Heurística Matemática Aplicada ao Problema da Coloração de ...
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Heurística Matemática Aplicada ao Problema da Coloração de Grafos
MARIANE REGINA AFONSO VIEIRA
ORIENTADOR: GEORGE HENRIQUE GODIM DA FONSECA
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Sumário1. Introdução
2. Objetivos
3. Metodologia
4. Fundamentação Teórica
5. Revisão Bibliográfica
6. Desenvolvimento
7. Solução Inicial
8. Heurísticas de Refinamento
9. Experimentos Computacionais
10. Conclusão
2
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• O que é um grafo?
UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
Fonte – (Feofiloff, 2017)
Introdução
3
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Mapa do Metrô da cidade de Barcelona
Fonte – (UFSC, 2002)
UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO 4
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• A Teoria dos Grafos
• 1736 – Problema das Pontes de Konigsberg – Prússia XVIII
• Leonard Euler
Fonte – (DALLAQUA, 2016)
UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO 5
Introdução
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• Problema da Coloração de Grafos
Fonte – (Meidanis, 2012)
6UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO 6
Introdução
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Introdução
• Francis Guthrie – Problema das quatro cores
• Kempe, 1879 e Peter Guthrie Tait, 1880
• Percy John Heawood, 1890
• Julius Peter Christian Petersen, 1891
• Hapel e Akken, 1976
Qualquer grafo planar é 4-colorível!
7UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
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• O problema vai mais além...
8UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
Fonte – (Zilderlânio, 2015)
Introdução
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• Problema NP-Dificil
• Técnicas pensadas para encontrar a melhor solução possível.
• Várias aplicações
• Agendamento de horários educacionais
• Alocações de registradores
• Planejamento de tráfego aéreo
9UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
Introdução
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10UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Mat.
Por.
Ingl.
Geog.
Hist.
Física
Química
Biologia
Introdução
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11UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
Fonte – (Andrade, 2014)
Introdução
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Objetivos
• Estudar e desenvolver uma heurística matemática baseada
em decomposição;
• Realizar um levantamento bibliográfico das melhores estratégias
computacionais para solucionar o problema;
• Propor a primeira heurística matemática para a Coloração de Grafos;
• Analisar a viabilidade e o comportamento do algoritmo para grafos
oriundos de várias aplicações.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO 12
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Metodologia
• Instâncias: DIMACS Implementation Challenge
• Etapas:
• Revisão da Literatura;
• Reprodução do algoritmo D-Satur;
• Desenvolvimento de formulação de programação matemática;
• Implementação da heurística matemática;
• Implementação da meta-heurística;
• Avaliação computacional das técnicas desenvolvidas;
• Análise.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO 13
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• Programação linear
• Otimizar problemas de decisão;
• Programação Linear Inteira
• Variáveis discretas;
14UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
Fundamentação Teórica
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• Heurísticas
• Heurísticas construtivas;
• Heurísticas de refinamento;
• Meta-heurísticas
• Heurísticas matemáticas
15UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
Fundamentação Teórica
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◦ Algoritmos para o problema de coloração de grafos – Rego, M. F.; Santos, H. G.
◦ Solving the graph coloring problem via hybrid genetic algorithms – Douiri, S. M.; Elbernoussi, S.
◦ New approximation algorithms for solving graph coloring problem – An experimental approach –
Marappan, R.; Sethumadhavan, G.; Srihari, R.
◦ Desenvolvimento de meta-heurística baseada em simulated annealing aplicado a coloração de
grafos para otimização de processos – Macedo, H. R; Lima, H. H. d. C.; Tolentino, C. H. C.
◦ New graph coloring algorithms –Al-Omari, H; Sabri, K. E.
◦ Modelagem matemática e aplicações do problema de coloração em grafos – Lozano, D.
16UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
Revisão Bibliográfica
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• Formulação matemática
◦ 𝐺 = 𝑉, 𝐸
◦ 𝑉 = 1,… , 𝑛
◦ 𝐸 = { 𝑣1, 𝑣2 , … }
◦ 𝐶 = 1,… ,𝑚
17UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
Desenvolvimento
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• Formulação matemática
• Variáveis
18UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
Desenvolvimento
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• Formulação matemática
• Função objetivo
19UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
Desenvolvimento
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• Formulação matemática
◦ Restrições
20UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
Desenvolvimento
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• Algoritmo Guloso
21UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
Solução Inicial
2 5
1
3
4
6 7
1 2 3 4 5 6 7 4 cores!
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• Algoritmo D-Satur
22UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
Solução Inicial
2 5
1
3
4
6 7
1 2 4 5 6 7 3
D = 3
d = 0
D = 2
d = 0
D = 3
d = 0
D = 3
d = 0
D = 3
d = 0
D = 3
d = 0
D = 3
d = 0
D grau
d grau de saturação
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• Algoritmo D-Satur
23UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
Solução Inicial
2 5
1
3
4
6 7
1 2 4 3 5 6 7
D = 2
d = 1
D = 3
d = 1
D = 3
d = 1
D = 3
d = 0
D = 3
d = 0
D = 3
d = 0
D grau
d grau de saturação
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• Algoritmo D-Satur
24UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
Solução Inicial
2 5
1
3
4
6 7
1 2 3 4 5 6 7
D = 2
d = 2
D = 3
d = 1
D = 3
d = 1
D = 3
d = 0
D = 3
d = 0
D = 3
d = 1
D grau
d grau de saturação
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• Algoritmo D-Satur
25UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
Solução Inicial
2 5
1
3
4
6 7
1 2 3 4 5 6 7
D = 2
d = 2
D = 3
d = 1
D = 3
d = 1
D = 3
d = 0
D = 3
d = 0
D = 3
d = 1
D grau
d grau de saturação
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• Algoritmo D-Satur
26UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
Solução Inicial
2 5
1
3
4
6 7
1 2 3 4 5 6 7
D = 2
d = 2
D = 3
d = 1
D = 3
d = 1
D = 3
d = 1
D = 3
d = 1
D = 3
d = 1
D grau
d grau de saturação
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• Algoritmo D-Satur
27UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
Solução Inicial
2 5
1
3
4
6 7
1 2 3 4 5 6 7
D = 2
d = 2
D = 3
d = 1
D = 3
d = 1
D = 3
d = 2
D = 3
d = 2
D = 3
d = 1
D grau
d grau de saturação
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• Algoritmo D-Satur
28UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
Solução Inicial
2 5
1
3
4
6 7
1 2 3 4 5 6 7
D = 2
d = 2
D = 3
d = 1
D = 3
d = 1
D = 3
d = 2
D = 3
d = 3
D = 3
d = 1
D grau
d grau de saturação
4 cores!
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• Heurística Simples - recol
29UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
Heurísticas de refinamento
2 5
1
3
4
6 7
Vértice 5 recebe cor 1
Vértice 1 recebe cor 2
Vértice 2 recebe cor 3
Vértice 2 recebe cor 1
Vértice 6 recebe cor 3
Vértice 1 recebe cor 3
Vértice 7 recebe cor 3
Vértice 3 recebe cor 3
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• Meta-heurística – Simulated Annealing
• Gerar um vizinho qualquer;
• Calcular ;
• Custo simples
• 𝑛𝑢𝑚𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠 ∗ 𝑛𝑢𝑚𝐶𝑜𝑟𝑒𝑠𝑆 +𝑚𝑖𝑛
• Probabilidade de aceitar a nova solução
• 𝑥 < 𝑒−Δ
𝑇
• Resfria
30UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
Heurísticas de refinamento
2 5
1
3
4
6 7
D
𝑚𝑖𝑛 = frequencia da cor menos utilizada
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• Heurística matemática – mipHeuristic
• Sorteia as cores a serem desafixadas;
31UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
Heurísticas de refinamento
2 5
1
3
4
6 7
Vértice 2 pode receber a cor 4
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• Heurística matemática – mipHeuristic
• Sorteia as cores a serem desafixadas;
32UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
Heurísticas de refinamento
2 5
1
3
4
6 7
Vértice 2 pode receber a cor 4
Vértice 3 pode receber a cor 2
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• Heurística matemática – mipHeuristic
• Sorteia as cores a serem desafixadas;
33UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
Heurísticas de refinamento
2 5
1
3
4
6 7
Vértice 2 pode receber a cor 4
Vértice 3 pode receber a cor 2
Vértice 5 pode receber a cor 2
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• Heurística matemática – mipHeuristic
• Sorteia as cores a serem desafixadas;
34UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
Heurísticas de refinamento
2 5
1
3
4
6 7
Vértice 2 pode receber a cor 4
Vértice 3 pode receber a cor 2
Vértice 5 pode receber a cor 2
Vértice 6 pode receber a cor 1
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• Heurística matemática – mipHeuristic
• Sorteia as cores a serem desafixadas;
• Deixou de utilizar 1 cor
• 3 cores!
35UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
Heurísticas de refinamento
2 5
1
3
4
6 7
Vértice 2 pode receber a cor 4
Vértice 3 pode receber a cor 2
Vértice 5 pode receber a cor 2
Vértice 6 pode receber a cor 1
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• Ambiente computacional
• Notebook PC HP ENVY 17 – 64 bits.
• Intel Core™ i7-4710HQ CPU @ 2.50GHZ, 2501 Mhz. 4
cores e 8 processadores lógicos. Memória RAM: 12 GB
• Microsoft Windows 10 Home
• Implementação em Java – NetBeans IDE 8.2
• Gurobi Optimizer
UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
Experimentos Computacionais
36
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• Caracterização das Instâncias
• DIMACS Implementation Challenge
• Grafos divididos em 2 tabelas
• Vértices, arestas e densidade do grafo
UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
Experimentos Computacionais
37
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• Planejamento Experimental
• Tempo de execução das heurísticas de refinamento
• Fatores e níveis
• 𝐺𝐴𝑃 =𝑠′−𝑠∗
𝑠′
• Simulated Aneealing: α = 0.4 / 𝑇0 = 50 / 𝑆𝐴𝑚𝑎𝑥 = 50
• mipHeuristic: color_percent = 0.2
UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
Experimentos Computacionais
38
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• Resultados
• Geração da solução inicial
UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
Experimentos Computacionais
39
Grafo greedycol 𝑻𝒈𝒓𝒆𝒆𝒅𝒚𝒄𝒐𝒍 D-Satur 𝑻𝑫−𝑺𝒂𝒕𝒖𝒓
queen5_5 8 0 5 28
queen6_6 11 6 9 54
queen7_7 10 10 11 56
queen8_8 13 24 12 61
queen9_9 16 17 13 67
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• Resultados
• mipHeuristic
UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
Experimentos Computacionais
40
Grafo s* Exp1 Exp2 Exp3 Exp4 Exp5 𝒔𝒎𝒊𝒏 𝒔𝒎𝒂𝒙 𝒔𝒎é𝒅𝒊𝒐 GAP
queen5_5 5* 5 5 5 5 5 5 5 5,00 0,00
queen6_6 7* 7 7 7 7 7 7 7 7,00 0,00
queen7_7 7* 7 7 7 7 7 7 7 7,00 0,00
queen8_8 9* 10 9 9 9 10 9 10 9,40 0,00
queen9_9 10* 11 11 11 11 10 10 11 10,80 0,00
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• Resultados
• Comparação com a literatura – Douiri e Elbernoussi
UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
Experimentos Computacionais
41
Grafo s* 𝒔𝑫&𝑬 𝑮𝑨𝑷𝑫&𝑬 𝒔𝒎𝒊𝒑𝑯𝒆𝒖𝒓𝒊𝒔𝒕𝒊𝒄 𝐆𝐀𝐏𝐦𝐢𝐩𝐇𝐞𝐮𝐫𝐢𝐬𝐭𝐢𝐜
queen5_5 5* 5 0,00 5 0,00
queen6_6 7* 7 0,00 7 0,00
queen7_7 7* 7 0,00 9 0,00
queen8_8 9* 9 0,00 10 0,00
queen9_9 10* 10 0,00 11 0,00
![Page 42: Heurística Matemática Aplicada ao Problema da Coloração de ...](https://reader030.fdocumentos.com/reader030/viewer/2022012702/61a4e341637ae030761d456c/html5/thumbnails/42.jpg)
• Análise dos resultados
• Trabalhos futuros
• Conclusão
UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
Conclusão
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
Referências
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
Referências
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