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MECANICA

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  • C A P I T U L O 7PRINCIPIO DE HAMILTON DINAMICA

    LAGRANGEANA E HAMILTONIANA

    7.1 INTRODUCAO

    A experiencia tem mostrado que o movimento de uma partcula num sistema de referencia inerciale corretamente descrito pela equacao Newtoniana F = p. Se a partcula nao e forcada a semover de alguma maneira complicada e se coordenadas retangulares sao usadas para descrevero movimento, entao usualmente as equacoes de movimento sao relativamente simples. Mas sequalquer destas restricoes for removida, a equacao pode tornar-se bastante complexa e difcil demanipular. Por exemplo, se a partcula e forcada para mover-se na superfcie de uma esfera, aequacao de movimento resulta da projecao vetorial da equacao Newtoniana sobre esta superfcie.A representacao da aceleracao vetorial em coordenadas esfericas e uma expressao formidavel, comoo leitor que trabalhou o Problema 1-25 pode facilmente comprovar.

    Alem disso, quando uma partcula e forcada a se mover sobre dada superfcie, certas forcasdevem existir (chamadas forcas de vnculo) que mantem a partcula em contato com tal superfcie.Para uma partcula movendo-se sobre uma superfcie horizontal lisa, uma forca de vnculo e sim-plesmente Fc = mg. Mas, se a partcula considerada agora e uma gota escorregando num um fiocurvo, a forca de vnculo pode ser bastante complicada. Na verdade, em certas situacoes pode serdifcil ou ate mesmo impossvel obter explicitamente expressoes para forcas de vnculo. Mas resol-vendo o problema usando o procedimento Newtoniano, devemos conhecer todas as forcas, porquea grandeza F que aparece na equacao fundamental e a forca total que age no corpo.

    Para evitar algumas das dificuldades praticas que surgem nas tentativas de aplicar as equacoesde Newton para problemas particulares, procedimentos alternativos podem ser desenvolvidos. To-das aproximacoes sao em essencia uma posteriori (que se observa apos o fato consumado ou porinducao), porque sabemos de antemao que um resultado equivalente a`s equacoes Newtonianasdeve ser obtido. Assim para efeito de simplificacao, nao precisamos formular uma nova teoriapara mecanicaa teoria Newtoniana e bastante corretamas so desenvolver um metodo alterna-tivo para lidar com problemas complicados de uma maneira geral. Tal metodo esta contido noPrincpio Hamiltoniano, e as equacoes de movimento resultantes da aplicacao deste princpiosao chamadas de equacoes de Langrange.

    Se as equacoes de Lagrange sao constitudas para descrever apropriadamente a dinamica departculas, elas devem ser equivalentes as equacoes Newtonianas. Por outro lado, o Princpio deHamilton pode ser aplicado para um amplo intervalo de fenomenos fsicos (particularmente aquelesenvolvendo campos) em que usualmente nao sao associados com equacoes Newtonianas. Para sercorreto, cada um dos resultados que podem ser obtidos pelo Princpio de Hamilton foi primeiroobtido, como foram as equacoes de Newton, pela correlacao dos fatos experimentais. O Princpiode Hamilton nao nos forneceu nenhuma nova teoria fsica, mas ela nos deixou uma unificacaosatisfatoria de muitas teorias individuais por um unico postulado basico. Isto nao e um exerccio

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  • 234 - - - 7 / PRINCIPIO DE HAMILTON DINAMICA LAGRANGEANA E HAMILTONIANA

    sem base na percepcao baseada na observacao do passado, porque isto e o objetivo da teoriafsica nao somente para dar precisao a` formulacao matematica para um fenomeno observado, mastambem para descrever estas acoes com uma economia de postulados fundamentais e numa maneiramais unificada possvel. Realmente, o Princpio de Hamilton e um dos mais elegantes e de maiorabrangencia dos princpios da teoria da fsica.

    Na visao deste amplo alcance de aplicabilidade (mesmo que isto seja uma descoberta apos ofato ter ocorrido), nao e irracional afirmar que o Princpio de Hamilton e mais fundamental doque as equacoes Newtonianas. Portanto, procedemos primeiro postulando o Princpio de Hamil-ton; entao obtemos as equacoes de Lagrange e mostramos que estas sao equivalentes as equacoesNewtonianas.

    Como ja discutimos (nos Captulos 2, 3 e 4) fenomenos dissipativos por um longo perodo,de agora em diante restringiremos nossa atencao em sistemas conservativos. Consequentemente,nao faremos a discussao mais geral das equacoes de Lagrange, as quais levam em consideracao osefeitos das forcas nao conservativas. O leitor deve recorrer a literatura para estes detalhes.

    7.2 PRINCIPIO DE HAMILTON

    O princpio da mnima acao na fsica tem uma longa e interessante historia. A procura por talprincpio e baseada na na ideia que a natureza sempre minimiza certas quantidades importantesquando ocorre um processo fsico. O primeiro de tais princpios de mnima acao foi desenvolvido nocampo da optica. Hero da Alexandria, no segundo seculo A.C., estabeleceu que a lei que governaa reflexao da luz podia ser obtida pela afirmacao que um raio de luz, viajando de um ponto paraoutro de uma reflexao de um espelho plano, sempre toma a menor trajetoria possvel. Uma simplesconstrucao geometrica verifica que este princpio de mnima aca`o realmente leva para a igualdadedos angulos de incidencia e reflexao para um raio de luz que reflete num espelho plano. O Princpiode Hero da menor trajetoria nao pode, contudo, fornecer uma lei correta para a refracao. Em 1657,Fermat reformulou o princpio postulando que um raio de luz sempre viaja de um ponto para outronum meio por uma trajetoria que requer o mnimo de tempo. O Princpio de Fermat do mnimotempo leva imediatamente, nao so para a lei correta da reflexao, mas tambem para a lei de Snellda refracao (olhe o Problema 6-7).

    Os Princpios da mnima acao continuaram a serem procurados, e na parte final do seculodezessete o comeco do calculo de variacoes foi desenvolvido por Newton, Leibniz, e o Bernoulliquando problemas como a braquistocrona (olhe o Exemplo 6.2) e a forma de uma corda suspensa(uma catenaria) foram resolvidos.

    A primeira das aplicacoes de um princpio geral da mnima acao na mecanica foi feita em1747 por Maupertuis, que afirmou que a dinamica do movimento ocorre com a mnima acao. Oprincpio da mnima acao de Maupertuis foi baseado no campo teologico (acao e minimizadaatraves da sabedoria de Deus), e seu conceito de acao era bastante vago. (Recorde que a acaoe uma grandeza com dimensoes de comprimento momento ou energia tempo.) Somente maistarde um solido fundamento matematico do princpio foi fornecido por Lagrange (1760). Emboraisto seja uma forma util da qual fez a transicao da mecanica classica para optica e para mecanicaquantica, o princpio da mnima acao e menos geral que o Princpio de Hamilton e, realmente,pode ser derivada desse. Passaremos sem discutir os detalhes aqui.

    Em 1828, Gauss desenvolveu um metodo de tratamento mecanico pelo seu princpio demnimo vnculo; uma modificacao foi feita mais tarde por Hertz e reuniu em seu princpiode menor curvatura. Estes princpios foram atentamente relatados pelo Princpio de Hamiltone nada acrescenta para a satisfatoria formulacao geral de Hamilton; suas referencias so enfatizamo contnuo interess com princpios de mnima acao na fsica.

    Olhe, por exemplo, Goldstein (Go80, Captulo 2) ou, para uma compreensiva discussao, Whittaker (Wh37,Captulo 8).

    Pierre de Fermat (1601-1665), um advogado frances, linguista e matematico amador.Em 1661, Fermat corretamente deduziu a lei da refracao, qual tinha sido descoberta experimentalmente por

    volta de 1661 por Willebrord Snell (1591-1626), um holandes matematico prodgio.Pierre-Louise-Moreau de Maupertuis (1698-1759) matematico frances e astronomo. O primeiro uso para qual

    Maupertuis colocou o princpio da menor acao era TORESTATE derivacao de Fermat da lei da refracao(1744).Olhe, por exemplo, Goldstein (Go80, pag. 365-371) ou Sommerfeld (So50, pag. 204-209).Olhe, por exemplo, Linsay e Margenau (Li36, pg 112-120) ou Sommerfeld (So 50, pag. 210-214).

    Projeto AIUTA Mecanica Classica II (UNIFRA2003)

  • 7.2. PRINCIPIO DE HAMILTON - - - 235

    Em dois artigos publicados em 1834 e 1835, Hamilton anunciou o princpio dinamico sobrequal ele e a possvel base para toda a mecanica e, alem disso, para toda a fsica classica. O Princpiode Hamilton pode ser declarado como segue:

    Para todas as possveis trajetorias ao longo das quais o sistema dinamico pode se mover de umponto para outro dentro de um intervalo de tempo especfico (compatvel com algum vnculo),a real trajetoria seguida e a que minimiza a integral de tempo da diferenca entre as energiascinetica e potencial.

    Em termos do calculo de variacoes, o Princpio de Hamilton se torna

    t2t1

    (T U)dt = 0 (7.1)

    onde o smbolo e uma notacao abreviada para descrever a variacao discutida na Secoes 6.3 e6.7. Este procedimento variacional do princpio requer somente que a integral de T U sejaum extremo, nao necessariamente um mnimo. Mas em quase todas aplicacoes importantes emdinamica, acontece a condicao de mnimo.

    A energia cinetica de uma partcula expressa de maneira pre-determinado, coordenadas retan-gulares e uma funcao somente de xi e se a partcula se mover num campo de forcas conservativas,a energia potencial e uma funcao somente de xi:

    T = T (xi), U = U(xi)

    Se definirmos a diferenca destas quantidades como sendo

    L T U = L(xi, xi) (7.2)

    entao a Equacao 7.1 se torna

    t2t1

    L(xi, xi)dt = 0 (7.3)

    A funcao L que aparece nesta expressao pode ser identificada com a funcao f da integral doprincpiovariacional (veja Secao 6.5),

    t2t1

    f{yi(x), yi(x);x}dx

    Se fizermos as transformacoes

    x tyi(x) xi(t)yi(x) xi(t)

    f{yi(x), yi(x);x} L{xi, xi}

    As equacoes de Euler-Lagrange (Equacao 6.57) correspondente a Equacao 7.3 sao entao

    L

    xi ddt

    L

    xi= 0, i = 1, 2, 3 Equacoes de movimento de Lagrange (7.4)

    Estas sao as equacoes de movimento de Lagrange para a