonagamba1, and Fernando Fernandes Paiva1

1Instituto de Fısica de Sao Carlos, Universidade de Sao Paulo, CP 369, 13560-970,Sao Carlos, SP, Brasil.agustavo.solcia@usp.br

1 IntroducaoA relaxometria em meios porosos, por meio da ressonancia magnetica, e utilizada como um metodo

para a obtencao de informacoes que compoem um determinado meio poroso, dada a correlacao entrea geometria dos mesmos e a distribuicao de tempos T2 [3]. Atraves da sequencia Carr-Purcell-Meiboom-Gill (CPMG), a magnetizacao multi-exponencial pode ser escrita na forma contınua

M(t) =

∫ ∞0

g(T2)exp

(− t

T2

)dT2 + ε(t), (1)

onde nota-se ser um problema mal posto, ja que se trata da solucao de uma integral de Fredholm deprimeiro grau. Sua discretizacao pode ser representada da seguinte forma

Mi =N∑µ=1

g(T2µ)e

−tiT2µ + εi (2)

que acompanha as definicoest = [1, 2, .., N ]teco = ti; i = 1, ..., N

Mi; i = 1, ..., N

εi; i = 1, ..., N

T2µ; µ = 1, ..., η

, (3)

nas quais a notacao utiliza o alfabeto latino para representar os ındices de grandezas mensuraveis eletras gregas para simbolizar os parametros incorporados pelo metodo de regularizacao proposto porTikhonov. Adicionando, entao, um termo de regularizacao ponderado pelo parametro alfa, tomandoo gradiente e rearranjando a equacao [2], e possıvel obter

gµ =(K†iµKiµ + αB†iµBiµ

)−1(MiKiµ)†, (4)

onde o nucleo da transformada (Kiµ) e do operador de regularizacao de segunda derivada (Biµ) sao,respectivamente, escritos da forma

Kiµ =

e−t1T2

1 . . . e−t1T2η

.... . .

...

e−tiT2

1 . . . e−tiT2η

Biµ =

−1 2 1 0 . . . 0 0 0 00 −1 2 1 . . . 0 0 0 0...

. . ....

0 0 0 0 . . . −1 2 1 00 0 0 0 . . . 0 −1 2 1

. (5)

2

Enfim e possıvel perceber que a regularizacao possibilita solucao da distribuicao de tempos T2 apartir da escolha dos parametros α e η. O desafio, nesse caso e determinar o peso do operador deregularizacao, α. Atualmente, existem algumas propostas para isso, como, por exemplo, a utilizacaoda curva L [1]. Entretanto, esse ainda e um problema em aberto na literatura da area. A propostadeste trabalho e ir um pouco alem e otimizar conjuntamente os parametros α e o numero de pontosη da transformada analisando, alem da relacao sinal/ruıdo (SNR), a largura a meia altura (FWHM),a decada temporal e a integral de cada pico que compoe a distribuicao de tempos de relaxacao.

2 MetodosPara analisar a atuacao da transformada e as flutuacoes provocadas pelo numero de pontos e cons-

tante alfa, foi gerado decaimentos exponenciais com distribuicoes de T2 retangulares centradas em5, 0,5 e 0,05 segundos, respectivamente. Foram utilizadas distribuicoes com larguras de 6 e 4 s paraaquela centrada em 5 segundos e mantivemos sua proporcionalidade para as demais decadas tem-porais. Alem disso, as simulacoes foram feitas na relacao sinal ruıdo observada em um experimentorealizado em 2 MHz de 21,74 dB, em duas vezes maior (18,7 dB) e duas vezes menor (24,8 dB).

As caracterısticas das distribuicoes de T2 como a FWHM, a posicao de pico e a soma das amplitudesponto a ponto da transformada serviram como metrica para avaliar o comportamento dos resultadosem um plano de parametros (Figura 1). Assim, criou-se superfıcies onde o eixo adicional no planode alfa e numero de pontos e composto pela variacao relativa entre o valor obtido e o valor simulado(Figura 2). Portanto, o mınimo individual dessas superfıcies indica o melhor par de constantespara determinada caracterıstica da distribuicao. Cada distribuicao de T2 foi gerada mil vezes comum mesmo nıvel de ruıdo. A partir do seu processamento, variando os parametros de interesse,seleciona-se a configuracao de menor variacao relativa aos dados utilizados na simulacao. Essavariacao e medida utilizando a distancia euclidiana entre os pontos simulados e o ponto determinadopela transformada.

(a) Em vermelho e o pontilhado indicamrespectivamente os limites e o centro dodado simulado. A distribuicao obtida estaem azul e serve para a identificacao das me-didas.

(b) Representacao da distribuicao de tempos ponto a pontofeita para identificar a soma das amplitudes.

Figura 1: Exemplos de caracterısticas medidas para a criacao de superfıcies comparativas.

Esta sera definida como a distancia gama e a abordagem estatıstica possibilita a criacao de his-togramas que indiquem o par de parametros com maior recorrencia e que, consequentemente seraconsiderado otimizado. Tendo o valor de alfa e do numero de pontos otimizados, eles sao utilizadospara novamente no processamento de um conjunto de 1000 novos sinais. Para cada sinal processado,os atributos metricos obtidos pela transformada populam um espaco tridimensional composto porlargura meia altura, posicao de pico e somatoria das amplitudes. Para cada interacao, definimosa distancia euclidiana (Figura 3) entre o centroide da nuvem de pontos obtida e a posicao real dodado simulado. Assim, pode-se determinar a incerteza associada a Transformada de Laplace, alemde estimar o numero mınimos de interacoes necessarias para obtencao de parametros estaveis para adistribuicao de interesse.

3 Resultados e DiscussoesA analise dos dados revelou que mudancas na SNR podem provocar flutuacoes nos limiares das

superfıcies obtidas. Essas alteracoes ocorrem, pois, a reducao na SNR pode provocar a perda depontos, no plano de parametros, relacionados a picos unicos, uma pressuposicao sobre nossas distri-buicoes. Consequentemente, isso altera o limiar de separacao dos picos. A variacao mais relevante

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Figura 2: Exemplo de apresentacao das su-perfıcies criadas atraves de caracterısticas das dis-tribuicoes resultantes.

Figura 3: Gama como vetor relativo a posicaodo centroide da nuvem de distribuicoes ( ~Rc) e ao

ponto de caracterısticas simuladas ( ~Rs).

e que excita novas geometrias esta relacionada com a localidade das distribuicoes temporais (Figura4). Isso ocorre devido ao vınculo entre o intervalo entre ecos na sequencia CPMG e a amostragemtemporal do sinal. Assim, exponenciais com decaimentos mais curtos (0,05 s) vao ser definidas pormenos pontos em comparacao a exponenciais mais longas (5 s).

Entre diferentes larguras, a mudanca geometrica esta relacionada ao numero de exponenciais envol-vidas para possıveis ajustes no processo de transformacao. Por isso, as superfıcies podem aparentarmaior estabilidade em determinadas regioes do plano de parametros (Figura 5). Assim, e razoavelque distribuicoes de larguras distintas possuam pares de parametros nao coincidentes.

(a) 1-10 s

(b) 0.1-1 s

(c) 0.01-0.1 s

Figura 4: Superfıcies das caracterısticas das dis-tribuicoes com larguras de 6 segundos e SNR21,7 dB.

(a) 1-10 s

(b) 0.1-1 s

(c) 0.01-0.1 s

Figura 5: Superfıcies das caracterısticas das dis-tribuicoes com larguras de 4 segundos e SNR21,7 dB.

Conforme atuamos o metodo de selecao que visa buscar o ponto da superfıcie minimizado comrelacao ao comprimento do vetor gama, foi possıvel construir histogramas que trazem consigo a

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informacao de maior recorrencia para esses estados (Figura 6). Alem disso, em um estudo feitocom a densidade de 10 exponenciais por segundo de decada, a maioria dos pares mais recorrentes serepetem entre relacoes sinal ruıdo. Com excecao da regiao 0,01-0,1 segundos com SNR de 24,8 dB,cujo par otimizado de parametros foi de alfa igual a dez e numero de pontos igual a quatrocentos, asdemais SNR analisadas foram otimizadas para alfa igual a mil e quinhentos pontos na distribuicao.

(a) Histograma de parametros otimizados para as simulacoes de 10 exponenciais por ordem de grandeza desegundo com SNR 21,7 dB e largura de 6 s.

(b) Histograma de parametros otimizados para as simulacoes de 10 exponenciais por ordem de grandeza desegundo com relacao sinal ruıdo 21.7 dB e largura de 4 s.

Figura 6: Histogramas que marcam a evidencia da recorrencia de parametros otimizados.

As nuvens de pontos para cada otimizacao remetem a todas as possıveis flutuacoes para osparametros escolhidos (Figura 7). Um efeito interessante e que segue a previsao logica quanto a os-cilacoes no decaimento e que conforme aumenta a SNR, a nuvem contrai, diminuindo a instabilidadede possıveis solucoes no espaco de caracterısticas da distribuicao. Portanto, conforme acompanha-seo posicionamento dos pontos a cada reprocessamento do sinal com um novo ruıdo, o modulo do vetorgama conectado entre o centroide da nuvem e os valores simulados estabilizam (Figura 8).

Figura 7: Representacao de nuvem para otimizacao na decada de 1-10 s, largura de 6 e relacao sinalruıdo de 18,7 dB.

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(a) Variacao do vetor gama relativo com evolucao no numero de repeticoes.

(b) Variacao dos componentes do modulo do vetor gama relativo com evolucao no numero de repeticoes

Figura 8: Convergencia do centroide no espaco caracterıstico.

4 ConclusaoOs resultados indicam que mesmo para simulacoes retangulares, um operador de segunda derivada

gera distribuicoes suavizadas que ainda podem servir como base para uma parametrizacao geradorade recorrencia em um plano de parametros. Assim, uma analise das flutuacoes dos estados ja con-siderados otimizados revela que a estabilidade da metrica pode levar a definicao dos erros para atransformada inversa de Laplace atraves das componentes do vetor gama. Portanto esta analiseindica que para sinais reais, seria possıvel obter um resultado estavel para distribuicoes calculadaspelas componentes do centroide no espaco metrico definido neste trabalho. Perspectivas futuras in-cluem tanto analises em simulacoes de distribuicoes mais suaves quanto a transicao para aplicacaodo metodo em sinais reais medidos em laboratorio.

Referencias[1] Frank Bauer and Mark A. Lukas. Comparing parameter choice methods for regularization of

ill-posed problem. 81:1795–1841, 05 2011.

[2] GC Borgia, RJS Brown, and P Fantazzini. Uniform-penalty inversion of multiexponential decaydata: Ii. data spacing, t2 data, systematic data errors, and diagnostics. Journal of MagneticResonance, 147(2):273–285, 2000.

[3] Gamliel Dan and Levanon Haim. Stochastic Processes In Magnetic Resonance. World Scientific,1995.

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