Um pouco de história da Um pouco de história da EQUAÇÃO DO 2º GRAUEQUAÇÃO DO 2º GRAU

Material didático produzido pelo aluno José Roberto Material didático produzido pelo aluno José Roberto Campos Filho do Curso de Pós – Graduação Campos Filho do Curso de Pós – Graduação

NTEM – Informatica educativa 2NTEM – Informatica educativa 2 Novas Tecnologias no Ensino de Matemática da Novas Tecnologias no Ensino de Matemática da

Universidade Federal do Fluminense - UFFUniversidade Federal do Fluminense - UFF

““O objetivo deste material didático é O objetivo deste material didático é dispertar o interesse do aluno através do dispertar o interesse do aluno através do contexto da história da matemática contexto da história da matemática juntamente com a tecnologia de produzir juntamente com a tecnologia de produzir o conteúdo da aula em slides “o conteúdo da aula em slides “

José R. Campos FilhoJosé R. Campos Filho

Um pouco de história ... Um pouco de história ...

As equações do segundo grau são abordadas As equações do segundo grau são abordadas na história da matemática desde a época na história da matemática desde a época dos egípcios, dos egípcios, babilôniosbabilônios , gregos, hindus e , gregos, hindus e chineses. chineses.

O primeiro registro das equações O primeiro registro das equações polinomiais do 2polinomiais do 2ºº grau foi feita pelos grau foi feita pelos babilônios. Eles tinham uma álgebra bem babilônios. Eles tinham uma álgebra bem desenvolvida e resolviam equações de desenvolvida e resolviam equações de segundo grau por métodos semelhantes aos segundo grau por métodos semelhantes aos atuais ou pelo método de completar atuais ou pelo método de completar quadrados. Como as resoluções dos quadrados. Como as resoluções dos problemas eram interpretados problemas eram interpretados geometricamente não fazia sentido falar em geometricamente não fazia sentido falar em raízes negativas. O estudo de raízes raízes negativas. O estudo de raízes negativas foi feito a partir do século XVIII.negativas foi feito a partir do século XVIII.

Os BabilôniosOs Babilônios

Os Os BabilôniosBabilônios foram um povo da foram um povo da Antiguidade que viveu no Médio Antiguidade que viveu no Médio Oriente.  Escreviam os símbolos Oriente.  Escreviam os símbolos numéricos com caracteres numéricos com caracteres cuneiformes, ou seja, em forma cuneiformes, ou seja, em forma de cunha, gravados em placas de de cunha, gravados em placas de argila que depois eram cozidas.argila que depois eram cozidas.

EQUAÇÃO 2º GRAU:EQUAÇÃO 2º GRAU:

Mostraremos na seqüência como o matemático Sridhara, Mostraremos na seqüência como o matemático Sridhara, obteve a Fórmula (conhecida como sendo) de Bhaskara, obteve a Fórmula (conhecida como sendo) de Bhaskara, que é a fórmula geral para a resolução de equações do que é a fórmula geral para a resolução de equações do segundo grau. Um fato curioso é que a Fórmula de segundo grau. Um fato curioso é que a Fórmula de Bhaskara não foi descoberta por ele mas pelo Bhaskara não foi descoberta por ele mas pelo matemático hindu Sridhara, pelo menos um século antes matemático hindu Sridhara, pelo menos um século antes da publicação de Bhaskara, fato reconhecido pelo da publicação de Bhaskara, fato reconhecido pelo próprio Bhaskara, embora o material construído pelo próprio Bhaskara, embora o material construído pelo pioneiro não tenha chegado até nós.pioneiro não tenha chegado até nós.

O fundamento usado para obter esta fórmula foi buscar O fundamento usado para obter esta fórmula foi buscar uma forma de reduzir a equação do segundo grau a uma forma de reduzir a equação do segundo grau a uma do primeiro grau, através da extração de raízes uma do primeiro grau, através da extração de raízes quadradas de ambos os membros da mesma.quadradas de ambos os membros da mesma.

SEJA A EQUAÇÃO:SEJA A EQUAÇÃO:

a x² + b x + c = 0a x² + b x + c = 0 com a não nulo e dividindo todos os coeficientes com a não nulo e dividindo todos os coeficientes

por a, temos:por a, temos: x² + (b/a) x + c/a = 0x² + (b/a) x + c/a = 0 Passando o termo constante para o segundo Passando o termo constante para o segundo

membro, teremos:membro, teremos: x² + (b/a) x = -c/ax² + (b/a) x = -c/a Prosseguindo, faremos com que o lado esquerdo Prosseguindo, faremos com que o lado esquerdo

da equação seja um quadrado perfeito e para da equação seja um quadrado perfeito e para isto somaremos o isto somaremos o quadrado de b/2aquadrado de b/2a a ambos os a ambos os membros da equação para obtermembros da equação para obter

DEDUÇÃO:DEDUÇÃO:

x² + (b/a) x + (b/2a)² = -c/a + (b/2a)²x² + (b/a) x + (b/2a)² = -c/a + (b/2a)² Simplificando ambos os lados da equação, Simplificando ambos os lados da equação,

obteremos:obteremos: [x+(b/2a)][x+(b/2a)]2 2 = (b² - 4ac) / 4a²= (b² - 4ac) / 4a²

OBSERVE:OBSERVE:

Extraindo a raiz quadrada de cada membro da Extraindo a raiz quadrada de cada membro da equação e lembrando que a raiz quadrada de equação e lembrando que a raiz quadrada de todo número real não negativo é também não todo número real não negativo é também não negativa, obteremos duas respostas para a negativa, obteremos duas respostas para a nossa equação:nossa equação:

x + (b/2a) = + R[(b²-4ac) / 4a²]x + (b/2a) = + R[(b²-4ac) / 4a²] ouou x + (b/2a) = - R[(b²-4ac) / 4a²]x + (b/2a) = - R[(b²-4ac) / 4a²]

CONCLUSÃO:CONCLUSÃO:

A FORMULA:A FORMULA:

VEJA A RESOLUÇÃO ABAIXO:VEJA A RESOLUÇÃO ABAIXO:

x² - 5 x + 6 = 0x² - 5 x + 6 = 0 Identificar os coeficientes: a=1, b= -5, c=6Identificar os coeficientes: a=1, b= -5, c=6 Escrever o discriminante D = b²-4ac.Escrever o discriminante D = b²-4ac. Calcular D=(-5)²-4×1×6=25-24=1Calcular D=(-5)²-4×1×6=25-24=1 Escrever a fórmula de Bhaskara:Escrever a fórmula de Bhaskara: Substituir os valores dos coeficientes a, b e c na Substituir os valores dos coeficientes a, b e c na

fórmula:fórmula: x' = (1/2)(5+R[1]) = (5+1)/2 = 3x' = (1/2)(5+R[1]) = (5+1)/2 = 3

x" = (1/2)(5-R[1]) = (5-1)/2 = 2x" = (1/2)(5-R[1]) = (5-1)/2 = 2

VEJA:VEJA:

vejaveja

Essa equação é da forma ax2 + bx + c = 0 e é chamada Essa equação é da forma ax2 + bx + c = 0 e é chamada de equação do 2º grau.de equação do 2º grau.

Os coeficientes a, b e c são números reais e a ¹ 0. Veja Os coeficientes a, b e c são números reais e a ¹ 0. Veja os exemplos:os exemplos:

l Na equação 2x2 - 4x + 5 = 0, os coeficientes são:l Na equação 2x2 - 4x + 5 = 0, os coeficientes são: a = 2, b = - 4 e c = 5a = 2, b = - 4 e c = 5 l Na equação x2 + 5x = 0, os coeficientes são:l Na equação x2 + 5x = 0, os coeficientes são: a = 1, b = 5 e c = 0 (não existe o termo a = 1, b = 5 e c = 0 (não existe o termo

independente de x)independente de x) l Na equação 2x2 - 9 = 0, os coeficientes são:l Na equação 2x2 - 9 = 0, os coeficientes são: a = 2, b = 0 e c = - 9 (não existe o a = 2, b = 0 e c = - 9 (não existe o

termo do 1º grau em x)termo do 1º grau em x)

Incompleta:Incompleta:

l Na equação 4x2 = 0, os coeficientes são:l Na equação 4x2 = 0, os coeficientes são: a = 4, b = 0 e c = 0 (faltam dois termos)a = 4, b = 0 e c = 0 (faltam dois termos) A equação que encontramos no problema inicial é uma A equação que encontramos no problema inicial é uma

equação completa, pois não tem coeficientes nulos. equação completa, pois não tem coeficientes nulos. Quando uma equação do 2º grau possui um ou dois Quando uma equação do 2º grau possui um ou dois coeficientes nulos ela é chamada de incompleta. coeficientes nulos ela é chamada de incompleta. Aprenderemos como resolver os diferentes tipos de Aprenderemos como resolver os diferentes tipos de equação incompletas ainda nesta aula. As equações equação incompletas ainda nesta aula. As equações completas serão estudadas na próxima aula.completas serão estudadas na próxima aula.

OBS:OBS:

Você se lembra de que, quando definimos equação do Você se lembra de que, quando definimos equação do 2º grau, escrevemos2º grau, escrevemos

que a é diferente de zero. O que aconteceria se a fosse que a é diferente de zero. O que aconteceria se a fosse igual a zero? igual a zero?

Vamos substituir a por zero na equação ax2 + bx + Vamos substituir a por zero na equação ax2 + bx + c = 0. c = 0.

A equação ficará assim:A equação ficará assim: 0 . x + bx + c = 00 . x + bx + c = 0 bx + c = 0 ® equação do 1º grau.bx + c = 0 ® equação do 1º grau. Portanto, o coeficiente do termo de 2º grau não pode Portanto, o coeficiente do termo de 2º grau não pode

ser zero pois, anulando esse termo, a equação deixa de ser zero pois, anulando esse termo, a equação deixa de ser do 2º grau.ser do 2º grau.

RESOLVENDO:RESOLVENDO:

Resolução de uma equaçãoResolução de uma equação Já vimos, quando estudamos equações do 1º Já vimos, quando estudamos equações do 1º

grau, que resolver uma equação é encontrar um grau, que resolver uma equação é encontrar um valor da variável x que torna a equação valor da variável x que torna a equação verdadeira quando substituímos x por esse verdadeira quando substituímos x por esse valor.valor.

No caso da equação do 2º grau, podemos No caso da equação do 2º grau, podemos encontrar até duas soluções diferentes para uma encontrar até duas soluções diferentes para uma equação.equação.

EXEMPLO 1:EXEMPLO 1: EXEMPLO 1EXEMPLO 1 a) Verifique, na equação do problema inicial, se o número 2 é solução daa) Verifique, na equação do problema inicial, se o número 2 é solução da equação.equação. A equação é: x2 + 6x - 16 = 0A equação é: x2 + 6x - 16 = 0 Substituindo x por 2, temos: Substituindo x por 2, temos:

2.2 + 6 . 2 -2.2 + 6 . 2 - 1616 = 0= 0

4 + 124 + 12 -- 1616 = 0= 0

16-16- 1616 = 0= 0 ® sentença verdadeira® sentença verdadeira

Logo, x = 2 é uma solução da equação x2 + 6x - 16 = 0.Logo, x = 2 é uma solução da equação x2 + 6x - 16 = 0.

VERIFIQUE:VERIFIQUE:

b) Verifique, na mesma equação, se 1 é b) Verifique, na mesma equação, se 1 é solução.solução.

Substituindo x por 1, temos:Substituindo x por 1, temos: 1.2 + 6 . 1 -1.2 + 6 . 1 - 1616 = 0= 0 1 +1 + 66 -- 1616 = 0= 0 7-7- 1616 = 0= 0 ® sentença falsa® sentença falsa Logo, x = 1 não é solução da equação x2 Logo, x = 1 não é solução da equação x2

+ 6x - 16 = 0. + 6x - 16 = 0.

EXEMPLO 2:EXEMPLO 2:

EXEMPLO 2 EXEMPLO 2 Resolver a equação 3x2 - Resolver a equação 3x2 -

27 = 0 27 = 0 3x2 = 27 3x2 = 27

x2 = 27 x2 = 27 3 3

x2 = 9 x2 = 9 x = x = ± x = x = ± 9 ® x = + 3 9 ® x = + 3 As soluções da equação As soluções da equação

são +3 e -3. são +3 e -3.

2º CASO:2º CASO: Equações do 2º grau em que c = 0 Equações do 2º grau em que c = 0

(equações do tipo ax2 + bx = 0)(equações do tipo ax2 + bx = 0) Observe que essa equação possui dois Observe que essa equação possui dois

termos em x. Nesse caso, podemos fator ar termos em x. Nesse caso, podemos fator ar ax2 + bx, colocando x em evidência:ax2 + bx, colocando x em evidência:

x (ax + b) = 0x (ax + b) = 0 Obtivemos um produto de dois fatores que Obtivemos um produto de dois fatores que

deve ser igual a zero. Logo um dos fatores deve ser igual a zero. Logo um dos fatores deve ser nulo:deve ser nulo:

x = 0x = 0 ìì Se x (ax + b) = 0, entãoSe x (ax + b) = 0, então ouou îî ax + b = 0 ® ax = -bax + b = 0 ® ax = -b x = -bx = -b aa As soluções da equação são x1 = 0As soluções da equação são x1 = 0 ee

x2 = -b x2 = -b aa

EXEMPLO:EXEMPLO: Resolver a equação 3x2 - 15x = 0. Resolver a equação 3x2 - 15x = 0. x (3x - 15) = 0 x (3x - 15) = 0

x = 0 x = 0 ou ou 3x - 15 = 0 3x - 15 = 0 1515

3x = 153x = 15 ® x =® x =

33

® x = 5 ® x = 5

As soluções são x1 = 0 e x2 = 5. As soluções são x1 = 0 e x2 = 5.

Gráficos

Seu gráfico é uma curva denominada parábola.

x

y

x

y

Estudo do Sinal

a > 0a > 0

x

+ +

- xx’ = x”

+ +

x+ + + +

∆ >> 0 ∆ == 0 ∆ << 01)1) 2)2) 3)3)

xx’ x”-- --

+x

x’ = x”

- - x- - - -

∆ >> 0 ∆ == 0 ∆ << 0

a < 0a < 0

4)4) 5)5) 6)6)