1

Hélio Magalhães de Oliveira, hmo@ufpe.br Departamento de Eletrônica e Sistemas Universidade Federal de Pernambuco Cidade Universitária Recife - PE URL: http://www.ee.ufpe.br/codec/deOliveira.html http://www.ee.ufpe.br/codec/WEBLET.html

2

Wavelets: Uma Evolução na Representação de Sinais

• A análise espectral constitui uma das ferramentas clássicas

mais poderosas. • Uma teoria mais potente e geral foi introduzida nos anos 80: A

Transformada de Wavelet • Ela inclui: Série de Fourier, a Transformada de Fourier, a

Transformada de Gabor de Tempo Curto, Espectrogramas. • Wavelets constituem hoje uma das ferramentas potentes em

PDS.

3

ORIGEM- Escola Francesa (Morlet, Grossmann, Meyer, Battle, Lemarié, Cohen, Mallat, Coifman, Rioul, etc.) ... Pacotes de ondas acústicas sísmicas.

Em 1909, a primeira menção: tese de doutorado de Alfred Haar, análise escalonada.

As Wavelets de Haar, embora de suporte compacto não são

continuamente diferenciáveis. Década de 80, Alex Grossmann (Université de Marseille) e Jean P.

Morlet (Elf Acquitaine) introduziram o conceito de wavelets Morlet recebeu o prêmio Reginald Fessenden Award 1997.

4

Em 1985, Stéphane Mallat (França) estabeleceu a ligação desta teoria com o processamento digital de sinais.

Yves Meyer (França) construiu uma das primeiras Wavelets não

triviais, continuamente diferenciáveis. Ingrid Daubechies (Bélgica) construiu o mais usado conjunto de

wavelets ortogonais de suporte compacto (tempo-limitada).

Jean Morlet. (ecce homo!)

5

Gama de aplicações: geologia sísmica

visão computacional e humana

radar e sonar

computação gráfica

predição de terremotos e maremotos

turbulência

distinção celular (normais vs patológicas)

modelos para trato auditivo

compressão de imagens

descontaminação de sinais (denoising)

detecção de rupturas e bordas

6

análise de tons musicais

neurofisiologia

detecção de curtos eventos patológicos

análise de sinais médicos

espalhamento em banda larga

modelagem de sistemas lineares

óptica

modelagem geométrica

caracterização de sinais acústicos

reconhecimento de alvos

transitório e falhas em linhas de potência

Metalurgia (rugosidade de superfícies)

visualização volumétrica

7

Telecomunicações

previsão em mercados financeiros

Estatística

solução de eq. dif. ordinárias& parciais

Jean-Baptiste-Joseph Fourier 1822: "La Théorie Analytique de la Chaleur": Ondas senoidais como elementos de vibrações e ondas periódicas ⎯ verdadeiros átomos das flutuações e do fluxo. Os sinais passaram a ser analisados no domínio de Fourier, i.e., no domínio da freqüência.

8

Definição (ANÁLISE DE FOURIER):

A transformada de Fourier de um sinal f(t),-∞<t<+∞ é

∫+∞

∞−

−= dtetfwF jwt)(:)( , denotada algumas vezes )]([ tfℑ , se a integral

imprópria existe.

Conhecendo-se F(w), é possível voltar ao domínio temporal (SÍNTESE

DE FOURIER):

∫∞+

∞−= dwewFtf jwt)(

21)(π .

par transformada: f(t) ↔ F(w).

9

TEOREMA DE PARSEVAL. Seja f(t) ↔ F(w) um sinal real, de energia finita. Então a energia

do sinal pode ser calculada em qualquer dos domínios, i.e,

∫∫+∞

∞−

+∞

∞−= dffFdttf 22 |)(|)( .

Por que wavelets? Em que esta ferramenta pode ser mais potente

que a análise espectral clássica de Fourier? De onde surgiram as

wavelets?

Análise Espectral P/ Sinais Não-Estacionários

Os sinais devem ser tratados não no domínio t ou domínio f,

mas em ambos (espaço conjunto tempo-freqüência)!

10

Conceito de estacionaridade

Uma das deficiências da análise de Fourier é que ela não apresenta

um caráter local.

Todo o sinal, desde o começo dos tempos (-∞) até o fim dos tempos

(+∞) é levado em consideração.

A transformada de Fourier representa um "comportamento global

médio" do sinal.

11

(a)

(b) Figura. (a) Ilustração de um trecho de um sinal estacionário,

(b) Ilustração de um trecho de um possível sinal não estacionário.

A transformada de Fourier analisa a contribuição de cada

componente harmônica no sinal como um todo.

12

O sinal estacionário apresenta um comportamento "mais ou

menos" semelhante em qualquer trecho analisado...

Evolução na TF clássica: (STFT) Transformada de Gabor, ou transformada de janela

(transformada de Fourier de tempo curto).

Esta transformada introduz um caráter local e passa a

depender fortemente do instante de tempo analisado.

13

Primeiro passo na direção das wavelets: a introdução de um

caráter local. Sinal "fatiado" em trechos, e em cada trecho, a contribuição espectral

fosse analisada, resultando em um espectro local.

seqüência de "fotos" do espectro:

... F(w,t-1), F(w, t0), F(w,t1), F(w,t2) .... evoluindo temporalmente.

14

Sinais práticos "bem comportados" com relação à estacionaridade:

sinais periódicos.

Não é a toa que a análise clássica de Fourier é freqüentemente

restrita a esta classe de sinais.

FOTOS: • Representar o rosto por fotos (5 anos, 10 anos, 15, 20, 25 e 30

anos).

15

• Uma única foto representativa do indivíduo, uma "foto média". Essa foto média representa o espectro de Fourier.

• Um caráter local (no tempo) => trabalhar com mais fotos, =>

maior complexidade, capacidade de armazenamento/ processamento

A classe de sinais cujo espectro permanece relativamente

independente no tempo é referida como aquela dos sinais estacionários.

Os não-estacionários trazem variações substanciais e significativas

de padrão e comportamento, dependendo do instante de tempo

considerado.

16

É como se, "de repente", no meio de uma seqüência de fotos 3×4 de

fotos humanas semelhantes, surgisse uma foto de algum animal

completamente diferente (e.g., girafa).

Diferentes níveis de "estacionaridade":

seqüência de fotos sempre de uma mesma pessoa em diferentes tempos;

seqüência de fotos de pessoas diferentes em tempos diferentes, porém de uma mesma raça (origem);

seqüência de fotos de pessoas diferentes em tempos diferentes, porém de origens diferentes;

17

seqüência de fotos de diferentes animais em tempos diferentes (levando em conta algum aspecto da classificação de Lineu);

seqüência de fotos arbitrárias diferentes em tempos diferentes, incluindo objetos, paisagens etc.

Quando o espectro de Fourier passa a não ter sentido? A resposta

não é fechada.

Depende do que se deseja e quanto se pode "pagar".

18

A Transformada de Gabor

Embora capaz de determinar o conteúdo de freqüências presentes em

um sinal, não há noção de quando (em que intervalo de tempo) elas

ocorrem.

A transformada de Fourier não fornece uma análise temporal, apenas

freqüencial.

Transformada de Fourier de Tempo Curto (STFT – Short Time

Fourier Transform) também conhecida como a Transformada de Gabor.

19

A idéia da STFT é introduzir um parâmetro de freqüência local

(local no tempo) como se a "Transformada de Fourier Local" observasse

o sinal através de uma curta "janela" dentro da qual o sinal permanece

aproximadamente estacionário.

A transformada local observa f(t) "através" de uma janela W(t)

centrada no instante de tempo τ e de extensão "limitada", antes do

cálculo do espectro.

20

Formalmente,

dtτ) e(tt)Wf(STFT(w jwt* −+∞

∞−−= ∫:),τ .

Representação bidimensional F(w,τ,) do sinal f(t), composta por

características espectrais dependentes do tempo.

As próximas perguntas:

Por que a STFT não é suficiente?

O que seria mais apropriado, além de um transformada local

(wavelets também são locais)?

21

A Guisa de uma Análise de Wavelets Alternativa para abordar o plano conjunto tempo-freqüência :

A análise visualizada como um banco de filtros. resolução no tempo deveria aumentar com o aumento da freqüência central dos filtros, ou ∆f/f=cte (ou fator de qualidade Q constante). Q constante: as resoluções t e f mudam com a freqüência central,

satisfazendo ainda o princípio da Incerteza de Gabor-Heisenberg (célula

básica).

22

FOTOS NOVAMENTE: Deve-se usar uma representação para um indivíduo de meia-idade com

uma meia dúzia de fotos

(0 ano, 5 anos, 10 anos 15 anos, 20 anos, 25 anos). (1 ano, 2 anos, 4 anos, 8 anos, 16 anos e 32 anos).

O comportamento das respostas ao impulso dos filtros de análise,

oscilatório (rápido) e amortecido, gerando "ondinhas".

23

Figura. Exemplo de uma ondinha:

ondelette de Morlet (Matlab®).

As wavelets podem ser interpretadas como as transformadas

lineares locais geradas por um banco de filtros de fator de

qualidade constante.

domínios tempo e freqüência (f × t) domínios escala e deslocamento (a × b).

24

Interpretação: "mapas". Uma mudança de escala pode permitir, numa escala maior,

ter uma visão mais global, mas com menor precisão. Já em uma

escala menor, vê-se detalhes, mas perde-se em estudar o

comportamento global. 1: 15.000.000 idéia do Brasil como um todo 1: 3.500.000, analisar Pernambuco, perdendo-se a noção do

Brasil como um todo.

25

Quem já usou mapas sabe que depende fundamentalmente

do que se quer investigar! A análise via wavelets permite, por

assim dizer, visualizar tanto a floresta quanto as árvores.

Na Transformada Contínua de Wavelet CWT, todas as

respostas ao impulso no banco de filtros são versões (expandidas ou

comprimidas) da mesma ψ(t), chamada de Wavelet básica.

26

ff 2f 3f 4f ...0 0 0 0

ff 2f 4f 8f .... 0 0 0 0

Banda passante constante (STFT)

Banda passante relativa (Q) constante (WT)

Figura. Análise Espectral com banco de Filtros: (a) STFT e (b) WT.

Todos os filtros são da mesma família (e.g., filtros BPFs Gaussianos,

centrados em freqüências distintas, porém todos com o mesmo fator de

qualidade Q).

27

Wavelets Contínuas

Introdução a Transformada Contínua de Wavelet

A Transformada de Wavelet foi desenvolvida como uma

alternativa à STFT para solucionar o problema da resolução.

Fixada a janela para a STFT, as resoluções no tempo (t) e na freqüência (f) permanecem constantes em todo o plano t-f.

CWT: Alta resolução temporal e baixa freqüêncial para freqüências mais altas

Alta resolução freqüêncial e baixa resolução temporal para freqüências mais baixas.

28

Freqüência Freqüência

Tempo Tempo

(a) (b)

Figura . Resolução no plano t-f pela análise

(a) STFT (b) Transformada de Wavelet.

29

A Transformada de Wavelet Contínua CWT ψ(t) wavelet-mãe ψ(t) ∈ L2(ℜ). ∫

+∞

∞−+∞<dtt)(2ψ

Operações:

a) escalonamento ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

at

ata ψψ

||1)( , a≠0.

b) deslocamento )()( bttb −= ψψ . c) deslocamento com escalonamento

=−= )()(, btt aba ψψ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

abt

aψ

||1

.

30

)}({)}({ , tt baψψ → (∀a, a≠0) (∀b∈ℜ). versão:

Comprimida da wavelet mãe, se a<1;

Dilatada da wavelet mãe, se a>1.

O ajuste na amplitude do sinal escalonado foi introduzido visando

garantir a isomeria: todas as ondelettes têm a mesma energia!

2

,2 ||)(||||)(|| tt baψψ = .

31

Portanto, a escolha das wavelets como sendo versões ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

abt

aψ

||1

garante a mesma energia para qualquer wavelet!

Define-se

CWT(a,b):= ∫+∞

∞−dtttf ba )()( ,

*ψ =< f(t),ψa,b>.

Analogia com Fourier:

F(w)= ∫+∞

∞−

− dtetf jwt)( =< f(t),ejwt >.

32

Fourier F(w), em cada w:

Projeção de f(t) na direção das ondas { } ℜ∈wjwte que constituem

uma "base" do espaço de sinais. Esta "base" de Fourier é composta por sinais oscilatórios perpétuos

- traduzindo o fato que Fourier está associado a um comportamento não-local no tempo, mas de -∞ a +∞.

Wavelets:

decomposição de f(t) em sinais { }ℜ∈ℜ∈ + baba t

, *)(ψ que constitui um novo conjunto de análise do espaço de sinais.

Esta nova "base" é composta por sinais oscilatórios de curta duração - e não sinais ab aeterno.

33

A combinação oscilatório (daí o termo onda) e de curta duração (inha) gera o termo ondinhas, ondeletas, ondelettes no original, ou de forma já consagrada, wavelets.

Critério para definir wavelets:

• Oscilatória (onda=wave), ou melhor, que seu valor médio no

domínio temporal é nulo.

∫+∞

∞−= 0)( dttψ

• Condição de admissibilidade, Dado o par transformada de Fourier: )()( ωψ Ψ↔t ,

∞+<Ψ

∫∞

∞−

)( 2

ωωω

d

34

+∞<Ψ

= ∫∞+

∞−ζ

ζζ

ψ dC||

|)(| 2

=> 0)(

0lim =Ψ→

ζζ .

0)0( =Ψ => ∫+∞

∞−= 0)( dttψ .

Caráter passa-faixa das wavelets interpretadas como um banco de filtros,

note os seguintes fatos:

0)0( =Ψ (pela admissibilidade)

0)( =±∞Ψ (pois ψ é de energia finita).

Dado ε >0 arbitrário, ∃ α, β ∈ ℜ, 0 < α < β < +∞ tal que

35

|Ψ(w)| < ε para |w| < α e |w| > β.

Existe uma banda passa-faixa na qual o espectro Ψ pode ser

essencialmente não nulo.

Figura. Comportamento de )(wΨ tipo passa-faixa.

36

O escalonamento é o processo de compressão e dilatação

do sinal. O parâmetro de escala "a" usado em Wavelets tem

interpretação grosso modo idêntica à escala empregada em

mapas cartográficos.

O termo |a|-1/2 é um fator de normalização da energia do sinal e

0 ,1)(, ≠⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

= aa

bta

tba ψψ é uma transformada afim.

37

Uma wavelet )(, tbaψ é definida por um mapeamento afim unitário.

Esta Wavelets são versões transladadas (b) e dilatadas/comprimidas (a)

de uma mesma onda protótipo, chamada wavelet-mãe ψ(t).

Figura. A Wavelet-mãe Symmlet 8 em diferentes escalas e localizações.

38

Uma Transformada inversa de Wavelet pode ser obtida via

2)(1),(1)(a

dadba

bta

baCWTC

tf ∫ ∫∞+

∞−

∞+

∞− ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

= ψψ

.

A Transformada Inversa (CWT-1)

Sejam f(t)∈ L2(ℜ) e ψa,b(t) ∈ L2(ℜ-{0}× ℜ). Sob que condições é possível "pegar uma onda"? (catch the wave...) Escolher uma wavelet protótipo tal que

ψ(t) ↔ Ψ(w) e +∞<

Ψ= ∫

∞+

∞−ζ

ζζ

ψ d||

|)(|C2

.

39

Exemplos: Um mar de Wavelets Existe um grande número de funções que podem ser eleitas como

wavelets mãe.

Nome da família de Wavelets 'haar' Haar wavelet. 'db' Daubechies wavelets. 'sym' Symlets. 'coif' Coiflets. 'bior' Biorthogonal wavelets. 'rbio' Reverse biorthogonal wavelets. 'meyr' Meyer wavelet. 'dmey' Discrete approximation of Meyer wavelet.

40

'gaus' Gaussian wavelets. 'mexh' Mexican hat wavelet. 'morl' Morlet wavelet. 'cgau' Complex Gaussian wavelets. 'shan' Shannon wavelets. 'deO' de Oliveira wavelets. 'beta' beta wavelets. 'legd' Legendre wavelets. 'cheb' Chebyshev wavelets. 'mth' Mathieu wavelets. 'Gegen' Gegenbauer wavelets. 'fbsp' Frequency B-Spline wavelets. 'cmor' Complex Morlet wavelets.

41

Wavelet de Haar Por simplicidade, considera-se um sinal constante por partes. Bases de sinais constantes por partes (e.g. Haar) podem ser mais adequadas.

contrário caso1t0

0t1-

02

12

1

:)()( ≤<≤<

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧−

=tHψ.

Estas são versões do tipo "wavelet digital".

42

Figura. As Wavelets de Haar (oito wavelets).

Figura. sinal 1-D de teste, constante por partes.

43

Wavelet Sombrero

Assumindo uma ρ(t) Gaussiana, segue-se que )('')( tt ρψ −= é a wavelet sombrero (chapéu mexicano), por razões óbvias.

3)1(2)(

4/1

2/2)(

2

πψ

tMhat ett

−−= .

Figura. Wavelet Sombrero. Matlab®.

44

Wavelet densidade Gaussiana

Uma wavelet simples derivada da função densidade gaussiana

(gaus1) é dada por:

41

22

21 /

/t)fdG( te:gaus)t(

πψ

−

== .

10 5 0 5 101

0.5

0

0.5

10.644

0.644−

ψ x( )

88− x

Figura. Wavelet derivada da densidade de probabilidade gaussiana:

gaus1 e gaus8.

45

Wavelet complexa de Morlet

Morlet propôs uma das primeiras wavelet de interesse na análise de sinais. Em sua investigação de sinais geofísicos (exploração de petróleo),

empregou a wavelet complexa: tjwtMor eet 0

2 2/4/1

)( 1)( −−=π

ψ .

Figura. Wavelet complexa de Morlet. (parte real e parte imaginária).

46

Wavelet de Shannon A análise correspondente aos filtros passa-faixa ideais define uma

decomposição usando wavelets conhecidas como wavelets de Shannon.

Espectro da Wavelet real:

∏∏ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=Ψπ

ππ

π 2/32/3)( www . Tomando a transformada inversa:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

23cos

2)()( ttSatSha ππψ .

47

Assumindo t=2x+1,

12)2sen())1(2sen(2)()(

+−+

=x

xxxSha πππ

ψ . No caso da wavelet complexa, pode-se usar

tjCSha etSinct πψ 2)( )()( −= .

(a) (b)

Figura. (a) Wavelet de Shannon. (b) A wavelet complexa de Shannon

(Matlab®).

48

Constata-se facilmente que esta wavelet tem suporte infinito (i.é.,

∃/ M tal que |ψ(t)|=0 ∀|t|>M).

Wavelet de Meyer A wavelet de Meyer é definida no domínio freqüencial como:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≤≤⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

≤≤⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=Ψ

contrário. caso 0

/38|w|/34 14

||32

cos21

/34|w|/32 12

||32

sen21

)( 2/

2/

πππ

υππ

πππ

υππ

jw

jw

ew

ew

w.

49

Figura. Wavelet de Meyer:

(a) função de escala (b) wavelet. Matlab®.

50

Wavelets de Daubechies

Atrativos da análise de Fourier: ondas usadas na decomposição são ortogonais.

As 1as wavelets ortogonais obtidas, (Meyer, Battle-Lemarié), não

apresentam suporte compacto. Haar são ortogonais e de suporte compacto, porém não são

diferenciáveis. Um dos maiores desafios da teoria de wavelets foi a construção de

uma família de wavelets ortogonais de suporte compacto.

51

Figura. Wavelets dbN de Daubechies (N=2,3,4, ...):

As Daublets Matlab®.

52

Figura. Diversas versões de uma db2.

Estas formas de onda são ortogonais (!).

53

Wavelet Symmlets e Wavelet Coiflets

Coiflets e Symmlets são wavelets mais simétricas as quais foram

projetadas para garantir momentos nulos tanto na função de escala )(tφ

quanto na wavelet-mãe )(tψ .

Elas foram criadas Daubechies sob demanda de R. Coifman em

1989. São também wavelets de suporte compacto.

54

Figura. Coiflets e Symmlets (coifn e symn); n é número de momentos nulos.

55

Wavelet de "de Oliveira"

Nova família de wavelets ortogonais complexas. Possuem espectro típico passa-faixa ideal (plano), com regiões de

"rolamento" assimétricas, porém mantendo a filosofia básica da análise a

Q-constante.

Basta escolher )w(Φ (raiz de cosseno elevado).

( )πα

παπαπα

πααπ

π

)1(||)1(||)1(

)1(||0

0

)1(||41cos

21

21

)(+>

+<≤−−<≤

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−=Φw

ww

ww .

56

• não são de suporte compacto. A característica da função φ(t) no domínio frequencial:

−(1+α)π −(1−α)π (1−α)π (1+α)π

Figura. Característica frequencial da AMR ortogonal "de Oliveira" .

A função pulso cossenoidal PCOS desempenha um papel importante

na AMR cosseno elevado.

57

Definição. A função pulso cossenoidal de parâmetros t0, θ0,w0 e B é

definida por

( ) ∏ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+=Bww

wtBwtwPCOS2

)cos(:,,,; 000000 θθ ,t0,θ0,w0,B∈ℜ, 0<B<w0.

a sua transformada inversa é:

( ) ( )BwtwPCOSBwttpcos ,,,;:,,,; 0001

000 θθ −ℑ= .

58

Separando as partes real e imaginária, denota-se ( ) ( ) ( )tipcjtrpcBwttpcos .,,,; 000 +=θ em que

( ) ( )( )Bwttpcosetrpc ,,,;: 000 θℜ= e

( ) ( )( )Bwttpcosmtipc ,,,;: 000 θℑ= . Mostra-se que:

{ }ttt

ttSatdeO )1(sen.4)1(cos

)4(11.4.

21])1[().1.(

21)( 2

)( απααπαπ

απ

πααπ

φ −++−

+−−=

59

4 2 0 2 40.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

alpha=0.1alpha=0.2alpha=0.3

0.435

0.087−

φ t 0.1,( )

φ t 0.2,( )

φ t1

3,⎛⎜

⎝⎞⎠

55− t

Figura. Função escala de "de Oliveira".

(esboço para α=0,1, 0,2 e 0,3).

60

Mostra-se que a wavelet complexa de "de Oliveira" é dada por

( ).)( )(2/)( wSew deOjwdeO −=Ψ , em que ( )wSw deOdeO )()( |)(| =Ψ .

( )

( )⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

+>

+<<−−−

−<<+

+<<+−

<

=

)(12 se 0

)(12)(12 se )1(281cos

21

)(12)(1 se 21

)(1)-(1 se )1(41cos

21

)-(1 se 0

)()(

απ

απαπαπαπ

απαππ

απαπαπαπ

απ

w

ww

w

ww

w

wS deO

61

Figura. Módulo da Wavelet de "de Oliveira"

62

Figura. Wavelet )()( tdeOψ : Parte real

63

Figura. Wavelet )()( tdeOψ : parte imaginária.

64

Wavelets Discretas

A CWT essencialmente mapeia um sinal unidimensional (no

tempo) em uma representação bidimensional (tempo, escala) que

é altamente redundante.

As wavelets agora não são transladadas nem escalonadas

continuamente, mas sim em intervalos discretos.

65

Isto pode ser feito com uma pequena modificação na wavelet

contínua.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= m

mo

mba a

anbt

at

ab

at

0

0

0

nm,,1)( -t1)( ψψψψ

em que m e n são inteiros, a0 >1 é um parâmetro de dilatação fixo, b0

é o fator de translação fixo e b depende agora do fator de dilatação.

66

A Transformada Discreta de Wavelets:

As Séries Wavelet de tempo contínuo (CTWS) Formas discretas são atraentes do ponto de vista:

i) implementação e ii) computacional.

A discretização da WT 1) ocorre apenas no domínio dos parâmetros (variáveis de

escala e translação), 2) não na variável independente do sinal a ser analisado

(tempo ou espaço).

67

Retículado 2D no plano escala-translação:

A grade é indexada por dois inteiros m e n: m => passos na escala discreta n => passos das translações discretas. Fixam-se dois valores dos passos, a0 e b0.

Escala discreta (logarítmica): a=a0

m m=1,2,3,... Translações discretas: b=nb0a0

m n=1,2,3,... dado m.

68

Assim

∫∞+

∞− ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −== dt

aanbttf

anmCTWSbaWT m

m

m0

00

0

)(1:),(),( ψ .

Note que:

f(t) e a wavelet-mãe são tempo contínuo,

coeficientes discretos CTWS(m,n) são discretos.

69

Diferentemente da CWT(a,b), as CTWS(m,n) são definidas apenas

para valores positivos de escala (a0>0), porém esta restrição não é

severa.

Assim, a DWT consiste em um mapeamento do tipo

CTWS: L2(ℜ) → l2(Ζ+

-{0} × Ζ) f(t) |→ CTWS(m,n)

Enunciado de outra forma: sinais contínuos de energia finita são

mapeados em uma grade bidimensional de coeficientes de wavelet.

70

Interessante observar que a DWT é mais análoga à uma

representação em série de Fourier ao invés de uma DFT:

• Série ∑+∞

−∞=n

tjnwneF 0

representação de tempo contínuo, com coeficientes discretos

• DFT ∑−

=

1

0

2

)(N

k

Nnkj

ekfπ

representação em tempo discreto, com espectro discreto.

71

Reticulado: A escolha da grade.

Os coeficientes da CWTS correspondem a pontos num retículo no

domínio escala-translação.

A grade é indexada por dois inteiros m e n, controlando a

discretização da escala e translado.

O reticulado uniforme no plano escala-deslocamento é expresso por:

{ } Znmba nbma ∈=∆ ,00, ),(

00 .

72

Já o reticulado definido pelas wavelets no plano escala deslocamento

é o reticulado hiperbólico

{ } Znm

mmba bnaa ∈=∆ ,000, ),(

00

Caso diádico: a0=2 e b0=1 e { } Znm

mm n ∈=∆ ,1,2 )2,2( . m (escala)

73

n (deslocamento)

Figura. Resolução de transformadas wavelets: plano translação-escala.

74

A Transformada Discreta de Wavelets:

Séries Wavelets de Tempo Discreto (DTWS)

Além da discretização do plano “escala-translação”, a variável

independente do sinal pode também ser discretizada.

Neste caso, define-se:

∑+∞

−∞=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −==

km

m

m aanbkkf

anmDTWSbaWT

0

00

0

)(1:),(),( ψ .

75

Assim, as DTWS consistem em um mapeamento do tipo

DTWS: l2(Ζ) → l2(Ζ+ -{0} × Ζ)

f(k) |→ DTWS(m,n).

Enunciado de forma alternativa: sinais discretos de energia finita são

mapeados em uma grade bidimensional de coeficientes.

Interessante observar que a DTWS é mais análoga à uma

representação do tipo DFT que em série de Fourier.

76

O menor passo inteiro para a escala é a0=2. Usa-se então este fator de

escalonamento, o que é referido como escalonamento diádico. O menor

passo inteiro de translação temporal é b0=1.

Wavelets diádicas:

( )∑+∞

−∞=

−− −=k

mm nkkfnmDTWS 2)(2),( 2/ ψ.

77

Em resumo:

CWT(a,b)= ∫∞+

∞−

− − dta

bttfa )(*)(2/1 ψ

( )∫+∞

∞−

−− −= dtnttfnmCTWS mm 2)(2),( 2/ ψ

( )∑+∞

−∞=

−− −=k

mm nkkfnmDTWS 2)(2),( 2/ ψ .

78

A Análise de Multirresolução

Introdução à Multirresolução A Função de Escala

A função de escala (LPF), denotada aqui por )(tφ , foi introduzida

por Mallat em 1989.

O princípio fundamental é analisar o sinal através de uma

combinação de uma função de escala )(tφ e wavelets )(tψ .

79

Análise de Multirresolução Ortonormal

Método de construção de wavelets ortogonais, (Mallat e Meyer): a análise de multirresolução.

Este método permite construir a maioria das wavelets ortogonais.

Notação: Um

mAclos denota a união dos conjuntos Am , incluindo todos os pontos limites em L2(ℜ). (∀m ∈Z), cria-se um subespaço fechado Vm ⊂ L2(ℜ) formado por sinais aproximados na escala 2m. Formalmente: Definição (AMR).

80

Uma análise de multirresolução em L2(ℜ) consiste numa seqüência de subespaços fechados Vm⊂L2(ℜ), m∈Z, satisfazendo as relações: (AMR1) Vm ⊂ Vm-1 (∀m). (AMR2) f(t) ∈ Vm ⊂ L2(ℜ) ⇔ f(2t) ∈ Vm-1.

(AMR3) =∈U

ZmmVclos L2(ℜ).

(AMR4) IZm

mV∈

= }0{ . (AMR5) ∃ )(tφ ∈ V0 tal que { } Znnt ∈− )(φ é uma base ortonormal para V0.

81

Equação Básica de Dilatação (refinamento)

Considerando como espaço de referência V0 ⊂ V-1, qualquer sinal nele contido pode ser decomposto em termos das funções de uma base de V-1.

Em particular, isto deve ser válido para a função de escala )(tφ ∈ V0.

Subespaço Base V0 { } Znnt ∈− )(φ

V-1 { } Znnt ∈− )2(2φ . Assim, existe uma seqüência {hn} tal que

82

∑∈

−=Zn

n ntht )2(2)( φφ com

+∞<∑∈Zn

nh 2||.

Esta é a principal equação da AMR. Ela tem solução única, de forma que os coeficientes {hn} podem ser

usados para determinar univocamente a função de escala )(tφ .

Os coeficientes {hn} são chamados de "coeficientes do filtro passa-

baixa", ou coeficientes do filtro de escala.

83

Um Estudo de Caso: Decomposição via db2 para ECG

ECG

84

A decomposição explicita visualmente, no nível 6, a wavelet mãe db2. Lembra decomposição em série de Fourier: Os "harmônicos" aqui não

são senoidais perpétuas, mas versões de uma wavelet (e.g., ondas não

perpétuas). Uma característica diferente: A6=S6 (versão grosseira ou passa-baixa), a

qual devem ser adicionados detalhes (versão wavelet ou passa-faixa)

para compor a aproximação.

85

Maior grau de liberdade é conferido à análise, pois o

mesmo sinal pode ser decomposto via um grande número

de diferentes wavelets, ao invés de sempre ser

decomposto em componentes senoidais.

86

Filtragem, Wavelets e Análise de Multirresolução

Filtros suavizador e de detalhes (H e G)

As seqüências Znnh ∈}{ e Znng ∈}{ , ( +∞<∑∈Zn

nh 2|| , +∞<∑∈Zn

ng 2|| )

podem ser exploradas como definindo um processo de filtragem.

Condições de normalização:

∫+∞

∞−= 1)( dttφ ⇒ 2=∑

∈Znnh ;

∫+∞

∞−= 0)( dttψ ⇒ 0=∑

∈Znng .

87

{hn} Filtro suavizador ou filtro de escala {gn} Filtro de detalhe ou filtro wavelet. Condições sobre os coeficientes que resultam em MRA ortogonal: (aide mémoire).

C1. 2=∑∈Zn

nh (condição passa-baixa)

C2. 0=∑∈Zn

ng (condição passa-faixa) C3. gn=(-1)n h1-n. (condição QMF)

C4. mZn

mnnhh ,02 δ=∑∈

+ .

88

A relação de escala dupla estabelece que

∑∈

−=Zn

n ntht )2(2)( φφ.

Aplicando-se Fourier em ambos os membros, com )()( wt Φ↔φ , tem-se:

∑∈

−ℑ=ΦZn

n nthw )2(2)( φ =2/)2/(

212 jwn

Znn ewh −

∈∑ Φ .

Assim,

=Φ )(w )2/(2

1 2/ weh jwn

Znn Φ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

∈∑ .

Definindo o "espectro" do filtro {hn} pela relação:

89

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= −

∈∑ jwn

ZnnehwH :)( .

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Φ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=Φ

2221)( wwHw .

De modo análogo, partindo-se de:

∑∈

−=Zn

n ntgt )2(2)( φψ , Definindo o "espectro" do filtro {gn} pela relação:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= −

∈∑ jwn

ZnnegwG :)( ,

chega-se a

90

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Φ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=Ψ

2221)( wwGw .

As duas equações centrais da AMR no domínio freqüencial

são portanto (Equações de escala dupla):

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Φ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=Φ

2.

221)( wwHw ,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Φ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=Ψ

2221)( wwGw .

91

Construção de AMR Ortogonal - QMF A construção de uma AMR ortogonal pode ser estabelecida

impondo as condições de ortogonalidade: { } Znt ∈)(φ ⊥ { } Znnt ∈− )(φ ⇔ nntt ,0)(),( δφφ >=−< { } Znnt ∈− )(φ ⊥ { } Znt ∈)(ψ ⇔ ntnt ,0)(),( δψφ >=−< { } Znt ∈)(ψ ⊥ { } Znnt ∈− )(ψ ⇔ nntt ,0)(),( δψψ >=−< em que n,0δ representa o símbolo de Kronecker.

92

Estas condições podem ser "versadas" para o domínio Fourier,

permitindo estabelecer:

Proposição 1. A Função de Transferência H(w) verifica a relação

(∀w) 2|)(||)(| 22 =++ πwHwH .

Proposição 2. A Função de Transferência G(w) verifica a relação

(∀w) 2|)(||)(| 22 =++ πwGwG .

Proposição 3. As Funções de Transferência H(w) e G(w) verificam a relação

(∀w) 0=+++ )w(G).w(H)w(G).w(H ** ππ .

93

Note que em w=0, tem-se:

2|)(||)0(| 22 =+ πHH 2|)(||)0(| 22 =+ πGG .

Como 2)0( =H segue-se 0)( =πH ;

e 0)0( =G implica em 2)( =πG .

94

Lema (AMR). Uma condição (necessária) sobre a função de escala de uma AMR ortogonal, obtida como passo intermediária na demonstração das proposições acima corresponde a:

∑+∞

−∞=

=+Φn

nwπ

π21|)2(| 2

.

Proposição. (Escolha QMF):

)w(G.e)w(H *jw π+−= −

)(.)( * π−= − wHewG jw.

95

Um par de filtros G(w) e H(w) verificando condições acima (filtros

espelhados em quadratura Quadrature Mirror Filters) =>

ortogonalidade.

96

Tabela. Relações Básicas

Wavelets e Funções Escala.

Escala Waveletφ(t) ψ(t)

)()( wt Φ↔φ )()( wt Ψ↔ψ 1)( =∫

+∞

∞−dttφ 0)( =∫

+∞

∞−dttψ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Φ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=Φ

2.

221)( wwHw ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Φ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=Ψ

2.

221)( wwGw

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=Φ ∏

∞

=m

m

wHw22

1)(1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=Ψ ∏

∞

=m

m

wHwGw22

1.22

1)(1

2|)(||)(| 22 =++ πwHwH 2|)(||)(| 22 =++ πwGwG 0)( 2)0( == πHH 2)( 0)0( == πGG

0=+++ )w(G).w(H)w(G).w(H ** ππ

97

As condições de ortogonalidade sobre os filtros correspondem a:

0)0( =H e 2)( =πH 2|)(||)(| 22 =++ πwHwH , )()( * π+−= − wGewH jw

.

Estas condições podem ser convertidas para o domínio do tempo,

obtendo as relações sobre os coeficientes Znnh ∈}{ e Znng ∈}{ .

0,*

2 mZn

nnm hh δ=∑∈

+ .

0,*

2 mZn

nnm gg δ=∑∈

+

gn=(-1)n h1-n.

98

A wavelet-mãe pode ser determinada empregando:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Φ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=Ψ −

2.

2.

21.)( *2/ wwHew jw π .

99

Codificação em Sub-Bandas

wavelets discretas => uma série de coeficientes wavelet, também

chamada de Série de Decomposição de Wavelet. É possível implementar uma WT sem implementar explicitamente as

wavelets!

As translações são limitadas à duração do sinal, logo existe um limite

superior. Resta então analisar o escalonamento. "Quantas escalas serão necessárias para se analisar um sinal?" - Infinitas!

100

A solução para este obstáculo é simplesmente não cobrir o espectro até a origem! Com este valor calcula-se o limite inferior para o escalonamento, único parâmetro restante.

Figura. Compressão no tempo gera uma expansão do espectro da

wavelet.

A idéia de se analisar um sinal via um banco de filtros é conhecida

como Codificação em Sub-bandas (Subband Coding).

101

O modo de análise para wavelets discretas consiste em projetar filtros

passa-alta (HPF) e passa-baixa (LPF) de tal modo que “particione” o

espectro do sinal exatamente ao meio.

Figura. Banco de filtros / Codificação em Sub-bandas.

A Codificação em sub-bandas.

102

Mudança de notação (apropriada p/ filtragem digital) dm[n]:=dm,n e cm[n]:=cm,n; h[l]:=hl.

Avaliação dos coeficientes de escala cm[n]

∑∈

+ −=Zk

NN ]k[c].nk[h]n[c 21 .

Os coeficientes da decomposição (versão aproximada) podem ser

obtidos iterativamente ⎯ uma filtragem discreta; sem necessitar uma

fórmula explicita para φ(.).

103

Apenas os coeficientes do filtro suavizador {hk} são requeridos.

Avaliação dos coeficientes de escala dm[n].

Os coeficientes da decomposição wavelet (detalhes), i.e., os

coeficientes da transformada de wavelets, são obtidos via:

∑∈

+ −=Zk

NN ]k[c].nk[g]n[d 21 . Assim, os coeficientes da decomposição (versão detalhada) podem

ser obtidos iterativamente ⎯ uma filtragem discreta; sem necessitar uma

fórmula explicita para ψ(.).

104

Apenas os coeficientes do filtro de detalhes {gk} são requeridos.

A expressão de filtragem de sub-banda requer uma sub-amostragem

por 2 (down-sampling), processo conhecido por Dizimação (ou

decimação).

O tamanho da seqüência cai para metade!

105

Figura. Procedimento de codificação em sub-banda:

Decomposição de uma escala para a próxima.

106

Figura. Cálculo dos coeficientes da Transformada Discreta de Wavelet por filtragem e sub-amostragem.

107

Os valores de g[n] e h[n] correspondem a LPF e HPF, respectivamente.

Wavelets de suporte infinito (e.g. wavelets de Meyer, Battle-Lemarié

...) possuem infinitos valores não nulos de h[n] e g[n] ⎯ implementada

com IIR.

Já wavelets de suporte finito (e.g., Haar, Daubechies) só possuem um

número finito de coeficientes de filtros não nulos ⎯ implementada

com FIR.

108

Aplicações de Wavelets Provocações... (!) Wavelets em Descontaminação de Sinais Infelizmente, descontaminação é um problema difícil ⎯ não há

fronteiras de distinção entre o sinal e o ruído.

Métodos de descontaminação: suprimir "algumas" componentes

"incoerentes" com o sinal de informação.

109

As wavelets tem se mostrado como ferramentas importantes no combate

e remoção de ruído.

• sinal original fk

• ruído aditivo nk v.a. - ruído branco gaussiano.

• observações kkk nfy σ+= , k=0,1,2,...,K-1,

Matricialmente, y=f+σn .

Aplicando-se a transformada de wavelets, obtém-se

)()()( nfy DWTDWTDWT σ+= .

Os coeficientes wavelet do ruído superpõem-se aos coeficientes wavelets do sinal.

110

SNR alta:

Eliminam-se as contribuições para a reconstrução do sinal em que o

ruído é "comparável" ao sinal, mantendo apenas coeficientes wavelets

onde a contribuição do sinal é "importante".

É comum o uso de um limiar abrupto (hard threshold),

contrário caso |x| se 0

)(T

xxC

≤

⎩⎨⎧

= .

111

Algoritmo Waveshrink P1. Fixe um nível m≥1 e normalize as observações via mkk Kyy /~ = . P2. Calcule a DWT da observações normalizadas. P3. Aplique o operador C(x) nos coeficientes wavelet obtidos. O operador de encurtamento (shrinkage), C(x), é definido por:

contrário casoT|x| seT|x|

).x(Sgn)x(C mm >

⎩⎨⎧ −

=0 ,

em que Tm é um limiar. P4. Efetue a transformada inversa de wavelet para obter uma estimativa descontaminada do sinal original.

112

Figura. Waveshrink: descontaminação de sinais usando wavelets.

113

Compressão via wavelets A título de destacar a relevância das wavelets como mecanismos de compressão:

Inclusão no padrão internacional JPEG 2000.

padrão do FBI (Federal Bureau of Investigations) para o armazenamento de impressões digitais.

114

115

Wavelets em Localização de Faltas em Linhas de Transmissão Wavelets constituem uma ferramenta poderosa na detecção de faltas em

linhas de transmissão, inclusive na análise de faltas de difícil detecção

(e.g., faltas de alta impedância, faltas em linhas com

compensação série e faltas em linhas com acoplamento mútuo).

A implementação de algoritmos de identificação ou localização de

faltas em linhas de transmissão está baseada na configuração do sistema

de monitoramento dos sinais de tensão e/ou corrente na linha de

transmissão, através do uso de registradores digitais de perturbação.

116

Identificação de Faltas Um Método Baseado nos Sinais de Fase

Solanki e colaboradores apresentaram um método para detectar e

classificar faltas em linhas de transmissão de extra-alta tensão, para

aplicação em relés de proteção de alta velocidade.

Tempo real => MRA foi considerada. Escolha da wavelet mãe: Entre Daubechies, Haar, Coiflet, Symmlet e

Biortogonal a wavelet escolhida foi a Sym2.

117

Um Método Baseado nas Componentes Modais

Magnago e Abur propuseram o uso da teoria das ondas viajantes e da

transformada de wavelet na localizar faltas em linhas de transmissão.

Silveira et al. também considera a decomposição dos sinais de fase

em suas componentes modais, porém faz uso de redes neurais para

promover a identificação das faltas.

118

LOCALIZAÇÃO DE FALTAS EM LTs

Os algoritmos utilizados para localizar faltas em LTs podem ser classificados:

1) aqueles baseados nas componentes na freqüência fundamental; 2) aqueles que fazem uso das componentes de alta freqüência dos

sinais transitórios relacionados à falta.

Determinação da reatância aparente da linha de transmissão durante a falta.

Determinação do tempo de viagem da onda e da velocidade de propagação da onda viajante na linha de transmissão.

119

Yibin e colaboradores apresentaram um método que faz uso das

componentes da faixa de freqüência incluindo a freqüência fundamental

do sistema de potência, 60 Hz, para prover a localização da falta.