hidráulica hidrologia

3 Hidráulica e Hidrologia

1. CONCEITOS BÁSICOS Uma classificação geral básica, que norteia o estudo da hidráulica, diz

respeito à pressão no conduto, podendo o escoamento ser forçado ou livre. No

conduto forçado, a pressão interna é diferente da pressão atmosférica. Nesse tipo

de conduto, as seções transversais são sempre fechadas e o fluido circulante as

enche completamente. O movimento pode se efetuar em qualquer sentido do

conduto como o caso da rede de abastecimento urbana de água entre outros

sistemas.

Figura 1.1: Travessia área da adutora de Figura 1.2: Construção da adutora de água

água bruta do sistema Marrecas – RS. bruta de Manaus.

Fonte: Jornal Observatório – 28/01/2013 Fonte: http://www.ncpam.com.br/2009/11/construcao-

da-adutora-de-agua-da-zona.html

Em condutos livres o líquido escoante apresenta superfície livre, na qual atua

a pressão atmosférica. A seção não necessariamente apresenta perímetro fechado e

quando isto ocorre, para satisfazer a condição de superfície livre, a seção

transversal funciona parcialmente cheia. O movimento se faz no sentido decrescente

das cotas topográficas, por gravidade. Neste caso pode-se citar como exemplos os

canais de irrigação, ou fechado, como nas redes de coleta de esgoto sanitário que

trabalham à pressão atmosférica.

Figura 1.3: Canal de Pereira Barreto Figura 1.4: Obra de canalização do Ribeirão O maior canal navegável da América Latina Anhumas. Campinas, SP.

Fonte: Google Fonte: http://www.fec.unicamp.br


Figura 1.5: Obra do canal o cinturão das águas e interligação. Região de Cariri - Fortaleza.

Fonte: http://www.srh.ce.gov.br/notícias

1.1 Classificação dos Movimentos Nas massas fluidas em movimento é possível distinguir os seguintes tipos de

escoamento:

� Escoamento não-permanente: os elementos que definem o escoamento

variam em uma mesma seção com o passar do tempo. No instante t1 tem-se

a vazão Q1 e no instante t2 tem-se a vazão Q2, sendo uma diferente da outra.

Nas ondas de cheia, por exemplo, tem-se este tipo de escoamento.

� Escoamento permanente: é aquele em que, os elementos que o definem

(força, velocidade, pressão) em uma mesma seção permanecem inalterados

com o passar do tempo. Todas as partículas que passam por um determinado

ponto no interior da massa líquida terão, neste ponto, a qualquer tempo,

velocidade constante. O movimento permanente pode ser ainda:

� Uniforme: quando a velocidade média do fluxo ao longo de sua

trajetória é constante. Neste caso, v1 = v2 e A1= A2.

� Variado: a velocidade varia ao longo do escoamento. Pode ser

acelerado ou retardado.

1.2 Equações Fundamentais do Escoamento

Os escoamentos em sua grande maioria podem ser considerados

unidimensionais e em regime permanente, simplificando muito as equações de fluxo

normalmente utilizadas, tais como, as equações da continuidade, da quantidade de

movimento e de Bernoulli.


1.2.1 Linha de Corrente

Uma linha de corrente é a trajetória de um elemento de volume do fluido.

Enquanto esse elemento de volume se move, ele pode variar a sua velocidade em

módulo, direção e sentido. O vetor velocidade será sempre tangente á linha de

corrente. Uma consequência desta definição é que as linhas de corrente nunca se

cruzam, pois caso o fizessem o elemento de volume poderia ter uma das duas

velocidades com diferentes direções, simultaneamente.

Em um escoamento podemos isolar tubos de corrente, cujos limites são

definidos por linhas de corrente. Tal tubo funciona como um cano, porque nenhuma

partícula escapa através de suas paredes, pois justamente essas paredes definem

as linhas de corrente. Consideremos um tubo de corrente na Figura 1.6 onde o fluido

se move da esquerda para a direita.

Figura 1.6: Linha de tubo de corrente.

O tubo tem seção transversal A1 e A2 nas posições indicadas e velocidades

respectivas v1 e v2 . Observemos durante um intervalo de tempo ∆t o fluido que

cruza a área A1. A massa de fluido que atravessa essa superfície neste intervalo é

dado por ∆m1 = ρ1 ∆V1 = ρ1 A1 ( v1 ∆t ). Como não existe fonte ou sorvedouro de

massa entre A1 e A2 , essa mesma massa de fluido atravessará a superfície A2 e

será dado, nesse caso, por: ∆m2 = ρ2 ∆V2 = ρ2 A2 ( v2 ∆t ) onde concluímos que: ρ1

A1 v1 = ρ2 A2 v2 ou seja: ρ A v = constante ao longo de um tubo de corrente. Algumas

vezes a equação anterior é chamada de equação de continuidade para escoamento

de fluidos. Como as linhas de corrente não se cruzam, elas se aproximam uma das

outras à medida que o tubo de corrente diminui a sua seção transversal. Desse

modo o adensamento de linhas de corrente significa o aumento da velocidade de

escoamento.


1.2.2 Equação da Continuidade

A equação da continuidade é a equação da conservação da massa expressa

para fluidos incompressíveis (massa específica constante). Em um tubo de corrente

de dimensões finitas, a quantidade de fluido com massa específica 1

ρ que passa

pela seção 1

A , com velocidade média 1

v , na unidade de tempo é 11 1 1

mv A

tρ= ⋅ ⋅ .

Por analogia, na seção 2 tem-se 22 2 2

mv A

tρ= ⋅ ⋅ .

Em se tratando de regime permanente a massa contida no interior do tubo é

invariável, logo:

1 1 1 2 2 2v A v Aρ ρ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ , com Esta é a equação da conservação da massa. Tratando-se de líquidos, que

são praticamente incompressíveis, 1ρ é igual a 2ρ .

Então, 1 1 2 2 n nv A v A v A⋅ = ⋅ = ⋅ e v A Q⋅ = . A equação da continuidade mostra

que, no regime permanente, o volume de líquido que, na unidade de tempo,

atravessa todas as seções da corrente é sempre o mesmo.

1.2.3 Equação de Bernoulli para fluido ideal • Para fluido ideal

Na dedução deste teorema, fundamentada na Equação de Euler, foram

consideradas as seguintes hipóteses:

• o fluido não tem viscosidade;

• o movimento é permanente;

• o escoamento se dá ao longo de um tubo de fluxo e,

• o fluido é incompressível.

Figura 1.7: Escoamento em um tubo.


De modo simplificado temos que,

2 22 1 1 2

1 2

2 21 1 2 2

1 2

2 2

tan2 2

v v P Pz z

g g

P v P vz z cons te

g g

γ γ

γ γ

− = − + −

+ + = + + =

Este é o teorema de Bernoulli, que se anuncia: “Ao longo de qualquer linha de

corrente é constante a somatória das energias cinética (2

2v

g ), piezométrica (

P

γ ), e

potencial (z)”. O Teorema de Bernoulli não é senão o princípio da conservação de

energia. É importante notar que cada um desses termos pode ser expresso em

unidade linear, constituindo o que se denomina “carga” ou altura ou energia por

unidade de peso.

• Para fluido real

A experiência mostra que, em condições reais, o escoamento se afasta do

escoamento ideal. A viscosidade dá origem a tensões de cisalhamento e, portanto,

interfere no processo de escoamento. Em consequência, o fluxo só se realiza com

uma “perda” de energia, que nada mais é que a transformação de energia mecânica

em calor e trabalho.

A equação de Bernoulli, quando aplicada a seções distintas da canalização,

fornece a carga total em cada seção. Se o líquido é ideal, sem atrito, a carga ou

energia total permanece constante em todas as seções, porém se o líquido é real,

para ele se deslocar da seção 1 para a seção 2, o líquido irá consumir energia para

vencer as resistências ao escoamento entre as seções 1 e 2.

Figura 1.8: Representação da equação de Bernoulli para fluido real.


Analisando a Figura 1.8, podemos identificar três planos:

� Plano de carga efetivo: é a linha que demarca a continuidade da altura

da carga inicial, através das sucessivas seções de escoamento;

� Linha piezométrica: é aquela que une as extremidades das colunas

piezométricas. Fica acima do conduto de uma distância igual à pressão existente, e

é expressa em altura do líquido. É chamada também de gradiente hidráulico e,

� Linha de energia: é a linha que representa a energia total do fluido. Fica,

portanto, acima da linha piezométrica de uma distância correspondente à energia de

velocidade e se o conduto tiver seção uniforme, ela é paralela à piezométrica. A

linha piezométrica pode subir ou descer, em seções de descontinuidade. A linha de

energia somente desce.

1 2

2 21 1 2 2

1 2

2 2

E E H

P v P vz z H

g gγ γ

= + ∆

+ + = + + + ∆

Quando existem peças especiais e trechos com diâmetros diferentes, as

linhas de carga e piezométrica vão se alterar ao longo do conduto. Para traçá-las,

basta conhecer as cargas de posição, pressão e velocidade nos trechos onde há

singularidades na canalização. A instalação esquematizada na Figura 1.9 ilustra esta

situação.

Figura 3.2: Perfil de uma canalização que alimenta o reservatório R2, a partir do reservatório

R1, com uma redução de diâmetro.


1.3 Posição dos Encanamentos em Relação à Linha de Carga

Plano de carga efetiva (PCE): lugar geométrico que representa a altura da coluna

de água de piezômetros instalados ao longo da tubulação, com o sistema estático

(sem escoamento.)

Plano de carga absoluta (PCA): lugar geométrico ou posição que representa a

soma do PCE com a Patm local.

Linha piezométrica efetiva (LPE): representa o lugar geométrico ao qual chegaria

a água em piezômetros, se fossem colocados ao longo da tubulação.

Linha piezométrica absoluta (LPA): é a soma de LPE (P/γ) e Patm local.

Linha de carga efetiva (LCE): lugar geométrico ou posição que representa a soma

das três cargas:

2 2

2

2 2

Na prática LCE= LPE pois tem um valor pequeno.2

P v vLCE z LCE LPE

g g

v

g

γ= + + = +

Linha de carga absoluta (LCA): é a soma de LCE e Patm local.

1.3.1 Posição das tubulações – Escoamento por gravidade

A) 1ª posição: tubulação abaixo da LPE.


Para um bom funcionamento do sistema o engenheiro deverá prever pontos

de descargas com registros para limpeza periódica da linha e eventuais

esvaziamentos. Nos pontos mais altos devem ser instaladas ventosas, que são

válvulas que permitem o escape de ar, que por ventura esteja acumulado.

B) 2ª posição: A tubulação AB tem seu desenvolvimento segundo a linha de carga

MN, isto é, acompanha a linha de carga efetiva. Em qualquer ponto, P0/γ =0. A água

não subirá em piezômetro instalado em qualquer ponto da tubulação. Mesmo tendo

o contorno fechado, o funcionamento é de conduto livre, exemplos canais e rios.

C) 3ª posição: É mostrado na Figura, onde vemos a tubulação AB com trecho EFG

situado acima da linha de carga efetiva, porém abaixo da linha de carga absoluta.

Nesta parte da tubulação, P/γ < 0, ou seja, a pressão é inferior à atmosférica. A

depressão reinante neste trecho torna o ambiente favorável ao desprendimento do

ar em dissolução no fluido circulante e à formação de vapor onde a tubulação corta

LPE mas fica abaixo de LPA

Sem problemas de escoamento.

Sem problemas de escoamento.


D) 4ª posição: A tubulação corta a linha de carga absoluta, mas fica abaixo do plano

de carga efetivo. Esta situação é a anterior, em condições piores. A vazão, além de

reduzida, é imprevisível. Os dois trechos, AEF e FGB, podem ser interligados por

uma caixa de passagem localizada em F, com o objetivo de minimizar os

inconvenientes decorrentes da situação ou escorvando-se o trecho EFG, por meio

de uma bomba, o encanamento funcionará como se fosse um sifão. As condições

são as piores que no caso anterior, pois o escoamento cessará completamente

desde que entre ar no trecho EFG, sendo necessário escorvar novamente o sifão

para permitir o funcionamento da canalização.

E) 5ª posição:A tubulação tem um trecho acima da linha de carga e do plano de

cargas efetivas, mas abaixo da linha de carga absoluta. Nesta situação o

escoamento só será possível se a tubulação for previamente escorvada e funcionará

como sifão. No trecho em que a tubulação fica acima do plano de carga efetiva, a

pressão efetiva é negativa e as condições de funcionamento são piores do que no

caso anterior.

Situação problemática

P < Patm entre E e G.

Possibilidade de entrada de

ar ou outra substância que

esteja próximo ao exterior da

tubulação Situação a ser

evitada. Solução: utilizar

reservatório de passagem.


Vazão imprevisível.

Problemas de colapso e

possibilidade de contaminação

da água. Solução: evitar,

mudando o curso da

tubulação, ou instalar uma

bomba (aumento da LPE).


F) 6ª posição: O trecho do conduto está acima da linha de carga absoluta, mais

abaixo do plano de carga absoluta. Trata-se de um sifão funcionando nas piores

condições possíveis.

G) 7ª posição: tubulação corta o PCA.

Tem-se o trecho acima do plano de carga absoluta. O escoamento pela ação

da gravidade é impossível. A água somente circulará se for instalada uma bomba

capaz de impulsioná-la acima do ponto em que o conduto corta o plano de carga

efetiva. Nos próximos capítulos será estudado o bombeamento ou recalque da água.


Vazão previsível. Não há

escoamento espontâneo

Entrada de ar na tubulação

estanca o escoamento.

Aplicação prática: sifão

(irrigação por sulcos)


Vazão imprevisível e não

espontânea. Sifão operando

nas piores condições

possíveis.


Escoamento impossível (por

gravidade). Há necessidade

de bombeamento. (Mostrar o

efeito da bomba sobre PCA,

PCE, LPA e LPE)


Exercícios Resolvidos

1.1 Em um vertedor de concreto, a profundidade na crista da barragem é de 2,30

m e as águas escoam com um velocidade de 2,10 m/s. Ao final do vertedor a a

altura da lâmina de água é de 0,40 m e a velocidade da água é de 18,0 m/s.

Desprezando as possíveis perdas que podem ocorrer pelo atrito, pede-se a altura do

vertedor. 2 2

1 1 2 21 2

2 2

1

2 2

2,1 18,0(z 2,30) 0,40

19,62 19,62

0,22 2,30 16,51 0,4

14,39

P v P vz z

g g

z

z m

γ γ+ + = + +

+ + = +

+ + = +

=

1.2. De uma pequena barragem, parte uma tubulação de 350 mm de diâmetro, com

poucos metros de extensão, havendo posteriormente uma redução para 125 mm de

diâmetro. Da tubulação de 125 mm, a água parte para a atmosfera em forma de jato.

A vazão foi medida, encontrando-se o valor de 250L/s. Desprezando-se as perdas,

calcular a pressão na seção inicial da tubulação de 350 mm e a altura de água na

barragem, da superfície ao eixo da tubulação.

Solução:

Como a vazão que passa no ponto 1 é igual a vazão no ponto 2.


1 1 1

23

1

3

1 2

1

0,35250 10

4

250 10 40,35

2,60m/s

Q v A

v

v

v

π

π

−

−

= ⋅

⋅⋅ = ⋅

⋅ ⋅=

⋅

=

2 2 2

23

2

3

2 2

2

0,125250 10

4

250 10 40,125

20,37m/s

Q v A

v

v

v

π

π

−

−

= ⋅

⋅⋅ = ⋅

⋅ ⋅=

⋅

=

Adotando o P.H.R igual a z, tem-se que z1 é igual a z2.

Logo a pressão é calculada como sendo: 2 2

1 1 2 2 2

2 21

1

1

mas 02 2

20,37 2,6019,62 19,62

21,15 0,34

20,81 m

P v P v P

g g

P

P

P

γ γ γ

γ

γ

γ

+ = + =

= −

= −

=

Mas a altura da lâmina de água é:

21 1 20,81 0,34 21,15 m

2P v

H Hgγ

= + = + ∴ =

1.3. Um sifão de seção transversal constante, é utilizado para drenar água de um

tanque, conforme na figura. Num determinado instante, chamemos de "H" há

diferença entre o nível do líquido no tanque e a saída do tubo com o qual o sifão é

construído. Se a pressão atmosférica tem valor de 1 atm e h = 50 cm, pede-se:

A) Determinar a velocidade do fluido pelo tubo;

B) Determinar a pressão no interior do tubo no ponto “B”;

C) Mostrar que se a extremidade do tubo encontra-se acima do nível do líquido no

tanque, o líquido não fluirá.


Solução:

A) A velocidade do fluido 22

22

+z , nos pontos A e C a pressão é 1 atm, portanto se anulam.2 2

+z ,como a seção transversal no ponto A é muito maior que o ponto C, 2 2

a velocidade em A pode ser despreza

c cA A

A c

cA

A c

P vP vz

g g

vvz

g g

γ γ+ + = +

+ =

2

2

da. Admitindo P.H.R no ponto C tem-se:

+ 0 e portanto, z .2

2 2 9,81 0,50 3,13 m/s2

c

A A

c

c

vz H

g

vH v gH

g

= =

= ∴ = = ⋅ ⋅ =

B) A pressão no ponto “B”. 22

5 3

5

4

+z , v =v pois o tubo tem o mesmo diâmetro.2 2

0,50 +0, mas = g e 1 atm = 1,013 10 Pa. Lembrando =1000 kg/m .

1,013 10 0,50 1000 9,81

9,63 10 Pa

c cB B

B c B C

cB

B

B

P vP vz

g g

PP

P

P

γ γ

γ ρ ργ γ

+ + = +

+ = ⋅ ⋅

= ⋅ − ⋅ ⋅

= ⋅

C) O líquido fluirá?

Se a extremidade do tubo estiver acima do nível do líquido no tanque, então

zB-zC é negativo resultando em solução imaginária e, portanto, o líquido não fluirá,

pois na equação da velocidade o H é negativo.

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