HIDROLOGIA AULA 14 - · PDF fileINTRODUÇÃO Estatística em Hidrologia:...
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5° semestre - Engenharia Civil
HIDROLOGIA – AULA 14
Profª. Priscila Pini
HIDROLOGIA ESTATÍSTICA
INTRODUÇÃO
Estatística em Hidrologia:
Estimativa da probabilidade de ocorrência de eventoshidrológicos de uma determinada magnitude no futuro, com basena análise dos dados do passado.
→ Técnicas de probabilidade e estatística
→ Variáveis hidrológicas são consideradas ALEATÓRIAS,ou seja, não podem ser previstas com exatidão
Chuva e vazão → Grande variabilidade no tempo!
HISTOGRAMA DE FREQUÊNCIAS
Gráfico que permite visualizar a frequência de ocorrência dedeterminado estudo.
Histograma de frequência de chuvas anuais (Lamounier – MG)
Nú
mer
o d
e an
os
entr
e 1
94
2 e
20
01
Chuva anual (mm)
1 ano com chuva anual entre 600 e
700 mm
9 anos com chuva anual entre 1200
e 1300 mm
CURVA DE PERMANÊNCIA
→ É equivalente a um histograma de frequências acumuladasrelativas das vazões de um rio em um local
A CURVA PERMITE RESPONDERALGUMAS PERGUNTAS:
O rio tem uma vazão
aproximadamente constante
ou extremamente variável
entre períodos de cheia e
estiagem?
Qual a porcentagem do
tempo em que o rio
apresenta vazões em
determinada faixa?
Qual a porcentagem do
tempo em que um rio tem
vazão suficiente para atender
determinada demanda?
CURVA DE PERMANÊNCIA
Expressa a relação entre a vazão e a frequência (estimada empiricamente) com que essa vazão é superada ou igualada
• Pode ser elaborada a partir de dados diários ou mensais devazão
• Pode ser elaborada a partir do HIDROGRAMA
CURVA DE PERMANÊNCIA
Curva de permanência com os mesmos dados do Hidrograma(Muçum – RS)
A vazão de 1000 m³/s é igualada ou superada em menos de 10% do tempo
Em 20% do tempo a vazão ≈ 500 m³/s é
igualada ou superada
CURVA DE PERMANÊNCIA
Para destacar mais a faixa de vazões mais baixas, a curva de permanência é apresentada com eixo vertical logarítmico
Em 50% do tempo a vazão ≈ 200 m³/s é
igualada ou superada
CURVA DE PERMANÊNCIA
Alguns pontos de destaque da curva:
• A vazão que é superada em 50% do tempo, corresponde àmediana das vazões diárias: 𝑸𝟓𝟎
• A vazão que é superada em 90% do tempo, tem sido utilizadacomo referência para legislação na área de Meio Ambiente eRecursos Hídricos em muitos Estados: 𝑸𝟗𝟎
• A vazão que é superada em 95% do tempo é, por vezes,utilizada para definir a capacidade de produzir energia deforma confiável em uma usina hidrelétrica construída ouprojetada no local: 𝑸𝟗𝟎
CURVA DE PERMANÊNCIA
EXEMPLO 1: Um empreendedor solicita outorga de 25 m³/s no rioTaquari, em um local que possui a curva de permanência aseguir. Considerando que a legislação permite outorgar apenas20% da 𝑸𝟗𝟎 a cada solicitante, é possível atender à solicitação?
𝑸𝟗𝟎 = 57 m³/s
20% de 𝑸𝟗𝟎 = 0,2 x 57 = 11,4 m³/s
25 >11,4 m³/s
Não é possível atender à solicitação!
Estatísticas descritivas
MÉDIA
→ Medida de dispersão dosvalores de uma amostra emtorno da média.
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖
𝑛 𝑥 =
→ Média de todas as séries de vazões ou
precipitações registradas
DESVIO PADRÃO
𝑠 = 𝑖=1𝑛 (𝑥𝑖− 𝑥)²
𝑛 − 1
Para analisar a vazão de um rio ou a precipitação em um local, énecessário analisar alguns valores estatísticos que resumem ocomportamento hidrológico do rio ou da bacia:
Estatísticas descritivas
PROBABILIDADE E TEMPO DE RETORNO
TR: Tempo de retorno de uma dada vazão (anos)
P: Probabilidade de excedência𝑇𝑅 =1
𝑃
→ TR é o intervalo médio de tempo que decorre entre duas ocorrências
subsequentes de uma vazão maior ou igual a “Q”
→ Ex: A vazão máxima de 10 anos de TR é excedida em média 1 vez a
cada dez anos, ou seja, P = 1/10 = 0,1 = 10%
Chuvas anuais e distribuição normal
A chuva total anual em determinado posto fluviométrico pode serconsiderada uma variável aleatória, com distribuiçãoaproximadamente normal
→ Um gráfico da função densidade de probabilidade e da distribuição
normal tem uma forma de sino e é simétrico em relação à media, que é
o valor central
Chuvas anuais e distribuição normal
Para o caso mais simples, onde a média da população é zero e odesvio padrão é igual a 1, segue o gráfico da distribuição normal:
A área hachurada representa
a probabilidade de ocorrer
um valor maior do que z
A área hachurada representa
a probabilidade de ocorrer
um valor menor do que z
A área total sob a curva é igual a 1
Chuvas anuais e distribuição normal
Para o caso mais simples, onde a média da população é zero e odesvio padrão é igual a 1, segue o gráfico da distribuição normal:
-z
Probabilidade de ocorrer um valor menor do que - z é igual à
probabilidade de ocorrer um valor maior do que z
Chuvas anuais e distribuição normal
→ A área sob a curva é encontrada em tabelas que relacionam o valor
de z calculado com a probabilidade de ocorrer um valor maior ou menor
do que z
→ A forma de sino indica que existe uma probabilidade maior de
ocorrerem valores próximos à média, do que valores extremos
𝑧 =𝑥 − 𝑥
𝑠
x: variável aleatória
𝑥: média
s: desvio padrão
→ Para isso, uma variável aleatória x pode ser transformada em uma
variável aleatória z com média zero e desvio padrão 1, pela equação:
→ Esta transformação pode ser utilizada para estimar a probabilidade
associada a um determinado evento hidrológico, em que a variável
segue uma distribuição normal
Chuvas anuais e distribuição normal
Tabela A: Probabilidade de ocorrer um valor maior do que z,
considerando uma distribuição normal com 𝑥 = 0 e s = 1
z Probabilidade z Probabilidade z Probabilidade
0,0 0,5 1,1 0,1357 2,2 0,0139
0,1 0,4602 1,2 0,1151 2,3 0,0107
0,2 0,4207 1,3 0,0968 2,4 0,0082
0,3 0,3821 1,4 0,0808 2,5 0,0062
0,4 0,3446 1,5 0,0668 2,6 0,0047
0,5 0,3085 1,6 0,0548 2,7 0,0035
0,6 0,2743 1,7 0,0446 2,8 0,0026
0,7 0,242 1,8 0,0359 2,9 0,0019
0,8 0,2119 1,9 0,0287 3,0 0,0013
0,9 0,1841 2,0 0,0228
1,0 0,1587 2,1 0,0179
Chuvas anuais e distribuição normal
Tabela B: Probabilidade de ocorrer um valor maior do que z,
considerando uma distribuição normal com 𝑥 = 0 e s = 1
z Probabilidade TR
0,000 0,5 2
0,842 0,2 5
1,282 0,1 10
1,751 0,04 25
2,054 0,02 50
2,326 0,01 100
2,878 0,002 500
3,090 0,001 1.000
3,719 0,0001 10.000
Chuvas anuais e distribuição normal
EXEMPLO 2: As chuvas anuais no posto pluviométrico localizado em
Lamounier, MG, seguem, aproximadamente, uma distribuição normal,
com média igual a 1433 mm e desvio padrão igual a 299 mm. Qual a
probabilidade de ocorrer um ano com chuva total superior a 2000 mm?
𝑧 =𝑥 − 𝑥
𝑠𝑧 =2000 − 1433
299𝑧 = 1,8963
De acordo com a Tabela A, a probabilidade de ocorrência de um valor
maior do que z = 1,9 é de aproximadamente 0,0287 = 2,87%
O tempo de retorno é de:
𝑇𝑅 =1
𝑃𝑇𝑅 =
1
0,0287
𝑇𝑅 = 34,84 ≈ 35 𝑎𝑛𝑜𝑠
Em média, 1 ano a cada 35 anos
apresenta chuva total superior a
2000 mm nesse local
Chuvas anuais e distribuição normal
EXEMPLO 3: Considerando os dados do exercício anterior, qual a
probabilidade de ocorrer um ano com chuva total inferior a 550 mm?
𝑧 =𝑥 − 𝑥
𝑠𝑧 =550 − 1433
299𝑧 = −2,9532
A distribuição normal é simétrica, ou seja, a probabilidade de ocorrer um
valor superior a z é igual a probabilidade de ocorrer um valor inferior a – z.
De acordo com Tabela A, a probabilidade de ocorrência de um valor
maior do que z = 2,95 está entre 0,0019 e 0,0013
Probabilidade de ocorrer valor menor que z = - 2,95 é igual à
probabilidade de ocorrer valor maior que z = 2,95
A probabilidade de ocorrência de um ano com chuva inferior a 550 mm
é de, aproximadamente, 0,16%
O tempo de retorno é de, aproximadamente, 625 anos
Análise de frequências empíricas de vazões máximas
Conhecendo-se as vazões máximas de cada ano, em um determinado
local, é possível realizar análises estatísticas relacionando vazão e
probabilidade.
Estimativas de probabilidade são atribuídas a cada um dos valores
observados, depois que os valores são organizados em ordem decrescente
Ano Q máx (m³/s)
1984 1796,8
1985 1492,0
1986 1565,0
1987 1812,0
1988 2218,0
1989 2190,0
1990 1445,0
1991 1747,0
Ano Q máx (m³/s) Ordem
1988 2218,0 1
1989 2190,0 2
1987 1812,0 3
1984 1796,8 4
1991 1747,0 5
1986 1565,0 6
1985 1492,0 7
1990 1445,0 8
Tabela 1: Vazões máximas do rio Cuiabá, em Cuiabá, entre 1984 e 1991
Análise de frequências empíricas de vazões máximas
A probabilidade pode ser estimada a partir do valor correspondente de
m e do tamanho da amostra (N).
Existem várias equações para estimar a probabilidade empírica de
excedência, onde m é a ordem e N é o tamanho da amostra:
Ano Q máx (m³/s) Ordem (m)
1988 2218,0 1
1989 2190,0 2
1987 1812,0 3
1984 1796,8 4
1991 1747,0 5
1986 1565,0 6
1985 1492,0 7
1990 1445,0 8
𝑃 =𝑚
𝑁 + 1
Equação de Weibull (EUA):
𝑃 =𝑚 − 0,5
𝑁
Equação de Hazen (França):
Análise de frequências empíricas de vazões máximas
Utilizando a fórmula de Weibull, as probabilidades são apresentadas a
seguir, com os tempos de retorno.
Ano Q máx (m³/s) Ordem (m) Probabilidade TR (anos)
1988 2218,0 1 0,11 9,0
1989 2190,0 2 0,22 4,5
1987 1812,0 3 0,33 3,0
1984 1796,8 4 0,44 2,3
1991 1747,0 5 0,56 1,8
1986 1565,0 6 0,67 1,5
1985 1492,0 7 0,78 1,3
1990 1445,0 8 0,89 1,1
Tabela 2: Vazões máximas e probabilidade de ocorrência (rio Cuiabá,
entre 1984 e 1991)
Análise de frequências empíricas de vazões máximas com base em distribuições teóricas
Permite a extrapolação da análise de eventos extremos para tempos de
retorno maiores
Distribuição log-normal
Uma vazão máxima pode ser estimada pela equação:
log(𝑥) = log(𝑥) + 𝑧 ∙ 𝑠log 𝑥
log (x): logaritmo da vazão máxima
log(𝑥) : média dos logaritmos das vazões máximas anuais
𝑠log 𝑥 : desvio padrão dos logaritmos das vazões máximas anuais
z: fator de frequência (obtido das tabelas A e B)
Análise de frequências empíricas de vazões máximas com base em distribuições teóricas
EXEMPLO 4: As vazões máximas anuais do rio Guaporé no posto
fluviométrico Linha Colombo (RS) são apresentadas na tabela abaixo.
Utilize a distribuição log-normal para estimar a vazão máxima com 100
anos de tempo de retorno.
Ano Máxima Ano Máxima
1978 760 1986 728
1979 780 1987 809
1980 653 1988 945
1981 537 1989 1380
1982 945 1990 falha
1983 1650 1991 falha
1984 1165 1992 falha
1985 888 1993 639
Falhas são períodos em
que não houve
observação e são
desconsideradas.
Amostra com 16 – 3 = 13
valores
Análise de frequências empíricas de vazões máximas com base em distribuições teóricas
EXEMPLO 4: As vazões máximas anuais do rio Guaporé no posto
fluviométrico Linha Colombo (RS) são apresentadas na tabela abaixo.
Utilize a distribuição log-normal para estimar a vazão máxima com 100
anos de tempo de retorno.
log(𝑥) = log(𝑥) + 𝑧 ∙ 𝑠log 𝑥
log (x): logaritmo da vazão máxima
log(𝑥) : média dos logaritmos das vazões máximas anuais
𝑠log 𝑥 : desvio padrão dos logaritmos das vazões máximas anuais
z: fator de frequência (obtido das tabelas A e B)
Análise de frequências empíricas de vazões máximas com base em distribuições teóricas
EXEMPLO 4: As vazões máximas anuais do rio Guaporé no posto
fluviométrico Linha Colombo (RS) são apresentadas na tabela abaixo.
Utilize a distribuição log-normal para estimar a vazão máxima com 100
anos de tempo de retorno.
Ano Máxima Log Ano Máxima Log
1978 760 2,880814 1986 728 2,862131
1979 780 2,892095 1987 809 2,907949
1980 653 2,814913 1988 945 2,975432
1981 537 2,729974 1989 1380 3,139879
1982 945 2,975432 1990 falha -
1983 1650 3,217484 1991 falha -
1984 1165 3,066326 1992 falha -
1985 888 2,948413 1993 639 2,805501
log(𝑥) = 2,94 𝑠log 𝑥 =0,137
Análise de frequências empíricas de vazões máximas com base em distribuições teóricas
EXEMPLO 4: As vazões máximas anuais do rio Guaporé no posto
fluviométrico Linha Colombo (RS) são apresentadas na tabela abaixo.
Utilize a distribuição log-normal para estimar a vazão máxima com 100
anos de tempo de retorno.
log(𝑥) = 2,94 𝑠log 𝑥 =0,137
Na Tabela B: TR = 100 anos, Prob. = 0,01, z = 2,326
log(𝑥) = log(𝑥) + 𝑧 ∙ 𝑠log 𝑥
log(𝑥) = 2,94 + 2,326 ∙ 0,137 = 3,2587
𝑥 = 103,2587 ≈ 1814 𝑚3/𝑠