Halliday & Resnick Fundamentos de Física - Campus...
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Halliday & Resnick
Mecânica
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Fundamentos de Física
Volume 1
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Fundamentos de Física – Mecânica – Vol. 1
Centro de Massa e Momento Linear
Capítulo 9
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Fundamentos de Física – Mecânica – Vol. 1
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9-1 Centro de Massa
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Fundamentos de Física – Mecânica – Vol. 1
9-1 Centro de Massa
9.01 Dada a posição de várias partículas em um eixo ou plano, determinar a posição do centro de massa.
9.02 Determinar a posição do centro de massa de um objeto usando princípios de simetria.
9.03 No caso de um objeto bidimensional ou tridimensional com uma distribuição homogênea de massa, determinar a posição do centro de massa (a) dividindo mentalmente o objeto em figuras geométricas simples, (b) substituindo essas figuras por partículas e (c) calculando o centro de massa dessas partículas.
Objetivos do Aprendizado
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9-1 Centro de Massa
O movimento de objetos que giram pode ser complicado (pense em um taco de beisebol)
Entretanto, existe um ponto especial em qualquer objeto para o qual o movimento é simples
O centro de massa do taco descreve uma parábola igual à de uma partícula
Todos os outros pontos do taco giram em torno desse ponto
Figura 9-1
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Definição de centro de massa (CM):
No caso de duas partículas separadas por uma distância d, tomando a origem na posição da partícula 1:
Tomando a origem em um ponto arbitrário:
9-1 Centro de Massa
Eq. (9-1)
Eq. (9-2)
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9-1 Centro de Massa
A posição do centro de massa não depende do sistema de coordenadas escolhido
O centro de massa é uma propriedade das partículas e não das coordenadas
Figura 9-2
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9-1 Centro de Massa
No caso de muitas partículas, podemos generalizar a equação e escrever
em que M = m
1 + m
2 + . . . + m
n.
Em três dimensões, calculamos o centro de massa separadamente para cada eixo:
Eq. (9-5)
Eq. (9-4)
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9-1 Centro de Massa
Mais concisamente, podemos escrever:
No caso de corpos maciços, podemos tomar o limite de uma soma infinita de partículas infinitamente pequenas, ou seja, calcular uma integral!
Calculando separadamente o centro de massa para cada coordenada, escrevemos
Eq. (9-9)
Eq. (9-8)
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9-1 Centro de Massa
Vamos considerar apenas objetos de massa específica, ρ, uniforme, para os quais
Nesse caso, temos:
Podemos dispensar uma ou mais das integrais se o objeto apresentar algum tipo de simetria
Eq. (9-11)
Eq. (9-10)
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O centro de massa está no ponto de simetria (se existir)
Está na reta ou no plano de simetria (se existir)
Não precisa estar no objeto (pense em uma rosquinha)
9-1 Centro de Massa
Respostas: (a) na origem (b) em Q4, na reta y = x (c) no eixo y
(d) na origem (e) em Q3, na reta y = x (f) na origem
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9-1 Centro de Massa
Exemplo Subtração
o Pede-se: determinar o CM de um disco no qual está faltando um disco menor:
o Determine o CM de cada disco
o Determine o CM dos dois CMs, considerando negativa a massa do disco menor
o Na figura, CMC é o centro de massa
da placa composta
o CMP é o centro de massa da placa
composta com o Disco S removido
Figura 9-4
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9-2 A Segunda Lei para um Sistema de Partículas
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9-2 A Segunda Lei para um Sistema de Partículas
9.04 Aplicar a segunda lei de Newton a um sistema de partículas, relacionando a força resultante (das forças que agem sobre as partículas) à aceleração do centro de massa do sistema.
9.05 Aplicar as equações de aceleração constante ao movimento das partículas de um sistema e ao movimento do centro de massa do sistema.
9.06 Dadas a massa e a velocidade das partículas, calcular a velocidade do centro de massa de um sistema.
9.07 Dadas a massa e a aceleração das partículas, calcular a aceleração do centro de massa de um sistema.
9.08 Dada a posição do centro de massa em função do tempo, calcular a velocidade do centro de massa de um sistema.
Objetivos do Aprendizado
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9.09 Dada a velocidade do centro de massa em função do tempo, calcular a aceleração do centro de massa de um sistema.
9.10 Calcular a variação de velocidade de um centro de massa integrando a função aceleração do centro de massa em relação ao tempo.
9.11 Calcular o deslocamento de um centro de massa integrando a função velocidade do centro de massa em relação ao tempo.
9.12 No caso em que as partículas de um sistema de duas partículas se movem e o centro de massa permanece em repouso, determinar a relação entre os deslocamentos e a relação entre as velocidades das duas partículas.
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9-2 A Segunda Lei para um Sistema de Partículas
O movimento do centro de massa não é afetado por forças internas ao sistema (colisões de bolas de bilhar)
Movimento do centro de massa de um sistema:
Observações:
1. Fres
é a soma das forças externas
2. M é a massa total do sistema
3. aCM
é a aceleração do centro de massa
Eq. (9-14)
Eq. (9-15)
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9-2 A Segunda Lei para um Sistema de Partículas
Exemplos Usando a equação do movimento do CM:
o Colisão de bolas: as forças são internas e, portanto, F = 0 e a = 0
o Bola de tênis: a = g e, portanto, a trajetória é balística
o Explosão de fogos de artifício: como as forças da explosão são internas, o centro de massa dos fragmentos descreve uma trajetória balística, caso a resistência do ar possa ser desprezada.
Figura 9-5
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9-2 A Segunda Lei para um Sistema de Partículas
Resposta: O sistema é constituído por Frederico, Eduardo e a vara. Como todas as forças são internas, o centro de massa não se move. Como o centro de massa está na origem, os patinadores se encontrarão na origem nos três casos! (Naturalmente, a origem está mais próxima de Frederico do que de Eduardo.)
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9-3 Momento Linear
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9.13 Saber que o momento é uma grandeza vetorial e que, portanto, possui um módulo e uma orientação e pode ser representado por meio de componentes.
9.14 Saber que o momento linear de uma partícula é igual ao produto da massa pela velocidade da partícula.
9.15 Calcular a variação do momento de uma partícula a partir da variação de velocidade da partícula.
9.16 Aplicar a relação entre o momento de uma partícula e a força (resultante) que age sobre a partícula.
9.17 Calcular o momento de um sistema de partículas como o produto da massa total pela velocidade do centro de massa.
9.18 Usar a relação entre o momento do centro de massa de um sistema e a força resultante que age sobre o sistema.
Objetivos do Aprendizado
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O momento linear é definido por meio da equação
O momento
o tem a mesma direção que a velocidade
o só pode ser mudado por uma força externa
Segunda lei de Newton, em termos do momento:
9-3 Momento Linear
Eq. (9-22)
Eq. (9-23)
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9-3 Momento Linear
Podemos somar os momentos das partículas de um sistema para obter:
Respostas: (a) 1, 3, 2 e 4 (b) na região 3
Eq. (9-25)
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9-3 Momento Linear
A segunda lei de Newton para um sistema de partículas pode ser escrita na forma
A aplicação de uma força externa a um sistema produz uma variação do momento linear
Na ausência de uma força externa, o momento linear total de um sistema de partículas não pode variar
Eq. (9-27)
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9-4 Colisão e Impulso
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9-4 Colisão e Impulso
9.19 Saber que o impulso é uma grandeza vetorial e, portanto, tem um módulo e uma orientação.
9.20 Usar a relação entre o impulso e a variação de momento.
9.21 Usar a relação entre o impulso, a força média e a duração do impulso.
9.22 Usar as equações de aceleração constante para relacionar o impulso à força média.
9.23 Dada a equação de uma força em função do tempo, calcular o impulso integrando a função.
9.24 Dada a curva de uma força em função do tempo, calcular o impulso por integração gráfica.
9.25 Em uma série contínua de colisões de projéteis com um alvo, calcular a força média que age sobre o alvo a partir da taxa mássica das colisões e da variação de velocidade dos projéteis.
Objetivos do Aprendizado
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9-4 Colisão e Impulso
O momento de uma partícula pode variar em uma colisão
Definimos o impulso J a que um corpo é submetido durante uma colisão por meio da equação:
Isso significa que o impulso aplicado é igual à variação do momento do objeto durante a colisão:
Essa equação, como outras equações vetoriais, pode ser escrita na forma de componentes
Eq. (9-30)
Eq. (9-31)
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9-4 Colisão e Impulso
Dados Fméd
e t, temos:
Como estamos integrando, precisamos conhecer apenas a área sob a curva da força
Eq. (9-35)
Figura 9-9
Resposta: (a) mantém (b) mantém (c) diminui
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9-4 Colisão e Impulso
Se cada projétil de uma salva de n projéteis sofre uma variação de momento Δp,
A força média é:
Eq. (9-36)
Figura 9-10
Eq. (9-37)
Se as partículas param,
Se as partículas ricocheteiam com a mesma velocidade escalar,
Eq. (9-38)
Eq. (9-39)
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9-4 Colisão e Impulso
Como o produto nm é a massa total para n colisões, podemos escrever:
Eq. (9-40)
Respostas: (a) nula (b) positiva (c) o sentido positivo do eixo y (a força é normal)
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9-5 Conservação do Momento Linear
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9-5 Conservação do Momento Linear
9.26 No caso de um sistema isolado de partículas, usar a lei de conservação do momento linear para relacionar o momento inicial das partículas ao momento em um instante posterior.
9.27 Saber que, mesmo que um sistema não seja isolado, a lei de conservação do momento linear pode ser aplicada à componente do momento na direção de um eixo, contanto que não haja uma componente de uma força externa na direção desse eixo.
Objetivos do Aprendizado
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9-5 Conservação do Momento Linear
Eq. (9-42)
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Quando o impulso é zero, temos:
o que significa que
É a chamada lei de conservação do momento linear
Dependendo das componentes da força resultante externa, é possível aplicar o seguinte princípio:
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9-5 Conservação do Momento Linear
Forças internas podem mudar os momentos de partes do sistema, mas não podem mudar o momento linear do sistema como um todo
Não confunda momento e energia
Respostas: (a) zero (b) não (c) o sentido negativo do eixo x
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9-6 Momento e Energia Cinética em Colisões
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9-6 Momento e Energia Cinética em Colisões
9.28 Saber a diferença entre colisões elásticas, colisões inelásticas e colisões totalmente inelásticas.
9.29 Saber que, em uma colisão unidimensional, os objetos se movem na mesma linha reta antes e depois da colisão.
9.30 Aplicar a lei de conservação do momento linear a uma colisão unidimensional em um sistema isolado para relacionar os momentos dos objetos antes e depois da colisão.
9.31 Saber que, em um sistema isolado, o momento e a velocidade do centro de massa não são afetados por colisões entre objetos do sistema.
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9-6 Momento e Energia Cinética em Colisões
Tipos de colisões:
Colisões elásticas:
o A energia cinética total é constante
o É uma aproximação razoável em muitas situações
o Na prática, uma parte da energia cinética, mesmo que pequena, é sempre convertida em outras formas de energia
Colisões inelásticas: uma parte considerável da energia cinética é convertida em outras formas de energia
Colisões totalmente inelásticas:
o Os objetos permanecem unidos após a colisão
o A conversão de energia cinética para outras formas de energia é a maior possível
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9-6 Momento e Energia Cinética em Colisões
Em uma dimensão:
Colisão inelástica
Colisão totalmente inelástica, com o alvo em repouso:
Eq. (9-51)
Eq. (9-52)
Figura 9-15 Figura 9-14
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9-6 Momento e Energia Cinética em Colisões
A velocidade do centro de massa não muda:
A Fig. 9-16 mostra vários estágios de uma colisão totalmente inelástica
Eq. (9-56)
Figura 9-16
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9-6 Momento e Energia Cinética em Colisões
Respostas: (a) 10 kg ∙ m/s (b) 14 kg ∙ m/s (c) 6 kg ∙ m/s
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9-7 Colisões Elásticas em Uma Dimensão
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9-7 Colisões Elásticas em Uma Dimensão
9.32 No caso de colisões elásticas de dois corpos em uma dimensão, aplicar as leis de conservação da energia e do momento para relacionar os valores iniciais e finais da velocidade dos corpos.
9.33 No caso de um projétil que colide com um alvo estacionário, analisar o movimento resultante para três casos possíveis: massas iguais, massa do alvo muito maior que a massa do projétil e massa do projétil muito maior que a massa do alvo.
Objetivos do Aprendizado
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A energia cinética total é conservada em colisões elásticas
No caso de um alvo estacionário, temos:
9-7 Colisões Elásticas em Uma Dimensão
Eq. (9-63)
Eq. (9-64)
Figura 9-18
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9-7 Colisões Elásticas em Uma Dimensão
Depois de algumas transformações algébricas, obtemos:
Resultados
o Alvo pesado, v1f = v1i, v2f
= 0: o primeiro objeto ricocheteia com a mesma velocidade escalar
o Massas iguais, v1f = 0, v
2f = v
1i: o primeiro objeto para
o Projétil pesado, v1f = v
1i, v
2f = 2v
1i: o primeiro objeto
continua com a mesma velocidade e o segundo objeto é arremessado com uma velocidade duas vezes maior
Eq. (9-67)
Eq. (9-68)
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9-7 Colisões Elásticas em Uma DImensão
Se o alvo também está se movendo, temos:
Eq. (9-75)
Eq. (9-76)
Figura 9-19
Respostas: (a) 4 kg ∙ m/s (b) 8 kg ∙ m/s (c) 3 J
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9-8 Colisões em Duas Dimensões
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9-8 Colisões em Duas Dimensões
9.34 No caso de uma colisão bidimensional em um sistema isolado, aplicar a lei de conservação do momento a dois eixos de um sistema de coordenadas para relacionar as componentes do momento antes da colisão às componentes em relação ao mesmo eixo depois da colisão.
9.35 No caso de uma colisão elástica em um sistema isolado, (a) aplicar a lei de conservação do momento a dois eixos para relacionar as componentes do momento antes da colisão às componentes em relação ao mesmo eixo depois da colisão e (b) usar o princípio de conservação da energia cinética para relacionar as energias cinéticas antes e depois da colisão.
Objetivos do Aprendizado
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Exemplo Para um alvo estacionário (Fig. 9-21):
o Eixo x:
o Eixo y:
o Energia:
9-8 Colisões em Duas Dimensões
Aplicar a lei de conservação do momento aos dois eixos
Aplicar a lei de conservação da energia para colisões elásticas
Eq. (9-79)
Eq. (9-80)
Eq. (9-81)
Figura 9-21
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9-8 Colisões em Duas Dimensões
Essas três equações têm sete incógnitas, já que v2i = 0. Se conhecermos quatro dessas incógnitas, poderemos calcular as outras três.
Respostas: (a) 2 kg ∙ m/s (b) 3 kg ∙ m/s
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9-9 Sistemas de Massa Variável: Um Foguete
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9.36 Usar a primeira equação do foguete para relacionar a taxa de perda de massa de um foguete, a velocidade dos produtos da combustão em relação ao foguete, a massa do foguete e a aceleração do foguete.
9.37 Usar a segunda equação do foguete para relacionar a variação da velocidade do foguete à velocidade relativa dos produtos da combustão e à massa final do foguete.
9.38 No caso de um sistema em movimento que sofre uma variação de massa a uma taxa constante, relacionar essa taxa à variação do momento.
Objetivos do Aprendizado
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9-9 Sistemas de Massa Variável: Um Foguete
Foguete e produtos da combustão formam um sistema isolado
Conservação do momento:
Pi = P
f
o que nos dá
Podemos simplificar usando a velocidade relativa:
Eq. (9-83)
Figura 9-22
Eq. (9-84)
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9-9 Sistemas de Massa Variável: Um Foguete
Primeira equação do foguete:
R é a taxa mássica de consumo de combustível
O lado esquerdo da equação é o empuxo, T
Segunda equação do foguete:
Eq. (9-87)
Eq. (9-88)
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9 Resumo
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Conservação do Momento Linear
Momento Linear e 2a Lei de Newton
Definição de momento linear:
2a Lei de Newton:
Colisão e Impulso
Definição de impulso:
O impulso faz variar o momento linear
9 Resumo
Eq. (9-25)
Eq. (9-42) Eq. (9-51)
Colisão Inelástica em 1D
O momento é conservado nessa direção
Eq. (9-27)
Eq. (9-30)
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Movimento do Centro de Massa
Não é afetado por colisões e outras forças internas
Colisões Elásticas em Uma Dimensão
A energia cinética é conservada
Eq. (9-67)
Eq. (9-87)
9 Resumo
Sistemas de Massa Variável
Eq. (9-68) Colisões em Duas Dimensões
Podemos aplicar a lei de conservação do momento a cada componente
A energia cinética é conservada em colisões elásticas Eq. (9-88)
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Fundamentos de Física – Mecânica – Vol. 1