CARLOS ROGRIO DE MELLO

HIDROLOGIA I GNE 113 HIDROLOGIA ESTATSTICA

Anlise da disponibilidade de gua para projetos de maneira geral;

Impactos (usos do solo e mudanas climticas hidrologia da

bacia hidrogrfica)

Dimensionamento de obras hidrulicas:

Barragens;

Bueiros;

Terraos;

Pontes;

Drenagem;

Histrico das condies hidrolgicas e climticas;

Frequncia de ocorrncia das grandezas hidrolgicas;

Modelagem da frequncia;

Incerteza: estimativa de valores associados a um nvel de

probabilidade;

Varivel contnua x Varivel discreta;

Por que a hidrologia trabalha na grande maioria das vezes com

varivel contnua?

Principais sries histricas em hidrologia:

Precipitao total anual;

Precipitao mensal, quinzenal, decendial;

Precipitao mxima diria anual;

Srie de vazes:

Mxima diria anual;

Mnima diria anual;

Mnima em 7 dias consecutivos;

Curva de permanncia de vazes

Ano Precipitao Ano Precipitao

1944 53 1976 78

1945 153 1977 74

1946 82 1978 95

1947 101 1979 63

1948 85 1980 84

1949 62 1981 85

1950 72 1982 127

1951 96 1983 115

1952 71 1984 49

1953 77 1985 100

1954 116 1986 132

1955 109 1987 138

1956 94 1988 83

1957 48 1989 63

1958 71 1990 65

1959 89 1991 102

1960 98 1992 114

1961 86 1993 63

1962 71 1994 152

1963 34 1995 69

1964 122 1996 93

1965 63 1997 67

1966 110 1998 68

1967 74 1999 94

1968 98 2000 125

1969 93 2001 59

1970 95 2002 73

1971 75 2003 128

1972 92 2004 63

1973 65 2005 134

1974 63 2006 263

1975 67 2007 103

Um exemplo

de srie histrica

Dados dirios de precipitao e vazo: dados bsicos;

Vazes mximas dirias anuais: selecionar o maior valor de cada

ano (isto tambm vlido para vazes mnimas dirias anuais):

Se tivermos 20 anos, esta srie ter 20 dados;

Srie histrica de precipitaes mensais, quinzenais e decendiais:

aplicao ao estudo de chuva provvel e manejo de irrigao;

possvel criar 12 sries histricas mensais somando-se os valores

dirios de precipitao dentro de um determinado ms, num ano

especfico;

Precipitao quinzenal: 24 sries histricas possveis; trabalha-se

buscando-se responder qual a precipitao esperada (mnima

provvel) para, por exemplo, 1 quinzena de maro; 2 quinzena de

setembro; etc

Precipitao decendial: 36 sries histricas possveis;

Precipitao mxima diria anual: srie histrica constituda por

dados de precipitao mxima diria anual;

Precipitao mxima associada a uma durao: p.e.: srie histrica

de precipitao mxima associada a 30 minutos de durao.

Estudo de chuvas intensas

Clculo da Freqncia em sries contnuas:

Posicionar a srie histrica em ordem crescente ou decrescente: Freqncia de excedncia ou no excedncia;

Definir a posio de cada valor dentro da srie;

Calcular a freqncia com base em formulaes especficas:

Fobs = i/(N+1)

Tempo de Retorno:

Conceito probabilstico;

Sua aplicao est associada aos objetivos do projeto;

TR = 1/(F) ~ 1/(P);

i = posio do valor dentro da srie;

N = tamanho da srie histrica

(Fonte: Naghettini & Pinto (2008))

Ajuste de uma distribuio de probabilidades;

FDP x FCP;

Estimativa da varivel associada a uma probabilidade ou

recorrncia:

Equao Geral de Ven Te Chow:

Parmetros de ajuste:

Calculados com base na srie histrica;

Associados mdia, varincia e assimetria;

SKXX TRTR

Aplicao: para estudos

associados precipitao

anual, como balano hdrico,

Caracterizao climtica, etc

z 0

2

e2

1xfFDP

x5,0

dx

2

e2

1xxobPrxFFCP

x5,0x

i

s

xx

z

z

z5,0 dz2

e2

1zZobPrzF

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.00 0.5 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359

0.10 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753

0.20 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141

0.30 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517

0.40 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879

0.50 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224

0.60 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549

0.70 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852

0.80 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133

0.90 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389

1.00 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621

1.10 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830

1.20 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015

1.30 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177

1.40 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319

1.50 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441

1.60 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545

1.70 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633

1.80 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706

1.90 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767

2.00 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817

2.10 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857

2.20 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890

2.30 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916

2.40 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936

2.50 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952

2.60 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964

2.70 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974

2.80 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981

2.90 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986

3.00 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990

3.10 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993

3.20 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995

3.30 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997

3.40 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998

a) Qual a probabilidade de ocorrer um ano com precipitao anual

inferior a 900 mm para um local com precipitao mdia anual de 1450

mm e desvio padro de 310 mm? Admite-se que a DN adequada para

esta srie histrica.

b) Qual a probabilidade de ocorrer um ano com precipitao anual

superior a 2000 mm?

c) Quais os valores da precipitao anual associada ao Tempo de

Retorno de 100 anos?

d) Qual a probabilidade da precipitao total anual estiver entre 1000 e

1700 mm?

1. Aplicaes/situaes:

A. Precipitaes mximas dirias anuais ou associadas a uma

durao especfica (10; 20; 30; 60 minutos, etc): chuvas intensas;

B. Precipitao provvel;

C. Vazes mximas e mnimas dirias anuais;

D. Vazes de referncia para outorga (Q7);

2. Principais distribuies:

A. Gumbel (para mximos e mnimos);

B. Log-normal 2 Parmetros;

2

nn

e2x

1FDP

xLn5,0

n

n

xLnn

1in

nTRknTR ex

22

4

n

sx

x Ln

2

1

2

22

n

x

sx Ln

Estimativa com base

em dados transformados

Estimativa com base

em dados sem transformao

Ordem Precipitao

(mm)

Fexcedncia Ordem Precipitao

(mm)

Fexcedncia

1 280 0,04545 12 81 0,54545

2 225 0,09091 13 74 0,59091

3 191 0,13636 14 70 0,63636

4 160 0,18182 15 61 0,68182

5 140 0,22727 16 52 0,72727

6 135 0,27273 17 42 0,77273

7 134 0,31818 18 29 0,81818

8 131 0,36364 19 25 0,86364

9 112 0,40909 20 17 0,90909

10 97 0,45455 21 8 0,95455

11 94 0,50000

Sabendo-se que a mdia dos logartmos de 4,3372 e o desvio padro igual a 0,8913, calcule:

1. Qual a precipitao provvel associada a probabilidade de excedncia de 75%?

2. Qual a probabilidade de ocorrer um decndio com precipitao total superior a 320 mm?

3. Qual a probabilidade de ocorrer um decndio com precipitao inferior a 5 mm?

4. Qual a probabilidade de ocorrer um decndio com precipitao entre 150 e 210 mm?

5. Calcule a precipitao provvel associada probabilidade de excedncia de 90%.

6. Qual o TR para um decndio com precipitao total de 305 mm?

Resolva os seguintes problemas:

Resolva os itens anteriores

considerando agora apenas a

mdia e o desvio padro dos dados

originais, que so respectivamente,

iguais a 102,8 mm e 70,7 mm

x

eFDPex

x

exxP ei

Parmetros: e

s

2826,1^ s45,0x

^

Ano Precipitao Ano Precipitao

1944 53 1976 78

1945 153 1977 74

1946 82 1978 95

1947 101 1979 63

1948 85 1980 84

1949 62 1981 85

1950 72 1982 127

1951 96 1983 115

1952 71 1984 49

1953 77 1985 100

1954 116 1986 132

1955 109 1987 138

1956 94 1988 83

1957 48 1989 63

1958 71 1990 65

1959 89 1991 102

1960 98 1992 114

1961 86 1993 63

1962 71 1994 152

1963 34 1995 69

1964 122 1996 93

1965 63 1997 67

1966 110 1998 68

1967 74 1999 94

1968 98 2000 125

1969 93 2001 59

1970 95 2002 73

1971 75 2003 128

1972 92 2004 63

1973 65 2005 134

1974 63 2006 263

1975 67 2007 103

Mdia = 90,61 mm

Desvio = 33,89

Precipitao Posio Precipitao Posio

34 1 85 33

48 2 86 34

49 3 89 35

53 4 92 36

59 5 93 37

62 6 93 38

63 7 94 39

63 8 94 40

63 9 95 41

63 10 95 42

63 11 96 43

63 12 98 44

65 13 98 45

65 14 100 46

67 15 101 47

67 16 102 48

68 17 103 49

69 18 109 50

71 19 110 51

71 20 114 52

71 21 115 53

72 22 116 54

73 23 122 55

74 24 125 56

74 25 127 57

75 26 128 58

77 27 132 59

78 28 134 60

82 29 138 61

83 30 152 62

84 31 153 63

85 32 263 64

050

100

150

200

250

300

1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020

Ano

Pm

xim

a d

iria a

nual (m

m)

Aplicando a FDP da distribuio Gumbel

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0 50 100 150 200 250 300

Pmxima diria (mm)

FD

P

1. Qual o TR para uma precipitao mxima diria anual superior a 120 mm?

2. Qual o TR para uma precipitao mxima diria anual superior a 200 mm?

3. Para um projeto de uma barragem nesta localidade (Aiuruoca), calcule a precipitao mxima diria anual associada a um TR de 200 anos.

4. Qual o valor da precipitao mxima diria anual para a localidade acima, considerando uma probabilidade de no-excedncia de 0,98?

00.2

0.4

0.6

0.8

1

0 50 100 150 200 250 300

Precipitao mxima (mm)

Fre

q

n

cia

Ajuste da Distribuio Gumbel

xexeFDP

xe

i e1xxP

Parmetros: e

s

2826,1^ s45,0x

^

Srie Histrica de Vazes Mnimas com 7 dias de durao

Mdia: 1,97 m3/s

Desvio: 0,9136 m3/s

Ano Vazo (m3/s) Ordem Vazes ord.

1985 4.84 1 0.61

1986 1.37 2 0.69

1987 2.07 3 0.93

1988 2.00 4 1.05

1989 2.55 5 1.11

1990 2.13 6 1.37

1991 2.73 7 1.48

1992 2.96 8 1.60

1993 1.88 9 1.64

1994 1.96 10 1.85

1995 1.11 11 1.88

1996 0.93 12 1.91

1997 2.20 13 1.93

1998 1.91 14 1.96

1999 1.05 15 2.00

2000 1.93 16 2.07

2001 0.61 17 2.13

2002 1.48 18 2.20

2003 0.69 19 2.55

2004 1.85 20 2.66

2005 3.18 21 2.73

2006 2.66 22 2.96

2007 1.60 23 3.18

2008 1.64 24 4.84

Ajuste da Distribuio Gumbel

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00

Vazo mnima de 7 dias (m3/s)

Fre

qncia

Fobservada

Gumbel

L-N 2P

1. Qual o TR para uma vazo mnima de 7 dias inferior a 0,5 m3/s?

2. Para um processo de outorga, calcule a vazo Q7,10 para esta bacia hidrogrfica.

3. Qual o valor da vazo mnima de 7 dias considerando uma probabilidade de excedncia de 0,95?

4. Calcule a vazo Q7,30 e Q7,15

TESTES PARAMTRICOS DE ADEQUAO DE

DISTRIBUIES DE PROBABILIDADES

Kolmogorov-Smirnov: teste mais aplicado*

Qui-Quadrado: permite comparar distribuies

Filliben;

Anderson-Darling; Testes mais rigorosos

Ideal para distribuies assintticas

*Ser apresentado e discutido

Teste de Kolmogorov-Smirnov

Caractersticas:

Teste geralmente aplicado para identificar se h normalidade nos dados;

Muito aplicado hidrologia, independentemente da distribuio;

Teste basicamente qualitativo: sua concluso apenas se a distribuio de probabilidades adequada ou no;

Sua estatstica no permite comparar distribuies e sim apenas se cada uma delas adequada ou no;

Procedimento:

;NTabelacalculado FF

estimadaobservadacalculadoFFF (Calculado para cada uma

das observaes da srie histrica)

;NTabelacalculado FAF Maximo eSHiptese Ho do teste aceita,

Ou seja, a distribuio adequada

1. Kolmogorov-Smirnov Tabela

n, tabelaximocalculadom F F

Tamanho da

Amostra (N)

Nvel de Significncia

0,20 0,15 0,10 0,05 0,01

1 0,900 0,925 0,950 0,975 0,995

2 0,684 0,726 0,776 0,842 0,929

3 0,565 0,597 0,642 0,708 0,829

4 0,494 0,525 0,564 0,624 0,734

5 0,446 0,474 0,510 0,563 0,669

6 0,410 0,436 0,470 0,521 0,618

7 0,381 0,405 0,438 0,486 0,577

8 0,358 0,381 0,411 0,457 0,543

9 0,339 0,360 0,388 0,432 0,514

10 0,322 0,342 0,368 0,409 0,486

15 0,268 0,283 0,304 0,338 0,404

20 0,231 0,246 0,264 0,294 0,352

25 0,210 0,220 0,240 0,264 0,320

30 0,190 0,200 0,220 0,242 0,290

40 - - - 0,210 0,250

50 - - - 0,190 0,230

60 - - - 0,170 0,210

70 - - - 0,160 0,190

80 - - - 0,150 0,180

90 - - - 0,140 -

100 - - - 0,140 -

Exemplo de Aplicao: ajuste a distribuio normal aos dados abaixo e

verifique sua adequao

Ano P anual (mm)

1988 1809

1989 1303

1990 1777

1991 1902

1992 1852

1993 1917

1994 1428

1995 1411

1996 1999

1997 1941

1998 1474

1999 1620

2000 1580

Anlise:

139,0AF Maximocalculado

338,0F ;NTabela

05,0;13Tabelacalculado FAF Maximo

Concluso: A distribuio Normal adequada para a srie histrica apresentada

Procedimentos do teste Qui-quadrado

Diviso em classes;

Agrupamento de classes com menos de 3 valores;

Clculo da frequncia observada em cada classe;

Clculo da frequncia estimada em cada classe;

Clculo do Qui-quadrado;

Qui-quadrado tabela (GL; nvel de significncia);

Concluso do teste;

Diviso em classes:

nk

nlog5k 10

At 100 dados

+ de 100 dados

- Amplitude dos dados: A = M m

- Amplitude de classe:

- Limite inferior da 1a classe:

- Limite superior da 1a classe:

1k

xAAc

2

AcmLI 1classe

AcLILS 1classe1classe

n

1i teoricoi

2teoricoiobsi

calculado2

f

ff

Graus de

Liberdade (v)

Nvel de Significncia

0,995 0,975 0,950 0,900 0,750 0,500 0,100 0,050 0,010 0,005

1 0,000039 0,000982 0,003932 0,015791 0,101532 0,455 2,706 3,841 6,635 7,879

2 0,010025 0,050636 0,102587 0,210721 0,575364 1,386 4,605 5,991 9,210 10,597

3 0,071721 0,215793 0,351843 0,584369 1,213 2,366 6,251 7,815 11,345 12,838

4 0,206989 0,484418 0,710723 1,064 1,923 3,357 7,779 9,488 13,277 14,860

5 0,411742 0,831212 1,145 1,610 2,675 4,351 9,236 11,070 15,086 16,750

6 0,675727 1,237 1,635 2,204 3,455 5,348 10,645 12,592 16,812 18,548

7 0,989256 1,690 2,167 2,833 4,255 6,346 12,017 14,067 18,475 20,278

8 1,344 2,180 2,733 3,490 5,071 7,344 13,362 15,507 20,090 21,955

9 1,735 2,700 3,325 4,168 5,899 8,343 14,684 16,919 21,666 23,589

10 2,156 3,247 3,940 4,865 6,737 9,342 15,987 18,307 23,209 25,188

15 4,601 6,262 7,261 8,547 11,037 14,339 22,307 24,996 30,578 32,801

20 7,434 9,591 10,851 12,443 15,452 19,337 28,412 31,410 37,566 39,997

25 10,520 13,120 14,611 16,473 19,939 24,337 34,382 37,652 44,314 46,928

30 13,787 16,791 18,493 20,599 24,478 29,336 40,256 43,773 50,892 53,672

40 20,707 24,433 26,509 29,051 33,660 39,335 51,805 55,758 63,691 66,766

50 27,991 32,357 34,764 37,689 42,942 49,335 63,167 67,505 76,154 79,490

60 35,534 40,482 43,188 46,459 52,294 59,335 74,397 79,082 88,379 91,952

120 83,852 91,573 95,705 100,624 109,220 119,334 140,233 146,567 158,950 163,648

240 187,324 198,984 205,135 212,386 224,882 239,334 268,471 277,138 293,888 300,182

480 403,949 421,189 430,198 440,745 458,754 479,334 520,11 532,075 555,006 563,561

850,891 876,028 889,081 904,291 930,093 959,333 1016,566 1033,193 1064,867 1076,621

Ano P anual Ordem P ordenada

1988 1809 1 1303

1989 1303 2 1411

1990 1777 3 1428

1991 1902 4 1474

1992 1852 5 1580

1993 1917 6 1620

1994 1428 7 1777

1995 1411 8 1809

1996 1999 9 1852

1997 1941 10 1902

1998 1474 11 1917

1999 1620 12 1941

2000 1580 13 1999

Classes Fobs Fterica

1129 - 1477 4

1477 1825 4

1825 - 2173 5