História da Matemática - Mesopotânia
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8/14/2019 Histria da Matemtica - Mesopotnia
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UPF - UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO - NOVEMBRO DE 2005.
HISTRIA DA MATEMTICA NA
M E S O P O T M I A
MRCIO LUS FREIRE
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INTRODUO
A Matemtica como a concebemos nos dias atuais foi fruto de uma demorada e
profcua evoluo, desde os homens das cavernas, passando por todas as grandes civilizaes
do passado at chegar na complexidade do mundo mercantilista e globalizado atual. A
finalidade desse trabalho mostrar, em forma de evidenciao, que a matemtica
desenvolvida pelos povos da Mesopotmia entre os anos de 2800 a 1880 a.C. do suportes
lgicos e consistentes aos anseios de todas as culturas posteriores, demonstrando, assim, sua
grande relevncia histrica.
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ASPECTOS GEOGRFICOS E SOCIOLGICOS DA MESOPOTMIA
Geograficamente a Mesopotmia est situada entre os rios Tigre e Eufrates no Oriente
Mdio, no chamado crescente frtil, onde atualmente se localiza o Iraque e a Sria. Em grego,
a palavra Mesopotmia significa entre rios. Os povos que formavam a Mesopotmia foram os
Sumrios, Acdios, Amoritas, Caldeus e Hititas, os quais lutavam pela posse das terras
arveis.. Porm ao contrrio do que ocorria com as guas do rio Nilo, os perodos de cheia
dos rios Tigre e Eufrates eram bastante irregulares, obrigando a realizao de numerosas
obras de irrigao e drenagem, com perodos de observao e desenvolvimento com uma
maior dificuldade.. As civilizaes que habitam essa regio prosperaram com base na
agricultura. Desenvolveram-se nos vales dos rios Tigre e Eufrates devido, fertilidade da
terra decorrente das inundaes destes.
O centro, correspondendo ao curso mdio dos rios, era chamado de Acdia,
sobressaindo as cidades de Babilnia, Uruc, Nipur, Sipar e Acad. O norte era denominado
Assria, destacando-se as cidades de Nnive, Nimrud e Assur.
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Por volta de 3 500 a.C., vindos provavelmente da sia Central, os sumrios fixaram-se
na Baixa Mesopotmia, fundindo-se tnica e culturalmente com a populao local. Com a
sua chegada, deu-se o aperfeioamento dos mtodos de cultivo e de irrigao. A agricultura,
alm de abastecer regularmente a populao, passou a gerar excedentes para o comrcio.
Desenvolveram-se o artesanato especializado, o uso de metais e surgiram inovaes tcnicas
como a roda.
A populao expandiu-se, dando origem a novos grupos sociais como sacerdotes,
funcionrios, mercadores, artesos e soldados. Assim, as aldeias transformaram-se em
cidades, como Ur, Uruk, Lagash, com governo prprio e profisses variadas. Estabeleceu-se
ativo comrcio entre as cidades de Sumria e seus vizinhos. Caravanas de mercadores
levavam cargas de cevada e tecidos para a sia Menor e para o Ir, retornando com madeira,
pedra e metais, que eram transformados em instrumentos, armas e jias.
A revoluo urbana fez surgir na Sumria e posteriormente em Acade, cerca de 15 ou
20 cidades-Estado politicamente independentes, mas com lngua, religio, organizao
social e sistema econmico semelhantes.
Para desenvolver a agricultura, os habitantes desses vales inventaram sistemas de
canalizao e de diques para controlar a direo da gua durante as enchentes. Estes
sistemas tambm controlavam a drenagem das guas de volta aos rios. Os sumrios,
babilnicos e os acdios formaram os principais ocupantes desta regio entre os anos 2800
a.C. e 1800 a.C. Foi neste perodo que surgiram os primeiros centros urbanos da
humanidade, com uma vida de ostentao da riqueza, complexa e variada, em que a lealdade
poltica no era mais em relao a tribos ou cls, mas sim ao rei que governava. As
principais cidades dessa poca foram:Ur, Uruk, Eridu, Nipur e Zagash. Essas cidades eramgovernadas pelos patesis, que representavam ao mesmo tempo a figura do chefe militar e
sacerdote. Desenvolveu-se uma sociedade baseada em atividades agrcolas, pastoris,
comerciais e artesanais. A formao de castas, organizada em forma piramidal foi
inevitvel.
O posicionamento social do individuo, geralmente, era determinado pelo critrio de
nascimento e hereditariedade. Sua estrutura era dividida em camadas sendo a base da
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pirmide composta pelos escravos, um nmero significativo e constitudo principalmente por
prisioneiros de guerra e homens livres pobres que se vendiam para sobreviver. Acima dos
escravos, existiam os artesos e os camponeses, que pertenciam s classes de homens livres,
mas no recebiam o suficiente pelo trabalho que realizavam. E no topo da hierarquia social
estava o rei, que possua riquezas fabulosas, palcios grandiosos e vrios funcionrios que
auxiliavam na administrao do imprio. Administrao essa que se caracterizava pelo
domnio de todos os grupos sociais em um governo de fundamento teocrtico. O centro de
cada cidade da Mesopotmia era dominado pelo temenos, conjunto de templos,
destacando-se o zigurat ou torre de degraus com um pequeno santurio no alto da elevao.
O templo era dedicado ao culto e s oferendas, como mostra a figura abaixo.
Indiscutivelmente, a principal contribuio que os mesopotmicos realizaram para o
desenvolvimento do conhecimento foi inveno de um tipo de escrita, a qual era feita por
estiletes em uma placa de argila mole que depois secavam ao sol. Tais letras tinham a forma
de cunha e, por isso, foram chamadas de cuneiforme. Eram monopolizadas pelos sacerdotesque tinham como uma de suas funes registrar as atividades comerciais. Os sacerdotes dos
templos religiosos, atravs de seu vasto sistema tributrio, coletavam e administravam
gigantescas somas de bens, tais como terrenos, incluindo rebanhos, manadas, rendas e
propriedades rurais. Entretanto, por causa da amplitude e variedade da riqueza acumulada, os
sacerdotes enfrentaram problemas sem precedentes na histria humana.
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Para essa prestao de contas como intendentes, no era possvel confiar na memria a
respeito dos tributos pagos, transaes concludas, sendo necessria uma forma de registropermanente. O surgimento da escrita justificou-se pelo crescimento das economias
centralizadas, quando os funcionrios dos palcios e templos sentiram a necessidade de
manter o controle das quantidades de cereais e dos rebanhos de carneiros e gado que
entravam e saam dos celeiros e fazendas. Era impossvel depender apenas da memria de
um homem para armazenar todas as transaes realizadas, alm da necessidade de se
transmitir os fatos a outros sacerdotes quando houvesse o falecimento de quem controlava
essas operaes, assim, tornou-se indispensvel criao de novos mtodos que
mantivessem registros confiveis e permanentes.
COMRCIO E ECONOMIA NA MESOPOTMIA
Os mesopotmicos possuam uma economia bastante desenvolvida, com mtodos
de intercmbio comercial que incluam o uso de uma moeda metlica e j dispunham de uma
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rede bancria primitiva. Baseada na agricultura, principalmente no cultivo da cevada,
produzia tambm outros produtos como o leo de linhaa e de gergelim, linho, trigo e
hortigranjeiros. A cevada muitas vezes era usada como meio de pagamento de salrios e em
raes dirias, sendo matria-prima para a fabricao da bebida natural: a cerveja. Os
rebanhos de ovelhas e cabras pastavam nos campos fora da estao de plantio e o gado
quando havia gua suficiente. A produo da l era extensa e convertida em peas de tecidos.
Santos (2001) nos afirma que:
Os sumrios eram excelentes agricultores, eram peritos em irrigao; sendo
favorecidos pelos rios Tigre e Eufrates. Eram bons comerciantes. A economia do pas se
fundamenta na lavoura e no comrcio. Desenvolveram-se intensas relaes comerciais com
os pases prximos. Trocavam-se metais, madeiras, produtos agrcolas e manufaturados.
Usavam-se recibos, faturas, ttulos de crditos, notas promissrias. Circulavam como
dinheiro, barras de ouro ou prata. A unidade monetria padro de troca era um ciclo de
prata. O comrcio era ativo e empregava muita gente.
Outra atividade econmica era a pesca, utilizando-se de pequenos barcos de junco,
anzol e rede os sumrios pescavam no Golfo Prsico, nos rios, canais e pntanos. Oartesanato foi um dos responsveis pelo grande impulso dado ao comrcio. Os artesos eram
muito habilidosos e fabricavam mveis de madeira; vasilhas de argila, de pedra, de madeira e
de vidro; objetos de metal, de couro (sandlias, roupas, equipamentos militares), bijuterias e
tijolos (secos ao sol ou cozidos em forno). As ls retiradas das ovelhas eram utilizadas para
confeco de tecido. As famlias ou oficinas txteis, constitudas pelos homens livres, eram
os realizadores do trabalho artesanal.
Segundo texto publicado no site Vbcontrol (2003) h duas formas bsicas para seobter os materiais que pases necessitam: pela guerra ou comrcio. Tais materiais so
geralmente exigidos como tributos ou tomados por pilhagem aps uma expedio militar.
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A regio mesopotmia carecia de recursos minerais e de madeira, indispensveis para a
construo de grandes monumentos, alm de resistentes. Ao longo da histria, os
mesopotmicos tiveram cada vez mais necessidade destes materiais, que vinham de longe: ou
das florestas do Lbano ou das montanhas do Ir (atualmente). Essas montanhas tambmeram ricas em minerais, pedras e metais. Por este motivo, o comrcio comeava a ser
executado com todas as regies vizinhas. De acordo com Cruz e Silva (2002) devido ao
incremento na atividade mercantil, bem como ao aumento de mercadorias em circulao, o
sistema de tbuas contbeis tornou-se complexo. Segundo Iudcibus(1997) a preocupao
com as propriedades e a riqueza uma constante no homem da Antigidade,[...] e o homem
teve de ir aperfeioando seu instrumento de avaliao patrimonial medida que as atividades
foram desenvolvendo-se em dimenso e em complexidade. A situao geogrfica daMesopotmia, na rota do comrcio entre Oriente e Ocidente, estimulou as atividades
comerciais, tornando necessrios rudimentos de aritmtica aplicada, tais como sistemas de
contabilidade, noo de juros, etc. Em meados do terceiro milnio os comerciantes da
Sumria j empregavam um sistema de pesos e medidas, fazendo uso de juros simples e
compostos.
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APLICAES DA MATEMTICA E DA GEOMETRIA MESOPOTMICA
Os Babilnicos (assim tambm eram chamados os povos mesopotmicos) tinham
uma maior habilidade e facilidade para efetuar clculos, talvez em virtude de sua linguagem
ser mais acessvel que a egpcia. Eles tinham tcnicas para equaes quadrticas e bi-
quadrticas, alm de possurem frmulas para reas de figuras retilneas simples e frmulas
para o clculo do volume de slidos simples. Sua geometria tinha suporte algbrico.
Tambm conheciam as relaes entre os lados de um tringulo retngulo e trigonometria
bsica, conforme descrito na tbua Plimpton 322.
Os mesopotmicos foram os inventores da lgebra, do sistema posicional,
desenvolveram os clculos de diviso e multiplicao, incluindo a criao da raiz quadrada eda raiz cbica. E utilizando smbolos para unidades e dezenas, podiam representar qualquer
nmero. Os smbolos utilizados por este povo para representar os nmeros eram: v que
correspondia a 1 (um) e o < que correspondia ao 10 (dez). O sistema numrico adotado
pelos sumrios uma combinao do sistema decimal e do sistema sexagesimal. Assim tem-
se:
Os babilnios usavam um sistema posicional que, em alguns aspectos era semelhante
ao dos egpcios. Algumas inscries mostram que, surpreendentemente, eles usavam no
somente um sistema decimal mas tambm um sistema sexagesimal (isto , base 60) , o qual
trazia enormes facilidades para os clculos, visto que os divisores naturais de 60 so
1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60, facilitando o clculo com fraes.Usavam um trao vertical para representar as unidades e outro desenho para as
dezenas:
No sistema decimal, os nmeros de 1 a 99 eram representados por agrupamentos destes
smbolos, por exemplo,
v vv vvv vv vvv vvv <
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O smbolo para 100 era composto por traos:
e nmeros superiores a 100, representados novamente por agrupamento. Assim,
por exemplo, temos:
O smbolo indica 10 vezes 100, isto , 1000.
Tambm empregava, em algumas tabuletas, o sistema sexagesimal. Os nmeros
de 1 a 59 eram representados novamente por agrupamento simples e a partir dali, se
escreviam "grupos de cunhas", com base 60. Por exemplo,
Os babilnios chegaram a empregar um smbolo, formado por duas cunhas
inclinadas, para representar a ausncia de um grupo. Por exemplo,
Como este smbolo no era de uso freqente, e ainda, nunca foi usado no fim de
uma expresso, o sistema babilnio apresentava ambigidades. Por exemplo,
poderia representar o nmero , etc.
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Nosso sistema de numerao indo-arbico um sistema de numerao posicional
de base 10. Ele preciso e no apresenta ambigidades, justamente porque temos o smbolo
0 (zero) para representar ausncia de uma casa.
A base de numerao 10 o sistema usado quase que universalmente pelo fato de
termos dez dedos disponveis nas mos para nos auxiliar nos clculos.
Cidade da informtica (2001) nos traz o seguinte texto:
A astronomia e as matemticas comearam a buscar essas respostas, e a criar
aparatos que lhes serviam como para ordenar o mundo e os ciclos que a natureza dispe. Os
primeiors calendarios usados pelos babilonicos mediam os meses de acordo com as fases
lunares e os anos, conforme a posio do sol. Pelo testemunho que perdura nas tabuas de
argila que tem chegado at ns, hoje sabemos que por volta do ano de 1950 a.c, o povo
babilnico adotou a base 60 para medir o tempo, ou seja, uma hora igual a 60 minutos.
Mas para que isso pudesse acontecer deveriam contar no solo com sistemas de numerao, e
tambm com signos que representava quantidades.
Ou seja, o sistema sexagesimal teve sua origem na astronomia, especificamente,
na contagem do tempo, ou melhor na diviso do tempo em horas, minutos e segundos. No
qual 1 (uma) hora equivale a 60 minutos.
Estes nmeros eram escritos mediante a presso da extremidade mais larga ou menor de
um clamo de junco sobre a argila ou verticalmente (para desenhar um crculo) ou
obliquamente. Com o passar do tempo esses nmeros passaram a apresentar uma forma
angular.
Exemplificando o sistema numrico utilizado pelos sumrios, tem-se:
1)
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retirando o grupo das unidades, os demais grupos so multiplicados pelo fator 60, onde as
dezenas apenas por 60, as centenas por 60 ao quadrado, e assim continuaria, aumentando-se
as casas aumentam-se os expoentes. Este tipo de clculo deixa bem claro que os sumrios j
conheciam e utilizavam as potncias quadradas e cbicas.
. Os sumrios utilizaram a formula:
para utilizar a multiplicao. A diviso se assimila a multiplicao a seguir:
Algumas tbuas mostram que os mesopotmicos chegaram a resolver equaes do 2. e
3. graus, usando palavras como incgnitas num sentido abstrato e conheciam bem o
processo de fatorao. No s resolviam as equaes quadrticas, seja pelo mtodo
equivalente ao da substituio numa frmula geral, seja pelo mtodo de completar quadrados,
como tambm discutiam algumas cbicas e algumas biquadradas.
Acredita-se que os povos mesopotmicos dominavam tambm as frmulas de
progresses geomtricas. Seus desenvolvimentos podem ser constatados em tabuletas que
indicavam relaes entre os lados de um tringulo. Porm, essas tabuletas mostram apenas as
questes e os resultados.
As implantaes dos sistemas de irrigao desenvolvidos exigiam, para a execuo do
trabalho, alguma forma primitiva de engenharia e agrimensura, atividades que pressupem a
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aplicao de certos conhecimentos geomtricos, tais como mediadas de reas, linhas de nvel,
etc.
Da matemtica mesopotmica constata-se tambm a familiarizao com as regras
gerais de clculo da rea do retngulo, do tringulo retngulo e isscele, de um trapzio
retngulo e, do volume de um paraleleppedo e mais, geralmente do volume de um prisma
reto de base trapezional.
Tinham tambm uma frmula para calcular o permetro da circunferncia a que
equivale. Conheciam o volume de um tronco de cone e de um tronco de pirmide
quadrangular regular. Sabiam que os lados correspondentes de dois tringulos retngulos
semelhantes so proporcionais. Utilizavam-se de uma corda com 13 ns de forma a que o
espao entre eles fosse igual, isto , a corda media 12 unidades, sendo cada unidade o espao
entre dois ns consecutivos, para construir um tringulo retngulo, mas no sabiam expressar
teoricamente esse conhecimento.
Essa tcnica foi divulgada por Pitgoras, em 560 a.C. aps ter realizado vrias viagens
Mesopotmia, cujo saber havia fascinado Tales, onde estudou geometria com sacerdotes,
vindo a ter contato com o mtodo da corda de 13 ns. Com base nesta tcnica desenvolveu
o que hoje conhecemos como Teorema de Pitgoras num tringulo, o quadrado da
hipotenusa igual soma dos quadrados dos catetos. Pitgoras no s se satisfez com a
generalizao da propriedade a que chegou, como tambm se preocupou com a sua
demonstrao, ou seja, em provar que essa regra se aplicava a todos os tringulos retngulos.
Somente em 1637 d.C. foi provada a relao de
posicionamento utilizado pelos sumrios nas construes de seustemplos, palcios e monumentos arquitetnicos. Tal feito foi
realizado por Descartes. Ele criou uma frmula algbrica para
representar um fato trivial e infantil j conhecido por todos; de que
um ponto em uma folha de papel retangular est infalivelmente,
como evidente, onde as duas linhas de suas duas distncias medidas perpendiculares a duas
margens adjacentes da folha, se encontram. Em linguagem geomtrica, isto quer dizer que
um ponto em um plano pode ser representado pelos valores (hoje chamado coordenadas
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cartesianas) das suas duas distncias (x, y), tomadas perpendiculares a dois eixos que se
cruzam em ngulo reto nesse plano, como a conveno de lado positiva e negativa para um e
outro lado do ponto de cruzamento dos eixos.
O APARECIMENTO DE
Uma das caractersticas mais relevantes da matemtica sumria era o uso do sistema
de numerao posicional. Isto possibilitava o clculo do valor numrico de grandezas
geomtricas com uma preciso admirvel para a poca. Um exemplo notvel pode ser visto
em um tablete sumeriano da Yale Babylonian Collection, catalogado sob a sigla YBC7289.
Tablete sumrio YBC7289, da YaleBabylonian Collection.
Nele vemos representado um quadrado, suas duas diagonais e trs nmeros:
a=30
b=1,24,51,10c=42,25,35
escritos no sistema sexagesimal sumeriano. Nessa notao os algarismos do sistema
sexagesimal so indicados por 0, 1, 2,..., 9, 10, 11, 12,...,59, e a vrgula separam as casas.
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Desenho esquemtico do tablete
sumrio YBC7289, mostrando umquadrado, suas duas diagonais, e trs
nmeros sexagesimais, um sendo o
valor do lado do quadrado, outro uma
aproximao do valor de , e o
terceiro uma aproximao do valor
de sua diagonal.
Calculando na base sexagesimal temos
portanto .Por outro lado, interpretando na figura acima como o valor da diagonal do quadrado
de lado , temos, em virtude do Teorema de Pitgoras,
Assim, relacionando e, vemos que deve ser uma aproximao de
Lembrando que os sumrios no tinham notao para separar a parte inteira da parte
fracionria na representao escrita dos nmeros, passamos a interpretar , e como:
a=(0;30) 60
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b=(1;24,51,10)60
c=(0;42,25,35)60
Vemos que
que prximo de 2.
Resulta a aproximao
No sistema decimal isso equivale a
Comparando com vemos que a aproximao calculada
pelos sumrios tem erro . Este foi sem dvida um clculo notvel.
PARTIDAS DOBRADAS E CONHECIMENTO MATEMTICO
A matemtica sempre foi utilizada como um instrumento, atravs do qual se podia
explicar os fenmenos naturais, ou seja, suas causas e conseqncias. Por exemplo,
aplicando-se a dualidade dos fatos, pela matemtica, obtm-se na Astronomia a relao do
tempo em horas-dia e horas-noite.
Os mesopotmicos tambm representavam a natureza dos seres atravs da matemtica,
ou seja, os nmeros pares eram considerados seres femininos e os mpares, masculinos. At
mesmo na grafia estava presente a dualidades das coisas, o que se pode verificar claramente
no smbolo utilizado para representar o infinito. Esse smbolo representa a unio de dois
crculos (4), onde um deles representa o mundo material e o outro o mundo imaterial, em
outras palavras, o infinito significa graficamente a unio dos dois mundos.
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Os nmeros tambm representam o bem e o mal. Representavam o bem, os nmeros
positivos, que significam a soma, o acrscimo; j os nmeros negativos o mal, a excluso, a
subtrao. Paralelamente a esse raciocnio desenvolveu-se o controle do patrimnio, o
sentido do que me pertence e o que pertence outra pessoa. Segundo S (2002) o meu e o
seu deram, na poca, origem a registros especiais de dbito (o que algum tem que me
pagar) e crdito (o que devo pagar a algum), onde teramos uma primeira verso do
registro por Partidas Dobradas.
Uma outra aplicao da matemtica pelos mesopotmicos se refere s funes. Este
povo conhecia o sentido amplo da palavra relao. Conforme Brito [s.d] diz-se que existe
uma relao entre duas coisas quando existe um elo de ligao, uma correspondncia, uma
vinculao entre elas.
Usando a representao de conjuntos podemos visualizar estes exemplos mais
facilmente. Dentro de cada conjunto podemos apresentar seus elementos (valores) e associ-
los na relao. Como pode ser observado na figura 1.
Figura 1 Correlao entre conjuntos
Observe que do conjunto origem (A) partem os elos de ligao em direo aoconjunto destino (B).
Com esta noo de relao em mente e, particularmente, evidenciando assituaes acima ilustradas, podemos definir o que vem a ser uma funo. A idia de
relao biunvoca de conjunto que predomina numa funo entre origem e destino
coaduna com a idia das Partidas Dobradas de origem e aplicao de recursos.
A forma intuitiva do aprendizado das funes atravs da representao de
conjuntos trocada, na prtica, pelo Sistema Cartesiano, no qual colocamos o domnio
no eixo do x e o contradomnio (em que estaro as imagens) no eixo do y. Desta forma
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podemos visualizar melhor o par ordenado (x,y) e o comportamento das funes que se
deseja estudar. Assim temos:
Figura 2 Sistema Cartesiano
Como j foi dito antes, os mesopotmicos no deixaram registro desse conhecimento,
mas j foi provado que no s conheciam, como os utilizavam para a edificao de suas
construes monumentais.
CONTABILIDADE NA MESOPOTMIA
O par ordenado do eixo cartesiano (x,y) pode ser visto, tambm, como uma forma de
registro em par, isto , uma Partida Dobrada. A aplicao do conhecimento da relao
matemtica aos controles contbeis em um determinado fato relatada por Schmidt (2000):
No ano de 1920, em Nuzi (norte da Babilnia), 49 fichas acompanhadas de uma tabela
de pedra com inscries cuneiformes listando um pequeno rebanho de carneiros, pertencente
ao segundo milnio a.C., portanto, fora do perodo pr-histrico. Esses artefatos
representam, aparentemente, a transferncia desse pequeno rebanho sete diferentes tipos
de carneiros e cabras realizada por Puhisenni, filho de Mapu, habitante da regio, para o
pastor de nome Ziquarru. A escavaes revelam que as 49 fichas perfuradas representam a
garantia de que o pastor havia recebido o rebanho e tinha uma dvida com o proprietrio
anterior. Cada animal do rebanho era representado por uma ficha mantida em um
receptculo. Sempre que algum animal era transferido para um pastor, ou para outra
pastagem, ou mesma para tosquia, a forma de registro desse evento era a transferncia da
ficha correspondente ao animal para outra caixa. A explicao para esse duplo registro (a
tabela de pedra e as fichas), segundo Schmandt-Besserat (1992), foi que a caixa de barro
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contendo as fichas era provavelmente destinada ao pastor (ou devedor), enquanto a tabela
constitua o recibo de proprietrio (ou credor). Mesmo j existindo a escrita cuneiforme, a
maioria da populao (como os pastores de 2000 a.C.) no a dominava e as fichas contbeis
eram de fcil entendimento, j que cada ficha representava um animal.
Ter a seguinte representao grfica da situao acima citada:
Figura 3 Representao utilizando o Conjunto
Logo, temos:
Matematicamente
f(venda) = (carneiro, Ziquarru)
f(venda) = (cabra, Ziquarru)
Contabilmente
1o) Dbito Ziquarru (Cliente)
2o) Dbito Ziquarru (Cliente)
Crdito Carneiro (Estoque)
Crdito Cabra (Estoque)
Analisando os fatos, observa-se que h duas contabilidades paralelas, a do vendedor
Puhisenni e a do comprador Ziquarru.
Isso ficou bem caracterizado quando Schmidt apontou a transferncia desse pequeno
rebanho sete diferentes tipos de carneiros e cabras realizada por Puhisenni para o pastor
de nome Ziquarru. Essa transferncia de propriedade foi registrada por 49 fichas
acompanhadas de uma tabela de pedra com inscries cuneiformes listando um pequeno
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rebanho de carneiros. Em ambas as anlises predominam a idia do registro contbil por
Partidas Dobradas e no por Partidas Simples.
A contabilidade realizada por Puhisenni revela-nos que houve um registro de sada de
sete animais, ou seja, atualmente diramos que foi creditada conta-estoque (animais) em sua
contrapartida, por meio das 49 fichas perfuradas, que representam a garantia de que o pastor
havia recebido o rebanho e tinha uma dvida com o proprietrio anterior, ou seja, essa
garantia equivale quilo que atualmente conhecemos por duplicatas, notas promissrias,
cheques pr-datados, ou qualquer outro instrumento que reconhea a dvida, e logicamente
esse registro feito no Ativo na conta cliente. O conhecimento de nmeros positivos e
negativos nessa operao est bem claro.
Observe que apesar de estarem registrados em livros distintos, o ato da venda dos
animais teve sua contrapartida que foram os recibos do reconhecimento da dvida, como diz
o texto enquanto a tabela constitua o recibo de proprietrio (ou credor). Graficamente,
teramos dois livros um de animais (estoque) e outro de garantia de compra (cliente a
receber), a existncia e registro em dois livros de forma simultnea permitem afirmar que tais
registros so por Partidas Dobradas, como se mostra a seguir.
Registros contbeis realizados por Puhisenni
Livro1 Animais (estoque) Livro 2 Garantia (cliente a receber)
CarneiroCabras
49 fichas que representam a garantia de que o pastorhavia recebido o rebanho e tinha uma dvida com oele.
O mesmo fato tambm registrado pelo comprador, Ziquarru: a explicao para esse
duplo registro (a tabela de pedra e as fichas), segundo Schmandt-Besserat (1992), foi que a
caixa de barro contendo as fichas era provavelmente destinada ao pastor (ou devedor). Onde
ele debitaria estoque (animais) e creditaria fornecedor (pela emisso de 49 ficha dadas em
garantia).
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Registros contbeis realizados por Ziquarru
Livro 1 Animais (estoque) Livro 2 Garantia (cliente a pagar)
CarneiroCabras
49 fichas que representam a garantia de que o pastorhavia recebido o rebanho e tinha uma dvida com oPuhisenni.
Na seqncia do texto h a referncia da transio de animais cada animal do rebanho
era representado por uma ficha mantida em um receptculo. Sempre que algum animal era
transferido para um pastor, ou para outra pastagem, ou mesmo para tosquia, a forma de
registro desse evento era a transferncia da ficha correspondente ao animal para outra caixa.
Isso demonstra a aplicao de todos os conhecimentos matemticos, principalmente queles
ligados s funes, visto que todos os fatos relacionados com o patrimnio eram registrados.
Conforme S(1997) a apurao de custos, revises de contas, controles gerenciais de
produtividade, oramento, tudo isto j era praticado em registros feitos em pranchas de
argila, nas civilizaes da Sumria e da Babilnia (mesopotmia). S poderia ser realizado
esse clculo se os mesopotmicos aplicassem os princpios matemticos aqui relatados.
Um outro fato que concretiza a utilizao de partidas dobradas pelos mesopotmicos
que somente os sacerdotes poderiam fazer esse registro e controle. Um dos requisitos bsicos
para essa funo era o conhecimento terico e prtico de aritmtica e geometria. Seria um
choque de conhecimentos e aplicaes dos registros, se os sacerdotes utilizassem partidas
simples, uma vez que a matemtica sempre trabalhou com uma dualidade: causa e
conseqncia. Por este motivo, infundado falar que os registros contbeis realizados pelas
civilizaes da Mesopotmia eram feitos sobre forma de partida simples, o fato de utilizaremlivros distintos para os registro de controle no descaracteriza a aplicao da partida dobrada.
A genialidade dos mesopotmicos e o seu desenvolvimento cultural criaram, tambm,
ambientes intelectuais propcios ao grande progresso na escrita contbil. H cerca de 2000
a.C. os sistemas de leis, alcanando o patrimnio, j exigiam controles e registros
aprimorados, onde a matemtica desempenhava um importante papel na concretude da vida
cotidiana. Por suas construes monumentais constata-se claramente o alto grau de
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desenvolvimento da matemtica pelos sumrios, a qual era tambm empregada em outras
reas do conhecimento, inclusive a contabilidade, exemplo abaixo.
Para se tornar um sacerdote contador, o indivduo precisava ter conhecimento de
notao aritmtica e do seu uso prtico. Um dos princpios bsicos da matemtica a relao
dos fenmenos, por isso seria insensato dizer que os sacerdotes no aplicavam esse
conhecimento nos registros contbeis. Conseqentemente, fica provado que esses registros
eram feitos usando Partidas Dobradas, porm, em livros e formas distintas.
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CONCLUSO
Conclumos que a matemtica, assim como as cincias de modo geral
desenvolveram-se devido as necessidades que surgiam dia-dia. A matemtica na
Mesopotmia surgiram como uma cincia prtica, com o objetivo de facilitar o clculo do
calendrio, a administrao das colheitas, organizao de obras pblicas e a cobrana
de impostos, bem como seus registros.
As guas dos rios Tigre e Eufrates proporcionavam facilidades para o transporte de
mercadorias, o que ajudou a desenvolver um processo de navegao.
Foram desenvolvidos nestes rios grandes projetos de irrigao das terras cultivveis
e a construo de grandes diques de conteno, abrindo assim o caminho para o
desenvolvimento de uma engenharia primitiva.
Procedeu-se ao desenvolvimento de uma astronomia rudimentar para o clculo do
perodo de cheias e vazantes dos rios, mesmo que estes perodos no fossem regulares
como os do rio Nilo no Egito.
E tambm, pelo fato da Mesopotmia estar situada no centro do mundo conhecido da
poca, o que propiciava muito contato com outros povos, ela teve um papel muito grande nodesenvolvimento da matemtica de um povo que teve um papel muito importante na
histria: o povo Grego. Graas a este contato com o povo Grego, muito desta matemtica
chegou at os nossos dias.
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